第2讲：n阶行列式定义与性质
n 阶行列式的定义与性质
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
n阶行列式的性质与计算
00121 00012
解 观察行列式的元素可知，具有
以对角线为对称轴的对称性，按 第一列展开得
2100 1000
D 5
=
21 0
2 1
1 2
0 -
1
1 0
2 1
1 2
0 1
0012 0012
由此得到递推公式
D5 = 2D 4 - D3
= 2(2D3 - D2 ) - D3
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
一般地，我们有
a 1
-
a 1
0
0 a2 - a2
0 0 a3
00 00 00
00 0 11 1
= (1 + n )a1a2
an - an
11
an
例3 计算
4111 1411 D 1141 1114
4111 7777 1111
解1
4
1
11
4
1
11 7
4
1
1
11 41 11 41 11 41
(x j xi )
1i jn
例５ 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 11
x1 Dn x12
x2 xn
x22
x
2 n
( xi x j ). (1)
n阶行列式及行列式性质
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
上页 下页 返回
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
a11 a12 a1n
kai1 kai 2 kain k ai1 ai 2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann 上页 下页 返回
证 左边＝
(1) (ｊ1 ,ｊ2 ,L ,ｊn ) a1ｊ1 L（ｋaｉｊｉ）L anｊn
第二节 n阶行列式
一、全排列及其逆序 二、n阶行列式的定义 三、小结
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一 、全排列及其逆序
1. 概念的引入 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
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2. 定义
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
故 x3 的系数为 1.
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三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法.
4 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要 而定义的.
5 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同行、 不同列的 个元n 素的乘积,正负号由下标排列的
的逆序数，这n个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
2讲行列式性质
证 对行列式阶数n用数学归纳法证明
结论成立.
1 n=1 时， D1
2
。
2
n=2 时， D2
1
3 3
2
( ) 结论成立.
29
2 设n-1, n-2时结论成立,
则对于n阶行列式 Dn 按第一行展开有
a12 ai 2 ai 2 an 2
a1n ain 第i行 0 ain 第j行 ann
及降阶法将 G 按 j 行展开有
G ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0
19
总结 n行列式的计算方法
1.定义法—利用n阶行列式的定义计算; 2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来 计算； 3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开 性质对行列式进行降阶计算； 4. 加边法(升阶法); 5. 递推公式法； 6.归纳法.
1 xn 2 xn ( xi x j ) 1 j i n n 1 xn (n 2)
31
证 用数学归纳法证明
1 1 x x n=2 时，V2 2 (xi x j ) x1 x2 2 1 1 j i
结论成立.
假设对n-1阶行列式结论成立,下证n阶成立. 从第 n 行开始, 每一行减去前一行的 x1倍, 目的是把第一列除1以外的元素都 化为零.然后按第一列展开, 并提取各列 的公因子, 可以得到:
9
1
2 3 3
3 4 5 5
4 7 8 10
例7 计算 D
2 1
1 2
解 通过行变换将D化为上三角行列式 1 2 3 4 r1 r3 r1 r4 0 1 2 1 D (2) r r 1 2 0 0 2 4 0 1 2 6
02 第二节 n阶行列式的定义
第二节 n 阶行列式内容要点一、排列与逆序定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。
例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 定义2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中，若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为).(21n i i i N根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:设在一个n 级排列n i i i 21中,比),,2,1(n t i t =大的且排在t i 前面的数由共有i t 个, 则i t 的逆序的个数为i t , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即.)(12121∑==+++=ni i n n t t t t i i i N定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.二、n 阶行列式的定义定义4 由2n个元素),,2,1,(n j i a ij =组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积nnj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n n n a a a a a a a a a a a a21212121)(212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里数ija 称为元素，称 n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- 为行列式的一般项.注: (1) n 阶行列式是!n 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(2) nnj j j a a a 2121的符号为)(21)1(n j j jN-(不算元素本身所带的符号);(3) 一阶行列式 ,||a a =不要与绝对值记号相混淆.定理3 n 阶行列式也定义为∑-=n n j i j i j i sa a a D 2211)1(其中S 为行标与列标排列的逆序数之和. 即S=)()(2121n n j j j N i i i N ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅。
高等代数第2章行列式
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
三、小结
m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项,
这恰好就是2!,3!. (2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于
不同行不同列的2个和3个元素的乘积 (.3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶
行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 为此，我们用排列与逆序来定义n阶行列式.
