零点问题(学生用)

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高中数学解决零点问题教案

高中数学解决零点问题教案
一、教学目标
1. 理解零点的概念，掌握零点问题的解决方法。

2. 学会利用函数图象、方程、不等式等方法求解零点问题。

3. 培养学生的数学思维和问题解决能力。

二、教学内容
1. 零点的概念及意义。

2. 零点问题的解决方法。

3. 利用函数图象、方程、不等式等方法求解零点问题。

三、教学过程
1. 引入：通过一个简单的例子引入零点概念，让学生了解什么是零点。

2. 授课：介绍零点问题的解决方法，包括利用函数图象、方程、不等式等方法求解零点问题的基本步骤。

3. 案例分析：给学生若干个实际问题，并引导他们分析问题，利用所学知识解决问题。

4. 练习：让学生进行练习，巩固所学内容。

5. 总结：总结本节课所学内容，并强调方法的运用和注意事项。

四、教学要点
1. 熟练掌握零点的概念及其解决方法。

2. 学会运用函数图象、方程、不等式等方法解决零点问题。

3. 注意理解问题的意义，加强实际问题的练习。

五、教学辅助
1. 教材课件
2. 案例练习册
六、教学效果评估
1. 课堂提问：通过提问学生并解答问题来评估学生的理解程度。

2. 练习成绩：通过练习册的成绩来评估学生的掌握程度。

3. 课堂表现：通过观察学生的课堂表现来评估学习态度和参与度。

七、教学反馈
1. 及时对学生的练习册进行批改和评价。

2. 分析学生在学习中的问题和不足，及时进行指导和辅导。

2.4.1函数的零点学生版

1 / 1§2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点一、基础过关1．函数f(x)＝x －4x的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个2．若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B ．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C ．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝mx 2＋8mx ＋21，当f(x)<0时，－7<x<－1，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007 5．若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，则m ＝________.6．已知一次函数f(x)＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f(x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．7．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．8．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．二、能力提升9．若函数f(x)＝ax ＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是 ( )A.0，－12 B ．0，12C ．0,2D ．2，－1210．若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足f(1)＝0，且a>b>c ，则该函数的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 11．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．12．已知y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2－2x.(1)写出函数y ＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．三、探究与拓展13．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．。

专题突破卷02 函数零点分布问题 (学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考通用)

专题突破卷02 函数零点分布问题题型一根据函数零点的个数求参数范围问题1．若当[]0,2πx Î时，函数sin 2x y =与π2sin (0)4y x w w æö=->ç÷èø的图象有且仅有4个交点，则w 的取值范围是（）A ．91388éö÷êëø,B ．913,88æùçúèûC ．1317,88éö÷êëøD ．1317,88æöç÷èø2．已知函数2ln ,0()2,0xx f x x x x x ì>ï=íï+£î；若方程()f x a =恰有三个根，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,)e B ．1[0,e C ．1(1,)e -D ．1(0,{1}e-U 3．已知函数()()21,01ln 1,0x ax x f x a x x x ì-+£ï=í-++>ïî，图象与x 轴至少有一个公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．[)2,-+¥B ．()1,0-C ．(][),20,-¥-+¥U D ．(){}1,2-+¥È-4．()2ln x f x x=，()()()21g x f x mf x éù=--ëû，若()g x 在其定义域上有且仅有两个零点，则m 的取值范围是（）A ．21,e æö++¥ç÷èøB ．2e e 2,e 22e æö--ç÷èøC ．2e ,e 2æö-¥-ç÷èøD ．ee 1,122æö-+ç÷èø5．已知函数()432,0,ln ,0,x x x x f x x x x ì+-<=í>î若关于x 的方程()0f x m x -=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（）A ．(],0-¥B ．[]0,1C ．(){},01¥-ÈD ．(]{},01-¥U 6．已知函数()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ì-³=í-<î且()0,2πx Î，若方程()1f x a =+与方程()1f x a =-共有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．12,63æöç÷èøB ．12,33æöç÷èøC ．()0,1D ．1,16æöç÷èø7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x Î时，()1e xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（）A ．()0,e 1-B ．1e 1e ,56--æöç÷èøC ．e 1e 1,86--æöç÷èøD ．1e 1e ,46--æöç÷èø8．已知函数()2()3e xf x x =-，若方程()f x a =有三个实数解，则实数a 的取值范围为（）A ．360,e æöç÷èøB ．(2e,0)-C ．362e,e æö-ç÷èøD ．32,6e e æö-ç÷èø9．已知函数()ln f x a x x =-有两个零点，则（）A ．0a £B ．0ea <<C ．ea ³D ．ea >10．若不等式ln 0a x x -³有且仅有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．25,ln 2ln5éö÷êëøB ．25,ln 2ln5æùçúèûC ．35,ln 3ln5éö÷êëøD ．35,ln 3ln 5æùçúèû11．设()321f x x ax bx =++-.函数()y f x =在1x =处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（）个.①320a b +=；②对任意的1m <，曲线()y f x =在点()(),m f m 处的切线一定与曲线()y f x =有两个公共点；③若关于x 的方程()f x k =有三个不同的根123,,x x x ，且这三个根构成等差数列，则1k =.A ．0B ．1C ．2D ．312．设函数()()2e1ln 2ax f x a x x -=+---有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),e ¥-B ．10,e æöç÷èøC ．1,e e æöç÷èøD ．()0,e 13．若函数()()22e e 4e e 2x x x xf x b --=+-++（b 是常数）有且只有一个零点，则b 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．514．若函数121,02()πsin(π6xx x f x x x w ìæö--£ïç÷ïèø=íï-<<ïî有4个零点，则正数w 的取值范围是（）A ．1319,66éö÷êëøB ．1319,66æùçúèûC ．1925,66éö÷êëøD ．1925,66æùçúèû15．若函数()2341f x ax x =-+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．5,13æö-ç÷èøB ．54,33éù-êúëûC ．54,133éùìü-íýêúëûîþU D ．24,133éùìü-íýêúëûîþU 题型二根据一次函数零点的分布求参数范围问题16．若函数f （x ）＝3ax ＋1－2a 在区间（－1，1）内存在一个零点，则a 的取值范围是（）A ．1,5æö+¥ç÷èøB ．11,5æö-ç÷èøC ．（－∞，－1）D ．（－∞，－1）∪1,5æö+¥ç÷èø17．若方程2222|1|0x ax a x -+++-=在区间()0,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围为（）A ．192,5æöç÷èøB．19(,3)15æö-¥-ç÷èøUC ．19(,115æö-¥+ç÷èøU D ．1915æöç÷èø18．当||1x £时，函数21y ax a =++的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3éö-+¥÷êëøB ．(,1]-¥-C ．11,3æö--ç÷èøD ．11,3æù--çúèû19．已知函数()312f x ax a =--在区间(1,1)-上存在零点，则（）A ．115a <C ．15a <-或1a >D ．15a <-20．已知函数f （x ）=3ax -1-2a 在区间（-1，1）上存在零点，则（）A ．1a <或15a >B ．15a >C ．15a <-或1a >D ．15a <-21．若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（）A ．1a >-B ．1a <-C ．1a >D ．1a <22．已知函数()312f x ax a =--在区间()1,1-上存在零点，则实数a 的取值范围是A ．1(,1),5æö-¥-È+¥ç÷èøB ．1,5æö+¥ç÷èøC ．1,(1,)5æö-¥-È+¥ç÷èøD ．1,5æö-¥-ç÷èø23．已知直线:3l y x =与函数3,1,(), 1.x x x f x ax a x ì-£=í->î的图像交于三点，其横坐标分别是1x ，2x ，3x .若1230x x x ++<恒成立，则实数a 的取值范围是A ．3a >B ．04a <£C ．36a <£D ．6a >24．已知函数2|log ,0(),21,0x x f x x x ìï=í+-£ïî若函数()1y f x m =-+有四个零点,零点从小到大依次为,,,,a b c d 则a b cd ++的值为( )A ．2B ．2-C ．3-D ．325．已知函数2()21f x mx x =--在区间(2,2)-恰有一个零点，则m 的取值范围是( )A ．31,88éù-êúëûB ．31,88æö-ç÷èøC ．31,88éö-÷êëøD ．13,88æù-çúèû26．已知()213,(0)(1)f x ax a f f =-+<且在()1,2内存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(11,53)B ． 11(,64C ．11(,75D ．11(,)8627．已知函数()()221,03,(0)ax x x f x ax x ì++£=í->î有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1a 28．“4a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[]1,1-上存在零点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29．设函数2()3f x x ax a =-++，()2g x ax a =-，若0R x $Î，使得0()0f x <和0()0g x <同时成立，则a 的取值范围为A ．(7,)+¥B ．(6,)(,2)+¥È-¥-C ．(,2)-¥-D ．(7,)(,2)+¥È-¥-30．“函数在区间上存在零点”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型三根据二次函数零点的分布求参数范围问题31．若函数()()2ln 0b cf x a x ac x x =++¹有且仅有极大值，则（）A ．0a >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0c <32．二次函数2,(,y ax bx c a b c =++是常数，且0)a ¹的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x…-1012…y…m 22n…且当32x =时，对应的函数值0y <．下列说法正确的有（）A ．0abc >B ．1009mn >C ．关于x 的方程20ax bx c ++=一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在12-和0之间D ．()112,P t y +和()222,P t y -在该二次函数的图象上，则当实数12t <时，12y y >33．已知函数()()ln 1f x a x ax a =-+ÎR ，()()2312g x f x x =+-，则下列说法正确的是（）A ．当1a =时，()0f x £在定义域上恒成立B ．若经过原点的直线与函数()f x 的图像相切于点()()3,3f ，则1ln31a =-C ．若函数()g x 在区间3,42éùêúëû单调递减时，则a 的取值范围为[)16,¥+D ．若函数()g x 有两个极值点为()1212,x x x x ¹，则a 的取值范围为(),12¥-34．已知1x ，2x 是关于x 的方程2220()x ax a -+=ÎR 的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有（）A ．若12112+=x x ，则2a =B ．若121x x <<，则32a >C ．若π02a b <<<，且1tan x a =，2tan x b =，则a b +为锐角D ．若1x ，2x 均小于2，则(3,2a öÎ-¥÷øU 35．已知函数()23,021,0x x x x f x x -ì-£=í->î，若关于x 的方程()()()221630f x a f x a +-×-=有4个不同的实根，则实数a 可能的取值有（）A ．112-B ．38-C ．14-D ．18-36．已知函数()222,0log ,0x x x f x x x ì--£ï=í>ïî，且()()234230f x af x a -++=有5个零点，则a 的可能取值有（）A ．1B ．32-C ．3-D ．5-37．已知函数()()2222,41log 1,14x x f x x x +ì--££-ï=í+-<£ïî，若函数()()21f x mf x --恰有5个零点，则m的值可以是（）A ．0B ．1C ．32D ．238．已知函数()()()()2221,0,22log ,0x x f x g x f x mf x x x ì+£ï==-+í>ïî，下列说法正确的是（）A ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >B ．()y f x =只有一个零点1x =C ．若()y f x a =-有两个零点()1212,x x x x ¹，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >.39．已知函数()e xxf x =，且关于x 的方程()()20f x mf x m ++=éùëû有3个不等实数根，则下列说法正确的是（）A ．当0x >时，()0f x >B ．()f x 在()1,+¥上单调递减C ．m 的取值范围是1,02æö-ç÷èøD ．m 的取值范围是21,0e e æö-ç÷+èø40．设函数()2e ,0313,022x x f x x x x ì£ï=í-++>ïî，函数()()()222g x f x bf x b =-+-，则下列说法正确的是（）A ．当1b =时，函数()g x 有3个零点B ．当4140b =时，函数()g x 有5个零点C ．若函数()g x 有2个零点，则2b <-或625b <<D ．若函数()g x 有6个零点，则112b <<41．已知函数()224,021,0x x x x f x x -ì+<=í-³î，若关于x 的方程()()244230f x a f x a -×++=有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为（）A ．32-B ．43-C ．54-D ．76-42．已知函数()()21,0,0x ax x f x f x x ì++³ï=í--<ïî，有4个零点()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则（）A ．实数a 的取值范围是(),2¥--B ．函数()f x 的图象关于原点对称C ．12342x x x x =D ．1234357x x x x +++的取值范围是()8,¥+43．已知函数()21243,0log ,0x x x f x x x ì---£ï=í>ïî，若方程()()2[]10f x mf x ++=恰有6个不相等的实数根，则实数m 的值可能是（）A ．53B ．73C ．103D ．11344．在下列命题中，正确的是（）A ．已知命题p ：“0x "³，都有tan x x ³，则命题p 的否定：“0x $<，都有tan x x <”B ．若函数()f x 满足()()2sin f x f x x +-=，则π162f æö=ç÷èøC ．“方程210x ax -+=有两个不相等的正实数根”的充要条件是“2a >”D ．若函数()1e 1x af x =-+是定义在区间[]2,a b -上的奇函数，则2b =45．已知函数()f x 的定义域为D ，且[,]a b D Í，若函数()f x 在[],x a b Î的值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍美好区间”.特别地，当1k =时，称[],a b 为()f x 的“完美区间”，则（）A ．函数21()2f x x x =-+存在“3倍美好区间”B ．函数1()3f x x=-+不存在“完美区间”C．若函数()f x m =-“完美区间”，则1,04m æùÎ-çúèûD ．若函数||1()||m x f x x -=存在“完美区间”，则(2,)m Î+¥题型四根据指对幂函数零点的分布求参数范围问题46．已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f ¹，若()()()f x y f x f y xy +-=-，则（）A ．()01f =B ．()23log 32f f æö>ç÷èøC ．方程()21xf x =-有唯一的实数解D ．函数()y xf x =有最小值47．已知函数()()ln ,12,1x a x x f x f x x +³ì=í-<î存在n 个零点12,,,,N n x x x n *×××Î，则（）A ．n 为偶数B ．e 1a -££-C ．122n x x x +++=L D ．1224n x x x ×××<L 48．已知实数,,x y z满足：22log xz ==，则下列不等式中可能成立的是（）A ．y x z <-ïî，若函数()y f x m =-有三个零点1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则（）A ．14m <£B ．3151162x -<£-C ．函数()1f x +的增区间为[]2,1--D．2212log x x ++8+50．已知函数()14,0lg 1,0x x f x xx x ì++<ï=íï+>î，若方程()f x a =有4个不同实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则（）A ．2a >B ．411110x x ->C ．341100x x =D ．221211214x x <+<51．已知1x ，2x 为函数()()32024log 3xf x x -=--的两个零点，则下列结论中正确的有（）A ．()()12440x x --D ．若12x x <，则1213320242024x x --<52．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ì-+£=í>î，下列关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的说法中，正确的是（）A ．当1k >，有1个零点B ．当1k >时，有3个零点C ．当0k <时，有9个零点D ．当4k =-时，有7个零点53．记函数1,0()lg ,0x x f x x x ì+£=í>î，若123()()()f x f x f x ==（1x ，2x ，3x 互不相等），则123x x x ++的值可以是（）A ．2-B ．6C ．8D ．954．已知函数()1231,0,log ,0,x x f x x x +ì-£ï=í>ïî1x ，2x ，3x ，4x 是函数()()g x f x m =-的4个零点，且1234x x x x <<<，则（）A ．m 的取值范围是(]0,2B ．122333x x+=C ．344x x +的最小值是4D ．1234332x x x x ++55．已知函数()121x f x -=-，若关于x 的方程()()f f x m =有6个不相等的实根，则实数m的值可能为（）A ．14B ．13C ．12D56．已知函数()()()1101xf x x x x =--×>，()()()1lg 1g x x x x x =--×>的零点分别为12,x x ，则（）A ．1210x x ×57．已知函数()222,0log ,0x x x f x x x ì--£ï=í>ïî，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x k ====，则下列结论正确的是（）A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．01k <<58．已知函数()21,144,1x x f x x x x ì-<ï=í+-³ïî，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个互不相等的实数根()12343124,,,x x x x x x x x >>>，则下列叙述中正确的有（）A ．140x x +=í--+£î，若关于x 的方程()()22210f x af x a -+-=有()k k ÎN 个不等的实根1x 、2x 、L 、k x 且12k x x x <<<L ，则下列判断正确的是（）A ．当0a =时，5k =B ．当2k =时，a 的范围为(),1-¥-C ．当8k =时，14673x x x x ++=-D ．当7k =时，a 的范围为()1,260．已知函数()()()lg2lg512xf x =+-，实数a 、()b a b <是函数()y f x m =-的两个零点，则下列结论正确的有（）A ．1m >B ．01m <<C ．222a b +=D．0a b +<1．函数()ln 1f x x =-的零点是（）A ．eB ．1eC ．10D ．1102．已知函数()()()()221,log 111x x xf x xg x x x x x =->=->--的零点分别为,a b ，则11a b +的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知正数a b c ，，满足e ln e ln 1a c a b b c ===，则a b c ，，的大小关系为（）A ．c<a<bB ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<4．已知a 是方程e 40x x +-=的实根，则下列各数为正数的是（）A ．22a a -B ．e 2a -C ．ln aD ．23a a -5．下列命题为真命题的是（）A ．若22ac bc >，则a b>B ．函数()1f x +的定义域为[]0,1，则()3xf 的定义域为[]3,9C ．若幂函数()f x 的图像过点13,27A æöç÷èø，则()3f x x-=D ．函数()3ln f x x x=-的零点所在区间可以是()1,26．关于函数()π2sin 213f x x æö=-+ç÷èø，下列结论正确的是（）A ．π,06æöç÷èø是()f x 的一个对称中心B ．函数()f x 在π0,6æöç÷èø上单调递增C ．函数()f x 图像可由函数()2cos21g x x =+的图像向右平移5π12个单位得到D ．若方程()20f x m -=在区间π12π,2éùêúëû上有两个不相等的实根，则2,6m éùÎëû7．对于函数()3e x xf x =，下列说法正确的是（）A ．()f x 有最小值但没有最大值B ．对于任意的(),0x Î-¥，恒有()0f x <C ．()f x 仅有一个零点D ．()f x 有两个极值点8．已知函数224,0()log ,0x x x f x x x ì--£ï=í>ïî，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是（） A ．124x x +=-B ．341x x ×=C ．414x <<D ．123402x x x x <£9．（多选）已知函数()()22,02ln 11,0x x t x f x x x ì-+£ï=í+->ïî，若函数(())y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值可以是（）A ．-3B ．-2C ．0D ．210．已知函数3()34,[0,2]f x x x x =-+Î，则下列选项中正确的是（）A ．()f x 的值域为[]2,6B ．()f x 在1x =处取得极小值为2C ．()f x 在[]0,2上是增函数D ．若方程()f x a =有2个不同的根，则[2,4]a Î11．已知函数()1e ,01ln ,04x x x f x x x +ì-£ï=í->ïî，下列选项中正确的是（）A ．()f x 在(),1-¥-上单调递增，在()1,0-上单调递减B ．()f x 有极大值C ．()f x 无最小值D ．若函数()()()()2[]24h x f x af x a =-+ÎR 恰有6个零点，则实数a 的取值范围是5,2æö+¥ç÷èø12．方程()230x m x m +-+=有两个实根，则实数m 的取值范围是．13．若函数()cos2sin f x x m x =-在π,π6æöç÷èø上有2个零点，则m 的取值范围是.14．若关于x 的方程sin cos x x k -=无解，则实数k 的取值范围是.15．已知函数()22x f x x =+-，()2log 2g x x x =+-，()32h x x x =+-的零点分别为a ，b ，c ，则a b c ++=．若1x 满足22=5x x +，2x 满足222log (1)5x x +-=，则12=x x + .16．设函数 22,0()lg ,0x x x f x x x ì+£ï=í>ïî若关于x 的方程22()(12)()0f x m f x m m +-+-=有5个不的取值范围是．17．已知函数()44,4x f x f x x £<=-³ïî，若对于正数()*n k n ÎN ，直线n y k x =与函数()f x 的图像恰好有21n +个不同的交点，则22212n k k k +++=L．18．若函数 ()22ln 1f x ax x =--有两个零点，则a 的取值范围为 .19．已知函数()|ln |f x x b =+，关于以下四个结论：①函数()f x 的值域为[,)b +¥；②当a b >时，方程()f x a =有两个不等实根；③当0b =，0a >时，设方程()f x a =的两个根为1x ，2x ，则12x x +为定值；④当0b =，0a >时，设方程(1)f x a +=的两个根为1x ，2x ，则12120x x x x ++=．则所有正确结论的序号为．20．已知函数2)()(e x f x x ax =-.(1)若曲线()y f x =在=1x -处的切线与y 轴垂直，求()y f x =的极值.(2)若()f x 在(0,)+¥只有一个零点，求a .。

