华北电力大学理论力学第十四章 达朗贝尔(动)
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《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)
F
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
理论力学第十四章 达朗贝尔原理与动静法 教学PPT
Fi Ni Qi 0
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
第十四章达朗贝尔原理PPT课件
M
* C
m L2
/ 12
29
S
F*x mg
M
* C
FA
F*y
2021/2/13 .
Fx m aCx 3m L Fy m aCy m L / 2 MC* m L2 / 12
取两约束力的交点为矩心
mS 0:
M C *F x 3 L F y L /2m/g 2 L 0
FB
3g
20 L
30
C
FN
2021/2/13 34
.
运动分析
根据运动分析加惯性力、惯性力偶
F*y
O F*x
A
acy
M
* A
acx
2mg
B
Ff
C
FN
acxao r
acyaco r
2021/2/13 35
.
MC 0
M * AF x*rFy*r2mg 0r
F*y
O
A
M
* A
B
Ff
F*x C
2mg
MO0
FN
M * AFfrFy*r2mg 0r
.
1、平移刚体
F2 *
m2 F1* m1 a2
F * m aC
Fn * mn an
F maC
a1
M 0 0
刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。
2021/2/13 12
.
2、定轴转动刚体
MO *
O
C
F
0
F 0 － m a C ＝ m (－ a τ C a C n)
M 0 ＝M O (F iτ)＝(－ m iri2) ＝JO －
2021/2/13 16
理论力学第十四章 达朗伯原理讲解
FT1＝FT1
cos m1 m2 g m1l 2
§14-2 质点系的动静法
F1
Fg1
m1
a1
FN1 FNi
mi
Fg2
FN2
Fgi
m2
ai Fi
F2
a2
质点系的主动力系
F1 ,F2 ,,Fi ,,Fn 质点系的约束力系 FN1 , FN2 ,,FNi ,, FNn 质点系的惯性力系
Fg1, Fg2 ,, Fgi ,, Fgn
刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。
§14-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩 惯性力系的主矢
FgR ＝ Fgi＝ (－mi ai )＝－m aC
i
i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 这一简化结果与运动形式无关。
i
i
i
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力系简化结果
—— 主矢与主矩 刚体惯性力系主矢与主矩与动量
和动量矩之间的关系
§14-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
Fgi＝－ 对于平面问题m(或ia者i 可以简化为平面问题)，
§14-3 刚体惯性力系的力系的主矩 —— 惯性力系的主矩与刚体的 运动形式有关。
3、平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平 面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚 体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一 平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进 一步简化。
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
理论力学——第14章 达朗贝尔原理
Fix(e) FIix 0 Fiy(e) FIiy 0 M O (Fi(e) ) M O (FIi ) 0
Fix(e) FIix 0 ,
M x (Fi(e) ) M x (FIi ) 0
Fiy(e) FIiy 0 ,
M y (Fi(e) ) M y (FIi ) 0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F (i) i
0,
MO (Fi(i) ) 0
则上式可改写为
Fi(e) FIi 0 MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上 惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理 的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
MIO ri (miai ) ( miri )aC mrC aC
若选质心C为简化中心，则 rC=0，有： M IC 0
故平移刚体的惯性力系可以简化
为通过质心的合力，其力大小等
于刚体质量与加速度的乘积，合
力的方向与加速度方向相反。
2、定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体，考 虑质点i，以O为简化中。 有
l 2
2
0，aCt A
l
2
方向如图所示
角加速度的计算，以杆端点A为基点，B为动点
aB
aA
a
t BA
aB
aA
aBt A
aBt A aA
ll
aC aA aCt A
B
aBt A
aB
aA
aCt A C
aA
q
A aA
因此得此杆惯性力系得主矢为
FIR
14.达朗贝尔原理
m 解: F = m a = R∆θi Rω2 Ii 2πR
n i i
∑F = 0, ∑F cosθ − F
x Ii
A
=0
B
∑F
令y= 0,来自∑F sin θ − F
Ii
=0
∆θi →0,
π
m mRω2 FA = ∫ 2 Rω2 cosθ dθ = 0 2 π 2π
m mRω2 F =∫ 2 Rω2 sin θ dθ = B 0 2 π 2π
FI = −ma
加速运动的质点， 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。 性反抗的总和。
4
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力， 力体反作用力的合力。 力体反作用力的合力。
5
二、质点的达朗贝尔原理
ma = F + FN
解:
l F =m α 2
t IO
l 2 F =m ω 2
n IO
1 2 MIO = ml α 3
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。 此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为 随基点（质点C）的平动： FIR = − maC 绕通过质心轴的转动：M IC = − J Cα ∴
有关) (与简化中心O有关) 与简化中心 有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢 主矢都等于刚体质量与质 主矢 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
15
一、刚体作平动 向质心C简化：
M IC = ∑ mC ( FIi ) = ∑ ri × (− mi ai ) = −∑ mi ri × aC = −mrC × aC =0
理论力学达朗贝尔原理
Foy
P
P g
R
P 3
（4）
Fxi 0 Fox FInR 0
将（2）式代入有
