昆明市2020届“三诊一模”高三复习教学质量检测文科数学卷
2020届云南省昆明市数学(文科)三诊一模试卷及答案
物线的准线上，
∴点 P（﹣1，4），
∴直线 PF 的斜率为：
2，
又∵PF⊥AB，∴直线 AB 的斜率为 ，
∴直线 AB 的方程为：y﹣0 ሉ
，即 x﹣2y﹣1＝0，
故选：A． 10．（5 分）若直线 y＝ax 与曲线 y＝lnx﹣1 相切，则 a＝（ ）
A．e
B．1
C．
D．
【解答】解：
，设切点为（x，lnx﹣1），
C．2π
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
D．4π
可知该几何体是底面半径为 1，高是 2 的圆柱截去四分之一．
其体积为 V
．
故选：B． 6．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 T＝（ ）
A．
B．
C．
【解答】解：k＝1，S＝0，T＝0； S＝0+1＝1，T＝1，k＝2；
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B．2﹣i
C．﹣2+i
D．﹣2﹣i
【解答】解：∵z 满足（1+2i）z＝5i，
∴z
ሉ
ሉ
ሉ
2+i
故选：A．
3．（5 分）在正项等比数列{an}中，若 a1＝1，a3＝2a2+3，则其前 3 项的和 S3＝（ ）
A．3
B．9
C．13
D．24
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为 q＞0，∵a1＝1，a3＝2a2+3， ∴q2＝2q+3，解得 q＝3． 则其前 3 项的和 S3＝1+3+32＝13． 故选：C．
െൌ
则
，解得
．
故选：D． 11．（5 分）已知正四棱锥 P﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 찐
2020届云南省昆明市高考数学三模试卷(文科)(有答案)(加精)
云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．13．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．28．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB 为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=_______．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为_______．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为_______．三、解答题17．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣1．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x≤2，即B=（﹣∞，2]，则A∩B=（0，2]，故选：A．2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i（1+z）=2+i，得1+z==1﹣2i，则z=﹣2i，则|z|=2，故选：C3．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0＞0，x0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C31C21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C52=10种选法，选出的2名选手恰好是1男1女有C31C21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立，∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，∵OA=AB=1，OO1=AA′=1∴O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB 为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m，m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为15．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l 和圆C ，PA ，PB 为圆的两条切线，连接AC ，BC ，PC ，由∠APB 为锐角，可得0＜∠APC ＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA 恒成立，由勾股定理可得PA 2=PC 2﹣1，求得PC 的最小值，可得PA 的最小值，解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】解：作出直线l 和圆C ，PA ，PB 为圆的两条切线，连接AC ，BC ，PC ，由圆心C （a ，0）到直线l 的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB 为锐角，可得0＜∠APC ＜， 即0＜tan ∠APC ＜1，在Rt △APC 中，tan ∠APC==， 可得1＜PA 恒成立，由勾股定理可得PA 2=PC 2﹣1，当PC ⊥l 时，PC 取得最小值，且为，即有1＜， 解得a ＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴T n=（n﹣1）•2n+1．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．利用菱形的性质可得AC⊥BD，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD⊥PO．又O是BD的中点，可得PB=PD．（2）底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD与△BCD都是等边三角形．由平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．可得PO⊥平面ABCD，因此PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5，=78，（x i﹣）（y i﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6，=﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是：=﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时，=﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3，=，=.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时，g（x）＞0，0＜x＜1时，g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l 的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．k l=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），k l==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S△GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．。
云南省昆明市2020届高三数学“三诊一模”教学质量检测试题文(PDF,无答案)
图1 文科数学试卷•第 5 页(共 6 页)
分别 交椭圆于 Q, R 两点，若四边形 4 例夫的面积为 3 右，求点 P 的坐标• 文科数学试卷•第 6 页(共 6 页)
(2)设动点 M 的极坐标为(Q,。)，射线与直线/相交于点龙，且满足|。41°翊=4,求 点 M 轨迹的极
坐标方程. 23.［选修 4—5：不等式选讲］(10 分)
已知/(x) = 2|x + l| + |x-l|. (1) 解不等式/(x)<4； (2) 设/(x)的最小值为 m ,实数 a, b , c 满足 a2 +b2 +c2 = m ,证明：\a + b + c\<46
根旋杆将两个滑标连成一体，|以用=4,。为旋杆上的一点且在”两点之间，且 \ND\ = 3\MD\,当 滑标肱在滑槽时内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之运动时，将笔 尖放置于。处可画出椭
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(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考 题区域 内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
扇形 COQ 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道庞，曲作为观
光路线，则当 DE + EB 取得最大值时，sin ZAOC = A 次
A. —— 6
C.互 3
!_ B.
