2-7 角动量定理 角动量守恒解析
2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 modified
§2-7质点的角动量 角动量守恒定律§2-7质点的角动量角动量守恒定律行星在公转轨道上的运动v 2 ⋅ Δtor2G rK v质点的匀速直线运动mv1 ⋅ ΔtK vΔS = const . Δtr1G roP开普勒第二定律： 任一行星的位置矢量（以 太阳为参考点），在相同 时间内扫过相同的面积。
2/18ΔS = const . Δt质点P相对于参考点 O，在相同时间内扫 过相同的面积。
中国矿业大学（北京）角 动 量行星在公转轨道上的运动oG rrK p ≠ const .θK v质点的匀速直线运动mv ⋅ ΔtK vG roK p = const .PEk ≠ const .Ek = const .ΔS r ⋅ v Δt ⋅ sin θ / 2 1 1 K K = rv sin θ = r × v = const . = 2 Δt Δt 23/18 中国矿业大学（北京）角 动 量1、角动量定义：质点对某点的角动量为G G G G K L = r × ( mv ) = r × p角动量大小： L = rmv sin α （面积）G L角动量方向：由右手法则确定。
G LOG rmαG mv4/18αG vG r中国矿业大学（北京）角动量讨论讨论：（1）角动量不但与质点的运 动有关，且与参考点位置选取 有关。
K vG （2） L 方向的确定 G LG G G G K L = r × ( mv ) = r × pG roG vPo'G r'αG vαG rG L中国矿业大学（北京）G r5/18角动量讨论G G G G G r ⊥ v ， L = r × ( mv ) （3）做匀速圆周运动时，质点对圆心的角动量大小为：L = rmv质点对圆心的角动量方向为： ？G L在不同的圆周位置上，mOG rm90°G v角动量大小不变 角动量方向不变匀速圆周运动的质点对圆心O的角动量为恒量.6/18 中国矿业大学（北京）角动量讨论（4）角动量概念的重要性 广泛性：大到天体运动，小到微观粒子（质子、电 子）运动的描述，都会应用到。
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
动量守恒与角动量守恒
动量守恒与角动量守恒动量守恒和角动量守恒是物理学中两个重要的守恒定律，它们是描述宇宙运行规律的基础。
它们解释了为什么我们可以看到各种不同的物体在相互作用之后能够保持稳定。
在这篇文章中，我们将探讨动量守恒和角动量守恒的意义以及它们在现实生活中的应用。
动量守恒是指在一个封闭系统中，总动量保持不变。
动量是物体的质量乘以其速度，因此当一个物体改变速度或方向时，它的动量也会相应地改变。
然而，根据动量守恒定律，一个物体的动量改变必须与其他物体的动量改变相互平衡。
例如，当两个物体发生碰撞时，它们之间的相互作用会导致它们的速度和方向发生变化，但两者的动量之和仍然保持不变。
动量守恒定律有许多重要的应用。
在汽车碰撞实验中，我们可以看到当两辆车相撞时，它们之间的动量转移导致了速度和方向的变化，但总动量保持恒定。
这就是为什么我们需要安全带和气囊来保护我们的身体，因为它们可以减缓碰撞时动量转移的速度，从而减少损伤。
另一个重要的守恒定律是角动量守恒。
角动量是物体的质量乘以其角速度，它描述了物体绕着某一点旋转的力量。
角动量是一个矢量量，有大小和方向。
根据角动量守恒定律，在一个封闭系统中，总角动量保持不变。
当一个物体改变自身的转动速度或转动方向时，它的角动量也会改变。
然而，根据角动量守恒定律，物体的角动量改变必须与其他物体的角动量改变相互平衡。
角动量守恒定律在许多领域都有应用。
例如，在体育比赛中，棒球运动员投掷球时，球的旋转速度会影响球的飞行轨迹。
这是因为球的角动量在飞行过程中保持不变，而角动量的改变会导致飞行轨迹的变化。
此外，角动量守恒也解释了为什么滑冰选手在做旋转动作时可以加快旋转速度，通过调整身体的姿势来改变角动量。
综上所述，动量守恒和角动量守恒是物理学中重要的守恒定律。
它们描述了在封闭系统中物体的运动规律，并给出了物体如何保持稳定的解释。
在实际生活中，动量守恒和角动量守恒定律的应用不胜枚举，从碰撞实验到运动比赛，都可以看到这两个守恒定律的影响。
角动量定理、角动量守恒定律
在 M d L 中 ，若 M 0 dt
即：J J
1
2
M 0 的原因可能有：
则 L常量
（1） F 0 （不受外力）
（2）外力作用于转轴上
（3）外力作用线通过转轴
（4）外力作用线与转轴平行
以上几种情况对定轴转动均没有作用，则刚
体对此轴的角动量守恒。
角动量守恒定律也适用于定轴转动系统。
