五年级奥数讲义第16讲 倍数问题(一)
五年级奥数倍数问题讲座及练习答案
五年级奥数倍数问题讲座及练习答案五年级奥数集训专题讲座（三）——倍数问题倍数问题在整个小学阶段中非常重要。
我们主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究倍数问题。
为了解决倍数问题，我们需要理解以下数量关系式：①和÷（倍数＋1）=小数，小数×倍数=大数（和—小数=大数）②差÷（倍数—1）=小数，小数×倍数=大数（小数＋差=大数）③（和－差）÷2=小数，小数＋差=大数（和—小数=大数）④（和+差）÷2=大数，大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：我们将乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是2份。
假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍。
因此，我们可以使用和倍问题来解答这个问题。
乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米），甲队：400×2=800（米），丙队：400－160=240（米）。
答案：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。
巩固练】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解析：因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，我们可以将乙队植树的棵数看作“1”份。
乙队比___少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵。
因此，三个队植树的总棵数是乙队的4倍多300棵。
如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍。
因此，乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵），甲队植树棵数=400×2=800（棵），丙队植树棵数=400+300=700（棵）。
答案：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。
例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。
小学五年级奥数 因数与倍数(一)
因数与倍数（一）【课前小练习】(★)1. 学习短除法和因数式.3. 公因数、公倍数的实际应用1.2.写出12的所有因数，并列举几个12的倍数.写出18的所有因数，并列举几个18的倍数.1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数.2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数板块一:短除法和分解质因数法【例1】(★★☆)求下列每组的最大公因数和最小公倍数.板块二:借助最大公因数未知数⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数【例】★★★求下列每组的最大公因数和最小公倍数.⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★)一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？1【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆)两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？【拓展】(★★★★)由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。
你知道为什么是17年吗？板块三:公因数、公倍数的应用【例6】(★★★)1 1 1学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中，2 3 7其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人.知识大总结. 、.2. 枚举法，短除法，分解质因数法A＝ax、B＝bx，其中a、b互质4. 应用：【例7】(★★★)将92个苹果和138个梨平均分给一班的小朋友，要求每人分到的水果相同，且无剩余. 那么一班最多有多少个小朋友？每个小朋友分到几个苹果几个梨？公因数---除数；公倍数---被除数【今日讲题】例2，例4，例5，例6【讲题心得】__________________________________________________________________. 【家长评价】________________________________________________________________. 2。
小学五年奥数-倍数问题
倍数问题【知能大展台】倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或者差以及几个数的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其他几个数与这个数的关系，确定“和”或者“差”相当于这样的几倍。
最后用用除法求出1倍数。
和数÷（倍数＋1）＝较小数差数÷（倍数－1）＝较小数【试金石】例1两根同样长的铁丝，第一根剪去18米，第二根剪去26米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少米？【分析】这两根铁丝的差保持不变，而剩下的铁丝的差依然是原来铁丝的差。
根据余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
则余下的铁丝相差2倍。
这样很容易计算第二根余下的铁丝是：（26－18）÷（3－1）＝4（厘米），则原第二根铁丝长30厘米。
【解答】26+（26－18）÷（3－1）＝30（厘米）答：原来两根铁丝各长30厘米。
【智力加油站】【针对性训练】两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。
两根绳子原来各长多少米？【试金石】例2甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。
原来甲组有图书多少本？【分析】甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（本），则甲组仍是乙组的3倍，事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，这样24本正好对应后来两组的（5－3＝2）倍。
因此后来乙组的图书是：（6×3＋6）÷（5－3）＝12（本）。
则原来乙组为18本，甲组就是18×3＝54（本）。
【解答】6×3＋6）÷（5－3）＝12（本）（12+6）×3＝54（本）答：原来甲组有图书54本。
【智力加油站】【针对性训练】一个书架分上下两层，上层的书的本数是下层的4倍，从下层拿出5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。
数学讲义(五年级奥数)
2 因数和倍数（2） 【题型概述】 今天， 我们学习因数的运用， 解决这种问题主要是根据问题的要求， 寻找因数的个数。 【典型例题】 29÷（ ）=( )· · · · · ·5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种 不同的填法？ 思路点拨 根据有余数除法各部分之间的关系，可以知道除数与商的积是 29-5=24. 两个自然数相乘的积是 24 的有四种情况：1×24,2×12,3×8,4×6，再根据“除 数比余数大”可以知道除数只能是 24，12,8,6. 所以，共有 4 种不同的填法。 【举一反三】 1.37÷（ ）=（ ） · · · · · ·5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少 种不同的填法？
6. 有 50 张卡片，分别写着 1~50 这 50 个数，正反两面写的数字相同，卡片一面是 红，一面是蓝，某班有 50 名学生，老师把 50 张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌 子上，对同学说： “请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡片上 的数是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。 ”那么当每个学生 都翻完以后，红色朝上的卡片有几张？
4. 五个连续奇数的和是 35，这 5 个奇数中最大的一个是多少？
5. 有三个不同的自然数组成一个等式： ■+△+○=■×△-○ 这三个数中最多有多少个奇数？
4,奇数和偶数（2） 【题型概述】 奇数和偶数有一些有趣而常用的性质： 1. 奇数≠偶数，连续自然数中的奇数和偶数时相间排列的。 2. 偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，任意个偶数相加的 和是偶数。 3. 奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数 偶数±奇数=奇数 4. 奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 运用这些性质可以解决很多问题。 【典型例题】
五年级奥数约数与倍数(一)学生版