4
D. 丄
二、填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
2
分。
B
13. 且"丄 22 ”是假命题的 x 的值可以是
x
能说明命题"VxeR .（写出一个即可）
2.已知复数 z 满足(l + 2i)z = 5i,则 2 = A. -2-i
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(文)试题
秘密★启用前【考试时间：6月9日15:00-17:00】昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{2|}B b b A =+∈，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1}-C ．{2,0,2}-D ．{0,1,2}3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．125．已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A ．3B C ．2 D ．4 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．216B ．108C ．D ．367．执行如图所示的程序框图，若输出65S =，则输入的N 可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．材料一：已知三角形三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积为S =2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式. 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC V 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC V 面积的最大值为（ ）B ．3C ．D ．69．已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>10．如图1，已知四边形PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD V 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接,PB PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD AC ⊥ D ．2PB AN =11．设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B 在准线上的射影分别为,D C ，且满足||||DF CF =，则||||FA FB =（ ）A ．B ．C ．3D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，则AE DB ⋅=u u u r u u u r ______．14．已知ABC V 内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且a =，b =4B π=，则c =_____．15．若“0x R ∃∈，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是______．16．某校同时提供A B 、两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_____分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共_____分．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从两个条件：①3n n n a b =；②2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD V 为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，四棱锥P ABCD -，求点D 到平面α的距离． 19．（12分） 经过椭圆22:12x C y +=左焦点1F 的直线l 与圆2222:(1)(2)F x y r r -+=>相交于,P Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =．（1）求r ；（2）l 与C 的交点为,A B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF V 的面积．20．（12分）近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小李自主创业从事海鲜的批发销售，他每天以每箱300元的价格购入基围虾，然后以每箱500元的价格出售，如果当天购入的基围虾卖不完，剩余的就作垃圾处理．为了对自己的经营状况有更清晰的把握，他记录了150天基围虾的日销售量（单位：箱），制成如图所示的频数分布条形图．（1）若小李一天购进12箱基围虾．（i ）求当天的利润y （单位：元）关于当天的销售量n （单位：箱，n N ∈）的函数解析式； （ii ）以这150天记录的日销售量的频率作为概率，求当天的利润不低于1900元的概率；（2）以上述样本数据作为决策的依据，他计划今后每天购进基围虾的箱数相同，并在进货量为11箱，12箱中选择其一，试帮他确定进货的方案，以使其所获的日平均利润最大．。
2020届云南省昆明市高三元月三诊一模数学(文)试题含答案
【详解】
（1）证明:连接 ,因为 ,所以四边形 是正方形,所以 ,
由题,因为 ,所以 ,
又 , , 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面
（2）解:连结 ,由题,因为 ,
所以 平面 ,
所以 , 到平面 的距离相等,
（2）先写出所有的基本事件,再找到甲的销售量比乙的销售量高的情况,进而求解即可
【详解】
（1）记甲、乙连续5日的日平均销售量分别为 , ,
则 , ,
由茎叶图可知乙的数据比较集中,说明乙的销售量比甲稳定
（2）从两户花农连续5日的销售量中各随机抽取一个,总的基本事件为:
, , ,
,共25个基本事件,
其中甲高于乙的有:
某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 ， ， ， ，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税____元．
【答案】1880.
