湖北黄冈中学2013届高三10月月考数学(文)试题

湖北省黄冈中学2013届高三10月月考数学（文） 试题命题人：袁小幼 审稿人：蔡盛 校对：周永林一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数1ii-的共轭复数为（ ）A ．1122i -+ B ．1122i + C ．1122i -- D ．1122i - 【答案】 C【解析】(1)11112222i i i i i i ⋅+-+===-+- 2．设112,1,,,1,222α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使()f x x α=为奇函数且在(0,)+∞单调递减的α的值的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】A【解析】仅有1α=-时满足题意3．以下说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”．B ． “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件． C ．若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题．D ．若命题p :x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥．【答案】C【解析】若p q ∧为假命题,则只需p q 、至少有一个为假命题即可．4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3915170a a a a +++=，则21S 的值是（ ）A ．1B ． 1-C ． 0D ．不能确定【答案】 C【解析】391517111140,0a a a a a a +++==∴=,2111210S a ==5．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是 （）A ．（1），（3）B ．（1），（4）C ．（2），（4）D ．（1），（2），（3），（4） 【答案】A【解析】可以是一个正方体上面一个球，也可以是一个圆柱上面一个球．6．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有●的个数是 （ ） A ．61 B ．62 C ．63 D ．64 【答案】A 【解析】作如下分类○●，○○●，○○○●，○○○○●，……，∴第n 个●前共有小球的个数为n n ＋3 2由题意知n n ＋32≤2012∴n ＝61．7．已知：如图， ||||1OA OB == ， OA 与OB 的夹角为120，OC 与OA 的夹角为 30，若OC OA OB λμ=+ （R ∈μλ、）则λμ等于（ ）A ．23B ．332C ．21D ．2【答案】D【解析】应用向量加法三角形法则知1sin30λμ==2 8．ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB ABCOC ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB 【答案】D【解析】方法1：由正弦定理得32sin sin sin sin sin sin sin()33b c b c b cB C B C B B ππ++====++-， 得b ＋c ＝23[sin B ＋sin （23π－B ）]＝6sin()6B π+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ．方法2：可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋3，故排除A 、B 、 C ．9．已知实数,a b 满足等式23ab=，下列五个关系式：①0;b a <<②0;a b <<③0;a b <<④0;b a <<⑤.a b =其中可能成立的关系式有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①③⑤D ．③④⑤【答案】B【解析】设23,abk ==则23log ,log a k b k ==，分别画出23log ,log y x y x ==的图像可得．10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“平均和”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“平均和”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“平均和”为（ ） A ．2002 B ．2004C ．2006D ．2008【答案】A 【解析】20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上）11．sin163sin 223sin 253sin 313︒︒+︒︒= ．2【解析】sin163sin 223sin 253sin313sin163sin 223sin(16390)sin(22390)︒︒+︒︒=︒︒+︒+︒︒+︒1sin163sin 223cos163cos223cos(223163)cos60.2=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=12．不等式x x ->+512的解集是 ． 【答案】),34()6,(+∞--∞【解析】两边平方转化为一元二次不等式．13．曲线)1()('23f x x x f +=在点(2,)m 处的切线斜率为 ． 【答案】0【解析】x f x x f )1(23)(2'+='，令1=x ，可得3)1(-='f ，令2=x ，可得0)2(='f14．函数()()21f x x x x =⋅+--有 个零点． 【答案】2【解析】分别画出1y x=与2y x x =+-的图像，可得它们有2个交点．15．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则()()()()1232012f f f f ++++= ． 【答案】222+【解析】由图象知()4sin2,42,0xx f T πππωφ=∴===，其图象关于()6,2,0,4==x x 对称知，()()()()12380,f f f f ++++= 8,201225184,T ==⨯+()()()()()()()()12320121234f f f f f f f f ∴++++=+++=()()()()23412342sin sin sin sin 22 2.4444f f f f ππππ⎛⎫=+++=+++=+ ⎪⎝⎭ 16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1,3AD CD AB ===，动点P 在BCD 内运动（含边界），设AP AD AB αβ=+，则αβ+的最大值是 ．2 026xy3【解析】以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ，则)0,3(),1,0(==AB AD ,βα==∴y x ,3，y x==∴βα,3， ∴3x y αβ+=+由线性规划知识知在点(1,1)C 处取得最大值43．