Fox
P g
R 2
4 3
P
（5）
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第十四章 达朗伯原理
例14-3 滚子半径为R，质量为m，质心在其对称中心C点，如 图(a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳 作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径
§14-1 惯性力的基本概念
受非零力系作用的物体将改变运动状态。
由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它 同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力 。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端 用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度 为v，半径为r，如图14－1所示。
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相应地 于是
ai ri ain ri 2
FIi mi ri FIni mi ri 2方向如图（b）。
M IO M O (FIi) M O (FIi ) M O (FIni ) (miri )ri ( miri2 )
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一、刚体作平行移动 在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度 a。
任一质点M i的惯性力为
FIi miai 达朗伯原理
可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都 与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向 平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。
得出上述的结论有两个限制条件：
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第十四章 达朗伯原理
（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；
理论力学第十四章达朗伯原理new
Fi FNi Fgi 0 i 1，2，，n
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点 上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平 衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
理论力学第十四章达朗伯 原理new
质点系达朗伯原理
Fi FNi Fgi 0 i 1，2，，n
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
理论力学第十四章达朗伯 原理new
质点达朗伯原理
F FN Fg 0 质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fgx 0 Fy FNy Fgy 0 Fz FNz Fgz 0
理论力学第十四章达朗伯 原理new
二、质点系达朗伯原理
上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将 达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
0 π
F2
D2 4
A 2 sin
π 2
sin
0
D2 4
A 2
Av2
2
Fy 0 : dFg sin F1 0
0
F1
D2 4
A2
cos
π 2
cos 0
D2 4
A 2
Av2
理论力学第十四章达朗伯
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点 上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平 衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
理论力学第十四章达朗伯 原理new
质点系达朗伯原理
Fi FNi Fgi 0 i 1，2，，n
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
理论力学第十四章达朗伯 原理new
质点达朗伯原理
F FN Fg 0 质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fgx 0 Fy FNy Fgy 0 Fz FNz Fgz 0
理论力学第十四章达朗伯 原理new
二、质点系达朗伯原理
上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将 达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
0 π
F2
D2 4
A 2 sin
π 2
sin
0
D2 4
A 2
Av2
2
Fy 0 : dFg sin F1 0
0
F1
D2 4
A2
cos
π 2
cos 0
D2 4
A 2
Av2
理论力学第十四章达朗伯
理论力学 动力学 达朗贝尔原理
xOΒιβλιοθήκη FT18FT
例 铅直轴以轴角速度转动,水平杆OA固定在轴上,在A点绞连于 AB均质杆.设OA=0,AB=L，求:图示情况下的角速度ω值. ω A 解: 方法一:积分 0 r P 2 2 ϕ ∆S = ∆m × ω = dr (a + r sin ϕ )ω ， gl ∆S l P l
∑M
A
=0
P sin ϕ − ∫ ∆sr cos ϕ = 0, 0 2
m2 g ′＝ FT1 , 2cosα
FT2
′ ＝FT1 FT1
FT3 B FT1 FI C m1 g m2 g
8
F′T1
m1 + m 2 cosα = g 2 m1lω
§14-2 质点系的达朗伯原理 F1 m1 a1 FN2 FI2 F2 m2 FIi FI1 FN1 FNi mi Fi ai 质点系的主动力系
1 m 2 FΙ = ∫ ω x sin α ⋅ dx = mlω 2 sin α 0 l 2
l
ω
C
FT B FAy
A
mg FAx
B
x FI
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
∑MA = 0
FAx + FΙ − FT = 0 FAy − mg = 0
α
A
l 2 FT l cos α − FΙ l cos α − mg sin α = 0 3 2
例 题
已知： 求：
离心调速器
m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； ω－ O1 y1轴的旋转角速度。
O1 l α α l A l C
x1
ω
l
B
ω－ α 的关系。
理论力学 第十四章
x
FRyOB M Ix FIy OB
FBx
1 AB
1
M
y
FRxOA M Ix FIx OA
FBy
AB
M
x
FRyOA M Ix FIy OA
FBz FRz
由 F , M 引起的轴承约束力称动约束力, IR IO
2ห้องสมุดไป่ตู้
1.96 N
v
FT l sin m
2.1 m
s
§ 14-2
质点系的达朗贝尔原理
i 1,2,, n
Fi FNi FIi 0
质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动
力,约束和它的惯性力在形式上组成平衡力系.