1. 五年级奥数约数与倍数（一）学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念[1]约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；[2]公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”；[3]最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；[4]0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．[如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的]．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨教学目标5-4-1.约数与倍数（一）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数[1]倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数[2]公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数[3]最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
小学五年级下因数与倍数奥数辅导讲义
因数和倍数奥数辅导讲义教学内容因数和倍数1．知识回顾（1）因数和倍数的概念2x6=122和6是12的因数。
12是2的倍数，也是6的倍数。
3x4=123和4也是12的因数。
12是3和4的倍数。
整数A乘以整数B得到整数C，整数A与整数B就称做整数C的因数，反之整数C就为整数A与整数B的倍数。
（2）奇数和偶数自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
2．规律、性质。
（1）因数和倍数：列举法；根据问题的要求，寻找因数的个数。
（2）奇数和偶数常用的性质：1.奇数≠偶数，连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的；2.偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，任意个偶数相加的和是偶数；3.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，偶数±奇数=奇数；4.奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数3. 典型例题一、因数和倍数例1.一个数是5个2，,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数中，最大的是几？拓展一：甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。
拓展二：把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。
拓展三：和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78元；秋刀鱼，每条104元。
每种鱼都多于1条，正好花了3600日元。
请问：和子买了几条竹荚鱼？例2.一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同拿法？拓展一:小明用48元钱按零售价买了若干本练习本，如果按批发价购买,每本便宜2元，恰好多买4本,问:零售价每本多少元?例3．三个连续奇数的和是15元，它们的积是多少?拓展一：五个连续奇数的和是35元，这5个奇数中最大的一个是多少?拓展二：有三个不同自然数组成的一个等式：□+ △+ ○= □×△—○这三个数中最多有多少个奇数？二、奇数和偶数例题4：1+2+3+4+……+2011+2012的和是奇数还是偶数？拓展一：1+2+3+4+5+……+2000+2001的和是奇数还是偶数？拓展二：101+102+103+……+2007+2008的和是奇数还是偶数？例5.有12张卡片，其中3张卡片上面写着1,3张卡片上面写着3,3张卡片上写着5,3张卡片上面写着7，能否从中选择5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？为什么？拓展一：在五角星上的圆圈内共填10个数，如图所示，选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗？为什么？拓展二：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66，100，那么原来写的三个数能否为1,3,5？拓展三：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983，那么原来写的三个数能否为2,2,2？例6：9只杯子全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？拓展一：8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？拓展二：桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币。
最新小学五年级奥数全册讲义(1-30讲)(含详解)【值得拥有】
小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
小学奥数 和倍问题(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数 或 和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l 份数×(倍数－1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。
【例 1】 某校三(1)班举办优秀少先队员评选活动.每位同学如果表现优秀，则可得一枚小红花，5枚小红花可换成一面小红旗，4面小红旗可换成一个奖章，3个小奖章可换成一个小金杯，一学期得2个小金杯，可评为优秀少先队员，那么要评为优秀少先队员，需要得________个小红花.【例 2】 根据线段图列式：【例 3】 花园小学组织学生植树，五年级植树160棵，正好是四年级的2倍。
三年级比四年级少20棵。
三年级植树___棵。
例题精讲知识点拨教学目标6-1-5.和倍问题（一）【巩固】果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？【巩固】实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？【巩固】学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少个？【巩固】甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？【巩固】《水浒传》中的108将中，男将是女将的35倍，男将共有名，女将共有名。
小学五年级奥数ppt：倍数问题
分析 ：
甲书架有书600本，从甲书架借出三分之 一剩：
600×（1-1/3)=400本， 是从乙书架借出四分之三后的2倍还多 150本，即： （400-150） ÷2=125本， 是乙书架的四分之一，所以，乙书架原 来有书：
125 ÷1/4=500本。
练习三
1，某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女 生人数的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是 女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？
3，有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫 升，每次往两只杯子中各倒进8毫升水，倒几次后， 一只杯中的水是另一杯的2倍？
例5 、 甲、乙、丙三数的和是78，甲 数比乙数的2倍多4，乙数比丙 数的3倍少2。求这三个数。
分析 ：
把丙数看着“1倍数”，乙就是“3倍少2”， 甲数比乙数的2倍多4，也就是（3倍-2） ×2-4=6倍，三个数的和就相当于丙数的 （1+6+3）倍少2.就是78增加2正好是丙数 的10倍。这样，就能求出 丙数：（78-2） ÷ （1+6+30)=8 乙数：8 ×3-2=22 甲数：22 ×2+4=48
3，饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉了 10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是 黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？
例2 、有1800千克的货物， 分装在甲、乙、丙三辆车 上。已知甲车装的千克数 正好是乙车的2倍，乙车比 丙车多装200千克。甲、乙、 丙三辆车各装货物多少千 克？
分析：每小时由A站向B站开出汽车12辆，
B站向A站开出汽车8辆，实际上就是每隔1小 时，A站就减少12-8=4辆汽车，而B站就增加 4辆，要使B站的公共汽车辆数是A站的3倍， A 站只能有（26+30） ÷ （1+3）=14辆，必 须减少26-14=12辆，每小时减少4辆，所以要 经过12 ÷4=3时。 列式：
小学五年级奥数讲义（学生版）30讲全