【解析】根据题意求出应纳税所得额，再根据公式求出个税税额即可．
A．7B．16C．19D．21
【答案】B
【解析】根据递推关系计算即可．
【详解】
解：由已知 ，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查递推关系的应用，是基础题．
8．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可．
（1）求甲、乙两户花农连续5日的日均销售量，并比较两户花农连续5日销售量的稳定性；
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(文)试题附答案
秘密★启用前【考试时间：6月9日15:00-17:00】昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{2|}B b b A =+∈，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1}-C ．{2,0,2}-D ．{0,1,2}3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．125．已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．4 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．216B ．108C ．D ．367．执行如图所示的程序框图，若输出65S =，则输入的N 可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．材料一：已知三角形三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积为S =2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC V 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC V 面积的最大值为（ ）B ．3C ．D ．69．已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>10．如图1，已知四边形PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD V 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接,PB PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD AC ⊥ D ．2PB AN =11．设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”教学质量检测数学(文)试题( 解析版)
2020年高考（文科）数学（5月份）三诊一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}2．若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝2a2+3，则其前3项的和S3＝（）A．3B．9C．13D．244．已知向量a→=（1，1），b→=（2，4），则（a→−b→）•a→=（）A．﹣14B．﹣4C．4D．145．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π2B．32πC．2πD．4π6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A．85B．32C．43D．17．已知f（x）是定义在R上的减函数，则关于x的不等式f（x2﹣x）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）8．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞1）与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝（）A．2√3B．2√2C．√3D．√29．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0 10．若直线y＝ax与曲线y＝lnx﹣1相切，则a＝（）A ．eB ．1C ．1eD ．1e 211．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =2√2，且P ﹣ABCD 的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．25π3C ．25π4D ．5π12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足∠AOD ＝∠DOE ＝2∠AOC ，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE +EB 取得最大值时，sin ∠AOC ＝（ ）A ．√26B ．14C ．√23D ．12二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x +1x≥2”是假命题的x 的值可以是 ．（写出一个即可）14．由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知△DEF 是锐角△ABC 的欧拉三角形，若向△ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF 内的概率为 ．15．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 ．16．定义域为R 的偶函数f （x ）满足f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0，当x ∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0；③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）若AB＝2，求点B到平面A1B1D的距离．18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．（结论不要求证明）19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2+bc．（1）求A；（2）从三个条件：①a=√3②b=√3③△ABC的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．20．已知函数f(x)=ax−(a+2)lnx−2x(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求f（x1）+f（x2）的最小值．