2012年华约自主招生数学试题

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2012自主招生考试数学问题

以下题目所给答案为非官方人士自行编制，有些许错误，请老师帮忙解答和改正1、对函数f:[0,1]→[0,1]，定义f 1(x)=f(x)，……，f n (x) =f(f n-1(x))，n=1,2,3,……。

满足f n (x)=x 的点x ∈[0,1]称为f 的一个n-周期点。

现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n-周期点的个数是_____C______。

A.2n 个；B.2n 2个；C.2n 个；D.2(2n -1)个.2、已知常数k 1,k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1。

设C 1和C 2分别是以y=±k 1(x-1)+1和y=±k 2(x-1)+1为渐近线且通过原点的双曲线。

则C 1和C 2的离心率之比e 1/e ²等于___C____。

A.222111k k ++; B.212211k k ++ C.1 D.k 1/k 23、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f(x)是______C______。

A ．图像关于原点对称； B ．图像关于直线x=π对称；C ．周期为2a π的周期函数D ．周期为2π的周期函数.4、将同时满足不等式x-ky-2≤0，2x+3y-6≥0，x+6y-10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合D 称为可行域，将函数(y+1)/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小值。

如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则k 的取值为__C___。

A.k ≥1;B.k ≤2C.k=2;D.k=1.5、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是____D____。

A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”；B. 否命题为“单调函数是周期函数”；C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”；D. 以上三者都不正确6、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x-x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点。

2012华约高校自主招生数学试题及解答

x2n
(x+2n+1),
(2n 1)!
f 2 n 1 (2n
1) =
f2n1(2n 1)
=…=
f1(2 n1) <0
故 f2n1(x) =0 有唯一一个解，记为 x2n1 ∈(-2n-1,0)
又
f
2n
2
(
x
)
=
f2n1(x) ，
f2n2 (x)
在(-∞,
x2n1 )上单调减，在( x2n1 ,+∞)上单调增
A. 0 ；
B.1 ；
C. 1 ；
D. 2
5.若正整数集合 Ak 的最小元素为 1,最大元素为 2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差
为 k 的等差数列,则并集 A17 A59 中的元素个数为
A.119；
B.120；
C.151；
D.154
6.三角式
1 cos 0f2n1 (x2n1 ) <0= f2n1 (x2n1 ) , f2n1 (x) 单调增， x2n1 x2n1
总之，当 n 为偶数时,方程 fn (x) 0 无解;当 n 为奇数时,方程 fn (x) 0 有唯一解 xn ,且
xn2 xn .
15 3
7
13.【简解】如图，cosB= = ,cosC=
n0
n1
n2
k
k 1
k 2
= C2nk 1 (1 p)n p 2k 1n +2 C2nk 1 (1 p)n1 p 2k n + C2nk 1 (1 p)n2 p 2k 1n
n0
n0
n0
k
=
C2nk 1 (1
p)n
p

2012年华约自主招生数学试题参考解答

过一次比赛，我们还剩下 A, B, C, D, E 互相的比赛和 A, B, C, D 与 F1 , F1 ,..., F2 m , F2 m 之间的比赛， A, B, C, D, E 互相的比赛根据 l 1 的结论我们知道也有满足要求的比赛；
1 2 1 2
A, B, C, D 与 F11 , F12 ,..., F21m , F22m 之间的比赛我们安排如下：
ABC , BE R† AC u E , CD R† AB u D , BC = 25, CE = 7 , u: H , ë •Ý . DE , ± DE •†»x ,T † AC
BD = 15 . e BE, CD u,˜: F , ¦ AF )‰. ë
3 7 DF , Kk DF R† AC . d®•^‡k cos B = , cos C = ,¤ 5 25 4 24 ± sin B = , sin C = . u´ 5 25 sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + sin C cos B = Ï d ∠A = ∠B , = ABC • n 4 = sin B , 5 AC =
2. 当 l m 的时候结论成立，那么 l m 1 的时候，假设这 4m 5 位选手为
A, B, C, D, E, F11 , F12 , F21 , F22 ,..., F21m , F22m ，由归纳假设，可以安排 E, F11 , F12 , F21 , F22 ,..., F21m , F22m 之间的比赛，使得他们之间每两位选手作为队友恰好只参加
Ïd
p
1 ž , {pk } 4O ; 2
p
1 ž , {pk } 4~ . 2
2. ® • fn (x) = 1 + x + fn (x) = 0 Ã) ,

