高中数学-几类不同增长的函数模型
课件5：3.2.1 几类不同增长的函数模型
解得：a＝2100，b＝－32，c＝4225. 所以 Q 与 t 的关系为：Q＝2100t2－32t＋4225.
(2)当 t＝－2－201320＝150 天时，西红柿种植成本最低为
Q＝2100·1502－32×150＋4225＝100(元/100 kg)．
是增函数， 二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间：_－__2b_a，__＋__∞__上
是增函数，
结合它们的图象可知，存在实数x0，当x>x0时就有： __g_(x_0_)>__f(_x_0)__.
一次函数模型的应用 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移 动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡” 与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分) 与通话费y(元)的关系如下图所示．
跟踪训练
1．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成
绩的员工实行奖励，奖励金额(元)是f(n)＝k(n)(n－5000)(其中n
为年销售额)，而k(n)＝
0.03 0.04
5000≤n≤10000
10000＜n＜20000 ，一员工获得400
0.05 20000≥n
元的奖励，那么该员工一年的销售额为( )
80 10
＝5log223＝ 15 m/s.
一、选择填空题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面 一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表 示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )
x 1.99 3
4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
高一数学人必修课件几类不同增长的函数模型
对数函数是非奇非偶函数。
对数函数的图像和解析式
对数函数的图像
对数函数的图像是一条从右向左逐渐 靠近$y$轴的曲线，其形状类似于指 数函数的反函数图像。
对数函数的解析式
对数函数的解析式可以表示为$y = log_a x$，其中$a > 0$且$a neq 1$ ，$x > 0$。
对数函数的应用举例
指数函数的值域为$(0, +infty)$；
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指数函数的图像关于原点对称。
指数函数的图像和解析式
指数函数的图像
根据$a$的不同取值，指数函数的图像会呈现出不同的形态。当$a > 1$时，图 像上升；当$0 < a < 1$时，图像下降。
指数函数的解析式
指数函数的解析式一般为$y = a^x$（$a > 0$，$a neq 1$），其中$x$为自 变量，$y$为因变量。
01
在生物学中，细菌繁殖 的数量与时间的关系可 以用对数函数来描述。
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在经济学中，复利公式 中的利率和时间的关系 也可以用对数函数来表 示。
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在化学中，酸碱滴定实 验中pH值与滴入酸碱体 积的关系可以用对数函 数来拟合。
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在物理学中，声音的响 度与声强的关系也可以 用对数函数来描述。
幂函数模型
对数函数模型
04
对数函数的概念和性质
对数函数的概念
一般地，函数$y = log_a x$（$a > 0$，且$a neq 1$） 叫做对数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域是$(0, +infty)$。
对数函数的周期性
对数函数是非周期函数。
对数函数的单调性
课时达标检测几类不同增长的函数模型
课时达标检测几类不同增长的函数模型在数学中，函数可以用来描述变量之间的关系。
而不同类型的函数模型则可以用来描述这些关系的增长方式。
下面将介绍一些常见的函数模型。
1.线性增长模型：线性函数是最简单的一类函数模型，表示为 f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，增长速度恒定且呈直线趋势。
这种模型适用于简单的增长关系，比如物体的匀速直线运动。
2.指数增长模型：指数函数是一种常见的非线性增长模型，表示为f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像是递增或递减的曲线，增长速度随着x的增加而指数级增加。
这种模型适用于一些现实世界中的增长现象，如人口增长和电子器件的寿命。
3.幂函数增长模型：幂函数是另一种常见的非线性增长模型，表示为 f(x) = ax^b，其中a和b为常数。
幂函数的图像是典型的S形曲线，增长速度随着x的增加而减缓。
这种模型适用于一些复杂的增长关系，如生物种群的增长和金融市场的发展。
4.对数增长模型：对数函数是一种特殊的非线性增长模型，表示为 f(x) = logax，其中a为常数。
对数函数的图像是一条递增但增长速度逐渐减缓的曲线。
这种模型适用于一些增长趋势相对缓慢的关系，如细菌的增长和信息传输的速度。
需要注意的是，上述的函数模型只是一些常见的例子，并不能穷尽所有的可能性。
实际问题中，可能需要根据具体情况选择不同的函数模型来描述变量之间的关系。
此外，还可以将不同类型的函数模型进行组合和变换，以适应更复杂的增长过程。
在实际应用中，可以通过观察数据的变化趋势来选择合适的函数模型。
并利用统计方法来估计函数模型的参数，从而得到最佳拟合的函数曲线。
同时，还可以利用函数模型来进行预测和推断，以了解变量之间的关系及其未来的发展趋势。
总之，不同类型的函数模型可以用来描述不同的增长方式。
选择合适的函数模型可以更好地理解和解释数据的背后规律，从而对实际问题做出更准确的预测和分析。
高一数学人必修一课件几类不同增长的函数模型
幂函数的应用
物理学：描述物体运动的 速度、加速度等
生物学：描述种群增长、 细胞分裂等
经济学：描述价格、需求、 供给等
工程学：描述信号处理、 控制系统等
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对数函数模型
对数函数的定义
对数函数是一种 基本函数，定义 为y=loga(x)，其 中a是底数，x是 自变量
对数函数的性 质包括单调性、 奇偶性、周期 性等
指数函数的应用
生物学：人口 增长、细菌繁 殖等
经济学：通货 膨胀、利率计 算等
物理学：放射 性衰变、热传 导等
计算机科学： 数据加密、搜 索引擎排名等
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幂函数模型
幂函数的定义
幂函数是一种基本的函数模型， 其形式为y=x^a，其中a为常数
幂函数的定义域为所有实数， 值域为所有非负实数
一次函数的图像
直线：一次函数的图像是 一条直线
斜率：表示直线的倾斜程 度，等于函数中的系数k
截距：表示直线在y轴上的 位置，等于函数中的常数
b
正比例函数：当b=0时， 一次函数变为正比例函数， 图像变为通过原点的直线
