专题2 第5讲

c 2 由题意，知 2b＝ 2， ＝ ， a 2
2 所以 a＝1，b＝c＝ . 2
2 x 故椭圆 C 的方程为 y2＋ ＝1，即 y2＋2x2＝1. 1 2
(2)求m的取值范围． 解 设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)， l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y＝kx＋m， 由 2 2 2x ＋y ＝1，
专题2 优化解答程序，构建答题模板
第5讲 圆锥曲线的常规问题
例 6 x2 y2 已知双曲线 2－ 2＝1(a>1，b>0)的 破题切入点 a b
用 a，b表示 s可得
焦距为 2c，直线 l 过点(a,0)和(0，b)，且点
关于a，b，c的不等
(1,0)到直线 l 的距离与点 (－1,0)到直线 l 式，进而转化成关 4 于 e 的不等式，求 e 的距离之和 s≥ c，求双曲线的离心率 e 5
得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)
－2kmபைடு நூலகம்m2－1 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 . k ＋2 k ＋2
→ → 因为AP＝3PB，所以－x1＝3x2，
x1＋x2＝－2x2， 所以 2 x x ＝－ 3 x 1 2 2.
第5讲 圆锥曲线的常规问题
4 2ab 4 由 s≥ c，得 ≥ c，即 5a c2－a2≥2c2， 5 c 5
可得 5 e2－1≥2e2，即 4e4－25e2＋25≤0，
5 2 解得 ≤e ≤5. 4
由于 e>1，故所求 e
的取值范围是
5 ， 5. 2
构建答题模板
第一步：提取．从题设条件中提取不等关系式； 第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式，得到不 等式的解集； 第三步：下结论．根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中 几何量的范围，得到所求参数的取值范围； 第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数 的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离 心率的范围，圆锥曲线定义中的a，b，c的大小关系等．
所以 3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.
所以
2 －2km m －1 2 3· ＝0. 2 ＋4· 2 k ＋ 2 k ＋2
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.
2 2 － 2 m 1 1 2 2 当 m ＝ 时，上式不成立； 当 m ≠ 时，k2＝ 2 ， 4 4 4m －1
的范围．
的取值范围．
第5讲 圆锥曲线的常规问题
解 x y 设直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 bx＋ay－ab＝0. a b
由点到直线的距离公式，且 a>1，得到点 (1,0)到直线 l ba－1 的距离 d1＝ 2 2， a ＋b
ba＋1 同理可得点(－1,0)到直线 l 的距离为 d2＝ 2 2， a ＋b 2ab 2ab 于是 s＝d1＋d2＝ 2 2＝ c . a ＋b
跟踪训练 6
椭圆 C 的中心为坐标原点 O， 焦点在 y 轴上，
2 短轴长为 2，离心率为 ，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)， 2 → → 与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且AP＝3PB.
(1)求椭圆C的方程；
解 y2 x2 设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， a b
设c>0，c2＝a2－b2，
由(*)式，得k2>2m2－2，
2 2 － 2 m 又 k≠0，所以 k2＝ 2 >0. 4m －1 1 1 解得－1<m<－ 或 <m<1. 2 2
即所求 m
1 1 的取值范围为－1，－2∪2，1 .
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