第一章_质点力学2
大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
第1章-质点运动学
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
(完整版)第1章质点力学
1第1章 质点力学1—1 一质点的运动方程为x = 6t-t 2（SI ），则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ；质点所走过的路程为 .1-3 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a=2+6x 2(SI ），如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
1-4一质点沿半径R 的圆周运动,运动方程为 θ=3+2t 2（SI ），则t 时刻质点的法向加速度大小为 an；角加速度 β= 。
1—5 某质点的运动方程为x= 3t —5t 3+6（SI),则该质点作 （A)匀加速直线运动,加速度沿x 轴正方向. （B ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
(C ）变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向。
（D ）变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
［ ］ 1—9 一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向。
1—10 一物体作斜抛运动,初速度0v与水平方向夹角为θ， 如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径ρ为 .1-11一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°。
则物体在A 点的切向加速度a t = ，轨道的曲率半径ρ= 。
6t(s)题1—10图 题1-11图21-12 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向,B 船沿y 轴正向。
今在船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x 、y 方向单位矢用i 、j表示)，那么在A 船的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 ：(A)j 2i 2 + （B ）j 2i 2+-(C ）j 2i 2 -- （D ）j 2i 2- [ ]1—13 一飞机相对空气的速度大小为200km/h ，风速为56 km/h ，方向从西向东，地面雷达测得飞机速度大小为192 km/h ，方向是（A)南偏西 16。
理论力学填空与单选题集
第一章 质点力学填空1. 已知某质点沿x 轴的运动学方程为) cos()(t A t x ω=，其中ω ,A 为常数, 则其沿x 轴的速度分量为v x (t ) =__________, 加速度分量a x (t ) =______________.2. 质量为m 的质点受力F的作用沿x 轴的负方向运动，若已知力沿x 正向的分量为)(x F , 则质点的沿x 轴的运动微分方程为_____________.3. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k. 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为_________.4. 杆AB 的两端分别被限制在水平和竖直的导槽Ox 和Oy 上滑动（如图）。
M 为杆上一点，且已知AM=a, BM=b. 设θ=∠OBA 。
则在图示坐标系下，M 点的轨道方程为_________________.5. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其速度的径向分量表示为=r v _______，横向分量表示为=θv _________.6. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其加速度的径向分量表示为=r a _________，横向分量表示为=θa __________.7. 质点在平面内运动，采用平面极坐标描述，已知其运动学方程为Bt e r At==θ,，其中A , B 为常数, 则其速度的大小v =_________., 加速度的大小a =____________.8. 质点在空间运动，其速率保持为常数v . 在轨道上某处曲率半径为ρ，则在该处质点的切向加速度分量=τa _______, 法向加速度分量=n a ___________.9. 已知河流速率为1v ，且沿河宽不变. 一小船以相对于水的速率2v 始终朝着岸上A 点行驶. 如图所示，采用平面极坐标描述，则小船的绝对速度的径向分量为__________，横向分量为__________.10. 某船向东航行，速率为15km/h. 另一船以同样的速度向北航行. 两船的相对速率是__________km/h.11. 光滑楔子以匀加速度0a沿水平面向右运动，同时质量为m 的质点在其斜面上运动，则该质点所受惯性力可表示为___________.12. 