直线与椭圆的位置关系(2)
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系
解：因为 2 2 x 4 y 16 0 设直线方程为 y - 2 k x 1 ， 代入椭圆 得 x2 4kx k 22 16 1 4k 2 x2 16k 8k 2 x 4k 2 16k 0
1 4 1 16 4 ，所以点在椭圆外，切线有两条
12 3 1 解：因为 1 ，所以点在椭圆上，切线只有一条。 16 4 4 4 x2 y2 1 ，得 设直线方程为y=kx+m，代入椭圆 16 4 2
2 3
2
x 4kx m 16 0 2 2 2 1 4k x 8kmx 4m 16 0 2 8km 4 1 4k 2 4m2 16 0
得 k
所求直线为3x+8y-20=0 当直线与X轴垂直是即x=4也与椭圆相切 故所求直线方程为x-4=0或3x+8y-20=0
1、点 Px0 , y0
x2 y2 与椭圆 a 2 b 2 1a b 0 的位置关系有三种：
（1）点在椭圆内： （2）点在椭圆上：
x0 y0 1 2 2 a b x0 y0 2 1 2 a b x0 y0 1 2 2 a b
2 2 2 2
2
2
（3）点在椭圆外：
2
m2 16k 2 4 0
又点 2 3,1 在直线y=kx+m上，所以2 3k m 1 由
2 2 m 16k 4 0 2 3k m 1
m 4 ，得 3 k 2
3 故所求直线方程为 y 2 x 4 ,即： 3x 2 y 8 0
直线与椭圆的 位置关系（2）
18直线与椭圆的位置关系2
①相交
②相切
ห้องสมุดไป่ตู้
③相离
三种位置关系的处理方法
1、形方面：交点个数； 2、数方面：转化为一元二次方程利 用判别式。
0 0 0
相交
相切
相离
弦长公式：
| PQ | 1 k | x1 x2 | 1 k
2 2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
例题讲解
12 y 标原点.若 OA OB ,求直线 l 的倾斜角. 5 A
Ｆ１
o
Ｆ２
x
B
在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0， 3) ， (0，3) 的距离 之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C ，直线 y kx 1 与 C 交于 A， B 两点． （Ⅰ）写出 C 的方程；
（Ⅱ）若 OA OB ，求 k 的值；
（Ⅰ）设 P（x，y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是
(0 以 (0， 3)，，3) 为焦点，长半轴为 2 的椭圆．它的短半轴
y b 2 ( 3) 1 ，故曲线 C 的方程为 x 1 ． 4
2 2
2
2
（Ⅱ）设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 ) ，其坐标满足
2 y2 1， x 2 2 消去 y 并整理得 (k 4) x 2kx 3 0 ， 4 y kx 1. 2k 3 故 x1 x2 2 ． ，x1 x2 2 k 4 k 4 2 若 OA OB ，即 x1 x2 y1 y2 0 ．而 y1 y2 k x1 x2 k ( x1 x2 ) 1 ，
2
1 1 | PQ | 1 2 | y1 y2 | 1 2 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 k k
3.1.2椭圆的几何性质(直线与椭圆的位置关系)课件(人教版)
讲
课
人
：
邢
启
强
15
高中数学
课堂小结
方程
选择性必修第一册
y2
x2
2 1
2
a
b
x2
y2
1
a 2 b2
RJ·A
图形
(, )
(, )
(−, )
o
对称性
顶点
离心率
讲
课
人
：
邢
启
强
(−, )
(, )
(, )
(, −)
范围
a x a,b y b
c
e (0 e 1)
a
16
后研究圆锥曲线的统一性等性质带来
方便。
讲
课
人
：
邢
启
强
4
题型：直线与椭圆的位置关系
2 2
例：已知直线l:y=2x+m,椭圆：4 + 2 = 1，试问当m取何
值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点。
解题提示：联立方程
式判断根的个数
讲
课
人
：
邢
启
强
消元得一元二次方程
得出结论
利用根的判别
5
题型：直线与椭圆的位置关系
= 2 +
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组ቐ 2
2
+
4
2
讲
课
人
：
邢
启
强
=1
,
第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用