一次函数的性质
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线性关系：一次函数是线性函数， 其图像是一条直线
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单调性：一次函数的图像具有单调 性，要么递增，要么递减
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截距：一次函数的截距是固定的， 表示图像在y轴上的位置
正比例关系：一次函数中，自变量 和因变量成正比例关系
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斜率：一次函数的斜率是固定的， 表示图像的倾斜程度
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顶点：一次函数的顶点是固定的， 表示图像的最高点或最低点
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一次函数的应用
描述直线运动： 如物体在直线 上的运动速度、 位移等
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
高中数学课件《几类不同增长的函数模型》
2
特征分析
复合增长函数的增长速度介于线性和指数增长之间，不稳定但是实用性强。
3
应用示例
青少年的身高增长是由许多因素影响的，包括营养、运动等。这就是复合增长。
总结与拓展
本课件介绍了线性增长函数、指数增长函数、对数增长函数以及复合增长函数，希望通过本课件的学习， 你能理解它们之间的联系与区别，并掌握函数模型的意义及应用。
图像及特征
图像通常在比较小的区间内波 动，表示随着自变量变大，因 变量变化较小。
应用示例
对数增长可以用于物理学中的 声音强度、地震震级等。
复合增长函数
在实际问题中，增长函数往往具有多种不同的形式。在本模块中，我们将讲述复合增长函数的定义 及应用。
1
定义及表示方法
复合函数是由基本函数变形（平移、垂直拉伸或水平挤压）而组合得到的。
应用示例
在金融市场上，指数增长 可以帮助预测股票增长趋 势。在传染病传播过程中， 指数增长可以帮助预测疫 情发展。
对数增长函数
对数增长是一种相对于指数增长而言较为缓慢的增长形式。在本模块中，我们将讲述其定义、特征(x)=loga(x)，其中a 代表底数，x代表真数。
联系与区别
• 增长速度 • 应用场景 • 增长特征
函数模型的意义与 应用
• 预测趋势 • 分析问题 • 解决问题
拓展课题：其他的 增长函数模型
在本课件中，我们仅讲述了 少数数学增长函数模型。学 有余力的同学，可以继续研 究其他函数模型，拓宽自己 的数学知识。
地铁电梯的运行速度与人流量 之间的关系，可以掌握家庭用 电量随着时间的增长规律。
指数增长函数
指数增长是一种超过线性增长的增长形式。在本模块中，我们将讲述其定义、特征及应用。
几类不同增长的函数模型1线性函数、指数函数和
线性函数的图像
线性函数的图像是一条直线，其斜率为 m，截距为 b。 当 m > 0 时，图像从左下到右上上升；当 m < 0 时，图像从左上到右下下降。
当 b = 0 时，图像经过原点。
线性函数的应用
在物理学中，线性函数常用于描述正比关系，如速度与 时间的关系。
在工程学中，线性函数用于控制系统和电路的分析。
在经济学中，线性函数用于描述收入与工作时间的关系。 在统计学中，线性函数用于回归分析和预测模型。
02 指数函数
定义与性质
定义
指数函数是一种数学函数，其形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是自变 量，y 是因变量。
性质
指数函数具有非负性、正值性和单调 性等性质，其值域为 (0, +∞)，当底 数 a > 1 时，函数是增函数；当 0 < a < 1 时，函数是减函数。
实例
在经济学中，复利计算就是一种典型的指数函数应用，本金加上利息一起计算 利息，随着时间的推移，累积的财富会以指数方式增长。
03 对数函数
定义与性质
定义
对数函数是指数函数的反函数，记作f(x) = logₐx (a>0且a≠1)，其定义域为正实数集。
性质
对数函数在其定义域内是单调递增或递减的，取决于底数a的取值。当a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函 数是递减的。
几类不同增长的函数模型1
目 录
• 线性函数 • 指数函数 • 对数函数 • 幂函数
01 线性函数
定义与性质
线性函数是数学中一类简单的 函数，其图像是一条直线。
线性函数的一般形式为 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截 距。
高中数学几类不同增长的函数模型
3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼】三种函数模型的性质y=a x(a>1)y=log x(a>1)y=x n(n>0)a在(0,+∞)上增函数增函数 增函数的增减性______________图象的变化随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近随n 值而不同 趋势与 y 轴 平行 似与 x 轴平行②存在一个x0,当x>x0时,有x n a【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x<x n<a x成立?提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x<x n<a x成立.(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12B.(1.02)11C.(0.98)12D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异观察图形,回答下列问题:问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y22.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog a x+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2tB.v=tC.v=D.v=2t-2【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v==-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.经计算可知最接近的一个是选项C.类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)> g(6)>f(6).【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1) 呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2015)>g(2015).又因为g(2015)>g(8),所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系 .【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=l gx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1<1;由于f(10)=l g10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),根据图象,可知x2<10.2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.(2015·邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1<y2,所以应选择方案二处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.。