⼩学五年级奥数讲义（学⽣版）30讲全五年级奥数第1讲数字迷（⼀）第16讲巧算24第2讲数字谜(⼆) 第17讲位置原则第3讲定义新运算(⼀) 第18讲最⼤最⼩第4讲定义新运算(⼆) 第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(⼀) 第20讲多边形的⾯积第6讲数的整除性(⼆) 第21讲⽤等量代换求⾯积第7讲奇偶性（⼀）第22 ⽤割补法求⾯积第8讲奇偶性（⼆）第23讲列⽅程解应⽤题第9讲奇偶性（三）第24讲⾏程问题（⼀）第10讲质数与合数第25讲⾏程问题（⼆）第11讲分解质因数第26讲⾏程问题（三）第12讲最⼤公约数与最⼩公倍数（⼀）第27讲逻辑问题（⼀）第13讲最⼤公约数与最⼩公倍数（⼆）第28讲逻辑问题（⼆）第14讲余数问题第29讲抽屉原理(⼀)第15讲孙⼦问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(⼆)第1讲数字谜（⼀）例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填⼊下⾯等式的○内，使等式成⽴（每个运算符号只准使⽤⼀次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填⼊下式中的□中，使等式成⽴：□□□×□□=□□×□□=5568。
例3 在443后⾯添上⼀个三位数，使得到的六位数能被573整除。
例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。
例5 在左下⽅的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你⽤适当的数字代替字母，使加法竖式成⽴。
FORTYTEN+ TENSIXTY例6 在左下⽅的减法算式中，每个字母代表⼀个数字，不同的字母代表不同的数字。
请你填上适当的数字，使竖式成⽴。
练习11.在⼀个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。
2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。
请你⽤适当的数字代替字母，使竖式成⽴：（1） A B (2) A B A B+ B C A - A C AA B C B A A C3.在下⾯的算式中填上括号，使得计算结果最⼤：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第十六讲 约数与倍数 通用版(含答案)
约数与倍数一、 约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求．4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
五年级奥数-第16讲 倍数问题(一)
第16讲倍数问题（一）一、知识要点倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。
二、精讲精练【例题1】两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米？练习1：1.两个数的和是682.其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。
这两个加数各是多少？2.两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。
两根绳子原来各长多少米？【例题2】甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。
原来甲组有图书多少本？练习2：1.原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。
原来二人各有多少张画片？2.一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。
从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。
原来下层有多少本书？【例题3】幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。
大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。
大班共有多少个同学？1.高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。
如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。
两种树苗原来各有多少棵？2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。
如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。
两种树原来各有多少棵？【例题4】有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。
甲、乙两筐原来各有多少个桔子？1.甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。
(完整版)小学五年级奥数举一反三第16周倍数问题(一)
举一反三3
1.同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是桔子的3 倍。如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分 完，苹果还剩下14个。同学们把水果分给了几位老人？
2.甲粮库的存粮是乙仓库的2倍，甲粮库每天运出40吨，乙 仓库每天运出30吨，若干天后乙粮库的粮食全部运完，而甲 仓库正好还有80吨，甲、乙两辆仓库原来各有粮食多少吨？
【思路导航】根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子 就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多8×2=16个橘子；如果 从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16＋ 13×2=42个。因此，乙筐里还有42÷（2－1）=42个，原 来乙筐里有42＋13=55个，甲筐里原来有55＋16=71个。
举一反三 4
王牌例题5： 养鸡场新买来100只小鸡，其中母鸡只数的4倍比公鸡只数 的3倍多120只，买来母鸡公鸡只数各多少只？ 【思路导航】题中已知母鸡和公鸡一共100只，就可推出， 母鸡只数的4倍和公鸡只数的4倍的和是100×4=400（只）， 又因为母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只，从400只 去掉120只就是公鸡只数的7倍，则公鸡只数为280÷(4＋3) =40（只），母鸡只数为100－40=60（只）。
五年级奥数,倍数问题
第１６周倍数问题（一）专题简析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。
例１两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米？分析由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。
因此，8÷（3－1）=4（厘米）。
就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26=30厘米。
练习一1，两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。
这两个加数各是多少？2，两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。
两根绳子原来各长多少米？3，一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。
原来两筐水果一共有多少个？例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。
原来甲组有图书多少本？分析甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18本，则甲组仍是乙组的3倍。
事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。
因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12本，乙组原来有12＋6=18本，甲组原来有18×3=54本。
练习二1，原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。
原来二人各有多少张画片？2，一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。
从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。
原来下层有多少本书？3，幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。
小学五年级奥数讲义(学生版)30讲全
