722二重积分计算(极坐标〕
二重积分的极坐标计算方法
二重积分的极坐标计算方法二重积分是微积分中的重要概念，常用于求解平面区域内某个量的总量或平均值。
在一般情况下，二重积分的计算方法可以采用直角坐标系或极坐标系。
本文将详细介绍以极坐标为基础的二重积分计算方法。
一、极坐标系的基本概念极坐标系是一种平面直角坐标系的变换形式，它以极径$r$和极角$\theta$作为坐标轴。
极径$r$表示点$(x,y)$到原点的距离，极角$\theta$表示点$(x,y)$与$x$轴正半轴的夹角。
在极坐标系中，点$(x,y)$与点$(r,\theta)$是一一对应的关系，它们之间的转换公式为：$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$$$r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $$二、极坐标系下的二重积分在极坐标系下，二重积分的计算方法与直角坐标系有所不同。
对于平面区域$D$内的函数$f(x,y)$，它在极坐标系下的表示形式为$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$。
因此，二重积分的积分区域$D$可以表示为$r$和$\theta$的范围：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\theta_1}^{\theta_ 2}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mat hrm{d}r\mathrm{d}\theta$$其中，$r_1(\theta)$和$r_2(\theta)$分别表示以$\theta$为极角的两条极径所在的方程，$\theta_1$和$\theta_2$分别表示积分区域$D$在极坐标系下的极角范围。
需要注意的是，积分区域$D$必须满足以下条件：1. $r_1(\theta)\leq r\leq r_2(\theta)$，$\theta_1\leq\theta\leq\theta_2$；2. $D$是一个简单闭曲线所围成的区域；3. $f(x,y)$在$D$上连续或可积。
二重积分的极坐标计算方法
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分二重积分可以用极坐标系来计算。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中点的位置由距离原点的距离和与正x轴的夹角表示。
极坐标与直角坐标系之间的转换关系如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，x和y是直角坐标系下的坐标，r是点到原点的距离，θ是点与正x轴的夹角。
对于二重积分∬f(x, y)dA，在极坐标下可以表示为∬g(r,θ)rdrdθ，其中，g(r, θ)是将f(x, y)用极坐标来表示。
下面我们将详细介绍如何利用极坐标系计算二重积分。
首先，将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
具体来说，我们将x和y替换为r和θ，然后利用极坐标与直角坐标的转换关系，将f(x,y)表示为g(r,θ)。
这个转换过程需要根据具体的被积函数进行分析和计算。
接下来，我们需要确定积分区域。
在极坐标系下，积分区域可以用极坐标表示。
通常情况下，我们将极坐标的范围确定为r的区间[a,b]和θ的区间[α,β]，其中a、b、α和β都是常数。
这样，二重积分就变成了在确定的极坐标区域上的积分。
然后，我们将二重积分∬f(x, y)dA 转换为极坐标下的二重积分∬g(r, θ)rdrdθ。
这个过程需要用到雅可比行列式的公式，即 dA = r dr dθ。
最后，我们按照以下步骤来计算极坐标下的二重积分：1.确定极坐标的范围[a,b]和[α,β]。
2.将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
3. 利用雅可比行列式的公式，将二重积分∬f(x, y)dA 转换为∬g(r, θ)rdrdθ。
4.根据极坐标下的积分区域，确定积分范围。
