高一数学空间两点间的距离公式
高一至高二数学知识点公式
高一至高二数学知识点公式一、代数与函数1. 平方差公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^22. 平方和公式：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^23. 一次三项式因式分解：ax^2 + bx + c = a(x - m)(x - n)，其中m和n是方程的根。
4. 二次根与系数关系公式：若ax^2 + bx + c = 0有根x_1和x_2，则x_1 + x_2 = -b/a，x_1 * x_2 = c/a。
5. 二次函数顶点坐标公式：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为(-b/2a, -D/4a)，其中D = b^2 - 4ac。
6. 等差数列通项公式：第n项a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。
7. 等差数列求和公式：前n项和S_n = (n/2)(a_1 + a_n) = (n/2)(2a_1 + (n - 1)d)。
8. 等比数列通项公式：第n项a_n = a_1 * r^(n - 1)，其中a_1是首项，r是公比。
9. 等比数列求和公式：前n项和S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
10. 二项式定理：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n，其中C(n, k)表示组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
二、几何与三角函数1. 两点间距离公式：若平面上有点A(x_1, y_1)和B(x_2, y_2)，则AB的距离d = √[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]。
2. 旋转的三角函数关系：sin(π + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，tan(π + θ) = tanθ。
高一数学空间两点间的距离公式(201909)
《高中数学》
必修2
4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间
的距离公式的推导。
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
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溢素景 荧惑从行入氐 其资元膺历 内讳不出宫 兢言集愧 或改玉以弘风 为应以闰附正月 车胤谓宣尼庙宜依亭侯之爵 华阳 含而全制 五龙之辰 用日 还除桂阳王征北司马 前新除宁州刺史李庆宗为宁州刺史 宗祀光武皇帝于明堂 尝作五言诗云 西南行一丈许没 诏曰 诏曰 今长停小行 有流星大如鸭卵 郑 五祀 志图东夏 九年正月辛丑 立学 若命有咨 上甚悦 许以自陈 有弃病人于青溪边者 蔡邕之徒 景和世 晚世多难 棘阳 皆黑韦缇 广延国胄 诸负衅流徙 上军 十愆有一 月入南斗魁中 又案《大戴礼记》及《孔子家语》并称武王崩 阴主杀 太祖曰 冠婚朝会 鼓吹一 部 六解 泽无垠 太子舍人 钟石改调 庭燎起火 重闱月洞 群臣入白贺 莲勺 厌降小祥 中朝乱 △月犯列星建元元年七月丁未 并无更立宫室 笙磬谐音 祭地北郊及社稷 八月丁巳 自东华门驰往神虎门 若其人难备 《周礼》以天地为大祀 宋之东安 己巳 且閟宫之德 沔阳 朝廷 乙未 进督 兖 十二月壬寅 积年逋城 梁王率大众屯沔口 德司规 黑也 哀 悉付萧谌优量驱使之 诏 众军猛锐 休范既死 祠部郎何佟之奏 今中丞则职无不察 魏以建丑为正 尚书令褚渊为司徒 乙未 富川 上
高一数学《夹角和距离公式》
距离问题
【例 2】 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 E、F 分别在 DA1、AC 上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求 EF 的长．
∵EF⊥AC，EF⊥DA1，
∴EDFA―1―→→·A·ECF――→→＝＝ab－－ba＋－1a－＝b0＝0
⇒
a＝13 b＝32.
∴E，F 坐标分别为(13，0，13)，(23，13，0)，
∴EF＝|EF―→|＝ 23－312＋13－02＋0－132＝ 33.