五年级奥数第1讲数字迷〔一〕第16讲巧算24第2讲数字谜<二>第17讲位置原如此第3讲定义新运算<一>第18讲最大最小第4讲定义新运算<二>第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性<一>第20讲多边形的面积第6讲数的整除性<二>第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性〔一〕第22 用割补法求面积第8讲奇偶性〔二〕第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性〔三〕第24讲行程问题〔一〕第10讲质数与合数第25讲行程问题〔二〕第11讲分解质因数第26讲行程问题〔三〕第12讲最大公约数与最小公倍数〔一〕第27讲逻辑问题〔一〕第13讲最大公约数与最小公倍数〔二〕第28讲逻辑问题〔二〕第14讲余数问题第29讲抽屉原理<一>第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理<二>第1讲数字谜〔一〕例1 把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式的○内,使等式成立〔每个运算符号只准使用一次〕：〔5○13○7〕○〔17○9〕=12.例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中,使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568. 例3 在443后面添上一个三位数,使得到的六位数能被573整除.例4 六位数33□□44是89的倍数,求这个六位数.例5 在左下方的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表一样的数字,请你用适当的数字代替字母,使加法竖式成立.FORTYTEN+ TENSIXTY例6 在左下方的减法算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字.请你填上适当的数字,使竖式成立.练习11.在一个四位数的末尾添零后,把所得的数减去原有的四位数,差是621819,求原来的四位数.2.在如下竖式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表一样的数字.请你用适当的数字代替字母,使竖式成立：〔1〕 A B <2> A B A B+ B C A - A C AA B C B A A C3.在下面的算式中填上括号,使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9.4.在下面的算式中填上假如干个〔〕,使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8.5.将1～9分别填入下式的□中,使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634.6.六位数391□□□是789的倍数,求这个六位数.7.六位数7□□888是83的倍数,求这个六位数.第2讲数字谜〔二〕这一讲主要讲数字谜的代数解法与小数的除法竖式问题.例1 在下面的算式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表相例2 在□内填入适当的数字,使左下方的乘法竖式成立.□□□× 8 1□□□□□□□□□□□例3 左下方的除法竖式中只有一个8,请在□内填入适当的数字,使除法竖式成立.□8 □□□□>□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□例4 在□内填入适当数字,使小数除法竖式成立.例4图例5图例5 一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式〔1〕,这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式〔2〕,求这个五位数.练习21.下面各算式中,一样的字母代表一样的数字,不同的字母代表不同的数字,求出abcd与abcxyz<1>1abcd×3=abcd5 <2>7×abcxyz=6×xyzabc2.用代数方法求解如下竖式：3.在□内填入适当的数字,使如下小数除法竖式成立：□ 8 □ 7 □.□□□□□□□>□□□□□□□.□> □□□.□□> □.□□□□□□□□□□□□□ 8 □□□□□□□□□□□□□□□□ 0 0□□第3讲定义新运算〔一〕例1 对于任意数a,b,定义运算"*〞：a*b=a×b-a-b.求12*4的值.例2 a△b表示a的3倍减去b的1,例如根据以上的规定,求10△6的值23,x>=2,求x的值.例6 对于任意自然数,定义：n！=1×2×…×n.例如 4！=1×2×3×4.那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？例7 如果m,n表示两个数,那么规定：m¤n=4n-〔m+n〕÷2. 求3¤〔4¤6〕¤12的值.练习31.对于任意的两个数a和b,规定a*b=3×a-b÷3.求8*9的值.2.a b表示a除以3的余数再乘以b,求134的值.3.a b表示〔a-b〕÷〔a+b〕,试计算：〔53〕〔106〕.4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和,求8◎2的值.5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍,即m◇n=3m-2n.〔2〕x◇〔4◇1〕=7,求x的值.7.对于任意的两个数P, Q,规定 P☆Q=〔P×Q〕÷4.例如：2☆8=〔2×8〕÷4.x☆〔8☆5〕=10,求x的值.8.定义： a△b=ab-3b,a b=4a-b/a.计算：〔4△3〕△〔2b〕.9.： 23=2×3×4,45=4×5×6×7×8,……求〔44〕÷〔33〕的值.第4讲定义新运算〔二〕例1 a※b=〔a+b〕-〔a-b〕,求9※2的值.例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb,其中a,b为任意两个数,k为常数.比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k.〔1〕5⊙2=73.问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？〔2〕当k取什么值时,对于任何不同的数a,b,都有a⊙b=b⊙a,即新运算"⊙〞符合交换律？例3 对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为a☆b,即a☆b=[a,b]-〔a,b〕.比如,10和14的最小公倍数是70,最大公约数是2,那么10☆14=70-2=68.〔1〕求12☆21的值；〔2〕6☆x=27,求x的值.例4 a表示顺时针旋转90°,b表示顺时针旋转180°,c表示逆时针旋转90°,d表示不转.定义运算"◎〞表示"接着做〞.求：a◎b；b◎c；c◎a.例5 对任意的数a,b,定义：f〔a〕=2a+1, g〔b〕=b×b.〔1〕求f〔5〕-g〔3〕的值；〔2〕求f〔g〔2〕〕+g〔f〔2〕〕的值；〔3〕f〔x+1〕=21,求x的值.练习42.定义两种运算"※〞和"△〞如下：a※b表示a,b两数中较小的数的3倍, a△b表示a,b两数中较大的数的2.5倍. 比如：4※5=4×3=12,4△5=5×2.5=12.5.计算：[<0.6※0.5>+<0.3△0.8>]÷[<1.2※0.7>-<0.64△0.2>].4.设m,n是任意的自然数,A是常数,定义运算m⊙n=〔A×m-n〕÷4,并且2⊙3=0.75.试确定常数A,并计算：〔5⊙7〕×〔2⊙2〕÷〔3⊙2〕.5.用a,b,c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a表示顺时针旋转240°,b表示顺时针旋转120°,c表示不旋转. 运算"∨〞表示"接着做〞.试以a,b,c为运算对象做运算表.6.对任意两个不同的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a b.比如73=1,529=4,420=0.〔1〕计算：19982000,〔519〕19,5〔195〕；〔2〕11x=4,x 小于20,求x 的值.7.对于任意的自然数a,b,定义：f 〔a 〕=a ×a-1,g 〔b 〕=b ÷2+1.〔1〕求f 〔g 〔6〕〕-g 〔f 〔3〕〕的值；〔2〕f 〔g 〔x 〕〕=8,求x 的值.第5讲 数的整除性〔一〕1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ,b=c a ÷如此称a 能被b 整除或者b 能整除a ,记做b a |,否如此称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ,记做b | a .2、性质〔1〕如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除.〔2〕如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除. 〔3〕如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除.〔4〕如果一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个. 〔5〕几个数相乘,如果其中一个因数能被某数整除,那么乘积也能被这个数整除.整除的数的特征1、 被2整除特征：个位上是0,2,4,6,82、 被5整除特征：个位上是5,03、 能被3或9整除的数的特征是：各个数位的数字之和是3或9的倍数4、被4、25整除的数的特征：一个数的末2位能被4、25整除5、被8、125整除的数的特征：一个数的末3位能被8、125整除6、被7整除的数的特征 ：假如一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,如此原数能被7整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.7、能被11整除的数的特征： 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数<包括0>,那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如：判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法〞.8、能被13整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,如此原数能被13整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.