5.将极坐标下的二重积分分解成两个单重积分，先对θ进行积分，再对r进行积分。
6.依次进行积分计算，最后得到结果。
需要注意的是，在进行计算时，要注意被积函数的连续性和积分区域的对称性，以便简化计算。
综上所述，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定被积函数的极坐标形式、确定积分区域、转换为极坐标下的二重积分、分解为两个单重积分、依次进行积分计算。
二重积分计算极坐标
A( )
r r1( )
O
D
r r2 ( )
A( ) r2( ) f (r cos , r sin )rdr r1 ( )
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D: 0 r r( )
r r2 ( )
D
O
r r2 ( )
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一 族 射 线
一 族 同 心 圆
O
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I R2 e(x2 y2 )dxdy
D2
e 0 D
D1 D D2
(x2 y2 )
D1 D
R 2R
e(x2 y2 )dxdy I R2 e(x2 y2 )dxdy
D1
D2
(1 eR2 )
y
x
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直角坐标
极坐标
圆 x2 y2 a2
ra
复杂
简单
r (r, )
a
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极坐标下二重积分的计算
极坐标下二重积分的计算极坐标是用角度和半径来描述平面上一个点的坐标的一种形式。
在极坐标中，每个点由一个非负的半径值r和与正x轴逆时针旋转的角度θ确定。
极坐标的转换关系与直角坐标系之间的关系是：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)在极坐标下，二重积分可以表示为：∬R f(x, y) dA = ∬D f(r * cos(θ), r * sin(θ)) * r dr dθ其中，R是平面上的一个区域，D是R在极坐标下的对应区域，f(x, y)代表函数值在点(x, y)处的取值，f(r * cos(θ), r * sin(θ))代表函数值在点(r * cos(θ), r * sin(θ))处的取值，dA代表面积微元元素，r和θ分别代表极坐标中的半径和角度。
二重积分的计算可以分为两步：首先计算内积分，然后计算外积分。
其中内积分是对r进行积分，外积分是对θ进行积分。
计算内积分时，需要确定r的取值范围。
这可以通过统计图形在极坐标下的特征来确定。
例如，在极坐标下，圆形的方程为r=a。
因此，内积分的下限通常是0，上限通常是一个与图形形状有关的函数表达式。
计算外积分时，需要确定θ的取值范围。
通常将θ的取值范围设置为[0,2π]，表示一个完整的圆。
对于一些特殊形状的图形，可以通过选取合适的极坐标变换简化计算。
例如，对于以坐标原点为中心的圆，可以通过令θ=0和θ=2π来简化计算。
在实际计算中，可以使用数值方法、计算机软件或者表格来计算极坐标下的二重积分。
计算机软件如Mathematica、MATLAB、Python中的SciPy库等都内置了对极坐标下的积分计算的支持。
总之，极坐标下的二重积分可以通过将直角坐标下的函数转换为极坐标下的函数，然后进行内积分和外积分来进行计算。
计算的具体方法可以根据问题的特点和形状选择不同的方式来求解。
二重积分的极坐标计算方法
sin cos
转换 x , y
r 2 cos2 r 2 sin 2 1 r 1
即此曲线(圆)的极坐标方程为 r g( ) 1 .
例如 : 抛物线 y x2
r sin r2 cos2 r g( ) tan sec
平面区域的极坐标表示形式：
D { ( r, ) , g ( ) r g ( ) }
y
例 计算二重积分 I e xy d ，其中 D 由直线 x = 0 , y = 0 与
x + y = 1 所围成。 D
解：区域 D 如图所示.
