七年级下1.6完全平方公式习题含详细标准答案
北师大版数学七年级下1.6《完全平方公式》测试(含答案)
完全平方公式 测试时间：90分钟 总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个多项式是完全平方式的是 ()A. B. C. D. x 2+xy +y2x 2‒2xy ‒y 24m 2+2mn +4n 214a 2+ab +b 22.已知，则 a +1a =4a 2+1a 2=()A. 12B. 14C. 8D. 163.若，，则的值为 a ‒b =10ab =5a 2+b 2()A. 15B. 90C. 100D. 1104.是一个完全平方式，那么m 的值是 9x 2‒mxy +16y 2()A. 12B. C. D. ‒12±12±245.已知，，，则多项式a =1999x +2000b =1999x +2001c =1999x +2002的值为 a 2+b 2+c 2‒ab ‒bc ‒ca ()A. 0B. 1C. 2D. 36.下列运算正确的是 ()A. B. a 2⋅a 2=2a2a 2+a 2=a 4C. D. (1+2a )2=1+2a +4a 2(‒a +1)(a +1)=1‒a 27.若是完全平方式，则 x 2+mx +1m =()A. 2B. C. D. ‒2±2±48.已知，，则的值为 a +b =3ab =2a 2+b 2()第2页，共10页A. 3B. 4C. 5D. 69.下列各式中为完全平方式的是 ()A. B. C. D. x 2+2xy +4y 2x 2‒2xy ‒y 2‒9x 2+6xy ‒y 2x 2+4x +1610.若，，则 a +b =3a ‒b =7ab =()A. B. C. 40 D. 10‒40‒10二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知，则的值是______．a +1a =5a 2+1a 212.如果多项式是一个完全平方式，则m 的值是______ ．x 2+mx +913.已知，，则 ______ ， ______ ．a +b =3ab =‒13a +ab +3b =a 2+b 2=14.已知，，则______．a ‒b =14ab =6a 2+b 2=15.已知，，则______．(a +b )2=10(a ‒b )2=6ab =16.已知三项式是一个完全平方式，但是其中一项看不清了，你认4x 2++1为这一项应该是______写出所有你认为正确的答案．()17.如果是一个完全平方式，那么m 的值______ ．a 2‒ma +3618.若是一个完全平方式，则 ______ ．x 2+(k +1)x +9k =19.若是一个完全平方式，则k 应为______．4a 2+2ka +920.一个正方形的边长增加2cm ，它的面积就增加，则这个正方形的边长为8cm 2______cm ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.已知：，，求下列各式的值x +y =6xy =4．(1)x 2+y 2(2)(x ‒y )222.已知，，求：x +y =8xy =12(1)x 2y +xy 2的值．(2)x 2‒xy +y 223.已知有理数m ，n 满足，求下列各式的值．(m +n )2=9(m ‒n )2=1.；(1)mn ．(2)m 2+n 224.用整式乘法公式计算下列各题：(1)(2a ‒b +3)(2a ‒b ‒3)．(2)20162‒2×2016×2015+20152四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.已知，求下列各式的值：；；(1)3x 2‒5x +1=0①3x +1x ②9x 2+1x 2若是关于x 的二次多项式，试求(2)3x m +1‒2x n ‒1+x n3(m‒n)2‒4(n‒m)2‒(m‒n)3+2(n‒m)3的值．26.图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，的形状拼成一个正方形．然后按图2(1)()请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积直接用含m，n的代数式表示方法1：______方法2：______(2)(1)根据中结论，请你写出下列三个代数式之间的等量关系；代数式：(m+n)2(m‒n)2，，mn______(3)(2)a+b=8ab=7a‒b根据题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和a2‒b2的值．第4页，共10页答案1. D2. B3. D4. D5. D6. D7. C8. C9. C 10. B 11. 2312.±613. 8；1114. 20815. 116. ，4x ，，116x 2‒4x 4x 417.±1218. 5或‒719.±620. 121. 解：，(1)∵x 2+y 2=(x +y )2‒2xy 当，，；∴x +y =6xy =4x 2+y 2=(x +y )2‒2xy =62‒2×4=28，(2)∵(x ‒y )2=(x +y )2‒4xy 当，，． ∴x +y =6xy =4(x ‒y )2=(x +y )2‒4xy =62‒4×4=2022. 解：，，(1)∵x +y =8xy =12原式；∴=xy(x +y)=96，，(2)∵x +y =8xy =12原式．∴=(x +y )2‒3xy =64‒36=2823. 解：，，(m +n )2=m 2+n 2+2mn =9①(m ‒n )2=m 2+n 2‒2mn =1②得：，(1)①‒②4mn =8则；mn =2得：，(2)①+②2(m 2+n 2)=10则．m 2+n 2=5第6页，共10页24. 解：(1)(2a ‒b +3)(2a ‒b ‒3)=(2a ‒b )2‒32；=4a 2‒4ab +b 2‒9(2)20162‒2×2016×2015+20152=(2016‒2015)2．=125. 解：，(1)①∵3x 2‒5x +1=0，∴3x ‒5+1x =0；∴3x +1x =5②∵3x +1x =5，∴(3x +1x )2=25，∴9x 2+6+1x 2=25；∴9x 2+1x 2=19(2)3(m ‒n )2‒4(n ‒m )2‒(m ‒n )3+2(n ‒m )3=‒(m ‒n )2+3(n ‒m )3是关于x 的二次多项式，∵3x m +1‒2x n ‒1+x n 或或或，∴{m +1=2n =2{m +1=2n =1{m +1=1n =2{m +1=0n =2解得，或或或，{m =1n =2{m =1n =1{m =0n =2{m =‒1n =2当，时，原式；∴m =1n =2=‒(1‒2)2+3(2‒1)3=‒1+3=2当，时，原式；m =1n =1=‒(1‒1)2+3(1‒1)3=0当，时，原式；m =0n =2=‒(0‒2)2+3(2‒0)3=‒4+24=20当，时，原式．m =‒1n =2=‒(‒1‒2)2+3(2+1)3=‒9+81=7226. ；；；，(m ‒n )2(m +n )2‒4mn (m ‒n )2=(m +n )2‒4mn a ‒b =±6a 2‒b 2=±48第8页，共10页第10页，共10页。
北师大版七年级下册数学 1.6完全平方公式 同步测试(含解析)
1.6完全平方公式同步测试一．选择题1．下列多项式中，是完全平方式的为（）A．x2﹣x+B．x2+x+C．x2+x﹣D．x2﹣x+2．已知4a2+12ab+m是一个完全平方式，那么m为（）A．3b2B．b2C．9b2D．36b23．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2+b2的值为（）A．21B．23C．25D．294．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为（）A．21B．22C．23D．245．正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（）A．15cm2B．25cm2C．36cm2D．49cm26．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到a（a+b）＝a2+ab，那么利用图2所得到的数学等式是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bcC．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bcD．（a+b+c）2＝2a+2b+2c7．若（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a，b的值分别为（）A．a＝4，b＝3B．a＝2，b＝3C．a＝4，b＝9D．a＝2，b＝9 8．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类16块，B类48块，小明用这些地砖刚好拼成一个正方形（无缝且不重叠），那么小明所用C类地砖（）块．A．36B．24C．12D．69．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（）A．﹣1B．﹣4039C．4039D．110．设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（）A．①正确②错误B．①正确②正确C．①错误②正确D．①错误②错误二．填空题11．若多项式x2+mx+64是完全平方式，则m＝．12．如图1中的小长方形的长为x，宽为y，将四个同样的小长方形拼成如图2所示的正方形，则小长方形的面积为．13．如图，边长分别为a，b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝16，ab＝60时阴影部分的面积为．14．用面积为的四个长方形拼成一个“回形”正方形如图所示，小正方形阴影部分的面积为16．则长方形的周长为．15．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则下列关系式中正确的是（填序号）．①a+b＝12；②（a﹣b）2＝8；③ab＝34；④a2+b2＝76．三．解答题16．计算：（1）（﹣2x）3﹣4x（x﹣2x2）；（2）（a﹣b）2+b（a﹣b）．17．阅读理解：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝，（x+y）2＝；（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．18．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，图②是边长为m﹣n的正方形．（1）请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形，画出示意图（要求连接处既没有重叠，也没有空隙）；（2）请用两种不同的方法列代数式表示（1）中拼得的大正方形的面积；（3）请直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2的值．1.6完全平方公式同步测试参考答案与试题解析一．选择题1．解：A、，故原式是完全平方式，故本选项符合题意；B、不是完全平方式，故本选项不符合题意；C、不是完全平方式，故本选项不符合题意；D、不是完全平方式，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：∵4a2+12ab+m是一个完全平方式，∴12ab＝2×2a×，∴m＝9b2．故选：C．3．解：∵a+b＝5，ab＝﹣2，∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝25+4＝29．故选：D．4．解：如图，三角形②的一条直角边为a，另一条直角边为b，因此S△②＝（a﹣b）b ＝ab﹣b2，S△①＝a2，∴S阴影部分＝S大正方形﹣S△①﹣S△②，＝a2﹣ab+b2，＝[（a+b）2﹣3ab]，＝（100﹣54）＝23，故选：C．5．解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝24，解得：x＝5．则这个正方形原来的面积是25cm2，故选：B．6．解：如图，从整体上看，大正方形的边长为（a+b+c），因此面积为（a+b+c）2；从各个部分看，整体的面积等于各个部分的面积和，即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故选：B．7．解：（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a2x2+6axy+9y2＝4x2+12xy+by2，故a2＝4且6a＝12，b＝9，解得：a＝2，b＝9．故选：D．8．解：∵16m2+48mn+36n2＝（4m+6n）2，∴（4m+6n）2＝16m2+48mn+36n2，∴A类16块，B类48块，C类36块刚好拼成一个边长为（4m+6n）的正方形．故选：A．9．解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴a1＝20192，∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴a2＝20202，∴a1﹣a2＝20192﹣20202＝（2019+2020）（2019﹣2020）＝﹣4039，故选：B．10．解：当n＝3时，即x+y＝3，由可得，x﹣y＝2，因此，x＝，y＝，∴q＝x2﹣y2═﹣＝＝6，因此①正确；当p＝时，即x2+y2＝，又∴x﹣y＝2，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴﹣2xy＝4，∴m＝xy＝，因此②正确；故选：B．二．填空题11．解：∵多项式x2+mx+64是完全平方式，x2+mx+64＝x2+mx+82，∴mx＝±2x•8，∴m＝±16．故答案为：±16．12．解：由图2可知，，解得：，则小长方形的面积为xy＝3．故答案为：3．13．解：根据题意得：S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，把a+b＝16，ab＝60代入得：S阴影部分＝38．故图中阴影部分的面积为38．故答案为38．14．解：由题意可得ab＝，（b﹣a）2＝16，∴（b﹣a）2+4ab＝（a+b）2＝16+4×＝25，∴a+b＝5，a+b＝﹣5（舍去）∴长方形的周长＝2（a+b）＝10，故答案为10．15．解：∵大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，∴（a+b）2＝144，（a﹣b）2＝8，∴a+b＝12，故①、②正确，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝144，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝8，∴ab＝34，a2+b2＝76，故③、④正确，故答案为：①②③④．三．解答题16．解：（1）（﹣2x）3﹣4x（x﹣2x2）＝﹣8x3﹣4x2+8x3＝﹣4x2；（2）（a﹣b）2+b（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2+ab﹣b2＝a2﹣ab．17．解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，故答案为：5，1；（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．18．解：（1）如图所示；（2）方法1：大正方形的边长为（m+n），因此面积为：（m+n）•（m+n）＝（m+n）2；方法2：大正方形的面积等于各个部分的面积和，即边长为（m﹣n）的正方形的面积与4个长为m，宽为n的长方形的面积和，即（m﹣n）2+4mn；（3）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×4＝36﹣16＝20．。
北师大版七年级数学下 1.6《完全平方公式》同步训练(含答案)
1.6 完全平方公式同步训练一、单选题1、（2a+3b）2=（2a-3b）2+（），括号内的式子是（）A、6abB、24abC、12abD、18ab2、无论a、b为何值，代数式a2+b2-2a+4b+5的值总是( )A、负数B、0C、正数D、非负数3、若a＋b＝－1，则a2＋b2＋2ab的值为（）A、－1B、1C、2D、－24、若x2+mx+25是完全平方式，则m的值等于（）A、10B、-10C、10或﹣10D、205、已知P＝m−1，Q＝m2−m（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A、P＞QB、P=QC、P＜QD、不能确定6、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm27、已知实数a、b满足等式，那么的值为（）A、－6B、2C、－6或2D、无法计算8、已知实数满足，则的值是（）．A、-2B、1C、-1或2D、-2或19、已知为方程的两实根，则的值为（）A、 B、－28 C、20 D、2810、如图，把边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为2，则长方形的面积是（）A、2（2a+2）B、2a+4C、4a+8D、2（a+4）二、填空题11、如果a2＋ma＋121是一个完全平方式，那么m＝________ 或________ .12、若x﹣y=3，xy=1，则x2+y2=________．13、已知x2+=2，则+x9++x=________．14、已知a+ =3，则a2+ 的值是________．15、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是________．三、计算题16、计算（1）[(x+y)2-(x-y)2]÷(2xy)（2）（3）17、已知，求的值。