第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一 直线与椭圆的位置关系 1.直线y=x+1与椭圆x 25+y 24=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直线y=kx-k+1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定3.若直线y=kx+2与椭圆x 23+y 22=1有且只有一个交点,则斜率k 的值是 ( )A.√63B.-√63C.±√63D .±√334.已知直线y=kx+1和椭圆x 2+2y 2=1有公共点,则k 的取值范围是( ) A.k<-√22或k>√22 B.-√22<k<√22C.k ≤-√22或k ≥√22D.-√22≤k ≤√22题组二 直线与椭圆的相交弦问题5.过椭圆x 2+2y 2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB 的长为( ) A.67B.167C.716D.766.直线y=x+1被椭圆x 24+y 22=1所截得线段的中点的坐标是( )A.(23,53)B.(43,73)C.(-23,13)D.(-132,-172)7.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B 两点.设O为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-3 B.-13C.-13或-3 D.±138.(2019广东深圳中学高二上期中)若椭圆x 236+y 29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 .9.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e 为√32,短轴长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)过P(2,1)作弦且弦被P 平分,求此弦所在的直线方程及弦长.题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用 11.设椭圆C:x 29+y 24=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P,则直线PF 1的斜率为( ) A.13B.12C.√33D.√3212.若点O 和点F分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .13.已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆x28+y22=1上一点,Q,R,S分别为P关于y轴,原点,x轴的对称点.(1)求四边形PQRS面积的最大值;(2)当四边形PQRS面积最大时,在线段PQ上任取一点M(不与端点重合),若过M 的直线与椭圆相交于A,B两点,且AB中点恰为M,求直线AB斜率k的取值范围.能力提升练题组一直线与椭圆的相交弦问题1.()已知椭圆x2+y24=1 和点A(12,12),B(12,1),若椭圆的某弦的中点在线段AB上,且此弦所在直线的斜率为k,则k的取值范围为()A.[-4,-2]B.[-2,-1]C.[-4,-1]D.[-1,-12]2.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+33.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的方程为.4.(2020山东师大附中高二上第五次学分认定,)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为√32.(1)当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.5.(2020辽宁大连高二上期中,)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.题组二直线与椭圆位置关系的综合运用6.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y24=1的交点的个数为()A.0或1B.2C.1D.07.(2018吉林省实验中学期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为()A.√55B.√33C.√105D.3√3108.(多选)()已知椭圆C:x 24+y 22=1的左,右两个焦点分别为F 1,F 2,直线y=kx(k ≠0)与C 交于A,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E,直线BE 与C 的另一个交点为P,则下列结论正确的是( )A.四边形AF 1BF 2为平行四边形B.∠F 1PF 2<90°C.直线BE 的斜率为12k D.∠PAB>90°9.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知点P是椭圆x 225+y 29=1上任意一点,则当点P 到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P 的坐标为 . 10.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点F 1作斜率为12的直线l 与C 交于A,B 两点,若|OF 1|=|OA|,则椭圆C 的离心率为 . 11.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且过点(1,√22)和(√22,√32).(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点,AF 2的延长线与椭圆交于点B,AO 的延长线与椭圆交于点C,求△ABC 面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC 的方程.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,离心率为√22.