不等式选讲之不等式证明与数学归纳法课后限时作业(五)带答案人教版高中数学真题技巧总结提升
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法课后限时作业(二)带答案人教版高中数学
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z ++≤++.2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++=的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．5．（汇编年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.6．1 ．（汇编年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 7．已知非负实数x ，y ，z 满足41332222=+++++z y x z y x ，求z y x ++的最大值.8．设d c b a ,,,都是正数，且22b a x +=，22d c y +=． 求证：))((bc ad bd ac xy ++≥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题 1．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分2．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3． 略4． 选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分 由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．5．6．当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<, 设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<. (Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43]. 7．8．。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法课后限时作业(二)带答案人教版高中数学真题技巧总结提升
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z++≤++.评卷人得分二、解答题3．解不等式x |x －4|－3＜0．4．若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ，证明2332321<-++++x x x5．设c b a ,,均为正数，证明：c b a ac c b b a ++≥++222.6．解关于x 的不等式 ()2||60x x a a a -≤> ．7．已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求313131a b c +++++的最大值.8．设a ∈R 且2,a ≠-比较22a+与2a -的大小．2．（不等式选讲选做题）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．22．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分 解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分 评卷人得分二、解答题3． 选修4—5：不等式选讲 解原不等式等价于⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．…………………… 5分 解得⎩⎨⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3． 即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．综上，原不等式的解集为{x | x ＜1或3＜x ＜2＋7}． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 4．证明：由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦…………………7分 又12,23x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以1232332x x x ++++-<.…………………10分 25．选修4—5 不等式证明选讲 证明：)()()(222222a ac c c b b b a c b a a c c b b a +++++=+++++ 3分c b a 222++≥ 9分 即得c b a ac c b b a ++≥++222.10分另证 利用柯西不等式.232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++≤++取a b c b b b ac a cb a ba a ======321321,,,,,代入即证.6．选修4－5：不等式选讲解：当x a ≥时，原不等式化为22,60,x a x ax a ≥⎧⎨--≤⎩ 解得3a x a ≤≤．……………4分 当x a <时，原不等式化为22,60,x a x ax a <⎧⎨-+-≤⎩解得x a <．……………8分 故原不等式的解集为(],3a -∞ ． ……………10分 7．运用柯西不等式2(313131)a b c +++++2(131131131)a b c =⋅++⋅++⋅+ .....................2分 222222(111)[(31)(31)(31)]a b c ≤+++++++ (8)分＝3[3（a+b+c ）+3]=36 所以3131316a b c +++++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，故所求式子的最大值是6. (10)分 8．22a+-(2a -)=22a a +,………………………………………………3分当2a >-且0a ≠时,∵202a a>+,∴22a+>2a -． ………………6分当0a =时, ∵ 202a a =+,∴22a+=2a -． …………………………7分当2a <-时,∵ 202a a<+,∴22a+<2a -．………………………… 10分。
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得分
一、填空题
1．2
2．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分
解析：证明:由柯西不等式得 ……………5分
则 ,即 …………10分
评卷人
得分
二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
解原不等式等价于 或 ……………………5分
解得 或
即4≤x＜2＋ 或3＜x＜4或x＜1．
综上，原不等式的解集为{x|x＜1或3＜x＜2＋ }．…………………10分
当 且 时,∵ ,∴ ．………………6分
当 时,∵ ,∴ = ．…………………………7分
当 时,∵ ,∴ ．…………………………10分
故原不等式的解集为 ．……………10分
7．运用柯西不等式
…………………2分
……………………………………8分
＝3[3（a+b+c）+3]=36
所以 ，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，故所求式子的最大值是6.……………………………………………………………………………………10分
8． -( )= ,………………………………………………3分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．
4．证明：由柯西不等式可得
…………………7分
又 ，所以 .…………………10分
2
5．选修4—5不等式证明选讲
证明： 3分
9分
即得 . 10分
另证利用柯西不等式
取 代入即证.
