抗震第三章

t r 2 为共轭复数 x（t） e （ A cost B sin t） 1， r1 、
1 2

则 A= x0
初始条件:
初始位移 x 0 x(0)
体系产生振动 ——欠阻尼状态
初始速度v0
B
v0 x0
体系自由振动位移时程
t
上式称为杜哈默(Duhamel)积分，它就是所求的特解
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
方程通解（单自由度体系）： 体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）
初位移、初速度引起 迅速衰减，可不考虑
地面运动 引起
x(0) x(0) t x（t） e sin ' t x( 0 ) cos ' t ' 1 t （t ） x （ ） e sin （t ）d 0 0

3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
方程的解：
特征方程 r 2 2 r 2 0 若 特征根
r1 2 1 r2 2 1
1 2 0
体系不振动 ——临界阻尼状态
建筑结构抗震设计
第三章 思考题-1
1、如何考虑地震对结构的影响？ 2、何谓作用？分为几类？地震作用属于哪一类？ 3、何谓地震作用效应？ 4、何谓结构地震反应？影响结构地震反应的因素有哪些？ 5、单自由度体系与单质点体系有何区别？
第三章 结构地震反应 分析与抗震计算
§3.1 概述
第三章、结构地震反应分析和抗震验算
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
例题3-1 已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。
m 10000kg， k 1kN/cm
求该结构的自振周期。
h h
m 解：直接由式 T 2 k
并采用国际单位可得:
(a) 水塔
2
m 10000 T 2 2 1 . 99 s k 1 10 3 / 10 2
m 2 对单自由度弹性体系 T k
ω=2π/T=2πf
2
1 2 0
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
有、无阻尼体系自振周期 对单自由度弹性体系
m T 2 k
ω=2π/T=2πf
2
单位：m (kg)，k (N/m) 问题：影响结构刚度的因素有哪些？
k m
2
——固有频率

m k
1 2
——固有周期
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
有阻尼体系
0 1
自振的振幅将不断衰减，直至消失

T 2 /
对于实际的房屋结构，阻尼比ζ 一般为0.01～0.1，通常取ζ =0.05，此时 ω’=0.99875ω≈ω，在实际计算中可近似地取ω’=ω ，也就是说，在计算结 构体系的自振圆频率或自振周期时，可不考虑阻尼的影响。
(b) 厂房 厂房 (b) d、烟囱
(c) 多、高层建筑 c) 多、高层建筑 主要质量：楼盖部分
(d) 烟囱 烟囱 (d) 结构无主要质量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
多质点体系
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3.2.2运动方程
作用在质点上的三种力：
惯性力 I 、弹性恢复力S、阻尼力D
x0
D I
＊惯性力
0 (t ) (t ) I m x x
v x0 x（t） e （x0 cos t sin t）
t
则可得：
x（t） e t
Pdt sin t m
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
3.2.4.2 杜哈默积分----微分方程的特解
x（t） e t
地面运动随机、不规则
结构动力特性：自振周期，振型和阻尼
由不同构件组成的空间结构动力特性复杂
3.1概述
第三章、结构地震反应分析和抗震验算
四、结构地震反应分析（求解）方法
目前在工程上求解结构地震反应的方法主要有两类： 1）、拟静力方法 ----或称等效荷载法，即通过反应谱理论将地震对房屋结 构的影响，用等效的荷载来反映（即根据地震引起的房屋 结构的最大加速度反应求出的惯性力。 2）、直接动力法 ----即在选定的地震地面加速度作用下，用数值积分的方法 直接求解结构体系在地震时运动微分方程，求出结构地震 反应与时间变化的关系，得出所谓时程曲线，故此法亦称 时程分析法。
t
则只要找到非齐次微分方程的一个特解，就可得到其通解
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
3.2.4.1 瞬时冲量及其引起的自由振动 根据动量定理，Pdt= mv-mv0，
设体系原先处于静止状态，质点的初位移和初速度均为零，
故得 v= Pdt/m，x0=0
且在小阻尼情况之下：
0 1
则 A= x0
体系自由振动位移方程
t x（t） e （ x0 cos t
v0 x0 sin t）
自由振动为简谐振动
当
0（无阻尼） x(t ) x0 cos t