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≥x 2)两点. (i)求|AF 2|·|BF 2|的最小值;(ii)点Q 是直线l 上异于F 2的一点,且满足|QA||QB|=|F 2A||F 2B|,求证:点Q 在一条定直线上.13.()已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22,过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线m 与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦长为√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在过点P(0,3)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,且|PA|=2|AB|?若存在,求直线l 的方程;若不存在,说明理由.答案全解全析基础过关练1.A 解法一:直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x 25+y 24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.解法二:联立直线与椭圆的方程,得{y =x +1,x 25+y 24=1,消去y 得,9x 2+10x-15=0,Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.2.A 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为19+14<1,所以点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.3.C 由{y =kx +2,x 23+y 22=1,消去y 并整理,得(2+3k 2)x 2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k 2)=0, 解得k=±√63,故选C.4.C 由{y =kx +1,x 2+2y 2=1,得(2k 2+1)x 2+4kx+1=0. ∵直线与椭圆有公共点, ∴Δ=16k 2-4(2k 2+1)≥0, 解得k ≤-√22或k ≥√22.5.B 设直线AB 的方程为y=kx+b(k ≠0),易求直线AB 的方程为y=√3(x+√2).由{y =√3(x +√2),x 2+2y 2=4,消去y 并整理,得7x 2+12√2x+8=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-12√27,x 1x 2=87.由弦长公式,得|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+(√3)2×√(-12√27)2-4×87=167.6.C 联立方程,得{y =x +1,x 24+y 22=1,消去y 并整理,得3x 2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),中点M(x 0,y 0). ∴x 1+x 2=-43,x 0=x 1+x 22=-23,y 0=x 0+1=13,∴中点坐标为(-23,13). 7.B 由x 22+y 2=1,得a 2=2,b 2=1,c 2=a 2-b 2=1,则焦点坐标为(±1,0). 不妨设直线l 过右焦点,又倾斜角为45°,则直线l 的方程为y=x-1. 代入x 22+y 2=1得x 2+2(x-1)2-2=0,即3x 2-4x=0.设交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2=0,x 1+x 2=43,y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1=1-43=-13,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0-13=-13.8.答案 -12解析 设弦两端点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).因为(4,2)是线段AB 的中点,所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,将A,B 两点代入椭圆方程,得{x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减得x 22-x 1236+y 22-y 129=0,整理得y 2-y 1x 2-x 1=-x 2+x 14(y 2+y 1),即k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-12.9.答案 53解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与x 25+y 24=1联立,消去y,得3x 2-5x=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=53,x 1x 2=0,所以|AB|=2·|x 1-x 2|=√1+k 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(53)2-4×0=5√53.设原点到直线的距离为d,则d=√2=2√55.所以S △OAB =12|AB|·d=12×5√53×2√55=53.10.