简单的排列问题

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小学思维数学讲义：简单的排列问题-带答案解析

简单的排列问题1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．模块一、排列之计算【例 1】计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】由排列数公式121m n P n n n n m =---+（）（）（）知：⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=，所以4377840210630P P -=-=．【答案】⑴20 ⑵630【巩固】计算：⑴ 2P ；⑵ 32P P -．教学目标例题精讲知识要点【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=．【答案】⑴6 ⑵30【巩固】计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=； ⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=．【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况．【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n =，4m =．由排列数公式知，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法．【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有99987654321362880P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个． 4595987654321362880p p ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】362880【巩固】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且4n =．由全排列公式，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n =4．由全排列公式，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!120=种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种)．【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种)．【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n=，3m=．由排列数公式知，共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号．【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】23326P=⨯=．【答案】6【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成333216P=⨯⨯=(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3216⨯⨯=(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n =，4m =，根据排列数公式，一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数．【答案】1680【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】36120P =．【答案】120【例 8】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P ⨯=(个)．（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【答案】48【例 9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n =，2m =，根据排列数公式，一共可以组成255420P =⨯=(个)符合题意的三位数．【答案】20【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有255420P =⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数．．【答案】60【例 10】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P =⨯⨯⨯=，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有3554360P =⨯⨯=，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300-=个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300⨯⨯⨯=(个)．【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248⨯=(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成3 33216P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424⨯=(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P=种选择．由乘法原理，可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数．【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P =⨯=，由乘法原理，有1556280⨯⨯=(个)．⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742⨯⨯⨯=(个)． ⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有20162804252343+++=(个)，故5687是第2344个四位数．【答案】2344【例 13】用数字l ～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成方法．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题【解析】 l ～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法.【答案】144种【例 14】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在个．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第21862129++++=（个）．【答案】29【例 15】千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个? 【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为29，对应的十位数字取07，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有288P ⨯个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取17，十位数字取39，共有287P ⨯个这样的四位数．所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数．【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【答案】56【例 17】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题．共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列．由乘法原理，42496⨯=，故一共有96种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式，E能做中锋一共有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式，则E不能做中锋一共有54541202496P P-=-=种不同的站位方法．【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．【答案】512。

排列与组合

6
P77
种方法
P77 − 2 P66 + P55 = 3720
(3)二分法
个数字中任取3个从1,3,5,7这4个数字中任取个，从0，2,4 这个数字中任取，个数字中任取2个这3个数字中任取个，可以组成多少个无重复数个数字中任取字的五位数？字的五位数？
第一类：取0，有
3 1 C4 C2
名同学中选出2名去参加一项（2）从甲、乙、丙3名同学中选出名去参加一项）从甲、名同学中选出活动，有多少种不同的选法？活动，有多少种不同的选法？

一、组合的概念
一般地，个不同的元素中取出m(m≤n) m(m≤n)个元一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。一个组合。排列与组合的联系与区别：排列与组合的联系与区别：都是从n个不同的元素中取出m个元素， 1、都是从n个不同的元素中取出m个元素，且m≤n 2、有序问题是排列，无序问题是组合。有序问题是排列，无序问题是组合。同一组合只要元素完全相同。 3、同一组合只要元素完全相同。
2 5辆汽车从停车场分五班开出，其中甲车辆汽车从停车场分五班开出，辆汽车从停车场分五班开出必须在乙车之前开出，必须在乙车之前开出，则发车方案种数为（c ） A.24
题目分析：题目分析：以甲车必须在乙车之前开出为解题关键，以甲车必须在乙车之前开出为解题关键，考虑甲车和乙车的开出顺序。开出顺序。
种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
P41 P44 个五位数。
3 1 ∴ N1 = C4 C2 P41 P44
第二类：不取0，有 C4 C2 种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成