例1：一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂伸 直水平地举起两哑铃，在该人把此二哑铃水平收缩 到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统 的：
（A）机械能守恒，角动量守恒 （B）机械能守恒，角动量不守恒 （C）机械能不守恒，角动量守恒 （D）机械能不守恒，角动量不守恒
选C
像其他所有行星一样，太阳是由大量的灰尘雾和早 先充满宇宙空间的气体所组成。在几十亿年的时间内， 这些物质在引力的吸引下，慢慢缩聚起来，刚开始的时 候，这些气体团旋转的很慢，后来随着它们体积的缩小， 旋转速度不断提高，这个道理就和滑冰运动员把自己的 双臂逐渐收拢起来的时候，她的旋转速度就会不断加快 的道理一样。缩聚和旋转速度的加快，使组成太阳的物 质变成一个碟子般的东西。
2、刚体的角动量定理 在定轴转动中
MJaJddJ
dt dt
积分形式：
0 tM d tL L 1 2d L L 2 L 1 J2 J1
左边为对某个固定转轴的外力矩的作用在某段时间内 的积累效果，称为冲量矩。 右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。
3、角动量守恒定律
盘状星系——角动量守恒的结果
例2：有一个半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖 直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀 角速度 0 转动，此时有一质量为m的人站在转台中 心。随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时 转台的角速度为：
角动量守恒定律
Mdt dL
Mdt 为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得
t2
Mdt L2 L1
t1
质点的角动量定理：对同一参
考点，质点所受的冲量矩等于质点 角动量的增量。 成立条件：惯性系
四、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
v
L
L＝r mv＝恒矢量
二、角动量
概念：一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐
标原点O的位置矢量为 r，定义质点对坐标原点O的角 动量L为该质点的位置矢量与动量的矢量积 L
L r P r mv
大小：L＝rmvsin 方向：右手螺旋定则判定 单位：kgm2/s 量纲：ML2T-1 o
P m r θ
说明
角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为
零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。 外力矩为零有两种情况： a、质点所受的外力为零； b、质点所受的外力不为零，但是在任意时刻外力对于固定参考 点的合力矩为零。 特例： •在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的； •匀速直线运动。 例题2.17 有心力场中质点的运动(P.81-82)
•角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典 力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。 •角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。 •作圆周运动的质点的角动量 的角动量L保持不变。 P
L＝mrv
•质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r变化，但是质点
L
o
r
三、质点的角动量定理
设质点的质量为m，在合力F的作用下，运动方程
§2-7 角动量守恒定律
一、力矩
力对点的力矩
角动量定理和角动量守恒定律
O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内， 子弹 (m,V ) 击穿杆的 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律 非刚体， 一般随时间变化， 非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A和 O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩， 小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量 对 A: M = R ×T = 0