零点与交点问题-讲义(学生版)

零点与交点问题一、课堂目标1．熟练掌握函数零点、实根、交点的联系以及零点存在性判定定理．2．会利用导数判断函数零点的个数．3．会由函数零点存在的情况求参数范围．二、知识讲解1. 函数的零点与交点知识精讲（1）函数零点、实根、交点的联系①对于函数，使的实数叫做函数的零点．②函数的零点就是方程实数根，即的图象与轴交点的横坐标．即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且，则函在区间内有零点，即存在，使得，这个就是方程的根．（3）利用导数研究函数零点问题的方法及步骤方法一：直接描绘图象法①对函数求导；②求出函数的单调性，极值点与极值；③画出函数的草图；④数形结合，确定函数与轴的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．方法二：作差整体构造法①构造新函数，从而将研究与的交点问题转化为研究函数的零点问题；②对进行求导；③通过导函数研究函数的单调性、极值点与极值；④从而简单画出函数的图象；⑤故可以推出函数与轴交点的分布情况，即函数与函数的图象交点情况．经典例题A. B.C.D.1.函数在内零点的个数为（）．A. B. C. D.2.函数的零点的个数是（）．巩固练习3.已知，则零点个数．A.B.C.D.4.函数的零点的个数是（）．经典例题5.已知函数，．求证：有两个不同的实数解．6.已知函数.当时，证明：函数只有一个零点．巩固练习7.已知函数．讨论函数的零点的个数．2. 利用导数研究函数零点的个数知识精讲（1）利用导数研究函数零点问题的方法及步骤方法三：参变分离法描绘图像法①求出函数的定义域；②将函数参变分离，转化为含参常函数与不含参函数的交点问题；③对不含参函数进行求导；④求出函数的单调性，极值点与极值；⑤画出函数的草图；⑥数形结合，根据含参常函数与不含参函数的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．（2）研究含参函数的零点个数函数的零点个数是函数图象与轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数问题，一般可以从两个方面讨论：①一是利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数；②二是分离参数，将问题转化为求直线和的图象的交点个数问题.经典例题8.已知函数，当时，函数的零点个数为．巩固练习9.求函数的零点个数．经典例题10.讨论函数的零点个数．巩固练习11.讨论函数的零点个数．12.讨论函数（）的零点个数，并说明理由．3. 由函数零点存在的情况求参数范围知识精讲研究此类问题可以从以下两点考虑：（1）根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出参数需要满足的条件，进而求出参数的取值范围（值）；（2）可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解.经典例题A.B.C.D.13.函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）．巩固练习A. B.C. D.14.已知函数(为自然对数的底数)在上有两个零点，则实数的取值范围是( )经典例题A.B.C.D.15.已知函数，若函数（为常数）有三个零点，则实数的取值范围为（）．巩固练习16.已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是．经典例题17.已知函数．若有两个零点，求的取值范围．巩固练习18.已知函数，其中．若函数有两个不同的零点，求的取值范围．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测19.函数的零点个数为．20.若函数有零点，则实数的取值范围是（）．A. B.C. D.。

第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根) (精讲+精练)(学生版)

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。

“三大思维体系”,搞定恒、能成立问题与零点问题(学生版)

“三大思维体系”，搞定恒、能成立问题与零点问题目录一、重难点题型方法<思维一：分离参数>题型一：恒成立问题(一)题型二：存在性问题(一)题型三：零点问题(一)<思维二：带参讨论>题型四：恒成立问题(二)题型五：存在性问题(二)题型六：零点问题(二)<思维三：数形结合>题型七：恒成立问题(三)题型八：存在性问题(三)题型九：零点问题(三)<拓展方法>题型十：恒、能成立的四种混合问题题型十一：同构问题题型十二：{min ,max }问题二、针对性巩固练习重难点题型方法<思维一：分离参数>题型一：恒成立问题(一)【典例分析】1(2023·全国·高二专题练习)若x 2e 3x ≥(k +5)x +2ln x +1在0,+∞ 恒成立，则k 的取值范围为()A.k ≥-1B.k ≥-2C.k ≤-2D.k ≤-12(2023·全国·本溪高中校联考模拟预测)已知函数f x 满足2f x +f 1x =mx 2+3x +2mx ，若∀x ∈1,+∞ ，f x ≤e x，则m 的取值范围为()A.e -1,+∞B.e -1,+∞C.-∞,e -1D.-∞,e -13(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =1-ax ln x +1 -bx ，曲线y =f x 恒与x 轴相切于坐标原点．(1)求常数b 的值；(2)当0≤x ≤1时，f x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(3)求证：1+1n n <e <1+1n n +1恒成立．4(2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校考阶段练习)已知函数f x =2a x -1 e x -x 2(其中a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)讨论f x 的单调性；(2)当x >1时，f x +1 >ln x -x 2-x -3，求a 的取值范围．方法归纳【方法技巧总结】1. ∀x ∈D ，m ≤f x ⇔m ≤f x min ；2. ∀x ∈D ，m ≥f x ⇔m ≥f x max ；【变式训练】1(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=ax +ln x +1-xe 2x 对任意的x >0，f x ≤0恒成立，则实数a 的取值范围为()A.-∞,0B.-∞,2C.-∞,1D.-∞,32(2023·北京·高三专题练习)已知函数f x =lg 2x +4x 2+1 ，若对于任意的x ∈1,2 时，f x 2-1 +f mx -6>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-∞,0B.12,+∞C.-∞,0D.4,+∞3(2023·山西·校联考模拟预测)设函数f x =x +1 e x +m x +2 2,m ∈R ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ∈[-2,+∞)时，不等式f x -1 ≥m x 2+3x -e 恒成立，求m 的取值范围．4(2023春·山西运城·高二校联考阶段练习)已知函数f x =ae x -x 2+x -2.(1)若a =1，求函数f x 在x =1处的切线方程；(2)已知g x =-x 2，若f x ≤g x 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.题型二：存在性问题(一)【典例分析】5(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)若存在x∈1,+∞，使得关于x的不等式1+1 xx+a≥e成立，则实数a的最小值为()A.2B.1ln2C.ln2-1 D.1ln2-16(2022秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习)若函数f(x)=x3+bx2+3x在13,2上存在单调递增区间，则b的取值范围是()A.-5,+∞B.-3,+∞C.-∞,-5D.-∞,-37(2023·安徽宿州·统考一模)已知函数f(x)=x2+a(x-ln x)-bex(e为自然对数的底数)，a，b∈R.(1)当b=0时，讨论f x 在0,+∞上的单调性；(2)当b=1时，若存在x∈1,e，使f x >0，求a的取值范围.8(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=-2a ln x-2x，g(x)=ax-(2a+1)ln x-2x，其中a∈R.(1)若x=2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；(2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；(3)若存在xÎ1e，e 2(e为自然对数的底)，使得不等式f(x)£g(x)成立，求实数a的取值范围．方法归纳【方法技巧总结】1.∃x ∈D ，m ≤f x ⇔m ≤f x max ；2.∃x ∈D ，m ≥f x ⇔m ≥f x min .【变式训练】5(2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习)已知函数f (x )=ax-1+ln x ，存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是()A.(2，+∞)B.(-∞，-3)C.(-∞，1]D.[3，+∞)6(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)若存在x ∈-1,1 ，使得不等式e 2x -ax <a 成立，则实数a 的取值范围是()A.-∞,2eB.2e ,+∞C.-∞,1eD.1e ,+∞7(2023·全国·高二专题练习)已知函数f x =ax 3+bx +4，当x =2时，函数f x 有极小值0.(1)求函数f x 的解析式；(2)若存在x ∈[3,4]，使不等式f x +mx >0成立，求实数m 的取值范围.8(2022秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考阶段练习)已知函数f x =ax 2ln x -bx 2-c 在x =1处取得极值3-c ，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a 、b 的值；(2)若存在x >0，不等式f x ≥2c 2有解，求a 的取值范围．题型三：零点问题(一)【典例分析】9(2023·全国·高二专题练习)已知函数f x =mx-ln x+m区间1,e内有唯一零点，则m不可能取值为()A.e-1e B.1e+1C.1eD.1+2e10(2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测)若方程x ln x+e x+1-ax=0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A.e,+∞B.e+1,+∞C.2e,+∞D.e-1,+∞11(2023春·河南·高二校联考期末)已知函数f x =ae x-x，a∈R．(1)当a=1e时，证明：f x -ln x+x-1≥0在0,+∞上恒成立；(2)若f x 有2个零点，求a的取值范围．12(2023·贵州·统考模拟预测)已知f x =a2x2-a+2x+2ln x.(1)讨论f x 的单调性；(2)确定方程f x =a2x2的实根个数.方法归纳【方法技巧总结】1. 分参，然后构造新函数，利用导数画出新函数的图象，再根据函数与方程把零点问题转化为图象交点问题。

利用导数研究零点问题及方程的根的问题(学生版)