T 2

0 x
sin t 无阻尼单自由度体系
建筑结构抗震设计
第二章 重 点
一、概念解释 场地、场地土、覆盖层厚度、场地土的液化 二、简答 1、场地选择的原则？ 2、场地土分几类？如何划分的？ 3、如何确定场地类别？ 4、液化指数的作用？ 5、场地土液化产生的震害？ 6、怎样进行天然地基的抗震验算？ 三、计算 1、会判定建筑场地的类别? 2、掌握液化判别的程序，会进行初步判别？
3.1概述
§3.2 单自由度弹性体系 的地震反应分析
3.2.1 结构动力计算简图及体系自由度
描述结构质量的两种方法
1. 连续化描述（分布质量）
2. 集中化描述（集中质量）
工程上常用
采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）： 定出结构质量集中 位置（质心）
将区域主要质量集中在质心； 将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去
令
k c 2m m
( t ) 2ω x （t）ω 2 x（t） x x （ 0 t）
ω——体系的圆频率；ζ ——体系的阻尼比 上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程。它的解包含两部分：一 是对应于齐次微分方程的通解，另一个是特解。前者表示自由振动，后 者表示强迫振动。
Pdt sin t m
(t ) 2ω x （t） x ω 2 x（t） x （ 0 t）
x （ 在t=τ时，此一瞬时荷载为 ，其作 0 ） x （ 用时间为dτ，则瞬时冲量为 0 ）d
体系由这一瞬时冲量所引起的位移 微分位移为：
3.1概述
第三章、结构地震反应分析和抗震验算
二、地震作用效应
地震作用在结构中所产生的内力和变形，主要有弯矩、 剪力、轴力和位移。
三动引起的结构振动，包括 结构内力、变形、位移及结构运 动速度与加速度等 地震作用的大小、随时间的变异特性 2、结构地震 反应影响因素
S
＊弹性恢复力 ——由结构弹性变形产生
S=-kx(t)
＊阻尼力
k —— 体系刚度
——由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运动的阻碍造成
（t） D cx
C —— 阻尼系数
力的平衡条件：
I+D+S=0，
x0
D
S
I
t） （t） m x （ cx kx（t） m x （ 0 t）
集中化描述举例
a、水塔建筑 b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）
h
h h
主要质量：水箱部分 次要质量：塔柱部分 水塔 水箱全部质量 部分塔柱质量 集中到水箱质心
(a) 水塔
(b) 厂房
主要质量：屋面部分 集中到各跨屋盖标高处 厂房
厂房各跨质量 (b)
单质点体系 (c) 多、高层建筑
(d) 烟囱
集中化描述举例 (a) 水塔 (a) 水塔 c、多、高层建筑
v0 x0 x（t） e （x0 cos t sin t）
t
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
方程的解：
若
体系自由振动 ——无阻尼状态
0
x（t） A cost B sin t
无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动
1 2
当体系初始处于静止状态时，即初速度v0和初位移x0均为零，
1 t （t ） x（t） x （ ） e sin （t ）d 0 0
杜哈梅积分也就是初始处于静止状态的单自由度体系地震位移反应的计算公式
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
§3.3 单自由度弹性体系的 水平地震作用及其反应谱
3.3.1水平地震作用的基本公式
（t） m x （ x 质点所受最大惯性力，即 F（t） 0 t）
（t） （t） cx F（t） m x （ x kx（t） 0 t）
0 位移最大 x
c x(t ) kx(t )
kx （t）
k 2 a(t ) x （ t ） x （ t ） x （ t ） x（t） 0 m t 1 t （t ） x（t） dx（t） x（ ） e sin （t ）d 0 0 0
一、地震作用
作用 ：能引起结构内力、变形等反应的各种因素
直接作用 ——各种荷载：如重力、风载、土压力等
作用分类
间接作用 ——各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等
地震作用
在振动过程中所引起的结构上的惯性力称为地震作用。
等效地震荷载 ：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载
由于属于间接作用，不称为“地震荷载”，而称为“地震作用”。
dx（t） e
（t ） 0
（） x sin （t ）d
将所有瞬时冲量引起的微分位移叠加，即可得体系在整个受荷过程中引起的总位移反应，
1 t （t ） x（t） dx（t） x（ ） e sin （t ）d 0 0 0
3.2.3自由振动
方程的齐次解——自由振动 2 x ( t ) 2 ω x （ t ） ω x（t） 0 齐次方程：
方程的解：
特征方程
若0 其中
自由振动：在没有外界激励的 情况下结构体系的运动
r 2ω r ω 0
2 2
特征根
r1 2 1 r2 2 1
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
3.2.4 强迫振动
强迫振动方程：
(t ) 2ω x （t） x ω 2 x（t） x （ 0 t）
在小阻尼情况之下，对应齐次方程的通解：
v x0 x（t） e （x0 cos t sin t）
1 ，r1 r2
临界阻尼系数：
t x（t） e （ A Bx）
cr 2m 2 km
阻尼比
c cr
c 2m

若
k m
1 ， r1
、 r2为负实数
x(t ) c1e r1t c2 e r2t
体系不振动 ——过阻尼状态
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
x(t)

=0
0< <1
1
t
各种阻尼下单自由度体系的自由振动
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
第三章、结构地震反应分析与抗震验算
初始条件:
当
0 x (0) 初始位移 x 0 x(0) , 初始速度 x
B v0 x0
t x（t） e （ A cost B sin t）