2010-2012“华约”自主招生数学试题和参考解答-2

2010年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（）（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（）（A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为（）．（A ）n/3 （B ）n/4 （C ）n/6 （D ）n/84．正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点，则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（）．（A ）1:6 （B ）1:5 （C ）1：4 （D ）1:3 5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tantan 22A C的值为（）（A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（）（A ）1 （B（C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（）（A ）（B ）2 （C ）（D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。

2012华约自主招生考试数学试题

2012年华约自主招生考试数学试题一、选择题1. 在锐角三角形ABC 中，已知A B C >>，则cos B 取值范围是（）A 、⎛ ⎝⎭B 、12⎛ ⎝⎭C 、()0,1D 、⎫⎪⎪⎝⎭2. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同色的棋子中，均为红棋在前，蓝棋在后，满足这种条件的不同排列方式共有（）A 、36B 、60C 、90D 、1203. 正四棱锥S -ABCD 中，侧棱底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 对角线所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则四个角大小顺序为（）A 、α<β<θ<γB 、α<β<γ<θC 、α<γ<β<θD 、β<α<γ<θ4. 向量e α≠，1e =，若对t R ∀∈，te e αα-≥+，则（）A 、e α⊥B 、()e αα⊥+C 、()e e α⊥+D 、()()e e αα+⊥-5. 若C ω∈，11ωω-+的实数部为0，求复数11ω+在复平面内对应的点的轨迹（） A 、一条直线 B 、一条线段 C 、一个圆 D 、一段圆弧6. 椭圆长轴长是4，左顶点在圆22(4)(1)4x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆的离心率的范围是（）A 、11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是正三角形，点A 在侧面SBC 的射影H 是SBC 的垂心，二面角H -AB -C 为30度，且SA =2，则此三棱锥体积为（）A 、12BCD 、348. 已知锐角ABC ∆，BE AC ⊥于E ，CD AB ⊥于D ，25BC =，7CE =，15BD =，BECD H =，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，AF 的长度为（）A 、8B 、9C 、10D 、119. 数列{}n a 的通项公式是22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（） A 、0B 、lg 32C 、lg2D 、lg310. 已知610i x -≤≤（1,2,,10i =），10150i i x ==∑，当1021i i x =∑取得最大值时，在i x 这10个数中等于6-的共有（）个A 、1B 、2C 、3D 、4二、解答题 11. 三角形ABC 中，22sin 1cos22A B C +=+，（1）求角C 大小；（2）22222c b a =-，求cos2cos2A B -的值．12. 点P 在y 轴上的投影为H ，若()2,0A -，()2,0B ，22AP BP PH ⋅=．（1）求点P 的轨迹；（2）过B 的直线在x 轴下方交P 点轨迹于M 、N 两点，MN 的中点为R ，求过R 与()0,2Q -的直线斜率的取值范围．13. 系统内每个元件正常工作的概率为p ，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．（1）某系统配置21k -有个元件，k 为整数，求系统正常工作的概率k P ，并讨论k P 的单调性；（2）现为改善（1）中性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统可靠性． 14. 已知2()12!!n n x x f x x n =++++（n N *∈），求证：当n 为偶数时，()0n f x =无解；当n 为奇数时，()0n f x =有唯一解且2n n x x +<．15. 乒乓球队有n 个队员，在一次双打集训中，任意两名队员作为队友，恰好只搭档过一次双打比赛，求n的所有可能值并每个给一种比赛方案．16.。