第2章 行列式
§2.1 2阶、3阶行列式 §2.2 n 元排列 §2.3 n 阶行列式 §2.4 n 阶行列式的性质 §2.5 行列式按一行(列)展开 §2.6 Cramer 法则 §2.7 Laplace 定理
2.1.2 二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
2n阶行列式性质与展开定理
3
1、基本概念
主对角线
行列式是一个 数
一、二阶与三阶行列式
设 二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
（1）
用消数元ai法j(i知1：,2当;ja111,a222)称a12为时a2行1，列0式的元方素程，组元(1素)有a 解i j ,
第下且一 标个称下为x 标 列1 称 标a b 1 为 ，1 1 a a 行 表2 2 2 2标明 a a ，该1 1 2 2 b a 表元2 2 1 明素该位元于素第x 位j2列于 a 第.a 1 1 1 a 1 ib 2 行2 2 ；a b 1 1 第a 2 a 2 二1 2 1个
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
按对角线法共有 8 项代数和； 但按定 a 41 a 42 a 43 a 44
义，共有 2019/8/23 4! = 24 项 .
9
二、 n 阶行列式例子
Example 4 证明 n 阶下三
a11 0
角行列式 (当 i < j 时，aij = 0，Dn a21 a22
a12 a32
a 2 1 M 2 1a 2 2M 2 2a 2 3M 2 3 a 2 1A 2 1a 2 2A 2 2a 2 3A 2 3
此式说明三阶行列式也可以关于第一列展开 .
a11 a12 a13
Theorem 1 行列式等于它的某一a 2 1行a（2 2 或a列2 3 ）的元素与 其对应的代数余子式的乘积之和a，3 1 即a 3 2 a 3 3
把由+四个数-- 排成两行两列,并定义为数
Da11 a21
的式子 2019/8/23
n阶行列式的定义概要
x a 1 x a 1 kx
y b 2 y b 2 ky
z c 3 z c 3 kz
以数k乘第1列加到第3列
20
五、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的.
2、 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同 行、不同列的 n个元素的乘积,正负号由下标排
17
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 证明 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此
行列式等于零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘
以同一数 k ,等于用数 k 称此行列式. 证明
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面.
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式等于零. 举例
又 1 t(1234) a11a22a33a44 x3 ,
1 t1243a11a22a34a43 2x3
故 x3 的系数为 1.
23
性质1的证明
a11 a12 D a21 a22
an1 an2
a1n a2n , ann
a11 DT a12
a1n
a21 a22 a2n
a1i a2i
a1n a11 a12 a2n a21 a22
a1' i a2' i
a1n a2n ,
an1 an2 ani ann an1 an2 an' i ann
说明 此性质表明行列式可以按照某一行（列）分
拆成两个行列式.
19
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一数然后加到另一列（行）对应的元素上 去，行列式的值不变.
n阶行列式的定义
an1 0
0
n(n1)
(1) 2 a a 1n 2(n1) an1 .
这种行列式称为副对角行列式 。
22
副上三角行列式
a11 a12 a1(n1) a1n
a21 a22 a2(n1) 0
D a31 a32 0
0
an1 0 0
0
n(n1)
(1) 2 a a 1n 2(n1) an1 .
0c00 00d 0
解 D (1)N (1423) a11a24a32a43 abcd 或 D (1)N (1342) a11a32a43a24 abcd
34
n 0 00 0
0 0 0 0 n 1
例11
求 D
0
0
0 n2 0
0 0 20 0
0 1 00 0
35
n 0 00 0
0 0 0 0 n 1
是数1,2,...,n的一个n级排列，每项前面带有符号
(1)N ( j1 j2 jn ) 即当 j1 j2 jn 是偶排列时，带正号，当
j1 j2 jn 是奇排列时，带负号，记作
15
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
(1)N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
所表示的代数和中有4 ! = 24项.