力的作用线如果恒通过空间某一定点，则此力称为 有心力 , 该定点称为 力心 13. 质点在有心力场中的势能为r k r V /)(=，k 为常数. 则质点所受有心力=)(r F ______.14. 质点受到引力2)(r kr F =作用，k 是常数. 取无穷远处为势能零点，则势能=)(r V __________. 单选1. 在极坐标系下，下列哪一式表示的是质点的运动学方程( )A. )(θθf d dr= B. )(θr r = C. ⎩⎨⎧==)()(t t r r θθ D. 0),(=θr f 2. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的横向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θθr a = D. θθθ r r a 2+= 3. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的径向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θ r a r = D. θθ r r a r2+=4. 以下关于自然坐标系的说法错误的是( ) A. 自然坐标系的坐标变量称为弧坐标B. 自然坐标系只能描述质点运动轨道上的点C. 內禀方程是只能在自然坐标系下成立的方程D. 弧坐标随时间变化，只会增大，不会减小5. 对于一个相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系，它的内部所发生的一切力学过程，都不受参考系本身匀速直线运动的影响. 这一原理称为( )A. 爱因斯坦相对性原理B. 伽利略相对性原理C. 牛顿相对性原理D.惯性定律6. 若某场力F 是保守力，则F必定满足( )A. 0=∇FB. 0=⨯∇FC. 0=⋅∇FD. 02=∇F7. 下列哪一条，不是场力F为保守力的判据( )A. 该场力沿任何闭合路径做功为零B. 该场力沿任何路径所做功的大小，只取决于路径的初末位置.C. 该场力构成的力场的梯度F∇为零.D. 存在某标量函数)(r V , 满足F r V=∇)(.8. 质点在有心力作用下运动，下列哪一条描述是错误的( ) A. 质点的机械能必定守恒.B. 质点对力心的动量矩必定守恒.C. 质点做的必定是平面运动.D. 质点的运动轨道必是圆锥曲线.9. 下列哪一条不是质点在有心力作用下运动的基本性质( )A. 机械能守恒.B. 动量矩守恒.C. 动量守恒.D. 做平面运动10. 行星绕太阳做椭圆运动，太阳视为静止不动，无穷远处为势能零点，下列说法错误的是( )A. 行星的机械能0<E ，且守恒B. 太阳位于椭圆的一个焦点上C. 在远日点行星的速度达到最大D. 行星对太阳中心的动量矩是守恒的.11. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k . 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为( )A. mg x k x m +=2B. mg x k xm -=2C. mg x k x m --=2D. mg x k xm +-=212. 某质点在平面极坐标系下的运动方程为cte r =，bt =θ，其中b, c 均为常数. 则其加速度的横向分量为( )A ．r b c )(22- B. r b c )(22+ C. bcr 2 D. br13. 下列关于惯性系的说法错误的是( )A. 牛顿定律能成立的参考系是惯性参考系B. 相对于惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系C. 惯性系的定义隐含在牛顿第一定律中D. 惯性系中的物体还受到惯性力 *******************************第二章 质点组力学填空1. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r，N i ,...,2,1=. 则质心的位矢=C r_________2. 两质点的质量分别为1m 和2m ，速度分别是1v 和2v，则由此两质点构成的质点组的质心的速度为=C v________.3. 两质点的质量分别为1m 和2m ，构成质点组，相对于质心的速度分别为1v ' 和2v ', 则='+'2211v m v m________. 4. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r ，速度记为i v，N i ,...,2,1=,则该质点组对参考点的总动量矩=J_________.5. 柯尼希定理说的是：质点组的动能等于_______的动能与________的动能之和.6. 质量分别为M 和m 的两质点构成两体系统，此系统的折合质量=μ .7. 质点组中质点i 与质点j 之间的内力记为ij f , 相对位矢记为ij r，则=⨯ij ij r f _______.8. 两体碰撞，若动能守恒，则这种碰撞称为_______碰撞.9. 均匀扇形薄片，半径为a ，所对圆心角为θ2，则其质心C 到圆心O 的距离为______.单选1. 关于质点组的内力，所述正确的是( ) A. 质点组的内力做功之和必为零 B. 质点组的内力之和为零C. 质点组的内力对质点组的动能没有影响D. 