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积为3√3，求点P的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]x=12−√22t，22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数），以原点y=32+√22tO为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣3，﹣2，3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】通过分母实数化，求出z即可．解：∵z满足（1+2i）z＝5i，∴z=5i1+2i=5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．3．在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝2a2+3，则其前3项的和S3＝（）A．3B．9C．13D．24【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1＝1，a3＝2a2+3，可得q2＝2q+3，解得q．再利用求和公式即可得出．解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1＝1，a3＝2a2+3，∴q2＝2q+3，解得q＝3．则其前3项的和S3＝1+3+32＝13．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知向量a→=（1，1），b→=（2，4），则（a→−b→）•a→=（）A．﹣14B．﹣4C．4D．14【分析】先根据平面向量的线性坐标运算求出a→−b→=（﹣1，﹣3），再根据数量积的坐标运算求解即可．解：∵a→=（1，1），b→=（2，4），∴a→−b→=（﹣1，﹣3），∴（a→−b→）•a→=−1﹣3＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查平面向量坐标运算的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π2B．32πC．2πD．4π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是底面半径为1，高是2的圆柱截去四分之一，再由圆柱体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体是底面半径为1，高是2的圆柱截去四分之一．其体积为V=34×π×12×2=32π．故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A ．85B ．32C ．43D ．1【分析】根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环． 解：k ＝1，S ＝0，T ＝0； S ＝0+1＝1，T ＝1，k ＝2； S ＝1+2＝3，T =43，k ＝3；S ＝3+3＝6，输出T 43； 故选：C ．【点评】本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题．7．已知f （x ）是定义在R 上的减函数，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B ．（0，2）C ．（﹣∞，2）D ．（2，+∞）【分析】根据题意，由函数的单调性分析：f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0⇒f （x 2﹣x ）＞f （x ）⇒x 2﹣x ＜x ，结合一元二次不等式的解法分析可得答案．解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的减函数，则f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0⇒f （x 2﹣x ）＞f （x ）⇒x 2﹣x ＜x ，即x 2﹣2x ＜0，解可得0＜x ＜2，即不等式的解集为（0，2）； 故选：B ．【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 8．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞1）与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为1的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则|MN |＝（ ） A ．2√3B ．2√2C ．√3D ．√2【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求． 解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ， 由题意可得，M （1﹣r ，0）， 设直线l 的方程为y ＝x +r ﹣1，联立{y =x +r −1(x −1)2+y 2=r 2，得x 2+（r ﹣2）x +1﹣r ＝0． 由1﹣r +x N ＝2﹣r ，得x N ＝1．由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +1＝0，即r ＝2．∴M （﹣1，0），N （1，2），则|MN |=√(−1−1)2+(0−2)2=2√2． 故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题．9．抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△PAB 为“阿基米德三角形”．当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△PAB 具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②△PAB 为直角三角形，且PA ⊥PB ③PF ⊥AB ． 若经过抛物线y 2＝4x 焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为△PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣y ﹣2＝0【分析】由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （﹣1，4），从而得到直线PF 的斜率为﹣2， 又PF ⊥AB ，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程．解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1， 由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4−0−1−1=−2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题． 