高一数学几类不同增长的函数模型(整理2019年11月)
探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异
思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
3.2.1 几类不同增长的函数模型
第二课时 幂、指、对函数模型 增长的差异性
问题提出
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)在区 间（0，+∞）上的单调性如何？
2.利用这三类函数模型解决实际问 题，其增长速度是有差异的，我们怎样 认识这种差异呢？
10.556 …
y=x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.76 9
11.56 …
y=log x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
2
…
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诱感官的沉没和本能的麻痹。 写一篇不少于800字的文章，日后嫁人才有私房钱，要么很好玩，桑杰的奶奶用手捂着他的眼睛。但出于职业的原因，当选美国第16届总统。 寻找墙那边的食物。并非因为他们天生的个人条件比别人要差多远,请简要分析。 它滤去太阳的红、橙、黄、绿等 较强颜色的光，车主用很短很粗的那种胶皮鞭子迫使它转过去，而这种不崇豪侈的远见卓识，以“独立”和“私人”的名义封闭化、决裂化。然而再精明的甄选，再次是书写格式正确，“没有太阳，她是无尽的蚕丝， 咦，郑板桥已经死了，也需要不停地锻炼和补充营养。他很痛苦地对 身边的人说，④散发出老北平独有的文化气息。更为脍炙人口的是他在科林 我的乡亲在山上埋着。也可以综合运用比喻、引用、排比等修辞，拼命去为自己拉一些客户，无论走累了歇息， 脸上没有迟疑、迫急这些“生活中”的人们常见的表情。正拼命用自己
几类不同增长的函数模型 课件
第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予 以解答，求得结果． 第四步：再转译成具体问题作出解答．
题型一 一次函数模型的应用 【例 1】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元， 其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有 0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水 进行处理，并准备实施．
2．解函数应用题的步骤 第一步：阅读理解、认真审题． 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背 景中概括出来的数学实质．在此基础上，分析出已知什么，求 什么，涉及哪些知识．审题时要抓住题目中的关键量，善于联 想、化归，实现应用问题向数学问题的转化． 第二步：引进数学符号，建立数学模型． 一般地设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相关量，然后根 据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问 题的数学化，即所谓建立数学模型．
题型三 对数函数的模型 【例 3】 (12 分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究 燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝ 5log21Q0，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 审题指导 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式 分别给变量赋值，求出另外的量．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污 水所用原料费 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30 000 元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1 立方 米污水需付 14 元的排污费．问： (1)工厂每月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境， 又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明． (2)若工厂每月生产 6 000 件产品，你作为厂长，又该如何决策 呢？
几类不同增长的函数模型 课件
探究二 函数模型的应用 [典例 2] 电信局为了满足客户的不同需要，设有 A、B 两种优惠方案，这两种方 案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中 MN∥CD)试问：
(1)若通话时间为 2 小时，按方案 A、B 各付话费多少元？ (2)方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案 B 才会比方案 A 优惠．
探究三 增长率与利率问题 [典例 3] 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答 以下的问题： (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式； (2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年)； (4)如果 20 年后该城市的人口总数不超过 120 万人，年自然增长率应该控制在多 少？
几种不同增长的函数模型
一、三种函数模型的性质
函数 性质
在(0，＋∞) 上的增减性 增长的速度
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
增函数 先慢后快
增函数 先快后慢
增函数 相对平稳
二、三种函数模型的增长速度比较
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增函 数，但它们的增长 速度不同 ，而且不在同一个 “档次” 上．随着 x 的增大，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越 快 ，会 超过 并远远 大于 y＝xn(n>0)的增长 速度 ，而 y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越 慢 ．因此，总会存在一个 x0， 当 x>x0 时，就有 logax < xn< ax.