质点组的内力对质点组的势能没有影响2. 下列关于质点组质心的说法错误的是( )A. 质心即质量中心，它是质点组内确实存在的一个的质点.B. 质心的动量等于整个质点组的动量C. 质心相当于是在质点组外力之和的作用下运动D. 根据质心的运动定理，质心相当于一个集中了质点组总质量的质点3. 对质点组的总动量描述错误的是 ( ) A 是所有质点的动量的矢量和 B. 等于质点组质心的动量C. 对时间的变化率等于质点组所受外力之和D. 质点组的内力对总动量也有影响.4. 如果一个质点组不受任何外力，则下列描述错误的是( ) A. 质点组的质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒 C. 质点组的角动量守恒 D. 质点组机械能守恒5. 在质心系中观察质点组的运动，则下列说法错误的是( )A. 质点组的总动量为零B. 惯性力对质点组的动量矩定理有影响C. 惯性力对质心的总力矩无贡献D. 惯性力对质点组的动能定理无影响6. 若质点组所受外力矢量和为零，则下列说法错误的是( ) A. 质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒C. 质点组动量矩守恒D. 质点组动量是个常矢量*************************************************第三章 刚体力学填空1. 刚体以角速度ω 绕某定点O 转动，其上某质点P 相对于O 的位矢为r，则该质点P 的线速度为=v________.2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则=dtG d__________.3. 作用在刚体上的任意力系总可简化为通过某定点P 的一个单力F 及一力偶矩为M的力偶. 此定点P 叫做__________,4. 把作用在刚体上A 点的力F平移到其作用线外另一点B , 则与原作用效果相比，会多出一个附加力偶，设r是A 相对于B 的位矢，则此力偶的力偶矩=M_________. 5. 一轮的半径为r ，以匀速0v 沿一直线做纯滚动，则轮缘上最高点的速率为_________. 单选1. 下列关于描述刚体运动所需的独立坐标变量数目，叙述错误的是 ( ) A. 一般运动需要六个独立坐标变量 B. 平动只需要一个独立坐标变量 C. 定点转动需要三个独立坐标变量 D. 定轴转动只需要一个独立坐标变量2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则dtG d等于( )A. G ⋅ωB. ω ⋅GC. G⨯ω D. ω ⨯G3. 下列对力偶描述错误的是( )A. 力偶是一对大小相等、方向相反、但作用线不同的力构成的B. 构成力偶的两力的矢量和为零C. 力偶矩的大小依赖于矩心的选择D. 力偶矩的方向总是垂直于力偶面4. 在主轴坐标系下研究刚体的动力学，下列哪一条叙述是错误的( ) A. 对坐标轴的转动惯量均为常数 B. 对坐标轴的惯量积均为零 C. 惯量系数均为常数.D. 惯量张量被简化为单位矩阵5. 某时刻平面平行运动的平板上，如果有一质点的速度为零，则该点是( ) A. 基点 B. 简化中心 C. 质心 D. 瞬心***********************************第四章 转动参考系填空1. 科里奥利加速度是由______运动与________运动相互影响所产生的.2. 一平板绕通过定点O 且垂直于板面的轴线以角速度ω转动，某一时刻一个小虫爬到板上P 点，相对于板面的速度为v ' . 已知P 点相对于O 的位矢为r，则小虫的绝对速度为________.3. 当质点在非惯性系中处于平衡时，主动力、约束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和为零，我们通常把这种平衡叫做___________.4. 北半球一条河流自南向北流，根据科里奥利力判断， 岸的冲刷程度较大.5. 一平板绕垂直于板面的轴以角速度ω 转动，一个质量为m 的小物体以相对速度v '在板面上移动，则该物体所受科里奥利力为 .6. 在南半球地面附近自南向北的气流，受科里奥利力影响，有朝_____的偏转. 单选1. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一只蚂蚁在平板面上爬动，它相对于平板的速度为v ' ，相对于O 点的位矢为r，则蚂蚁的绝对速度为( )A. ω ⨯+'=r v vB. r v v ⨯+'=ωC. ω ⨯=r vD. r v v⨯-'=ω2. 转动参考系以角速度ω转动，一小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体的科氏加速度为( )A. v '⨯ ω2B. ω ⨯'v 2C. v '⋅ ω2D. ω⋅'v 23. 转动参考系以角速度ω转动，一质量为m 小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体所受的科氏力为( )A. v m '⨯ ω2B. ω ⨯'v m 2C. v m '⨯- ω2D. ω ⨯'-v m 24. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一个蚂蚁在 平板面上爬动，则蚂蚁的绝对速度为r ωv v ⨯+'=，对此问题描述错误的是( ) A. r 是蚂蚁相对于转动定点O 的位矢, 绝对速度dt d /r v =B. 牵连点是平板上被蚂蚁占据的点, r 是牵连点相对于转动定点O 的位矢 C v '是相对速度，r ω⨯是牵连速度D. dt d /v '是相对加速度，dt d /)(r ω⨯是牵连加速度.5. 一质点在转动参考系中处于相对平衡状态，则以下判断错误的是( ) A. 该质点的相对速度为零 B. 该质点不受科里奥利力 C. 该质点的相对加速度为零D. 该质点的绝对加速度这时等于科里奥利加速度6. 北半球原本由北向南的贸易风，由于受到科氏力的作用，产生了偏移而变成了 ( ) A. 东风； B. 东北风； C. 西北风； D. 西南风。