利用导数研究零点问题及方程的根的问题1.已知函数f x =x cos x +14x 2，f ′x 为f x 的导函数．(1)若x ∈0,π2 ,f x ≥mx 2成立，求m 的取值范围；(2)证明：函数g x =f ′x +cos x 在0,π2 上存在唯一零点．2.已知函数f x =e x+ae x-a-1x-2a∈R(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若a∈(-∞,2]，求函数f(x)在区间(-∞,2]上的零点个数.3.设函数f x =x2-ax+2sin x.(1)若a=1，求曲线y=f x的斜率为1的切线方程；(2)若f x 在区间0,2π上有唯一零点，求实数a的取值范围.4.已知f x =e x-2x.(1)求f x 的单调区间；上无实数解(2)证明：方程f x =cos x在-π2,05.已知函数f(x)=e x+sin x-cos x，f (x)为f(x)的导数.(1)证明：当x≥0时，f (x)≥2；(2)设g x =f x -2x-1，证明：g(x)有且仅有2个零点.6.已知函数f x =x2e x-a ln x，a≠0．(1)若a=1e，分析f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．7.已知函数f x =x -2 e x -ax +a ln x a ∈R ．(1)当a =-1时，求函数f x 的单调区间；(2)当a <e 时，讨论f x 的零点个数．8.函数f x =x -2 e x ,g x =13ax 3-12x 2-x +4a sin x +x +1 ln x +1 ,a >0.(1)求函数f x 在x ∈-1,2 的值域；(2)记f x ,g x 分别是f x ,g x 的导函数，记max m ,n 表示实数m ,n 的最大值，记函数F x =max f x ,g x ，讨论函数F x 的零点个数.9.设函数f x =-12x2+a-1x+a ln x+a2，a>0．(1)若a=1，求函数f x 的单调区间和最值；(2)求函数f x 的零点个数，并说明理由．10.已知函数f x =x-2sin x．(1)求f x 在0,π的极值；(2)证明：函数g x =ln x-f x 在0,π有且只有两个零点．11.已知函数f(x)=ax2-x-ln x．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在定义域内有两个不相等的零点x1,x2．①求实数a的取值范围；②证明：f x1+x2．>2-ln x1+x212.已知函数f x =e x-1-ln x-ax，a∈R.(1)当a=e-12时，求函数f x 的单调性；(2)当a>0时，若函数f x 有唯一零点x0，证明：1<x0<2.13.已知函数f x =sin x -x +a cos x ，函数g x =13x 3+12ax 2，其中a≥0.(1)判断函数f x 在0,π 上的单调性，并说明理由；(2)证明：曲线y =f x 与曲线y =g x 有且只有一个公共点.14.已知函数f x =3xx+3，g x =b sin x，曲线y=f x 和y=g x 在原点处有相同的切线l．(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数h x =f x -g x 在0,+∞上零点的个数，并说明理由．15.已知函数f (x )=ax ln x -2x ．(1)若f (x )在x =1处取得极值，求f (x )的单调区间；(2)若函数h (x )=f (x )x-x 2+2有1个零点，求a 的取值范围．16.已知f x =x2-x,x≥-1x+3,x<-1，g x=ln x+a．(1)存在x0满足：f x0=g x0，f x0=g x0，求a的值；(2)当a≤4时，讨论h x =f x -g x 的零点个数．17.已知函数f(x)=ln x-a+1x，g(x)=a(x-2)e1-x-1，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<53时，是否存在x1,x2，且x1≠x2，使得f x i =g x i (i=1,2)？证明你的结论.18.设函数f x =ae x+sin x-3x-2，e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a≤0，求证：函数f x 有唯一的零点；(2)若函数f x 有唯一的零点，求a的取值范围.19.已知函数f x =e x -2a x a >0 .(1)若a =e ，讨论f x 的单调性；(2)若x 1，x 2是函数f x 的两个不同的零点，证明：1<x 1+x 2<2ln a +ln2.20.已知函数f x =log a x-x-1x+1,a>0且a≠1.(1)若a=e，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)讨论函数f x 的零点个数.21.已知函数f x =a ln x +x +1x，其中a >0.(1)当a =1时，求f x 的最小值；(2)讨论方程e x +e -x -a ln ax -1ax =0根的个数.22.已知函数f x =x +b e x -a ．(b >0)在-1,f -1 处的切线l 方程为e -1x +ey +e -l =0．(1)求a ，b ，并证明函数y =f x 的图象总在切线l 的上方(除切点外)；(2)若方程f x =m 有两个实数根x 1，x 2．且x 1<x 2．证明：x 2-x 1≤1+m 1-2e 1-e．23.已知函数f x =ax+ln x，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若过点P(1，0)且与曲线y=f x 相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围.24.已知函数f (x )=(x -1)e x -ax 2+b ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f (x )只有一个零点①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．25.已知函数f x =e x 1+a ln x ．(1)当f x 有两个极值点时，求a 的取值范围；(2)若a ≥32，且函数f x 的零点为x 1，证明：导函数f x 存在极小值点，记为x 2，且x 1>x 2．26.函数f(x)=x-sin x-cos x．上的极值；(1)求函数f(x)在-π,π2(2)证明：F(x)=f(x)-ln x有两个零点．27.已知函数f(x)=e x-a sin x-1在区间0,π2内有唯一极值点x1.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：f(x)在区间(0,π)内有唯一零点x2，且x2<2x1.28.已知函数f(x)=e x-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．29.已知函数f x =x3+bx 2x.(1)当b=0时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =2x f x +c在x=2处的切线与x轴平行，若g x 有一个绝对值不大于4的零点，证明：g x 所有零点的绝对值都不大于4.30.已知函数f(x)=ae2x-x2,a∈R．(1)设f(x)的导函数为g(x)，讨论g(x)零点的个数；(2)设f(x)的极值点为x1,x2x1<x2，若ee-2x1+x2≥λx1x2恒成立，求实数λ的取值范围．31.已知函数f x =e mx +nx m ≠0 ．当m =1时，曲线y =f x 在点0,f 0 处的切线与直线x -y +1=0垂直．(1)若f x 的最小值是1，求m 的值；(2)若A x 1,f x 1 ，B x 2f x 2 x 1<x 2 是函数f x 图象上任意两点，设直线AB 的斜率为k ．证明：方程f x =k 在x 1,x 2 上有唯一实数根．32.已知函数f x =xe nx -nx (n ∈N *且n ≥2)的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程y =g x ，并证明：x ≥0时，f x ≥g x ．(2)若关于x 的方程f x =t (t 为实数)有两个正实根x 1,x 2，证明：x 1-x 2 <2t n ln n +ln n n．33.已知函数f x =xe x -a sin x a ∈R ．(1)若∀x ∈0,π，f x ≥0，求a 的取值范围；(2)当a ≥-59时，试讨论f x 在0,2π 内零点的个数，并说明理由．34.已知函数f(x)=a ln x．(1)记函数g(x)=x2-(a+2)x+f(x)，当a>2时，讨论函数g(x)的单调性；(2)设h(x)=f(x)-x2，若h(x)存在两个不同的零点x1,x2，证明：2e<a<x12 +x22(e为自然对数的底数)．35.已知函数f x =3x -1 e x -32ax 2．其中实数a ∈0,+∞ ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)求证：关于x 的方程f x +32=32ax 2-x 3有唯一实数解．。

函数的零点问题

函数零点问题处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但却与函数、导数知识密不可分．用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．[典例] (理)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．[思路演示]解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点．当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a 3，1上单调递增，故在(0,1)上，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝2a3 －a 3＋14. 若f ⎝⎛⎭⎫－a 3＞0，即－34＜a ＜0，则f (x )在(0,1)上无零点．若f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点．上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．[解题师说]对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个：[典例] (文)设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．[方法演示]解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x 2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x ) 的图象(如图)，可知，①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点．[解题师说]对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个：[应用体验]1．已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x －e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，试讨论函数h (x )零点的个数．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1，由题意，知a ＝－1. (2)易知函数g (x )＝e x －e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x ＜1时，g (x )＜0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，且过点⎝⎛⎭⎫0，－14，f (－1)＝34－a ＞0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点，此时y ＝h (x )有两个零点；②当a ＞0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0，得两根为x 1＝－a3＜0，x 2＝ a3＞0，而f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－⎝⎛⎭⎫－ a 33＋a ⎝⎛⎭⎫－ a 3－14＝－2a 3a 3－14＜0. 现在讨论极大值的情况：f a3＝－a 33＋a a 3－14＝2a 3a 3－14，当f a 3＜0，即a ＜34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零，此时y ＝h (x )有两个零点；当f a 3＝0，即a ＝34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝ a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点；当f a 3＞0，即a ＞34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a 3，若f (1)＝a －54＜0，即a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝a －54＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝a －54＞0，即a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a ＜34或a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34＜a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点.[典例] (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． [思路演示]解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a ＋ln a <0，即f (－ln a )<0. 又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．[解题师说]本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题．由于含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．[应用体验]2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．①设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ＝－e2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a ＞－e2，则ln(－2a )＜1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0. 所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减．若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0. 所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．(2)①设a ＞0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝ab 2－32b ＞0，所以f (x )有两个零点．②设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，所以f (x )只有一个零点．③设a ＜0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；若a ＜－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞).[典例] (理)(2018·长春质检)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x ，a ∈R.(1)若f (x )存在极值点1，求a 的值；(2)若f (x )存在两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1＋x 2>2. [思路演示]解：(1)由已知得f ′(x )＝x ＋1－a －ax ，因为f (x )存在极值点1，所以f ′(1)＝0，即2－2a ＝0，a＝1，经检验符合题意，所以a ＝1.(2)证明：f ′(x )＝x ＋1－a －ax＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1－a x (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意；②当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝a ，当x >a 时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增，当0<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，所以当x ＝a 时，f (x )取得极小值f (a )．又f (x )存在两个不同的零点x 1，x 2，所以f (a )<0，即12a 2＋(1－a )a －a ln a <0，整理得ln a >1－12a ，作y ＝f (x )关于直线x ＝a 的对称曲线g (x )＝f (2a －x )，令h (x )＝g (x )－f (x )＝f (2a －x )－f (x )＝2a －2x －a ln 2a －xx，则h ′(x )＝－2＋2a 2(2a －x )x ＝－2＋2a 2－(x －a )2＋a 2≥0，所以h (x )在(0,2a )上单调递增．不妨设x 1<a <x 2，则h (x 2)>h (a )＝0，即g (x 2)＝f (2a －x 2)>f (x 2)＝f (x 1)，又2a －x 2∈(0，a )，x 1∈(0，a )，且f (x )在(0，a )上为减函数，所以2a －x 2<x 1，即x 1＋x 2>2a ，又ln a >1－12a ，易知a >1成立，故x 1＋x 2>2.(文)已知函数f (x )＝ln x ＋tx－s (s ，t ∈R)．(1)讨论f (x )的单调性及最值；(2)当t ＝2时，若函数f (x )恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，求证：x 1＋x 2>4. [思路演示]解：(1)f ′(x )＝x －tx2(x >0)，当t ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无最值；当t >0时，由f ′(x )<0，得x <t ，由f ′(x )>0，得x >t ，f (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝t 处取得极小值也是最小值，最小值为f (t )＝ln t ＋1－s ，无最大值．(2)证明：∵f (x )恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，∴f (x 1)＝ln x 1＋2x 1－s ＝0，f (x 2)＝ln x 2＋2x 2－s ＝0，即s ＝2x 1＋ln x 1＝2x 2＋ln x 2，∴2(x 2－x 1)x 1x 2＝ln x 2x 1，设t ＝x 2x 1>1，则ln t ＝2(t －1)tx 1，x 1＝2(t －1)t ln t ，故x 1＋x 2＝x 1(t ＋1)＝2(t 2－1)t ln t，∴x 1＋x 2－4＝2⎝⎛⎭⎫t 2－1t －2ln t ln t. 令函数h (t )＝t 2－1t－2ln t ，∵h ′(t )＝(t －1)2t 2>0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，∵t >1，∴h (t )>h (1)＝0，又t ＝x 2x 1>1，ln t >0，故x 1＋x 2>4成立．[解题师说]已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．[应用体验]3．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R.(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值；(3)若a ＝－2，正实数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，证明：x 1＋x 2≥5－12. 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，又f ′(x )＝1x ＋1，∴切线斜率为f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x(x >0)，当a ≤0时，∵x >0，∴g ′(x )>0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点．当a >0时，g ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ＝－a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1a.∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )<0. ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数． ∴x ＝1a 时，g (x )有极大值g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a－ln a . 综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a >0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值．(3)证明：当a ＝－2时，f (x )＝ln x ＋x 2＋x ，x >0. f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，即ln x 1＋x 21＋x 1＋ln x 2＋x 22＋x 2＋x 1x 2＝0，从而(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)＝x 1x 2－ln(x 1x 2)，令t ＝x 1x 2(t >0)，φ(t )＝t －ln t ，则φ′(t )＝1－1t ＝t －1t ，由φ′(t )>0，得t >1；由φ′(t )<0，得0<t <1，所以φ(t )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增． ∴φ(t )≥φ(1)＝1，∴(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)≥1，∵x 1>0，x 2>0，∴x 1＋x 2≥5－12.1．已知函数f (x )＝x 2a＋bx －ln x .(1)若a ＝b ＝1，求f (x )的极值；(2)若b ＝－1，函数f (x )有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝b ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x (x ＞0)，则f ′(x )＝2x ＋1－1x ＝(x ＋1)(2x －1)x .当0＜x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋ln 2，无极大值．(2)若f (x )有且只有一个零点，即方程x 2a －x －ln x ＝0在(0，＋∞)上有且只有一个实数根，即1a ＝1x＋ln x x 2. 令h (x )＝1x ＋ln x x 2，则h ′(x )＝1－x －2ln x x 3. 再令φ(x )＝1－x －2ln x ，则φ′(x )＝－1－2x＜0，又φ(1)＝0，因而当x ∈(0,1)时，φ(x )＞φ(1)＝0；当x ∈(1，＋∞)时，φ(x )＜φ(1)＝0. 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，故h (x )≤h (1)＝1，又当x →＋∞时，h (x )→0且h (x )＞0，而当x →0时，h (x )→－∞，所以1a ＜0或1a ＝1，即a ＜0或a ＝1时函数f (x )有且只有一个零点．故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{1}． 2．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求实数c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要不充分条件．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .(2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝－23. 于是，当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝⎭⎫－2，－23，x 3∈⎝⎭－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝⎛⎭⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点，故实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，3227. (3)证明：当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0恒成立，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点．当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增．当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增．所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a －3b >0是f (x )有三个不同零点的必要不充分条件． 3．(理)设函数f (x )＝1－m －xe x.(1)求函数f (x )在[0,2]上的单调区间；(2)当m ＝0，k ∈R 时，求函数g (x )＝f (x )－kx 2在R 上零点个数．解：(1)f ′(x )＝x ＋m －2e x，令f ′(x )＝0，得x ＝2－m .当2－m ≤0，即m ≥2时，f ′(x )≥0，f (x )在[0,2]上单调递增．当0＜m ＜2时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2－m ；由f ′(x )＞0，得2－m ＜x ＜2，所以f (x )在[0,2－m ]上单调递减，在[2－m,2]上单调递增．当m ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在[0,2]上单调递减．综上，当m ≥2时，f (x )的单调递增区间为[0,2]；当0<m <2时，f (x )的单调递减区间为[0,2－m ]，单调递增区间为[2－m,2]；当m ≤0时，f (x )的单调递减区间为[0,2]．(2)当m ＝0时，由g (x )＝f (x )－kx 2＝0，得1－x e x ＝kx 2，即k ＝1－x x 2e x (x ≠0)．令h (x )＝1－xx 2e x ，则h ′(x )＝x 2－2x 3e x . 由h ′(x )＞0，得－2＜x ＜0或x ＞2；由h ′(x )＜0，得x ＜－2或0＜x ＜2，∴h (x )在(－∞，－2)，(0，2)上单调递减，在(－2，0)，(2，＋∞)上单调递增．在x ＜0时，当x ＝－2时，h (x )取得极小值h (－2)＝1＋22e 2，当x →－∞时，h (x )→＋∞；x →0时，h (x )→＋∞. 在x ＞0时，当x ＝2时，h (x )取得极小值h (2)＝1－22e 2＜0，当x →0时，h (x )→＋∞，x →＋∞时，h (x )→0.画出函数h (x )的大致图象如图所示，当k ＜1－22e 2时，g (x )没有零点，当k ＝1－22e 2或0≤k ＜1＋22e2时，g (x )有1个零点，当1－22e2＜k ＜0或k ＝1＋22e 2时，g (x )有2个零点，当k ＞1＋22e2时，g (x )有3个零点．(文)已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax ＋b .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝ax 恰有两个不同的交点，求实数b 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x ＋x －x ＋b ，所以f ′(x )＝3x ＋2x －1，由f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞13，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎫13，＋∞. (2)函数f (x )的图象与直线y ＝ax 恰有两个不同的交点，等价于f (x )－ax ＝0有两个不等的实根．令g (x )＝f (x )－ax ＝x 3＋x 2＋b ，则g ′(x )＝3x 2＋2x .由g ′(x )＞0，得x ＜－23或x ＞0；由g ′(x )＜0，得－23＜x ＜0. 所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－23，0上单调递减．所以当x ＝－23时，函数g (x )取得极大值g ⎝⎛⎭⎫－23＝427＋b ，当x ＝0，时函数g (x )取得极小值为g (0)＝b . 要满足题意，则需g ⎝⎛⎭⎫－23＝427＋b ＝0或g (0)＝b ＝0，所以b ＝－427或b ＝0. 4．(2018·广西三市第一次联考)已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a >0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2ln x －x 2，∴f ′(x )＝2x－2x ，∴f ′(1)＝0，又f (1)＝－1， ∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋1＝0.(2)∵f (x )＝2a 2ln x －x 2，∴f ′(x )＝2a 2x －2x ＝2a 2－2x 2x ＝－2(x －a )(x ＋a )x ， ∵x >0，a >0，∴当0<x <a 时，f ′(x )>0，当x >a 时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数．(3)由(2)得f (x )max ＝f (a )＝a 2(2ln a －1)．讨论函数f (x )的零点情况如下：①当a 2(2ln a －1)<0，即0<a <e 时，函数f (x )无零点，在(1，e 2)上无零点．②当a 2(2ln a －1)＝0，即a ＝e 时，函数f (x )在(0，＋∞)内有唯一零点a ，而1<a ＝e<e 2，∴f (x )在(1，e 2)上有一个零点．③当a 2(2ln a －1)>0，即a >e 时，由于f (1)＝－1<0，f (a )＝a 2(2ln a －1)>0，f (e 2)＝2a 2ln e 2－e 4＝4a 2－e 4＝(2a －e 2)(2a ＋e 2)，当2a －e 2<0，即e<a <e 22时，1<e<a <e 22<e 2，f (e 2)<0，由函数的单调性可知，函数f (x )在(1，a )上有唯一零点x 1，在(a ，e 2)上有唯一零点x 2，∴f (x )在(1，e 2)上有两个零点．当2a －e 2≥0，即a ≥e 22>e 时，f (e 2)≥0，由函数的单调性可知，f (x )在(1，e)上有唯一的一个综上所述，当0<a <e 时，函数f (x )无零点；当a ＝e 或a ≥e 22时，函数f (x )有一个零点；当e<a <e 22时，函数f (x )有两个零点．。