记 F (e ) 为作用于第i个质点上外力的合力. i (i ) Fi 为作用于第i个质点上内力的合力.
解:
t Ii
FI 1 m1a, FI 2 m2 a
,
F mi
n Ii
F mi r mi a
v
2
r
M
由
O
0,
m1 g m1a m2 g m2 a r mi ar 0
m ar m ar mar
i i
解得
a
m1 m2 m1 m2 m
FBz FR z 0
FB y OB FA y OA M x M I x 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
M
x
0 0
M
y
解得
FAx
1 AB
M
14达朗贝尔原理
解：1、以杆为研究 对象，受力分析如图 对象， 、 F ⅠC 刚好离开地面时，地面约束力为零。 刚好离开地面时，地面约束力为零。
= m2 a
∑M
A
= 0 m aRsin 30 −m gRcos30 = 0 2 2
o o
a = 3g
2、以整体为研究对象，受力分析如图 、以整体为研究对象， 得
1 2 a FA = ma, MIA = m R I 1 1 2 R
aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC
绳BO刚剪断瞬时，杆角速度ω = 0 ，角加速度α ≠0。 BO刚剪断瞬时 杆角速度ω 刚剪断瞬时， 角加速度α
anAC = AC ·ω2 = 0
atAC = lα／2
t aAC
t aA
O
把 aA 投影到点A轨迹的法线 AO上 投影到点A AO上
MIx = ∑ x (F ) = ∑ x Fi +∑ x Fn M Ii M Ii M Ii
( )
( )
= ∑ irαcosθi zi +∑ −mrω2 sinθi zi ) mi ( ii
由
xi yi cos θi = , sinθi = 有 MI x =α∑mi x i z i−ω2∑mi y i z ri ri
第十四章 达朗贝尔原理(动静法) 达朗贝尔原理(动静法)
§ 14-1 惯性力 质点的达朗贝尔原理 惯性力·质点的达朗贝尔原理
m = F +F a N
F + F −m = 0 a N
令 有
F = −m a I
惯性力
F + FN + F = 0 I
理论力学 (3)
解:⑴ 以电机整体为研究对象， 受力分析 ⑵ 分析运动，加惯性力 转子绕O轴匀速转动
t FI m2aCn m2 e 2
⑶ 由达朗贝尔原理列平衡方程
O
e
m1g
C
m2 g
FI
h
A
FAy
M AFAx
§14-2 刚体惯性力系的简化
例14-4 转轴O与水平面相距h，转子以匀角速度ω转动。已知
较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响，
求轮缘横截面的张力。
y
FIi
FA
FB ; FIi
Rm 2 2
d
⑶ 取坐标系，由达朗贝尔原 理列平衡方程
A FA
d ain
O
Bx
FB
Fy 0,
0 FIi sin 2FA 0
FA
1 2
Rm 2 sind 0 2
mR 2
2
Rm2
r FT
marn
FI ma
O
an
FT' A A FT
惯性力大小 ma
方向 与 a方向相反，作用在施力物体上
§14-1 惯性力●达朗贝尔原理
二、质点的达朗贝尔原理
FI
ma F FN
F
FN
ma
0
FI ma
F FN FI 0
m
FN
F
ma
（14-1）
（14-2）
质点的达朗贝尔原理： 作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力
s in d
4 0
FB
第十四章 达朗贝尔原理
§14-2 刚体惯性力系的简化
§14-2 刚体惯性力系的简化
一、质点系惯性力的主矢和主矩
梁坤京理论力学第十四章达朗贝尔定理答案
已知:某现浇钢筋混凝土梁，混凝土设计强度等级C30，施工要求坍落度为35～50mm ，使用环境为无冻害的室外使用。
施工单位无该种混凝土的历史统计资料，该混凝土采用统计法评定。
所用的原材料情况如下：1.水泥：42.5级普通水泥，实测28d 抗压强度为46.0MPa ，密度ρc=3100kg ／m3；2.砂：级配合格，μf=2.7的中砂，表观密度ρs=2650kg ／m3；3.石子：5～20mm 的碎石，表观密度ρg=2720 kg ／m3。
试求：1.该混凝土的设计配合比(试验室配合比)。
2.施工现场砂的含水率为3％，碎石的含水率为1％时的施工配合比。
一、计算配合比(初步配合比)1.配制强度（fcu,0）的确定查表4－15，当混凝土强度等级为C30时，取σ＝5.0Mpa ，得：2.计算水灰比（Ｗ/Ｃ）对于碎石：αa=0.46，αb=0.07，且已知：fce=46.0 Mpa ，则：查表6-25得最大水灰比为0.60，可取水灰比为0.53。
3.确定单位用水量（mw0）根据混凝土坍落度为35～50mm ，砂子为中砂，石子为5～20mm 的碎石，查表6－26，可选取单位用水量mw0=195kg 。