y
D
易见，D { (x, y) 0 x 1 , 0 y 1 x }
{ (r, ) 0 , 0 r
1
}
2
sin cos
x
1
y
1
2
无穷条射线（段）束的组合
-2
-1
-1
-2
1
2
-2
1 0.5
2 1.5
1 0.5
-1
1
2
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4 3 2 1
-2 -1
1
2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
yx
D
1
4
D
yx
d d
4a2 x2 y2
0
r
rdr
4a2 r 2
4
2 a sin 0
r 2 asin t
二重积分的极坐标计算方法
二重积分的极坐标计算方法二重积分是微积分学中的一个概念，它是一种二元函数的积分。
极坐标是一种用于描述平面内一个点位置的坐标系，它由极角和极径组成。
在计算二重积分时，极坐标计算方法是一种常用的方法，它可以将二重积分转化为一个简单的积分形式，从而简化计算。
首先，我们需要将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标下的二重积分。
在直角坐标系下，二重积分的一般形式为：$\iint_{R} f(x,y) dxdy$其中，$f(x,y)$是定义在区域$R$上的被积函数，$dxdy$是$R$上的面积元素。
在极坐标下，二重积分的一般形式为：$\iint_{R} f(\rho,\theta) \rho d\rho d\theta$其中，$f(\rho,\theta)$是定义在区域$R$上的被积函数，$\rho d\rho d\theta$是$R$上的面积元素。
接下来，我们需要将极角$\theta$和极径$\rho$表示为关于直角坐标系下的$x$和$y$的函数。
在直角坐标系下，$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，$\theta=\arctan\frac{y}{x}$。
在极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$。
因此，我们可以得到：$\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=r$$\theta=\arctan\frac{y}{x}=\arctan\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\frac{\theta}{2}$因此，我们可以将极角$\theta$和极径$\rho$表示为关于直角坐标系下的$x$和$y$的函数：$\rho=r$，$\theta=\frac{\theta}{2}$。
最后，我们将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标下的二重积分：$\begin{aligned} &\iint_{R} f(x,y) dxdy \\ =&\iint_{R} f(\rho,\theta) \rho d\rhod\theta \\ =&\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho,\theta) \rhod\rho d\theta \end{aligned}$其中，$\varphi_1$和$\varphi_2$是极角$\theta$的上下限，$\rho_1$和$\rho_2$是极径$\rho$的上下限。
二重积分在极坐标下的计算方法
二重积分在极坐标下的计算方法二重积分是数学中的一种重要的积分形式，广泛应用于物理、工程和统计学等领域。
在极坐标系下，二重积分的计算可以更加简便，特别是当积分区域是以原点为中心的圆形或者圆环形时。
在极坐标系下，二重积分的计算方法主要涉及到以下几个步骤：1. 确定积分区域：首先需要确定积分区域在极坐标下的表示形式。
若积分区域是以原点为中心的圆形，则可表示为$0leq r leq R$，$0leq theta leq 2pi$，其中$R$为圆的半径；若积分区域是以原点为中心的圆环形，则可表示为$r_1leq r leq r_2$，$0leq theta leq 2pi$，其中$r_1$和$r_2$分别为内圆和外圆的半径。
2. 确定被积函数：将被积函数表示为极坐标下的形式，即$f(x,y)$转化为$f(r,theta)$。
3. 确定积分限：将被积函数$f(r,theta)$乘以积分元素$rmathrm{d}rmathrm{d}theta$，并在积分区域上进行累加，最终得到二重积分的值。
根据积分区域的不同，积分限的确定也会有所不同。
例如，对于以原点为中心的圆形区域内的二重积分，其计算公式为：$$iint_D f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y = int_0^{2pi}int_0^Rf(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta$$其中，$R$为圆的半径。
对于以原点为中心的圆环形区域内的二重积分，其计算公式为：$$iint_D f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y =int_0^{2pi}int_{r_1}^{r_2}f(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta$$其中，$r_1$和$r_2$分别为内圆和外圆的半径。
