第2章 正投影法及点与直线的投影

b ″W c a″
″
a
X
′
c
′
b
′
Z
b″ c
″
O
a
″
Y
c
b
Y
a
◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影 上。 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段 相同的比例。即： AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb
定比定 理
判断点是否在直线上的方法。 ② a b ① c 在 a
b
a●
b
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
其投影特性取决于直线与三个投影面间的 相对位置。
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
2.1 投影法及其分类
2.2 点的投影 2.3 直线的投影
小结
2.1 投影法及其分类
投影法
物体 投影面 投射中心 投射线 投影
斜投影法
正投影法
中心投影法
平行投影法
投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上 得到图形的方法——投影法。
平行投影法
投 影 特 性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
●
判断方法：
▲x 坐标大的在左 ▲y 坐标大的在前 ▲z 坐标大的在上
b
●
Y
B点在A点之前、 之右、之下。
重影点：
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一点 时，则称此两点为该投影 面的重影点。
A、C为H 面的重影点
a
● ●
a
c●
●
c
a (c )
●
被挡住的投 影加( )
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
●
a
●
a′ c
b′
a″
●
b″
●
c b
a
c
O
●
c
●
b
b
判断点的投影是否在直线上一般只需观察 两个投影即可。但当直线是投影面的平行线， 且给出的投影又都平行于投影轴时：则需观察 第三个投影或应用定比定理。
例1：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影） 解法二： （应用定比定理）
●
c c
●
不在
b
●
a
●
c
b
a
b
◆若直线为一般位置, 则只需观察两个投影即可判 断点是否在直线上上。 ◆若点的两个投影将线段的同名投影分割成与空 间线段相同的比例，则点必在直线上。
判断点是否在直线上的方法。
③ a c b
●
a
●
不在 另一判断法?
c b
a c
应用定比定理
●
b
a c b a c
正平线 实长
b a γ a b a
侧平线
a β
实长
b
b
a
b
a
b
直线与投影面夹角的表示法： 与H面的夹角: 与V面的角:β 与W面的夹角:γ
⑵ 投影面垂直线 铅垂线
a
b a
●
正垂线
c(d) d c e
侧垂线
f e(f)
●
b d
●
a(b)
c
e
f
投影特性: ① 在其垂直的投影面 上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影， 反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b a
β
B
b
W
b a
X
Z
b a
γ
O
A
a H
b
a
Y
b a
Y
投影特性
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反 映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均 比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。
2.4 点与直线的位置关系
V
a′
c
′
b
C
′
B
A
aH
c b
Y
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax
a● az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
az
●
a
a●
三、两点的相对位置 两点的相对位置指两点 在空间的上下、前后、左右 位置关系。 X
a Z
● ●
a
●
b
●
b Y
o a
投影面垂直面
投影面平行面
正垂面 特 侧垂面 殊 铅垂面 位 置 正平面 平 侧平面 面 水平面
一般位置平面 与三个投影面都倾斜
⑴ 投影面垂直面 类似性
b a cc
β
b
类似性
a
铅垂面
积聚性
a 投影特性：
γ
b
c
是什么位置的 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 平面？ 为什么？ 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
k
a
●
k b
a
●
a k b b k a
●
●
●
b b k a
●
●
例2：已知AB的投影，C点将AB分成2:3两段， 求C点的投影
b
a c
●
b a
●
c
例3：已知AB的投影，试在该直线上取一点C 点使得AC=15mm， 求C点的投影 15m m a
b
●
c b
a
c
●
2.5 平面的投影
X
Z V a●
●
A
O
●
a
W
a● H
Y
投影面展开
不动 Z a
●
Z
V a
●
向右翻
V
az O
●
a
W X
az
●
X
ax a H
●
ay
Y
ax
a
A
O
●
a ay
W
ay
Y 向下翻
●
H
Y
a● X ax
Z a z O
a ●
Y X
Z V
a
●
az
●
ay
ax
A
O
●
a
W
a
●
Y
ay
a
●
ay H
点的投影规律: ① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz =y =Aa（A到V面的距离） aay=aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa（A到H面的距离）
2.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两 点的同名投影用直线连接，就得 到直线的同名投影。
a●
●
●
a
●
b
b
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A● M● B● A●
●
a● b
●
B ●
A●
●
B

●
a≡b≡m 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
●
a● 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
中心投影法
投射中心 投射线 物体 投影面 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投 影 特 性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距 离对投影的大小有影响。 度量性较差。
正投影法
直线的正投影
垂 直 平 行 倾 斜
投影积聚为一点
投影反映实长
投影长度改变
平面的正投影
垂 直 平 行
倾 斜
投影积聚为直线
一、平面的表示法 c c a a a
● ● ● ● ● ● ●
c
●
c
●
c
●
● ●
d a
●
a
●
● ●
b b
●
●
b b a
● ●
●
b b
●
●
b b
●
●
b b
●
a
● ●
a
c
●
不在同一 直线上的 三个点
直线及 线外一 点
c
●
c
d a
●
a c
●
c
两平行直 线
两相交 直线
平面 图形
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
实形性 投 影 特 性 ★平面平行投影面——投影反映实形性 积聚性 ★平面垂直投影面——投影积 聚成直线 类似性 ★平面倾斜投影面——投影类似原平面
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投 影面，倾斜于 另两个投影面 平行于某一投影 面， 垂直于另两个投 影面
⑵ 投影面平行面 积聚性
a a
b
c a c b 积聚性
实பைடு நூலகம்性
c
b
水平面
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投 影轴平行的直线。
⑶ 一般位置平面
b a c
b c a 投影特性：
三个投影都类似。
b
a c
小 重点掌握：