理论力学(周衍柏)第一章质点力学
（1）矢量形式的运动学方程
rr(t)
理论力学：Theoretical mechanics 当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。
说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
② 观察者是站在参照系的观察点上； ③ 不特别说明都以地球为参照系。
2. 坐标系
理论力学：Theoretical mechanics 为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。
ji
解： 确定动系和静系 静系：河岸 动系：河流 研究对象：小船
理论力学：Theoretical mechanics
:0 牵连速度， ： 绝对速度， :相 对 速度
ji
由：
0
0
c2i
r d
dt
j
c1 cosi c1 sin
j
i
选取极坐标, 得
理论力学：Theoretical mechanics
0:人行走速度， ： 风速(相对于地)， :风 相对于人的速
度 由：
得： 理论力学：Theoretical mechanics
得： 解得：
y
2
2
理论力学：Theoretical mechanics
因此：x 4,y 4
风速： x2y2 4 2km/h
理论力学知识总结
学生整理，时间有限，水平有限，仅供参考，如有纰漏，请以老师、课本为主。
第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。
动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。
即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。
理论力学基础知识
《理论力学教程》基础知识第一章 质点力学1. 在求解平面曲线运动问题时，可采用平面极坐标系，常将速度矢量分解为径向速度和横向速度，其表达式分别为：rv r =；θθ r v =；将加速度矢量分解为径向加速度和横向加速度，其表达式分别为2θ r r a r -=； θθθ r r a 2+=。
第2题图2. 求解线约束问题，通常用内禀方程，它的优点是运动规律和约束反作用力可以分开解算，这套方程可表示为，切向：τF dtdv m =；法向：n n R F v m +=ρ2；副法向：b b R F +=0。
3. 试写出直角坐标系表示的质点运动微分方程式x F x m =、y F y m = 、z F z m = 。
4. 质点在有心力作用下，只能在垂直于动量矩J 的平面内运动，它的两个动力学特征是：（1）对力心的动量矩守恒；（2）机械能守恒。
5. 牛顿运动定律能成立的参考系，叫做惯性系；牛顿运动定律不能成立的参考系，叫做非惯性系，为了使得牛顿运动定律在此参考系中仍然成立，则需加上适当的惯性力。
6. 在平面自然坐标系中，切向加速度的表达式为dtdv a =τ，它是由于速度大小改变产生的；法向加速度的表达式为ρ2v a n =，它是由于速度方向改变产生的。
7. 质心运动定理反映了质点组运动的总趋势，而质心加速度完全取决于作用在质点组上的外力，而内力不能使质心产生加速度。
第8题图8. 一质量为m 的小环穿在光滑抛物线状的钢丝上并由A 点向顶点O 运动，其建立起的运动微分方程为：θsin mg dt dv m =；θρcos 2mg R v m -=。
注：此题答案不唯一。
第9题图9．一物体作斜抛运动，受空气阻力为v mk R -=，若采用直角坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：x x mkv dtdv m -=；y y mkv mg dt dv m --=；若采用自然坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：θsin mg mkv dtdv m--=； θρc o s 2mg v m =。
09(秋)第一章～第三章质点力学
班级:__________ 姓名:__________ 学号:___ 成绩:__________ 第一章质点运动学一、选择题1．如图，物体沿两个半圆弧由C 运动至A 。