总之，二重积分在极坐标下的计算方法相对简便，而且适用于一些特殊的积分区域，如圆形和圆环形区域。
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式
极坐标系是一种曲面积分的特殊形式，也就是在极坐标系中求解二重积分。
极坐标系由一个极轴和一个极角组成，极轴表示离极点距离，极角表示极轴和x轴之间的夹角。
在极坐标系中，求二重积分就是求解沿极角方向极轴上离极点的距离，以及沿极轴方向极角夹角上离极点的距离之间的关系。
二、极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分的公式是：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =f(ρcosθ,sinθ)ρdρdθ
其中，ρ是极轴，θ是极角，f(ρ,θ)表示由极坐标系决定的被积函数，ρdρdθ表示极坐标系下的元素。
三、求二重积分的过程
（1）设定极坐标系中的被积函数f(ρ,θ)：
f(ρ,θ)=ρ^2sin^2θ
（2）根据极坐标求二重积分公式，求解二重积分：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =∫ρ2sin2θρdρdθ
=∫ρ3sin2θdρdθ
（3）确定积分的边界：
ρ的上下限分别为ρ1，ρ2；θ的上下限分别为θ1，θ2。
（4）求解二重积分：
∫∫ρ3sin2θdρdθ=ρ2[-cos2θ]ρ2ρ1dθ= -1/2∫(ρ
2^2-ρ1^2)cos2θdθ
= 1/4(ρ2^2-ρ1^2)[sin2θ2-sin2θ1]
四、总结
极坐标求二重积分公式是一种将曲面积分表示成在极坐标系中求解二重积分的方法。
求解时，首先设定被积函数，然后使用极坐标求二重积分公式，最后确定积分的边界，从而求解出结果。
极坐标求二重积分公式可以求解不同类型的曲面积分，是一项重要的数学解题方法。
二重积分在极坐标下的计算法
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
二重积分计算极坐标
二重积分计算极坐标二重积分是多元函数积分的一种形式，其结果是一个数值，表示在给定区域上函数值的加权平均值。
而极坐标是一种在平面上描述点位置的坐标系统，其基于极径和极角来确定点的位置。
在计算二重积分时，使用极坐标可以简化计算过程，并使得积分变得容易和直观。
具体来说，可以通过将二重积分在直角坐标系下的积分区域转换为极坐标系下的极坐标区域，从而简化积分的计算。
假设要计算一个二重积分 $\iint_D f(x,y) dA$，其中 $D$ 表示积分区域， $f(x,y)$ 表示被积函数。
在极坐标系下，一个点 $(x, y)$ 可以表示为 $(r \cos \theta, r \sin \theta)$，其中 $r$ 是点的极径，$\theta$ 是点的极角。
要从直角坐标系转换到极坐标系，需要注意以下几个方面：1.积分区域的边界方程：在直角坐标系下，积分区域$D$可以由一组边界方程来描述，如$y=g_1(x),\y=g_2(x),\x=h_1(y),\x=h_2(y)$。
在极坐标系下，这些边界方程需要用极坐标来表示。
极坐标下的边界方程会涉及到极径和极角的范围。
常见的边界方程有$r = g(\theta)$，$r_1 \leq r \leq r_2$，$a \leq \theta \leq b$。
2. 面积元素的变化：在直角坐标系下，面积元素 $dA = dx \cdot dy$。
在极坐标系下，面积元素 $dA$ 可以表示为 $r \cdot dr \cdotd\theta$。
这是因为在极坐标下，微小面积元素可以看作是一个弧长乘以一个弦长，即 $ds \cdot r$。
而微小弧长 $ds$ 可以表示为 $r \cdotd\theta$，微小弦长 $dr$ 则对应于直角坐标系下的微小变化 $dx$ 或$dy$。
所以，$dA = ds \cdot r = r \cdot d\theta \cdot r = r \cdot dr \cdot d\theta$。
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式
极坐标系，又称径向直角坐标系或极坐标直角坐标系，是它以极点作为坐标原点，以极轴为坐标轴的坐标系统，常用来表示圆周上的点?；〔?。
一般记为极坐标系（Ｒ，θ），其中Ｒ表示点到极点的线段的长度，而θ表示该线段与正x轴的夹角。
二重积分极坐标计算公式是指通过极坐标系计算二维图形的解
析积分公式。
以极坐标的形式表示边界上的函数，可以将复杂的二维积分问题转换为一元积分，从而计算出数值解。
一般而言，在极坐标系中，二重积分极坐标计算公式可以表示为：∫∫F(x,y)dxdy=∫∫f(ρ,θ)ρdρdθ
其中，F(x,y)为原函数，ρ = x2 + y2，f(ρ,θ) = F(x,y)。
以上表示的是由F(x,y)表示的函数f(ρ,θ)在极坐标系中的二
重积分计算公式。
它表明，在计算二维函数积分时，可以把复杂的函数积分表示为在极坐标系中的一维函数积分，从而求解出二维图形的数值解。
极坐标计算公式是有效的高效算法，在数学和计算机科学等领域有广泛的应用。
在计算复杂的多维函数时，极坐标计算公式可以大大减少计算的复杂性，提高计算的运行效率。