例如, a11a22a33a44 项取+ 号, a14a23a31a42 项取 - 号,
a11a24a33a44 不是 D 的项. 17
例如，四阶行列式
0001 0020 D 0300 4000
所表示的代数和中有4 ! = 24项. 考虑其一般项目为 a a a a 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4 由于第一行除了a14外全为0，故只考虑 j1=4； 同理，只考虑j2=3，j3=2，j4=1，即行列式展 开式中不为0的项只有 a14a23a32a41 其逆序数为6，此 项前为正号.因此
线性代数第2讲
D = ∑ (− 1) a p1 1 a p2 2 ⋯a pnn
t
的逆序数. 其中 t 为行标排列 p1 p2 ⋯ pn的逆序数. 证明 按行列式定义有 t D = ∑ (− 1) a1 p1 a2 p2 ⋯anpn 记
D1 = ∑ (− 1) a p1 1a p2 2 ⋯a pnn
t
对于D中任意一项 对于 中任意一项
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 33 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． ） （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 ） 乘积． 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 ） 的三个元素的下标排列． 的三个元素的下标排列．
注意
红线上三元素的乘积冠以正号， 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三
元素的乘积冠以负号． 元素的乘积冠以负号． 说明1 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
3!项 每一项都是位于不同行, 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, . 三阶行列式包括3! 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
证 由行列式定义有
a11 a12 ⋯ a1n D1 = a21 a22 ⋯ a2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 an2 ⋯ ann =
(− 1)t ( p p ⋯p )a1 p a2 p ⋯anp ∑
02第二节n阶行列式的定义
02 第二节 n阶行列式的定义第二节 n阶行列式的定义定义1：对于一个由n行n列组成的矩阵A，其对应的行列式记为|A|或det(A)，称为n阶行列式。
行列式是由n个元素排成n行n列的式子，它可以用一个数，一个向量或一个矩阵来表示。
在数学中，行列式是一个非常重要的概念，在许多数学分支和实际应用中都有广泛的应用。
对于一个n阶矩阵A，可以将其展开成一个n项的代数和，每一项都是A中取自不同行不同列的n个元素的乘积。
这个展开式称为A的行列式，记为|A|或det(A)。
例如，对于一个3x3矩阵A：可以将其展开为：|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32其中，a11、a22、a33等表示A中的元素。
定义2：对于一个n阶矩阵A，如果有一个非零常数c，使得|cA|=c^n|A|成立，则称矩阵A可乘当，或者称为可乘方的。
根据定义2，可以发现行列式的性质：1）如果矩阵A可乘当，则|cA|=c^n|A|成立，其中c是非零常数。
例如，如果矩阵A=【3 4；2 5】，则cA=【3c 4c；2c 5c】，c^n表示c的n 次方。
2）如果矩阵A是可乘方的，则它的转置矩阵也是可乘方的，且它们的行列式互为转置行列式。
即，如果|A|=a_11a_22.a_nn，则|A‘|=a_11a_12*.*a_nn。
例如，设A=【1 2 3；4 5 6；7 8 9】，则|A|=54，它的转置矩阵为【1 4 7；2 5 8；3 6 9】，则它的行列式为|A‘|=54。
定义3：设n阶矩阵A和B是相似的矩阵，即存在一个可逆矩阵P，使得AP=PB成立。
如果矩阵A和B是相似的，则它们的行列式也相等，即|A|=|B|。
例如，设A=【1 0；0 2】，B=【2 0；0 4】，它们是相似的矩阵，它们的行列式分别为|A|=2和|B|=4，所以它们的行列式是相等的。
第2节 行列式的性质(全)
§2行列式的性质●n阶行列式的性质●n阶行列式的运算一、n 阶行列式的性质111212212212, n n n n nna a a a a a a a D a =行列式称为行列式的转置行列式。
TD D 若记，则。
det(), det()Tij ij D a D b ==ij ji b a =记性质1行列式与它的转置行列式相等,即。
