高一数学必修一课件1.3.1单调性与最大(小)值

2
1是此函数的最大值
ƒ(0)=1
1
1、对任意的 x R都有ƒ(x)≤1. 2、存在0，使得ƒ(0)=1.
O
知识要 点
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M; （2）存在 x ，使得 f(x0 ) = M . I 0
3.证明：任取 x1 , x2 R,且 x1 < x 2 ，因为
f(x1 ) - f(x2 ) = 2(x2 - x1 ) > 0
即
f(x1 ) > f(x 2 )
所以f(x)=-2x+1在R上是减函数. 4.最小值.
-5
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
I x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x1<x2时，
于是
即
f(x1 ) - f(x2 ) > 0
f(x1 ) > f(x2 )
所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得 最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在
x=5时取得最小值为0.5.
课堂小结
1、单调函数的图象特征；
2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤； 4、函数的最值： 最大值
函数单调性的概念：
1．增函数
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1 ，
x2 ，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说 f(x) 在
区间D上是增函数,如图1 .
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于 定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ，
思 考 思 考
函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？
是
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对 定义域内任意x都有 f(x1 ) f(x) f(x2 ) 成立，由 此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b， 最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？ 函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
(x 2 - 2) - (x1 - 2) x 2 - x1 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = = = . x1 - 2 x 2 - 2 (x1 - 2)(x 2 - 2) (x1 - 2)(x 2 - 2)
由于 3 x1 x2 5, 得 x2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x2 - 2) > 0,
增大 随着 ______. 5 -5 o
f(x)=x
5
-5
问题2
2 f(x) = x 画出 的图像，并观察图像.
(-∞,0] 上，f(x)的值随着x的增大而 1、在区间 ________ 减小 ______. 2 f(x) = x (0,+∞) 上， 2、 在区间 ________ f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而 5 增大 _____. -5 o 5
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增，
则函数y=f (x)的最值是什么？
y
f(n)
当x=m时，f (x)有最 小值f (m)，当x=n时,f (x) 有最大值f (n).
m
O
n
x
f(m)
(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数 y=f(x)的最值是什么？
2 h(t) = -4.9t +14.7t +18的图像。显然， 解：做出பைடு நூலகம்数
函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距 地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数 h h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 ，我们有
20 15 10 5
14.7 当t = = 1.5 时，函 2 (-4.9) 数有最大值
单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
例1 下图是定义在区间[-4,5]上的函数y=f (x)，根
据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区
间上，它是增函数还是减函数？
3 2
解：函数y=f(x)的单调区间
o
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -3
有[-4，-2)，[-2，-1)，[-1， 1)，[1，3)，[3，5],其中 y=f (x)在区间 [-4，-2)， [-1，1)， [3，5] 上是增函数，在区间 [-2，-1)， [1，3)上是减函 数.
1 2 3
4
o
t
4 (-4.9) 18 -14.72 h= 29 4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此 时距离地面的高度约为29m.
1 (x [3, 5]) ，求函数的最大 例5 已知函数 f(x) = x-2 值与最小.
分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上 递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大 值与最小值. 解：设 x1 , x 2 是区间[3，5]上的任意两个实数， 且 x1 < x 2，则
M y
观察
M
x
o x0
图1
o
图2
x0
x
思 考
观察这两个函数图象，图中有个最高点， 那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？
结
束
认真学习 积极思考
思 考
设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？ f(x)< M
例如函数f x = -x2 +1 x∈R
k y = (k 0) x
函数
k >0
k <0
k >0

k <0

单调区间 (-, + ) 单调性 增函数 减函数
减函数
增函数
y = ax2 + bx + c (a 0)
函数
a>0
单调区间

1 即函数 f(x) = - - 1 在区间（0，+∞）上是单调 x 增函数.
探究
1 画出反比例函数 y = 的图象． x 1 这个函数的定义域是什么？
{x∣x≠0}
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结 论． y 分两个区间(0，+∞)， （∞ ，0）来考虑其单调性. 0 x
下列两个函数的图象： y
y
当x=m时，f (x)有最
f(m)
大值f (m)，当x=n时，f(x)
O
m
n
有最小值f (n).
x
f(n)
(3)若函数 f(x) = a(x - l)2 + h(a < 0,m < l < n) 则函 数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？
y
f(m)
f(l)
最大值f (l)=h，有最小值f (m), f (n)中较小者.
f(n)
O
m
l
n
x
例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h t = -4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少
精确到1米 ?
4.函数y = x2 + 4x + 2在区间-3, 5 上的最小
-2 值为
1 2 3 f(x) = x - x + 的值域也是[1,b],求b的值. 2 2 1 2 3 1 2 解：因为 f(x) = x - x + = (x - 1) + 1 2 2 2
所以f(x)在x=1时取得最小值为1，又因为x∈[1,b]，
有f(x1)<f(x2)
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为D,区间I D. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有 f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
例2.证明函数f(x)=1/x+x在（1，2）是增函数 思考1.若区间改成(1 ,+∞)结果变吗？ 2.若把解析式改成f(x)=a/x+x有什么结 论？
a (2) 函数 y ＝ x ＋ x (a>0) 是一个常用且重要的函 数，其图象如图所示，记住这个函数的图象和性质 会给解题带来方便．
1 练习. 求证函数 f(x) = - - 1 在区间 x 调增函数．
最小值

5、函数的最值的求法
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;