初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除1.6完全平方公式-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】化简求值．（）求的值，其中．（）若，求的值．【答案】(1)22;(2)6【分析】（1）根据平方差公式，单项式乘多项式的运算法则，进行运算，然后和合并同类项后把的值代入进行计算即可得解；根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则进行运算，然后和合并同类项后,把已知式子的值整体代入即可得解；【解答】解：（），，，∵，∴原式，，．（），，，∵，∴，∴原式．2.【题文】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到(a+b)²=a²+2ab+b²．图1 图2 图3（1）写出由图2所表示的数学等式：_____________________；写出由图3所表示的数学等式：_____________________；（2）利用上述结论，解决下面问题：已知a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求a²+b²+c²的值．【答案】（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc 45【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，bc+ac+ab=38，作为整式代入即可求出．【解答】解：(1)根据题意,大矩形的面积为：小矩形的面积为：(2)由（1）得3.【题文】已知，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值.【答案】（1）-30；（2）；（3）【分析】（1）提公因式，然后将a+b=5和ab=-6整体代入求值；（2）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答；（3）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答．【解答】解：（1）∵，∴；（2）；（3），故.4.【题文】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．【答案】（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．【解答】解：∵大正方形的面积= a2还可以表示为5.【题文】先化简，再求值：(1)(9x3y－12xy3＋3xy2)÷(－3xy)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝－2；(2)(m－n)(m＋n)＋(m＋n)2－2m2，其中m、n满足方程组【答案】(1) －2x2－y，0;(2) 2mn，-6.【分析】（1）根据多项式除以单项式和平方差公式化简，然后代入求值；（2）根据完全平方公式和平方差公式化简，然后解方程组求出m、n的值后再代入求值.【解答】解：(1)原式＝－3x2＋4y2－y－4y2＋x2＝－2x2－y.当x＝1，y＝－2时，原式＝－2＋2＝0.(2)①＋②，得4m＝12，解得m＝3.将m＝3代入①，得3＋2n＝1，解得n＝－1.故方程组的解是(m－n)(m＋n)＋(m＋n)2－2m2＝m2－n2＋m2＋2mn＋n2－2m2＝2mn，当m＝3，n＝－1时，原式＝2×3×(－1)＝－6.6.【题文】已知a2+b2=1,a-b=,求a2b2与(a+b)4的值.【答案】【分析】把目标代数式化成包含已知代数式的形式.【解答】解：因为a2+b2=1,a-b=,所以(a-b)2=a2+b2-2ab.所以ab=- [(a-b)2-(a2+b2)]=.所以a2b2=(ab)2=.因为(a+b)2=(a-b)2+4ab.=,所以(a+b)4=[(a+b)2]2=.7.【题文】请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；并由此得到怎样的等量关系？请用等式表示；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a－b 的值．【答案】（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)①9;②5.【分析】（1）两个阴影部分的面积可以用阴影部分面积相加和用总面积减去非阴影部分面积来表示。
七年级下1.6完全平方公式习题含详细答案
《完全平方公式》习题一、选择题1．下列等式成立的是( )A.（-1）3=-3B.（-2）2×（-2）3=（-2）6C.2a-a=2D.（x-2）2=x2-4x+42．若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m，则代数式m为( )A.-20xyB.20xyC.40xyD.-40xy3．下列计算中，正确的是( )A.x2•x5=x10B.3a+5b=8abC.（a+b）2=a2+b2D.（-x）6÷（-x）4=x24．下面各运算中，结果正确的是( )A.2a3+3a3=5a6B.-a2•a3=a5C.（a+b）（-a-b）=a2-b2D.（-a-b）2=a2+2ab+b25．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为( )A.12B.6C.3D.06．不论x，y为何有理数，x2+y2-10x+8y+45的值均为( )A.正数B.零C.负数D.非负数二、填空题7．已知：a-b=3，ab=1，则a2-3ab+b2=_____．8．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值为_____．9．若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．10．填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2．三、解答题11．已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由．12．已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：(1)ab的值是多少？(2)a2+b2的值是多少？13．已知2(x+y)=-6，xy=1，求代数式(x+2)-(3xy-y)的值．14．计算：①29.8×30.2；②46×512；③2052．15．计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．参考答案一、选择题1．答案：D解析：【解答】A：（-1）3=（-1）×（-1）×（-1）=-1，故选项A错误；B：（-2）2×（-2）3=（-2）2+3=（-2）5，故选项B错误；C：2a-a=（2-1）a=a，故选项C错误；D：（x-2）2=x2-2•x•2+22=x2-4x+4，故选项D正确．故选：D【分析】根据同底数幂的乘法运算，底数不变指数相加，以及有理数的乘方，完全平方公式算出即可．2．答案：D解析：【解答】（2x-5y）2=（2x+5y）2+m，整理得：4x2-20xy+25y2=4x2+20xy+25y2+m，∴-20xy=20xy+m，则m=-40xy．故选：D【分析】利用完全平方公式化简已知等式，根据多项式相等的条件即可求出m．3．答案：D解析：【解答】A、因为x2•x5=x2+5=x7，故本选项错误；B、3a和5b不是同类项的不能合并，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（-x）6÷（-x）4=（-x）6-4=（-x）2=x2．正确．故选D．【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．4．答案：D解析：【解答】A、原式=5a3，故选项错误；B、原式=-a5，故选项错误；C、原式=-（a+b）2=-a2-2ab-b2，故选项错误；D、原式=（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项正确．故选D．【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式变形后，利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．5．答案：A解析：【解答】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．故选A．【分析】根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．6．答案：A解析：【解答】x2+y2-10x+8y+45，=x2-10x+25+y2+8y+16+4，=（x-5）2+（y+4）2+4，∵（x-5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x-5）2+（y+4）2+4＞0，故选A．【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．二、填空题7．答案：8解析：【解答】∵（a-b）2=32=9，∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=8【分析】应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．8．答案：16解析：【解答】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=16．【分析】原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．9．答案：2或-2解析：【解答】∵a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，∴（ab-1）2+（a-b）2=0，∴ab=1，a-b=0，∴a=b=1或-1，∴a+b=2或-2．【分析】首先把2ab移到等式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．10．答案：4xy解析：【解答】（x+y）2-（x-y）2=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．【分析】所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．三、解答题11．答案：见解答过程解析：【解答】xy＞x+y，理由是：∵x＞2，y＞2，∴xy＞2y，xy＞2x，∴相加得：xy+xy＞2y+2x，∴2xy＞2（x+y），∴xy＞x+y．【分析】根据已知得出xy＞2y，xy＞2x，相加得出xy+xy＞2y+2x，即可求出答案．12．答案：（1）ab=1；（2）a2+b2=22．解析：【解答】∵（a+b）2=24，（a-b）2=20，∴a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．【分析】由（a+b）2=24，（a-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．13．答案：-4．解析：【解答】∵2（x+y）=-6，即x+y=-3，xy=1，∴（x+2）-（3xy-y）=x+2-3xy+y=（x+y）-3xy+2=-3-3+2=-4．【分析】将所求式子去括号整理变形后，把x+y与xy的值代入计算，即可求出值．14．答案：①899.96；②1012；③42025．解析：【解答】①29.8×30.2=（30+0.2）（30-0.2）=302-0.22=900-0.04=899.96；②46×512=212×512=（2×5）12=1012；③2052=（200+5）2=40000+2000+25=42025．【分析】①首先将原式变为：（30+0.2）（30-0.2），然后利用平方差公式求解即可求得答案；②利用幂的乘方，可得46=212，然后由积的乘方，可得原式=（2×5）12=1012；③首先将205化为：200+5，然后利用完全平方公式求解即可求得答案．15．答案：a2-4b2+12bc-9c2解析：【解答】（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2．【分析】首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到a2-（2b-3c）2，求出结果．。
北师大七年级下1.6《完全平方公式》习题含详细答案
《完全平方公式》习题一、选择题1．下列等式成立的是( )A.（-1）3=-3B.（-2）2×（-2）3=（-2）6C.2a-a=2D.（x-2）2=x2-4x+42．若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m，则代数式m为( )A.-20xyB.20xyC.40xyD.-40xy3．下列计算中，正确的是( )A.x2•x5=x10B.3a+5b=8abC.（a+b）2=a2+b2D.（-x）6÷（-x）4=x24．下面各运算中，结果正确的是( )A.2a3+3a3=5a6B.-a2•a3=a5C.（a+b）（-a-b）=a2-b2D.（-a-b）2=a2+2ab+b25．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为( )A.12B.6C.3D.06．不论x，y为何有理数，x2+y2-10x+8y+45的值均为( )A.正数B.零C.负数D.非负数二、填空题7．已知：a-b=3，ab=1，则a2-3ab+b2=_____．8．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值为_____．9．若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．10．填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2．三、解答题11．已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由．12．已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：(1)ab的值是多少？(2)a2+b2的值是多少？13．已知2(x+y)=-6，xy=1，求代数式(x+2)-(3xy-y)的值．14．计算：①29.8×30.2；②46×512；③2052．15．计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．参考答案一、选择题1．答案：D解析：【解答】A：（-1）3=（-1）×（-1）×（-1）=-1，故选项A错误；B：（-2）2×（-2）3=（-2）2+3=（-2）5，故选项B错误；C：2a-a=（2-1）a=a，故选项C错误；D：（x-2）2=x2-2•x•2+22=x2-4x+4，故选项D正确．故选：D【分析】根据同底数幂的乘法运算，底数不变指数相加，以及有理数的乘方，完全平方公式算出即可．2．答案：D解析：【解答】（2x-5y）2=（2x+5y）2+m，整理得：4x2-20xy+25y2=4x2+20xy+25y2+m，∴-20xy=20xy+m，则m=-40xy．故选：D【分析】利用完全平方公式化简已知等式，根据多项式相等的条件即可求出m．3．答案：D解析：【解答】A、因为x2•x5=x2+5=x7，故本选项错误；B、3a和5b不是同类项的不能合并，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（-x）6÷（-x）4=（-x）6-4=（-x）2=x2．正确．故选D．【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．4．答案：D解析：【解答】A、原式=5a3，故选项错误；B、原式=-a5，故选项错误；C、原式=-（a+b）2=-a2-2ab-b2，故选项错误；D、原式=（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项正确．故选D．【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式变形后，利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．5．答案：A解析：【解答】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．故选A．【分析】根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．6．答案：A解析：【解答】x2+y2-10x+8y+45，=x2-10x+25+y2+8y+16+4，=（x-5）2+（y+4）2+4，∵（x-5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x-5）2+（y+4）2+4＞0，故选A．【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．二、填空题7．答案：8解析：【解答】∵（a-b）2=32=9，∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=8【分析】应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．8．答案：16解析：【解答】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=16．【分析】原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．9．答案：2或-2解析：【解答】∵a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，∴（ab-1）2+（a-b）2=0，∴ab=1，a-b=0，∴a=b=1或-1，∴a+b=2或-2．【分析】首先把2ab移到等式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．10．答案：4xy解析：【解答】（x+y）2-（x-y）2=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．【分析】所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．三、解答题11．答案：见解答过程解析：【解答】xy＞x+y，理由是：∵x＞2，y＞2，∴xy＞2y，xy＞2x，∴相加得：xy+xy＞2y+2x，∴2xy＞2（x+y），∴xy＞x+y．【分析】根据已知得出xy＞2y，xy＞2x，相加得出xy+xy＞2y+2x，即可求出答案．12．答案：（1）ab=1；（2）a2+b2=22．解析：【解答】∵（a+b）2=24，（a-b）2=20，∴a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．【分析】由（a+b）2=24，（a-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．13．答案：-4．解析：【解答】∵2（x+y）=-6，即x+y=-3，xy=1，∴（x+2）-（3xy-y）=x+2-3xy+y=（x+y）-3xy+2=-3-3+2=-4．【分析】将所求式子去括号整理变形后，把x+y与xy的值代入计算，即可求出值．14．答案：①899.96；②1012；③42025．解析：【解答】①29.8×30.2=（30+0.2）（30-0.2）=302-0.22=900-0.04=899.96；②46×512=212×512=（2×5）12=1012；③2052=（200+5）2=40000+2000+25=42025．【分析】①首先将原式变为：（30+0.2）（30-0.2），然后利用平方差公式求解即可求得答案；②利用幂的乘方，可得46=212，然后由积的乘方，可得原式=（2×5）12=1012；③首先将205化为：200+5，然后利用完全平方公式求解即可求得答案．15．答案：a2-4b2+12bc-9c2解析：【解答】（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2．【分析】首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到a2-（2b-3c）2，求出结果．。