小学奥数：简单的排列问题.专项练习及答案解析

1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L （）（）（），即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L （）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L （）（）　．教学目标例题精讲知识要点7-4-1.简单的排列问题模块一、排列之计算【例 1】计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】由排列数公式121m n P n n n n m =---+L （）（）（）知：⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=，所以4377840210630P P -=-=．【答案】⑴20 ⑵630【巩固】计算：⑴ 23P ；⑵ 32610P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=．【答案】⑴6 ⑵30【巩固】计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=；⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=．【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况．【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n =，4m =．由排列数公式知，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法．【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有99987654321362880P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．45 95987654321362880p p⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】362880【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且4n=．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!120=种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种)．【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种)．【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n=，3m=．由排列数公式知，共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号．【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】23326P =⨯=．【答案】6【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成333216P =⨯⨯=(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3216⨯⨯=(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n =，4m =，根据排列数公式，一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数．【答案】1680【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】36120P =．【答案】120【例 8】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P ⨯=(个)．（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【答案】48【例 9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n=，2m=，根据排列数公式，一共可以组成255420P=⨯=(个)符合题意的三位数．【答案】20【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有255420P=⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数．．【答案】60【例 10】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P=⨯⨯⨯=，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有3554360P=⨯⨯=，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300-=个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300⨯⨯⨯=(个)．【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248⨯=(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成333216P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424⨯=(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P=种选择．由乘法原理，可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数．【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P=⨯=，由乘法原理，有1556280⨯⨯=(个)．⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742⨯⨯⨯=(个)．⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有20162804252343+++=(个)，故5687是第2344个四位数．【答案】2344【例 13】用数字l～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成方法．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题【解析】 l ～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法.【答案】144种【例 14】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在个．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第21862129++++=（个）．【答案】29【例 15】千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个? 【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为29:，对应的十位数字取07:，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有288P ⨯个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取17:，十位数字取39:，共有287P ⨯个这样的四位数．所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数．【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【答案】56【例 17】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：36654120P =⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题．共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列．由乘法原理，42496⨯=，故一共有96种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式，E能做中锋一共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式，则E不能做中锋一共有54 541202496P P-=-=种不同的站位方法．【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．【答案】512。

《简单的排列》常见问题

《简单的排列》常见问题
1. 问题内容：用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？
解答内容：在排列数字的时候，先确定十位上的数字（“0”不能放在十位上），再确定个位上的数字。

不管数字由大到小的方法，还是由小到大的方法，都要体现顺序性，这样做就不会重复、不会遗漏，真正做到严谨。

2.问题内容：把5 块巧克力分给小丽、小明、小红，每人至少分1 块。

有多少种分法？
解答内容：根据题意，一共3个人，每个人都至少有1块，这样还剩下2块。

剩下的2块可以给其中的两个人每人1块，也可以把2块都给其中的一个人。

所以一共有6种分法。

小学奥数简单的排列问题精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．模块一、排列之计算教学目标例题精讲知识要点7-4-1.简单的排列问题【例 1】计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】由排列数公式121m n P n n n n m =---+（）（）（）知：⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=，所以4377840210630P P -=-=．【答案】⑴20 ⑵630【巩固】计算：⑴ 23P ；⑵ 32610P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=．【答案】⑴6 ⑵30【巩固】计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=；⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=．【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况．【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n =，4m =．由排列数公式知，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法．【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有99987654321362880P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．45 95987654321362880p p⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】362880【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且4n=．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!120=种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种)．【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种)．【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n=，3m=．由排列数公式知，共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号．【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】23326P =⨯=．【答案】6【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成333216P =⨯⨯=(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3216⨯⨯=(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n =，4m =，根据排列数公式，一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数．【答案】1680【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】36120P =．【答案】120【例 8】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P ⨯=(个)．（法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【答案】48【例 9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n=，2m=，根据排列数公式，一共可以组成255420P=⨯=(个)符合题意的三位数．【答案】20【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有255420P=⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数．．【答案】60【例 10】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P=⨯⨯⨯=，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有3554360P=⨯⨯=，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300-=个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300⨯⨯⨯=(个)．【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248⨯=(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成3 33216P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424⨯=(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P=种选择．由乘法原理，可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数．【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P=⨯=，由乘法原理，有1556280⨯⨯=(个)．⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742⨯⨯⨯=(个)．⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有20162804252343+++=(个)，故5687是第2344个四位数．【答案】2344【例 13】用数字l～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成方法．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题【解析】l～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法.【答案】144种【例 14】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在个．【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第21862129++++=（个）．【答案】29【例 15】千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个?【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为29，对应的十位数字取07，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有288P ⨯个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取17，十位数字取39，共有287P ⨯个这样的四位数．所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数．【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【答案】56【例 17】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：36654120P =⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题．共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列．由乘法原理，42496⨯=，故一共有96种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式，E能做中锋一共有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式，则E不能做中锋一共有54541202496P P-=-=种不同的站位方法．【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．【答案】512。

