山西省太原市2018届高三3月模拟考试数学理试题(一)含答案

太原市2018年高三模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21|log ,2,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A ． ()1,+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等比数列{}n a 中，2583218,S 3a a a a a =-=+，则1a =（ ） A ．12 B ．12- C. 29- D ．19- 6. 函数2ln xy x x=+的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，若a b +的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为（ ） A ． 4 B ． 2 C. -4 D ．-28.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足060AFB ∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 （ ）A ．2AB MN ≥ B ．23AB MN ≥ C. 3AB MN ≥ D ．AB MN ≥9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43 B ．83C. 2 D ．4 10.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，若()2,04f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，那么ω的取值共有 （ ）A ． 6个B ． 7个 C. 8个 D ．9个11.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ）A B C. 203π D12.设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ ） A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.92ln 21,10+⎛⎤⎥⎝⎦ D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.在多项式()()65121x y ++的展开式中，3xy 的系数为___________．14.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率e =___________．15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．16.数列{}n a 中，()()*110,121,2n n a a a n n N n -=--=-∈≥，若数列{}n b 满足811n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的最大项为第__________项．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+．（1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值；（2）若b =ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．（1）若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？ （2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为415，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望；附：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆ,niiinii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD PA BD ⊥． （1）求证：PB PD =；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为()21,0F ，点31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆方程；（2）若直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程． 21. ()()()()1,1,xf x a xg x ax e a R =-=-∈．（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切； （2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a 的范围．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11、12：BC 二、填空题15. 25 16. 6三、解答题 17.解：（1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=，cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=；由()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++，令sin cos t A A =+，原式21122t =+-， 当且仅当4A π=时，上式的最大值为52．（2）2221sin ,b 2cos 24S ac B a c ac B ===+-，即(2222,2a c ac ac =+≥≤+a c ==12MAX S =，周长L a b c =++=18.解：（1）6,146x y ==，经计算ˆ20,26ba ==，所以线性回归方程为ˆ2026y x =+， 当9x =时，y 的估计值为206元；（2）X 的可能取值为0，300，500，600，800，1000；()441601515225P X ==⨯=；()418300215345P X ==⨯⨯=；()2416500251575P X ==⨯⨯=；()111600P X ==⨯=；()2148002P X ==⨯⨯=；()2241000P X ==⨯=；所以X 的数学期望()600E X =． 19．解：（1）连接,AC BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形，∴,AC BD OB OD ⊥=， 又,PA BD PA ⊥⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC PA AC A = ， ∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥， 又OB OD =，∴PB PD =； （2）设PD 的中点为Q ，连接,AQ EQ ，则1//,2EQ CD EQ CD =， 又11//,22AF CD AF AB CD ==，∴//,EQ AF EQ AF =， ∴四边形AQEF 为平行四边形，∴//EF AQ ， ∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ PD ⊥，∵Q 是PD的中点，∴AP AD ==∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ CD ⊥，又,AD CD AQ AD A ⊥= ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥，又,BD PA BD CD D ⊥= ，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)((),,0,0,0,0,22BP A Q ⎛ ⎝⎭，∴,22AQ PB ⎛== ⎝⎭，∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ为平面PCD 的一个法向量．∴1cos ,2AQ PB AQ PB AQ PB==-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则1sin cos ,2AQ PB θ== ，∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π． 20.解：（1）()21,0F ，∴1c =，由题目已知条件知222219141a b a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2,a b =，所以22143x y +=； （2）由椭圆对称性知G 在0x x =上，假设直线l过椭圆上顶点，则(M ，∴85k N ⎛= ⎝⎭，))12:2,:2A M A N l y x l y x =+=-，∴G ⎛ ⎝⎭，所以G 在定直线1x =上．当M 不在椭圆顶点时，设()()1122,,,M x y N x y ，()224143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222343264120k xk x k +-+-=，所以22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++ ，()()121212:2,:222A M A N y y l y x l y x x x =+=-+-，当1x =时，1212322y y x x -=+-得()12122580x x x x -++=，所以()222222834641232250343434k k k k k k+--+=+++显然成立，所以G 在定直线1x =上． 21.解：（1）设切点为()00,x y ，则()()()0000000011,1xxxy a x ax e a x e x e =-=--+= ①，()y f x =和()y g x =相切，则()()()00001,1x x x x a g x a ax e a x e e e '==+-+-= ②，所以00000011x x xx e x x e e -+=+-，即0020x e x +-=．令()()2,10xxh x e x h x e '=+-=+>，所以()h x 单增．又因为()()010,110h h e =-<=->，所以，存在唯一实数0x ，使得0020x e x +-=，且()00,1x ∈．所以只存在唯一实数a ，使①②成立，即存在唯一实数a 使得()y f x =和()y g x =相切．（2）令()()f x g x >，即()()11xa x ax e ->-，所以11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 令()1x x m x x e -=-，则()2x xe x m x e+-'=，由（1）可知，()m x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞单增，且()00,1x ∈，故当0x ≤时，()()01m x m ≥=，当1x ≥时，()()11m x m ≥=， 当0a <时，因为要求整数解，所以()m x 在x Z ∈时，()1m x ≥，所以()1am x <有无穷多整数解，舍去； 当01a <<时，()1m x a <，又()()11,011m m a>==，所以两个整数解为0，1，即()()1211m am a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩， 所以2221e a e ≥-，即22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭，当1a ≥时，()1m x a <，因为()11,m x a≤在x Z ∈内大于或等于1， 所以()1m x a <无整数解，舍去，综上，22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭．22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为1x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a +-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94． 23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤；综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。