4.计算水泥用量（mc0）由表6-25查得最小水泥用量为280kg ，可取水泥用量为368kg5.选取确定砂率（βs ）查表6-28，W/C=0.53和碎石最大粒径为20mm 时，可取βs=36％。
6.计算粗、细骨料的用量（mg0,ms0）(1).质量法求计算配合比MPaf f k cu cu 2.380.5645.130645.1,0,=⨯+=+=σce b a cu ce a f f f C W⋅⋅+⋅=ααα0,53.00.4607.046.02.380.4646.0=⨯⨯+⨯=kgm m C W wo c 36853.01950===%100%36000⨯+=g s s m m m假定，1m3新拌混凝土的质量为2400kg 。
理论力学 (14)
HOHAI UNIVERSITY
惯性系中：
0 FR ma FR FI
达朗贝尔原理将动力学加速度问题形 式上转换成静力学中的平衡问题，也 叫动静法
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma 称为质点的惯性力
ma FR F FN F FN ma 0
M
a FN
F
FR
HOHAI UNIVERSITY
F FN FI 0
在质点运动的每一瞬时，如果在质点上加上惯性力，则作用 于质点的主动力、约束力与惯性力成平衡。
二、质点系的达朗贝尔原理 对每一个质点 Fi FNi FIi 0 相加得 Fi FNi FIi 0
三、平面运动刚体惯性力系的简化
（运动平面与刚体对称平面平行） 对质点i 主矢:
aC
α
FIi mi ai FI mi ai maC
a iCn aC aiCt
主矩:
M IC
以C为基点 ai aC aiCn aiCt FIi FIic FIin FIit MC ( FIit ) mi ri ri
HOHAI UNIVERSITY
HOHAI UNIVERSITY
a A aB a R
WA WB PR2 a FIA a; FIB a; M I g g 2g R
局部达朗贝尔 原理求未知量a
整体达朗贝尔 原理求EF受力
HOHAI UNIVERSITY
例 质量m、半径r的均质圆轮在质量 M的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在 光滑的水平面上。试求楔块的加速 度和圆轮的角加速度。 解1：动力学方法
理论力学14—达朗贝尔原理1
由静力学中任意力系简化理论知，主矢的大小和 方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的 位置有关。下面就刚体平移、定轴转动和平面运动讨 论惯性力系的简化结果。 1. 刚体作平移 刚体平移时，刚体内任一 质点 i 的加速度 ai 与质心的加 速度aC相同，有ai ＝ aC，任 选一点O为简化中心，主矩用 MIO表示，有 1 a1 aC FIi i ai
14.1 质点的达朗贝尔原理
则有
F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、 约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平 衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样 做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。 达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
(e)
称ΣFIi为惯性力系的主矢， ΣMO(FIi) 为惯性力 系的主矩。
例2 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并以匀角速 度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角 的关系。 y C 解：以杆AB为研究对象, 受力如图。 杆 AB匀速转动 , 杆上距 A点 x 的微元段dx 的加速度的大小为
a1
aC FIi i ai
MIC 0
综上可得结论：
平移刚体的惯性力系可以简化为 通过质心的合力, 其大小等于刚 体的质量与加速度的乘积 , 合力 的方向与加速度方向相反。
14.3 刚体惯性力系的简化
2. 刚体绕定轴转动 如图所示, 具有质量对称面且 绕垂直于质量对称面的轴转动的 刚体。其上任一点的惯性力的分 量的大小为
14.1 质点的达朗贝尔原理
则有
F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、 约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平 衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样 做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。 达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
(e)