此外，极坐标计算公式还可用于解决多维空间中的各种物理问题，如爆炸波在多维空间内的传播特性，电磁场中电压场和力场的表示，以及气动力学问题中流体动量守恒方程的求解等等。
总之，极坐标计算公式是一种非常有用的计算方式，它的应用既
可以减少计算的复杂性，又可以解决多维空间中的各种物理问题。
二重积分在极坐标系下的计算
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分 化为二次积分 计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角 坐标到极坐标的变换公式
二重积分极坐标计算方法
二重积分极坐标计算方法
二重积分极坐标是用于求解多变量函数积分问题的一种重要工具。
称为
双重积分，是由两个变量决定的积分，与常规几何坐标内的双重积分不同，
二重积分极坐标完全基于角坐标系中的不同坐标理论，以及它们之间的联系。
在二重积分极坐标中，一个函数的双重积分常用如下的形式来表示：
Integral_θ_θ_θ f(r,θ)rdrdθ
其中，θ是弧度，r表示极坐标中的径向距离，整个积分处理从θ_1,
到θ_2为止，它们是θ的最小最大值。
由于在实际问题中往往存在许多复杂的多变量函数，但应用双重积分极
坐标却可以简化这类问题，从而更好地求解它们。
例如，在双重积分极坐标中，可以利用更大的角度r1与r2来表示一个新的复杂函数，从而简化双重
积分的计算。
此外，双重积分极坐标在力学和电力学计算中也有着广泛的应用，可以
帮助分析物体之间的运动以及电荷场，以及静电场。
因此，双重积分极坐标可以说是一种对解决多变量空间中较复杂的数学
问题有着重要作用的积分方法，它不仅可以帮助我们简化复杂的多变量积分，而且能够帮助我们分析物体间的力学和电力学运动状况。
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算在二维区域上的一些函数的平均值、面积、质心等数值特征。
极坐标系统是一种常用的描述平面点的坐标系，由径向和角度两个坐标变量组成。
在极坐标下，二重积分有一套特定的计算公式。
一、极坐标变换在直角坐标系下，点P的坐标为(x,y)，在极坐标系下，P的坐标可以表示为(r,θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P到正半轴的角度。
我们可以通过以下公式将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标下的二重积分：∬R f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ其中，R为直角坐标系下的二维区域，D为其对应的极坐标系下的二维区域。
f(x,y)为被积函数。
二、极坐标下的积分区域在极坐标下，二重积分的积分区域通常是一个由两个角度θ1和θ2以及两个径向r1和r2确定的扇形区域，可以表示为：D={(r,θ)，r1≤r≤r2,θ1≤θ≤θ2}其中，r和θ的取值范围由具体问题决定。
三、极坐标下的积分公式在极坐标下，二重积分的计算公式包括被积函数的转换、积分区域的确定和积分的计算三个部分。
具体的计算步骤如下：（1）将被积函数f(x, y)转换为极坐标下的形式f(rcosθ, rsinθ)，并根据具体问题进行简化和化简。
（2）确定积分区域D的极坐标表达式，即确定r的取值范围和θ的取值范围。
（3）将被积函数f(rcosθ, rsinθ)乘以极坐标的雅可比行列式r，并根据r和θ的取值范围进行积分计算。
具体的计算公式如下：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ四、极坐标下的面积计算二重积分在极坐标下的一个重要应用是计算二维区域的面积。
对于一个在极坐标下表示的简单闭合曲线，其面积可以通过以下公式进行计算：A=1/2∬Dr^2dθ其中，A为二维区域的面积，D为二维区域在极坐标下的表示，r为点到极坐标原点的距离。
二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分
D
o
x
则
D
f ( x, y) d x d y
D
f ( x( u, v ), y( u, v )) J ( u, v ) d u d v
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
v
vk v
M4 M1
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
y
y x y x y 2 nx D y 2 mx
v
D
O
x
O m
n
u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
x r cos , y r sin ( x , y ) cos r sin J (r , ) sin r cos
1 v u v
u v
u v
1 1 1 e-e 1 1 v (ve ) |v dv 0 v (e - e ) dv 2 4 2 0
1
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x, y x 所围区域 D 的面积. (0 m n, 0 ) y2 y 解 令 u , v x x
R cos 0
R r rdr
2 2
z
y
r R cos
D
R
o x
4 3 2 R ( ) 3 2 3
y
x
例5. 计算 其中 解
rR
D: x y R .