2020春北师大版七下数学1.6完全平方公式同步练习(含答案)
2020春北师大版七下数学1.6完全平方公式同步练习(第1课时)完全平方公式1．计算(－a－b)2等于()A．a2＋b2B．a2－b2C．a2＋2ab＋b2D．a2－2ab＋b22．下列各式利用完全平方公式计算正确的是()A．(x＋3)2＝x2＋9B．(－2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2C．(a－2b)2＝a2－2ab＋4b2＝x2－x＋1 43．若x2＋ax＋9＝(x＋3)2，则a的值为() A．3B．±3 C．6D．±6 4．计算：(1)(x＋6)2＝________；(2)(y－5)2＝________；(3)(－2x＋5)2＝________；－2 3y＝________.5．将x2＋6x＋3写成(x＋m)2＋n的形式，则m＝__________. 6．计算：(1)(－m－n)2;(2)(－5a－2)(5a＋2)；(3)(2x－1)(－1＋2x);(4)(－2x－y)(2x－y)；(5)(m＋2)2＋4(2－m)；(6)(2x＋3)2－(2x＋3)(2x－3)．7．已知x2＋16x＋k是完全平方公式计算的结果，则常数k等于()A．64B．48C．32D．168．图111(1)是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图111(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是()(1)(2)图111A．2ab B．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b29．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．(a＋b)01(a＋b)111(a＋b)2121(a＋b)31331(a＋b)414641(a＋b)515101051根据“杨辉三角”请计算(a＋b)8的展开式中从左起第四项的系数为() A．84B．56C．35D．28参考答案【分层作业】1．C 2.D 3.C4．(1)x2＋12x＋36；(2)y2－10y＋25；(3)4x2－20x＋25；(4)916x2－xy＋49y2.5．36．(1)m2＋2mn＋n2；(2)－25a2－20a－4；(3)4x2－4x＋1；(4)y2－4x2；(5)m2＋12；(6)12x＋18.7．A8.C9.B2020春北师大版七下数学1.6完全平方公式同步练习(第2课时)乘法公式及应用1．下列计算中，正确的是()A．(a＋b)2＝a2＋b2B．(2a－b)2＝4a2－b2C．(x＋3)(x－2)＝x2－6D．(x＋3)(x－3)＝x2－92．已知(m＋n)2＝1，(m－n)2＝9，则mn＝()A．－2B．2C．－3D．33．化简：(1)(a＋1)2＋2(1－a)；(2)(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.4．运用乘法公式计算：(1)(3x－5)2－(2x＋7)2；(2)(a＋2b－1)2.5．用公式进行简便运算：(1)10032；(2)20142－2015×2013.6．先化简，再求值：(x －1)2＋x (3－x )，其中x ＝－12.7．先化简，再求值：x －12y x ＋12y x 2－12y x ＝12，y ＝－1.8．已知：x ＋y ＝3，xy ＝1，试求：(1)x 2＋y 2的值；(2)(x －y )2的值．9．[2018·江都区期末]如图121①所示，边长为a 的正方形中有一个边长为b 的小正方形，如图121②所示是由图121①中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图121①中阴影部分面积为S 1，图121②中阴影部分面积为S 2.请直接用含a ，b 的代数式表示S 1，S 2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；(3)试利用这个公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1.①②图12110．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1；④________________________；…(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？请说明理由．参考答案【分层作业】1．D 2.A3．(1)a2＋3；(2)2a2.4．(1)5x2－58x－24；(2)a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1. 5．(1)1006009；(2)1.6．x＋1，当x＝－12时，原式＝1 2 .7．324x4－14y8，当x＝12，y＝－1时，原式＝20.8．(1)7；(2)5.9．(1)S1＝a2－b2，S2＝(a＋b)(a－b)；(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(3)216. 10．(1)4×6－52＝24－25＝－1；(2)答案不唯一，如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1；(3)一定成立，理由略．。
北师大版初中数学七年级下册《1.6 完全平方公式》同步练习卷(含答案解析
北师大新版七年级下学期《1.6 完全平方公式》同步练习卷一．选择题（共16小题）1．如果x2+6x+n2是一个完全平方式，则n值为（）A．3B．﹣3C．6D．±32．若x2﹣2（a﹣3）x+25是完全平方式，那么a的值是（）A．﹣2，8B．2C．8D．±23．已知（m﹣n）2=36，（m+n）2=400，则m2+n2的值为（）A．4036B．2016C．2017D．2184．若x+y=12，xy=35，则x﹣y的值为（）A．2B．﹣2C．4D．±25．有4张边长为a的正方形纸片，4张两边长分别为a、b（a＜b）的矩形纸片，1张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，若利用所取出的纸片，确保能无空隙、无重叠拼接成一个正方形，则拼成的正方形的最长边长为（）A．a+b B．2a+b C．a+2b D．3a+b6．若n满足（n﹣2011）2+（2012﹣n）2=1，则（n﹣2011）（2012﹣n）等于（）A．﹣1B．0C．D．17．若a+b=10，ab=11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣678．若a=4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．209．若x+y=3，则（x﹣y）2+4xy+1的值为（）A．3B．7C．9D．1010．多项式4a2+1加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能是（）A．4a B．﹣4a C．4a4D．﹣4a4 11．要使式子x2+y2成为一个完全平方式，则需加上（）A．xy B．±xy C．2xy D．±2xy 12．已知（x+y）2=7，（x﹣y）2=5，则xy的值是（）A．1B．﹣1C．D．﹣13．当x=﹣，y═﹣时，代数式（x+y）2﹣（x﹣y）2的值是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．414．下列多项式中，不是完全平方式的是（）A．x2﹣x+B．9a2b2﹣6ab+1C．m2+3mn+9n2D．x4﹣10x3﹣2515．已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值（）A．2B．3C．6D．416．如果（x+1）2=3，|y﹣1|=1，那么代数式x2+2x+y2﹣2y+5的值是（）A．7B．9C．13D．14二．填空题（共9小题）17．（1）已知xy=5，x+y=6，则x﹣y=．（2）已知（2016﹣a）（2017﹣a）=5，（a﹣2016）2+（2017﹣a）2的值为18．若x2+2（m﹣4）x+25是一个完全平方式，那么m的值应为．19．仔细观察下列各式及其展开式：（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请你根据上式各项系数的规律，求出（a+b）9的展开式的第3项．20．当m=时，关于x二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式．21．已知mn=，则（m+n）2﹣（m﹣n）2=．22．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=34，则（x﹣2017）2的值是．23．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是，宽是．24．如图，现有甲、乙、丙三种卡片若干，分别是边长为a的正方形，边长为b 的正方形和长宽为a，b的长方形b卡片，如果要用它们拼成边长为（3a+2b）的正方形，则需要甲乙丙三种卡片共张．25．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b=10，ab=12，图中阴影部分的面积为．三．解答题（共15小题）26．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b）连结AF、CF、AC，若a+b=10，ab=20，求阴影部分的面积．27．已知（x+y）2=9，（x﹣y）2=25，分别求x2+y2和xy的值．28．已知x2+y2=25，x+y=7，求xy和x﹣y的值．29．已知图甲是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图甲中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．（1）请将图乙中阴影部分正方形的边长用含a、b的代数式表示；（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积S；（3）观察图乙，并结合（2）中的结论，写出下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等式；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：当a+b=8，ab=12时，求（a﹣b）2的值．30．小明同学用四张长为x、宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）（1）图中小正方形的边长是．（2）通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者之间的等量关系式为．（3）运用（2）中的结论，当x+y=10，xy=16时，求小正方形的边长．31．已知a+b=2，a2+b2=10，求：（1）ab的值．（2）a﹣b的值．32．已知a2+b2=13，a+b=1，且b＞a，求a﹣b的值．33．学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加4米，面积则增加了128平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积为多少？34．乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：；方法2：（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．35．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均剪成四个小长方形，然后拼成如图乙所示的一个大正方形．（1）你认为图乙中的阴影部分的正方形的边长=；（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积：方法一：方法二：（3）观察图乙，请你写出下列代数式之间的等量关系：（m+n）2、（m﹣n）2、mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=7，求a﹣b的值．36．我们知道：借助图形面积的不同表示可以用来验证一些代数恒等式成立．如图是由长方形和正方形两块不同的卡片，拼成的一个图形，借助这个图形面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab成立，现有一个长为2m、宽为2n的长方形，如图①，沿图中虚线将它剪成四块相同的小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形．（1）试借助图形面积的不同表示，直接写出（m+n）2、（m﹣n）2和mn之间的等量关系式；（2）若m=3n，且图②中阴影部分的面积为16，求图①的长方形的周长与面积．37．已知：x+y=5，xy=﹣3，求：（1）x2+y2的值（2）（1﹣x）（1﹣y）的值38．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b（a＞b）的正方形CEFG拼在一起，B、C、E三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积为S．（1）如图①，S的值与a的大小有关吗？说明理由；（2）如图②，若a+b=10，ab=21，求S的值；（3）如图③，若a﹣b=2，a2+b2=7，求S2的值．39．已知（x+y）2=7，（x﹣y）2=3，求下列各式的值．（1）xy（2）x2+y240．已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=81，求x2+y2和xy的值．北师大新版七年级下学期《1.6 完全平方公式》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．如果x2+6x+n2是一个完全平方式，则n值为（）A．3B．﹣3C．6D．±3【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值．【解答】解：∵x2+6x+n2是一个完全平方式，∴n=±3，故选：D．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．若x2﹣2（a﹣3）x+25是完全平方式，那么a的值是（）A．﹣2，8B．2C．8D．±2【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（x±5）2=x2±10x+25，∴﹣2（a﹣3）=±10，∴a=﹣2或8，故选：A．【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．3．已知（m﹣n）2=36，（m+n）2=400，则m2+n2的值为（）A．4036B．2016C．2017D．218【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（m+n）2=m2+2mn+n2，（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，∴2m2+2n2=36+400，∴m2+n2=218，故选：D．【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．4．若x+y=12，xy=35，则x﹣y的值为（）A．2B．﹣2C．4D．±2【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求．【解答】解：∵x+y=12，xy=35，∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=144﹣140=4，则x﹣y=±2，故选：D．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．