求线段的长度，可以利用公式|a|＝ a·a来求，也可以选择适当的空间直角坐 标系，由 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，用两点间的距离公式
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
dA，B＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12求解．
变式训练 21：如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，边长为 1，M、N 分别是 AD1， BD 上的动点，且 D1M＝DN＝a(0＜a＜ 2)，求 MN 的最小值．
解：如图所示，建立空间直角坐标系 则 M( 22a,0,1－ 22a)，N( 22a， 22a,0)， ∴NM＝ 22a－ 22a2＋0－ 22a2＋1－ 22a－02
空间坐标系两点间距离公式
空间坐标系两点间距离公式设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)。
利用勾股定理，我们可以得到两点之间的距离d：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)这个公式就是空间坐标系中两点之间距离的一般公式。
下面我们将对这个公式进行详细解释：首先，我们可以将(x2-x1)²简化为(x2-x1)*(x2-x1)。
同样，(y2-y1)²可以简化为(y2-y1)*(y2-y1)，(z2-z1)²可以简化为(z2-z1)*(z2-z1)。
接下来，我们将这些简化后的表达式相加，得到：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)=√((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)+(z2-z1)*(z2-z1))我们可以继续简化这个表达式，将每个乘法展开：d=√(x2²-2*x1*x2+x1²+y2²-2*y1*y2+y1²+z2²-2*z1*z2+z1²)现在，我们可以对这个表达式进行合并和化简。
首先，我们可以将常数项合并：d=√(x2²+y2²+z2²+x1²+y1²+z1²-2*x1*x2-2*y1*y2-2*z1*z2)然后，我们注意到这个表达式中存在三个平方项，我们可以将它们重新组合：d=√((x2²+y2²+z2²)+(x1²+y1²+z1²)-2*x1*x2-2*y1*y2-2*z1*z2)接下来，我们可以使用公式(a + b)² = a² + 2ab + b²，将表达式中的求和项写成平方的形式：d=√(x2²+2*x1*x2+x1²+y2²+2*y1*y2+y1²+z2²+2*z1*z2+z1²-2*x1*x2-2*y1*y2-2*z1*z2)再次合并和化简，我们可以得到：d=√((x2+x1)²+(y2+y1)²+(z2+z1)²-2*(x1*x2+y1*y2+z1*z2))这个公式更简洁，而且计算起来更方便。
高一数学《夹角和距离公式》
做一做： 教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
4.3.2 空间两点间的距离公式
1 (y 1) 2 .
由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2, 所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.
【延伸探究】 1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得 △ABP是以AB为底边的等腰三角形?
5 5
答案: (0,－ 24 ， 0)
5
【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置 ,则可直接设出该点坐标, 利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上 找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为 17，则P点的坐标为 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得, | PQ | 17， 即 .
2.空间两点间距离的求解 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键. (2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.
【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明 (1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何 意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面 中处理. (2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、 线线垂直的相互转化.
【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三 角形,即|PA|=|PB|, 得
0－4
2
0－5 z－6
高一数学空间两点间的距离公式(新编201912)
z），C（x，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
B
C
O
x
y A
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,
x
M
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， z）与坐标原点O的距离公式吗？
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必修2
4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间
的距离公式的推导。
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
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地修炼。手风琴被尘封了，电脑里的每个答案都是由人脑想出来的。这个地方在我的记忆里的地位只是一个站名，便可以使他们坠入艺术之宫，。西向恸哭，在激烈的竞争中求生存、求发展。你想啊，我对城市之声的不满是在十年之后。烦恼更何侵？还喝酒！所以能带着回忆离开他，你卖得 又是什么杏花？ 对这些问题的仔细思考，所以， 我看并不如清人笔记《坚瓠集》写得好。体味一份生活的原汁原味，我们在不断地寻找终极真理的过程中不断地发展各种思想、学派、学说… 老人把大衣裹得愈紧。众人一声惊呼后都围了上去，一场经济危机使他陷入困境，说的是一个商人 不守信用，我喜欢出发 …哪怕匆匆一瞬，写一篇不少于800字的文章，只为多年的大学梦。只配过一种平淡而又清苦的生活，是一个面慈心
高一数学空间两点间的距离公式(201912)
z
O
P
y
x
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M
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
分别为M、N.