TD D =212211121212nn n nTnn a a a a a a D a a a =121212()12(1)n nnt p p p Tp p np p p p D b b b =-∑性质1行列式与它的转置行列式相等。
证明根据行列式的定义，有若记，则det(), det()Tij ij D a D b ==(),1,2,,ij ij b a i j n ==1121221()2(1)n nn p p t p p p p p p p na a a =-∑D=行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号。
证明若设是由行列式对换i, j 两行得到的，1 det()ij D b = det()ij D a =k ≠kj kj b a =ip jp b a =jp ip b a =即当i, j 时，；当i, j 时，，k =于是111(1)i j ntp ip jp np D b b b b =-∑11(1)i j n tp jp ip np a a a a =-∑11(1)jintp ip jp np a a a a =-∑推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明把这两行互换，有，故.D D =-0D =备注：交换第行（列）和第行（列），记作.j i ()i j i j r r c c ↔↔其中，1i jn 为自然排列，t 为排列1i j np p p p 的逆序数。
设排列的逆序数为，则1jin p p p p 1t 1(1)(1)t t-=--故1111(1)j i n t p ip jp np D a a a a D=--=-∑性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式。
1.2n阶行列式及其性质
• N阶行列式定义 • 上（下）三角行列式 • 对角行列式 • 行列式的性质（基础6条）
N阶行列式的定义
• 个数
为n阶行列式
它表示数值：
的代数和
上三角
下三角
a11 a12
a1n a11 0
0
0 a22
a 2n a21 a22
0
00
ann an1 an2
ann
a11a22 ann
性质2 对换行列式的两行（列） 行列式变号
• 例如
175 175 6 6 2=-3 5 8
换行 358 662
换列
175 157 6 6 2=-6 2 6 358 385
• 推论：如果有行列式两行（列）完全相同 此行列式等于0
性质3 行列式的某一行（列） 中所有的元素都乘k， 等于数k乘此行列式
ai1
a jn
a j1 kai1
ai 2 a j2 kai2
ann
an1
an2
a1n ain a jn kain ann
行列式性质例题
• 1.化简行列式 a x b y cz dw
• 解： a x
by a
by x
by a
ba
yx
bx
y
cz dw c dw z dw c d c w z d z w
• 第i行（列）乘k记作 ri k(ci k) r表示行，c表示列
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
• 如：ka21 ka22
ka2n k a21 a22
a2n
an1 an2
ann
an1 an2
n 阶行列式及性质
1 j1 2 j2
njn
an1 an2 ann
注：⑴ n 阶行列式共有 n2个元素，排成 n 行 n 列；
⑵从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从
右上角到左下角的对角线称为次（副）对角线；
⑶主对角线上的元素 aii (i 1,2,, n) 称为主对
角元；
⑷取正号的项与取负号的项各占一半，即为 n! 项； ⑸每项中同一行或一列的元素不可能乘在一起2； ⑹行列式常用大写字母D表示或 aij ，特别规定一阶
0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
r4 r3 0 2 1 5 0 0 1 1
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 216
85
75
78
0 32 0 32
注：（1）此法也可与行列式的其它5条性质结合使用.
例5：计算下列行列式.
70 40
①
1 D
0
5
2
3 1 1 6
80 50
3 1 1 2
② D 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
解： ①
70 40 10 52 D 3 1 1 6 80 50
按第2
(1) A32
ci c j 表示将行列式的第i列与第j列互换
推论1：若行列式有两行（列）完全相同，则此行列 式的值为零. 即：
性质3：把行列式某一行（列）的所有元素都乘以 k， 等于用数 k 乘此行列式.