如：判断1284322能不能被13整除. 128432+2×4=128440 12844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100 所以,1284322能被13整除.9、被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差〔大数－小数〕能被7、11、13整除,如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.例如：判断556584能不能被7整除 末三位584 末三位之前的数556,584-556=28 28能被7整除,所以556584能被7整除10、能被17整除的数的特征: 把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的5倍, 如果差是17的倍数,如此原数能被17整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.11、能被19整除的数的特征:把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的2倍, 如果和是19的倍数,如此原数能被19整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程 例1 在□里填上适当的数字,使得七位数□7358□□能分别被9,25和8整除.例2 由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？例3 有四个数：76550,76551,76552,76554.能不能从中找出两个数,使它们的乘积能被12整除？ 例4 在所有五位数中,各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？例5 能不能将从1到10的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？练习51.4205和2813都是29的倍数,1392和7018是不是29的倍数？2.如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少？3.173□是个四位数.数学教师说："我在这个□中先后填入3个数字,所得到的 3个四位数,依次可以被9,11,6整除.〞问：数学教师先后填入的3个数字之和是多少4、用1—6六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字.要求ab能被2整除,abc能被3整除,abcd能被4整除,abcde是5的倍数,abcdef是6的倍数.这样的六位数有几个？各是多少？5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分,总分A95B,这个班有多少名学生？6.能不能将从1到9的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？第6讲数的整除性〔二〕特殊的数——1001.因为1001=7×11×13,所以但凡1001的整数倍的数都能被7,11和13整除. 例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？例3 10□8971能被13整除,求□中的数.例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数.例5 如果41位数55……5□99……9能被7整除,那么中间方格内的数字是几？︸︸20个 20个判断一个数能否被27或37整除的方法：对于任何一个自然数,从个位开始,每三位为一节将其分成假如干节,然后将每一节上的数连加,如果所得的和能被27〔或37〕整除,那么这个数一定能被27〔或37〕整除；否如此,这个数就不能被27〔或37〕整除.例6 判断如下各数能否被27或37整除：〔1〕2673135；〔2〕8990615496.判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：为了表示方便,将个位是9的数记为 k9〔= 10k+9〕,其中k为自然数.对于任意一个自然数,去掉这个数的个位数后,再加上个位数的〔k+1〕倍.连续进展这一变换.如果最终所得的结果等于k9,那么这个数能被k9整除；否如此,这个数就不能被k9整除.例7 〔1〕判断18937能否被29整除；〔2〕判断296416与37289能否被59整除.练习61.如下各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205, 167128, 250894, 396500, 675696, 796842, 805532, 75778885.2.六位数175□62是13的倍数.□中的数字是几？ 3、七位数132A679是7的倍数,求A？4、六位数ababab能否被7和13整除？5、12位数aabbaabbaabb能否被7和13整除？6、33……3□88……8能被13整除,求中间□中的数？20个 20个7.九位数8765□4321能被21整除,求中间□中的数.8.在如下各数中,哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026, 1884924, 2175683, 2560437,11159126,131313555,266117778.9.在如下各数中,哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119, 55537, 62899, 71258, 186637,872231,5381717.第7讲奇偶性〔一〕整数按照能不能被2整除,可以分为两类：〔1〕能被2整除的自然数叫偶数,例如0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…〔2〕不能被2整除的自然数叫奇数,例如1,3,5,7,9,11,13,15,17,…整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的.相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶.因为偶数能被2整除,所以偶数可以表示为2n的形式,其中n为整数；因为奇数不能被2整除,所以奇数可以表示为2n+1的形式,其中n为整数.每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性.奇偶数有如下一些重要性质：〔1〕两个奇偶性一样的数的和〔或差〕一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和〔或差〕一定是奇数.反过来,两个数的和〔或差〕是偶数,这两个数奇偶性一样；两个数的和〔或差〕是奇数,这两个数肯定是一奇一偶.〔2〕奇数个奇数的和〔或差〕是奇数；偶数个奇数的和〔或差〕是偶数.任意多个偶数的和〔或差〕是偶数.〔3〕两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数.〔4〕假如干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数.反过来,如果假如干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数；如果假如干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数.〔5〕在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数.奇数肯定不能被偶数整除.〔6〕偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1.因为〔2n〕2=4n2=4×n2,所以〔2n〕2能被4整除；因为〔2n+1〕2=4n2+4n+1=4×〔n2+n〕+1,所以〔2n+1〕2除以4余1.〔7〕相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数.〔8〕如果一个整数有奇数个约数〔包括1和这个数本身〕,那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数.整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题.有些问题外表看来似乎与奇偶性一点关系也没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想方法编上,成为整数问题,便可利用整数的奇偶性加以解决.例1下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+…+1997+1998.例2 能否在下式的□中填上"+〞或"-〞,使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=36.例3 任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数.那么,这两个五位数的和能不能等于99999？例4 在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相频频握手.请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由.例5 五〔2〕班局部学生参加镇里举办的数学竞赛,每X试卷有50道试题.评分标准是：答对一道给3分,不答的题,每道给1分,答错一道扣1分.试问：这局部学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？练习71.