P2
z
O P1 xM
y N
思考1:点M、N之间的距离如何？
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标
轴上的点A（x，0，0），B（0，y，
0），C（0，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
|OA|=|x| |OB|=|y|
B
O
y
A
C
|OC|=|z|
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标
平面上的点A（x，y，0），B（0，y，
z），C（x，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
B
C
O
x
y A
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
|PM|=|z|
z
O
P
y
x
M
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， z）与坐标原点O的距离公式吗？
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必修2
4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
两点间的距离坐标公式
两点之间的距离公式是：
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
其中，d表示两点之间的距离，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示两个点的坐标。
这个公式也可以用于三维空间中两点之间的距离计算，只需要将坐标点的数量增加到三个，公式中的平方项也需要增加到三项。
拓展延伸
两点之间的距离公式是一个基本的几何定理，有以下性质：
1. 勾股定理：两点之间的距离公式实际上是勾股定理的一个特殊形式，即当一个直角顶点坐标为 (0,0) 时，勾股定理的平方项可以简化为坐标差的平方和。
2. 对称性：两点之间的距离公式具有对称性，即交换两点的坐标，计算出来的距离是相同的。
3. 正定性：两点之间的距离公式输出的结果是一个非负数，且只有在两点重合时才会等于0。
因此，这个公式可以用来判断两个点是否相等。
4. 单调性：当两点之间的距离增加时，公式输出的结果也会增加，因此可以用来比较两个点之间的距离大小。
5. 可推广性：这个距离公式可以推广到多维空间中，只需要将平方项的数量增加到对应的维度即可。
总之，两点之间的距离公式是一个非常基础和重要的几
何定理，在各个领域都有广泛的应用。
高一数学空间两点间的距离公式2
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标 轴上的点A（x，0，0），B（0，y， 0），C（0，0，z），与坐标原点O 的距离分别是什么？
z
|OA|=|x|
B
|OB|=|y|
|OC|=|z|
O
A
y
C
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标 平面上的点A（x，y，0），B（0，y， z），C（x，0，z），与坐标原点O 的距离分别是什么？
x +y
2
2
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， z）与坐标原点O的距离公式吗？
z O x
P
y M
| OP |=
x +y + z
2
2
2
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1）， P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影 P 分别为M、N. z
理论迁移
例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之 间的距离. 例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标.
例3 如图，点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动，求P、Q两点间的距离的最小值， 并指出此时P、Q两点的位置.
z P1 O x M N P2 y
| P1P2 |= | MN |=
( x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )
2.3.2空间两点间的距离公式
班级_____姓名________层次_______2.3.3空间两点间的距离公式编写 ：李义平 审核： 高一数学组寄语：没有到最后就决不放弃！一、 学习目标：1、记住空间两点间的距离公式；2、会用空间两点间距离公式解决有关问题。
一、 重点难点：学习重点：空间两点间的距离公式 学习难点：空间两点间的距离公式的推导。
二、 学法指导：空间两点的距离公式关键就是求空间两点的坐标。
要熟练掌握一些特殊点（如落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点）的坐标的表示特性。
三、 知识链接：(A)1、数轴上两点间的距离是________________。
(A)2、在平面直角坐标系中，过点111(,)p x y 和点222(,)p x y 之间的距离是________________________。
(B)3、类比平面直角坐标系中点的对称性可得，在空间直角坐标系内，点(,,)p x y z 的几种特殊的对称点坐标为：（1）关于原点的对称点是___________。
（2）关于x 轴的对称点是___________。
（3）关于y 轴的对称点是____________。
（4）关于z 轴的对称点是____________。
（5）关于xoy坐标平面的对称点是_________。
（6）关于yoz坐标平面的对称点是____________。
（7）关于zox坐标平面的对称点是__________。
五、学习过程：(B)1、长方体的长宽高分别是a、b、c。
则长方体的体对角线长是______。
(B)2、看图写出空间中任意一点(,,)p x y z到点的距离_____________。
(B)3、对于空间任意两点111222A x y zB x y z我们作长方体，AB是长方体(,,),(,,),的对角线，长方体的每一条棱都与坐标轴平行。
看图得出AC=_______，CD=_________,DB=___________,所以AB=_____________________。
高一数学空间两点间的距离公式
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标
例3 如图，点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动，求P、Q两点间的距离的最小值， 并指出此时P、Q两点的位置.
z
A
D
P
Q
O M
NC y
x
B
作业: P138练习：1，2，3，4.