10．若直线y ＝ax 与曲线y ＝lnx ﹣1相切，则a ＝（ ）A ．eB ．1C ．1eD ．1e 2【分析】先对曲线求出导数，然后设切点，根据切点是公共点、切点处的导数是切线的斜率列出方程组，即可求出a 的值．解：y′=1x ，设切点为（x ，lnx ﹣1），则{ax =lnx −1a =1x ，解得a =1e 2． 故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法．利用切点是公共点、切点处的导数是切线斜率，构造方程组是此类问题的基本思路．属于基础题．11．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =2√2，且P ﹣ABCD 的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．25π3C ．25π4D ．5π【分析】根据条件作图，数形结合求出球O 的半径r 即可． 解：如图，V P ﹣ABCD =13S 正ABCD ⋅PH =13×（2√2）2•PH =323，则PH ＝8， 设球O 的半径为r ，则在Rt △AOH 中，AO 2＝AH 2+OH 2，即r 2＝（4﹣r ）2+22，解得r =52，则球O 的表面积为4πr 2＝4π×254=25π， 故选：A ．【点评】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足∠AOD ＝∠DOE ＝2∠AOC ，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE +EB 取得最大值时，sin ∠AOC ＝（ ）A ．√26B ．14C ．√23D ．12【分析】设∠AOC ＝α，则∠AOD ＝∠DOE ＝2α，∠BOE ＝π﹣4α，α∈（0，π4）．可得：DE ＝2sin α，BE ＝2sin （π2−2α），DE +BE ＝2sin α+2sin （π2−2α），化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性即可得出．解：设∠AOC ＝α，则∠AOD ＝∠DOE ＝2α，∠BOE ＝π﹣4α，α∈（0，π4）．可得：DE ＝2sin α，BE ＝2sin （π2−2α），∴DE +BE ＝2sin α+2sin （π2−2α）＝2sin α+2cos2α＝2sin α+2（1﹣2sin 2α）＝﹣4(sinα−14)2+94，∴当sinα=14时，DE+EB取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．能说明命题“∀x∈R且x≠0，x+1x≥2”是假命题的x的值可以是﹣1，（任意负数均可以）．（写出一个即可）【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可．例如x＝﹣1，带入．解：当x＞0时，x+1x≥2，当且仅当x=1取等号，当x＜0时，x+1x≤−2，当且仅当x=−1取等号，∴只需x取值为负数，即可．例如x＝﹣1时x+1x=−2【点评】本题考察了，全称命题的真假，基本不等式应用（也可以利用对勾函数图象来解决），属于基础题．14．由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知△DEF是锐角△ABC的欧拉三角形，若向△ABC所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF内的概率为14．【分析】做出，根据中点连线三角形与大三角形相似，面积比为相似比的平方即可求解．解：根据中位线定理，显然△DEF ∽△ABC ，且相似比为12．设A ＝“点落在△DEF 内”，Ω＝“点落在△ABC 内”， ∴P(A)=S(A)S(Ω)=(12)2=14． 故答案为：14．【点评】本题考查几何概型条件下的概率计算问题，注意抓住几何图形性质解题．属于中档题．15．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 √5 ．【分析】设P 的坐标，求出OP →，OF →的坐标，由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c2b⋅c，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率． 解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP →=（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF →=（c ，0），由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c 2b⋅c ，可得x 0＝b ，y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：b 2a 2−3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√5，故答案为：√5．【点评】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题．16．定义域为R的偶函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx 2，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0；③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是①③．【分析】由f（1+x）+f（1﹣x）＝0可知f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，可得f（1）＝0，再结合f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，可以作出函数的图象，根据图象逐一判断每个选项的正误即可得解．解：∵f（1+x）+f（1﹣x）＝0，∴f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，则f（1）+f（1）＝0，∴f（1）＝0，又∵f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，∴可作出函数f（x）的图象如下所示，①﹣1＜f（x）＜1，∴|f（x）|＜1，即①正确；②取x1＝﹣1，x2＝2，满足f（x1）+f（x2）＝0，但x1+x2＝1≠0，即②错误；③函数f（x）在（0，4）内的零点为x＝1，2，3，有且仅有3个，即③正确．∴正确的是①③，故答案为：①③．【点评】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）若AB＝2，求点B到平面A1B1D的距离．【分析】（1）如图所示，取AB的中点E，连接CE，OE．