2 2 2
r
2
二重积分极坐标的计算方法
二重积分极坐标的计算方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊二重积分极坐标的计算方法，这可真是个超有趣的玩意儿！
你看哈，就好比我们要计算一个圆形区域里的某种量。
比如说，咱要算这个圆形区域里糖果的总数（这里就是一个例子啦）。
用直角坐标去算，那可真是麻烦得很！但二重积分极坐标就不一样了，它就像是一把神奇的钥匙，能轻松打开这个难题的大门。
比如说，极坐标里的角度θ，就像是指南针一样，告诉我们在哪个方向上呢。
而那个极径 r 呢，就像是在测量距离，能确定我们在这个方向上走多远。
这不就简单清楚多了嘛！
然后呢，我们把被积函数也用极坐标表示出来，哇塞，一下子就感觉清晰明了。
就好比你知道了每个地方糖果的分布规律一样！
咱再想想，要是没有二重积分极坐标，那得费多大劲呀！它真的是数学世界里的大救星呢！
所以啊，二重积分极坐标的计算方法绝对是个超厉害的东西，大家可一定要好好掌握呀！。
二重积分计算极坐标
二重积分计算极坐标二重积分是高等数学中的重要概念之一，用于计算平面区域上的一些函数的面积或质量等相关量。
极坐标是一种常用的坐标系，用于描述平面上的点，其中点的位置由极径和极角两个参数确定。
本文将详细介绍如何计算极坐标下的二重积分。
首先，我们来看一下极坐标系的定义。
在极坐标系中，平面上的每个点可以由极径r和极角θ唯一确定。
极径r表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，通常以弧度为单位。
在极坐标系中，原点的坐标为(0,0)，正半轴上的点的极角为0，逆时针方向为正。
接下来，我们来介绍如何将二重积分的计算问题转化为极坐标下的积分问题。
对于一个平面区域D，我们可以用极坐标来描述其中的点。
假设D在极坐标下的表示域为R，即R={(r,θ)，r1≤r≤r2，θ1≤θ≤θ2}。
我们要计算的函数f(x,y)在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∬Rf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ其中，r是极径，θ是极角。
上式中，f(x,y)表示在直角坐标系下的函数，f(rcosθ,rsinθ)表示在极坐标系下的函数。
dxdy表示直角坐标系下的面积元素，rdrdθ表示极坐标系下的面积元素。
通过这种方式，我们可以将二重积分的计算问题转化为在极坐标系下的积分问题。
接下来，我们来具体讨论如何计算极坐标下的二重积分。
首先，我们需要确定极坐标下的积分区域R。
一般情况下，R是一个简单的闭区域，可以通过确定r和θ的范围来确定。
根据题目给出的条件，我们可以确定r的取值范围为r1≤r≤r2，θ的取值范围为θ1≤θ≤θ2然后，我们需要确定要计算的函数f(rcosθ,rsinθ)。
根据题目给出的条件，我们可以得到f(x,y)在极坐标系下的表示形式。
将x和y用极坐标的形式表示出来，即x=rc osθ，y=rsinθ，然后将f(x,y)用f(rcosθ,rsinθ)表示出来。
接下来，我们需要确定极坐标下的面积元素rdrdθ。
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a r
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(r, )
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直角坐标
极坐标
圆域D： x2 y2 a2
D
r (r, )
a
D:0r a
0 2
极坐标系中的矩形
老师：我怎么看它都不
r 像矩形？ a
D
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2a
r
(r, )
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直角坐标
直线 y tan x
极坐标
(r, )
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直角坐标
7.2.2 利用极坐标计算二重积分
Double integrals in polar coordinates
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x r cos
y r sin
r x2 y2
arctan y
x
(x, y)
r
(r, )
y
O
r
r r r
rr
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[(r r)2 r2 ] 2
[2rr (r)2 ]
2
r
rr 1 (r)2
IR2
R
dx
e dy R ( x2 y2 )
0
0
e(x2 y2 )dxdy D D: 0 xR 0 yR
R D
仍然无法直接计算
R
以下采用缩小、放大法，形成夹逼
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I R2 e(x2 y2 )dxdy D
D2 D1 D
R 2R
D1 {(x, y) | x2 y2 R2, x 0, y 0}
D2 {(x, y) | x2 y2 2R2, x 0, y 0}
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e2 R2