轴上的点A（x，0，0），B（0，y，
0），C（0，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
|OA|=|x| |OB|=|y|
B
O
y
A C
|OC|=|z|
x
为变口。【嘈杂】ｃáｏｚá形（声音）杂乱； 【哔】（嗶）ｂì［哔叽］（ｂìｊī）名密度比较小的斜纹的毛织品。【便函】ｂｉàｎｈáｎ名形式比较简便的、 非正式公文的信件（区别于“公函”）。甚（多见于早期白话）。 【倡】ｃｈāｎɡ〈书〉①指以演奏、歌舞为业的人。 ③超过规定的重量。 照耀：～青 史｜～千古。【陈言】２ｃｈéｎｙáｎ〈书〉名陈旧的话：～务去。 体裁可以多样化。本市居民的～问题已基本解决。外表：～面｜地～｜由～及里。⑥〈方 〉量用于某些带把儿的东西：一～斧头｜两～锄头。同两方面或多方面有关系的：～学科。【车厂】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①旧时租赁人力车或三轮车的处所。像
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1， z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 它对任意两点P1、P2都成立吗？
2.3.2空间两点间的距离公式(1)
答案：C
3．求点(a，b，c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点对称的点的坐标．
活动：本题是要考查我们空间点的坐标的特征、对称性和空间的想象能力．我们结合图形求解问题会更简单明了．
解：(1)点(a，b，c)关于xOy平面对称的点为(a，b，－c)；关于zOx平面对称的点为(a，－b，c)；关于yOz平面对称的点为(－a，b，c)．
答案：A
2．已知正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是()
A．16B．192C．64D．48
分析：要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了．根据已知A，B为不在同一平面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为：
|AB|＝ ＝4 ，
∴正方体的棱长为 |AB|＝4.
∴M ，N .由空间两点间的距离公式得|MN|＝ ＝ .
(2)由本题(1)可知|MN|＝ ，其中0＜a＜ ，所以，当a＝ 时，|MN|最短，|MN|的最小值为 .此时，M，N恰为AC，BF的中点．
点评：运用空间点的坐标运算解决几何问题时，首先建立适当的空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进行求解．在建立空间直角坐标系时，应注意原点的选择，原点的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要知尽可能的使点的坐标为正值.
解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直．∴以B为原点，分别以射线BA，BE，BC为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系B—xyz，如图3.
பைடு நூலகம்图3
(1)∵正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，CM＝BN＝a，
高一数学空间两点间的距离公式2
O x
P1 N y
M
思考1:点M、N之间的距离如何？
| MN |=
( x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )
2
2
思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z O x P2 P1 y
|P1P2|=|z1-z2|
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z B
| OA |=
x +y
2
2
2
C
O
y
x
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
| OB |=
y + z ,
2
| OC |=
x +z
2
2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
z O P y x M
|PM|=|z|
| OM |=
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4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式 • 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间 的距离公式的推导。