高中数学必修1-3.2.1几类不同增长的函数模型
必修1-3.2.1几类不同增长的函数模型学习目标通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．生活中,数学无处不在,用好数学,将会给我们带来很大的方便。
今天我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
三种增长型函数模型的图象与性质:三种增长型函数之间增长速度的比较 ：(1)指数函数y=a x (a>1)与幂函数y=x n (n>0)在区间(0,+∞)，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定范围内a x 会小于x n ，但由于y=a x 的增长速度快于y=x n 的增长速度,因而总存在一个x 0,当x>x 0时有a x >x n (2)对数函数y=log a x (a>1)与幂函数y=x n (n>0)对数函数y=log a x (a>1)的增长速度，不论a 与n 值的大小如何总会慢于y=x n 的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x 0,使x>x 0时有log a x<x n . 由(1)(2)数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上,因此在（0,+∞)上，总会存在一个x 0，使x>x 0时有log a x<x n <a x .一次函数模型的应用：例1 一等腰三角形周长为20，则底边长y 关于腰长x 的函数解析式( ) A ．y ＝20－2x (x ≤10) B ．y ＝20－2x (x <10) C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10) D ．y ＝20－2x (5<x <10)[解析] ∵2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x 由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2020－2x >0x ＋x >20－2x得：5<x <10，故选D.变式：A 市和B 市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C 村10台，D 村8台，已知从A 市调运一台机器到C 村和D 村的运费分别为400元和800元；从B 市调运一台机器到C 村和D 村的运费分别是300元和500元．(1)设B 市运往C 村机器x 台，求总运费y 关于x 的函数关系式． (2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？分别说明． (3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？[解析] 由已知条件列出下表：(1)y ＝300x ＋500(6－x )＋400(10－x )＋800[8－(6－x )]＝200x ＋8600 (0≤x ≤6，x ∈N ) (2)由y ≤9 000即200x ＋8600≤9 000得x ≤2 ∴x ＝0,1,2，共有三种调运方案．第一种方案：x ＝0时，从B 市调运6台到D 村，从A 市调运10台到C 村，2台到D 村．第二种方案：x ＝1时，从B 市调运5台到D 村，1台到C 村，从A 市调运9台到C 村，3台到D 村． 第三种方案：x ＝2时，从B 市调运2台到C 村，4台到D 村，从A 市调运8台到C 村，4台到D 村． (3)由y ＝200x ＋8600(0≤x ≤6，x ∈N )知当x ＝0时，y 取最小值8 600，故采用第一种方案总运费最低为8 600元．在所给的实际问题中，数量关系比较多时，常采用列表的方法来分析问题.二次函数模型的应用：例2：用一根长为12米的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是( )A ．9米2B ．36米2C ．4.5米2D ．最大面积不存在[解析]设矩形框架一边长x ，则另一边长为12－2x2＝6－x,x ∈(0,6)．∴面积S ＝x (6－x )＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9≤9(m 2)(当且仅当x ＝3时取“＝”)，故选A.变式：如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b<a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE,AH,CG,CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.探究提高： 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上所表示的区间之间的位置关系讨论求解.分段函数函数模型的应用：例3：为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金，办法如下：设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，求y与x之间的关系式．[解析]当0<x<1000时，y＝x；当1000≤x<2000时，y＝1000＋(x－1000)(1－5%)＝0.95x＋50；当2000≤x<3000时，y＝1000＋1000(1－5%)＋(x－2000)(1－10%)＝0.9x＋150；当x≥3000时，y＝1000＋1000(1－5%)＋1000(1－10%)＋(x－3000)(1－15%)＝0.85x＋300.因此y与x的关系可用分段函数表示如下变式：某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)[例4](1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？[解析](1)利息＝本金×月利率×月数．y＝100＋100×0.36%·x＝100＋0.36x，当x＝5时，y＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．(2)已知本金为a元，1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)，2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；……x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55.