称ΣFIi为惯性力系的主矢， ΣMO(FIi) 为惯性力 系的主矩。
例2 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并以匀角速 度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角 的关系。 y C 解：以杆AB为研究对象, 受力如图。 杆 AB匀速转动 , 杆上距 A点 x 的微元段dx 的加速度的大小为
a1
aC FIi i ai
MIC 0
综上可得结论：
平移刚体的惯性力系可以简化为 通过质心的合力, 其大小等于刚 体的质量与加速度的乘积 , 合力 的方向与加速度方向相反。
14.3 刚体惯性力系的简化
2. 刚体绕定轴转动 如图所示, 具有质量对称面且 绕垂直于质量对称面的轴转动的 刚体。其上任一点的惯性力的分 量的大小为
哈工大理论力学教案 第14章
解:
FI = meω
2
∑F = 0,
x
y
Fx + FI sin = 0
y 1 2 I
∑F = 0, F (m + m )g F cos = 0 ∑M
因
A
= 0, M m2 gesin FI hsin = 0
2
= ωt, 得
Fy = (m + m2 )g + m2eω2 cosωt 1
Fx = m2eω sinωt
2.刚体定轴转动 2.刚体定轴转动
z
y
ri
O
θi
xi yi
F F
n Ii
t Ii
O
zi
yi
xi
F
n Ii
y
x
t Ii
F
t Ii
x
n Ii n i
ω α
2
F = m a = mi riα
t i i
F = mi a = mi riω
t Ii n Ii
MIx = ∑Mx ( FIi ) = ∑Mx ( F ) + ∑Mx ( F
惯性力系向质心简化. 惯性力系向质心简化. 只简化为一个力
MIC = 0
FR = maC I
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等 平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力, 通过质心的合力 于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向反向. 于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向反向.
FBz = FRz
引起的轴承约束力称动约束力 由 FR , MIO 引起的轴承约束力称动约束力 I 动约束力为零的条件为: 动约束力为零的条件为: FIx = FIy = 0, MIx = MIy = 0 即: Fx = maCx = 0 I Fy = maCy = 0 I
理论力学14达朗贝尔原理
由(1)得 RQ mR F T
所以
F T mR
代入(3) 得
O
M
FR
M
QC
FR
m
2
F T mR
M FR 2 (F T )F ( 2 R)T 2 (4)
R
R
R
由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，
必须 F<f N =f (P+S) (5)
把(5)代入(4)得：M f (PS)( 2 R)T 2
对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
13
例2 已知重物A，重物B的重量 FA FB FP ，定滑轮C重量
不计，斜面倾角为 ，细绳绕过定滑轮与重物A、B相连。
各处摩擦不计，求重物A下降的加速度及轴O的约束力。
解：重物A、重物B作加速运动，惯性力
FIA
FIB
FP g
a
由静力学平衡方程
Fx 0 FXO FIB cos FB sin cos 0
Fy 0 FYO FIA FA FIB sin FB sin 2 0
转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑
动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。
解： 取轮为研究对象
虚加惯性力系：
RQ maC mR
M QC JC m 2
O
由动静法，得：
O
32
X 0 , F T RQ 0
工程力学-结构力学课件-14达朗贝尔原理(动静法)p
14—1、轮轴质心位于O 处，对轴O 的转动惯量为
O J 。
在轮
轴上系两个质量各为1m 和2m 的物体，若此轮轴以顺时针转
动，求轮轴的角加速度 和轴承O 的动约束力。
14—2、图示长方形均质平板，质量为27kg ，由两个
销子A 和B 悬挂。
如果突然撤去B ，求在撤去销子B
的瞬时平板的角加速度和销子A 的约束力。
14—3、如图所示，质量为1m 的物体A 下落时，带动质量为2
m 的均质圆盘B 转动，不计支架和绳子的质量及轴B 处的摩擦，
BC b =，盘B 的半径为R 。
求固定端C 处的约束力。
14—4、图示曲柄OA 质量为
1m ，长为r ，以等角速度ω绕水
平轴O 逆时针方向转动。
曲柄的A 端推动水平板B ，使质量为