它的位移和路程分别是： ［ ］（A ）4R 向右；2πR 向右； （B ）4πR 向右；4R 向左； （C ）4R 向左；2πR ； （D ）4R ；2πR .2．一物体在位置1的矢径是1r ，速度是1v ；经过t ∆秒到达位置2，此时其矢径为2r ，速度为2v；那么在t ∆时间内的平均速度是： ［ ］ （A ）212v v -； （B ）212v v -； （C ）tr r ∆-12 ； （D ）tr r ∆-123．一物体在位置1的速度为1v ，加速度为1a ；经过t ∆秒到达位置2，此时其速度为2v ，加速度为2a；那么在t ∆时间内的平均加速度是： ［ ］ （A ）tv v ∆-12 ； （B ）tv v ∆-12； （C ）212a a -； （D ）212a a -4．平均速度总是等于瞬时速度的运动是： ［ ］（A ）匀速直线运动； （B ）匀变速直线运动； （C ）匀速圆周运动；（D ）抛体运动.5．一个质点作曲线运动，r表示位置向量，S 表示路程，t a 表示切线方向加速度，下列几种表达式中，正确的表达式为： ［ ］ （A ）a dtdv =； （B ）v dtdr =； （C ）v dtds =； （D ）t a dtv d =.6．见图，能正确表示质点在曲线轨迹上P 点的运动为减速的图是： ［ ］7．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度大小与速度大小的关系是 （A ）与速度大小成正比； （B ）与速度大小的平方成正比； （C ）与速度大小成反比； ［ ］ （D ）与速度大小的平方成反比.RRv PvPvPavPaaa8．下列哪一种说法是正确的： ［ ］ （A ）在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心； （B ）匀速圆周运动的速度和加速度都恒定不变；（C ）物体作曲线运动时，速度的方向一定在轨道的切线方向上，法向分速度恒等于零，因此其法向加速度也一定等于零； （D ）物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零.9．一质点沿如图所示的轨迹以恒定的速率运动，由图可知，加速度最大的位置是： ［ ］（A ）A 点处 （B ）B 点处 （C ）C 点处 （D ）D 点处10．一个质点在oxy 平面上运动，已知质点的运动方程为j t i t r3352-= （SI ）, 则该质点作：［ ］(A)匀速直线运动； （B ）匀加速直线运动； （C ）变加速直线运动； （D ）曲线运动。
第1章 质点运动学共48页文档
(2) 位矢法 以O点为参考点
r
x(
t
)i
y(
t
)j
R
cos
t
i
R
sin
t
j
(3) 自然法
以O’点为参考点，逆时为正。
S R t
第一章 质点运动学
7
§1-2 质点的位移、速度和加速度
一、位移 描述质点位置变化的物理量
S
几何描述： 数学描述：
PrQ
r(
t
t
)
r(
t
)
r( t ) r( t t )
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r a 积分法
微分法
积分法
ar ra
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
第一章 质点运动学
14
例：直杆AB两端可以分别在两固定而 相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆 的倾角按φ=ωt 随时间变化，试求杆 上M点的运动规律。（运动方程、轨 迹、速度、加速度）
直角坐标系
j
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
在直角坐标系中可写成：
r xi yj zk
a
x i y axi ay
j
z
k
j azk
(A)
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
第一章 质点运动学
12
由基本关系式
有：
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
a
dx
b
2
sin
t
大学物理答案第1～2章
第一章 质点的运动1－1已知质点运动方程为t R x ω-=sin ，)cos 1(t R y ω-=，式中R ，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。
解：cos ,sin x y dx dy v Rw wt v Rw wt dt dt v Rw==-==-∴==222sin ,cos y xx y dv dv a Rw wt a Rw wt dt dt a Rw ====∴==sin ,(1cos )x R wt y R wt ==-222()x y R R ∴+-=轨迹方程为质点轨迹方程以R 为半径，圆心位于（0，R ）点的圆的方程，即质点作匀速率圆周运动，角速度为ω；速度v = R ω；加速度 a = R ω21－2竖直上抛运动的物体上升到高度h 处所需时间为t 1，自抛出经最高点再回到同一高度h 处所需时间为t 2，求证：h =gt 1 t 2/2解：设抛出点的速度为v 0，从高度h 到最高点的时间为t 3，则012132012221201112()0,2()/2()1122212v g t t t t t v g t t t t h v t gt g t gt gt t -+=+=∴=++∴=-=-= 1－3一艘正以v 0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a ＝-kv 2，k 为一常数，求证船在行驶距离x 时的速率为v=v 0e -kx .解：取汽艇行驶的方向为正方向，则0200,,ln v xv kxdvdx a kv v dtdtdv dv kvdt kdx v v dv kdx v vkx v v v e -==-=∴=-=-∴=-=-∴=⎰⎰ 1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。