)
I2
4
4
I
x2
e dx 2 0来自上一页 | 首页 | 下一页
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ex2 dx
0
2
ex2 dx
1 ex2 dx 1
IR2
(1 e2R2 )
4
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4
(1 eR2 )
IR2
4
(1 e2R2 )
取极限：
lim
R
4
(1
eR2
)
lim
R
IR2
lim
R
4
(1
r
D:
2
2
O
D 2R x 0 r 2Rcos
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2 R sin
0 d 0 f (r cos , r sin ) rdr
D : x2 y2 2Ry
D:0
注意：被积函数关于 x 和 y 均为偶函数
sin( x2 y2 ) dxdy 4 sin( x2 y2 ) dxdy
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
r ( )
f (r cos ,r sin )rdr.
0
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D : 0 2 0 r r( )
r r( )
D : x2 y2 R2
y
rR
Dr
O
R
D : 0 2
0rR
x
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2
b
0 d a f (r cos , r sin ) rdr
D : a2 x2 y2 b2
0 r 2Rsin
y
2R r 2Rsin
Dr
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O
x
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例
e x2 y2 dxdy
D
D : x2 y2 R2 , x 0, y 0
R
解 在极坐标下 D : 0 r R 0
R e x2 dx R e x2 dx
0
0
R ex2 dx R e y2 dy
0
0
R
dx
e dy R ( x2 y2 )
0
0
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以积 随分 意变 改量 变可
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概率积分
1
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例 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分， D1
D 上一页 | 首页 | 下一页
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二重积分化为二次积分的公式
D:
r 1()
r 2()
r1( ) r r2 ( )
D
o
f (r cos ,r sin )rdrd
A
D
d
r2 ( ) f (r cos , r sin )rdr.
r1 ( )
上一一页般| 首采页 用| 下一：页先 r 后
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z F(r, )
A( )
r r1( )
O
D
例
求广义积分
I
e x2 dx
0
分析 ex2 dx lim R ex2 dx
0
R 0
O
R
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由于 ex2 的原函数不是初等函数
不能用Newton-Leibniz计算定积分
y
D : 0 2
D
O
ab
ar b
x
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2R cos
2
d
0
f (r cos , r sin ) rdr
2
D : x2 y2 2Rx
y r 2Rcos
极坐标
D : 0 r 2asin 0
r 2a sin 2a
Dr
(r, )
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直角坐标
极坐标
圆环域D：
a2 x2 y2 b2
D: ar b
0 2
极坐标
直线 x a
r asec
cos a
r
并不方便
r (r, )
r a
cos
a
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直角坐标
极坐标
直线 y a
r a csc
sin a
r r a
sin
也不方便
ra
极坐标系中的矩形
r
r b
D
b
a D
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极坐标中的面积元素 设有区域：
D {(r, ) | r1( ) r r2( ), }
r r2 ( )
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
包含极点
2
d
0
r ( )
0 f (r cos ,r sin )rdr
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