有4张边长为a的正方形纸片，4张两边长分别为a、b（a＜b）的矩形纸片，1张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，若利用所取出的纸片，确保能无空隙、无重叠拼接成一个正方形，则拼成的正方形的最长边长为（）A．a+b B．2a+b C．a+2b D．3a+b【分析】根据4张边长为a的正方形纸片的面积是4a2，4张边长分别为a、b（b ＞a）的矩形纸片的面积是4ab，1张边长为b的正方形纸片的面积是b2，得出4a2+4ab+b2=（2a+b）2，再根据正方形的面积公式即可得出答案．【解答】解；4张边长为a的正方形纸片的面积是4a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，1张边长为b的正方形纸片的面积是b2，∵4a2+4ab+b2=（2a+b）2，∴拼成的正方形的边长最长可以为（2a+b），故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出4a2+4ab+b2=（2a+b）2，用到的知识点是完全平方公式．6．若n满足（n﹣2011）2+（2012﹣n）2=1，则（n﹣2011）（2012﹣n）等于（）A．﹣1B．0C．D．1【分析】利用完全平方公式的变形得到a2+b2=（a+b）2﹣2ab．所以，根据该变形公式可以化简已知等式为（n﹣2011）2+（2012﹣n）2=1﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=1，由此易求所求代数式的值．【解答】解：∵（n﹣2011）2+（2012﹣n）2=（n﹣2011+2012﹣n）2﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=（﹣2011+2012）2﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=1﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=1，即1﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=1则（2012﹣n）（n﹣2011）=0．故选：B．【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．7．若a+b=10，ab=11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣67【分析】把a+b=10两边平方，利用完全平方公式化简，将ab=11代入求出a2+b2的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把a+b=10两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=100，把ab=11代入得：a2+b2=78，∴原式=78﹣11=67，故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．8．若a=4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．20【分析】先将a=4+，整理成a﹣=4，再两边平方，展开整理即可得出结论．【解答】解：∵a=4+，∴a﹣=4，两边平方得，（a﹣）2=16，∴a2+﹣2=16，即：a2+=18，故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣=4两边平方是解本题的关键．9．若x+y=3，则（x﹣y）2+4xy+1的值为（）A．3B．7C．9D．10【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【解答】解：（x﹣y）2+4xy+1=x2﹣2xy+y2+4xy+1=x2+2xy+y2+1=（x+y）2+1，当x+y=3时，原式=32+1=10，故选：D．【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．10．多项式4a2+1加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能是（）A．4a B．﹣4a C．4a4D．﹣4a4【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：多项式4a2+1加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能是﹣4a4，故选：D．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．要使式子x2+y2成为一个完全平方式，则需加上（）A．xy B．±xy C．2xy D．±2xy【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定乘积二倍项即可．【解答】解：∵x2±2xy+y2=（x±y）2，∴需加上的式子为±2xy．故选：D．【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．12．已知（x+y）2=7，（x﹣y）2=5，则xy的值是（）A．1B．﹣1C．D．﹣【分析】根据平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（x+y）2=7，（x﹣y）2=5，∴（x+y）2﹣（x﹣y）2=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）=2，∴2x•2y=2∴xy=故选：C．【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．13．当x=﹣，y═﹣时，代数式（x+y）2﹣（x﹣y）2的值是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】原式利用平方差公式分解，化简后将x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）=4xy，当x=﹣，y=﹣时，原式=4，故选：D．【点评】此题考查了完全平方公式，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．下列多项式中，不是完全平方式的是（）A．x2﹣x+B．9a2b2﹣6ab+1C．m2+3mn+9n2D．x4﹣10x3﹣25【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：（A）原式=（x﹣）2，故A错误；（B）原式=（3ab﹣1）2，故B错误；（C）原式=（m+3n）2，故C错误；故选：D．【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．15．已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值（）A．2B．3C．6D．4【分析】根据a+b的值，对题目中所求式子进行变形即可解答本题．【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b=（a+b）（a﹣b）+4b=2（a﹣b）+4b=2a﹣2b+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4，故选：D．【点评】本题考查完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用分解因式的方法解答．16．如果（x+1）2=3，|y﹣1|=1，那么代数式x2+2x+y2﹣2y+5的值是（）A．7B．9C．13D．14【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵（x+1）2=3，|y﹣1|=1，∴原式=（x2+2x+1）+（y2﹣2y+1）+3=（x+1）2+（y﹣1）2+3=3+1+3=7，故选：A．【点评】此题考查了完全平方公式，以及代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二．填空题（共9小题）17．（1）已知xy=5，x+y=6，则x﹣y=±4．（2）已知（2016﹣a）（2017﹣a）=5，（a﹣2016）2+（2017﹣a）2的值为11【分析】（1）根据完全平方公式可得（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy，将xy=5，x+y=6代入计算，再两边开平方即可求解；（2）原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵xy=5，x+y=6，∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=62﹣4×5=16，∴x﹣y=±4．故答案是：±4；（2）∵（2016﹣a）（2017﹣a）=5，即（a﹣2016）（2017﹣a）=﹣5，∴（a﹣2016）2+（2017﹣a）2=[（a﹣2016）+（2017﹣a）]2﹣2（a﹣2016）（2017﹣a）=1+10=11，故答案为：11．【点评】此题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．熟练掌握公式是解本题的关键．18．若x2+2（m﹣4）x+25是一个完全平方式，那么m的值应为﹣1或9．【分析】根据完全平方式得出2（m﹣4）x=±2•x•5，求出即可．【解答】解：∵x2+2（m﹣4）x+25是一个完全平方式，∴2（m﹣4）x=±2•x•5，解得：m=﹣1或9，故答案为：﹣1或9．【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．19．仔细观察下列各式及其展开式：（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请你根据上式各项系数的规律，求出（a+b）9的展开式的第3项36a7b2．【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）9的展开式中第三项的系数以及字母及其指数的规律．【解答】解：观察发现，（a+b）3的第三项系数为3=1+2，字母及其指数为ab2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3，字母及其指数为a2b2；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4，字母及其指数为a3b2；…则（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），字母及其指数为a n﹣2b2；所以（a+b）9展开式的第三项的系数是1+2+3+…+8=36，字母及其指数为a7b2，即（a+b）9的展开式的第3项为36a7b2．故答案为36a7b2．【点评】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．20．当m=2或﹣3时，关于x二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式．【分析】本题要要满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种情况，用待定系数法即可求解．【解答】解：二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式，故可以表示为：x2﹣（m+1）x+（m+7）=x2±2ax+a2化简为：m2+m﹣6=0解得：m=2或﹣3故答案为：2或﹣3．【点评】本题用到的知识点为完全平方公式a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2的两种情况，用待定系数法求解即可．21．已知mn=，则（m+n）2﹣（m﹣n）2=2．【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵mn=，∴原式=m2+2mn+n2﹣m2+2mn﹣n2=4mn=2，故答案为：2【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．22．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=34，则（x﹣2017）2的值是16．【分析】先把（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=34变形为（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2=34，把（x﹣2017）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2017）2的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=34，∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2=34，∴（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1=34，2（x﹣2017）2+2=34，2（x﹣2017）2=32，（x﹣2017）2=16故答案为16．【点评】考查了完全平方公式，本题关键是把（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=34变形为（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2=34，注意整体思想的应用．23．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是9cm，宽是4cm．【分析】设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的长减少5cm，宽增加2cm，组成正方形，且面积相等，列方程组求解．【解答】解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得，，解得：．故答案为：9cm，4cm．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．24．如图，现有甲、乙、丙三种卡片若干，分别是边长为a的正方形，边长为b 的正方形和长宽为a，b的长方形b卡片，如果要用它们拼成边长为（3a+2b）的正方形，则需要甲乙丙三种卡片共25张．【分析】根据完全平方公式先求出正方形的面积，再求出答案即可．【解答】解：正方形的面积为（3a+2b）2=9a2+12ab+4b2，9+12+4=25，故答案为：25．【点评】本题考查了完全平方式，能求出正方形的面积是解此题的关键，注意：（a+b）2=a2+2ab+b2．25．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b=10，ab=12，图中阴影部分的面积为32．【分析】将a+b=10两边平方，利用完全平方公式展开，将ab的值代入求出a2+b2的值，即为两正方形的面积之和；由两个正方形的面积减去两个直角三角形的性质即可求出阴影部分面积．【解答】解：将a+b=10两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=100，将ab=12代入得：a2+b2+24=100，即a2+b2=76，则两个正方形面积之和为76；∴S阴影=S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG=a2+b2﹣a2﹣b（a+b）=（a2+b2﹣ab）=×（76﹣12）=32．故答案为：32．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三．解答题（共15小题）26．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b）连结AF、CF、AC，若a+b=10，ab=20，求阴影部分的面积．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab=100﹣40=60，∴阴影部分的面积=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=60﹣×ab﹣b2﹣a2=60﹣×20﹣×60=60﹣10﹣30=20．【点评】本题考查图形的面积计算，涉及三角形面积公式，正方形面积公式，完全平方公式，题目较为综合．27．已知（x+y）2=9，（x﹣y）2=25，分别求x2+y2和xy的值．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．【解答】解：∵（x+y）2=9，（x﹣y）2=25，∴两式相加，得（x+y）2+（x﹣y）2=2x2+2y2=34，则x2+y2=17；两式相减，得（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy=﹣16，则xy=﹣4．【点评】此题主要考查了完全平方公式的运用，正确将已知条件变形是解题的关键．28．已知x2+y2=25，x+y=7，求xy和x﹣y的值．【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x﹣y）2的值，再求出答案即可．【解答】解：∵x2+y2=（x+y）2﹣2xy，∴25=72﹣2xy，∴xy=12，∴（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2=25﹣2×12=1，∴x﹣y=±1．【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．29．已知图甲是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图甲中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．