2m 的滑杆C 沿铅直方向运动。
忽略摩擦，求当曲柄与水平方
向夹角为030θ=时的力偶矩M 及轴承O 的约束力。
14—5 图示均质板质量为m，放在两个均质圆柱滚子
上，滚子质量皆为0.5m。
其半径均为r。
如在板上作用一水平力F，并设滚子无滑动，求板的加速度。
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2013年12月16日
理论力学CAI
25
例1 荡木
质量为m、长为l 的匀质杆AB在图示位置无初速释放， 求: 释放瞬时AB杆加速度、柔索A、B内的拉力。 解： 1 先进行运动、受力分析 运动分析：杆AB做平移 质心加速度 aA = aC aA aC
受力分析：重力mg，绳拉力FA，FB
2013年12月16日
可通过列车的加速度a与偏角θ的关系 确定列车加速度
2013年12月16日
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10
汽轮机转子、叶片的惯性力
叶片惯性力
2013年12月16日
理论力学CAI
11
§14.2 刚体惯性力系的简化
任意运动的刚体， FI 1 m1 a1 FI 2 m2 O FI i mi
F m a 每个质点惯性力 Ii i i FI 1，FI 2， ，FIi， ，FIn 构成惯性力系
In
惯性力主矢： F ma I C
惯性力主矩：
m1
FI 2
a1
MIO ri FIi ri mi ai (mi ri ) aC mrC aC
FIi O ri mi ai
当简化中心为质心C 时， rC=0
e i Fi Fi
FI i 0
而内力成对出现 内力和
i Fi 0
主矩
e i MO Fi MO Fi MO FIi 0 内力矩和
i M O Fi 0
2013年12月16日
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5
质点系的达朗贝尔原理： 作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 的惯性力，在形式上构成空间平衡力系。
an R
2
R=600mm=0.6m =3000r/min=314rad/s m=500g=0.5kg
惯性力主矢
FI mR 2 0.5 0.6 ( 3000 2 ) 30 的拉力
2013年12月16日
F FI 30 kN
τ n 0，aC 0， aC e 2
2 F me 主矢： IO
方向与 aC 方向相反 主矩：
n
M IO 0
2013年12月16日
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16
转轴过质心C，但角加速度 0， 只有惯
性力矩， 没有惯性力。
主矢： 主矩：
FIO 0
M I J C
方向与 方向相反
结论：
惯性力系的主矢只与刚体质量和质心加速度有关。
FIR maC
当质心加速度为零时，惯性力系的主矢也为零
2013年12月16日
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13
2、刚体惯性力系的主矩
惯性力系的主矩与简化中心的位置有关，与刚体的运动形式有关。
1） 平移刚体 m 2 FI 1 a2 m aC FI an m n F
2013年12月16日
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2
§14.1 惯性力与达朗贝尔原理
1 惯性力的概念
对非自由质点A 有牛顿定理
z
F ma
ma
O x
m A
a
F y
m —— 质量；F —— 合力；
改写动力学方程 F m a 0
惯性力(inertial force)
S
点的运动轨迹
FI ma
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘 积，方向与质点加速度方向相反。
2013年12月16日
惯性力如：离心力
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3
2 质点的D’Alembert原理 质点的达朗贝尔惯性力与作用于质点的 真实力组成平衡力系
F真实 FI 0
作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点 上的惯性力，形式上组成平衡力系。
主矩：
M I JCα
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。惯性力系向质心 简化的结果为一个合力和一个合力偶，二者都位于 质量对称平面内。
2013年12月16日
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18
刚体惯性力系的简化
简化中心 刚体平移 定轴转动 质心 转轴
（惯性力主矢 加在转轴）
n
- mi ain
FIi -mi ait -mi ri
t
取简化中心为转轴O时 惯性力系的主矩： 惯性力系的主矢：