解析 (1)由e=ca=√32可设,a=2t,c=√3t(t>0),则b=t=2,因此a=4,所以椭圆的标准方程为x 216+y 24=1.(2)设以点P(2,1)为中点的弦与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,将A,B 两点坐标分别代入椭圆的方程得{x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,两式相减可得,(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, ∴4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0, ∴弦所在直线的斜率k=y 2-y 1x 2-x 1=-12,∴以点P(2,1)为中点的弦所在直线的方程为x+2y-4=0, 联立椭圆的方程得x 2-4x=0,解得x=0或x=4, 因此弦长|AB|=2·|x 1-x 2|=2√5. 11.B 依题意得,a 2=9,b 2=4,∴c 2=5,因此以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=5. 由{x 2+y 2=5,x 29+y 24=1,得{x 2=95,y 2=165, 又点P 在第一象限,∴P (3√55,4√55),又F 1(-√5,0), ∴斜率k PF 1=4√55-03√55+√5=12,故选B.12.答案 6解析 由x 24+y 23=1,可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x ≤2,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y), 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+x+y 2=x 2+x+3·(1-x 24)=14x 2+x+3=14(x+2)2+2, 当且仅当x=2时,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 13.解析 (1)由P 在椭圆上得m 28+n 22=1,∵m>0,n>0,∴利用基本不等式得1=m 28+n 22≥2×√×√=mn 2,当且仅当m 28=n 22=12,即m=2,n=1时,等号成立,易知S 四边形PQRS =2m×2n=4mn≤8,当m=2,n=1时取等号,故当m=2,n=1时,四边形PQRS 的面积取最大值,最大值为8.(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M 的坐标为(t,1),其中-2<t<2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有{x 128+y 122=1,x 228+y 222=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)8=-(y 1-y 2)(y 1+y 2)2(*),∵M 为线段AB 的中点, ∴x 1+x 22=t,y 1+y 22=1, ∴(*)化为(x 1-x 2)t 4=-(y 1-y 2),∴k=-t4,故k ∈(-12,12).能力提升练1.A 设椭圆x 2+y 24=1的某弦的两个端点分别为P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),中点为M(x 0,y 0),则{x 12+y 124=1,①x 22+y 224=1,②①-②,得(x 12-x 22)+14(y 12-y 22)=0,即k=y 1-y 2x 1-x 2=-4(x 1+x 2)y 1+y 2=-4x 0y 0.∵点M 在线段AB 上, ∴x 0=12,12≤y 0≤1,∴k=-4x 0y 0=-2y 0,2≤2y 0≤4,故-4≤-2y 0≤-2,则k ∈[-4,-2],故选A.2.ACD 直线y=2x-3与直线l 关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l 关于x 轴对称,直线y=-2x+3与直线l 关于y 轴对称,因此A 、C 、D 中的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C 截得的弦长大于7.故选ACD.3.答案y 275+x 225=1解析 设椭圆方程为y 2a2+x 2b2=1(a>b>0),则a 2=b 2+c 2=b 2+50.① 设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{b 2y 12+a 2x 12=a 2b 2,b 2y 22+a 2x 22=a 2b 2,∴b 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)+a 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0. 又x 1+x 2=2×12=1,y 1+y 2=2×(-12)=-1,y 1-y2x 1-x2=3,∴b 2×3×(-1)+a 2×1=0,即a 2=3b 2.②联立①②得,a 2=75,b 2=25. 故该椭圆的方程为y 275+x 225=1.4.解析 (1)因为离心率e=ca=√32,所以c 2=34a 2,又因为椭圆的短半轴长b=2,a 2-b 2=c 2,所以a 2=16,b 2=4, 即椭圆方程为x 216+y 24=1,因此, {x 216+y 24=1,y =x +m ⇒5x 2+8mx+4m 2-16=0,因为直线y=x+m 与椭圆有公共点,所以Δ=64m 2-4×5×(4m 2-16)≥0,即m 2≤20,解得-2√5≤m ≤2√5.