一年级排列组合计算题

一年级排列组合计算题解题思路：在一年级数学课上，排列组合是一个重要的概念。

通过排列组合，我们可以解决各种计数问题。

本文将介绍一些简单的一年级排列组合计算题，并通过具体的例子进行解答。

1. 排列计算问题排列是指从一组元素中按照一定的顺序选出若干个元素，构成不同的序列。

其中的元素都不可以重复，并且顺序不一样的序列被视为不同的排列。

例如，班级里有10位同学，想选出3位同学担任班级干部。

问有多少种可能的选择方式？解答：根据排列计算的公式，我们可以得出答案：排列数 = A(10, 3)= 10! / (10 - 3)!= 10! / 7!= 10 × 9 × 8= 720所以，有720种可能的选择方式。

2. 组合计算问题组合是指从一组元素中按照一定的顺序选出若干个元素，构成不同的集合。

与排列不同的是，组合中的元素是无序的，而且可以重复。

例如，班级里有10位同学，想选出3位同学一起参加篮球比赛。

问有多少种可能的选择方式？解答：根据组合计算的公式，我们可以得出答案：组合数 = C(10, 3)= 10! / [(10 - 3)! × 3!]= 10! / [7! × 3!]= 10 × 9 × 8 / 3 × 2 × 1= 10 × 3 × 4= 120所以，有120种可能的选择方式。

3. 组合计算问题中的重复元素有时候，在组合计算问题中，可能会出现重复元素。

这时，我们需要用到二项式系数。

二项式系数表示从n个相同元素中选取r个元素的组合数。

例如，班级里有10只相同的图钉，现在想取出5只图钉。

问有多少种可能的选择方式？解答：根据二项式系数的计算公式，我们可以得出答案：组合数 = C(10, 5)= (10 + 5 - 1)! / [(10 - 1)! × 5!]= 14! / [9! × 5!]= 14 × 13 × 12 × 11 × 10 / 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 2002所以，有2002种可能的选择方式。

人教版二年级上册数学《简单的排列问题》说课稿设计(公开课)

人教版二年级上册数学《简单的排列问题》说课稿设计（公开课）一. 教材分析人教版二年级上册数学《简单的排列问题》这一课，主要是让学生通过实际操作，感受和理解排列的概念，学会用简单的语言和方式来描述排列的顺序，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。

教材通过丰富的情景和例题，引导学生发现和总结排列的规律，从而提高学生的解决问题的能力。

二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一些基本的数学概念和运算规则有了一定的了解。

但是，对于排列这一概念，学生可能是第一次接触，因此需要通过具体的例子和实际操作来帮助学生理解和掌握。

同时，学生的逻辑思维能力和语言表达能力还在发展中，需要教师的引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解排列的概念，学会用简单的语言和方式来描述排列的顺序。

2.过程与方法：学生通过实际操作，培养观察、思考、表达的能力。

3.情感态度与价值观：学生体验数学学习的乐趣，培养对数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解排列的概念，学会用简单的语言和方式来描述排列的顺序。

2.难点：学生能够通过观察和思考，发现和总结排列的规律。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用情境教学法、操作教学法、引导发现法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物操作材料等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一个有趣的排列游戏，激发学生的兴趣，引出排列的概念。

2.新课导入：教师通过展示一些实际情景，让学生观察和描述，引导学生发现排列的规律。

3.自主探究：学生分组进行实际操作，通过观察和思考，发现和总结排列的规律。

4.引导总结：教师引导学生用简洁的语言表达排列的规律。

5.练习巩固：学生进行一些实际的排列问题练习，加深对排列的理解。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固知识点。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出排列的规律和关键点。