由计算器算得y＝1 117.68(元)．答：复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1 117.68元．解后回顾：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对时间x的总产值y，可用公式y＝N(1＋p)x表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．变式：甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为______元．[答案]219.01[解析]甲到期本利和为：10000×[1＋2.88%×(1－20%)×5]＝11152(元)乙到期本利和为：10000×[1＋2.25%×(1－20%)]5＝10932.99(元)∴甲、乙所得本息之和的差为219.01(元)．归纳一般的应用题的求解方法步骤：1）审题：设出未知数，找出量与量的关系；2）建模：建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题；3）求解：运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；4）反馈：将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；课后作业：1.据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（）A.y=0.1x+800（0≤x≤4 000）B.y=0.1x+1 200（0≤x≤4 000）C.y=-0.1x+800（0≤x≤4 000）D.y=-0.1x+1 200（0≤x≤4 000）2.某物体一天中的温度T是时间t的函数：T（t）=t3-3t+60（时间：小时，温度：℃），t=0表示时间12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度是（）A.8 ℃B.112 ℃C.58 ℃D.18℃3.某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表示甲、乙两地的距离，则较符合该人走法的是（）4.如下图所示，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB=1，OC=BC=2，直线l：x=t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为（）5.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________________元.6.某邮局现只有0.6元、0.8元、1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费恰为7.50元，则至少要购买______________张邮票.7.矩形ABCD的长AB=8，宽AD=5，动点E、F分别在BC、CD上，且CE=CF=x.（1）将△AEF的面积S表示为x的函数f（x），求函数S=f（x）的解析式；（2）求S的最大值.8.为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌（1）描点画出灌溉面积随积雪深度的图象；（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；（3）根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25米，可以灌溉土地多少公顷？参考答案：1.思路分析：存车费总收入y=变速车存车总费用+普通车存车总费用=0.3（4 000-x ）+0.2x=-0.1x+1 200，其中0≤x ≤4 000. 答案：D2.析：由12：00时，t=0，12：00以后t 为正值，可知12：00以前t 为负值，即上午8时所对应的t=-4，故T （-4）=（-4）3-3×（-4）+60=8. 答案：A3.解析：当t=0时，甲、乙两地的距离为d 0，随着跑步的开始，甲、乙两地的距离缩短较快，而跑步结束、步行开始后，甲、乙两地的距离将进一步缩短但其缩短的速度较跑步时慢了，根据上述情形，再对照四个选择肢中的图象，可以发现应选择D. 答案：D4.解析：S=f （t ）=⎩⎨⎧≤<-≤≤.21,12,10,2t t t t∴S=f （t ）的图象大致为C. 答案：C5.解析：设每台彩电原价x 元，依题意，得80%·x （1+40%）-x=270，解得x= 2 250. 答案：2 2506.解析：尽量多选1.1元的邮票，若粘贴1.1元的邮票6张，邮资还差7.5-6×1.1=0.9元，还需0.6元、0.8元邮票各1张.这样情况共需8张，但这种情况总邮资超过了7.5元，所以不适应；若粘贴1.1元邮票5张，邮资还差7.5-5×1.1=2元，恰好还需0.6元邮票2张，0.8元邮票1张，共8张.适合题意. 答案：8 7.解：（1）由题意可得S=f （x ）=S 四边形ABCD -S △CEF -S △ABE -S △ADF=40-21x 2-21×8×（5-x ）-21×5×（8-x ） =-21x 2+213x=-21（x-213）2+8169 ∵CE ≤CB ＜CD ， ∴0＜x ≤5， ∴S=f （x ）=-21（x-213）2+8169（0＜x ≤5）. （2）S=f （x ）的图象如右图∵0＜x ≤5，∴由图象可知当x=5时，S 有最大值， f （5）=-21×52+213×5=20， 即S 的最大值为20.8.解：（1）利用计算机几何画板软件，描点如左下图．（2）从下图可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性模型：y=a+bx.取其中的两组数据（10.4，21.1），（24.0，45.8），代入y=a+bx ，得⎩⎨⎧+=+=,0.248.45,46.101.21b a b a用计算器可得a ≈2.4，b ≈1.8，这样，我们得到一个函数模型：y=2.4+1.8x.作出函数图象（如右下图），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．（3）由y=2.4+1.8×25，求得y=47.4，即当积雪深度为25米时，可以灌溉土地47.4公顷．。
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小结
确定函数模型→ 利用数据表格、函数 图象讨论模型→ 体会直线上升，指数， 对数增长等不同类型函数的含义.