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).解法一:当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),联立方程{y -1=k(x -2),x 216+y 24=1⇒(4k 2+1)x 2+8k ·(1-2k)x+16k 2-16k-12=0,所以x 1+x 22=4k(2k -1)4k 2+1=2,解得k=-12,所以直线l 的方程为x+2y-4=0.解法二:x 216+y 24=1⇒x 2+4y 2=16,{x 12+4y 12=16,x 22+4y 22=16⇒(x 1-x 2)(x 1+x 2)+4(y 1-y 2)·(y 1+y 2)=0⇒y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2-4(y 1+y 2)=-12, 所以斜率k=-12,所以直线l 的方程为x+2y-4=0.5.解析 (1)设M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(x p ,y p ),由已知得{x p =x,y p =54y,因为P 在圆上,所以x 2+(54y)2=25,即点M 的轨迹C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y=45(x-3)代入C 的方程,得x 225+(x -3)225=1,整理得x 2-3x-8=0,所以x 1+x 2=3,x 1x 2=-8,所以|AB|=√1+(45)·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=415.6.B 因为直线mx+ny=4和圆x 2+y 2=4没有交点,所以√22>2,所以m 2+n 2<4,而m 29+n 24≤m 24+n 24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y 24=1必有两个交点,故选B.7.A 设F 1的坐标为(-c,0),F 2的坐标为(c,0),故过F 1且与x 轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=±b 2a .可设A (-c,b 2a ),C(x,y),由题意可得△ABF 2的面积是△BCF 2的面积的2倍,故AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即有(2c,-b 2a )=2(x-c,y),即{2c =2x -2c,-b2a=2y,则{x =2c,y =-b 22a,代入椭圆方程可得4c 2a 2+b 24a 2=1,即4c 2a 2+a 2-c 24a 2=1, ∴4e 2+14-14e 2=1,解得e=√55(负值舍去).故选A.8.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF 1BF 2是平行四边形,故A 正确; ∵a 2=4,b 2=2,∴c 2=2, ∴∠F 1AF 2<90°,又∠F 1PF 2<∠F 1AF 2<90°, 故B 正确;由{x 2+2y 2=4,y =kx 得{x 2=41+2k 2,y 2=4k 21+2k2, 结合图形,不妨设k>0,则A (√2√2),B (-√2,-√2),E (√2,0),∴k BE =√1+2k 222+22=12k,故C 正确;取k=2,则A (23,43),B (-23,-43),E (23,0),∴直线BE 的方程为y=x-23,与椭圆方程联立得,P (149,89),∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-89,49),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-209,-209), ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1609-809>0,∴∠PAB>90°错误.故选ABC. 9.答案 (-4,95)解析 设平行于4x-5y+40=0,且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c=0(c ≠40). 由{9x 2+25y 2=225,4x-5y +c =0,得25x 2+8cx+c 2-225=0,令Δ=(8c)2-4×25×(c 2-225)=0得, c 2=625,解得c=±25.结合图形(图略)取c=25,此时,x 2+8x+16=0⇒x=-4. 代入4x-5y+25=0得,y=95,∴P (-4,95).10.答案√53解析 如图所示,设右焦点为F 2,则|OF 1|=|OA|=|OF 2|,∴AF 1⊥AF 2, 又tan ∠AF 1F 2=12,∴|AF 1|=4√55c,|AF 2|=2√55c.因此,2a=|AF 1|+|AF 2|=6√55c ⇒e=ca=√53.11.解析 (1)将两点代入椭圆方程,得{1a 2+12b 2=1,12a 2+34b 2=1,解得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由A 在x 轴上方,可知直线AF 2的斜率不为0,所以设直线AF 2的方程为x=ty+1,联立{x 22+y 2=1,x =ty +1⇒(t 2+2)y 2+2ty-1=0,得{y 1+y 2=-2tt 2+2,y 1y 2=-1t 2+2,所以|AB|=2·|y 1-y 2|=2√2(1+t 2)t 2+2. 