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数,使这5个数的和等于22？2.任意交换一个三位数的数字,得一个新的三位数,一位同学将原三位数与新的三位数相加,和是999.这位同学的计算有没有错？3.甲、乙两人做游戏.任意指定七个整数〔允许有一样数〕,甲将这七个整数以任意的顺序填在如下图第一行的方格内,乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里,然后计算出所有同一列的两个数的差〔大数减小数〕,再将这七个差相乘.游戏规如此是：假如积是偶数,如此甲胜；假如积是奇数,如此乙胜.请说明谁将获胜.4.某班学生毕业后相约彼此通信,每两人间的通信量相等,即甲给乙写几封信,乙也要给甲写几封信.问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A市举办五年级小学生"春晖杯〞数学竞赛,竞赛题30道,记分方法是：底分15分,每答对一道加5分,不答的题,每道加1分,答错一道扣1分.如果有333名学生参赛,那么他们的总得分是奇数还是偶数？6.把如下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色.是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由.7.红星影院有1999个座位,上、下午各放映一场电影.有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影,那么一定有这样的座位,上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生,为什么？第8讲奇偶性〔二〕例1用0～9这十个数码组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数,那么这五个两位数的和最大是多少？例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2只杯子.能否经过假如干次翻转,使得7只杯子全部杯口朝下？例3 有m〔m≥2〕只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻转其中的〔m-1〕只杯子.经过假如干次翻转,能使杯口全部朝上吗？例4 一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,…,15页.如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？例5 有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子.阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子,假如摸出的两枚棋子同色,如此从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；假如摸出的两枚棋子异色,如此把其中白棋子放回大盒内.问：从大盒内摸了1999次棋子后,大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？例6 一串数排成一行：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数？练习81.在11,111,1111,11111,…这些数中,任何一个数都不会是某一个自然数的平方.这样说对吗？2.一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,…,17页.这17个故事有各种编排法,但无论怎样编排,故事正文都从第1页开始,以后每一个故事都从新一页码开始.如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3.桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下.如果每次翻转5只杯子,那么至少翻转多少次,才能使6只杯子都杯口朝上？4.70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行数的最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？5.学校组织运动会,小明领回自己的运动员后,小玲问他："今天发放的运动员加起来是奇数还是偶数？〞小明说："除开我的,把今天发的其它加起来,再减去我的,恰好是100.〞今天发放的运动员加起来,到底是奇数还是偶数？6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到88,66,99.问：原来写的三个整数能否是1,3,5？7.将888件礼品分给假如干个小朋友.问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？第9讲奇偶性〔三〕例1 在7×7的正方形的方格表中,以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子,要求每个方格中放置不多于1枚棋子,且每行正好放3枚棋子,如此在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子,这是为什么？例2 对于左下表,每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过假如干次后〔各次减去或加上的数可以不同〕,变为右下表？为什么？例3 如下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗？例4 如下图是由14个大小一样的方格组成的图形.能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？例5 在右图的每个○中填入一个自然数〔可以一样〕,使得任意两个相邻的○中的数字之差〔大数减小数〕恰好等于它们之间所标的数字.能否办到？为什么？例6 下页上图是半X中国象棋盘,棋盘上已放有一只马.众所周知,马是走"日〞字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半X棋盘上的每一个点,然后回到出发点？练习91.教室里有5排椅子,每排5X,每X椅子上坐一个学生.一周后,每个学生都必须和他相邻〔前、后、左、右〕的某一同学交换座位.问：能不能换成？为什么？2.房间里有5盏灯,全部关着.每次拉两盏灯的开关,这样做假如干次后,有没有可能使5盏灯全部是亮的？3.左如下图是由40个小正方形组成的图形,能否将它剪裁成20个一样的长方形？4.一个正方形果园里种有48棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成七行七列〔见右上图〕.守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏〔不许斜走〕,最后又回到小屋.可以做到吗？5.红光小学五年级一次乒乓球赛,共有男女学生17人报名参加.为节省时间不打循环赛,而采取以下方式：每人只打5场比赛,每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛.然后根据每人得分决定出前5名.这种比赛方式是否可行？6.如如下图所示,将1～12顺次排成一圈.如果报出一个数a〔在1～12之间〕,那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3,就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11,就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：a是多少时,可以走到7的位置？第10讲质数与合数自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：第一类：只能被一个自然数整除的自然数,这类数只有一个,就是1.第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数.因为任何自然数都能被1和它本身整除,所以这类自然数的特征是大于1,且只能被1和它本身整除.这类自然数叫质数〔或素数〕.例如,2,3,5,7,…第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数.这类自然数的特征是大于1,除了能被1和它本身整除外,还能被其它一些自然数整除.这类自然数叫合数.例如,4,6,8,9,15,…上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1,1既不是质数也不是合数.例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？例2 判断269,437两个数是合数还是质数.例3 判断数1111112111111是质数还是合数？例4 判定298+1和298+3是质数还是合数？例5 A是质数,〔A+10〕和〔A+14〕也是质数,求质数A.练习101.现有1,3,5,7四个数字.〔1〕用它们可以组成哪些两位数的质数〔数字可以重复使用〕？〔2〕用它们可以组成哪些各位数字不一样的三位质数？2.a,b,c都是质数,a＞b＞c,且a×b+c=88,求a,b,c.3.A是一个质数,而且A+6,A+8,A+12,A+14都是质数.试求出所有满足要求的质数A.5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数.6.判断266+388是不是质数.7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边,得到一个三位数,这个三位数是a的87倍,求a和b.