可以设计成以下形式：排列的概念–> 排列的规律具体的例子–> 简单的语言描述八. 说教学评价教学评价可以从学生的知识掌握、能力培养、情感态度等方面进行。

解排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。

排列组合分题型练习

1.2 排列与组合一、简单排列问题1、三个女生和五个男生排成一排，①女生必须全在一起②女生全分开③两端都不能排女生④两端不能都排女生⑤甲不在排头或排尾⑥甲不在排头，乙不在排尾⑦甲乙两人必须相邻⑧甲必须在乙左边⑨甲乙两人之间恰隔两人二、相邻问题捆绑法2、用0、3、4、5、6排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数为（）3、4位男同学与4位女同学排成一行，分别满足下列条件的排法有多少种？①4位女同学必相邻②4位女同学相邻，4位男同学也相邻③4位女同学必不相邻④4位女同学不相邻，4位男同学也不相邻三、插空法4、从1、2、3…10这10个自然数中，挑选3个互不相邻的自然数，有（）种方法5、10个空位7个人去坐，要求3个空位互不相邻，有（）种坐法6、有6张椅子排成一排，现有3人就坐，恰好有两张空椅子相邻的坐法有（）种7、4个男生，3个女生排成一排，其中有且仅有两个女生相邻排在一起的排法有（）种8、6人站成一排，甲、乙、丙只有两人相邻的排法有（）种9、书架上原来并排放着5本书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法种数有（）10、某人射击8枪击中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数为（）四、选排问题先取后排11、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，至多2名，则不同的分配方案有（）种12、某校高二年级有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数有（）种13、一个班有6名战士，其中正副班长各1名，现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长仅有1人参加，则不同的分配方案的种数为（）14、将4本不同的书分配给3个学生，每人至少一本，不同的分配方法种数有（）15、四个不同的小球放入四个不同的盒子里，则恰好有一个空盒的放法有（）种16、四名教师分配到两个学校，每校至少一名，不同的分配方案种数是（）17、8个男同学入住A、B、C三个房间，每个房间最多住3人，共有（）中住宿方案18、从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A、B、C、D、E五项工作，共有（）种安排方法五、数字问题19、用1、2、3这三个数字，可以组成无重复数字的不同自然数有（）个20、用0、1、2、3、4这5个数字可以组成无重复数字的四位数（）个21、用0、1、2、3、4这5个数字可以组成无重复数字的四位偶数（）个22、在1、2、3、4、5这五个数字组成的无重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）个23、由1、2、3、4、5、6这6个数字排成一排，若1、6两个数字中间插入2个数字，则组成的没有重复数字的六位数有（）个24、用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有（）个25、用0、1、2、3、4、5六个数字组成没有重复数字的六位数，比230145大的有（）个六、至多至少问题26、一个小组若有10名同学，其中4名女生，6名男生，现从中选出3名代表，其中至少有1名女生的选法有（）种27、从4太甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型各1台，则不同的取法有（）28、从9名女生，11名男生中选出代表5名，按下列要求各有多少种不同的选法代表中至少有1名女生代表中至多有2名女生女生甲，男生A中至少有一个当选七、几何问题29、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）个30、利用正方体的8个顶点可以连成（）对异面直线31、过五棱锥任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）对32、四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中任取3个点，使他们和点A在同一个平面上，不同的取法有（）33、凸n边形（n≥3）的对角线有（）条八、配对问题34、10双不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果①4只鞋子没有成双的（）②4只鞋子恰成2双（）③4只鞋子只有2只成双，另2只不成双（）35、从6副不同颜色的手套中任取4只，其中恰有一副同色的取法有（）36、某电视台邀请6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有1对是夫妻，那么不同的选择方法的种数有（）九、平均分组37、将12本不同的书分成3本一组，4本一组，5本一组，共有（）种分法，再分给3人，有（）种分法38、将12本不同的书平均分成3组，每组4本，共有（）种分法，再分给3人，有（）种分法39、将12本不同的书分成3本一组，3本一组，6本一组，共有（）种分法，再分给3人，有（）种分法40、为了篮球比赛，将10个人分成两队，每队5人，则不同的方法有（）41、8个互不相同的小球分成3组，一组两个，另两组3个，则不同的分法有（）42、把10个人平均分成两组，再从每组中选出正、副组长各1人，共有（）种选法十、多面手问题43、由13个人组成的课外活动小组，其中会跳舞的有8人，会唱歌的有8人，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去表演节目，共有（）中不同的选法44、某车间有11名工人，其中有5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有（）种选派方法。