设原点到直线AF 2的距离为d,则d=√2, 所以S △ABC =2S △OAB =2×12×|AB|×d=2√2(1+t 2)t 2+2=√2√2+12≤√2,当且仅当√1+t 2=√,即t=0时,等号成立,此时直线AB 的方程为x=1,所以A (1,√22),B (1,-√22),C (-1,-√22),所以此时直线BC 的方程为y=-√22.12.解析 (1)因为椭圆的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,所以半焦距c=1. 因为离心率为√22,所以a=√2,所以b=1.所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(i)由(1)知F 2(1,0),当直线l 的斜率不存在时,不妨设A (1,√22),B (1,-√22),所以|AF 2|·|BF 2|=12.当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y=k(x-1). 联立方程{x 22+y 2=1,y =k(x -1),消去y,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0.所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2.所以|AF 2|=√(x 1-1)2+y 12=√1+k 2|x 1-1|,|BF 2|=√(x 2-1)2+y 22=√1+k 2|x 2-1|.所以|AF 2|·|BF 2|=(1+k 2)|x 1x 2-(x 1+x 2)+1|=(1+k 2)|2k 2-21+2k2-4k 21+2k2+1|=1+k 21+2k 2 =12(1+11+2k 2). 因为11+2k 2∈(0,1],所以|AF 2|·|BF 2|的取值范围是(12,1]. 因为当直线l 的斜率不存在时,|AF 2|·|BF 2|=12,所以|AF 2|·|BF 2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l 的斜率一定存在.因为点Q 在直线l 上,所以设点Q 的坐标是(m,k(m-1)). 因为|QA||QB|=|F 2A||F 2B|,所以点Q 一定在BA 的延长线上, 所以m -x 1m -x 2=x 1-11-x 2,即(m+1)(x 1+x 2)-2x 1x 2-2m=0. 所以4k 2(m+1)1+2k 2-2(2k 2-2)1+2k 2-2m=0.化简得m=2.所以点Q 的坐标是(2,k). 因此点Q 在定直线x=2上.13.解析 (1)由题易得,圆心(0,0)到直线m 的距离为√b 2-(√32)2,由直线m 的倾斜角为30°得√b 2-(√32)2=c2,由e=ca=√22得a 2=2c 2,即b 2+c 2=2c 2,∴b 2=c 2,将其与√b 2-(√32)2=c2联立,得b=c=1,∴a=√2,∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)存在.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).①若直线l 垂直于x 轴,l 与椭圆交于(0,1),(0,-1), 取A(0,-1),B(0,1),满足|PA|=2|AB|.②若直线l 不垂直于x 轴,设方程为y=kx+3,代入椭圆方程x 22+y 2=1整理得,(2k 2+1)x 2+12kx+16=0,令Δ=16k 2-64>0,则k<-2或k>2,x 1+x 2=-12k 2k 2+1(*),x 1x 2=162k 2+1(**),对于|PA|=2|AB|,包含两种情况:(i)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1-0,y 1-3)=2(x 2-x 1,y 2-y 1), ∴x 1=2(x 2-x 1),即x 2=32x 1,代入(*)(**)得{52x 1=-12k 2k 2+1,32x 12=162k 2+1,消去x 1得32(25×-12k2k 2+1)2=162k 2+1,解得k=±52,∴l 的方程为y=52x+3或y=-52x+3.(ii)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1-0,y 1-3)=2(x 1-x 2,y 1-y 2),∴x 1=2x 2, 代入(*)(**)得{3x 2=-12k2k 2+1,2x 22=162k 2+1,消去x 2得,2(13×-12k2k 2+1)2=162k 2+1,有2k 2=2k 2+1,无解. 综上,l 的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.。
高二数学直线与椭圆的位置关系
（ C ）
A、（0，1）
B、（0，5 ）
D、（1，+ ∞ ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______
小 结:
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件； 2、弦长的计算方法： （1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆） （2）弦长公式： |AB|=
2b 2 a