（1）请将图乙中阴影部分正方形的边长用含a、b的代数式表示；（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积S；（3）观察图乙，并结合（2）中的结论，写出下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等式；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：当a+b=8，ab=12时，求（a﹣b）2的值．【分析】（1）根据图形即可得出图乙中阴影部分小正方形的边长为a﹣b；（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为（a﹣b）2；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣4ab；（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式；（4）利用（3）中的公式得到（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，进而得出（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）图乙中小正方形的边长为a﹣b．（2）方法①：S=（a﹣b）2；方法②：S=（a+b）2﹣4ab；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=8，ab=12，∴（a﹣b）2=82﹣4×12=64﹣48=16．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．30．小明同学用四张长为x、宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）（1）图中小正方形的边长是x﹣y．（2）通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者之间的等量关系式为（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy．（3）运用（2）中的结论，当x+y=10，xy=16时，求小正方形的边长．【分析】（1）根据图形中长方形的长与宽的差所得；（2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个长方形的面积解答；（3）代入（2）的结论进行计算即可．【解答】解：（1）小正方形的边长是x﹣y；故答案为：x﹣y；（2）大正方形的面积为（x+y）2，四周四个小长方形的面积为4xy，中间小正方形的面积为（x﹣y）2，∴（x+y）2﹣（x﹣y）2=x2+2xy+y2﹣（x2﹣2xy+y2）=4xy；故答案为：（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy（3）当x+y=10，xy=16时，∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=102﹣4×16=36，∴x﹣y=6，∴小正方形的边长为6．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景以及完全平方公式，矩形的面积公式，利用面积的不同表示求解进行解答是解题的关键，也是此类题目常用的方法之一．31．已知a+b=2，a2+b2=10，求：（1）ab的值．（2）a﹣b的值．【分析】（1）根据（a+b）2=a2+b2+2ab求出即可；（2）先求出（a﹣b）2的值，再开方即可．【解答】解：（1）∵a+b=2，a2+b2=10，∴（a+b）2=4，∴a2+b2+2ab=4，∴10+2ab=4，∴ab=﹣3；（2）∵ab=﹣3，a2+b2=10，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=10﹣2×（﹣3）=16，∴a﹣b==±4．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：（a+b）2=a2+b2+2ab，（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab．32．已知a2+b2=13，a+b=1，且b＞a，求a﹣b的值．【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求．【解答】解：∵a2+b2=13，a+b=1，且b＞a，∴b﹣a＞0，（a+b）2=a2+b2+2ab=1，即2ab=﹣12，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=1+24=25，则a﹣b=﹣5．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．33．学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加4米，面积则增加了128平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积为多少？【分析】根据题意，可设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+4米，所以（x+4）2﹣x2=128，根据平方差公式，可解得原绿地的边长，然后根据正方形面积计算公式，可算出原绿地的面积．【解答】解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为（x+4）米，根据题意得，（x+4）2﹣x2=128，解得，x=14；∴原绿地的面积为：14×14=196（平方米）；答：原绿地的边长为14米，原绿地的面积为196平方米．【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，熟练应用平方差公式可简化计算．34．乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：（a+b）2；方法2：a2+b2+2ab（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（a+b）2=a2+2ab+b2（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可验证：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2；（4）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再根据a2+b2=11，即可得到ab=7；②设2018﹣a=x，a﹣2017=y，即可得到x+y=1，x2+y2=5，依据（x+y）2=x2+2xy+y2，即可得出xy==﹣2，进而得到（2018﹣a）（a﹣2017）=﹣2．【解答】解：（1）图2大正方形的面积=（a+b）2图2大正方形的面积=a2+b2+2ab故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2=a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）如图所示，（4）①∵a+b=5，∴（a+b）2=25，∴a2+b2+2ab=25，又∵a2+b2=11，∴ab=7；②设2018﹣a=x，a﹣2017=y，则x+y=1，∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，∴x2+y2=5，∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴xy==﹣2，即（2018﹣a）（a﹣2017）=﹣2．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．35．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均剪成四个小长方形，然后拼成如图乙所示的一个大正方形．（1）你认为图乙中的阴影部分的正方形的边长=m﹣n；（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积：方法一：（m﹣n）2方法二：（m+n）2﹣4mn（3）观察图乙，请你写出下列代数式之间的等量关系：（m+n）2、（m﹣n）2、mn（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=7，求a﹣b的值．【分析】（1）根据图乙中的阴影部分的正方形的边长等于小长方形的长减去宽进行判断；（2）图乙中阴影部分的面积既可以用边长的平方进行计算，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积进行计算；（3）根据（m﹣n）2和（m+n）2﹣4mn表示同一个图形的面积进行判断；（4）根据（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，进行计算即可得到a﹣b的值．【解答】解：（1）由题可得，图乙中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；故答案为：m﹣n；（2）方法一：图乙中阴影部分的面积=（m﹣n）2方法二：图乙中阴影部分的面积=（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）∵（m﹣n）2和（m+n）2﹣4mn表示同一个图形的面积；∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）∵（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，而a+b=8，ab=7，∴（a﹣b）2=82﹣4×7=64﹣28=36，∴a﹣b=±6．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．36．我们知道：借助图形面积的不同表示可以用来验证一些代数恒等式成立．如图是由长方形和正方形两块不同的卡片，拼成的一个图形，借助这个图形面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab成立，现有一个长为2m、宽为2n的长方形，如图①，沿图中虚线将它剪成四块相同的小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形．（1）试借助图形面积的不同表示，直接写出（m+n）2、（m﹣n）2和mn之间的等量关系式；（2）若m=3n，且图②中阴影部分的面积为16，求图①的长方形的周长与面积．【分析】（1）图②中大正方形的边长为m+n、小正方形的边长为m﹣n，由大正方形的面积=小正方形的面积+4×小长方形的面积，即可得出结论；（2）由小正方形的面积结合m=3n，可求出m、n的值，再利用长方形的周长与面积公式，即可求出结论．【解答】解：（1）（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．=（m﹣n）2=16，（2）根据题意得：S阴影∵m=3n，∴（3n﹣n）2=16，解得：n1=2，n2=﹣2（不合题意，舍去），∴m=3n=6．∴C=2（2m+2n）=2×（2×6+2×2）=32，长方形S长方形=2m•2n=2×6×2×2=48．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是：（1）观察图②，找准大、小两个正方形面积间的关系；（2）根据小正方形的面积结合m=3n，求出m、n的值．37．已知：x+y=5，xy=﹣3，求：（1）x2+y2的值（2）（1﹣x）（1﹣y）的值【分析】（1）将x2+y2变形为（x+y）2﹣2xy，然后将x+y=5，xy=﹣3代入求解即可；（2）将所求式子展开整理成x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值．【解答】解（1）∵x+y=5，xy=﹣3，∴原式=（x+y）2﹣2xy=25﹣2×（﹣3）=31；（2）∵x+y=5，xy=﹣3，∴原式=1﹣y﹣x+xy=1﹣（x+y）+xy=1﹣5+（﹣3）=﹣7．【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b238．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b（a＞b）的正方形CEFG拼在一起，B、C、E三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积为S．（1）如图①，S的值与a的大小有关吗？说明理由；（2）如图②，若a+b=10，ab=21，求S的值；（3）如图③，若a﹣b=2，a2+b2=7，求S2的值．【分析】（1）依据图形面积之间的数量关系，即可得到S的值与a无关；（2）依据a+b=10，ab=21，代入S=a2+b2﹣（a+b）•b，进行计算即可；（3）依据（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=4，（a+b）2=a2+2ab+b2=10，即可得到S2的值．【解答】解：（1）S的值与a无关，理由如下：由题意知：S=a2+b2﹣（a+b）•a﹣（a﹣b）•a﹣b2=b2，∴S的值与a无关．（2）∵a+b=10，ab=21，∴S=a2+b2﹣（a+b）•b=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×21=50﹣31.5=18.5．（3）∵S=（a﹣b）•a+（a﹣b）•b=（a﹣b）（a+b），∴S2=（a﹣b）2（a+b）2．∵a﹣b=2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=4，∵a2+b2=7，∴2ab=3，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=10，∴S2=×4×10=10．【点评】此题考查列代数式，整式的混合运算的运用，利用完全平方公式是解决问题的关键．39．已知（x+y）2=7，（x﹣y）2=3，求下列各式的值．（1）xy（2）x2+y2【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵（x+y）2=7，（x﹣y）2=3，∴x2+2xy+y2=7①，x2﹣2xy+y2=3②，∴①﹣②得：4xy=4，解得：xy=1；（2）由（1）得：①+②得，2（x2+y2）=10，解得：x2+y2=5．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确将已知变形是解题关键．40．已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=81，求x2+y2和xy的值．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵（x+y）2=25，（x﹣y）2=81，∴（x+y）2+（x﹣y）2=2x2+2y2=106，则x2+y2=53；∴（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy=﹣56，则xy=﹣14．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确将已知变形是解题关键．。
北师大版七年级下册数学 1.6完全平方公式 同步测试 (含答案)