解：人前进的速度V 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，22220222203/222220()()()l v t H h dldt H h v d l dt H h v t =+-∴=-=⎡⎤-+⎣⎦所以小车移动的速度220220)(tv h H tv v --=小车移动的加速度[]2/3220222)()(tv h H v h H a +--=1－5一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a 0，以后加速度以t ba a a 00+=均匀增加（式中b 为一常数），求经t 秒后，质点的速度和位移。
质点力学2
度多大？
ω m1
m1 N1
fμ1
T
m2
N2
T m1
fμ2
f惯
m1g
m2g
m1惯性系中, m2非惯性系 m1: 水平: T-m1gμ=0 ;
m2: 水平: m2ω2l –T- m2gμ =0 ;
(m1 m2 )g
m2l
m1 N1
fμ1
T
m1g
N2
T m1
fμ2
f惯
m2g
(3) 科里奥利力
圆盘光滑，质点质量为m，绳长
为r，质点速率v，绳中张力F
v r v
v
O
F m v2 m (r v)2 m2r 2mv m v2
r
r
r
F m2r 2mv m v2
r
2mv 为科里奥利力
一般来说， 科里奥利力Fc
FC 2m v
北半球运动物体受科里奥利力方向指 向运动方向的右侧，因此，北半球 河流右岸冲刷严重。
力 f = -kx，方向总是与形变的方向相反。
摩擦力：物体运动时，由于接触面粗糙而受到的
阻碍运动的力。分滑动摩擦力和静摩擦力。大小
分别为 fk= kN 及 fsmax=sN。
长期以来，人们有一种朴素的愿望，世界是统一的， 各种基本相互作用应该有统一的起源。
基本的自然力
万有引力：
f
Gm1m2 r2
G=6.6710-11Nm2/kgF
Mθ
M: a1, m:a2
F Mg
f
a2
Y’
mg O’ X’
方法1 惯性系中 M: 水平方向: -a1;
竖直方向: 0
NY
a1
O
X
大学物理 1-1 质点运动学
∆θ υ (t ) o
R
∆υ a = lim ∆t →0 ∆t
∆υ n ∆υt = lim + lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
第一篇
速度三角形
∆υ
υ (t + ∆t )
力学
υ (t )
υ
∆υ n
24
∆υt
物理
自学考试
∆υ a = lim ∆t →0 ∆t ∆υ n ∆υt = lim + lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
从上式中消 去参数 t 得质点 轨迹方程． 的轨迹方程．
第一篇
y
y (t )
P
r (t )
x(t )
z
z (t )
o
x
力学
7
物理
自学考试
反映质点某段时间内位置的变化 位移矢量或位移矢量增量 平面运动 运动: 平面运动
3 位移: ∆ r 位移:
质点运动学
y
yB − yA
rA = x Ai + y A j ， A ∆r rA rB = xB i + y B j ， rB ∆ r = rB − rA = (xB − xA )i + ( yB − yA ) j o xB −xA
y
P 1
∆r
r2
P 2
∆ r = ∆ x i + ∆ yj + ∆ zk
∆r = ∆x + ∆y + ∆z
2 2 2
r1
O
∆r
z
2 1 2 1
x
∆ r = x + y +z − x + y + z
2 2 2 2 2 2
大学物理第一章 质点运动学
§1 §2 §3 §4 §5 §6 质点运动学(kinematics) 质点动力学(dynamics) 功和能(work and energy) 动量守恒定律 (momentum conservation) 刚体的定轴转动(rotation) 流体力学(fluid mechanics)
v
t
g b
(1 e bt )
t
x vdt
0
g b
t
g b2
(1 e bt )
例题6、质点在流体中下落，a=-kv2，k=0.4m-1， t=0时，v=v0，求：从原点以上10m处开始下落， 速度减小到v0/10时到原点的距离。
解： d v dv dx a kv2 d t dx dt
r xi h j v0 vx dr dt dx v vx r dr x dt
2 h 2 v0
dx
dt dx dt
2
i r x ( h)
2 2 2 2
dt v vx i dv dt
h x x
v0
a
x
3
i
二、当v或a为已知时，求位置矢量
当v或a为时间函数时，直接根据定义积分，并代入 初始条件，可求出位矢； 当v或a为位置参量函数时，可做变量替换后，用分 离变量法积分，并代入初始条件，再求出位矢； 例如：已知 v=v（x） dx dx
物体定位，必须有参照物，我们称之为参照系。
2、 坐标系 利用坐标系,能在 点与数组之间建立 一个对应,从而在 几何图形与方程之 间建立一个对应的 关系.