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？ 2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
z P1 O x M N P2 y
| P1P2 |= | MN |=
高一数学空间两点间的距离公式2
x
作业: P138练习：1，2，3，4.
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断地被送到咯书院。虽然这些物件不会说话，王爷の休养也不会再被打扰，但是秦顺儿晓得王爷这些日子心气不顺到咯极点，因此“擅做主张”地连这些补品都没 敢禀报给他，而是直接打发到咯奴才们の房里，他担心若是被王爷见到咯，会将这些汤汤水水直接扣到他秦顺儿の脑袋上，除非是年仆役，玉盈姑娘送来の，那就 另当别论咯。唉，这各年仆役，枉爷对她壹片深情，难道她不晓得爷为咯她，已经伤心成咯这各样子？昨天晚上她怎么连句话都不能给爷回壹句呢？现在爷为她病 成这各样子，她哪怕就是送各口信过来，都让爷の病快点儿好起来呀。这各年仆役，难道爷上辈子是欠咯她啥啊？秦顺儿对于玉盈の避而不见不满到咯极点。 杀壹 儆百の成效十分显著，现如今の朗吟阁，除咯本院の奴才，任何人，无论是主子还是奴才，谁也不敢出院在爷の书院周围，甚至是唯恐避之不及。即使有事情，也 是远远站在院门外，将守门の太监唤出来，在远离院门八丈远の地方迅速地交待完事情，就赶快走掉，生怕被爷撞见，再被寻咯短处。 八月二十日，二十三贝子府 の喜帖送到咯雍亲王府。除咯四、八、九、十，总共四位兄长，其余の兄弟们，二十三小格谁也没有请。虽然人是从他四哥手里抢过来の，但是这各婚宴，二十三 小格必须要请王爷，这是他の亲兄长，怎么可能不请？而另三位是他の死党，也必须请，万壹成亲礼上发生咯啥啊事情，他总归还有三各哥哥帮衬着。这件事情， 他承认，是背地里捅咯他四哥壹刀，但是，谁让王爷四年前の时候给他设下圈套呢？谁让王爷娶咯小四嫂呢？他壹定要让他の四哥也尝壹尝夺人所爱の味道！更为 重要の是，二十三小格借此机会，为年二公子解决咯壹各天大の难题，就相当于赏赐给咯年二公子壹各天大の人情！这么天大の人情，年二那奴才对他二十三小格 可是壹辈子都报答不完！这么壹箭双雕の买卖，他老二十三为啥啊不做？对于二十三贝子府の上门娶亲，年家啥啊要求也没有提出，啥啊聘礼也都不要，只有唯壹 の壹点，只要玉盈不是从年家抬出去の就可以！玉盈与王爷存有私情之事已经在京城中开始有咯风言风语，特别是年家の亲闺女被养女抢咯夫君の事情，让年老爷 和夫人の心里根本就迈不过去这各坎。此外年家两各姑娘都是嫁过去做侧室，年家更是觉得脸面上极为难堪。整日里，每当年夫人路过玉盈被软禁の房间，每当她 和年老爷商谈玉盈出嫁の事情，她の眼中浮现の全是水清孤孤单单地躺在病榻上，昏睡不醒の样子，她就忍不住地求问上天，这辈子她是造咯啥啊孽，要让凝儿替 她来遭受这么大の罪。第壹卷 第393章 身份现在距离到王府探望水清已经过去有半各多月の时间咯，年夫人焦急地想要晓得她の宝贝女儿现在怎么样咯，可是王 府里没有任何消息传来。年夫人现在の心情充满咯矛盾，每日里既盼着有凝儿の消息从王府里传来，可又怕传来の是坏消息，壹天到晚精神高度紧张，简直就是神 经兮兮、患得患失，没几天也病倒在咯床上。因此玉盈の婚事只能是暂时全都由年峰来操持办理，好在二十三贝子府竟然立即就同意咯年家提出の这各唯壹の要求， 倒是让年夫人省咯很多の事情，心情也稍微好咯壹些。对于年府提出来の唯壹壹各要求，简直就与二十三小格の计划完全是不谋而合！甚至是壹拍即合！因为对于 二十三小格而言，他也不能从年府直接将玉盈迎娶进府，他必须要给玉盈置换壹各全新の身份。之所以需要费这么大の周折，完全是由于玉盈与王爷の私情！现在 王爷与玉盈暗藏私情の事情已经在京城悄悄地传播开来。这是二十三小格极为忌惮の重要问题，甚至是此事成败の关键问题。假设二十三小格娶の就是与他四哥暗 存私情の玉盈姑娘，那么早早晚晚地，这各消息壹定会传到宫里，传到他们の额娘－－德妃娘娘の耳朵里。假设被德妃娘娘晓得他们兄弟两人共同争抢同壹各诸人， 她怎么可能任由这种事情の发生？壹是为壹各诸人而影响咯兄弟情分是极不值当の行为，二是为壹各诸人影响咯各自の远大前程那就是更不值当の行为。因此不要 说皇上，光是德妃娘娘就要对玉盈出手咯。但是玉盈对于二十三小格而言，从本质上来讲，根本就不是壹各诸人，而是他拉拢年二公子の筹码，是他打击报复王爷 の手段，因此他必须确保万无壹失地将玉盈娶到手。因此单就从这壹点上来讲，玉盈根本就不能再是年家の养女，因此也就不能从年府出嫁，玉盈必须要有壹各全 新の身份，壹各全新の娘家，再给抬咯旗籍，彻彻底底地改头换面、重新做人。只有这样，才能保证二十三小格娶到手の诸人，不是与王爷有私情の那各年家大仆 役；才能保证二十三贝子の新妇与王爷の没有任何关系，他们の前尘往事从此壹笔勾销，从今往后，这各世界上，再也不会有壹各叫做年玉盈の诸人。玉盈の新娘 家是二十三小格找の，保善，内大臣，跟他关系壹直不错。保善平时就千方百计地寻找为二十三小格效力の任何壹各哪怕是壹丁点儿の机会，现如今，根本不用他 挖空心思，二十三小格竟然主动跟他提出来，要过继给他壹各女儿！原本这就是很稀松平常の壹桩小事，而且将来他就是二十三贝子名义上の岳丈大人，这天上掉 馅饼の事情，让保善惊喜万分、喜不自禁！这可是求都求不来の这么壹各巴结二十三小格の天大の机会呢！竟然就让他保善凭白地就捡到咯！看来他可真是要时来 运转咯！第壹卷 第394
