第三章 多维随机变量及其分布(2)

在这一讲中， 我们介绍了二维随机变量的边缘分布. 请注意联合分布和边缘分布的关系:
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
可以证明 若
( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , )
2 2
则X,Y的边缘概率密度分别为
X~N(μ1,σ12), Y~ N(μ2,σ22)
即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是
一维正态分布，反之未必成立． 注：这是 二维正态分布(X,Y)的特征， 其他分布未必成立． 见例３ 见例２
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
第二节
边缘分布
3.2.1 离散型随机变量的边缘分布 3.2.1 连续型随机变量的边缘分布
3.2.1 离散型随机变量的边缘分布 二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也 具有自己的概率分布.
X和Y的概率分布分别称为（X,Y）关于X或Y 的边缘（概率）分布 那么要问:二者之间有什么关系呢? 可以相互确定吗？ 先看如何由联合分布来确定两个边缘分布
FX ( x ) F ( x , ) P( X x ,Y )
(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
FY ( y ) F (, y ) P( X ,Y y )
对离散型随机变量(X,Y)，
X和Y的联合分布函数为
F ( x , y ) P( X x , Y y )
一般，对二维离散型随机变量( X,Y )，
X和Y 的联合概率分布列为
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率分布列为
P(X=xi)=

P{( X xi ) [ (Y y j )]}
P{( X
j
xi ) (Y y j )}
2 2 2
2 y 1 2 1 1 ( x ) e e dy 同理可得 f xy) dy e ( ( y) e 2 即 f X 2 Y 2 2 2 2 2 x y y 1 2 2 X,Y的边缘概率密度为一维正态分布. e e dy x e 2 y dy 2
y 2
2
) ]}
其中 1, 2 Biblioteka 1, 2 , 均为常数,且 1 0, 2 0, | | 1
则称（ X,Y）服从参数为 1, 2 , 1, 2 , 的二维正态分布. 2 2 记作（ X,Y）～N( 1, 2 , 1, 2 , )
x
(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
FY ( y ) F (, y )
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
f ( x, y) 1 2 1 2 1 exp{ 2 1 2(1 )
2
[(
x 1
1
2
)
2
2 (
x 1
1
)(
y 2
2
)(
解 (1)由题意得:
f1 ( x )
x y 1
2 2
y
1 x
2


f ( x , y )dy
其它
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时,
f1 ( x ) [

1 x
2
-1

1
X
2


2
1 x
2
1 x
2

2
1 x
2
] f ( x , y )dy
P( X
j
j
xi ,Y y j ) pij
j
同理
P (Y y j )
pij
i
(j=1,2,...)
一般地,记: P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表 格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.
例1
袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球


yj y
p j
对连续型随机变量(X,Y)，
X和Y的联合分布函数为
F ( x, y)
f ( u, v )dudv
( f ( u, y )dy )du
( f ( x , v )dx )dv
y
x
y
则(X,Y)关于X的边缘分布函数为
FX ( x ) F ( x , )
例2 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为
f ( x, y) 1 2
x y 2
2 2
e
(1 xy ) ( x , y )
求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度.
解
f X ( x)


f ( x , y )dy
2 2
x y 所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不 x 1 1 1 2 2 一定是二维正态分布. e dy e e 2 2 2 2
y 1 x

1 x
2
1
2
1 x

dy

1 x
所以,
2 f1 ( x ) 0
1 x , | x | 1
2
同理,
，
| x | 1
2 2 1 y , | y | 1 f 2 ( y ) 0 ， | y | 1
均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布
xi x y j y
pij

则(X,Y)关于X的边缘分布函数为
FX ( x ) F ( x , )
x i x j 1
pij

xi x
pi
(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
FY ( y ) F ( , y )
pij
i 1 y j y
x y 2 x 2 2
2
x y
2
1

x y 2
2
2
e
2
(1 xy )dy
例３
设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,
1 f ( x , y ) 0
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
第一次取到白球 第一次取到黑球
1 定义 : X 0
1 Y 0
第二次取到白球 第二次取到黑球
求：（X,Y）的联合分布及边缘分布，分有放回和无放回 讨论 不放回 解：有放回
X
Y
0
3 5

1
3 5
3 5
p i
2 5
2 5
3 5
2 5
Y
X
0
3 5 2 5
3 5
1
2 4 3 4
p i
2 4
1 4
0
3 5
2 5


2 5
0
3 5
2 5


3 5
2 5
1
p j
2 5
1
p j
3 5
2 5
联合分布与边缘分布的关系： 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
对任意随机变量 (X,Y)， X和Y的联合分布函数为
F ( x, y)
则(X,Y)关于X的边缘分布函数为