2012年华约自主招生试题及其解答

( )
的实数部为 0，求复数 = 1+
在复平面内对应的点的轨迹。 = + i。所以复数在复平面内对应的点的
= yi，则
= 1在 x 轴下方有两个
= 1有两个不同负实根。整理即知：(k − 1)y + 4ky + 8 = 0有两
个不同负实根，分别为y = y 、y = y 。于是： k −1 ≠ 0 ⎧ (4k) △= − 4 × (k − 1) × 8＞0 ⎪ ⇒ 1＜k＜√2。 y +y = ＜0 ⎨ ⎪ y ·y = ＞0 ⎩ 设 CD 中点为 E，根据韦达定理知：y = 点E ，。即知直线 EQ 的斜率k = =
A
F D G E H B C
4、系统内有2k − 1个元件，每个元件正常工作的概率为 p，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率P ，并讨论P 的单调性。解答：当有2k − 1个元件时，恰有i个元件正常工作的概率为C p (1 − p) ，所以系统正常工作的概率：P = ∑ C p (1 − p) 。下面我们考察P 与P 的关系。当有2k + 1个元件时，设这2k + 1 个元件分别为A 、A 、A 、 … … 、A 、A 、A 下面我们分别讨论：
( )
场比赛，于
是知4|n(n − 1)。而 n，n − 1 = 1，所以4|n或4|n − 1，即n = 4k或n = 4k + 1，其中 k 为正整数。下面我们用数学归纳法证明，当n = 4k或n = 4k + 1时，其中 k 为任意正整数，都可以找到满足条件的比赛方案。我们将 A、B 搭档和 C、D 搭档之间的比赛记为 A，B ⟷ C ，D 。（1）我们先证明，n = 4k时，都可以找到满足条件的方案。当k = 1时，设四位学员分别为 A、B、C、D，我们如下安排比赛： A，B ⟷ C，D ， A，C ⟷ B，D ， A，D ⟷ B，C ，即满足题设条件。假设当k = t时，有满足题设条件的比赛方案。我们考察k = t + 1时的情况。为方便叙述，我们将这4t + 4名学员分别记为：A 、A 、A 、 … … 、A 、A、B、C、D，根据归纳假设知，A 、A 、A 、 … … 、A 之间有满足条件的比赛方案，A、B、C、D之间也有满足条件的比赛方案。在A 、A 、A 、 … … 、A 和A、B、C、D之间，我们如下安排比赛： A，A ⟷ B，A ， C，A ⟷ D，A ，其中i = 1、2、3、 … … 、4t，并记 A = A ，既满足题设条件。根据数学归纳法知，n = 4k时，都可以找到满足题设条件的比赛安排。而且，依据上述的归纳构造，我们可以得到一种满足题设条件的比赛方案。（2）接下来我们证明，n = 4k + 1时，都可以找到满足条件的方案。当k = 1时，设五位学员分别为A、B、C、D、E，我们如下安排比赛： A，B ⟷ C，D ， A，C ⟷ D，E ， A，D ⟷ E，B ， A，E ⟷ B，C ， B，D ⟷ C，E 即满足题设条件。假设当k = t时，有满足题设条件的比赛方案。我们考察k = t + 1时的情况。为方便叙述，我们将这4t + 5名学员分别记为：A 、A 、A 、 … … 、A 、A、B、C、D，根据归纳假设知，A 、A 、A 、 … … 、A 之间有满足条件的比赛方案，A、B、C、D之间也有满足条件的比赛方案。在A 、A 、A 、 … … 、A 和A、B、C、D之间，我们如下安排比赛： A，A ⟷ B，A ， C，A ⟷ D，A ，其中i = 1、2、3、 … … 、4t + 1，并记 A = A ，既满足题设条件。根据数学归纳法知，n = 4k + 1时，都可以找到满足题设条件的比赛安排。而且，依据上述的归纳构造，我们可以得到一种满足题设条件的比赛方案。