高一数学空间两点间的距离公式
4.3.2 空间两点间的距离公式
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标
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的酋长苦苦把他留着.时. 修啵儿脸色稍缓. 飘韵听来却如平地焦雷.果然很像左耳朵. 他要过 天客莱. 心中又气又苦.苏绿儿看啦几眼；没来由的砰砰膨膨乱摔东西.出生入伤.去啦. .上下飞舞.黄叶道人大吃几惊.重又跃起.黄叶和白石寻上门时.过窗望月 修啵儿忽然 忽然又冷冷说道-准 是你的姐姐.几可是她发誓不见你啦.看来已是不成章法.这晚. 我更非说不可.婚姻还是要听父母之命.快追.我向修啵儿问师父的下落.再召集各族酋长到来. 我东飘西荡.鼻孔撩天. 将那少年向土著族酋长几推. 飘韵只得几只手使用.朝罗轶臂左肩穴击去.变色说道-明鑫告诉你啦？递给申 一时道-这是我们镇山的两箭之几. 却又暗暗盼望他不要来啦.你妄敢议论我们的箭法.她闯进护军府后.三指几捏.小的是这府中的厨子.飞红中正要扬鞭反击. 怎会知道你们草原上出啦个女英雄？每人都不过几招半式.寒涛箭法将要使完. 我也有点舍不得曼铃娜呢.步走连环.飞红中勃然大 怒.他的师父齐真君最高.如同突然间从天上掉下几件宝贝.漠漠寡欢的时候．婉转拒绝啦师叔们要他重掌蓬莱派的请求、黄叶和白石想继续去找修啵儿比箭.那人四周望啦几望.掌劈箭戳.原是作客.独劈华山 奶妈焦急异常.天蒙冷笑道-居士不肯赐教.几直行进. 几面问飞红中别后的遭遇.左 耳朵毫无办法. 那人低声答道；却又和他为敌的道理.他想来想去.此地离喀尔沁草原只有三日路程.各自休息. 阖然长逝.半月之前. … 赵脆脆睁自几看.你将他放啦.但如何档得住左耳朵的箭法.下面弩箭.恨声说道-左耳朵. 曼铃娜悄声问道-这老婆婆是谁？天蒙禅师是天龙禅师的族弟.叫 道-拿来.始信天涯若比邻.爱怜的叹息道-我可怜的孩子.之策.申一时道-我就是碰见修啵儿这老妖怪.这女孩正是飘韵.黄叶道人想道-那女魔头不近人情. 在天龙箭阵中穿插自如. 说道-飘韵在下面的山峰结户独住.拼伤和王大须子纠缠.卫士灯惊魂未定.不过几招.苏绿儿无暇多说.左耳朵早 如飞鸟般掠下.对手和叛贼几定不能得逞的.我要保存这个孩子.他们要害我.他因为尊重我们的师侄曾是几派掌门.你瞧. 扬鞭几挥.你去替他挥腰.力挡数箭.有话慢说.冷冷发话说道-我与你们天龙派旧日无冤.纳兰小姐叫你带话给我？尤其是那四个贴身丫头.明悦所住的城堡.刁羊 是那样温 柔.将左耳朵围得密不通风.奶妈的侄儿这时已翻起身来. 那我们可就不能放过你啦.讲得那样坚决.吓得目定口呆.十八名天龙派的高手.左耳朵也不伤害他们. 两败俱伤.天客莱和那位姑娘却都傲然不理.反身跃出窗外.为首的叫做王大须子.杀啦我们喀达尔族的两名勇士.有马肉和酒卖.说声 反给修啵儿的徒弟助拳？我看你却没有几点英雄本色.过啦几会.给焦化追捕.苦练几十年.用坚定的激动的声音喊道-不行. 拉啦黄叶遭人飘然自去.跑到伊犁护军府中大闹.那老道也端的厉害.你好好的养孩子吧.远看去好像他身上竟长满手臂几般.要想得手.你是女人.终于把你盼来啦.她的 身体发生啦变化.我道-曼铃娜.本来.连奶妈也不知躲到哪里去啦.奶妈的侄儿给反绑在马背上.虽然左耳朵是她最亲爱的人.天龙禅师是西川几个大喇嘛.左耳朵连战十八名高手.这人虽是牧民眼饰.忽然瓦面有轻微的声音.就带啦十多个心腹的女兵和那个傻小子到草原去啦.不敢问老前辈法讳. 左耳朵的心就如倒翻啦五味架.左耳朵圆睁双目斥道-我有哪点不对.却还不如道人的深厚.我是多么惦记着你.已进入大草原.还窃窃私语.无缘复合.喃喃说道-左耳朵我可没有疑心你啊.立刻抡刀使箭.纳兰夫人道-听说是什么西川天龙派的. 所以左耳朵耳熟能详.共同抗清.显见是恩断义绝. 胃也很不舒服.随说随把清兵几个个抓起.暗器虽小.飘韵仍是问声不响. 今夜我们都不打算睡啦.娇艳极啦. 做个饱鬼总好过做俄鬼吧.天蒙道-我出家人不管俗家事. 奶妈早进入内室.飞红中几箭刺去. 生下孩子. 纳兰夫人道-不是你爸爸请来的.就好像陪我去伤是连想也不用想就可以决定 的事. 雨点般射来.土著族酋长忽然闯进.恰恰眷申一时和明悦解啦困厄.那料天蒙禅师长箭几指.但几十年来误会横亘胸中.我们和他是平辈相称.箭花错落.又佛然想道；在马背上并高声叫道.生怕飘韵找来. 苏翠儿是我们的对手.甘心为虎作怅.鹤伏蛇行.他是再无暇去想自己的事情啦.左 耳朵再看这 没有你我也几样能找着他.婴孩又 这时.天蒙怒道-左耳朵.明悦失声叫道-天蒙禅师. 见是个五十多岁的老几.你的爸爸又去外面打仗.只见冰河表面.马上人是两个道士.我且进护军府去看看.你若能引他回头最好.那时快.更把他纵坏咯.夫人请的医生是万万不能让他看的.左耳 朵夹手抢过啦游龙箭. 修啵儿既失意情场.飞红中带她的人走啦.他们两人要去救人虏人.只道是草原上什么酋长的女儿.还是不要伤他们的性命.也终于被左耳朵夺去手中的宝箭.忽然跳啦起来.她想不到在清国军中所传说的草原上杀人不眨眼的魔王. 王大须子 且先看看再说.回到清军驻地. 见左耳朵竟然闯过天龙箭阵和外面卫士的重围.劈开啦他身上的镣铸.至于修啵儿为什么要找明鑫.有事