1.6完全平方公式同步测试一．选择题1．下列代数式不是完全平方式的是（）A．112mn+49m2+64n2B．4m2+20mn+25n2C．m2n2+2mn+4D．m2+16m+642．下列等式一定成立的是（）A．a2+a2＝a5B．（a+b）2＝a2+b2C．（2ab2）3＝6a3b4D．（x﹣a）（x﹣a）＝x2﹣2ax+a23．如果x2+6xy+m是一个完全平方式，则m的值为（）A．9y2B．3y2C．y2D．6y24．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．无法确定5．计算（x﹣2）（2x+3）﹣（3x+1）2的结果中，x项的系数为（）A．5B．﹣5C．7D．﹣76．若25x2+kxy+4y2是完全平方公式，则k的值为（）A．10或﹣20B．﹣20 或20C．5或﹣5D．10或﹣107．若x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，则m的值是（）A．5B．9C．9或1D．5或18．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（）A．﹣1B．﹣4039C．4039D．19．若长方形的周长为36，其中一边长为x（x＞0），面积为y，则y与x之间的关系为（）A．y＝（18﹣x）x B．y＝x2C．y＝（36﹣x）x D．y＝（18﹣x）2 10．如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（）A．a2﹣b2B．2ab C．a2+b2D．4ab二．填空题11．代数式4x2+2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝．12．若ab＝﹣2，a2+b2＝5，则（a﹣b）2的值为．13．以下四个结论正确的是．（填序号）①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝﹣1③若a+b＝10，ab＝24，则a﹣b＝2或a﹣b＝﹣2④若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为14．如图1中的小长方形的长为x，宽为y，将四个同样的小长方形拼成如图2所示的正方形，则小长方形的面积为．15．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是．三．解答题16．用简便方法计算（结果用科学记数法表示）：（1）0.259×220×259×643；（2）20012﹣4002+1．17．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积．方法1：；方法2：．（2）从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论：．（3）运用你所得到的结论，解决问题：已知（x+y）2＝25，xy＝3，求x2+y2的值．18．如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为；则x+y的值为；（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为；（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、原式＝（7m+8n）2，故本选项不符合题意．B、原式＝（2m+5n）2，故本选项不符合题意．C、该代数式不是完全平方式，故本选项符合题意．D、原式＝（m+8）2，故本选项不符合题意．故选：C．2．解：A、原式＝2a2，所以A选项错误；B、原式＝a2+2ab+b2，所以B选项错误；C、原式＝8a2b6，所以C选项错误；D、原式＝（x﹣a）2＝x2﹣2ax+a2，所以D选项正确．故选：D．3．解：∵x2+6xy+m是一个完全平方式，∴m＝＝9y2．故选：A．4．解：∵x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy），∴A＝﹣2xy，B＝﹣2xy，∴A＝B．故选：A．5．解：（x﹣2）（2x+3）﹣（3x+1）2＝2x2+3x﹣4x﹣6﹣9x2﹣6x﹣1＝﹣7x2﹣7x﹣7，故选：D．6．解：∵25x2+kxy+4y2是完全平方公式，∴k＝±2×5×2＝±20，故选：B．7．解：∵x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，∴m﹣5＝±4，解得：m＝9或1，则m的值是9或1．故选：C．8．解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴a1＝20192，∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴a2＝20202，∴a1﹣a2＝20192﹣20202＝（2019+2020）（2019﹣2020）＝﹣4039，故选：B．9．解：长方形的周长为36，其中一边长为x（x＞0），则另一边长为36÷2﹣x＝18﹣x，∴y＝x（18﹣x）故选：A．10．解：由题意得，S阴影部分＝S正方形﹣4S三角形＝（a+b）2﹣ab×4＝a2+2ab+b2﹣2ab═a2+b2，故选：C．二．填空题11．解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9，∴2（m﹣1）＝±12，∴m﹣1＝±6，∴m＝7或m＝﹣5．故答案为：7或﹣5．12．解：∵ab＝﹣2，a2+b2＝5，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，＝a2+b2﹣2ab＝5﹣2×（﹣2）＝9．故答案为：9．13．解：当（x﹣1）x+1＝1时，x＝﹣1时也成立，故①错误；（x﹣1）（x2+ax+1）＝x3+ax2+x﹣x2﹣ax﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（1﹣a）x﹣1，∵（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，∴a﹣1＝0，解得：a＝1，故②错误；∵a+b＝10，ab＝24，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×24＝4，∴a﹣b＝2或a﹣b＝﹣2，故③正确；∵4x＝a，8y＝b，∴22x＝a，23y＝b，∴22x﹣3y＝＝，故④正确；故答案为：③④．14．解：由图2可知，，解得：，则小长方形的面积为xy＝3．故答案为：3．15．解：由图可知，五边形ABGFD的面积＝正方形ABCD的面积+梯形DCGF的面积，＝a2+（a+b）b＝，阴影部分的面积＝五边形ABGFD的面积﹣三角形ABD﹣三角形BCF ＝﹣﹣＝＝，∵a+b＝10，ab＝20，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×20＝60，∴阴影部分的面积为＝30．故答案为：30．三．解答题16．解：（1）原式＝0.259×220×518×49＝（0.25×4）9×（2×5）18×22＝1×1018×4＝4×1018；（2）原式＝20012﹣2×2001×1+1＝（2001﹣1）2＝20002＝4000000＝4×106．17．解：（1）方法1，两个正方形的面积和，即a2+b2，方法2，大正方形的面积减去两个长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）根据方法1与方法2所表示的面积相等得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）∵xy＝3，∴xy＝6，又∵（x+y）2＝25，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣12＝13．18．解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，又∵x＞y＞0，∴x+y＝6，x﹣y＝2，故答案为：2，6；（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，故答案为：5，17；（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，（a﹣b）2+ab×4＝c2，即a2+b2＝c2．。
2021年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式自主学习同步练习题3(附答案)
2021年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式自主学习同步练习题3（附答案）1．已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝（）A．8B．10C．12D．162．下列运算正确的是（）A．2x+3x＝6x B．（x﹣2）2＝x2﹣4C．（﹣x3）2＝x5D．x3•x4＝x73．计算（x﹣2）（2x+3）﹣（3x+1）2的结果中，x项的系数为（）A．5B．﹣5C．7D．﹣74．下列计算正确的是（）A．（a﹣1）2＝a2﹣a+1B．（a+1）2＝a2+1C．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣1D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+15．下列等式成立的是（）A．（﹣x﹣1）2＝（x﹣1）2B．（﹣x﹣1）2＝（x+1）2C．（﹣x+1）2＝（x+1）2D．（x+1）2＝（x﹣1）26．正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（）A．15cm2B．25cm2C．36cm2D．49cm27．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b28．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a，b分别表示矩形的长和宽（a＞b），则下列关系中不正确的是（）A．a+b＝12B．a﹣b＝2C．ab＝35D．a2+b2＝849．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用x、y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（）A．x2+y2＝100B．x﹣y＝2C．x+y＝12D．xy＝3510．如果x2+2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．9或﹣911．如果a2+mab+9b2是一个完全平方式，则m应是（）A．3B．±3C．6D．±612．若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值是（）A．12B．72C．±36D．±1213．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（）A．3B．±3C．6D．±614．若x2+mx+4是完全平方式，则m的值为（）A．m＝4B．m＝2C．m＝﹣4或m＝4D．m＝﹣415．已知（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝6，则a2+b2＝；ab＝．16．若a2+2a＝4，则（a+1）2＝．17．若m﹣n＝3，mn＝5，则m+n的值为．18．计算（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）的结果是．19．已知a+b＝5，ab＝4，则2a2+2b2＝．20．如图中的四边形均为长方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：．21．若4x2+kx+25＝（2x﹣5）2，那么k的值是．22．已知y2﹣8y+k是一个完全平方式，则k的值是．23．如果在多项式4a2+1中添加一个单项式，可使其成为一个完全平方式，那么添加的单项式为．（写出一个即可）24．代数式4x2+mxy+9y2是完全平方式，则m＝．25．若9x2+2（a﹣3）x+16是一个完全平方式，则a等于．26．已知：a+b＝3，ab＝2，求（a﹣b）2，a2﹣b2的值．27．23.142﹣23.14×6.28+3.142．28．已知（a+b）2＝19，（a﹣b）2＝13，求a2+b2与ab的值．29．计算（1）（π﹣2）0﹣3﹣2；（2）（a﹣1）2+a（3﹣a）．30．已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：（1）xy；（2）x﹣y．31．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？32．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x 的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．33．在求两位数的平方时，可以用完全平方式及“列竖式”的方法进行速算，求解过程如下．例如：求322．解：因为（3x+2y）2＝9x2+4y2+12xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以322＝1024．（1）下面是嘉嘉仿照例题求892的一部分过程，请你帮他填全表格及最后结果；解：因为（8x+9y）2＝64x2+81y2+144xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以892＝；（2）仿照例题，速算672；（3）琪琪用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图所示．若这个两位数的个位数字为a，则这个两位数为（用含a的代数式表示）．34．已知化简（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的结果中不含x2项和x3项．（1）求p，q的值；（2）x2﹣2px+3q是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由．35．用等号或不等号填空：（1）比较2x与x2+1的大小：①当x＝2时，2x x2+1，②当x＝1时，2x x2+1，③当x＝﹣1时，2x x2+1；（2）通过上面的填空，猜想2x与x2+1的大小关系为；（3）无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗？试说明理由．参考答案1．【解答】解：∵a+b＝4，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12，故选：C．2．【解答】解：A.2x+3x＝5x，故本选项不合题意；B．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故本选项不合题意；C．（﹣x3）2＝x6，故本选项不合题意；D．x3•x4＝x7，故本选项符合题意．故选：D．3．【解答】解：（x﹣2）（2x+3）﹣（3x+1）2＝2x2+3x﹣4x﹣6﹣9x2﹣6x﹣1＝﹣7x2﹣7x﹣7，故选：D．4．【解答】解：（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项A，C错误，选项D正确；（a+1）2＝a2+2a+1，故选项B错误．故选：D．5．【解答】解：A．（﹣x﹣1）2＝（x+1）2，故本选项不合题意；B．（﹣x﹣1）2＝（x+1）2，正确；C．（﹣x+1）2＝（1﹣x）2，故本选项不合题意；D．（x+1）2＝（1+x）2，故本选项不合题意．6．【解答】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝24，解得：x＝5．则这个正方形原来的面积是25cm2，故选：B．7．【解答】解：空白部分的面积：（a﹣b）2，还可以表示为：a2﹣2ab+b2，所以，此等式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故选：C．8．【解答】解：A、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是12，则a+b＝12，故A选项正确；B、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则a﹣b＝2，故B选项正确；C、根据4个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即4ab＝144﹣4＝140，ab＝35，故C选项正确；D、（a+b）2＝a2+b2+2ab＝144，所以a2+b2＝144﹣2×35＝144﹣70＝74，故D选项错误．故选：D．9．【解答】解：由题意可得（x+y）2＝144，（x﹣y）2＝4，∴x+y＝12，x﹣y＝2，故B、C选项不符合题意；∴x＝7，y＝5，∴xy＝35，故B选项不符合题意；∴x2+y2＝74≠100，故选项A符合题意；10．【解答】解：∵x2+2ax+9是一个完全平方式，∴2a＝±（2×3），则a＝3或﹣3，故选：C．11．【解答】解：∵a2+mab+9b2是一个完全平方式，∴m＝±6，故选：D．12．【解答】解：∵4x2+kxy+9y2是完全平方式，∴kxy＝±2×2x•3y，解得k＝±12．故选：D．13．【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，∴2m＝±6，∴m＝±3，故选：B．14．【解答】解：∵x2+mx+4是完全平方式，∴m＝±4，故选：C．15．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10①，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝6②，∴①+②得：2（a2+b2）＝16，即a2+b2＝8；①﹣②得：4ab＝4，即ab＝1，故答案为：8；116．【解答】解：由a2+2a＝4，可得：（a+1）2＝5，故答案为：517．【解答】解：根据（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，把m﹣n＝3，mn＝1，得，（m+n）2＝9+20＝29；所以m+n＝．故选：．18．【解答】解：（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）＝a2﹣4ab+4b2﹣6a2+8ab＝﹣5a2+4ab+4b2，故答案为：﹣5a2+4ab+4b2．19．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝4，∴2a2+2b2＝2[（a+b）2﹣2ab]＝2（52﹣2×4）＝34，故答案为：34．20．【解答】解：由图形面积的不同计算方法可得，（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn；故答案为：（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn．21．【解答】解：4x2+kx+25＝（2x﹣5）2＝4x2﹣20x+25，故k＝﹣20．22．【解答】解：∵y2﹣8y+k是一个完全平方式，∴，∴k＝16．故答案为：16．23．【解答】解：∵4a2+1±4a＝（2a±1）2；4a2+1+4a4＝（2a2+1）2；4a2+1﹣1＝（±2a）2；4a2+1﹣4a2＝（±1）2．∴加上的单项式可以是±4a、4a4、﹣4a2、﹣1中任意一个．故答案是：±4a、4a4、﹣4a2、﹣1中任意一个．24．【解答】解：∵4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，∴m＝±2×2×3∴m＝±12故答案为：±12．25．【解答】解：∵9x2+2（a﹣3）x+16是一个完全平方式，∴a﹣3＝±12，∴a＝15或﹣9．故答案为：15或﹣9．26．【解答】解：（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝（3）2﹣4×2＝9﹣8＝1；（2）∵（a﹣b）2＝1，∴a﹣b＝±1，∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＝±3．27．【解答】解：原式＝23.142﹣2×23.14×3.14+3.142＝（23.14﹣3.14）2＝400．28．【解答】解：∵（a+b）2＝19，∴a2+b2+2ab＝19，∵（a﹣b）2＝13，∴a2+b2﹣2ab＝13，∴2a2+2b2＝32，4ab＝6，∴a2+b2＝16，ab＝．29．