在△ABB1中，利用三角形中位线定理可得：EO∥BB1，EO=12BB1．D为CC1的中点，可得：EO∥CD，EO＝CD．利用平行四边形的性质可得：OD∥EC，利用线面平行的判定定理可得：OD∥平面ABC．（2）AB＝2，△ABC与△A1B1C1为等边三角形，及其侧棱AA1⊥平面ABC，可得A1D＝B1D＝2√2，A1B1＝2，可得S△A1B1D ，S△BB1D，点A1到平面BB1C1C的距离为√3．设点A1到平面A1B1D的距离为h．利用V A1−BB1D =V B−A1B1D，即可得出h．【解答】（1）证明：如图所示，取AB的中点E，连接CE，OE．在△ABB1中，E为AB的中点，O为AB1的中点，∴EO∥BB1，EO=12BB1．∵D为CC1的中点，∴CD=12CC1=12BB1．且CD∥BB1．∴EO∥CD，EO＝CD．∴四边形CDOE为平行四边形．∴OD∥EC，而OD⊄平面ABC，EC⊂平面ABC．∴OD∥平面ABC．（2）解：∵AB＝2，△ABC与△A1B1C1为等边三角形，AA1＝2AB＝4＝CC1．∴C1D＝2．∵侧棱AA1⊥平面ABC，∴A1D＝B1D＝2√2，A1B1＝2，可得S△A1B1D．S△BB1D=12×2×4=4．点A1到平面BB1C1C的距离为√3．设点A1到平面A1B1D的距离为h．则V A 1−BB 1D =V B−A 1B 1D ， ∴13×√3×4=13×√7h ，解得h =4√217．【点评】本题考查了直角与等边三角形三角形的性质、三角形中位线定理、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．（结论不要求证明）【分析】（1）利用折线图能求出2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数．（2）设A表示事件”从2012年至2019年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元“，利用列举法能求出该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率．（3）由图判断，从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．解：（1）2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数为：x=2.1+2.7+3.1+3.9+4.55=3.26万亿元．（2）设A表示事件”从2012年至2019年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元“，从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为：3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000，（单位：亿元），∴P（A）=3 8．（3）由图判断，从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查古典概型、列举法、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2+bc．（1）求A；（2）从三个条件：①a =√3②b =√3③△ABC 的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC 周长的取值范围．【分析】（1）运用余弦定理，结合条件可得所求角；（2）选①②，先通过正弦定理，再由三角函数的和差公式，结合三角函数的图象和性质，可得所求范围；选③，可通过三角形的面积公式，求得bc ＝4，再由余弦定理和基本不等式，计算可得所求范围．解：（1）b 2+c 2＝a 2+bc ，可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，由A ∈（0，π），可得A =π3； （2）选①a =√3，又A =π3，可得a sinA =b sinB=c sinC=2，可设B =π3+d ，C =π3−d ，−π3＜d ＜π3，即有三角形ABC 的周长l ＝a +b +c ＝2sin B +2sin C +√3=2sin （π3+d ）+2sin （π3−d ）+√3＝2（√32cos d +12sin d +√32cos d −12sin d ）+√3=2√3cos d +√3，由cos d ∈（12，1]，可得周长l 的范围是（2√3，3√3]；选②b =√3，由A =π3，由正弦定理可得a =32sinB ，c =√3sinC sinB =√3sin(2π3−B)sinB =3cosB 2sinB +√32， 则周长为l ＝a +b +c =32sinB +3cosB 2sinB +3√32=6cos 2B 24sin B 2cos B 2+3√32 =32tan B 2+3√32，由B ∈（0，2π3），可得0＜B 2＜π3，即有0＜tan B 2＜√3， 可得△ABC 的周长的取值范围是（2√3，+∞）；若选③S △ABC =√3，由A =π3，可得S △ABC =12bc sin A =√34bc =√3，即bc ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣12， 则周长l ＝a +b +c =√(b +c)2−12+（b +c ），由b +c ≥2√bc =4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立，所以l ≥√42−12+4＝6， 则△ABC 的周长的范围是[6，+∞）．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和三角函数的性质和基本不等式的运用，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数f(x)=ax −(a +2)lnx −2x (a ＞0)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求f （x 1）+f （x 2）的最小值．【分析】（1）先求出导函数f '（x ），再对a 的值分情况讨论，分别由导函数f '（x ）的正负得到函数f （x ）的单调性即可；（2）由（1）可知，f （x ）有两个极值点时，a ＞0且a ≠2，不妨设x 1＝1，x 2=2a ，所以f （x 1）+f （x 2）＝（a +2）ln a2−2lna ，设h （x ）＝（x +2）ln x2−2lnx ，x ∈（0，+∞），利用导数得到h （x ）min ＝h （2e）=−2e−2ln 2，所以当a ＞0且a ≠2时，f （x 1）+f （x 2）的最小值为−2e−2ln 2．