二年级奥数_第二讲：简单的排列组合(生)

A DB CE 小学低年级奥数排列组合问题例题精讲在日常生活中，我们经常会碰到许多排列组合问题。

例1 从晓明家到红红共有三条路可走，从红红到朝阳学校有两条路可走，那么从晓明家到朝阳学校有多少路可走？随堂练习1、如图中有5个点、6条线段。

一只甲虫从A 点出发，要沿着某几条线段爬到D 点，行进中，同一点或同一条线段只能经过一次，这只甲虫最多有几种不同的走法？例2 幼儿园有3种不同颜色（红、黄、蓝）的上衣，4种不同颜色（黑、白、灰、青）的裙子，请问可以搭配出多少套衣服？随堂练习2、学校为艺术节选送节目，要从3个合唱节目中选出1 个，2个舞蹈节目中选出1个。

一共有多少种选送方案？例3 从杭州到北京共有5个车站（包括杭州和北京）。

每个汽车站售票处要为这条线路准备多少不同的车票？（杭州-上海-苏州-南京-北京）随堂练习3、有4个人，每两个人握一次手，一共要握多少次？例4 、用数字1、3、5组合成多少个没有重复数字的三位数？他们是哪些？随堂练习4、用数字卡片9、8、0能摆出来多少个不同的两位数？他们分别是多少？其中最大是？最小是？牛刀小试：1 、罗老师有6件不同颜色的上衣，3条不同颜色的裤子。

如果她每天都想有不同的穿法，请问最多可以穿多少天？2、从学校出发到电影院有4条路可走，从电影院到游泳池有5条路可走。

请问从学校先到电影院，再到游泳池，一共有多少不同的走法？（要求小朋友画路线图）3、用数字2、4、7组合成多少个没有重复数字的两位数？他们是哪些？4、有四支足球队进行比赛，每两队踢一场，一共要踢多少场？5、有3个人，每两个人握一次手，一共要握多少次？。

综合算式题解简单的排列组合问题

综合算式题解简单的排列组合问题在数学中，排列组合是一个重要的概念，它用于解决关于对象排列和选择的问题。

在这篇文章中，我们将探讨一些简单的排列组合问题，并提供解决这些问题的方法。

一、排列问题在排列问题中，我们关心的是对象的顺序。

假设有n个不同的对象，要从中选择r个进行排列，那么可以使用排列公式来计算可能的排列数。

排列公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，表示从n到1连乘。

根据这个公式，我们可以计算出不同的排列数。

例1：有8个人参加一个比赛，只有3个名次，求可能的排列数。

解：根据排列公式，P(8, 3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5! = 8 * 7 * 6 = 336。

二、组合问题在组合问题中，我们关心的是对象的选择，而不考虑顺序。

假设有n个不同的对象，要从中选择r个进行组合，那么可以使用组合公式来计算可能的组合数。

组合公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘。

根据这个公式，我们可以计算出不同的组合数。

例2：有10个人参加一个派对，要从中选择4个人参加游戏，求可能的组合数。

解：根据组合公式，C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)!) = 10! / (4! * 6!) = 210。

三、排列组合问题在实际应用中，有些问题既涉及排列又涉及组合。

解决这类问题时，需要分别考虑对象的顺序和选择。

下面是一个简单的排列组合问题。

例3：一个班级有10个学生，要从中选出5个人参加学术比赛，要求其中有1个团委成员参赛，可能的方案有多少种？解：首先，我们可以从中选出1个团委成员，有10种选择；然后，从剩余的9个学生中选出4个人参赛，有C(9, 4)种选择。

根据乘法原理，总的方案数为10 * C(9, 4) = 10 * 126 = 1260。

综上所述，排列组合是解决关于对象排列和选择的问题的重要方法。

人教版二年级上册数学《简单的排列问题》教学设计设计(公开课)