【解答】解：（1）（π﹣2）0﹣3﹣2＝1﹣＝；（2）（a﹣1）2+a（3﹣a）＝a2﹣2a+1+3a﹣a2＝a+1．30．【解答】解：（1）∵x+y＝7，∴（x+y）2＝49，∴x2+2xy+y2＝49，∵x2+y2＝29，∴2xy＝20，∴xy＝10．（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝29﹣20＝9，∴x﹣y＝±3．31．【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，故答案为：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．32．【解答】解：（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：，把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，．②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×1＝2．33．【解答】解：（1）因为（8x+9y）2＝64x2+81y2+144xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以892＝7921；故答案为：7921；（2）因为（6x+7y）2＝36x2+49y2+84xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以672＝4 489．（3）设这个两位数的十位数字为b，由题意得，2ab＝10a，解得b＝5，所以，这个两位数是10×5+a＝a+50．故答案为：a+50．34．【解答】解：（1）（x2+px+8）（x2﹣3x+q）＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q＝x4+（﹣3+p）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q，∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的结果中不含x2项和x3项，∴﹣3+p＝0且q﹣3p+8＝0，解得：p＝3，q＝1；（2）x2﹣2px+3q不是完全平方式，理由是：当p＝3，q＝1时，x2﹣2px+3q＝x2﹣6x+3，即x2﹣2px+3q不是完全平方式35．【解答】解：（1）比较2x与x2+1的大小：当x＝2时，2x＜x2+1当x＝1时，2x＝x2+1当x＝﹣1时，2x＜x2+1，故答案为：＜，＝，＜；（2）由（1）可得2x≤x2+1；故答案为：2x≤x2+1；（3）无论x取什么值，总有2x≤x2+1．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴2x≤x2+1。
北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式强化练习(含解析)
1.6完全平方公式强化练习一、单选题（共 10 小题）1、已知1x =+，1y =，则代数式222x xy y ++的值为（ ）．A ．20B ．10C ．D ．2、下列计算正确的是（ ）A ．a ·a 3=a 3B ．a 6÷a 2=a 3C ．(a 3)2=a 6D ．()222a b a b -=-3、下列计算正确的是（ ）A ．22(2)4a a -=-B ．222()a b a ab b+=++C ．22422a a a ⋅=D ．2222a a a ⋅=4、如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（ ）A ．36B ．27C ．18D ．95、若1x x-的值为1，则2215x x ++的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106、下列计算正确的是( )A ．a 3•a =a 3B ．(2a +b )2=4a 2+b 2C ．a 8b ÷a 2=a 4bD ．(﹣3ab 3)2=9a 2b 67、已知a －b ＝3，ab ＝2，则a 2＋b 2的值是( )A ．4B ．9C ．13D ．158、无论a ，b 为何值，代数式22462a b b a +++-的值总是（ ）A ．非负数B ．0C ．正数D ．负数9、有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1610、若等式()()22a b M a b -+=+成立，则M 是（ ）A ．2abB ．4abC ．－4abD ．－2ab二、填空题（共 8 小题）1、已知2310a a -+=，求441a a +的值为____．2、多项式28x x a -+是一个完全平方式，则a=_______；3、如果222220a b a b +++-=，那么31a b +-的值为______．4、若实数m ，n 满足23m n -=，则代数式2244m mn n -+的值是____．5、已知5a b +=，2219+=a b ，则a b -=______．6、已知（2021﹣a ）（a ﹣2022）＝5，则（a ﹣2021）2+（a ﹣2022）2＝_____．7、若20152017m a =+，20162017m b =+，20172017m c =+，则222a b c ab bc ca ++---的值是 _______．8、已知关于x 的代数式()219x a x -++是完全平方式，则=a ____________三、解答题（共 6 小题）1、已知228x y -=，2x y -=，求下列各式的值：（1）22x y + （2）()2x y +2、有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a 2+2ab +b 2=（a +b ）2，对于方案一，小明是这样验证的：a 2+ab +ab +b 2=a 2+2ab +b 2=（a +b ）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：3、如图①是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)观察如图②，请你写出下列三个代数式()2a b +，()2a b -，ab 之间的等量关系为______；(2)运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x 、y 为实数，且5xy =-，6-=x y ，试求x y +值；(3)如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设10AB=，两正方形的面积和1232+=，求图中阴影部分面积3S．S S4、如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+5；乙长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）．(1)图中的甲长方形的面积1S＝，乙长方形的面积2S＝，比较：1SS（填“＜”、“＝”或“＞”），并说明理由；2(2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积1S的差（即S﹣1S）是一个常数，求出这个常数．5、阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴（m2－2mn＋n2）＋（n2－8n＋16）＝0，∴（m－n）2＋（n－4）2＝0，∴（m－n）2＝0，（n－4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求x、y的值；(2)已知△АВС的三边长分别为а，b，с都是正整数，且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC的边a、b的值；(3)已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．6、若x满足(30)(10)160--=，求22x x-+-的值．(30)(10)x x-参考答案-一、单选题1、A[思路]利用完全平方公式计算即可得到答案．[详解]∵1x =，1y =-，∴x+y=∴222x xy y++=2()x y +=2=20，故选：A ．2、C[思路]根据同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，幂的乘方底数不变，指数相乘，以及完全平方公式可得答案．[详解]A 、a ·a 3=a 4，故A 计算错误；B 、a 6÷a 2=a 4，故B 计算错误；C 、(a 3)2=a 6，故C 正确；D 、()2222a b a ab b -=-+，故D 错误；故选：C ．3、C[思路]根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法进行计算，即可判断出正确答案．[详解]A 、根据积的乘方法则得（﹣2a ）2＝4a 2，∴原式错误；B 、根据完全平方公式得（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，∴原式错误；C 、根据同底数幂的乘法法则得a 2•2a 2＝2a 4，∴原式正确；D 、根据同底数幂的乘法法则得a •2a 2＝2a 3，∴原式错误；故选：C ．4、B[思路]阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可．[详解]∵a+b=ab=9，∴S=a 2+b 2-12a 2-12b （a+b ）=12（a 2+b 2-ab ）=12[（a+b ）2-3ab]= 12×（81-27）=27．故选B ．5、B[思路]把1x x-进行完全平方，展开计算221x x +的值即可.[详解]∵1x x-=1，∴21()x x-=1，∴221x x +-2=1，∴221x x +=3，∴2215x x ++=8，故选B.6、D[思路]根据同底数幂的除法、完全平方公式、单项式除以单项式进行计算即可．[详解]A. a 3•a ＝a 4，故A 错误；B. （2a ＋b ）2＝4a 2＋b 2＋4ab ，故B 错误；C. a 8b ÷a 2＝a 6b ，故C 错误；D. （﹣3ab 3）2＝9a 2b 6，故D 正确；故选：D.7、C[思路]先根据完全平方公式变形：a 2+b 2=（a-b ）2+2ab ，再整体代入求出即可．[详解]∵a-b=3，ab=2，∴a 2+b 2=（a-b ）2+2ab=32+2×2=13，故选C ．8、C[思路]把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．[详解]原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．9、B[思路]设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．[详解]设长方形的长为a，宽为b，由图1可得，（a+b）2-4ab=35，即a2+b2=2ab+35①，由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，即a2+b2=51②，由①②得，2ab+35=51，所以ab=8，即长方形的面积为8，故选：B ．10、B[详解]根据等式()()22a b M a b -+=+可得: M =()()222222224a b a b a ab b a ab b ab+--=++-+-=故选：B ．二、填空题1、47[思路]先把已知条件的两边都除以a ，然后再利用完全平方公式计算即可.[详解]∵2310a a -+=，∴130a a-+=，∴13a a+=，∴21()9a a+=，∴2212(9a a++=∴2217a a +=∴2221()49a a +=∴441249a a ++=∴44147a a +=故答案为：47.2、16[思路]根据完全平方式的形式得出a=2-82⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求出即可．[详解]∵多项式28x x a -+是一个完全平方式∴a=2-82⎛⎫ ⎪⎝⎭=16故答案为：16.3、-3[思路]将已知等式左边配方得出()()01122=-++b a ，利用非负数的性质求出a 、b ，代入31a b +-计算即可．[详解]∵222220a b a b +++-=，∴()()01122=-++b a 10a ∴+=，10b -=，1a ∴=-，1b =，∴313(1)113a b +-=⨯-+-=-,故答案为：3-．4、9[思路]先求出23m n -=，根据完全平方公式变形即可求得[详解]∵()222442m mn n m n -+=-，且23m n -=，∴23m n -=，∴()222294=2=34m mn n m n -+=-，故答案是：9．5、[思路]将5a b +=两边平方，利用完全平方公式展开，将2219+=a b 代入，可求出2ab的值．再由222()2a b a b ab -=+-可求出2()a b -的值，最后再开方即可．[详解]∵5a b +=，∴22()525a b +==，即22225a b ab ++=．将2219+=a b 代入上式，得：19225ab +=，解得：26ab =．∵222()2a b a b ab -=+-，∴可将2219+=a b 、26ab =代入上式，得：2()19613a b -=-=．∴a b -=故答案为：6、11[思路]当数据较大时，一般使用换元法，设m ＝a −2021，n ＝a −2022，则原题变为m 2＋n 2的值，再利用完全平方公式进行求解．[详解]设m ＝a −2021，n ＝a −2022，则原题变为：−mn ＝−5，即mn ＝5，求m 2＋n 2，∵m 2＋n 2＝（m −n ）2＋2mn＝[（a −2021）−（a −2022）]2＋2×5，＝（a −2021−a ＋2022）2＋10＝1＋10＝11．故答案为：11．7、3[思路]先求出1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再利用完全平方公式对原式进行变形，最后整体代入计算即可．[详解]∵20152017m a =+，20162017m b =+，20172017m c =+，∴20152016120172017m m a b -=+--=-，20162017120172017m m b c -=+--=-，20152017220172017m m a c -=+--=-，∴222a b c ab bc ca++---()222122a b c ab bc ca =⨯++---()()()22222212222a ab b b bc c a ac c ⎡⎤=⨯-++-++-+⎣⎦()()()22212a b b c a c ⎡⎤=⨯-+-+-⎣⎦()()()22211122⎡⎤=⨯-+-+-⎣⎦()11142=⨯++162=⨯3=，故答案为：3．8、5或-7##7-或5[思路]根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a 的值.[详解]()()()2221913x a x x a x -++=-++±∴-（a +1）x =2×（±3）x解得a =5或a =-7故答案为：7-或5三、解答题1、（1）2210x y +=；（2）()216x y +=[思路]（1）已知第一个等式左边利用平方差公式分解，将x-y 的值代入求出x+y 的值，再利用完全平方公式变形，即可求出所求式子的值；（2）利用求得的x+y 的值，直接利用完全平方公式即可求出所求式子的值．[详解]∵()()22x y x y x y -=-+，228x y -=，2x y -=，∴4x y +=，（1）()()22x y x y ++-()222x y =+164=+20=，∴2210x y +=；（2）∵4x y +=，∴()22416x y +==．2、见解析[思路]根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．[详解]由题意可得：方案二：a 2+ab +（a +b ）b =a 2+ab +ab +b 2=a 2+2ab +b 2=（a +b ）2，方案三：a 2+[()]2a a b b +++[()]2a a b b ++=2221122a ab b ab b ++++=a 2+2ab +b 2=（a +b ）2．3、(1)()()224a b a b ab +=-+(2)4x y +=或4x y +=-(3)图中阴影部分的面积317S =[思路]（1）通过观察图形面积可得出（a +b ）2，（a -b ）2，ab 之间的等量关系．（2）运用（1）的结果导出（x +y ）2的值，再求x +y ．（3）设AC x =，BC y =，则,CF BC y == 而10x y +=，2232x y +=，把问题转到完全平方公式中来，从而可得答案．[详解]（1）解：如图，大的正方形的面积为：()2,a b + 小的正方形的面积为：()2,a b - 4个长方形的面积为4,ab ∴ ()()224a b a b ab +=-+；（2）解：由（1）题所得()()224a b a b ab +=-+，∴()()224x y x y xy +=-+，∴当5xy =-，6-=x y 时，()()2264516x y +=+⨯-=，∴4x y +=或4x y +=-；（3）设AC x =，BC y =，则,CF BC y ==而10x y +=，2232x y +=，又由()2222x y x xy y +=++，得()()22221003268xy x y x y =+-+=-=，∴34xy =，∴图中阴影部分的面积31172S xy ==．4、(1)265m m ++,268m m ++,<，理由见解析．(2)4[思路]（1）根据长方形的面积公式列式，利用多项式乘以多项式的法则计算即可求解；（2）根据图中甲的长方形周长算出正方形的边长，后求S 与1S 的差即可求解．[详解]（1）解：（1）12S S <．理由：()()211565S m m m m =++=++，()()222468S m m m m =++=++，∴()()221265683S S m m m m -=++-++=-，∴12S S <．故答案为：265m m ++,268m m ++,<．（2）图中甲的长方形周长为2（m ＋5＋m ＋1）＝4m ＋12，∴该正方形边长为m ＋3，∴()()()()2222136569654S S m m m m m m m -=+-++=++-++=，∴这个常数为4．5、(1)3x =-，=3y -．(2)5a =，6b =(3)8[思路]（1）根据2222690x xy y y -+++=，利用完全平方公式的方法，整理出22()(3)0x y y -++=，即可求出x 、y 的值各是多少；（2）根据221012610a b a b +--+=，利用完全平方公式的方法，整理出22(5)(6)0a b -+-=，求出a 、b 的值各是多少；（3）根据8a b -=，216800ab c c +-+=，利用完全平方公式的方法，判断出22(4)(8)0a c -+-=，求出a 、c 、b 的值各是多少；然后把a 、b 、c 的值求和，求出a b c ++的值．[详解]（1）解：2222690x xy y y -+++= ，222(2)(69)0x xy y y y ∴-++++=，22()(3)0x y y ∴-++=，0x y ∴-=，30y +=，3x ∴=-，=3y -．（2）解：221012610a b a b +--+= ，22(1025)(1236)0a a b b ∴-++-+=，22(5)(6)0a b ∴-+-=，50a ∴-=，60b -=，5a ∴=，6b =．（3）解：8a b -= ，216800ab c c +-+=，2(8)16(8)0a a c ∴-++-=，22(4)(8)0a c ∴-+-=，40a ∴-=，80c -=，4a ∴=，8c =，8484b a =-=-=-，4488a b c ∴++=-+=，即a b c ++的值是8．6、80[思路]设30x a -=，10x b -=，再表示出ab ，a+b ，然后根据222()2a b a b ab +=+-，代入计算即可．[详解]设：30x a -=，10x b -=，所以160ab =，20a b +=，则2222()220216080a b a b ab +=+-=-⨯=．所以22(30)(10)80x x -+-=．。