第11讲分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成假如干个质因数乘积的形式,如果不考虑因数的顺序,那么这个表示形式是唯一的.把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数.例如,60=22×3×5, 1998=2×33×37.例1 一个正方体的体积是13824厘米3,它的外表积是多少？例2 学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的假如干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法？例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？例4 求72有多少个不同的约数.例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数.练习111.一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209分米2,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少立方分米？2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693,4年前他们的年龄都是质数.爷孙两人今年的年龄各是多少岁？3.某车间有216个零件,如果平均分成假如干份,分的份数在5至20之间,那么有多少种分法？4.小英参加小学数学竞赛,她说："我得的成绩和我的岁数以与我得的名次乘起来是3916,总分为是100分.〞能否知道小英的年龄、考试成绩与名次？5.举例回答下面各问题：〔1〕两个质数的和仍是质数吗？〔2〕两个质数的积能是质数吗？〔3〕两个合数的和仍是合数吗？〔4〕两个合数的差〔大数减小数〕仍是合数吗？〔5〕一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6.求不大于100的约数最多的自然数.7.同学们去射箭,规定每射一箭得到的环数或者是"0〞〔脱靶〕或者是不超过10的自然数.甲、乙两同学各射5箭,每人得到的总环数之积刚好都是1764,但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙各自的总环数.第12讲最大公约数与最小公倍数〔一〕如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数.如果一个自然数同时是假如干个自然数的约数,那么称这个自然数是这假如干个自然数的公约数.在所有公约数中最大的一个公约数,称为这假如干个自然数的最大公约数.自然数a1,a2,…,an的最大公约数通常用符号〔a1,a2,…,an〕表示,例如,〔8,12〕=4,〔6,9,15〕=3.如果一个自然数同时是假如干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这假如干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这假如干个自然数的最小公倍数.自然数a1,a2,…,an的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,an]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90.常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法.例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克.现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？例2 用自然数a去除498,450,414,得到一样的余数,a最大是多少？例3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少？例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线〔见下页上图〕,这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点〔横线与竖线的交叉点〕？例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒.三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会？例6 爷爷对小明说："我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过假如干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍.〞你知道爷爷和小明现在的年龄吗？练习121.有三根钢管,分别长200厘米、240厘米、360厘米.现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段,一共能截成多少段？2.两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数.3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数？4.大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长.亮亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印.问：这个花圃的周长是多少米？5.有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个.这堆桔子至少有多少个？6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车.第一条线路每隔5分钟发车一次,第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次.9点时三条线路同时发车,下一次同时发车是什么时间？7.四个连续奇数的最小公倍数是6435,求这四个数.第13讲最大公约数与最小公倍数〔二〕两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积.即,〔a,b〕×[a,b]=a×b.例1 两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72.其中一个自然数是18,求另一个自然数.例2 两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210.这两个自然数的和是77,求这两个自然数. 例3 a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c.要将它们全局部别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量一样.问：每瓶最多装多少千克？。
倍数问题教学设计
倍数问题（一）教学内容五年级奥数A版93-95页中的“王牌例题1-3”及完成“举一反三1-3”中9道练习题。
教学目标：知识和技能：过程和方法：情感态度与价值观：教学重点难点：教学过程：一、复习引入、板题。
同学们，我们在四年级奥数中已经学过了“和倍或差倍问题”，你们还记得解答“和倍或差倍问题”的计算公式吗？“陈子豪，你说……记得真好。
”解答和倍或差倍问题的计算公式分别是和÷(倍数－1)=较小数差÷（倍数－1）=较小数较小数×倍数=大数同学们学的真棒！有没有信心学好本节的学习内容呢？（稍微停顿）从同学们响亮的回答声中，老师听出了同学们的自信。
现在老师就带领大家再次走进“倍数王国”，更进一步认识倍数问题（板题）这就是我们这节课共同探讨的问题。
下面请同学们把书翻到93页，请看“王牌例题1”。
二．新授（一）学习例11、出示例12、检查自学情况，搜集预习中存在的问题。
师：课前已经让大家做了预习。
弄懂的请举手（请放下）有疑问的请举手……你说……谁还有什么问题？你问的很好：“为什么26-18=8cm。
就是余下的铁丝第一根比第二根多的长度呢？”“（3－1）表示的是什么？”3、教师释疑。
为了弄懂这2个问题，我们要学会画图分析，我们先用两条同样长的线段表示原来两根同样长的铁丝，虚线表示减去部分，实线表示剩余部分。
从图中我们一目了然的可以看出：第一根剪得短，第二根剪得长，第二根比第一根多剪26-18=8cm。
也就是余下的第一根比第二根长的长度。
“（3－1）表示的是什么？”因为从题中可知：“余下的铁丝第一根是第二根的3倍”，所以“（3－1）表示余下的铁丝第一根比第二根多的倍数”，再根据“差倍问题”求出这时剩下的第二根长度，最后加上26cm就是原来每根铁丝的长度。
4、知识小结。
谁还有什么问题？没有了…..没有的话，现在我们回头再看例1。
这是一道典型的倍数问题。
解答这类倍数问题时，要先确定“一倍数”，通常选用较小数作为“一倍数”。
演示文稿五年级奥数倍数问题
60
75
105 150 582
2Leabharlann 2255
5
5
3
3
3
3
3
你发现了吗？
能同时被2、5整除的数的特征：个位上是0。
能同时被2、3、5整除的数的特征：个位上是0，并且各个数位 上的数字的和能被3整除。
能同时被2、3整除的数的特征： 个位上是0、2、4、6、8，并且
各个数位上的数字的和能被3整除。
第八页，总共十二页。
例4：在235后面补上三个数字，组成一个六 位数，使它同时是3、4、5的倍数，并且要 求这个数最小，求这个六位数是多少。
填空：要想在235后补三个数既能被5又能被4整除，个位只能
（ ），填要0使这个数是4的倍数，那么（
末）两位，就末是两4的位数可
以（
），0题0,2中0,4要0,6求0,8这0 个数最小，所以百位数是（），然
第十一页，总共十二页。