人教版二年级上册数学《简单的排列问题》教学设计设计（公开课）一. 教材分析人教版二年级上册数学《简单的排列问题》是本册教材中关于排列知识的一个教学内容。

本节课主要让学生通过实际操作和思考，感受和理解简单的排列问题，学会用排列的方法解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教材通过生动的例题和多样的练习题，引导学生逐步掌握排列的方法和规律。

二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数字和简单的数学运算有一定的认识。

但是，对于排列问题，他们可能还比较陌生，需要通过实际的操作和引导，逐步理解和掌握。

此外，学生的思维方式和学习习惯各有不同，需要教师在教学过程中注意引导和鼓励，帮助他们建立良好的学习习惯和思维方式。

三. 教学目标1.让学生理解排列的概念，学会用排列的方法解决实际问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.培养学生合作学习和独立思考的能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生理解和掌握排列的方法和规律。

2.难点：让学生能够灵活运用排列的方法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的例题和实际操作，让学生在具体的情境中感受和理解排列问题。

2.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考，自主发现排列的规律和方法。

3.合作学习法：鼓励学生之间相互讨论、交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括例题、练习题和相关的教学素材。

2.教学道具：准备一些小物品，用于实际的操作和演示。

3.练习题：准备一些关于排列问题的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的排列现象，如水果店里的水果排列、花坛里的花朵排列等，引导学生关注和思考这些现象，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，让学生观察和思考，引导学生发现排列的规律和方法。

教师通过讲解和演示，解释排列的概念和意义，让学生理解和掌握。

人教版二年级上册数学《简单的排列问题》教案设计(公开课)

人教版二年级上册数学《简单的排列问题》教案设计（公开课）一. 教材分析人教版二年级上册数学《简单的排列问题》这一章节主要让学生初步理解排列的概念，学会用简单的语言和方式表示排列，并能运用排列知识解决实际问题。

通过这一章节的学习，学生能进一步培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析二年级的学生已经掌握了基本的数数能力和简单的逻辑思维能力，但对于排列这一概念可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要耐心引导学生，让学生在实际操作中理解和掌握排列的知识。

三. 教学目标1.让学生理解排列的概念，知道排列的两种形式：顺序排列和无序排列。

2.让学生学会用简单的语言和方式表示排列。

3.培养学生运用排列知识解决实际问题的能力。

4.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生理解和掌握排列的概念及表示方法。

2.难点：培养学生运用排列知识解决实际问题的能力。

五. 教学方法1.采用情境教学法，让学生在实际情境中理解和掌握排列的知识。

2.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。

3.采用激励评价法，激发学生的学习兴趣和自信心。

六. 教学准备1.教学课件：包括排列的图片、实例等。

2.教学道具：小卡片、玩具等。

3.练习题：针对本节课内容的练习题。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过出示一些图片，如水果、动物等，让学生观察并说出它们的排列方式。

引导学生发现排列在日常生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2. 呈现（10分钟）教师通过讲解和展示实例，让学生了解排列的概念，学会用语言和符号表示排列。

同时，引导学生发现排列的两种形式：顺序排列和无序排列。

3. 操练（10分钟）教师将学生分成小组，每组发放一些小卡片或玩具，让学生实际操作，尝试不同排列方式。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4. 巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成。