2012年自主招生考试数学试卷1

2012年高中自主招生考试理综试卷注意事项：1. 本试卷由数学、物理及化学三部分构成，数学1—8页；理化9—12页； 2．分值设置：数学100分，物理40分，化学40分，共180分； 3．考试时间：数学、物理及化学同场考试，时间为150分钟.4．答卷前，务必将自己的姓名、考号用钢笔（圆珠笔）写在每张试卷密封线内相应的位置上.5．考试结束后，考生须将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷一并交回．数学部分第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入第Ⅱ卷选择题答题表中相应题号下的方格内，填错或不填均为零分. 1. 下列运算正确的是A ．236(2)8a a -=-B ．3362a a a +=C ．632a a a ÷=D ．3332a a a ⋅= 2. 若某三角形的两边长分别为6和8，则下列长度的线段能作为其第三边的是A ．2B ．10C ．14D ．163．实数aA . 7B . -7C . 2a -15D . 无法确定 4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切．若点A 的坐标为（0，4），则圆心M 的坐标为A ．（25，﹣2） B ．（25-，2） C ．（﹣2，25）D ．（2，25-）（第3题图）（第4题图）5. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i =1i =1∶1，则两个坡角的和为A ．o 60B ．o 75C ．o 90D ．o 1056．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为 A ．9B ．10.5C ．12D ．157. 如图，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y <时，x 的取值范围是 A ．x ＞-1 B ．-1＜x ＜2 C ．x ＜2D . x ＜-1或x ＞28．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是(第6题图)(第7题图)A BCDEF PA ．B ．C ．D ．ＡＦＣＤＢＥ（第12题图）2012年高中自主招生考试数学试卷总分表选择题答题表第Ⅱ卷（非选择题共76分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将结果直接填写在每题的横线上. 9．分解因式：2224xy xy y -+-= .10．将二次函数2x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是．11．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm ，则此扇形的面积是 2cm （结果保留π）． 12．如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形； ④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF是正方形.其中错误的是（只填序号）. 13．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则直线y kx b =+的解析式为 .B n 的坐标是．三、解答题：（本大题共8个小题，满分61分）14.（本题满分5分）化简：22222369x y x y yx y x xy y x y --÷-++++．15.（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．16.（本题满分6分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．（1）请用树状图表示出三位评委给出A选手的所有可能的结论；（2）比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A，进行下一轮比赛的概率是多少？17.（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．EADB C18.（本题满分8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，CA =CB ，CD ∥AB 与OA 的延长线交于点D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠ACB =120°，OA = 4，求CD 的长．19.（本题满分8分）如图，已知菱形OABC 的边长为6，O 点为坐标原点，C 点在x 轴上，D 为BC 边的中点，双曲线y =xk(k >0)经过A 、D 两点. （1）求反比例函数y =xk的解析式；（2）若点P 为x 轴上一点，且满足PD =AD ，求出点P 的坐标.ABC DO20．（本题满分10分）为迎新年，某公司用10台机器生产A、B两种不同的龙年吉祥玩具，每台机器只生产其中一种玩具，每天所需生产原料总数不超过950千克，每天生产的B种玩具不小于A种玩具的件数，每天连续工作10小时.下表是这种机器生产不同玩设生产A种玩具的机器x台，则生产B种玩具的机器有（10-x）台.（1）求x的取值范围.（2）若A种玩具每2件包装成一盒，B种玩具每4件包装成一盒，每天生产的各种玩具恰好包装完．．．．．.A种玩具每盒可获利5元，B种玩具每盒可获利6元.(包装了才能销售)怎样安排机器生产使每天生产玩具获利最大.（3）若用6台机器生产A种玩具，4台机器生产B种玩具，且将A种玩具2件，B种玩具4件混合包装成一盒，这样安排后，每天生产出来的玩具不能成套包装的有多少件？21．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ，①用m 的代数式表示点P 的坐标；②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题