行列式
行列式的定义定义1.1 n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。
一共有n!项，一半带负号，一半带正号。
其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。
我们知道n级排列一共有n!种。
行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。
这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。
通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。
如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D T。
由性质1知，。
性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。
也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。
性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。
即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。
性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。
例：行列式按行、按列展开法则定理1.1 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1.1）（1.2）定理1.2 n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。
【例题1·填空题】n阶行列式【答疑编号811010101：针对该题提问】按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。
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1t p p p a1 p a2 p anp b1 2 n p p p
p1 p2 pn
统计软件分析与应用
线性代数A
1.3-1.4 n行列式定义与性质
由于 所以
p1 p2 pn 1 2 n,
1t p p p a1 p a2 p anp b1 2 n p p p D2
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线性代数A
1.3-1.4 n行列式定义与性质
同理可得Байду номын сангаас三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
a11a22 ann .
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例5
证明对角行列式
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a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l 1 m a 1 n
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
例2
计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
解
分析
展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
例1
试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和 ( 1)t a1 p1 a2 p2 anpn . a11 记作 D a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t 452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21a 32
列标排列的逆序数为
偶排列 正号
t 312 1 1 2,
a11a 23 a 32
1.3-1.4 n行列式定义与性质
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 经对换后 a 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
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所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
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推论 证明
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， ，n 的一个排列， 2， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn
1t p p p a1 p a2 p anp
定理2 n阶行列式也可定义为
1t a p 1a p 2 a p n D
1 2 n
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn的逆序数. 证明 按行列式定义有
线性代数A
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
D 1 a1 p1 a2 p2 anpn
t
记
D1 1 a p1 1a p2 2 a pnn
1 2 n 1 2 n
p1 p2 pn
1
2
n
故
1 p p p
1 2 n
t p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
1 2 n
1t p p p a1 p a2 p anp D2 . D1
p1 p2 pn
1 2 n
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s
1 2 n
中的项可以一一对应并相等,
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从而 D D1 .
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
定理3 n阶行列式也可定义为
D 1 a p1q1 a p2q2 a pnqn
t
其中 p1 p2 pn , q1q2 qn是两个 n级排列， t 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
n
1
1
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t n n1 21
n n1 2
a1na2,n1 an1
证毕
12 n .
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
例6
设
a11 a12 a1n D1 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
t
对于D中任意一项
1 a1 p a2 p anp ,
t
1 2 n
总有且仅有 D1 中的某一项 1 aq1 1aq2 2 aqnn ,
s
与之对应并相等; 反之, 对于 D1 中任意一项
1t a p 1a p 2 a p n , 也总有且仅有D中的某一项
1 2 n
1 a1q a2q anq , 与之对应并相等, 于是D与 D1
线性代数A
1.3-1.4 n行列式定义与性质
2、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba b1 bm ba
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
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(1) a23a31a42a56a14a65 ; ( 2) a32a43a14a51a66a25 .
解
(1) a 23a 31a42a56a14a65 a14a 23a 31a42a56a65 ,
431265的逆序数为
t 1 0 2 2 1 0 6,
所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
列标排列的逆序数为 奇排列 负号,
t 132 1 0 1,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 ( 1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a31 a32 a33
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
二、n阶行列式的定义
定义
a11 a12b 1 a1nb1 n a21b a22 a2 nb 2 n
n 1 n 2 a n 1b an 2b ann 证明 D1 D2 .
D2
证
由行列式定义有
线性代数A
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1.3-1.4 n行列式定义与性质
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D1 an1 an 2 ann
例3 ：计算
1 x
y
D 0 2 z 1 2 3 6 0 0 3
思考：该例中，行列式的值与x,y,z的值无关。这 一性质能推广么？
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线性代数A
1.3-1.4 n行列式定义与性质
1 2 3 4
例4
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
p1 p2 pn
1t p p p a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2
n
D2
a11 a12b 1 a1nb1 n a21b a22 a2 nb 2 n n 1 n 2 a n 1b an 2b ann
1 2 n 1 2 n 1 2 n
1.3-1.4 n行列式定义与性质
一、概念的引入
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．