然后，学生进行分享，让大家互相评价和借鉴。

人教版三年级数学下册第八单元之《简单的排列问题》(例1)课件

3个数字可以写出3×2 = 6（个）没有重复的两位数。
（练习）用1、2、3、4能组成多少个没有重复数字的两位数？
12 13 14
21 23 24
31 32 34
41 42 43
每个数字写在十位上能写出3个没有重复的两位数。 4个数字可以写出4×3 = 12（个）没有重复的两位数。答：用1、2、3、4能组成12个没有重复数字的两位数。
课本101页做一做 2. 把5块巧克力全部分给小丽、小明、小红，每人至少分1块。
有多少种分法？小丽小明小红来自311
1
3
1
1
1
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
5块巧克力有2类分法，每类分法有3种分法。 2×3 = 6（种）答：有6种分法。
（练习）用0、2、5、8能组成多少个没有重复数字的两位数？请列举出来。
（练习）用红、黄、蓝三种颜色给下面各图的每层涂上不同的颜色，有多少种涂法？涂涂看。
答：有6种可能性。
（练习）4名同学排成一排照相，其中莉莉不排在最左边，请你给她们排排队。
一共有多少种不同的排法？
每人排第一位有6种排法。 3人有3×6 = 18（种）排法。
答：一共有18种排法。
第一位芳芳芳芳芳芳芳芳芳芳芳芳
20 25 28
50 52 58
80 82 85
每个数字写在十位上能写出3个没有重复的两位数。 3个数字（除去0）可以写出3×3 = 9（个）没有重复的两位数。
答：用0、2、5、8能组成9个没有重复数字的两位数。
（练习）张阿姨要把4个绿豆饼全部分给小乐、小冬、小军，每人至少分1个。有多少种分法？请列举出来。

排列的简单运用(方法及排队问题)

巩固练习:
7位同学站成一排,
(1)甲、乙和丙三个同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ都相邻的排法共有多少种?
(2)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
答案: (1)A55 A33 720
（２）(2分)法析一：: A分52 别A44从 A特22 殊96元0 素、特殊位置和排除法法思二考: A41 A55 A22 960
法三 : ( A66 2A55 ) A22 960
例3. 7位同学站成一排,甲乙同学不能相邻的排法共有多少种?
解:先将其余5位同学全排列,有 A55 种,再拉开
留出6个空位,将甲乙分别插入到这6个空位的
其中两个中,有 A62 种.
共有A55 A62＝3600种.
答：共有3600种不同的排列方法。
小结：
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
(1)某些元素不能排在或必须排在某一位置； (2)某些元素要求连排（即必须相邻）； (3)某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法：
(1) 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法“优限法”；
第二步:其余同学全排列,有A55 种;
共有A52 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法三:(排除法)
先全排列有 A77 种,其中甲或乙站排头有 2A66 种, 甲或乙站排尾的有 2A66 种,甲乙分别站在排头和排尾的有 A22 A55 种.
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,
有A52 种;
第二步:剩下的全排列,有 A55 种;

小学数学简单的排列组合问题

小学数学简单的排列组合问题1.用5和2可以组成10、25、52、27、75这五个不同的两位数，选项B正确。

2.一共有6种坐法，因为有3个人，第一个人有3种选择，第二个人有2种选择，第三个人只有1种选择，所以总共是3×2×1=6种，选项C正确。

3.___和她的3个好朋友握手的次数为3+2+1=6次，选项C正确。

4.可以选出6个不同的和数，分别为4、8、10、12、14、16，选项没有给出正确答案。

1.有4种早餐搭配方法，选项A正确。

2.有5种不同的付钱方法，分别是1元+4个1角、1元+3个1角+1个5角、1元+2个1角+2个5角、1元+1个1角+3个5角、1元+5个5角，选项A正确。

3.___的妈妈有6种买法，可以搭配苹果和梨、苹果和香蕉、苹果和桃子、梨和香蕉、梨和桃子、香蕉和桃子，具体搭配方式取决于促销价格和个人口味，选项没有给出正确答案。

1.用4、6和7可以组成12个不同的两位数，分别是46、47、64、67、74、76、57、75、54、45、57、56，选项没有给出正确答案。

2.用4和7可以组成6个不同的三位数，最大的数是744，最小的数是444，选项B正确。

3.3位小朋友每两个人通一次电话，一共要通3次话，选项A正确。

4.一辆客车往返于合肥、南京、上海三地载客，要准备6种不同的车票，因为每个城市之间的往返都有一种不同的组合方式，选项B正确。

5.这些数是用3、4和5这三个数字组成的，选项没有给出正确答案。

二。

无法确定谁是第一、第二，因为没有给出比赛规则和结果。

三。

缺少电话号码的信息，无法猜测。

简单排列问题的基本方法

简单排列问题的基本方法
（1）直接法：特殊元素（位置）优先（有限制条件）安排法
（2）间接法（整体排除法）
（3）相邻元素“捆绑法”：将相邻元素视为一个大元素
若相邻元素称为一个集团，先排“集团内部”的元素，再把集团看作一个大元素，与其他元素一起排列
（4）间隔（不相邻）问题“插空法”：先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置
（5）顺序固定用“除法”若有m+n个元素排成一列，其中m个元素顺序固定，共有种不同排法
方法技巧：排列的特点是“先取后排”，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题。