6．选修4－5：不等式选讲
解：当 时，原不等式化为 解得 ．……………4分
当 时，原不等式化为 解得 ．……………8分
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不等式选讲之不等式证明与数学归纳法课后限时作业(一)附答案人教版高中数学高考真题汇编
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz
+=
的最小值为________
2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++=
的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法课后限时作业(三)含答案人教版高中数学考点大全
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2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式
211
x --≤的解集为_________ 2．考察下列一组不等式：33224433
252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
已知：2a x ∈≥，R ．
求证：|1|||x a x a -++-≥3．
证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，
所
以|x a -+≥|．…………………………………………。
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高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______. 评卷人得分 二、解答题3．(选修4-5：不等式选讲）设R x y ∈，，z ，且满足：222++z 1x y =，2314x y ++=z ，求证：3147x y z ++=. [必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.4．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++≥++. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z +=+≥， 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z y z z x x y x y z++++≥． ………10分 5．已知,,a b c 为实数，且2,a b c ++=求证：222112497a b c ++≥6．已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mb a mb mm++≤++．7．设实数,,x y z 满足26x y z ++=，求222x y z ++的最小值，并求此时,,x y z 的值．8．已知,,,a b x y R +∈且11a b>，x y >。
求证：x y x a y b >++ 本题三种方法：作差比较；分析法；或构造函数()x f x x a=+皆可。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法课后限时作业(四)带答案新教材高中数学
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z+++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分二、解答题3．选修4—5：不等式选讲设函数()|21|f x x =-，()|4|g x x =-，且()1f x ≤，()2g y ≤． （1）解不等式()()5f x g x +≤；（2）求证：|23|3x y -+≤．4．已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．5．设,,a b c 均为正实数，求证：111111222a b c b c c a a b+++++++≥．6．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．7．设123a a a ，，均为正数，且123a a a m ++=，求证1231119.a a a m++≥ 【证明】因为123111()m a a a ++g 123123111()()a a a a a a =++++33123123111339a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=≥， 当且仅当1233m a a a ===时等号成立． 又因为1230m a a a =++>， 所以1231119.a a a m++≥ ……………10分 8．证明：+01n n C C +122n n C C +233n n C C 1-+n n n n C nC 2)1(+=n n ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．[]0,42． 评卷人得分 二、解答题3． （1）解：|21||4|5x x -+-≤ 则121245x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-⎩≤或者1422145x x x ⎧⎪⎨⎪-+-⎩≤≤≤或者 4<x 2x -1+x -4≤5ìíïîï， 解不等式组得12x <≤0或者122x ≤≤或者x φ∈. 所以不等式的解集为[0,2]. ……………………………………5分（2）证明：因为|21|1x -≤，|4|2y -≤，则|23||(21)(4)||21||4|123x y x y x y --=----+-+=≤≤，故|23|3x y --≤. ……………………………………10分4． 由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤， 即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即22x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 25．选修4－5：不等式选讲解： ∵,,a b c 均为正实数，∴b a ab b a +≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+121212121，当b a =时等号成立；则c b bc c b +≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+121212121，当c b =时等号成立； ac ca a c +≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+121212121，当a c =时等号成立；三个不等式相加得， ba a c cbc b a +++++≥++111212121，当且仅当c b a ==时等号成立．……………10分．6．（选修4－5：不等式选讲）（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分 （2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分 7．8． （第22题A B C A 1 B 1 C 1 M N x yzO。
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式
211
x --≤的解集为_________ 2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z
+++的最大值是22. 提示：2222112222
x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分
二、解答题
3．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）
已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c
+++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
4．2 ．（汇编年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲
已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法课后限时作业(五)带答案高中数学