三、 位置矢量
1. 位置矢量 质点在任一时刻的 空间位置,用位置 矢量来表示。
第1章-质点运动学
动力学：
以牛顿运动定律为基础，研究物 体运动状态发生变化时所遵循规律的 学科。
§1-1 质点、参考 系、坐标系
1-1-1 质点
质点（particle） ：具有一定质量的几何点 两种可以把物体看作质点来处理的情况:
• 作平动的物体，可 以被看作质点。 • 两相互作用着的物 体，如果它们之间的 距 离远大于本身的线度， 可以把这两物体看作质 点。
z
v r1 v r2
v v1 v v2
y
o
v v v ∆v = v2 − v1
x
v v1 v v2
平均加速度
v v ∆v −1 a= m ⋅s ∆t
v ∆v
结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致 结论：
当∆t→0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。
v v ∆v dv d 2 r v = = 2 瞬时加速度： a = lim dt dt ∆t → 0 ∆ t
v v v v v = v x i + v y j + vz k
速度的三个坐标分量：
dx dy dz vx = , vy = , vz = dt dt dt
速度的大小：
v 2 2 2 v = v = vx + v y + vz
• 速率
在∆t时间内，质点所经过路程∆s对时间的变化率
平均速率：
∆s −1 v= m ⋅s ∆t
v ∆θ e t (t )
Q ∆θ =
∆s
ρ
O
∆θ
v et (t + ∆t )
第1章 质点力学(1-3)
1-1 运动的描述
一. 参照系和坐标系 参照系 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个 物体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。 Z 日心系
地面系
o 地心系 X
Y
因此，参照系的选择是任意的，不一定是静止的物体。 坐标系 为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选
用 一个坐标系。
二、位置矢量
运动方程
ห้องสมุดไป่ตู้
Δ r r r
1
Δs
B Г
2
r Δ x 2 Δ y 2 Δ z 2
位移方向由A指向B. 路程 s :质点在t时间内运动的弧长.是标量.
r a ) r 为标量，r 与 都为矢量
b ) r r2 r1 r r2 r1 r r2 r1 r r
R地球 6.4 102 km, R太阳地球 1.5 108 km
;
但研究地球自转时就不能把地球视为质点了)
第一章
质点力学
本章基本内容
●位矢、位移、速度、加速度
●运动的叠加原理
●牛顿运动定律及动力学问题 ●功、动能、势能、动能定理及机械能守恒定律
●冲量、动量、动量定理及其守恒定律
减速转动
方向相反
由于在定轴转动中轴 的方位不变,故、只 有沿轴的正负两个方 向,可以用标量代替.