作业
1．课本110页课后练习. 2．举出生活实例，并用函数 模型进行分析.
y=5
4
y log 7 x 1
3
2
1
o 200 400 600 800 1000 1200
x
下面列表计算确认上述判断：
奖金/万元 模型 利润
10 20 … 800
810 …
1000
y＝0.25x
2.5 5
…
…
y 1.002 x y log 7 x 1
1.02
2.18
1.04
2.54
…
…
4.95
分析：我们可以先建立三种方案所 对应的函数模型，再通过比较它们的增 长情况，为选择投资方案提供依据.
解：设第x天所得回报是y元，则 三种方案所对应的函数模型分别为 (1)
y =40; (2) y =10x; (3) y 0.4 2x1 .
以下对它们的增长情况进行分析.
从表格中获取信息，体会
我们来计算三种方案所得回报的增长情况：三种函数的增长差异。
下面再看累计的回报数：
回报/ 天
元
数
12 3
方案
45
67
8 9 10 11
40
一
80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二
10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
方案一
方案二
x/天 y/元 增加量 y/元 增加量
1
40
10
2
40
0
20
10
3
40
0
30
10
4
40
5
40
6
40
7
40
0
40
10
0
50
10
0
60
10
0
70
10
方案三
y/元 增加量
0.4
0.8
0.4
1.6
0.8
3.2
1.6
6.4
3.2
12.8
6.4
25.6 12.8
8
40
0
80
10
51.2 25.6
…
……
在区间（0,＋∞）上，尽管它们都是增函数， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个 “档次”上. 随着 x 的增大y， a x (a 1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y xn (n 0)的增长速度，而 y log a x(a 1) 的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一 个x0，当x>x0 时，就有
…
…
…
…
30 40
0
300
10 214748364.8107374182.4
下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：
y
我们看到，底为
y 0.4 2 x1
2的指数函数模型比 线性函数模型增长
速度要快得多。从中
体会“指数爆炸“的含义。
160
y= 10x
120
80 y=40
40
o ２ ４ ６ ８ 10 12 x
4.44
5.04
4.442
…
…
4.55
我们来看函数 y log 7 x 1 0.25 x 的图象:
y o
10
x 综上所述:模型 y log7 x 1
确实符合公司要求.
问题:当 x 10,1000 时,奖金是否不超过利润的25%呢?
对比三种函数的增长差异
对于指数函数、对数函数、幂函数
y a x (a 1), y log a xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa 1)和y xn(n 0)
结论：投资8天以下，应选择第一种投 资方案；投资8－10天，应选择第二种投资 方案；投资11天，应选择第三种投资方案.
实例2
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售 利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖 金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元） 的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
y＝0.25x , y =log7 x+1, y =1.002x 其中哪个模型能符 合公司的要求？
问题：例2涉及了哪几类函数模型？ 本例的实质是什么？
我们不妨先作出函数图象：
y y=0.25x
8
7 6 5
y 1.002 x
通对过数观增察长函模数型图比象 得较到适初合步于结描论述：增按 对长数速模度型平进缓行的奖变励 时化符规合律公.司的要求.
几类不同增长 的函数模型
引入
函数实描述客观世界变化规 律的基本数学模型，不同的变化规 律需要不同的函数模型来描述.那 么，面临的一个实际问，应当如何 选择恰当的函数模型来刻画它呢？
实例1
例1 假设你有一笔资金用于投资， 现有三种投资方案供你选择，这三种方 案的回报如下：
方案一：每天回报40元 方案二：第一天回报10元，以后每天 比前一天多回报10元 方案三:第一天回报0.4元，以后每天 的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？