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z++≤++.评卷人得分 二、解答题3．2 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.4．已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5．设123,,a a a 均为正数, 且123a a a m ++=, 求证:12233111192a a a a a a m++≥+++.6．已知a 、b 、c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c． 7．若2294 132y x y x +=+求，的最小值，并求相应的x 、y 的值。
8．设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．[]0,4 2．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分 解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分 评卷人得分 二、解答题 3．解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为34．由柯西不等式，222222211()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥，当且仅当2311123x y z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分5．证明: 因为122331111()a a a a a a +++++122331[()()()]a a a a a a ⋅+++++ 31223311113a a a a a a ≥⋅⋅+++·31223313()()()a a a a a a +⋅+⋅+=9……………………………… 6分 当且仅当1233m a a a ===时等号成立, 则由122331111()a a a a a a +++++29m ⋅≥, 知12233111192a a a a a a m++≥+++………………………………………………………………… 10分(注: 此题也可以用柯西不等式证明)6．证明：由⎝⎛⎭⎫a b －b c 2+ ⎝⎛⎭⎫b c －c a 2+ ⎝⎛⎭⎫c a －a b 2≥0，得 2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)－2(a b ＋b c ＋c a )≥0，∴a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．……………………10分7．（D ）解：由柯西不等式()()()132119422222=+≥++y x y x 219422≥+∴x x 当且仅当 y x y x 321312=⋅=⋅即时取等号 …………………………………………8分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=6141 132,32y x y x y x 得 …………………………………………………………10分8．证明： ∵a 、b 、c 均为实数， ∴21（a 21＋b 21）≥ab21≥b a +1，当a =b 时等号成立；……………………4分 21（b 21＋c 21）≥bc21≥c b +1，当b =c 时等号成立；……………………6分 21（c 21＋a 21）≥ca21≥a c +1．……………………8分 三个不等式相加即得a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1， 当且仅当a =b =c 时等号成立. ……………………10分。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法课后限时作业(三)带答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 评卷人得分 二、解答题3．（本小题满分10分，不等式选讲）已知：1a b c ++=，,,0a b c >．(1)求证：127abc ≤； (2)求证：2223a b c abc ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．5．选修4—5：不等式选讲设函数()|21|f x x =-，()|4|g x x =-，且()1f x ≤，()2g y ≤．（1）解不等式()()5f x g x +≤；（2）求证：|23|3x y -+≤．6．设c b a ,,均为正数，证明：c b a ac c b b a ++≥++222.7．已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求313131a b c +++++的最大值.8．已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<， 求证：22cos sin a b c θθ+<.（选修4—5：不等式选讲）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．；2．[]0,4 评卷人得分二、解答题 3． 证明：（1）33a b c abc ++≥⋅，而1a b c ++=127abc ⇒≤，当且仅当13a b c ===时取“=”. ………………5分 （2）柯西不等式222211()33a b c a b c ++≥++=，由（1）知313abc ≤ 2223a b c abc ∴++≥，当且仅当a b c ==时取“=”. ………………10分4． 选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分 =(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分 ∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分 从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分5． （1）解：|21||4|5x x -+-≤则121245x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-⎩≤或者1422145x x x ⎧⎪⎨⎪-+-⎩≤≤≤或者 4<x 2x -1+x -4≤5ìíïîï， 解不等式组得12x <≤0或者122x ≤≤或者x φ∈.所以不等式的解集为[0,2]. ……………………………………5分（2）证明：因为|21|1x -≤，|4|2y -≤，则|23||(21)(4)||21||4|123x y x y x y --=----+-+=≤≤，故|23|3x y --≤. ……………………………………10分6．选修4—5 不等式证明选讲证明： )()()(222222a ac c c b b b a c b a a c c b b a +++++=+++++ 3分 c b a 222++≥ 9分即得c b a a c c b b a ++≥++222. 10分另证 利用柯西不等式.232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++≤++ 取a b c b b b a ca c ba b aa ======321321,,,,,代入即证.7．运用柯西不等式2(313131)a b c +++++2(131131131)a b c =⋅++⋅++⋅+ …………………2分 222222(111)[(31)(31)(31)]a b c ≤+++++++ ……………………………………8分＝3[3（a+b+c ）+3]=36 所以3131316a b c +++++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，故所求式子的最大值是6. ……………………………………………………………………………………10分8．(不等式证明选讲)由柯西不等式可得22cos sin a b θθ+ 11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ≤++………………………………(6分)1222(cos sin ).a b c θθ=+<……………………………………………………(10分) (其它证法酌情给分。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法强化训练专题练习(五)附答案人教版高中数学
即证 ，即证 ，而 显然成立，故 …10分
8．（选修4—5：不等式选讲）
证明：（Ⅰ）因为 ，利用柯西不等式，得 ，
所以 ．……………………………………………………………………5分
(Ⅱ）由（Ⅰ），函数 ，
所以函数 的最小值为25，当且仅当 时取得．……………10分
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3× ＋2× ＝1．
即|x＋5y|≤1．………………………………………10分
4．选修4-5：不等式选讲
解不等式 .
综上所述，不等式 的解集为 .…………………………10分
5．已知x，y且 =1，求证：
7．已知 ，求证： ．
提示： .