例4：一质点运动轨迹为抛物线
(SI) (SI)
求：x= 4m时（t>0)，粒子的速度、加速度。
解：
(SI) 4 t 2 t 2s (t 0) (SI)
vv 2 44i 24 jm / / s t t 2 i 24 j m s
第1章 质点运动学
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
03 质点运动学(讲稿)2-2
?第一部分 力学 第一章 质点运动学共2讲北京邮电大学理学院物理部1§3 质点运动学的基本问题1. 第一类问题 已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速 度和加速度。
——微分法r = r (t )dr v= dtdv d 2 r a= = 2 dt dt只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。
从运动方程中消去时间参数t，还可得质点运动的轨迹方程。
北京邮电大学理学院物理部2例：已知: 求: 解一：ˆ r = 2t i + (2 − t 2 ) ˆ (SI) j2秒末速度的大小x = 2t r=2y = 2−t2(2 t ) + (2 − t )2t 3 4 +t42 2=4+ t4dr v= = dt t=28 5 v2 = = 3 . 58 5北京邮电大学理学院物理部m ⋅ s -13解二：ˆ + (2 − t2 ) ˆ r = 2t i j dr ˆ = 2 i − 2t ˆ v= j dt vx = 2 vy = −2t v = v + v = 2 1+ t2 x 2 y 2 -1t = 2 v2 = 2 5 = 4.47 m ⋅ s请判断正误并说明理由 解一错误，解二正确！北京邮电大学理学院物理部4例 已知: 求: 解：ˆ r = 2t i + (2 − t 2 ) ˆ (SI) j2秒末加速度的大小y2 Pˆ r = 2t i + ( 2 − t 2 ) ˆ jθ′r θo-24 Qxr′dr ˆ = 2 i − 2t ˆ v= j dt dv a= = −2 ˆ j dta =2m.s-2 , 沿 -y 方向，与时间无关。
北京邮电大学理学院物理部5例已知：ˆ r = 5ti + (15t − 5t 2 ) ˆ (SI) j1.质点做什么运动？ 2.找一个实例 3.求抛射角、轨道方程、射程、射高 4.求 t = 1s 时 : a n = ?aτ = ?ρ =?北京邮电大学理学院物理部6已知：ˆ r = 5ti + (15t − 5t 2 ) ˆ (SI) j1.质点做什么运动？ 平面曲线运动 2.找一个实例ˆ j v = 5i + (15 − 10t ) ˆa = −10 ˆ jˆ t = 0 : r0 = 0, v0 = 5i + 15 ˆ j质点从原点出发，初速度为 v 0x : v x = 5, a x = 0y : v y = 15 − 10 t匀速直线运动a y = − 10 ≈ − g 为竖直上抛运动合运动：斜抛运动北京邮电大学理学院物理部73.求抛射角、轨道方程、射程、射高 抛射角：ˆ v0 = 5i + 15 ˆ jα = arctg轨道方程： x = 5tv0 y v0 x= arctg3 = 72x2 y = 3x − 5y = 15t − 5t 2yY射程：y = 0 X = 15mv0αoxX/2X射高：x = 7 .5 m Y = 11.25 m8北京邮电大学理学院物理部4.求 t = 1s 时 : a n = ?aτ = ?y (m )ρ =?v1ˆ r = 5ti + (15t − 5t 2 ) ˆ j ˆ t = 1: r = 5i + 10 ˆ jˆ v = 5i + (15 − 10t ) ˆ j a = −10 ˆ jv =aτ =2 vx + v2 = y10aτ 1a n15oa1x (m )155 2 + (15 − 10 t )2dv = dt10 ( 2 t − 3 ) 4 t 2 − 12 t + 10t = 1 : aτ 1 = − 5 2 ≈ − 7 .1 m ⋅ s -2 , v 1 = 5 2 m ⋅ s -1北京邮电大学理学院物理部9y (m )v110aτ 1a n15oa1x (m )15t = 1 : aτ 1 = − 5 2 ≈ − 7.1 m ⋅ s -2 a1 = − 10 m ⋅ s - 2v 1 = 5 2 m ⋅ s -1a n1 =a12 − aτ21 = 5 2 ≈ 7.1 m ⋅ s -2v12 ρ1 = = 5 2 ≈ 7 .1 m a n1注意：结果保留2－3位有效数字北京邮电大学理学院物理部10例 离水平面高为 h 的绞车以恒定的速率 v0收绳，使船靠 岸。