人教版二年级数学上册第八单元第1课时《简单的排列问题》教案

人教版二年级数学上册第八单元第1课时《简单的排列问题》教案一、教学目标1.知识与能力：能够了解排列的概念，能够简单的进行排列问题的计算。

2.过程与方法：培养学生的观察能力，逻辑思维能力，分析和解决问题的能力。

3.情感态度：培养学生的合作意识，培养学生积极进取的学习态度。

二、教学重点1.排列的基本概念2.简单的排列问题的解决方法三、教学难点1.排列问题的灵活应用四、教学过程1. 导入通过小组合作游戏来引入排列的概念，让学生体会排列的乐趣。

2. 概念讲解1）排列的定义：排列是将若干不同的事物按规定的顺序排列起来的结果。

2）排列的表示方法：n个不同的事物按一定顺序排成一排的方法数用n!表示，读作n的阶乘。

3. 案例分析讲解一个简单的排列问题，引导学生分析问题，并通过案例演示如何计算排列数。

4. 练习与训练让学生进行几个简单的排列问题练习，在小组内相互讨论，师生互动，巩固所学内容。

5. 拓展应用提出一个更具挑战性的排列问题，让学生进行思考和尝试，培养解决问题的能力。

6. 总结反思总结本节课所学内容，让学生回顾排列的概念，巩固知识点。

同时引导学生反思在解决排列问题中的策略和方法。

五、作业布置布置一些排列问题的练习题作为作业，要求学生独立完成并认真核对答案。

六、板书设计•排列：概念、表示方法•案例分析：简单的排列问题•练习与训练：巩固所学内容•拓展应用：更具挑战性的排列问题•总结反思：排列的策略与方法七、教学反思本节课通过引导学生从实际问题中认识排列的概念，培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

值得注意的是，在教学过程中要多与学生互动，引导他们主动思考，提高学习的主动性和深度。

人教版二年级上册数学《简单的排列问题》教学设计(公开课)

人教版二年级上册数学《简单的排列问题》教学设计（公开课）一. 教材分析人教版二年级上册数学《简单的排列问题》这部分内容是在学生已经掌握了100以内数的认识、加减法和简单的几何图形知识的基础上进行学习的。

教材通过具体的实例，引导学生发现和探究排列的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数的认识和加减法运算比较熟悉。

但是，对于排列问题，他们可能还不太了解，需要通过具体的实例和操作活动来逐步理解和掌握。

学生的思维方式以具体形象思维为主，需要通过实物、图片等直观教具来帮助他们理解和掌握知识。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生通过观察、操作、探究等活动，理解排列的意义，掌握简单的排列方法。

2.过程与方法：培养学生观察、思考、交流、合作的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生的创新精神和克服困难的勇气。

四. 教学重难点重点：理解排列的意义，掌握简单的排列方法。

难点：发现和探究排列的规律。

五. 教学方法采用情境教学法、游戏教学法和小组合作学习法，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高学生的学习兴趣和积极性。

六. 教学准备教具准备：教材、课件、实物、图片、卡片等。

环境准备：安静、整洁、舒适的学习环境。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的谜语导入：“小明有10个糖，他给了小红3个，自己还剩几个？”引导学生思考和回答，引出排列的概念。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的例1和例2，引导学生观察和描述两个例子中的排列规律，让学生通过自己的语言来表达和解释排列的意义。

3.操练（10分钟）通过小组合作学习，让学生利用卡片、实物等进行排列操作，引导学生发现和探究排列的规律。

教师巡回指导，给予学生及时的反馈和帮助。

4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生独立完成或小组合作完成，检验学生对排列的理解和掌握程度。

教师及时批改和讲解，帮助学生巩固知识。