专题02 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题(学生版) -25年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.(一) 确定函数零点个数1.研究函数零点的技巧用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．2. 判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题．(2)分离出参数,转化为a ＝g (x ),根据导数的知识求出函数g(x )在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y ＝a 与函数y ＝g (x )图象交点的个数问题．只需要用a 与函数g (x )的极值和最值进行比较即可．3. 处理函数y =f (x )与y =g (x )图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f (x )=g (x )根的个数问题,也通过构造函数y =f (x )-g (x ),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况.【例1】（2024届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数）已知函数()()20,ex ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．【解析】（1）由题易得，函数()2ex ax f x =的定义域为R ，又()()()22222e e 2e e e x xx xxax x ax ax ax ax f x ---===¢，所以，当0a >时，()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表：x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢-0+0-()f x ]极小值Z极大值]由上表可知，()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()(),0,2,¥¥-+．所以()f x 的极大值为()()2420e af a =>．当a<0时，()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表：x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z由上表可知，()f x 的单调递增区间为()(),0,2,¥¥-+，单调递减区间为()0,2．所以()f x 的极大值为()()000f a =<．综上所述，当0a >时，()f x 的极大值为24ea；当a<0时，()f x 的极大值为0．（2）方法一：当1a =时，()2e x xf x =，所以函数()()2cos cos e x xg x f x x x =-=-．由()0g x =，得2cos e xx x =．所以要求()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点的个数，只需求()y f x =的图象与()cos h x x =的图象在区间π,2024π2éù-êúëû上的交点个数即可．由（1）知，当1a =时，()y f x =在()(),0,2,¥¥-+上单调递减，在()0,2上单调递增，所以()y f x =在区间π,02éù-êúëû上单调递减．又()cos h x x =在区间π,02éù-êúëû上单调递增，且()()()()()1e 1cos 11,001cos00f h f h -=>>-=-=<==，所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间π,02éù-êúëû上只有一个交点，所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且只有1个零点．因为当10a x =>，时，()20ex x f x =>，()f x 在区间()02，上单调递增，在区间()2,¥+上单调递减，所以()2e x xf x =在区间()0,¥+上有极大值()2421e f =<，即当1,0a x =>时，恒有()01f x <<．又当0x >时，()cos h x x =的值域为[]1,1-，且其最小正周期为2πT =，现考查在其一个周期(]0,2π上的情况，()2ex x f x =在区间(]0,2上单调递增，()cos h x x =在区间(]0,2上单调递减，且()()0001f h =<=，()()202cos2f h >>=，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]0,2上只有一个交点，即()g x 在区间(]0,2上有且只有1个零点．因为在区间3π2,2æùçúèû上，()()0,cos 0f x h x x >=£，所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间3π2,2æùçúèû上无交点，即()g x 在区间3π2,2æùçúèû上无零点．在区间3π,2π2æùçúèû上，()2ex x f x =单调递减，()cos h x x =单调递增，且()()3π3π002π1cos2π2π22f h f h æöæö>><<==ç÷ç÷èøèø，，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间3π,2π2æùçúèû上只有一个交点，即()g x 在区间3π,2π2æùçúèû上有且只有1个零点．所以()g x 在一个周期(]0,2π上有且只有2个零点．同理可知，在区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上，()01f x <<且()2e xx f x =单调递减，()cos h x x =在区间(]2π,2ππk k +上单调递减，在区间(]2ππ,2π2πk k ++上单调递增，且()()()02π1cos 2π2πf k k h k <<==，()()()2ππ01cos 2ππ2ππf k k h k +>>-=+=+()()()02ππ1cos 2ππ2ππf k k h k <+<=+=+，所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]2π,2ππk k +和2ππ,2π2π]k k ++（上各有一个交点，即()g x 在(]2π,2024π上的每一个区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上都有且只有2个零点．所以()g x 在0,2024π]（上共有2024π220242π´=个零点．综上可知，()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点．方法二：当1a =时，()2e x xf x =，所以函数()()2cos cos ex x g x f x x x =-=-．当π,02éùÎ-êúëûx 时，()22sin 0e x x x g x x -=¢+£，所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上单调递减．又()π0,002g g æö-><ç÷èø，所以存在唯一零点0π,02x éùÎ-êúëû，使得()00g x =．所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且仅有一个零点．当π3π2π,2π,22x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时，20cos 0ex x x ><,，所以()0g x >．所以()g x 在π3π2π,2π,22k k k æù++ÎçúèûN 上无零点．当π0,2x æùÎçèû时，()22sin 0exx x g x x -=¢+>，所以()g x 在区间π0,2æöç÷èø上单调递增．又()π00,g 02g æö<>ç÷èø，所以存在唯一零点．当*π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN 时，()22sin exx x g x x ¢-=+，设()22sin e x x x x x j -=+，则()242cos 0exx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上单调递增．又()π2π0,2π+02g k g k æö¢<>ç÷èø¢，所以存在*1π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN ，使得()10g x ¢=．即当()12π,x k x Î时，()()10,g x g x <¢单调递减；当1π,2π2x x k æùÎ+çúèû时，()()10,g x g x >¢单调递增．又()π2π0,2π02g k g k æö<+>ç÷èø，所以()g x 在区间*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点所以()g x 在区间π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点．当3π2π,2π2π,2x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时，()22sin exx x g x x ¢-=+，设()22sin e x x x x x j -=+，则()242cos 0e xx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递增．又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+<+<ç÷¢¢èø，所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递减：又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+>+<ç÷èø，所以存在唯一23π2π,2π2π2x k k æöÎ++ç÷èø，使得()20g x =．所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上有且仅有一个零点．所以()g x 在区间(]2π,2π2π,k k k +ÎN 上有两个零点．所以()g x 在(]0,2024π上共有2024π220242π´=个零点．综上所述，()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点．(二) 根据函数零点个数确定参数取值范围根据函数零点个数确定参数范围的两种方法1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围；2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定.【例2】（2024届天津市民族中学高三下学期5月模拟）已知函数()()ln 2f x x =+(1)求曲线()y f x =在=1x -处的切线方程；(2)求证：e 1x x ³+；(3)函数()()()2h x f x a x =-+有且只有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）因为()12f x x ¢=+，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线斜率为()11112f -==-+¢，又()()1ln 120f -=-+=，所以切线方程为1y x =+.（2）记()e 1x g x x =--，则()e 1xg x ¢=-，当0x <时，()0g x ¢<，函数()g x 在(),0¥-上单调递减；当0x >时，()0g x ¢>，函数()g x 在()0,¥+上单调递增.所以当0x =时，()g x 取得最小值()00e 10g =-=，所以()e 10xg x x =--³，即e 1x x ³+.（3）()()()()()2ln 22,2h x f x a x x a x x =-+=+-+>-，由题知，()()ln 220x a x +-+=有且只有两个不相等实数根，即()ln 22x a x +=+有且只有两个不相等实数根，令()()ln 2,22x m x x x +=>-+，则()()()21ln 22x m x x -+=+¢，当2e 2x -<<-时，()0m x ¢>，()m x 在()2,e 2--上单调递增；当e 2x >-时，()0m x ¢<，()m x 在()e 2,¥-+上单调递减.当x 趋近于2-时，()m x 趋近于-¥，当x 趋近于+¥时，()m x 趋近于0，又()1e 2ef -=，所以可得()m x 的图象如图：由图可知，当10ea <<时，函数()m x 的图象与直线y a =有两个交点，所以，a 的取值范围为10,e æöç÷èø.(三)零点存在性赋值理论及应用1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a ) 的符号,探求赋值点 m (假定 m < a )使得 f (m ) 与 f (a ) 异号,则在 (m ,a ) 上存在零点．2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；确保赋值点 x 0 落在规定区间内；确保运算可行三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点（见例2解法）,放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.【例3】（2024届山东省烟台招远市高考三模）已知函数()()e x f x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.【解析】（1）求导知()1e xf x a =¢+.当0a ³时，由()1e 10xf x a ¢=+³>可知，()f x 在(),¥¥-+上单调递增；当a<0时，对()ln x a <--有()()ln 1e 1e0a xf x a a --=+>+×=¢，对()ln x a >--有()()ln 1e 1e 0a x f x a a --=+<+×=¢，所以()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增，在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.综上，当0a ³时，()f x 在(),¥¥-+上单调递增；当a<0时，()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增，在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.（2）当3a =时，()3e xf x x =+，故原方程可化为3e 13e 3e xx xx m x +=++.而()23e 13e 3e 3e 3e 3e 3e x x x x x x xx x x x x x x +-=-=+++，所以原方程又等价于()23e 3e xx x m x =+.由于2x 和()3e3e xxx +不能同时为零，故原方程又等价于()23e 3e x x xm x =×+.即()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=.设()e xg x x -=×，则()()1e xg x x -=-×¢，从而对1x <有()0g x ¢>，对1x >有()0g x ¢<.故()g x 在(],1-¥上递增，在[)1,+¥上递减，这就得到()()1g x g £，且不等号两边相等当且仅当1x =.然后考虑关于x 的方程()g x t =：①若0t £，由于当1x >时有()e 0xg x x t -=×>³，而()g x 在(],1-¥上递增，故方程()g x t =至多有一个解；而()110eg t =>³，()0e e t g t t t t --=×£×=，所以方程()g x t =恰有一个解；②若10e t <<，由于()g x 在(],1-¥上递增，在[)1,+¥上递减，故方程()g x t =至多有两个解；而由()()122222e2e e 2e 2e 12e 22x x x x xxx x g x x g g -------æö=×=×××=××£××=×ç÷èø有1222ln 1ln 222ln 2e2e t t g t t -×-æö£×<×=ç÷èø，再结合()00g t =<，()11e g t =>，()22ln 2ln 2e ln e 1t>>=，即知方程()g x t =恰有两个解，且这两个解分别属于()0,1和21,2ln t æöç÷èø；③若1t e=，则()11e t g ==.由于()()1g x g £，且不等号两边相等当且仅当1x =，故方程()g x t =恰有一解1x =.④若1e t >，则()()11eg x g t £=<，故方程()g x t =无解.由刚刚讨论的()g x t =的解的数量情况可知，方程()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=存在三个不同的实根，当且仅当关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t æöÎç÷èø，21,e t ¥æùÎ-çúèû.一方面，若关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ，且110,e t æöÎç÷èø，21,e t ¥æùÎ-çúèû，则首先有()20Δ93694m m m m <=+=+，且1212119e e m t t t -=£<.故()(),40,m ¥¥Î--È+， 219e m >-，所以0m >.而方程2390t mt m--=，两解符号相反，故只能1t =，2t =23e m >这就得到203e m ->³，所以22243e m m m æö->+ç÷èø，解得219e 3e m <+.故我们得到2109e 3em <<+；另一方面，当2109e 3e m <<+时，关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根1t =，2t 22116e 13319e 3e 9e 3e 2et +×+×++===，2t 综上，实数m 的取值范围是210,9e 3e æöç÷+èø.(四)隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为0x ,再利用导函数的单调性确定0x 所在区间,最后根据()00f x ¢=,研究()0f x ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若)(x f 中含有参数a ,关系式0)('0=x f 是关于a x ,0的关系式,确定0x 的合适范围,往往和a 的范围有关.【例4】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数()e xf x =，()ln g x x =.(1)若函数()()111x h x ag x x +=---，a ÎR ，讨论函数()h x 的单调性；(2)证明：()()()()1212224x f x f x g x -->-.（参考数据：45e 2.23»，12e 1.65»）【解析】（1）由题意()()1ln 1,11x h x a x x x +=-->-，所以()()22,11ax a h x x x -+¢=>-，当0a =时，()0h x ¢>，所以()h x 在()1,+¥上为增函数；当0a ¹时，令()0h x ¢=得21x a=-，所以若0a >时，211a-<，所以()0h x ¢>，所以()h x 在()1,+¥上为增函数，若0<a 时，211a ->，且211x a<<-时，()0h x ¢>，21x a >-时，()0h x ¢<，所以()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数，在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数，综上：当0a ³时，()h x 在()1,+¥上为增函数，当0<a 时，()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数，在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数；（2）()()()()1212224x f x f x g x -->-等价于()2121e e 2ln 204x x x x ---+>，设()()2121e e 2ln 24x x F x x x =---+，则()()()222e 2e 12e e 2e e x x x x x x x x x x F x x x x x-+--¢=--==，因为0x >，所以e 10x x +>，设()e 2x x x j =-，则()()10e xx x j ¢=+>，则()x j 在()0,¥+上单调递增，而()4544e 20,1e 2055j j æö=-<=->ç÷èø，所以存在04,15x æöÎç÷èø，使()00x j =，即00e 2xx =，所以00ln ln 2x x +=，即00ln ln 2x x =-，当00x x <<时，()0F x ¢<，则()F x 在()00,x 上单调递减，当0x x >时，()0F x ¢>，则()F x 在()0,x +¥上单调递增，所以()()00200min 121e e 2ln 24x x F x x x =---+()000220001421212ln 22222ln 224x x x x x x =---++=-+-+，设()21422ln 22,15m t t t t æö=-+-+<<ç÷èø，则()3220m t t ¢=+>，则()m t 在4,15æöç÷èø上单调递增，42581632ln 222ln 20516580m æö=-+-+=->ç÷èø，则()min 0F x >，则不等式()2121e e 2ln 204x x x x ---+>恒成立，即不等式()()()()1212224x f x f x g x -->-成立.【例1】（2024届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研）已知函数()πln sin sin 10f x x x =++.(1)求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值；(2)判断函数()f x 的零点个数，并证明.【解析】（1）因为()πln sin sin 10f x x x =++，所以1()cos f x x x ¢=+，令()1()cos g x f x x x ==+¢，()21sin g x x x-¢=-，当[]1,e Îx 时，()21sin 0g x x x =--<¢，所以()g x 在[]1,e 上单调递减，且()11cos10g =+>，()112π11e cos e<cos 0e e 3e 2g =++=-<，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a ，使()()0g f a a =¢=又当()1,x a Î时，()()0g x f x =¢>；当(),e x a Î时，()()0g x f x =¢<；所以()f x 在()1,x a Î上单调递增，在(),e x a Î上单调递减，又因为()ππ1ln1sin1sinsin1sin 1010f =++=+，()()ππe ln e sin e sin1sin e sin 11010f f =++=++>，所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()π1sin1sin10f =+.（2）函数()f x 在()0,¥+上有且仅有一个零点，证明如下：函数()πln sin sin 10f x x x =++，()0,x ¥Î+，则1()cos f x x x¢=+，若01x <£，1()cos 0f x x x+¢=>，所以()f x 在区间(]0,1上单调递增，又()π1sin1sin010f =+>，11πππ1sin sin 1sin sin 0e e 1066f æö=-++<-++=ç÷èø，结合零点存在定理可知，()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点，若1πx <£，则ln 0,sin 0x x >³，πsin010>，则()0f x >，若πx >，因为ln ln π1sin x x >>³-，所以()0f x >，综上，函数()f x 在()0,¥+有且仅有一个零点.【例2】（2024届江西省九江市高三三模）已知函数()e e (ax axf x a -=+ÎR ，且0)a ¹.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x x x -=+有三个不同的实数解，求a 的取值范围.【解析】（1）解法一：()()e eax axf x a -=-¢令()()e e ax axg x a -=-，则()()2e e0ax axg x a -+¢=>()g x \在R 上单调递增.又()00,g =\当0x <时，()0g x <，即()0f x ¢<；当0x >时，()0g x >，即()0f x ¢>()f x \在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.解法二：()()()()e 1e 1e e e ax ax ax ax axa f x a -+-=-=¢①当0a >时，由()0f x ¢<得0x <，由()0f x ¢>得0x >()f x \在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增②当0a <时，同理可得()f x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.综上，当0a ¹时，()f x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增.（2）解法一：由()1f x x x -=+，得1e e ax ax x x --+=+，易得0x >令()e e x xh x -=+，则()()ln h ax h x =又()e e x xh x -=+Q 为偶函数，()()ln h ax h x \=由（1）知()h x 在()0,¥+上单调递增，ln ax x \=，即ln xa x=有三个不同的实数解.令()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -=¢=，由()0m x ¢>，得0e;x <<由()0m x ¢<，得e x >，()m x \在(]0,e 上单调递增，在()e,¥+上单调递减，且()()110,e em m ==()y m x \=在(]0,1上单调递减，在(]1,e 上单调递增，在()e,¥+上单调递减当0x →时，()m x ¥→+；当x →+¥时，()0m x →，故10ea <<解得10e a -<<或10e a <<，故a 的取值范围是11,00,e e æöæö-Èç÷ç÷èøèø解法二：由()1f x x x -=+得1e e ax ax x x --+=+，易得0x >令()1h x x x -=+，则()h x 在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增.由()()e axh h x =，得e ax x =或1e ax x -=两边同时取以e 为底的对数，得ln ax x =或ln ax x =-，ln ax x \=，即ln xa x=有三个不同的实数解下同解法一.【例3】（2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测）已知函数31()(ln 1)(0)f x a x a x =++>．(1)求证：1ln 0x x +>；(2)若12,x x 是()f x 的两个相异零点，求证：211x x -<【解析】（1）令()1ln ,(0,)g x x x x =+Î+¥，则()1ln g x x ¢=+．令()0g x ¢>，得1ex >；令()0g x ¢<，得10e x <<．所以()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，在1,e ¥æö+ç÷èø上单调递增．所以min 11()10e e g x g æö==->ç÷èø，所以1ln 0x x +>．（2）易知函数()f x 的定义域是(0,)+¥．由()(ln f x a x =+，可得()a f x x ¢=．令()0f x ¢>得x >()0f x ¢<得0<所以()0f x ¢>在æççè上单调递减，在¥ö+÷÷ø上单调递增，所以min 3()ln 333a a f x f a æö==++ç÷èø．①当3ln 3033a aa æö++³ç÷èø，即403e a <£时，()f x 至多有1个零点，故不满足题意．②当3ln 3033a a a æö++<ç÷èø，即43e a >1<<．因为()f x 在¥ö+÷÷ø上单调递增，且(1)10f a =+>．所以(1)0f f ×<，所以()f x 在¥ö+÷÷ø上有且只有1个零点，不妨记为1x 11x <<．由（1）知ln 1x x>-，所以33221(1)0f a a a a a æö=+>+=>ç÷ç÷èø．因为()f x 在æççè0f f <×<，所以()f x 在æççè上有且只有1个零点，记为2x 2x <<211x x <<<<2110x x -<-<．同理，若记12,x x öÎÎ÷÷ø则有2101x x <-<综上所述，211x x -<．【例4】（2022高考全国卷乙理）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1）当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点,求a 取值范围．的【解析】（1）当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0),11(),(0)21ex xf x f x -¢¢=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =.（2）()ln(1)e x ax f x x =++,()2e 11(1)()1e (1)ex x xa x a x f x x x +--¢=+=++,设()2()e 1xg x a x=+-1°若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x Î-=+->,即()0f x ¢>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意,2°若10a -……,当,()0x Î+¥时,()e 20xg x ax ¢=->所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x ¢>所以()f x 在(0,)+¥上单调递增,()(0)0f x f >=,故()f x 在(0,)+¥上没有零点,不合题意.3°若1a <-,(1)当,()0x Î+¥,则()e 20x g x ax ¢=->,所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,(0)10,(1)e 0g a g =+<=>,所以存在(0,1)m Î,使得()0g m =,即()0¢=f m .当(0,),()0,()x m f x f x ¢Î<单调递减,当(,),()0,()x m f x f x ¢Î+¥>单调递增,所以当(0,),()(0)0x m f x f Î<=,当,()x f x →+¥→+¥,所以()f x 在(,)m +¥上有唯一零点,又()f x 在(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+¥上有唯一零点,(2)当()2(1,0),()e 1xx g x a xÎ-=+-,()e2xg x ax ¢=-,设()()h x g x ¢=,则()e 20x h x a ¢=->,所以()g x ¢在(1,0)-上单调递增,1(1)20,(0)10eg a g ¢¢-=+<=>,所以存(1,0)n Î-,使得()0g n ¢=当(1,),()0,()x n g x g x ¢Î-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x ¢Î>单调递增,()(0)10g x g a <=+<,在又1(1)0eg -=>,所以存在(1,)t n Î-,使得()0g t =,即()0f t ¢=当(1,),()x t f x Î-单调递增,当(,0),()x t f x Î单调递减有1,()x f x →-→-¥而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x Î>,所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点,即()f x 在(1,0)-上有唯一零点,所以1a <-,符合题意,综上得()f x 在区间(1,0),(0,)-+¥各恰有一个零点,a 的取值范围为(,1)-¥-.【例5】（2024届辽宁省凤城市高三下学期考试）已知函数()1e ln xf x x x x -=--.(1)求函数()f x 的最小值；(2)求证：()()1e e e 1ln 2xf x x x +>---éùëû.【解析】（1）因为函数()1e ln x f x x x x -=--，所以()()()11111e 11e x x f x x x x x --æö=+--=+-çè¢÷ø，记()11e,0x h x x x -=->，()121e 0x h x x-¢=+>，所以()h x 在()0,¥+上单调递增，且()10h =，所以当01x <<时，()0h x <，即()0f x ¢<，所以()f x 在()0,1单调递减；当1x >时，()0h x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在()1,¥+单调递增，且()10f ¢=，所以()()min 10f x f ==.（2）要证()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû，只需证明：()11e ln 02xx x --+>对于0x >恒成立，令()()11e ln 2xg x x x =--+，则()()1e 0xg x x x x¢=->，当0x >时，令1()()e xm x g x x x=¢=-，则21()(1)e 0xm x x x =+¢+>，()m x 在(0,)+¥上单调递增，即()1e xg x x x=¢-在(0,)+¥上为增函数，又因为222333223227e e033238g éùæöæöêú=-=-<ç÷ç÷êøøëû¢úèè，()1e 10g =¢->，所以存在02,13x æöÎç÷èø使得()00g x ¢=，由()0200000e 11e 0x x x g x x x x ¢-=-==，得020e 1xx =即0201x e x =即0201x e x =即002ln x x -=，所以当()00,x x Î时，()1e 0xg x x x=¢-<，()g x 单调递减，当()0,x x ¥Î+时，()1e 0xg x x x=¢->，()g x 单调递增，所以()()()0320000000022min0122111e ln 2222x x x x x x g x g x x x x x -++-==--+=++=，令()3222213x x x x x j æö=++-<<ç÷èø，则()22153223033x x x x j æö=++=++>ç÷èø¢，所以()x j 在2,13æöç÷èø上单调递增，所以()0220327x j j æö>=>ç÷èø，所以()()()002002x g x g x x j ³=>，所以()11e ln 02xx x --+>，即()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû.1.（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()hx 零点的个数.2．（2024届河南省信阳市高三下学期三模）已知函数()()()ln 1.f x ax x a =--ÎR (1)若()0f x ³恒成立，求a 的值；(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21e 1x x ->-，求a 的取值范围.3．（2024届江西省吉安市六校协作体高三下学期5月联考）已知函数()()1e x f x ax a a -=--ÎR .(1)当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围.4．（2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟）设函数()e sin x f x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.5．（2024届河北省张家口市高三下学期第三次模）已知函数()ln 54f x x x =+-．(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)证明：3()25f x x>--．6．（2024届上海市格致中学高三下学期三模）已知()e 1xf x ax =--，a ÎR ，e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；(3)当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<.7．（2024届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷）函数()e 4sin 2x f x x l l =-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--ÎR .(1)求l 的值；(2)求()f x 在(0,)+¥上零点的个数.8．（2024年天津高考数学真题）设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ³在()0,x Î+¥时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．9．（2024届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数()ex axf x =，()sin cosg x x x =+.(1)当1a =时，求()f x 的极值；(2)当()0,πx Î时，()()f x g x £恒成立，求a 的取值范围.10．（2024届四川省绵阳南山中学2高三下学期高考仿真练）已知函数()()1ln R f x a x x a x=-+Î.(1)讨论()f x 的零点个数；(2)若关于x 的不等式()22ef x x £-在()0,¥+上恒成立，求a 的取值范围.11．（2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试）设()21)e sin 3x f x a x =-+-（(1)当a =()f x 的零点个数.(2)函数2()()sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ³，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围12．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0x >时，()cos f x ax x ³恒成立，求实数a 的取值范围.13．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+Î.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.14．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数(1)若，，求曲线在点处的切线方程；(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k 的最大值．15．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数.(1)判断函数零点的个数，并证明；(2)证明：.322()33f x x ax b x =-+1a =0b =()y f x =()()1,1f 0a b <<1ln 1x k f f x x +æöæö>ç÷ç÷-èøèø()1,x Î+¥21()e xf x x=-()f x 2e ln 2cos 0x x x x x --->。