评卷人
得分
二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
已知x，y R，且|x＋y|≤ ，|x－y|≤ ，求证：|x＋5y|≤1．
证：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|．………………………………………5分
由绝对值不等式性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．．（汇编年高考湖北卷（理））设 ,且满足: , ,则 _______.
2．若 为正实数，则 的最大值是 .
8．已知实数 ．
(Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求函数 的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法晚练专题练习(三)含答案人教版高中数学高考真题汇编
当且仅当a=b=c时等号成立.……………………10分
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评卷人
得分
一、填空题
1．．（汇编年高考湖北卷（理））设 ,且满足: , ,则 _______.
2．若 为正实数，则 的最大值是 .
(Ⅰ）若 ,求证: ；(5分)
(Ⅱ）若 ,求 的最小值.(5分)
7．已知 为正数，且满足 ，求证：
8．设a、b、c均为实数，求证： + + ≥ + + .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、填空题
1．
2．
评卷人
得分
二、解答题
3．
4．
∴ ,………………………………………………………………2分
且 ，即 ， ,……………………………………………………5分
∴ ,
当且仅当 时，等号成立．…………………………………………………………………10分
5．因为 ，所以 ，所以要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，而 显然成立，故 …10分
6．（1）证明：因为
所以 ≤3 …………5分
(2）解：因为(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+ 2y+3z)2=36…………8分
提示： .
评卷人
得分
二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
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得分 一、填空题
1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；
2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z
+++的最大值是22. 提示：2222112222
x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分
二、解答题
3．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1，求111a b c +++++的最大值．
4．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲。
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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
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得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:222
1x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.
2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z
++≥++. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数．所以
12()x y x y yz zx z y x z +=+≥， 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y ++≥，≥，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．。
不等式选讲之不等式证明与数学归纳法晚练专题练习(五)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
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得分 一、填空题
1．若,,x y z 为正实数，则222
xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222
x y y z xy yz +++≥+. 2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅
5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．（汇编年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲
已知函数()f x x a =-,其中1a >.
(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;。
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得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z
+++的最大值是22. 提示：2222112222
x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分
二、解答题
3．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）
已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c
+++++≥． 4．2 ．（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.
已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 2
23322-≥-
[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5．已知x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y
+
+-+≥．
6．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且2221,1a b c a b c ++=++=，求证：413
a b <+<
7．已知,x y 均为正实数，求证：
1144x y +≥1x y +。
8．已知,,x y z 均为实数.
(Ⅰ）若1x y z ++=,求证:
31323333x y z +++++≤；(5分) (Ⅱ）若236x y z ++=,求222x y z ++的最小值.(5分)
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评卷人
得分 一、填空题
1．2
2．
评卷人
得分 二、解答题
3． （选修4-5：不等式选讲）
证法一：因为
a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………………2分
因为
13111()abc a b c -++≥3，所以2
23111(()abc a b c
-++)≥9 ．…………………………………5分 故22222233111(()()a b c abc abc a b c
-++++++)≥39． 又32
233()9()22763abc abc -+=≥，所以原不等式成
立．…………………………………10分
证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．
所
以2a b ++++≥．……………………………………………………………………2分 同理2211a b ++++≥，…………………………………………………………………5分
所以2222111333(63a b c ab bc ca a b c ab bc ca
++++++++++)≥≥． 所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分
4．D 证
明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ()
)(22222b a b b a a --- ()
)2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=
又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,
∴0)2)()((≥--+b a b a b a
∴0222
233≥---b a ab b a
∴b a ab b a 223322-≥-
5． 6．因为a ＋b ＝1－c ，ab ＝222()()2
a b a b +-+＝c 2－c ， ………………………3分
所以a ，b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，
则△＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，得－13
＜c ＜1， ………………………5分 而(c －a )(c －b )＝c 2－(a ＋b )c ＋ab ＞0，
即c 2－(1－c )c ＋c 2－c ＞0，得c ＜0，或c ＞23
， …………………………8分 又因为a b c >>，所以0c <．所以－
13
＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43． …………10分
7． 8．（1）证明：因为2222
(313233)(111)(313233)27x y z x y z +++++≤+++++++= 所以313233x y z +++++≤33 …………5分 (2）解：因为(12+22+32)(x 2 + y 2 + z 2)≥(x + 2y +3z )2=36 …………8分 即14(x 2 + y 2 + z 2)≥36，所以x 2 + y 2 + z 2的最小值为
187 …………10分。