北师大版七年级数学下册 1.6 完全平方公式 同步测试题(有答案)
1.6 完全平方公式同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 用配方法将二次三项式a2−4a+5变形，结果是（）A.(a−2)2+1B.(a+2)2−1C.(a+2)2+1D.(a−2)2−12. 若x2−kx+9是一个完全平方式，则k的值为（）A.−3B.−6C.±3D.±63. 用完全平方公式计算79.82的最佳选择是（）A.(80−0.2)2B.(100−20.2)2C.(79+0.8)D.(70+9.8)24. 如果4x2−ax+9是一个完全平方式，则a的值是()A.±6B.6C.12D.±125. 如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（）A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a−b)2=a2−2ab+b2C.a2−b2=(a+b)(a−b)D.(a+b)2=(a−b)2+4ab6. 用1张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b(b>a)的矩形纸片，4张边长为b的正方形纸片，正好拼成一个大正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的大正方形边长为（）A.a+b+2abB.2a+bC.a2+4ab+4b2D.a+2b7. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲、乙我们可以得数学公式是（）A.a2−b2=(a+b)(a−b)B.(a±b)2=a2±2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+b2=(a+b)(a−b)8. 下列各式中与2nm−m2−n2相等的是（）A.(m−n)2B.−(m−n)2C.−(m+n)2D.(m+n)29. 若实数x、y、z满足(x−z)2−4(x−y)(y−z)=0，则下列式子一定成立的是()A.x+y+z=0B.x+y−2z=0C.y+z−2x=0D.z+x−2y=010. 如图，从边长为(a+4)的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为()A.3a+15B.6a+9C.2a2+5aD.6a+15二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 已知a+1a =4，则a2+1a2=________．12. 若x2−8x+m2是一个整式的完全平方，则常数m=________.13. 如图中的四边形均为长方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：________．14. 若y2−8y+m−1是完全平方式，则m的值为________．15. 观察右边的图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来进行乘法运算的公式，这个公式是________．16. 已知a+b=2，ab=−1，则3a+ab+3b=________；a2+b2=________．17. 如果x+y=6，xy=7，那么x2+y2=________．18. 已知a+b＝3，则a2−b2+6b的值为________．19. 若4x2+mxy+y2是一个完全平方式，则m=________．20. 我们已经学过用面积来说明公式．如x2+2xy+y2=(x+y)2就可以用如图甲中的面积来说明．请写出图乙的面积所说明的公式：x2+(p+q)x+pq=________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知a+b=1，ab=−6，求下列各式的值．(1)a2+b2；(2)(a−b)2.22. 已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足(x−y)2−2x+ 2y+1=0，求其面积．23. 有-块边长为a m的正方形空地，现准备将这块空地的四周均留出b m宽修筑围坝，中间建喷水池．请计算出喷水池的面积．24. 用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两直角边分别是a、b(a>b)，斜边长为c，请解答：（1）图2中间小正方形的周长________，大正方形的边长为________．（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c）S＝________．（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式________．（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：已知直角三角形的两条腿直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值、25. 如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为m 厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m>n．（1）用含m、n的代数式表示切痕的总长为________厘米；（2）若每块小矩形的面积为34.5厘米2，四个正方形的面积和为200厘米2，试求m+n的值．26. 图1、图2分别由两个长方形拼成．（1）图1中图形的面积为a2−b2，图2中图形的面积为(a−b)×(________)；（用含有a、b的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式：________；（3）根据你得到的等式解决下列问题：①计算：68.52−31.52②若m+4n＝2，求(m+1)2+(2n+1)2−m2−(2n−1)2的值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【解答】解：∵ a2−4a+5=a2−4a+4−4+5，∵ a2−4a+5=(a−2)2+1．故选A.2.【答案】D【解答】解：∵ x2−kx+9是一个完全平方式，∵ k=±6，故选D3.【答案】A【解答】略4.【答案】D解：∵ (2x±3)2=4x2±12x+9=4x2−ax+9，∵ a=±2×2×3=±12．故选D．5.【答案】D【解答】解：由图形可得：大正方形的边长为：(a+b)，则其面积为：(a+b)2，小正方形的边长为：(a−b)，则其面积为：(a−b)2，长方形面积为：ab，故(a+b)2=(a−b)2+4ab．故选D.6.【答案】D【解答】解：1张边长为a的正方形纸片的面积是a2，4张边长分别为a、b(b>a)的矩形纸片的面积是4ab，4张边长为b的正方形纸片的面积是4b2，∵ a2+4ab+4b2=(a+2b)2，∵ 拼成的正方形的边长最长可以为(a+2b)．故选：D．7.【答案】B解：图甲可得(a+b)2=a2+2ab+b2，图乙可得(a−b)2=a2−2ab+b2．故选B．8.【答案】B【解答】解：原式=−(m2+n2−2mn)=−(m−n)2．故选B．9.【答案】D【解答】解：∵ (x−z)2−4(x−y)(y−z)=0，∵ x2+z2−2xz−4xy+4xz+4y2−4yz=0，∵ x2+z2+2xz−4xy+4y2−4yz=0，∵ (x+z)2−4y(x+z)+4y2=0，∵ (x+z−2y)2=0，∵ z+x−2y=0．故选D.10.【答案】D【解答】解：矩形的面积(a+4)2−(a+1)2=a2+8a+16−a2−2a−1=6a+15．故选D．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】14【解答】=4，解：∵ a+1a)2=16，∵ (a+1a=16，∵ a2+2+1a=14．∵ a2+1a2故答案为14．12.【答案】±4【解答】解：∵ (x−4)2=x2−8x+16，x2−8x+m2是一个整式的完全平方，∵ m2=16，解得m=±4.故答案为：±4.13.【答案】(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn【解答】由图形面积的不同计算方法可得，(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn；14.【答案】17【解答】解：∵ y2−8y+m−1=y2−2×4y+m−1，∵ m−1=42，解得m=17．故答案为：17．15.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2【解答】解：由图知，大正方形的边长为a+b，∵ 大正方形的面积为，(a+b)2，根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，两个长为b，宽为a的长方形，∵ 大正方形的面积等于这四部分面积的和，∵ (a+b)2=a2+2ab+b2，故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2．16.【答案】5,6【解答】解：∵ a+b=2，ab=−1，∵ 3a+ab+3b=3a+3b+ab=3(a+b)+ab=3×2+(−1)=5；a2+b2=(a+b)2−2ab=22−2×(−1)=6．故答案为：5；6．17.【答案】22【解答】解：将x+y=6两边平方得：(x+y)2=x2+y2+2xy=36，把xy=7代入得：x2+y2+14=36，则x2+y2=22．故答案为：22.18.【答案】9【解答】a2−b2+6b＝(a+b)(a−b)+6b＝3(a−b)+6b＝3a+3b＝3(a+b)＝9．19.【答案】±4【解答】解：∵ 4x2+mxy+y2=(2x)2+mxy+(±y)2，∵ mxy=±2×2x×y，解得m=±4．故答案为：±4．20.【答案】(x+p)(x+q)【解答】解：根据题意可知，x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．故答案为：(x+p)(x+q)．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：(1)∵ a+b=1，ab=−6，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=12−2×(−6)=13.(2)∵ a+b=1，ab=−6，∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=12−4×(−6)=25.【解答】解：(1)∵ a+b=1，ab=−6，∴ a 2+b 2=(a +b )2−2ab =12−2×(−6)=13.(2)∵ a +b =1，ab =−6，∴ (a −b )2=(a +b )2−4ab =12−4×(−6)=25.22.【答案】长方形的面积为634cm 2． 【解答】解：由题意得：2(x +y)=16，解得：x +y =8①；∵ (x −y)2−2x +2y +1=(x −y)2−2(x −y)+1=(x −y −1)2=0， ∵ x −y =1②．联立①②成方程组{x +y =8x −y =1， 解得：{x =92y =72， ∵ 长方形面积S =xy =92×72=634cm 2．23.【答案】 (a 2−4ab +4b 2)m 2或(a −2b)2m 2．【解答】解：喷泉水池的面积为：a 2−4ab +4b 2或(a −2b)2．24.【答案】4c,4a+4c(a+b)2或2ab+c2a2+b2＝c2∵ c2＝a2+b2＝82+62＝100，∵ c＝10（负值不合题意，舍去）．【解答】图2中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为4a+4b，故答案为：4c；4a+4b；图2正方形的面积S＝(a+b)2或S＝2ab+c2，故答案为：(a+b)2或2ab+c2；∵ (a+b)2＝a2+2ab+b2，∵ a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2∵ c2＝a2+b2＝82+62＝100，∵ c＝10（负值不合题意，舍去）．25.【答案】(6m+6n)；（2）依题意得，2m2+2n2=200，mn=34.5，∵ m2+n2=100，∵ (m+n)2=m2+2mn+n2，∵ (m+n)2=100+69=169，∵ m+n>0，∵ m+n=13．【解答】解：（1）根据已知图象切痕如图虚线所示直接得出：切痕的总长为(6m+6n)；（2）依题意得，2m2+2n2=200，mn=34.5，∵ m2+n2=100，∵ (m+n)2=m2+2mn+n2，∵ (m+n)2=100+69=169，∵ m+n>0，∵ m+n=13．26.【答案】a+ba2−b2＝(a+b)(a−b)①68.52−31.52＝(68.5−31.5)(68.5+31.5)＝37×100＝3700；②(m+1)2+(2n+1)2−m2−(2n−1)2＝[(m+1)2−m2]+[2n+1)2(2n−1)2]＝[(m+1−m)(m+1+m)]+[(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)]＝2m+1+8n＝4+1＝5．【解答】图1中图形的面积为a2−b2，图2中图形的面积为(a−b)×(a+b)，故答案为：a+b；根据两个图形的面积相等可得a2−b2＝(a−b)(a+b)，故答案为：a2−b2＝(a−b)(a+b)；①68.52−31.52＝(68.5−31.5)(68.5+31.5)＝37×100＝3700；②(m+1)2+(2n+1)2−m2−(2n−1)2＝[(m+1)2−m2]+[2n+1)2(2n−1)2]＝[(m+1−m)(m+1+m)]+[(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)]＝2m+1+8n＝4+1＝5．。
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《完全平方公式》习题
一、选择题
1.下列等式成立的是( )
A.（-1）3=-3
B.(-２)２×(－2)3=(-2)6
C.2a-a=２
D.(x-２）2=x2-４ｘ＋4
2．若(２x-5ｙ)２=（２x＋5ｙ)2＋m,则代数式ｍ为( ）A.-20ｘy B.2０ｘyＣ.４０xyＤ.－4０xy
3．下列计算中，正确的是( )
A.x2•x5=ｘ10
B．3a＋5b＝８ａｂ
C.（a+ｂ）2＝ａ2+b2
D.（-ｘ）6÷(-x)４=ｘ2
4．下面各运算中,结果正确的是（）
A．2a３＋3a3=5a6
Ｂ．-a2•ａ3=ａ５
C.(a+b)（-a-b）=a2－b２
D.（－a-b）2=a2+2ab+b２
5．若m＋n=３，则2ｍ２＋４ｍn+２n2-6的值为( )
A．12 B.6 C.３Ｄ.０
６.不论x,ｙ为何有理数，x2+ｙ2－10x+8y+４5的值均为( ) A．正数 B.零 C.负数Ｄ.非负数
二、填空题
7．已知:a－b=3，ab=1,则a2-3ａｂ＋ｂ2=_____．
８.若ａ+b=4，则ａ２+２ａb+b2的值为_____．
９．若a2ｂ2+a2+ｂ2+1-2ａｂ＝２ab,则a+b的值为____＿.
10.填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2.
三、解答题
11.已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小,并说明理由．12．已知(a+b)2＝2４，（a－b)2=２0,求:ﻫ(1)aｂ的值是多少？ﻫ(2)a2+b２的值是多少? 13.已知2(x+ｙ)=-6,xy=1,求代数式（ｘ＋2)-(3xy－y)的值.
14．计算：30.2×29.8①ﻫ；512×46②ﻫ；2052③ﻫ.
１5．计算：(ａ-2b+3c)(a+2b-3ｃ).
参考答案
一、选择题
1.答案：D
解析：【解答】Ａ:（-1)３=（-1）×(-1）×（-1)=-1，故选项A错误；。