第09讲利用导数研究函数的零点问题及方程的根(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考

第09讲利用导数研究函数的零点问题及方程的根（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习利用导数研究函数零点的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．利用导数研究函数方程的根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.(2)数形结合法求解零点（方程的根）对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数()()21ln R 2f x x ax a =-Î.(1)当1a =时，求()f x 的最大值；(2)讨论函数()f x 在区间21,e éùëû上零点的个数.2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()h x 零点的个数.3．（2024·河北保定·二模）已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()π,πx Î-，试讨论()f x 的零点个数.1．（2024·山东·模拟预测）已知函数()1e 4xf x =-(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 在y 轴上的截距；(2)探究()f x 的零点个数．2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()e sin 1xf x a x x =+--.(1)当12a =时，求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，判断()f x 的零点个数.3．（2024·河南·模拟预测）已知函数()()20,e x ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．1．（2022·全国·高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点，求a 的取值范围．3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．4．（2024·广东茂名·一模）设函数()e sin xf x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.1．（2024·广东汕头·三模）已知函数2)()(e x f x x ax =-.(1)若曲线()y f x =在=1x -处的切线与y 轴垂直，求()y f x =的极值.(2)若()f x 在(0,)+¥只有一个零点，求a .2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()32,f x x ax a =-+ÎR .(1)若2x =-是函数()f x 的极值点，求a 的值，并求其单调区间；(2)若函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点，求a 的取值范围．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x kx =+的单调递增区间为()0,1．(1)求函数()f x 的图象在点()()e,e f 处的切线方程；(2)若函数()()e xaxg x f x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．4．（2024·安徽·三模）已知函数()e e (1),0x x f x a a x a -=--+>．(1)求证：()f x 至多只有一个零点；(2)当01a <<时，12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，若()()120f x kf x +>成立，求实数k 的取值范围．1．（2024·浙江温州·一模）已知()11e xf x -=（0x >）.(1)求导函数()f x ¢的最值；(2)试讨论关于x 的方程()f x kx =（0k >）的根的个数，并说明理由.1．（2024·山西·模拟预测）已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．(1)求实数a 的值及()f x 的最大值；(2)证明：当π,π6x éùÎêúëû时，1()22f x x +>；(3)判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．2．（2024·河南信阳·一模）已知函数()ln(1)3mf x x x =++．(1)若3m =-，求证：()0f x £；(2)讨论关于x 的方程2π()sin 03π2x f x +=在(1,2)-上的根的情况．1．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数1()ln ,2f x ax x a x=+ÎR .(1)当1a =时.求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程;(2)若方程31()2f x x x=+存两个不等的实数根，求a 的取值范围.2．（2024·山东烟台·三模）已知函数()()e xf x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.1．（2023·广东梅州·三模）已知函数()2e xf x ax =-，a ÎR ，()f x ¢为函数()f x 的导函数.(1)讨论函数()f x ¢的单调性；(2)若方程()()22f x f x ax ¢+=-在()0,1上有实根，求a 的取值范围.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数e ()xf x ax b =+的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y ++=．(1)求,a b 的值；(2)若()21mf x x =-有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．1．（2021·全国·高考真题）已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数()2ln 3f x a x x =++在1x =处的切线经过原点.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)求证：函数()f x 的图象与直线5y x =有且只有一个交点.2．（2024·陕西西安·二模）设函数21()(1)e 2x f x ax x =+-.(1)当1a £时，讨论()f x 的单调性；(2)若[2,2]x Î-时，函数()f x 的图像与e x y =的图像仅只有一个公共点，求a 的取值范围.3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()log a axf x x =.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)证明：若曲线()y f x =与直线21y a =有且仅有两个交点，求a 的取值范围.1．（2023·全国·高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),2-¥-B ．(),3-¥-C ．()4,1--D ．()3,0-2．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．1．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知0w >，若函数()ln ,0,3πsin ,π03x x x f x x x w ì->ïï=íæöï+-££ç÷ïèøî有4个零点，则w 的取值范围是（）A ．47,33æùçúèûB ．47,33éö÷êëøC ．710,33æùçúèûD ．710,33éö÷êëø3．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数()31f x x ax =-+，a ÎR ，则（）A ．若()f x 有极值点，则0a £B ．当1a =时，()f x 有一个零点C ．()()2f x f x =--D ．当1a =时，曲线()y f x =上斜率为2的切线是直线21y x =-4．（2024·安徽·模拟预测）若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为 .5．（2024·天津北辰·三模）若函数22()233(3)f x a x a x x =----有四个零点，则实数a 的取值范围为 .一、单选题1．（2023·陕西西安·模拟预测）方程e 1x a x -=+有两个不等的实数解，则a 的取值范围为（）A．æöç÷ç÷èøB ．211,e æö--ç÷èøC ．21,0e æö-ç÷èøD ．1,0e æö-ç÷èø2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数3()1f x x x =++，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x有一个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()e xxf x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的极值点为11,e æö-ç÷èøB ．()f x 的极值点为1C ．直线2214e e y x =-是曲线()y f x =的一条切线D ．()f x 有两个零点三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）方程()1ln 0x x k -++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为．6．（2024·山西·三模）已知函数12,0()e ,0x x x f x x x ì+>ï=íï£î，若函数()()()g x f x x m m =-+ÎR 恰有一个零点，则m 的取值范围是.7．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数()324f x x x t =+-，若函数()f x 的图象与曲线25y x =有三个交点，则t 的取值范围是 .四、解答题8．（2023·广西河池·模拟预测）已知函数()()22ln f x x x ax a =-+ÎR (1)当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 与直线y ax a =-在1,e e éùêúëû上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．9．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知()ln f x x =，(1)求()f x x的极值；(2)若函数()y f x ax =-存在两个零点，求a 的取值范围.10．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知过点(2,0)-的直线与函数2()e 2x f x x +=+的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（）A ．(,1)-¥-B ．(,0)-¥C ．(1,0)-D ．(1,)-+¥2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数()e ,0e ,0x a x f x x x -ì+>ï=íï<î，若方程()e 0f x x +=存在三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(),e -¥B ．(),e -¥-C ．(),2e -¥-D ．(),2e -¥二、填空题3．（2024·重庆·模拟预测）若函数e ()e x x f x a =+的图象与函数e ()e xxg x x =+的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围为．4．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数()()e 1e kxf x k =--与函数()()1e ln 1xg x x--=的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .5．（2024·福建泉州·一模）已知函数()(1)e e x x f x x a =-+-有且只有两个零点，则a 的范围．三、解答题6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知()sin cos f x x x a x =-在π2x =时取得极大值．(1)讨论()f x 在[]π,π-上的单调性；(2)令()24sin 4cos 4h x x x x x =--+，试判断()h x 在R 上零点的个数．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e =-+x f x x a ，x ÎR ，()()2x f x x x j =+-.(1)若()x j 的最小值为0，求a 的值；(2)当0.25a <时，证明：方程()2f x x =在()0,¥+上有解.8．（2024·广东梅州·二模）已知函数()e xf x =，()21g x x =+，()sin 1h x a x =+（0a >）．(1)证明：当()0,x Î+¥时，()()f x g x >；(2)讨论函数()()()F x f x h x =-在()0,π上的零点个数．1．2．3．4．9．（2024·广西南宁·二模）已知函数()ln f x x ax =-(1)若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围，(2)若函数()()1g x f x x =-+恰有两个零点，求a 的取值范围，10．（2024·广西贺州·一模）已知函数()ln ,2a f x x x a x=++ÎR ．(1)若12a >-，讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程2()ef x =有且只有一个解，求a 的取值范围．1．（2022·浙江·高考真题）设函数e ()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ÎR ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a æö<-<-ç÷èø；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828=L 是自然对数的底数）2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点①21,222e a b a <£>；②10,22a b a <<£．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+Î（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b e x x e b>+.(注： 2.71828e =×××是自然对数的底数)4．（2020·全国·高考真题）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．5．（2020·全国·高考真题）已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．6．（2020·全国·高考真题）已知函数()(2)x f x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.7．（2019·全国·高考真题）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.8．（2019·全国·高考真题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．9．（2019·全国·高考真题）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x ¢为()f x 的导数．证明：（1）()f x ¢在区间(1,2p-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．10．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+Î在()0,+¥内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．。