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
角动量、角动量守恒定律的分析
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
第五节-角动量角动量守恒定理讲解学习
上二式相比，可得
例2一质量m = 2200kg 的汽车以的速度 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？ 解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d= 50m的一点P1的角动量的大小为
汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为
例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不 计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质 点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。 解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和 m v组成的平面垂直）。 角动量的大小为
角动量守恒定律及其应用
角动量守恒定律及其应用角动量是物体在旋转运动过程中的物理量，它描述了物体绕某一旋转轴旋转时的转动效果。
在许多物理学问题中，角动量守恒定律是一个重要的定律，它可以帮助我们理解和解释许多自然现象。
本文将探讨角动量守恒定律的基本原理以及其在各个领域中的应用。
首先，让我们来了解一下角动量的定义。
角动量的大小可以通过物体的质量、旋转轴距离和物体的旋转速度来决定。
具体地说，对于质量为m的物体，其距离旋转轴的距离为r，旋转速度为v，则角动量的大小L等于L = m*r*v。
角动量的单位是千克·米²/秒。
同时，角动量也有方向，它垂直于运动轨迹平面，在顺时针旋转时呈现为向内，而在逆时针旋转时则呈现为向外。
接下来，让我们来探讨一下角动量守恒定律的基本原理。
角动量守恒定律可以简化为以下表达式：L1 = L2。
也就是说，对于一个系统，如果没有外力或外扭矩的作用，其初始时刻的角动量等于其末时刻的角动量。
这意味着物体在旋转过程中，其角动量的大小和方向保持不变。
这个定律的表述与动量守恒定律相似，但由于旋转运动涉及到物体的转动效果，所以角动量守恒定律对于理解旋转运动非常重要。
角动量守恒定律在许多物理学问题中发挥了重要的作用，下面将介绍其中的一些应用。
首先是行星运动。
根据开普勒的第二定律，行星绕太阳运动时会沿着椭圆轨道，而行星在椭圆轨道上的速度是不断变化的。
然而，在整个运动过程中，行星的角动量保持不变。
这是因为没有外力或外扭矩作用于行星，所以行星的角动量在运动过程中始终保持恒定。
利用角动量守恒定律可以解释行星运动的轨道和速度变化，从而揭示了行星运动的规律。
其次是物体的平衡。
在刚体平衡的情况下，所有作用在刚体上的外力和外扭矩的代数和均为零。
这一条件要求物体的重力矩、弹力矩和摩擦力矩等相互平衡。
利用角动量守恒定律可以推导出这些力矩之间的关系，从而解决平衡问题。
例如，在一个平衡的飞盘上，当我们将手臂伸出时，通过改变手臂的角速度可以改变飞盘的角动量，从而改变其保持平衡的能力。
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
定轴转动的角动量定理角动量守恒定律
• 引言 • 定轴转动的角动量定理 • 角动量守恒定律 • 定轴转动与角动量定理、守恒定律的
关系 • 总结与展望
01
引言
定义与概念
角动量定理
描述转动物体角动量随时间变化 的规律。
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，一 个系统的角动量保持不变。
角动量定理和角动量守恒定律的重要性
基础物理理论
是经典力学和天体力学中的重要理论，为理解物体运动规律提供了基础。
应用广泛
在日常生活、工程技术和科学研究轴转动的角动量定理
定理的表述
角动量定理
对于一个质点绕定轴的转动，其角动 量（定义为质点到旋转轴的距离乘以 质点的速度在垂直于该轴的平面上的 投影）是一个守恒量。
定律的表述
角动量守恒定律是指对于一个封闭系统，其角动量在不受外力矩作用的情况下保持 不变。