17．若x ∃∈5(1,)2，使函数22()log (22)g x tx x =+-有意义，则t 的取值范围为 ．【答案】12t >-【解析】不等式2220tx x +->有属于5(1,)2的解,即222t x x >-有属于5(1,)2的解．又512x <<时,2115x <<,所以222x x -=21112()22x --∈1[,0)2-．故12t >-．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（本小题满分12分）已知集合26{|1,},{|20}.1A x x RB x x x m x =≥∈=--<+ （Ⅰ）当m =3时，求()R A B ð；（Ⅱ）若{|14}A B x x =-<< ，求实数m 的值．【解析】由651,0,11x x x -≥≤++得15x ∴-<≤{|15}A x x ∴=-<≤， （Ⅰ）当m=3时，{|13}B x x =-<<，则{|13}R B x x x =≤-≥或ð}53|{)(≤≤=⋂∴x x B C A R（Ⅱ）},41|{},51|{<<-=≤<-=x x B A x x A8,04242==-⨯-∴m m 解得有，此时}42|{<<-=x x B ，符合题意，故实数m 的值为8． 19．（本小题满分12分）已知6π=x 是函数21cos )cos sin ()(-+=x x x a x f 图象的一条对称轴． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）作出函数)(x f 在],0[π∈x 上的图象简图（不要求书写作图过程）．【解析】（Ⅰ）∵x x a x f 2cos 212sin 21)(+=，∴)(x f 最值是1212+±a ， ∵6π=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴，∴121)6(2+±=a f π，∴121)6(2cos 21)6(2sin 212+±=+a a ππ， 整理得0)232(2=-a ，∴3=a ； （Ⅱ）)62sin()(π+=x x f ,画出其简图如下：20．（本小题满分13分） 某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为8()1g n n =+（Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元． （Ⅰ）求出)(n f 的表达式；（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?【解析】（Ⅰ）)10100()(n n f +=n n 100)1810(-+-．（Ⅱ）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f 80-52092800001)191(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ．当且仅当1+n 19+=n ，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元． 21．（本小题满分14分）已知{}n a 是正数组成的数列，11=a ，且点1(,)()n n a a n +∈*N 在函数12+=x y 的图象上．数列{}n b 满足01=b ，*13()n a n n b b n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若πn b a c n n n cos 2=*()n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【解析】（Ⅰ）由已知得11n n a a +=+， ∴{}n a 为首项为1，公差为1的等差数列， ∴n a n =．∵13n n n b b +-=，∴21321()()()0n n n b b b b b b b -=-+-++-+121333n -=+++113(13)313(31)313222n n n ---==-=?-， ∴n a n =，13322n n b =?．（Ⅱ）132(3)cos 22n n C n n π=⋅⋅-(33),(33),nnn n n n ⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数,为偶数.∴当n 为偶数时123(33)2(33)3(33)(33)n n S n =--+⋅--⋅-++-12345(3233343533)(32333433)n n n =-+⋅-⋅+⋅-⋅++⋅+-⋅+⋅-⋅+- ．设23323333n n T n =-+??+ ，则23413323333n n T n +-=-??- ，∴23414333333n n n T n +=-+-+-++ 131()344n n +=-++⋅，∴11[3(41)3]16n n T n +=-++⋅．∴1113(41)3243[3(41)3]()16216n n n n n S n n +++⋅--=-++⋅+-=．当n 为奇数时 11(41)3242116n n n n n n S S c +--+⋅++=+=，∴11(41)32421,16(41)3243,16n n n n n n S n n n ++⎧-+⋅++⎪⎪=⎨+⋅--⎪⎪⎩为奇数.为偶数. 22．（本小题满分14分）已知函数()()2211x f x x R x x-=∈++． （Ⅰ）求函数()f x 的极大值；（Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x 恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+． 【解析】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x x x x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++ ∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞．极大值为()23233f -+=． （Ⅱ）原不等式可化为()22211tx e x x -++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332． ∴()22211x x x -++的最大值为433，由恒成立的意义知道433te ≥，从而433t ln ≥（Ⅲ）设()()()22101x g x f x x x x x x -=-=->++ 则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++．∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a b λμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤∴222a b a b λμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤． 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥．。