导数的应用四+零点问题.学生版

第13讲导数的应用四：零点问题一、三次函数零点问题经典精讲【例1】（2017春•腾冲县月考）已知函数y32﹣2x（Ⅰ）求函数在点（0，0）处的切成方程（Ⅱ）若函数y32﹣2x的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．二、零点个数判断经典精讲【例2】（2013•陕西）已知函数f（x）＝e x，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y＝f（x）与曲线y有唯一公共点．【例3】（2018春•伊通县期末）已知函数f（x）．（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；（2）若a＝1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方．【例4】（2018秋•全国期末）已知函数f（x）＝ax（3a+1）lnx+a，a∈R．（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．三、证明零点个数问题经典精讲【例5】（2019•云南一模）已知e是自然对数的底数，函数f（x）与F（x）＝f（x）﹣x的定义域都是（0，+∞）．（2）求证：函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．【例6】（2017秋•保山期末）已知函数．（2）讨论f（x）的单调性；（3）若函数f（x）在x∈[1，e]上无零点，求a的取值范围．总结：四、对两个零点的加工处理经典精讲【例7】（2017秋•保山期末）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为x+y﹣1＝0，求实数a的值；（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．五、与横轴交点问题经典精讲【例8】（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．六、两个图像交点个数问题经典精讲【例9】（2017春•水富县期末）已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R），g（x）＝2e x+3x2（e为自然对数的底数）．（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围．七、讨论零点个数经典精讲【例10】（2017•常德一模）已知函数f（x）＝xlnx﹣mx的图象与直线y＝﹣1相切．（Ⅱ）若g（x）＝ax3，设h（x）＝f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的零点个数．课后习题1．（2016春•玉溪月考）已知函数．（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）函数y＝f（x）﹣b有三个零点，求b的取值范围；2．（2014•西安一模）已知函数f（x）＝x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）x3x2的下方．3．（2012春•腾冲县期末）已知函数f（x）x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（1）当a＝﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．4．（2015•碑林区一模）设函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）（1）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；（2）a＝1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；5．（2018秋•昆明月考）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）存在两个零点x1，x2，使lnx1+lnx2﹣m＞0，求m的最大值．6．（2018秋•五华区月考）已知函数f（x）＝lnx﹣a（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）当a＝1时，证明：对任意的k＞0，函数g（x）＝kx﹣1+f（x）有且只有一个零点．7．（2017•昭通二模）已知函数f（x）＝x﹣alnx，a∈R．（Ⅰ）研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数f（x）有两个不同的零点x1、x2，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）求证：x1x2＞e2．8．（2017•云南二模）已知e是自然对数的底数，f（x）＝me x，g（x）＝x+3，φ（x）＝f（x）+g（x），h（x）＝f（x）﹣g（x﹣2）﹣2017．（1）设m＝1，求h（x）的极值；（2）设m＜﹣e2，求证：函数φ（x）没有零点；9．（2017•昆明二模）设函数f（x）＝x2e﹣x，g（x）＝xlnx．（1）若F（x）＝f（x）﹣g（x），证明：F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；10．（2017春•五华区月考）设函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a≥﹣e，讨论函数f（x）的零点的个数．11．（2016秋•昭通期末）设函数f（x）＝x2﹣2lnx（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在，上的最大值和最小值；（III）若关于x的方程f（x）＝x2﹣x﹣a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．12．（2015•北京）设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．13．（2013•昭通模拟）已知函数f（x）＝lnx（a∈R）．（1）当a时，如果函数g（x）＝f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a＝2时，试比较f（x）与1的大小．1．解：（1）函数．可得f′（x）＝x2﹣4，f′（1）＝﹣3，f（1），f（x）在x＝1处的切线方程：y3（x﹣1），即：9x+3y﹣10＝0（2）函数．可得f′（x）＝x2﹣4＝0，可得：极大值，极小值．要函数y＝f（x）﹣b有三个零点，即y＝f（x）与y＝b的图象有三个交点，则b的取值范围为：＜＜．2．（1）解：∵f（x）＝x2+lnx，∴f′（x）＝2x，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）＝1，最大值是f（e）＝1+e2；（2）证明：令F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx，则F′（x）＝x﹣2x2，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．3．解：（1）f（x）x3﹣x2﹣3x+3，所以f′（x）＝x2﹣2x﹣3．解x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或x＝3，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0；x∈（﹣1，3）时，f′（x）＜0；x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0．根据极值的定义知：x＝﹣1时，f（x）取到极大值f（﹣1）；x＝3时，f（x）取到极小值f（3）＝﹣6．（2）∵f′（x）＝x2﹣2x+a，∴△＝4﹣4a＝4（1﹣a）．①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）＝﹣a＜0，f（3）＝2a＞0，∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．②若a＜1，则△＞0，∴f′（x）＝0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）．∴x1+x2＝2，x1x2＝a．∵x12﹣2x1+a＝0，∴a＝﹣x12+2x1．∴f（x1）x1[x12+3（a﹣1）]同理f（x2）x2[x22+3（a﹣1）]令f（x1）•f（x2）＞0，解得a＞0．而当0＜a＜1时，f（0）＝﹣a＜0，f（3）＝2a＞0，故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．4．解：（1）∵f（x）＝x3+ax2﹣a2x+m（a＞0），∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，∵f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，∴方程f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝0在[﹣1，1]上没有实数根，由△＝4a2﹣12×（﹣a2）＝16a2＞0，二次函数对称轴x＜0，当f′（x）＝0时，即（3x﹣a）（x+a）＝0，解得x＝﹣a或x，∴＜＞，或＜1（a＜﹣3不合题意，舍去），解得a＞3，∴a的取值范围是{a|a＞3}；（2）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+m，∵f（x）有三个互不相同的零点，∴f（x）＝x3+x2﹣x+m＝0，即m＝﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根．令g（x）＝﹣x3﹣x2+x，则g′（x）＝﹣（3x﹣1）（x+1）令g′（x）＞0，解得﹣1＜x＜；令g′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和（，+∞）上为减函数，在（﹣1，）上为增函数，∴g（x）极小＝g（﹣1）＝﹣1，g（x）极大＝g（）；∴m的取值范围是（﹣1，）；5．解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），f′（x），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．综上所述，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）∵lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，两式相减得：lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），即a．由已知lnx1+lnx2＞m，得a（x1+x2）＞m，∵x1＞0，x2＞0，∴a＞，即＞．不妨设0＜x1＜x2，则有＜，令t，则t∈（0，1），∴lnt＜，即lnt＜0恒成立，设g（t）＝lnt（0＜t＜1），则g′（t）．令h（t）＝t2+2（1﹣m）t+1，h（0）＝1，h（t）的图象开口向上，对称轴方程为t＝m﹣1．方程t2+2（1﹣m）t+1＝0的判别式△＝4m（m﹣2）．①当m≤1时，h（t）在（0，1）上单调递增，h（t）＞h（0）＝1，∴g′（t）＞0．g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＜g（1）＝0在（0，1）上恒成立；②当1＜m≤2时，△＝4m（m﹣2）≤0，h（t）≥0在（0，1）上恒成立，∴g′（t）＞0．g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＜g（1）＝0在（0，1）上恒成立；③当m＞2时，h（t）在（0，1）上单调递减，∵h（0）＝1，h（1）＝4﹣2m＜0，∴存在t0∈（0，1），使得h（t0）＝0，当t∈（0，t0）时，h（t）＞0，g′（t）＞0，当t∈（t0，1）时，h（t）＜0，g′（t）＜0，∴g（t）在（0，t0）上单调递增，在（t0，1）上单调递减，当t∈（t0，1）时，有g（t）＞g（1）＝0，∴g（t）＜0在（0，1）上不恒成立．综上所述，m的取值范围为（﹣∞，2]，m的最大值为2．6．（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值；当a＞0时，由f′（x）＝0，得x，当0＜x＜时，f′（x）＞0，得f（x）的单调递增区间是（0，）；当x＞时，f′（x）＜0，得f（x）的单调递减区间是（，+∞），故f（x）的极大值为f（）＝ln2，f（x）无极小值．（2）证明：当a＝1时，函数g（x）＝kx﹣1lnx，欲证对任意的k＞0，函数g（x）有且只有一个零点，即证方程kx﹣1lnx＝0有且只有一个正实数根，由kx﹣1lnx＝0，得k（x＞0），令φ（x）（x＞0），则φ′（x）（x＞0），令h（x）lnx﹣2，则h′（x）（x＞0），由h′（x）＝0，得x＝16，当0＜x＜16时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，16）上单调递增；当x＞16时，h′（x）＜0，则h（x）在（16，+∞）上单调递减，所以h（x）≤h（16）＝4（ln2﹣1）＜0，于是φ′（x）＜0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递减．设p（x）lnx（x＞0），则p′（x），由p′（x）＝0，得x＝4，当0＜x＜4时，p′（x）＜0，则p（x）在（0，4）上单调递减；当x＞4时，p′（x）＞0，则p（x）在（4，+∞）上单调递增，所以p（x）≥p（4）＝2﹣2ln2＞0，即当x＞0时，p（x）lnx＞0，所以当x＞0时，φ（x）＞，对任意的k＞0，有：①当k≥2时，0＜x＜＜1，有φ（x）＞＞k；当x＞1时，有φ（x）＜φ（1）＝2≤k，又φ（x）在（0，+∞）上单调递减，所以存在唯一的x1∈（，1]，有φ（x1）＝k；②当0＜k＜2时，0＜x＜（＞），有φ（x）＞＞k，当x＞＞1（＞）时，有φ（x）＜k，又φ（x）在（0，+∞）上单调递减，所以存在唯一的x2∈（，），有φ（x2）＝k，综上所述，对任意的k＞0，方程kx﹣1lnx＝0有且只有一个正实数根，即函数g（x）有且只有一个零点．7．解：（Ⅰ）f（x）的定义域（0，+∞），′..（2分）①若a≤0，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增函数．②若a＞0，令f'（x）＝0解得x＝a，则f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增；…．（4分）（Ⅱ）证明：因为f（x）有两个不同的零点，由①知＞＜＞（6分）且0＜x1＜a＜x2，要证＞，即证lnx1+lnx2＞2＞＞＞由于a＞x1，则2a﹣x1＞a，即证f（x2）＞f（2a﹣x1）f（x1）＞f（2a﹣x1）…（8分）设g（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），只需证g（x）＞0即可，g（x）＝（x﹣alnx）﹣[（2a﹣x）﹣aln（2a﹣x）]，′＜（10分）可知g（x）在x∈（0，a）是单调递减函数，故g（x）＞g（a）＝0，得证.＞..（12分）8．（1）解：∵f（x）＝me x，g（x）＝x+3，m＝1，∴f（x）＝e x，g（x﹣2）＝x+1，∴h（x）＝f（x）﹣g（x﹣2）﹣2017＝e x﹣x﹣2018．∴h'（x）＝e x﹣1，由h'（x）＝0得x＝0．∵e是自然对数的底数，∴h'（x）＝e x﹣1是增函数．∴当x＜0时，h'（x）＜0，即h（x）是减函数；当x＞0时，h'（x）＞0，即h（x）是增函数．∴函数h（x）没有极大值，只有极小值，且当x＝0时，h（x）取得极小值．∴h（x）的极小值为h（0）＝﹣2017．（2）证明：∵f（x）＝me x，g（x）＝x+3，∴φ（x）＝f（x）+g（x）＝m•e x+x+3，∴φ'（x）＝m•e x+1．∵m＜﹣e2＜0，∴φ'（x）＝m•e x+1是减函数．由φ'（x）＝m•e x+1＝0解得．当∈∞，时，φ'（x）＝m•e x+1＞0，此时函数φ（x）是增函数，当∈，时，φ'（x）＝m•e x+1＜0，此时函数φ（x）是减函数，∴当时，函数φ（x）取得最大值，最大值为．∵m＜﹣e2，∴2﹣ln（﹣m）＜0，∴φ（x）＜0，∴当m＜﹣e2时，函数φ（x）没有零点．9．（1）证明：函数F（x）的定义域为（0，+∞），因为F（x）＝x2e﹣x﹣xlnx，当0＜x≤1时，F（x）＞0，而＜，所以F（x）在（1，2）存在零点．因为′，当x＞1时，＜，＜，所以′＜＜，则F（x）在（1，+∞）上单调递减，所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点．（2）解：由（1）得，F（x）在（1，2）上存在唯一零点x0，x∈（0，x0）时，f（x）＞g（x）；x∈（x0，+∞）时，f（x）＜g（x），∴ℎ，∈，，∈，．当x∈（0，x0）时，由于x∈（0，1]，h（x）≤0；x∈（1，x0）时，h'（x）＝lnx+1＞0，于是h（x）在（1，x0）单调递增，则0＜h（x）＜h（x0），所以当0＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）．当x∈[x0，+∞）时，因为h'（x）＝x（2﹣x）e﹣x，x∈[x0，2]时，h'（x）≥0，则h（x）在[x0，2]单调递增；x∈（2，+∞）时，h'（x）＜0，则h（x）在（2，+∞）单调递减，于是当x≥x0时，h（x）≤h（2）＝4e﹣2，所以函数h（x）的最大值为h（2）＝4e﹣2，所以λ的取值范围为[4e﹣2，+∞）．10．解：（1）函数f（x）定义域为R，f′（x）＝x（e x﹣1+a），（i）若a≥0，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．（ii）若a＜0，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝1+ln（﹣a），①a时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在R上单调递增；②当＜a＜0时，1+ln（﹣a）＜0，当x＜1+ln（﹣a）或x＞0时，f′（x）＞0，当1+ln（﹣a）＜x＜0时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，1+ln（﹣a）），（0，+∞）上单调递增，在（1+ln（﹣a），0）单调递减；③当a＜时，1+ln（﹣a）＞0，当x＞1+ln（﹣a）或x＜0时，f′（x）＞0，当0＜x＜1+ln（﹣a）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0），（1+ln（﹣a），+∞）上单调递增，在（0，1+ln（﹣a））单调递减；（2）当a＝0时，函数f（x）只有一个零点x＝1；当a＞0时，由（1）得函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，且f（0）＜0，f（1）＞0，取x0＜﹣3且x0＜1+lna，则f（x0）＞（x0﹣1）a[3]＞0，所以函数f（x）有两个零点；当a＜0时，由（1）得函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（0）＜0，f（2）＝e+2a＞0，而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．当﹣e≤a＜时，由（1）得函数f（x）在（0，1+ln（﹣a））单调递减，在（1+ln（﹣a），+∞）上单调递增，且f（1+ln（﹣a））＜f（0）＜0，f（3）＝2e2a≥2e2e＞0，而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．11．解：（I）由函数f（x）＝x2﹣2lnx知其定义域为{x|x＞0}，∵f′（x）＝2x，令f'（x）＞0，解得：x＞1；令f'（x）＜0，解得：0＜x＜1∴函数f（x）单调增区间是（1，+∞）；减区间是（0，1）；（II）由f′（x）＝0，解得：x＝1或﹣1（舍），由（I）知f（x）在[，1]上递减，在[1，e]上递增，当x＝1时，f（x）取最小值f（1）＝1，又f（）2，f（e）＝e2﹣2，且e2﹣2＞2，∴f（x）在[，e]上的最小值为1，最大值为e2﹣2；（III）方程f（x）＝x2﹣x﹣a，即x﹣2lnx﹣a＝0，记g（x）＝x﹣2lnx﹣a，∵g′（x），由g′（x）＞0，得x＞2或x＜0（舍去），g′（x）＜0得0＜x＜2，∴g（x）在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，为使方程f（x）＝x2﹣x﹣a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，只需g（x）＝0在[1，2]和[2，3]上各有一个实根，于是＜，即＜，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即实数a的取值范围是（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．12．解：（1）由f（x）＞，f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，f（x）的单调递增区间为（，），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且＞，＜，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．13．解：（1）当a时，g（x）＝lnx k，g'（x）0解方程得方程的根为：x1＝2，x2由g（x）定义域可知x＞0；∵当0＜x＜时g'（x）＞0，g（x）增函数，当＜x＜2时g'（x）＜0，g（x）减函数，当x＞2时g'（x）＞0，g（x）增函数，∴f（x）的极大值是，极小值是∴g（x）在x处取得极大值3﹣ln2﹣k，在x＝2处取得极小值ln2﹣k；∵函数g（x）＝f（x）﹣k仅有一个零点∴当3﹣ln2﹣k＜0或ln2﹣k＞0时g（x）仅有一个零点，∴k的取值范围是k＞3﹣ln2或＜．（2）当a＝2时，，定义域为（0，+∞），令ℎ，∵ℎ′＞，∴h（x）在（0，+∞）是增函数∵h（1）＝0∴①当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，即f（x）＞1；②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，即f（x）＜1；③当x＝1时，h（x）＝h（1）＝0，即f（x）＝1．。