角动量 = 转动惯量 × 角速度。
当系统不受外力矩作用时，角动量保持不变。
定律的证明
证明角动量守恒定律需要应用牛顿第二定律和向心力公 式。
当系统不受外力矩作用时，根据牛顿第二定律，合外力 为零，因此合外力矩也为零。
综合应用场景
在分析卫星运动、行星运动、陀螺仪的工作原理等问题时，需要综合考虑定轴转动、角动量定理和守恒定律。
具体应用
通过分析卫星绕地球转动的角动量定理和守恒定律，可以解释卫星轨道的稳定性；在陀螺仪中，利用角动量守恒 定律实现定向稳定控制。
05
总结与展望
总结
01 02
角动量定理
定轴转动的角动量定理描述了物体转动时角动量与力矩之间的关系，即 角动量等于力矩与时间的乘积。这个定理在物理学中有着广泛的应用， 如陀螺仪、行星运动等领域。
角动量定理及角动量守恒定律
角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示,定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为: θsin Fr M ＝力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直,其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时,拇指指向的方向就是力矩的方向.二、力对转轴的力矩:力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M;2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩,用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角.3）若力F不在垂直与转轴的平面内,则可把该力分解为两个力,一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响.对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向.三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线）动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时,考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时,引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容.本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
大学物理 牛顿运动学定律 动量 动量守恒 角动量 角动量守恒
1 2
mv02[(
r0 r
)2
−
1]
>
0
例2. 用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径 的面积速度为恒量。
解： 在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积
dS
=
1 2
r
dr
sin α
=
1 2
r × dr
行星
α
r dS dr
面积速度
孔做圆周运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径为 r2 时，求 小球的速率 v2
解：小球受力： f 拉 为有心力
L = r × mv
L2 = L1
r1mv1 = r2mv2
v2
=
r1 r2
v1
显然 v2 > v1
f拉
0 v1
r2
r1
利用动能定理，该力所做的功
W == ∆Ek
1 2
m= v2 − 12 mv02
p1
= p2 − p1 = mv2 − mv1
2. 动量守恒定律 （与外界没有质量交换的质点系）
∑ 当当 ∑FFixi = 0 时 时
∑ miv∑i =mimvix1v=1恒+矢m量2v2 + + mnvn = 恒矢量
当质点系所受的合外力为零时，系统的总动 量保持不变。
第7节 角动量定理 角动量守恒定律
t： t+dt ：
质量 m m + dm -dm
速度
v
v + dv
v'
动量 p1 = mv
p2
(此处dm<0)
证明角动量守恒
证明角动量守恒角动量守恒定律是物理学中一项重要的定理，它指明物理世界中具有一种特定性质的量在施加合外力时是不变的。
角动量守恒定律是研究物理现象的基础，其获得的结果也被认为是物理学公认的定律。
本文将详细阐述角动量守恒定律的定义、原理和应用。
角动量守恒定律是动量定律的一个特例，它规定物体在施加任何合外力之前和之后，其角动量不变。