2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

6、在2012,,2,1Λ中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析12312为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦2和312-于是知，2和312为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e不全为0，则：420(42)(2020a c eg a c e b db d++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c=-+----+++++702320a b c d ea b c d+---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb da b c d ea b c da b c++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d++-=（6）由（6）+（2）得：1130a b c++=（7）由（6）+（4）得：13430a b c++=（8）由（7）-（5）得：0a=，代入（7）、（8）得：0b c==，代入（1）、（2）知：0d e==.于是知0a b c d e=====，与,,,,a b c d e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1-和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

2012年华约自主招生全真模拟_数学AAA(含答案以及详解)

1.1正数负数练习题1一﹑选择题 (共10个小题，每小题3分，共30分)1. 李华把向北移动记作“+”，向南移动记作“—”，下列说法正确的是（） A. —5米表示向北移动了5米 B. +5米表示向南移动了5米C. 向北移动—5米表示向南移动5米D. 向南移动5米，也可记作向南移动—5米 2. *下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（）A. 一天凌晨的气温是—50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100CB. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12%C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么—6米表示比海平面低—6米D. 如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元 3. 下列说法错误的是（）A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B. 一个有理数不是整数就是分数C. 正有理数分为正整数和正分数D. 负整数、负分数统称为负有理数4.如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）5.如图所示，点M 表示的数是（）A. 2.5B. 5.3-C. -25.D. 2.5 6. *6，2008，212，0，-3，+1，41-中，正整数和负分数共有（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7. 若字母a 表示任意一个数，则—a 表示的数是（）A. 正数B. 负数C. 0D. 以上情况都有可能 8.点A 为数轴上表示－2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B 时，点B 所表示的实数是（）A 1B －６Ｃ２或－６Ｄ不同于以上答案第Ⅱ卷（非选择题）一、填空题（共8个小题，每小题3分，共24）11.数轴上离表示-3的点的距离等于3个单位长度的点表示数是 .12.有理数中最小的非负数．最大的非正数是．13.在数轴上A 点表示－31，B 点表示21，则离原点较近的点是__ _点．14.小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．15.#如果全班某次数学测试的平均成绩为80分，某同学考了85分，记作+5分，得分90分和80分应分别记作_________________________．16.某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±0.1）kg 、（50±0.2）kg 、（50±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 .17.小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的个数有．18.*神舟六号飞船于北京时间（UTC+8）2005年10月12日上午9:00在酒泉卫星发射中心发射升空，费俊龙和聂海胜两名中国航天员被送入太空。

