高考数学(人教a版,理科)题库：指数与指数函数(含答案)

第4讲 指数与指数函数
一、选择题
1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )
解析 y ＝a |x |＝⎩⎨⎧ a x x ≥0，a －x x ＜0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图像
相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确． 答案 B
2．已知函数f (x )＝
⎩⎨⎧ log 3x ，x >02x x ≤0
，则f (9)＋f (0)＝( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
解析 f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1，
∴f (9)＋f (0)＝3.
答案 D
3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点，则这个定点的坐标是
( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－12. 答案 C
4．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，
如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x 的值域为 ( )． A ．R B ．(0，＋∞)
C ．(0,1]
D ．[1，＋∞) 解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≤0，2－x ，x >0，
∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1.
答案 C
5．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值为( ) A. 6
B ．2或－2
C ．－2
D ．2 解析 (a b ＋a －b )2＝8⇒a 2b ＋a －2b ＝6，
∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4.
又a b >a －b (a >1，b >0)，∴a b －a －b ＝2.
答案 D
6．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则
g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的 ( )．
解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)．
答案 A
二、填空题
7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0， 满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0成立，则a 的取值范围是________． 解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14 8．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．
解析 函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12
)x －1＋m ， ∵函数的图象不经过第一象限，
∴(12
)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 答案 (－∞，－2]
9．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是
________．
解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，
若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；
若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．
答案 (1，＋∞)
10．已知f (x )＝x 2
，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．
解析 x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即
g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞ 三、解答题
11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1
. (1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)求证f (x )在R 上为增函数．
(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1
，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1
＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有
f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)
， ∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，
∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．
12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，
B (3,24)．
(1)求f (x )；
(2)若不等式(1a )x ＋(1b
)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．
解析 (1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得
⎩⎨⎧ 6＝ab ，24＝b ·a 3.
结合a >0且a ≠1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3.
∴f (x )＝3·2x . (2)要使(12)x ＋(13
)x ≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝(12)x ＋(13
)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝(12)x ＋(13
)x 在(－∞，1]上为减函数， ∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56
. ∴只需m ≤56
即可． ∴m 的取值范围(－∞，56
] 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．
解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，
由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，
而y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h (x )＝ax 2
－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )， 由于f (x )有最大值3，
所以h (x )应有最小值－1，
因此必有⎩⎨⎧ a >0，
12a －164a ＝－1，解得a ＝1.
即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.
14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.
(1)若f (x )＝32，求x 的值；
(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解；
当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，
由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，
看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，
∵2x >0，∴x ＝1.
(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，
∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，
∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，
故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。