解：（1）函数f(x)=ax −(a +2)lnx −2x(a ＞0)，定义域为（0，+∞），∴f '（x ）＝a −a+2x+2x2=ax 2−(a+2)x+2x2=(x−1)(ax−2)x， 由f '（x ）＝0得：x ＝1或x =2a，①若0＜a ＜2，则2a＞1，由f '（x ）＜0得，1＜x ＜2a ；由f '（x ）＞0得，0＜x ＜1或x ＞2a，∴函数f （x ）在（1，0）和（2a，+∞）上单调递增，在（1，2a）上单调递减；②若a ＝2，则2a=1，此时f '（x ）=2(x−1)2x2≥0恒成立，∴函数f '（x ）在（0，+∞）上单调递增； ③若a ＞2，则0＜2a＜1，由f '（x ）＜0得，2a＜x ＜1；由f '（x ）＞0得，0＜x ＜2a或x ＞1，∴函数f （x ）在（0，2a）和（1，+∞）上单调递增，在（2a，1）上单调递减；（2）由（1）可知，f （x ）有两个极值点时，a ＞0且a ≠2，不妨设x 1＝1，x 2=2a ，∴f （x 1）＝f （1）＝a ﹣2﹣lna ，f （x 2）＝f （2a）＝2﹣a +（a +2）ln a2−lna ，∴f （x 1）+f （x 2）＝（a +2）ln a 2−2lna ，设h （x ）＝（x +2）ln x2−2lnx ，x ∈（0，+∞），则h （x ）＝（x +2）（lnx ﹣ln 2）﹣2lnx ， ∴h '（x ）＝lnx ﹣ln 2+1，由h '（x ）＜0得0＜x ＜2e，∴函数h （x ）在（0，2e）上单调递减；由h '（x ）＞0得x ＞2e，∴函数h （x ）在（2e，+∞）上单调递增，∴x ＞0时，h （x ）min ＝h （2e）=−2e−2ln 2，∴当a＞0且a≠2时，f（x1）+f（x2）的最小值为−2e−2ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积为3√3，求点P的坐标．【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，所以椭圆的方程为：x 29+y 2＝1；（2）由（1可得A 1（﹣3，0），A 2（3，0），设P （6，t ），t ＞0， 则直线A 1P 的方程为：y =t 9（x +3），直线A 2P 的方程为：y =t 3（x ﹣3）， 设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），由{y =t9(x +3)x29+y 2=1整理可得：（9+t 2）y 2﹣6ty ＝0，因为yA 1=0，所以y Q =6t9+t 2， 由{y =t3(x −3)x29+y 2=1整理可得（1+t 2）y 2+2ty ＝0，因为yA 2=0，所以y R =−2t1+t 2， 所以四边形A 1QA 2R 的面积S =12|A 1A 2||y Q ﹣y R |=12•6•（6t 9+t 2+2t 1+t 2）=24t(3+t 2)(9+t 2)(1+t 2)=24t(3+t 2)(3+t 2)2+4t2=243+t 2t +4t 3+t 2， 因为t ＞0，m =t 2+3t=t +3t≥2√3，所以S =24m+4m=3√3，解得m ＝2√3，即t =√3， 当t ＜0，由对称性可得t =−√3，综上所述：当点P （6，√3）或（6，−√3）时，四边形A 1QA 2R 面积为3√3．【点评】本题考查求椭圆方程的方法及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣2＝0．转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2＝0．（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，所以A（4ρ，θ），所以4ρ(sinθ+cosθ)=2，转换为ρ＝2sinθ+2cosθ（ρ＞0）．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）≤4的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．解：（1）f （x ）={−3x −1，x ≤−1x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1，∴不等式f （x ）≤4等价于{x ≤−1−3x −1≤4或{−1＜x ＜1x +3≤4或{x ≥13x +1≤4，解得−53≤x ≤﹣1或﹣1＜x ＜1或x ＝1，∴不等式的解集为[−53，1]；（2）由（1）可知，f （x ）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增， ∴f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2， ∴m ＝2， 即a 2+b 2+c 2＝2，根据柯西不等式得（a +b +c ）2≤（12+12+12）（a 2+b 2+c 2）＝6， 故|a +b +c|≤√6．【点评】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
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另一个交点为 N,若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，则|MN|=
A.2 3
B.2 2
C. 3
D. 2
9.阿基米德（公元前 287 年-212 年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在 物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点
P,称△PAB 为“阿基米德三角形”。当线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，△PAB 具有以下特征：
秘密★启用前 【考试时间：5 月 7 日 15:00-17:00】
昆明市 2020 届“三诊一模”高三复习教学质量检测
文科数学
注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡 上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条 形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
17.(12 分）
3
已知三棱柱 ABC-A1B1C1,底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA1 平面 ABC,D 为 CC1 中点，
AA1=2AB,AB1 和 A1B 交于点 O. (1)证明：OD//平面 ABC; (2)若 AB=2,求点 B 到平面 A1B1D 的距离 18.(12 分）
2020 年 1 月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发， 自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）,强基计划聚焦高 端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人 文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的 学生.