2012年高中自主招生数学模拟答案

2012年高中自主招生数学模拟试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1、如图一个长为m 、宽为n 的长方形（m ＞n ）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ A ）A 、2m n -B 、m －nC 、2m D 、2n 2、如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是（ A ）A B C D3、设min ｛x,y ｝表示x,y 两个数中的最小值，例如min ｛0,2｝=0，min ｛12,8｝=8，则关于x 的函数关系式可以表示为（ A ）A 、()()2222xx y x x <⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ B 、()()2222x x y x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩C 、y =2xD 、y=x ＋24、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为则a 的值是（ B ）A 、B 、2+、 D 、25、如果把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ D ）A 、13 = 3+10B 、25 = 9+16C 、49 = 18+31D 、36 = 15+216、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ C ）A 、30，2B 、60，2C 、60，2D 、60，3 7、某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12.则这种变速车共有（ B ）档不同的车速.A 、4B 、8C 、12D 、169、设a b ，是方程220120x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为___2011___.10、如图，平面内4条直线1234l l l l 、、、是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点A 、C 分别在直线14l l 、上，该正方形的面积是 9或5 平方单位．11、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0,0(>>=k x x k y 的图象经过点A （1, 2），B （m ，n ）（m ＞1），过点B 作y 轴的垂线,垂足为C.若△ABC 面积为２，则点B 的坐标为__（3，）32______. 12、如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合时，点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边 MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积是___723π+_____．13、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则tan EFO ∠的值为34．14、已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为____8____．三、解答题（第15、16小题各10分，第17、18小题各12分，共44分）15、如图，一个边长为16m 的正方形客厅，用边长分别为1m 和0.5m 的两种正方形地板砖铺设其地面．要求正中心一块是边长为1m 的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌．问铺好整个客厅地面共需要边长为1m 的大地板砖多少块？解：客厅面积=16×16=256m 2从图中可看出1m 一块，则0.5m 的正好两块，但是每个角上又少一个边长0.5m 的地板砖．大小的个数比为37：48则设大地板砖个数为x ，小的为y37x+48y=256① 37：48=x ：y②解得x=181（块）答：铺好整个客厅地面共需要边长为1m 的大地板砖181块．16、我们规定：等腰三角形的底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）对于0°＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 0＜sadA ＜2 ．（2）sad36°=．（3）已知sinA 35=，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．解：（3）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，sin∠A=35．在AB 上取点D ，使AD=AC ，作DH⊥AC，H 为垂足，令BC=3k ，AB=5k ，则，又在△ADH 中，∠AHD=90°，sin∠A=35．∴DH=ADsin∠A=125k ，=165k ．则在△CDH 中，CH=AC ﹣AH=45k ，．于是在△ACD 中，AD=AC=4k ，．由正对的定义可得：sadA==，即sad α17、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=35．点O 为BC 边上的动点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，联结MN ．（1）当BO=AD 时，求BP 的长；（2）点O 运动的过程中，是否存在BP=MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP=MN ；若不存在，请说明理由；（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C，请直接写出当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值范围.解：（1）过点A 作AE⊥BC,由AB=5，cosB=35得BE=3 ∵CD⊥BC，AD//BC ，BC=6，∴AD=EC=BC -BE=3 当BO=AD=3时，过点O 作OH⊥AB,则BH=HP ∵cos BH B BO =,∴BH=39355⨯= ∴BP=185（2）不存在BP=MN 的情况假设BP=MN 成立，则必有∠BOP=∠DOC过P 作PQ⊥BC，过点O 作OH⊥AB,∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC设BO=x ，则PO=x,由3cos 5BH B x ==，得BH=35x , ∴BP=2BH=65x ∴BQ=BP×cosB=1825x ，PQ=2425x ，∴OQ=1872525x x x -= ∵△PQO∽△DOC，∴PQ DC OQ OC =即244257625x xx =-，得296x = A B C D O P M N A B CD （备用图） A B C D O PM N Q H当296x =时，BP=65x =295＞5=AB ，与点P 应在边AB 上不符， ∴不存在BP=MN 的情况（3）情况一：⊙O 与⊙C 相外切，此时，0＜CN ＜6；情况二：⊙O 与⊙C 相内切，此时，0＜CN≤73. 18、已知：二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且A 点坐标为（－6，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF∥AC 交BC于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．解：(1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8∴B（2，0）、C （0，8）∴所求二次函数的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8 （2）∵AB＝8，OC ＝8，依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ，∵OA＝6，OC ＝8， ∴AC＝10.∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.∴EF AC ＝BE AB . 即EF 10＝8－m 8 . ∴EF＝40－5m 4. 过点F 作FG⊥AB，垂足为G ，则si n∠FEG＝sin∠CAB＝45 .∴FG EF ＝45. ∴FG＝45·40－5m 4＝8－m. ∴S＝S △BCE －S △BFE ＝118)88)8)22m m m -⨯---（（（ 2142m m =-+（0＜m ＜8） (3)存在．理由如下:∵S＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8.∵m＝4，∴点E 的坐标为（－2，0）∴△BCE 为等腰三角形．。