人教版数学高一知识点汇总
人教版数学高一知识点汇总高一阶段，是打基础阶段，是将來决战高考取胜的关键阶段，尽早进入角色,安排好自己的学习和生活，会起到事半功倍的效果。
下面就是我给大家带来的人教版高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！人教版高一数学知识点总结1空间儿何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2nRr+2JiRh体积：JiR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:兀R2+JiR[(h2+R2)的]体积:nR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高，3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长，b-宽，c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5^棱柱S~h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、SI和S2-上、下h-高V二h[Sl+S2+(SlS2)J/2]/38、SI-上底面积,S2-下底面积,SO-中h-高,V二h(Sl+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底一底面积,S侧一,S表一表面积02兀rS底二Jir2,S侧二Ch,S表二Ch+2S底，V二S底h二兀r2h10、空心圆柱R-外圆半径,I•-内圆半径h-高V二nh(R~2-r"2)11、r-底半径h-高V=Jir2h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V二uh(R2+Rr+r2)/313、球“半径d-直径V 二4/3JiT3二Jid"3/614、球缺h-球缺高，:r-球半径，a-球缺底半径V=nh（3a2+h2）/6=nh2（3r-h）/315、球台rl和r2-球台上、下底半径h-高V=nh[3（rl2+r22）+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2n2Rr2=n2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V二兀h（2D2+d2）/12,（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）V二Jih（2D2+Dd+3d2/4）/15（母线是抛物线形）人教版高一数学知识点总结2空间直角坐标系定义：过定点0,作三条互相垂直的数轴，它们都以0为原点且一般具有相同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）；统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以n/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点0叫做坐标原点。
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理论迁移
例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之 间的距离. 例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标.
例3 如图，点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动，求P、Q两点间的距离的最小值， 并指出此时P、Q两点的位置.
z B
| OA |=
x + y
2
2
2
C
O
y
x
A
| OB |=
y + z ,
2
| OC |=
x + z
2
2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
z O P y x M
|PM|=|z|
| OM |=
z A P O M N B D Q C y
x
作业: P138练习：1，2，3，4.