专题四：函数零点的解题思路及技巧(学生版1)——王彦文

专题五：函数零点的解题思路及技巧【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；第二步若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练1】方程220x x +-=的解所在的区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【变式演练2】函数21()log f x x x=-的零点所在区间（） A ．1(0,)2 B ．1(,1)2 C ．(1,2) D ．(2,3) 二、零点的个数的确定方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步判断函数的单调性；第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【变式演练3】函数3()22x f x x =+-在区间（0,1）内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【变式演练4】方程3sin x x =的根的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式演练5】已知函数()()ln x f x x x g x x e -==，．（1）记()()()F x f x g x =-，求证：函数()F x 在区间()1+∞，内有且仅有一个零点；方法2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题；第二步在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数；第四步由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程31()|log |3x x =的解的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【高考再现】8.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【反馈练习】1．【 2017年福建福州外国语学校高二上月考一数学试卷,】函数1()()22x f x x =-+的零点所在的一个区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,32. 【2017届山西省名校高三9月联考数学试卷, 文4】函数3()3||1(1)f x x x x =-+≤的零点所在区间为（） A ．11(,)34--和1(,1)2B ．11(,)23--和11(,)32 C ．11(,)23--和1(,1)2 D ．11(,)34--和11(,)323. 【2017届】已知二次函数2()f x ax bx c =++满足22c a b +>且0c <，则含有()f x 的零点的一个区间是（） A ．(0,2) B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(2,0)-4. 【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三10月月考数学试卷, 文12】已知函数()()()()21,01,0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)0,1C ．(),1-∞D ．[)0,+∞。

考点14函数的零点与方程的解(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考版

考点14函数的零点与方程的解（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．【知识点】1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y ＝f (x )，我们把使的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x )＝0有实数解⇔函数y ＝f (x )有 ⇔函数y ＝f (x )的图象与有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y ＝f (x )在区间内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得，这个c也就是方程f (x )＝0的解．2．二分法对于在区间[a ，b ]上图象连续不断且的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号【核心题型】题型一　函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程33log 1xx ×=的两根为1x ，()212x x x <，则A ．101x <<，23x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．124x x +>【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数()36xf x x =+-有一个零点0x x =，则0x 属于下列哪个区间（）A ．1,12æöç÷èøB ．31,2æöç÷èøC ．3,22æöç÷èøD ．52,2æöç÷èø【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数()123x f x x -=+-的零点所在的区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数()26log f x x x=-零点所在的一个区间 .题型二　函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【例题2】（2024·天津·二模）已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-，关于()f x 有下面四个说法：①()f x 的图象可由函数()2g x x =的图象向右平行移动π8个单位长度得到；②()f x 在区间ππ,44éù-êúëû上单调递增；③当ππ,62x éùÎêúëû时，()f x的取值范围为；④()f x 在区间[]0,2π上有3个零点．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数()f x 满足()()8f x f x +=，()()80f x f x +-=，当[)0,4x Î时，()πln 1sin 4f x x æö=+ç÷èø，则函数()()()3F x f x f x =-在()0,8内的零点个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记()x t 是不小于x 的最小整数,例如()()()1.22,22, 1.31t t t ==-=-,则函数()()128x f x x x t -=--+的零点个数为.【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3题型三　函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.命题点1　根据零点个数求参数【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()22e 21e 2x xf x a x a a x =-+++（其中e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有1个零点B ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有3个零点C ．a "ÎR ，函数()f x 都有零点D ．若函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为()e 2,e -【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数()()14f x k x =--有两个零点，则实数k 的取值范围是.【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程2ln 0ax x -=在()1,+¥上有两个不同的根，则a 的取值范围为（）A ．10,2e æöç÷èøB ．1,e æö-¥ç÷èøC ．()1,e D ．(),2-¥【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中122()log 2xf x x +=-.(1)求证：()y f x =是奇函数；(2)若关于x 的方程()12()log f x x k =+在区间[3,4]上有解，求实数k 的取值范围.命题点2　根据函数零点的范围求参数【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()()πcos 04f x x w w æö=+>ç÷èø在区间π,π3æöç÷èø上单调递减，且()f x 在区间()0,π上只有1个零点，则w 的取值范围是（）A ．10,4æùçúèûB ．13,24æùçúèûC ．13,44æùçúèûD ．15,44æùçúèû【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数()2231f x ax x =+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（）A ．{}|12a a -<的图像向右平移3w p 个单位长度得到函数()g x 的图像．若()g x 在区间π5π,36æöç÷èø内有零点，无极值，则w 的取值范围是．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x æö=+=-=+ç÷èø的零点分别为,,a b c ，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．b c a>>2．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数()()224424e e x x f x x x a --=-++有唯一零点，则实数=a （）A ．2B ．12C ．4D ．13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数()24xf x =，若存在12x x <，使得()()120f x f x <，则下列结论不正确的是（）A ．11<x B ．21x >C ．()f x 在()12,x x 内有零点D ．若()f x 在121,2x x x +æöç÷èø内有零点，则1202x x f +æö>ç÷èø4．（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,25．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ππ2sin 222f x x j j æö=+-<<ç÷èø的图像关于点π,03æöç÷èø中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36æö-ç÷èø，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212éù-êúëû，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点二、多选题6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数()()221,42x f x a g x x x a =--=-+-，则（）A ．当()g x 有2个零点时，()f x 只有1个零点B ．当()g x 有3个零点时，()f x 只有1个零点C ．当()f x 有2个零点时，()g x 有2个零点D ．当()f x 有2个零点时，()g x 有4个零点7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数2()()e ln x f x x x x =++的零点为0x ，下列判断正确的是（）A ．012x C ．00e ln 0x x +<D ．00ln 0x x +<三、填空题8．（2024·重庆·模拟预测）若12πw <£，则关于x 的方程sin x x w =的解的个数是．9．（2023·河北·模拟预测）已知1e ln ()2x x xxf x +-=，0x 是该函数的极值点，定义x 表示超过实数x 的最小整数，则()0f x 的值为.四、解答题10．（2023·四川成都·一模）已知函数()2cos sin 1f x ax x x x =-+-.(1)若1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若1a =时，求函数()f x 的零点个数；(3)若对于任意π0,2x éùÎêúëû，()12³-f x a 恒成立，求a 的取值范围.11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数()πsin (03)4f x x w w æö=-<<ç÷èø，π8x =是()f x 的零点．(1)求w 的值；(2)求函数π1π828y f x f x æöæö=-++ç÷ç÷èøèø的值域．12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数()()()222f x x m x m =+-+．(1)若()f x 为奇函数，求实数m 的值；(2)已知()f x 仅有两个零点，证明：函数()3y f x =-仅有一个零点．综合提升练一、单选题1．（2023·吉林长春·一模）方程3log 2x x +=的根所在区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ÎR ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x为函数()33log 1f x x x =-+的零点，则[]0x =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2023·宁夏银川·三模）函数()22log f x x x m =++在区间()2,4上存在零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(),18-¥-B ．(5,)+¥C ．(5,18)D ．()18,5--4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()ππ3cos 022f x x w j w j æö=+<-<<ç÷èø，的最小正周期为π，在区间ππ,66æö-ç÷èø上单调递减，且在区间π0,6æöç÷èø上存在零点，则j 的取值范围是（）A ．ππ,62æöç÷èøB ．3π,2πæù--çúèûC ．ππ,32éö÷êëøD ．π0,3æùçúèû5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数()()sin 0,02f x x p w j w j æö=+><<ç÷èø的最小正周期为T .若()f T =，6x p =为()f x 的零点，则w 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2024·安徽芜湖·二模）在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A ．26B ．63C ．57D ．257．（2023·四川南充·模拟预测）函数()ln 1f x x x =-的零点为1x ，函数()()e 1e xg x x =--的零点为2x ，则下列结论正确的是（）A ．221e ln ex x ×=B ．2111e2x x -+>C ．12ln 1x x -=D ．21121ln x x +£+8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[a ]表示不大于实数a 的最大整数，如[1.68]=1，设12,x x 分别是方程24x x +=及ln(1)4x x +-=的根，则12[]x x += （）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数()324f x x x ax =++-有3个不同的零点123,,x x x ,且23122x x x =，则（）A ．4a =-B ．()0f x <的解集为()1,2-C ．7y x =-是曲线()y f x =的切线D ．点()1,0-是曲线()y f x =的对称中心10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数()()()0f x x w +j w >的最小正周期πT <，1π5f æö=ç÷èø，且()f x 在π10x =处取得最大值.下列结论正确的有（）A ．sin j =B ．w 的最小值为152C ．若函数()f x 在ππ,204æöç÷èø上存在零点，则w 的最小值为352D ．函数()f x 在13π11π,2015æöç÷èø上一定存在零点11．（2023·江西·模拟预测）已知函数2(e 21)xax x f x -+=，则下列结论正确的是（）A ．对于任意的a ÎR ，存在偶函数()g x ，使得e ()()x y f x g x =+为奇函数B ．若()f x 只有一个零点，则1a =C ．当1a =时，关于x 的方程()f x m =有3个不同的实数根的充要条件为340e m <<D ．对于任意的a ÎR ，()f x 一定存在极值三、填空题12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间(),a b 的长度为b a -．经过估算，函数()1312x f x x =-的零点属于开区间（只要求写出一个符合条件，且长度不超过16的开区间）．13．（2024·河南南阳·一模）已知函数()()232ln 13f x x x a x =-+-+在区间()1,2上有最小值，则整数a 的一个取值可以是．14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数()e 2x f x x =+-的零点为1x ，函数()2ln g x x x =--的零点为2x ，给出以下三个结论：①12e e 2e x x +>；②1234x x >；③2112ln ln 0x x x x +<.其中所有正确结论的序号为 .四、解答题15．（2023·全国·模拟预测）已知函数()||f x x a =-.(1)若不等式()()1f x f x m -+£恒成立，求实数m 的最大值；(2)若函数1()()g x f x a=+有零点，求实数a 的取值范围.16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ln R f x x x ax a =+Î.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1a =-时，方程()f x m =有两个解，求参数m 的取值范围.17．（2023·江苏·三模）将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1w（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．(1)若2w =，求函数()y g x =在区间ππ,44éù-êúëû上的最大值；(2)若函数()y g x =在区间ππ,42æöç÷èø上没有零点，求ω的取值范围．18．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()21321e 2316x af x x x x x -=-+-++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．(2)设函数()()2131e 3x g x f x x ax -=-+，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围．19．（2023·福建福州·模拟预测）设1a >-，函数()()()1ln 11f x x x a x =++-+．(1)判断()f x 的零点个数，并证明你的结论；(2)若0a ³，记()f x 的一个零点为0x ，若11sin x a x +=，求证：10ln 0x x -£．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x æö=+ç÷èø的图象向右平移j （0j >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)j 上恰有两个零点，则j 的取值范围是（）A ．5π3π,124éö÷êëøB ．3π13π,412éö÷êëøC ．5π3π,124æùçúèûD ．3π13π,412æùçúèû2．（2024·全国·模拟预测）设函数()πcos 4f x x w æö=+ç÷èø在区间π0,2æöç÷èø上恰有3个零点、2个极值点，则w 的取值范围是（）A ．79,22æùçúèûB ．911,22æùçúèûC ．913,22æùçúèûD ．713,22æùçúèû3．（2023·北京·模拟预测）已知函数()e e x xf x -=-，下列命题正确的是（）①()f x 是奇函数；②方程()22f x x x =+有且仅有1个实数根；③()f x 在R 上是增函数；④如果对任意()0,x Î+¥，都有()f x kx >，那么k 的最大值为2.A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④4．（2023·四川南充·一模）已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（）个①221e m x x < ②122x m >+ ③121x x >A ．0B ．1C ．2D ．35．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程22log 1x x ×=的两根为1x ，()212x x x <，则（）A ．101x <<，22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二、多选题6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数()1cos cos2,02f x x x x w w w w =->，则下列结论正确的是（）A ．()()0,1,f x w "Î在ππ,64éù-êúëû上单调递增B ．若1w =且()()122f x f x -=，则12min πx x -=C ．若()1f x =在[]0,π上有且仅有2个不同的解，则w 的取值范围为54,63éö÷êëøD ．存在()0,1w Î，使得()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()24,0,log 2,0x x x f x x x ì+>ï=íï--<î的图象与直线y a =的交点的横坐标分别为()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则（）A ．4a >B ．124x x =C ．344x x =D ．341x a x æö+ç÷èø8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数()(),0e ln ,0424,4x xx xf x x x f x x ì£ïïï=<£íï->ïïî，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在()*(44e)k k k +ÎN ，上单调递增B ．函数()f x 在()*(4e 44)k k k ++ÎN ，上单调递减C ．若方程()(1)f x a x =<有两个实数根1x ，2x ，则12x a x =D ．当方程()(08)f x bx x =££的实数根最多时，b 的最小值为ln 28三、填空题9．（2024·全国·模拟预测）已知()()4sin sin 1f x x x x =+相邻的两个零点分别为12,x x ，则12cos x x -=.10．（2024·四川成都·三模）若函数()2e x f x kx =-大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为．四、解答题11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()x f x e =，()a g x x =．(1)当1a =时，求()()f x g x -的最小值；(2)讨论函数()y f x =和()y g x =的图象在(0,)+¥上的交点个数．12．（2024·重庆·模拟预测）已知函数()()()23e ln R ,x f x x a x a x æö=-++Îç÷èø(1)若过点()2,0的直线与曲线()y f x =切于点()()1,1f ，求a 的值；(2)若()f x 有唯一零点，求a 的取值范围．。