2012自主招生“华约”数学试卷解析

x k x k x0 2 的最小值应该在 x0 处取到， f k x0 f k 1 x0 0 0 0 ，也就是说 k! k! k!
2 k
f k x 在实数上的每个取值都大于零，因此结论成立
x 2 x3 xk ② k 是奇数的时候， f k x 1 x ， f k ' x f k 1 x ，那么由归 k! 2! 3!
目前有 n n 2 位乒乓球选手，他们互相进行了若干场兵乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问 n 的所有可能取值解答：本题写起来较为复杂，所以主要告诉大家思想即可。假设比赛了 k 场比赛，那么由题目假设，一场比赛出现了 2 对队友，所以 Cn 2k
AFi1 与 BFi 2 ， AFi 2 与 BFi1 ， CFi1 与 DFi 2 ， CFi 2 与 DFi1 ，这样就满足要求了
最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的 4m 5 位选手之间的比赛了由数学归纳法，结论得到了证明 n 4l 的时候，我们对 l 使用数学归纳法，与上面几乎类似也可以证明结论综合上述， n 的所有可能取值是 n 4l 或者 4l 1 ，其中 l
作者简介：田轶平，学而思自主招生研究中心数学带头人，学而思高端教师，毕业于北京大学，曾获得 CMO 金牌，负责自主招生讲义的编写工作，在数学高中教育方面有着自己独到的见解。
过一次比赛，我们还剩下 A, B, C, D, E 互相的比赛和 A, B, C, D 与 F1 , F1 ,..., F2 m , F2 m 之间的比赛， A, B, C, D, E 互相的比赛根据 l 1 的结论我们知道也有满足要求的比赛；
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2012年“华约”、“北约”自主招生数学试题分析及应试策略

• （5）对简单数论与组合数学的考查
二、2012年自主招生数学试题的考试热点以及其备考方向
• 通过对近几年“北约”、“华约”及“卓越”三联盟自主招生考试数学试题的分析，今年各联盟自主招生的有以下几个方面成为热点： • （1）三角与向量。主要考查三角函数的恒等变形、三角形中的三角函数、三角不等式、三角函数的性质 • （2）函数与导数。主要考查函数的三大性质、二次函、三次函数、极值与最值问题
• (3) 数列与不等式。主要考查等差数列与等比数列、
简单的递推数列、数列的求和、数列求通项、数列的性质等
• (4)解析几何。主要二次曲线的几何性质、点的轨迹方程、解析法等 • (5)概率与统计。主要考查离散变量的概率 • (6)简单的初等数论。主要考查数的整除性、奇偶性 • (7)简单的组合数学。主要考查排列、组合、计数、对应、趣味数学题。
2、“华约” 自主招生数学试题特点
• “华约”自主招生数学试题总的来说比“北约ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的试题多变，即随意性较大。主要特点如下： • （1）突出能力立意 • （2）三角恒等变换与三角形中的三角函数 • （3）概率统计 • （4）方程与不等式
• （5）函数与导数
3、“卓越同盟” 自主招生数学试题特点
• （1）注重函数与方程的考查 • （2）注重代数恒等变形的考查 • （3）突出数学思想方法的考查 • （4）注重不等式与数列
自主招生试题特点分析
及2012年自主招生备考策略
一、2012年自主招生数学试题特点
1、北约自主招生数学试题的特点
• (1)注重对数学思想方法的考查
• (2)注重数学综合应用能力的考查
• (3)注重逻辑推理能力的考查
• (4) 注重运算能力及数学能力的考查 • (5) 注重对主杆知识的考查 • (6)注重数学应用性问题的考查

2012年华约自主招生数学含答案以及详解)

2012年高水平大学自主选拔学业能力测试数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。

若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为______ A.7 B.7 C. 3 D.323.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为______A.1B. 2C. 3D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是A .B.C.D.5．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。

A.0B.1. C-1 D.2 6．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()_________f x f x+=。

A 1 B 2 C 3 D 4 7．已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．A 4/5B 3/5 C1 D -4/58．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（）A ．π4B ．π2C ．24πD ．22π 9. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为。