M IO t M Iz M z ( FIi )＝
m r J
2 i i z
t n FIO maC m(aC aC )
IR C
2. 惯性力系的主矩与简化中心的位置有关。 3. 对有质量对称面的刚体，在其质量对称面平行的 平面内运动时，当定轴转动刚体取转轴为简化中 心，平面运动刚体取质心为简化中心时，主矩与 转动惯量和角加速度有关。
2013年12月16日
理论力学CAI
20
练习：施加惯性力
对图示各匀质物体的运动施加惯性力。匀角速度
理论力学CAI
26
2 施加惯性力
FI maC
3 列平衡方程 A
y FA FI C mg B x FB
F
F
y
x
0,
FI mgsin 0
aC gsin
0, FA FB mgcos 0
l l M A 0, lFB cos 2 FI sin mg 2 0
第十四章
达朗伯原理（动静法）
D’Alembert’s Principle 惯性力的概念 达朗贝尔原理
用静力平衡的方法来解动力学问题。
刚体惯性力系的简化
达朗伯 J.leR. (Jean le Rond D’Alembert)
达朗贝尔(1717-1783)是法国著名的物理学家、数学家、力 学家、哲学家和天文学家，18世纪法国启蒙运动的领袖人物之一。 一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著， 其中最著名的有8卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、 23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。 他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。达朗贝尔生 前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终 时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。 数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析、三角级数理论、流体 力学的主要开拓者。另外，达朗贝尔在复数的性质、概率论、力学、天文学 等方面都有所研究，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。 达朗伯在1743年出版的《动力学》一书中将牛顿运动定律推广为受约束 物体的运动定律，即有名的达朗伯原理。
简化得到系统的平衡方程：
主矢： 主矩：
e Fi
F Ii 0
e MO Fi MO FI i 0
2013年12月16日
理论力学CAI
6
理解惯性力注意：
1. 应用达朗贝尔原理，用动静法，通过虚加惯性力， 列平衡方程求解，只是形式上的平衡，解决的仍然 是动力学问题。 2. 达朗贝尔原理将动力学问题转化为形式上的静力学 问题，列系统的平衡方程时，可用静力学的各种方 法求解，对投影轴和取矩点没有任何限制。 3. 从使用的角度上讲，一般不细究惯性力的概念，惯 性力的真伪等问题，只要会计算惯性力即可。 4. 动静法对求解单个质点来说没有带来较大的方便， 对质点系和刚体系意义更大。
O O
v
O
C P
J a R
J
l
l/3
a
mAa
B mB mA A
mB a r R
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2013年12月16日
21
练习施加惯性力
l O
O
C
a
B A
a
2013年12月16日
理论力学CAI
22
例14-2
风扇的叶轮，其上沿周长安装有一组径向叶片，每个叶片的质量为500g ，叶片质心至轮心的距离R=600mm，叶轮的转速为3000r/min，叶片自重 略去不计。试求正常旋转时，叶片根部所受的拉力。 解： 取叶片为研究对象。 运动分析：叶片匀速定轴转动。 质心加速度
理论力学CAI
23
刚体系的达朗贝尔原理（动静法）习题
主矢为零： 主矩为零： 投影到坐标轴上 得平衡方程：
e Fi
F Ii 0
e MO Fi MO FI i 0
F F 0 F F 0 M F M F 0
ai
根据加速度分布，进行惯性力系 简化。 根据力系简化原理，惯性力系向简 化中心O简化
a2
惯性力系主矢： FI FIi
2013年12月16日
惯性力系主矩： M IO M O FIi
12
理论力学CAI
1、刚体惯性力系的主矢
根据力系简化原理： 惯性力系的主矢与简化中心的位置无关，对作任意 运动的质点系都有： d 2 ri FIR FIi mi ai (mi 2 ) 交换求和与求导次序 dt d2 d2 2 (mi ri ) 2 (mrC ) maC dt dt
MIC 0
刚体平移时，惯性力系简化为通 过刚体质心的合力，方向与加速度 的方向相反。
理论力学CAI
2013年12月16日
14
2）定轴转动刚体
z
O ri
-ma
x
t i i
质量对称面
研究刚体有质量对称面，且转轴垂 直该平面的情况。
刚体转动角速度，角加速度。 第i个质点惯性力