高一数学必修一第三章函数的零点(学生)

高一数学必修一第三章函数的零点（学生）1．函数2231y x x =-+的零点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.不能确定2．函数()1ln f x x x =-⋅的零点所在的区间（） A.1(0,)2 B.1(,1)2 C.（1,2） D.（2,3）3．下列图象表示的函数中没有零点的是A ．B ．C ． D4．函数3()5f x x x =+-的零点所在区间为( )A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．一元二次方程240x x m -+=没有实数根，则m 的取值范围为( )A ．m <2B ．m >4C ．m >16D ．m <8 6．函数f （x ）＝2x –1的零点为( )A ．2B ．12C ．12-D ．–27．在下列个区间中，存在着函数3()239f x x x =--的零点的区间是（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)8．下列四个方程中有实数解的是（） A. B. C. D.9．函数2x y x =+的根所在的区间是（） A.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10．某同学用二分法求方程3380x x +-=在x ∈（1，2）内近似解的过程中，设()338x f x x =+-，且计算f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为 A ．f （0.5）B ．f （1.125）C ．f （1.25）D ．f （1.75）11．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是( )A ．B ．C ．D ．12．若函数()3222f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（）A.1.2B.1.3C.1.4D.1.513．下列函数中，能用二分法求零点的是（）A. B.C. D.14．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )A. B. C. D. 15．如下四个函数的图象，适合用二分法求交点横坐标的是 A. B. C. D.16．已知函数1()423x x f x +=--，则函数()f x 的零点所在的区间为（）A.()10-，B.()0,1C.()1,2D.()2,317．函数1()2x f x x =-零点的个数为（）A.0B.1C.2D.318．关于x 的方程210x kx +-=的根的情况是（）A.有两个同号的不相等的根B.有两个异号的不相等的根C.有两个相同的根D.可能没有根19．函数f (x )＝x ＋1x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．320．若函数()y f x =的图像是连续不断的，有如下的对应值表：则函数()y f x =在[]1,6x ∈上的零点至少有______个.21．函数256y x x =-+有______个零点；它们分别是______.22．函数|32|y x =-有______个零点；它们是______.23．设方程240x x +-=的实数根为0x ，则0x 所在的一个区间是______.24．函数2()ln 25f x x x x =-++的零点个数为________．25．函数()234f x x x =+-的零点是____________. 26．函数1()f x x x =-的零点是_______. 27．函数的零点为______．28．已知函数f （x ）（对应的曲线连续不断）在区间[0，2]上的部分对应值如表：由此可判断：当精确度为0.1时，方程f （x ）=0的一个近似解为______（精确到0.01） 29．函数2()f x x x =-的零点是__________．30．解方程：2250x x -=．31．解方程：24(1)90x +-=．32．解方程：2243x x =-．33．解方程：2(21)25x -=．34．求下列函数的零点：（1）220y x x =--+；（2）38y x =+；（3）31log y x =-；（4）24122x x y x +-=-；（5）3,0()ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．。

零点差问题(剪刀模型)(学生版)

零点差问题(剪刀模型)【典型例题】例1.已知函数f(x)=3x-x3，若关于x的方程f(x)=a有两个正实数根x1，x2且x1<x2．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x2-x1<2-a2．例2.已知函数f(x)=nx-x n，x∈R，其中n∈N⋅，且n≥2．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)≤g(x)；(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1，x2，求证：|x2-x1|<a+2．1-n例3.已知函数f(x)=(x2-x)e x(1)求曲线y=f(x)在原点处的切线方程；(2)若f(x)-ax+e≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若方程f(x)=m(m∈R)有两个正实数根x1，x2，求证：|x1-x2|<me+m+1．例4.已知函数f(x)=(mx-m-1)ln x+x-3 e．(1)当m=0时，求f(x)的最值；(2)当m>0时，若f(x)的两个零点分别为x1，x2(x1<x2)，证明x2-x1<e-1e．例5.已知函数f(x)=ln x-ax+a(a为常数)的最大值为0．(1)求实数a的值；(2)设函数F(x)=m(x-1)ln x-f(x)+1-3e，当m>0时，求证：函数F(x)有两个不同的零点x1，x2 (x1<x2)，且x2-x1<e-e-1．例6.已知函数f(x)=x ln x．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a≤-2，证明：f(x)≥ax-e-3在(0,+∞)上恒成立；(3)若方程f(x)=b有两个实数根x1，x2，且x1<x2，求证：be+1<x2-x1<e-3+2+3b2．例7.已知函数f(x)=(x+1)(e x-1)．(1)求f(x)在点(-1，f(-1))处的切线方程；(2)若a≤e-1，证明：f(x)≥a ln x+2ex-2在x∈[1，+∞)上恒成立；(3)若方程f(x)=b有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2-x1≤1+b+e+13e-1+ebe-1．【同步练习】1.已知函数f(x)=x ln x，e为自然对数的底数．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=e-3处的切线方程；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≥λ(x-1)在(0,+∞)恒成立，求实数λ的取值范围．(Ⅲ)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1，x2，求证：|x1-x2|<32a+1+12e3．(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；e2(2)若方程f(x)=m有两个实根x1，x2，且x2>x1(Ⅰ)求m的取值范围；+2m．(Ⅱ)求证：x2-x1<1+1e23.已知函数f(x)=x-a的两个零点记为x1，x2．e x-1(1)求a的取值范围；(2)证明：|x1-x2|>21-a．(1)求y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程y=g(x)，并证明f(x)≥g(x)(2)若方程f(x)=m(m∈R)有两个正实数根x1，x2，求证：|x1-x2|<m+m+1．e+a ln x(a∈R)．5.已知函数f(x)=1x2(1)讨论f(x)的单调性；+1<0．(2)若x1，x2(x1<x2)是f(x)的两个零点，求证：2a ln x2-x1+ea6.已知函数f(x)=e xx-ln x+x-2a，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，(ⅰ)求a的取值范围；(ⅱ)证明：|x2-x1|<4a2-2a-12a-1．7.已知函数f(x)=x ln x-12x2+(2a-1)x(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)已知函数g(x)=e xx -f′(x)有两个不同的零点x1，x2，且x1<x2.证明：x2-x1<4a2-2a-12a-1．8.已知函数f(x)=(x+1)(e x-1)．(1)求f(x)在点(-1，f(-1))处的切线方程；(2)已知f(x)≥ax在R上恒成立，求a的值．(3)若方程f(x)=b有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2-x1≤b+1+ebe-1．(e为自然对数的底数)．9.已知函数f(x)=1-x2e x(1)求函数f(x)的零点x0，以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程；．(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1-x2|<2-m1+12e10.已知函数f(x)=(x-m)ln x(x>0)，m>0．(1)当m=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)当x∈[1，e]时恒有f(x)≤0成立，求满足条件的m的范围；+e-1．(3)当m=e时，令方程f(x)=t有两个不同的根x1，x2，且满足x1<x2，求证：x2-x1≤ete-111.已知函数f(x)=ax-e x+1，ln3是f(x)的极值点．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l．求证：曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方；(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=m(m>0)有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，求证：x2-x1<2-7m10．12.已知函数f(x)=ax-e x+1，曲线y=f(x)在原点处的切线为y=2x．(1)证明：曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点；(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l，求证：曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方；(3)若关于x的方程f(x)=m(m为正实数)有不等实根x1，x2(x1<x2)，求证：x2-x1<2-3m4．13.已知函数f(x)=ax2+bx-c ln x，其中a，b，c∈R．(1)当a≥0，c=1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)已知a>0，b=-2，c=2，且函数f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，求证：对任意的正实数M，都存在满足条件的实数a，使得x2-x1>M成立．14.已知函数f(x)=e xx+ln x-x，其中e=2.71828⋯是自然对数的底数．(Ⅰ)若曲线y=f(x)与直线y=a有交点，求a的最小值；(Ⅱ)(ⅰ)设φ(x)=x+1x，问：是否存在最大整数k，使得对任意正数x都有f(x)-f(1)≥k2[φ(x)-φ(1))成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；(ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=a有两个不同的交点A，B，求证：|AB|<2(a-e+2)2-1．15.已知函数f(x)=(e-x)ln x(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的零点，以及曲线y=f(x)在其零点处的切线方程；(2)若方程f(x)=m(m≠0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1-x2|<e-1-eme-1．16.已知函数f(x)=(x2-1)e x(e为自然对数的底数)．(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程：(2)若方程f(x)=m(m<0)有两个不等的实数根x1，x2，求证：|x1-x2|<2+m．。

考点12零点定理-练-学生版

考点12零点定理-练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,7 3．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( )A ．()21f x x =-B ．()221f x x x =-+C ．()2log f x x =D ．()2xf x e =- 5．用二分法研究函数()321f x x x =--的零点时，若零点所在的初始区间为()12，，则下一个有解区间为（）A ．()12，B ．()1.752，C ．()1.52，D ．()1 1.5， 6．已知函数f （x ）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，3 7．某同学求函数()ln 26f x x x =+-的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程ln 260x x +-=的近似解（精确度0.1）可取为（）A ．2.52B ．2.625C ．2.47D ．2.75 8．用“二分法”求26y x =-的零点时，初始区间可取（）A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4二、填空题 9．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____. 10．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.11．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________. 12．函数()231xf x log x =-的零点个数为_______ 13．函数()22x f x e x +-=在区间()21-，内零点的个数为___ 14．函数()1cos 12xf x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]1,2-上的零点个数为_____________ 15．函数()2ln f x x x =+的零点个数是__________ 16．函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________.17．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.18．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________. 19．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5x |的零点个数为__________20．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称，当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x x =，则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是______21．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，且在区间[)2,4上，()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 22．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019x f x -=的根的个数是_______ 23．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______24．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是_____25．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为______26．若函数()3()1x f x x a =--在（﹣∞，0）上有零点，则实数a 的取值范围为________27．若函数2()log ()f x x x k k z =+-∈在区间(2,3)上有零点，则k = ． 28．函数1()lg1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，则实数m 的取值范围为____________.29．已知函数()ln f x x m =-的零点位于区间()1,e 内，则实数m 的取值范围是________.30．设函数f (x )＝log 32x x+－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________． 31．若函数()()21x f x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 .32．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.33．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.34．函数f (x)＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝．35．设()0,1m ∈，若函数()2log ,02x m x f x ⎧-<≤=⎨有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则22341225x x x x +-+的取值范围是_____ 36．已知直线y mx =与函数()211,0212,03x x x f x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是_______37．已知m R ∈,函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是__________.38．已知定义在R 上的偶函数f （x ），且当x ≥0时，f （x ）31015313x x x x -⎧+≤≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞，若方程f （x ）＝m 恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是_____．39．已知函数()328f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为（精确度0.1）________40．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为___41．若函数()3222f x x x x =+--的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：2那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)为______参考答案1．A2．D3．B4．B5．C6．D7．A8．C9．﹣310．311．0或112．213．214．315．116．117．1018．619．520．2621．322．202023．924．7,53⎛⎫- ⎪⎝⎭25．[4,0)-26．(,1)-∞-27．428．()10,0-29．（0,1）30．()3log 2,131．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦32．[1,)+∞33．2+34．435．78,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭36．)+∞37．305m <<38．53＜m ＜2．39．1.6640．1.841．1.415。

第18讲导数处理函数零点问题学生

第18讲导数处理函数零点问题[基础回顾]对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．1．下凸函数定义设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数． 2．上凸函数定义设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数．[完美题型展现]题型一利用导数确定函数零点的个数例1【2018年全国卷II 】已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．[题型特训] 1.【2021河南濮阳一中期中】已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R .（1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）讨论函数()f x 的零点个数.题型二已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围例2（2017全国卷）已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--.（1）讨论()f x 单调性，（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.[题型特训]1.【2021·福建莆田期末】已知函数()()21e x f x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()21e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围.题型三隐零点问题例3【2017年全国课标1】已知函数f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0．（1）求a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．[题型特训] 1.【江西省九江市2020届高三一模】已知函数． (1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)存在最小值f(x)min ，求证：．[特训作业]1.【2021·福建南平期末】已知函数()()21e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()21e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围.2.【2021·江西赣州期末】已知函数2()x f x e ax x =--（e 为自然对数的底数）在点(1,(1))f 的切线方程为(3)y e x b =-+.（1）求实数,a b 的值；（2）若关于x 的不等式4()5f x m >+对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大值.3.【2021重庆八中月考】己知函数()2112x e x f ax x =--+. （1）当0a ≥时，求()f x 的单调区间和极值；（2）讨论()f x 的零点的个数.4.【2021辽宁实验中学高三期中】已知函数()()(1)(1),()()1x f x f x x e a x g x a R x =--+=∈+ (1)求()g x 的单调区间；(2)若0a e <<（i ）证明()f x 恰有两个零点；（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >证明：0121x x +>.。

函数零点个数问题-12道-学生版

的实数根，则 a 的取值范围是 (
( ) A． 1+ 3,3
)
( ) ( ) B． −∞,1− 3 ∪ 1+ 3,3
( ) C． −∞,1− 3
( ) ( ) D． −1,1− 3 ∪ 1+ 3,+∞
6．（2018·全国高一专题练习）若函数 y = f ( x) 的图象上存在两个点 A, B 关于原点对称，则对称点 ( A, B) 为
m
∈ (0,1)
，若函数
f
(x)
=
log2 x − m, 0 < x ≤ f (4 − x), 2 < x < 4
2
有
4
个不同的
零点
x1,
x2
,
x3 ,
x4
，且
x1<
x2 <
x3 <
x4
，则
x32
+ x1
x42 − + x2
25
的取值范围是（
）
A． 2
5
−
8,
−
7 2
B．[2 5 − 8,0)
x1 − x2 的取值范围是（）
A．
3 2
,
&(1, +? )
D．
1,
3 2
试卷第 3 页，总 4 页
10．（2017·广东深圳市·深圳中学高三月考（理））已知
f
(x)
=
e
x
1
ex
+ ax2 , x + ax2 , x
>0
,若函数
<0
f
( x) 有四个零点,则实数 a
≤e x<

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零点问题
一、零点的定义1．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为______．
2．已知函数f(x)＝2
3x＋1
＋a的零点为1，则实数a的值为______．
二、函数零点所在区间的判断
1、定义法
1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
3．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
4．已知函数f(x)＝x3－x2＋x
2＋
1
4
. 证明：存在x0∈
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，
1
2
，使f(x0)＝x0.
2、图象法
1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
三、判断函数零点个数
1、方程法
1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－2， x >0，
－x 2
＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )
＝f (x )＋x 的零点个数为________．
2．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x ＋1，x ≤0，
log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2、定义法
1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
2．函数f (x )＝e x
＋1
2
x －2的零点有______个．
3、图像法
1．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______．
2．函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x 2
＋x －2，x ≤0，
－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )
A ．3
B ．2
C ．7
D ．0
3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
4．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为
( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x
，x ≤1，
log 1
3
x ，x >1，
则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
四、已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围
1、直接法（定义法）
1．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．
2．函数f (x )＝2x
－2
x
－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2)
3．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围为______．
2、分离参数法
1、(2017·安庆摸底考试)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．
2．(2016·宁夏育才中学第四次月考)已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
e x
＋a ，x ≤0，
3x －1，x >0
(a ∈R)，若函
数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，0)
C ．(－1,0)
D ．[－1,0)
3、数形结合法
1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
0，x ≤0，
2x
，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值
范围是( )
A ．[0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x ＋1，x >0，
－x 2
－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实
数m 的取值范围是______．
3．函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2x
－1，x ≥0，
f x ＋1，x <0，
若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数
根，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0)
B ．[0,1)
C ．(－∞，1)
D ．[0，＋∞)
五、方程根的分布问题
1．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是______．
2．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．。