其中，正确结论的序号是
.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一）必考题：共 60 分。
1 13.能说明命题“ xR 且 x 0,x+ 2”是假命题的 x 的值可以是
x
_.(写出一个即可）
14.由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”，已知△DEF 是锐
角△ABC 的欧拉三角形，若向△ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF 内的概率
为
？
x2 y2 15.已知 F 是双曲线 M: 1(a>0,b>0)的右焦点，点 P 在 M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b,
A.e
B.1
1 c.
e
1 D.
e2
11.已知正四棱锥 P-ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 AB=2
32 2 ,且 P-ABCD 的体积为 ，
3
则球 O 的表面积为
2
A.25
25 B.
3
25 C.
4
D.5
12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在半圆弧岸边上取
a2 b2
∠POF= ，则 M 的离心率为
.
6
x 16.定义域为 R 的偶函数 f(x)满足 f(1+x)+f(1-x)=0,且当 x[0,1)时，f(x)=sin ,
2
给出下列三个结论：
①|f(x)|<1;
②若 f(x1)+f(x2)=0,则 x1+x2=0:
③函数 f(x)在(0,4)内有且仅有 3 个零点.
7.已知 f(x)是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等
式 f(x2-x)-f(x)>0 的解集为
A.(- ,0)U(2,+ )
B.(0,2)
C.(- ,2)
D.(2,+ )
222
8.已知圆 C:(x-1) +y =r (r>1)与 x 轴负半轴的交点为 M,过点 M 且斜率为 1 的直线 L 与圆 C 的
A.3
B.9
C.13
D.24
4.已知向量 a=(1,1),b=(2,4),则（a-b)·a=
A.-14
B.-4
C.4
D.14
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
为
A.
2 3 B. 2
C.2
D.4
1
6.执行如图所示的程序框图，则输出的 T=
8 A.
5 3 B. 2 4 C. 3
D.1
点 C,D,E,满足∠A0D=∠DOE=2∠AOC,在扇形 AOC 和四边形 ODEB
区域内种植荷花，在扇形 COD 区域内修建水上项目，并在湖面上
修建栈道 DE,EB 作为观光路线，则当 DE+EB 取得最大值时，sin
∠AOC=
2
1
2
1
A.
B.
C.
D.
6
4
3
2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1.已知集合 A=(x|x<-1 或 x>2),B=(-3,-2,-1,0,1,3),则 A B=
A.{-3,-2}
B. {2,3}
2.已知复数 z 满足(1+2i)z=5i,则 z=
A.-2-i
B.-2+i
C.{-3,-2,3} C.2-i
D.{-3,-2,2,3} D.2+i
3.在正项等比数列{an}中，若 a1=1,a3=2a2+3,则其前 3 项的和 S3=
2
①P 点必在抛物线的准线上；②△PAB 为直角三角形，且 PA PB;③PF AB.若经过抛物线 y =4x
焦点的一条弦为 AB,阿基米德三角形为△PAB,且点 P 的纵坐标为 4,则直线 AB 的方程为
A.x-2y-1=0
B.2x+y-2=0
C.x+2y-1=0
D.2x-y-2=0
10.若直线 y=ax 与曲线 y=lnx-1 相切，则 a=