例7：学校买来72只桶，共交了□67.9□元钱， (□内的数字辨认不清)请你算出每只桶要多 少元。
填空：把□67.9□元可以看成（□679□分），因为是72个桶的总价，所以 □679□一定能被72整除，又因为72=8×9，所以□679□能同时被（8和 9整除）。由8的倍数特征可知，79□应该能被8整除，□内应该填2，又 由于9的倍数的特征可知□+6+7+9+2=24+□能被9整除，因此前面□内
后还得照顾到0（），则末两位填（） 3
20
235020
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例5：如果五位数□436□是45的倍数，那么 这个五位数是多少？。
分析：我们可以把45（ 分解成）5，×9这个五位数要是45的倍数，就一定（ ），是5的既倍是5数又，是尾9的数倍可数以填（ ）。尾数填0，这个五0位或数5 □4360， 还要满足是9的倍数，4+3+6+0=13，万位上填（），就数字和是18， 满足题要求，5尾数填5，这个五位数□4365，还要满足数字和是9的倍数 ，4+3+6+5=18，18已经是9的倍数，所以万位上只能填9。
五年级升六年级暑假课程讲义第16讲——因数与倍数提升拓展专题 人教版
2021五年级升六年级暑假课程讲义第16讲——因数与倍数提升拓展专题一、用推理法解决一个数的因数问题：1.渗透两种数学思想：推理思想、化归思想。
2.学习两类思维方法：推理法、排除法。
[例]向阳小学的舞蹈队有42人，编舞时需要把他们平均分成若干个小队，每小队要求多于2人且少于8人，可以分成几个小队？有几种分法？[分析]每小队的人数应该是42的因数，由此推断每小队的人数可能是1，2, 3，6, 7，14, 21，42，其中1，2, 14, 21，42，不符合每小队要求多于2人且少于8人的要求，所以每小队只能是3人，6人， 7人。
[解答]42÷3＝14（个） 42÷6＝7（个） 42÷7＝6（个）答：可以分成14、7个或6个小队。
有3种分法。
[技巧]解决此类问题的关键是准确找出这个数的所有因数，再根据已知条件判断得出答案。
举一反三：1.五一班有48人，把他们平均分成若干小组，每小组要求多于2人且少于8人，一共可以分成几组？2.妈妈买来30个苹果，让琪琪把它们放在盘子里。
不许一个一个的拿，也不许一次拿完，要每次拿的个数相同，拿到最后一个也不剩。
琪琪共有几种拿法？每种拿法每次各拿几个？3.把36个乒乓球装在盒子里，如果每个盒子装球的个数同样多，且数量比2个多，比20个少，那么共有多少种装法？每种装法各需要几个盒子？二、列方程解答连续偶数的问题：1.渗透三种数学思想：化归思想、符号化思想、方程思想。
2.学习一类思维方法：推理法。
[例]五个连续偶数的和是60，你知道这五个连续的偶数分别是多少吗？[分析]因为这五个偶数是连续的，所以这五个连续偶数的关系就是后一个数比前一个数多2。
我们可以设最小的偶数是x，其他的四个偶数可以表示为x＋2，x ＋4，x＋6，x＋8，根据它们的和是60列方程解答。
[解答]设：这五个连续偶数分别是x，x＋2，x＋4，x＋6，x＋8，则x＋x＋2＋x＋4＋x＋6＋x＋8 ＝ 605x＋20 ＝ 605x ＝ 40x＝ 8x＋2＝10，x＋4＝12，x＋6＝14，x＋8＝16答：这五个连续的偶数分别是8,10,12,14,16。
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第16讲倍数问题（一）
一、知识要点
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。
二、精讲精练
【例题1】两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米？
【思路导航】由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。
因此，8÷（3－1）=4（厘米）。
就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26=30厘米。
练习1：
1.两个数的和是68
2.其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。
这两个加数各是多少？
2.两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。
两根绳子原来各长多少米？
3.一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。
原来两筐水果一共有多少个？
【例题2】甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。
原来甲组有图书多少本？
【思路导航】甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18本，则甲组仍是乙组的3倍。
事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。
因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12本，乙组原来有12＋6=18本，甲组原来有18×3=54本。
练习2：
1.原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。
原来二人各有多少张画片？
2.一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。
从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。
原来下层有多少本书？
3.幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。
原来买来苹果和梨共多少个？
【例题3】幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。
大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。
大班共有多少个同学？
【思路导航】因为苹果是梨的2倍，每组分3个梨和3×2=6个苹果最后就
一起分完。
可每组分4个苹果，少分6－4=2个，所以有8组同学，全班有7×8=56人。
练习3：
1.高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。
如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。
两种树苗原来各有多少棵？
2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。
如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。
两种树原来各的多少棵？
3.同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。
如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。
同学们把水果分给了几位老人？
【例题4】有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。
甲、乙两筐原来各有多少个桔子？
【思路导航】根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多8×2=16个橘子；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16＋13×2=42个。
因此，乙筐里还有42÷（2－1）=42个，原来乙筐里有42＋13=55个，甲筐里原来有55＋16=71个。
练习4：
1.甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。
原来两仓各存货物多少吨？
2.兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元；弟弟买了3支笔，每支笔1.2元，现在弟弟的钱是哥哥的3倍。
兄弟两人原来各有多少元？
3.学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；如果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半。
原定夏令营中男、女生各多少人？
【例题5】甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。
若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。
甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？
【思路导航】因为甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，如果每天乙粮库运30吨，甲粮库运出30×2=60吨，两粮库的粮食就会同时运完。
而实际上甲粮库每天只运出40吨，所以，每天就少运60－40=20吨。
80吨里包含有4个20吨，也就是已经运了4天，因此，甲粮库原有粮食40×4＋80=240吨，乙粮库原有240÷2=120吨。
练习5：
1.果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下24棵。
果园里有桃树和梨树各多少棵？
2.小朋友带着一篮桔子和苹果送给敬老院的老人们，每个老人分各3个苹果和5个桔子，最后苹果分完，篮子里还剩下7个桔子。
如果原来桔子的个数是苹果的2倍，那么，分给了几个老人？原来有多少个苹果？
3.甲、乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元钱时，两人余下的钱正好相等。
求甲、乙原来各存有多少钱？。