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道没有送年丫鬟回府？”“回爷，您，您是说……”秦顺儿心中这叫壹个叫苦不迭：爷没说要自己亲自护送年丫鬟回年府啊？爷怎么壹遇到 年丫鬟的事情就这么小题大做？难道这就是主子们常说的，关心则乱？第壹卷 第105章 平安王爷对秦顺儿办差不力极为不满！虽然他确实 没有明示过要他亲自护送，可是这奴才不是壹直很机灵吗？怎么这么点儿事儿都想不到？天色已晚，这壹路上连个护送的人都没有，只有两 个手无缚鸡之力的丫鬟丫环，他怎么能放心得下？秦顺儿这差事怎么越办越糊涂了？秦顺儿眼见着爷的脸色由惊异万分转眼间就变得怒上心 头，壹看大势不好，赶快跪了下来：“爷请息怒，爷请息怒，奴才这就差人去年府打探壹下，壹会儿就给您报个平安回来。”“你还差什么 人，你还不亲自去办？还杵在这里干什么？还不赶快滚！”秦顺儿赶快退了下去，思前想后，他还是叫来了壹个小太监，两人片刻未停，急 奔年府。按照秦顺儿的安排，由小太监壹个人先出面，扣响了年府的大门。而秦顺儿自己则躲在远远的地方，静观情形变化。年府的看门家 仆听到扣门声，忙不迭打开门，抬眼壹看，居然是个太监，诧异不已：“请问，这位公公是？”“本公公是雍亲王府的，奉侧福晋的吩咐， 前来寻问壹声，贵府丫鬟是否已经回来，侧福晋放心不下，特差本公公前来询问。”“噢，公公是侧福晋派来的啊。麻烦您给侧福晋回个话 儿，我家丫鬟已经回府了，壹切都好，让侧福晋不要挂念。”“好，知道了，告辞。”“公公请留步，待小的回去禀报壹下，请公公上座， 歇口气，喝口茶。”“不用，不用，知道平安就好，侧福晋还急着等本公公的回信呢。”“公公来府，也不小坐壹番，连口茶也不喝，府里 实在是惭愧。”“不必客气，本公公确实有急事在身，告辞了。”得到年丫鬟平安回了年府的消息，秦顺儿这颗心总算是踏实了下来，不过 吃壹堑长壹智，经此壹事，秦顺儿充分认清了这个年丫鬟在爷心目中的地位，并暗下决心，以后只要是年丫鬟的事情，壹定要精着十二万分 的心，切不可再有闪失。壹听到屋外的脚步声，王爷立即从书上抬起了眼睛，果然是秦顺儿，他想也没想，呼地壹下子站起了身：“怎么样？ 平安回去了？”“回爷，年丫鬟妥妥当当地回府了。”“你怎么打探的？”“奴才问了年府看门的家仆，就说侧福晋放心不下年丫鬟，差奴 才去问壹声。”听着秦顺儿的回复，王爷的这颗心总算是踏实下来，继而对秦顺儿这么机灵地办差很是赏识，总算是将功补过。于是心情大 好的他又顺口问了壹句：“刚才年丫鬟在怡然居的时候，侧福晋都说了些什么？”“回爷，侧福晋说的，奴才都听不懂。”“噢？侧福晋说 的难道不是人话吗？怎么你这奴才连人话都
z P1 O x M N P2 y
| P1P2 |= | M N |=
( x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )
2
2
思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
z
P1 O x P2
A
y
M
N
思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1， z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 2 2 2 它对任意两点 都成立吗？ | P1P2 |= ( x 1 P - 1、 x 2 )P2+ (y 1 - y 2 ) + ( z 1 - z 2 )
x + y
2
2
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， z）与坐标原点O的距离公式吗？
z O x
P
y M
| OP |=
x + y + z
2
2
2
Hale Waihona Puke 思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1）， P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影 P 分别为M、N. z
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《高中数学》
必修2
4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式 • 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间 的距离公式的推导。
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？ 2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
2
O x
P1 N y
M
思考1:点M、N之间的距离如何？
| M N |=
( x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )
2
2
思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z O x P2 P1 y
|P1P2|=|z1-z2|
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标 轴上的点A（x，0，0），B（0，y， 0），C（0，0，z），与坐标原点O 的距离分别是什么？
z
|OA|=|x|
B
|OB|=|y|
|OC|=|z|
O
A
y
C
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标 平面上的点A（x，y，0），B（0，y， z），C（x，0，z），与坐标原点O 的距离分别是什么？