这里关于角动量的定义为：物体在受到的外力的施加的作用下，其有限的点构成的物体的运动情况，包括其速度、角速度和角位移所决定的角动量。
角动量守恒定律是基于力学的物理规律，它被称为守恒定律，是指在受到任何外力影响后，物体的角动量等于它在受力之前的角动量。
换句话说，它可以定义为当一个物体施加外力时，不论是受惯性力影响还是受外界力影响，物体的角动量保持不变。
这是因为在外力的影响下，物体的有限点构成的物体由某处移动到另一处，从而在受力之前和之后这物体的角动量保持不变。
角动量守恒定律还用于揭示物体的运动规律，包括轨道运动，时间及距离的变化等问题。
例如，它可用于解释两体施加外力的动能可能性，反映两个物体之间的力学互作关系。
还可以解释旋转惯性力和自转惯性力的存在，了解两个细胞的旋转关系，说明自旋运动的角动量也是守恒的。
此外，角动量守恒定律也大有作为，它可以用于研究星系形成和演化过程中的动量分布，以及物体围绕质心运动与恒定轨道引力场之间的关系。
它对认识宇宙微观物质一些演化过程也具有重要作用，这些研究的结果，不仅在物理学上有用，也为我们提供了重要的见解。
综上，角动量守恒定律是物理学中一项非常重要的定律，广泛应用于日常科学研究及宇宙探索中。
角动量守恒定律以其科学本质和实践应用来指导我们对自然界及宇宙自身的深入研究，探索物理规律之类的物理学知识，以促进人类社会的进步。
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h2
O
h1
a
解：卫星对地心的角动量守恒，有
r1mv 1 r2 mv 2
(h1 R)mv1 (h2 R)mv 2
h1 R v2 v1 h2 R
16
四、质点系的角动量 质点系的角动量 L Li
i dL d d Li （ Li） dt dt i i dt （M i 外 M i内） M外 M内 i M外 M i外 ri Fi i i i ri f ij rij M内 Mi内 (ri f ij ) 0
0
v
v
mvR
MvR
22
M
▲
星云具有盘形结构：
23
粗略的解释：星球具有原始角动量 r0mv 0k z v0 Mz 0 Lz const. m r0 r0mv 0 rmv
r
· ·
v
v o ro 1 v r r
引力使r到一定程度
v2 1 星球所需向心力： F向 m 3 r r 1 可近似认为引力： F引 2 r
与固定点有关 与内力矩无关 守恒条件 ri Fi 0
i
25
书59、72页例2-9、16
V0
解: 应用角动量定理
C
B
A
Rm Av0 RmB v0 Rm Av RmB v Rmc v
V0
m A mB mC
2 v v0 3
26
（中心力）
v
· F r
O
（1） mv r sin =const.， （2）轨道在同一平面内。
13
若 M z 0 ，则 Lz 常量 — 质点对轴的角
动量守恒定律
角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系， 也适用于微观体系， 而且在高速低速范围均适用。
14
例
用角动量守恒定律导出开普勒第二定律 -- 行星单位时间内扫过的面积相等。 O
— 质点系角动量定理
若 M外 0 ，则 L 常矢量
思考
——质点系角动量守恒定律
1.定理和定律中的 Mi外 是外力矩的矢量和，不 是合外力的力矩。
M
外 2rF
外力矢量和为0
2.严格满足的 M i外 0 系统很难找到，但当系统满足 内力矩>>外力矩时，可近似认为系统的角动量守恒
V
vx u cos V
0 mvx M (V ) m(u cos V ) MV mucos (M m)V
mu cos V M m
2
例．一绳跨过一定滑轮，两端分别系有质量分别为 M和m的两物体M>m，且M静止于地面上，当m自 由下落的距离h后，绳子才被拉紧，求绳子刚被拉 紧时两物体的速度及M能上升的最大高度。
解： dt时间内扫过的面积
r ac h
b
L r mv
M r f 0
所以
ds / dt 恒量
rmv sin
1 ds rvdt sin 2 1 rmv sin dt 2 m
15
例．若地球卫星远地点距地面的高度为 h1 ,速度 大小为 v1 , 近地点距地面的高度为 h2 ，则近地点 卫星的速度为多大？(已知地球的半径为 R ) b
12
若 M 0 ，则 L 常矢量
说明：
——质点角动量守恒定律
2.力矩和角动量对同一固定点
1.定理和定律仅适用于惯性系
F 0 ， 3. M 0F过O点：有心力（如行星受 中 心恒星的万有引力） L L r (mv ) 常矢量 m
方向： 于r，p（v）决定的平面（右螺旋） 注意： 对不同的参考点，角动量也不一样 8
L
O
例质点作匀速率圆周运动时，
v 对圆心的角动量的大小为 R m L = mvR， 方向圆面不变。
·
同一质点的同一运动，其角动量却可以随固
定点的不同而改变。例如：
锥摆 l m
O
O
LO rom mv
一、质点的动量定理
Fdt dp d (mv) t2 Fdt p2 p1 mv2 mv1
t1
t2 F t1 外
二、 质点系动量定理和动量守恒定律
d t P2 P1
F外 0 时，P 常矢量
1
例．如图所示，在一个水平面上，炮车发射炮弹。 炮身质量为M，仰角为 ，炮弹质量为m。炮弹刚 出口时，相对于炮身的速度为u。不计地面摩擦， 求炮弹刚出口时炮车的速度。 解：取炮车和炮弹为系统。 u 系统所受的外力是重力和 支持力，都沿竖直方向， 所以水平方向动量守恒。 炮弹速度的水平分量为
之后过程中：
mv0 m v 2 gh M m M m
mg T ma T Mg Ma
mM a g0 M m
说明M减速上升
2aH 0 v 2 v2 m2 h H 2 2a M m 2
4
§2.7 角动量
角动量守恒定律
Angular momentum Law of conservation of angular momentum
方向
10Байду номын сангаас
三、质点的角动量定理和角动量守恒定理 由 L r p dr d p dL d 有： pr ( r p) dt dt dt dt
v mv r F r F M
11
于是有 或
F引 F向 ， r 就不变了，
24
引力不能再使 r 减小 。但在z 轴方向却无此限制， 可以在引力作用下不断收缩。
小结：动量与角动量的比较 角动量 L ri pi 动量 p miv i
i
矢量 与固定点无关 与内力无关
守恒条件 Fi 0
i
矢量
i
mB m A v B v A ,同时到达
21
例：重解上节例题
解： M：
m：
M 合 r T RT
M 合 r T RT
h m
m M
M外 0
角动量守恒
v
初始 m M 末时 m
L
m 2ghR
T mg , Mg
2gh
0
m 2gh mv Mv
18
例 一根长为l的轻质杆，端部固结一小球m1 ， 另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。 求：碰撞后杆的角速度ω 解： 选m1（含杆）+ m2为系统 碰撞时重力和轴力都通过O， m2 m1 对O 力矩为零，故角动量守恒。
l l l m2v 0 lm1l m2 有 2 2 2 v0 2m 2 解得： 4m1 m2 l
5
一、力矩
M Fd Fr sin
o
定义：力对某点O的力矩 M r F
大小：
r F
r
d
F
M
M rF sin r0 F
称力臂
单位：米牛顿 注意： 对不同的参考点，同一力的力矩也不一样 若质点同时受到几个力的作用，则合力矩为
方向： r F
N
M
A、B两人质量相等,由静止出发作爬绳比赛, 若A的力量比B大,谁先到达最高点? 解: 取人、轻滑轮、绳为系统
o
R
选o为参考点，外力矩之和 ?
m A gR mB gR 0
系统角动量守恒
设A、B对地的速度分别为
vA
mg
A
vB
mg
B
v A、 v B m B v B R m Av A R 0
LO lmv
方向变化 方向竖直向上不变 9
v
LO lmv sin LO rom mv
例．质点作直线运动时的角动量。
解：任意时刻质点对O点的角动量为
L r P r mv
大小为
r0
O
r
P mv
L rmvsin r0mv
v0
O
l
思考 （m1＋m2 ）的水平动量是否守恒？
19
例 5 如图所示，质量为m的小球在光滑水平面上作 圆周运动（半径为R1，速度为v1)，今用力拉绳 （圆孔光滑）, 使圆半径变为R2，求此时小球作圆 周运动的速度大小。 解:
角动量守恒
R1mv 1 R2 mv 2
F
20
例7
书73页例2-17(轻滑轮)
积分
d L M dt 质点角动量定理 t t M d t L2 L1 （积分形式）
2
dL M dt
质点角动量定理 （微分形式）
分量：
t2 M t1
1
d t 称力矩的冲量 冲量矩 ——力矩对时间的积累作用。
t2 t1
M z dt Lz 2 Lz 1
解：绳子拉紧前瞬间，m的速度 v0 2gh
h m
m 取m、M为系统，拉紧过程中合外力不为0； 取m、M、绳为系统，拉紧过程中 N mg , Mg 合外力不为0。所以此过程动量不守恒，可以用动量定理 来求解。
3
M
设张紧过程需时 t
(T1 mg )t mv (mv0 ) (T2 Mg )t Mv 0
i i j i
ri f ij r j f ji ri f ij r j f ij (ri r j ) f ij rij f ij 0