例2、已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准
线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的 2 弦的中点的横坐标是 ，求椭圆的方程. 3
练习 中心在原点，一个焦点为F（0，
50 ）的椭圆被
直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆
方程。
例3
x2 y2 1 椭圆 45 20
起来：“守夜也有秦顺儿呢！哪儿轮得到您们！”两各丫环晓得爷那是动咯气，吓得别敢再吱声，乖乖地放下手中の热水和中衣，壹并退咯下去。回到水清の房间，月影只见晚 膳还胡乱地摆在桌子上，上前看咯看，有些动咯，有些壹点儿也没什么动，看样子仆役用咯壹些，但都别多。再往里屋探身壹看，水清已经和衣躺在床上咯，深感失职の月影赶 快冲咯进去：“仆役，奴婢回来咯，奴婢那就服侍您歇息。”水清随便用咯些晚膳之后，原本是拿咯壹本书，壹边看书壹边等月影，结果因为壹天の旅途劳累，看咯没壹会儿就 有些迷迷糊糊地睡着咯，被月影叫醒后，她赶快问道：“爷那里怎么样咯？都伺候完咯吗？”“嗯，是爷让我们回来の，说有秦公公服侍就可以咯。”“噢，那您们赶快吃饭吧， 都有些凉咯呢。”“奴婢别饿の，仆役，赶快让奴婢帮您安置咯吧。”“我那里也没什么啥啊事情……”别待水清说完，月影已经手脚麻利地开始为水清拆头发，拔簪子，卸容 妆，水清也好由着她做那些，晓得她那是心中愧疚，只有壹刻别停地忙碌着才能让她心安理得壹些。吉尔眼见着月影进咯里间屋伺候侧福晋，她在外间屋没敢贸然地进去。由于 是初次服侍侧福晋，既别好跟月影那各老人抢差事，又别晓得如何跟侧福晋解释啥啊，更是别晓得那各侧福晋是啥啊性子，她贸然进屋会别会惹主子别高兴。于是吉尔赶快很有 眼力劲儿地在外间屋将桌子收拾干净，又将行李归置整齐。她那么手脚别停地干活儿，也是想让自己能够心安壹些。由于水清别习惯有人在跟前值夜，于是两各丫环就在外间屋 踏踏实实地睡咯壹晚。前壹天被两各小丫环弄得只有招架之功，没什么还手之力の王爷急于摆脱被动挨打の局面，于是壹大清早儿就让秦顺儿给水清传话：“您壹会儿跟侧福晋 传爷の吩咐，月影和吉尔两各人专门负责伺候侧福晋，别用到爷那里当差来咯。” 水清听完咯秦顺儿壹字别落の传话，心里别由得咯噔地壹下：昨天晚上发生啥啊事情咯？爷怎 么会专门来传那各吩咐？爷の身边没各丫环，光指着秦顺儿壹各小太监怎么能行？况且福晋姐姐那次之所以特意将吉尔派来同行，还别是担心她和月影两各人没什么经验，生怕 别能把爷伺候好吗？现在吉尔假设成咯自己の专用丫环，把爷の事情给耽误咯，既辜负咯福晋の壹番心意，更是要把福晋姐姐得罪咯。第壹卷 第552章 抢功生怕辜负咯福晋壹 片信任の水清想到那里，赶快对秦顺儿说道：“您跟爷回各话，我那里有月影壹各人就行咯，还是让吉尔专心伺候爷吧。”别但秦顺儿听明白咯水清の吩咐，连两各丫环都听得 真真切切。吉尔の心中是暗暗欢喜、感激别已，月影却是急得别行、心生埋怨，于是顾别得礼仪，开口对水清说道：“仆役，要别，让奴婢去服侍爷吧，吉尔留下来伺候 您。”“月影？！”水清惊呆咯！月影可是她从娘家带过来の陪嫁丫环，她们同进共退，同甘共苦，在那陌生の王府里相依为命，度过咯六年の时光！那各丫头可是她在王府里 唯壹の壹各亲人，最为亲近、最为信赖の奴才，怎么现在居然为咯去伺候爷，将她那各正经主子扔在壹边别管咯？难道说为咯攀上王爷那各高枝，她们六年多の主仆之情全都忘 到咯脑后咯？可是，月影别是那种人啊？六年多咯都别去攀附王爷那根高枝，怎么现在突然开窍咯？百思别解の水清根本别打算再理会月影，转身继续对秦顺儿说道：“就照我 刚才の吩咐去给爷传口信吧。”王爷听咯秦顺儿の回复，想想自己手边上只秦顺儿壹各人也确实是有些忙别过来，刚才之所以让两各丫环都留给水清，完全还是因为昨天晚上の 事情在赌气。现在看到水清主动让咯步，心里舒坦咯许多，于是就点头同意咯。秦顺儿见王爷别但同意咯，而且脸色有咯好转，他那心里也跟着高兴起来，于是忍别住就又多咯 壹句嘴：“启禀爷，月影那姑娘其实也想来伺候您呢，侧福晋没答应。”“啥啊？”那各情况大大出乎王爷の意料，再联想到昨天晚上月影那破天荒の殷勤劲儿，更是让他糊涂 别已！以前那丫头见着他就像老鼠见到猫似の，别是战战兢兢，就是退避三舍，偶尔他去咯怡然居，眼见着躲别掉咯，别得已只好硬着头皮上前来伺候他。而从昨天晚上开始の 月影那番脱胎换骨の巨大变化，简直是让他丈二和尚摸别到头脑咯！谢天谢地，幸好水清留下咯月影，否则他还真别晓得怎么面对她。于是他朝秦顺儿挥咯挥手，让他先退下咯。 吉尔听到秦顺儿の禀报，心中自是欢喜别已，辞别咯水清，赶快随着秦顺儿去王爷那里服侍，生怕壹会儿侧福晋又变咯卦。月影眼见着吉尔欢天喜地地去咯王爷那里，急得她顾 别得礼数，壹把拉住水清：“仆役啊！您怎么让吉尔壹各人去服侍爷咯？您怎么那么糊涂啊！”月影急别择言，如此大逆别道の话语未经大脑就脱口而出。好在水清与她壹直情 同姐妹，所以也没什么太在意她の失礼，只是笑咯笑，然后说道：“月影啊，您最近那是怎么？变得我都要别认识咯呢！您现在老老实实跟我交代，昨天晚上到底发生咯啥啊事 情，气得爷都别让您去跟前伺候咯呢。”第壹卷 第553章 和尚月影早就想跟水清好好地说壹说那各事情，现在见水清主动提咯起来，难得碍事の吉尔又别在身边，她也打算打 开天窗说亮话。虽然她们情同姐妹，但毕竟也有主仆之分，于是她先是费咯好大の劲儿才总算是略微压住咯心中の怒火，开口说道：“仆役，昨天晚上没什么发生啥
第13讲 直线与椭圆的位置关系(2)
高三数学复习：直线与椭圆的位置关系（2）班级 姓名1.直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫23，53 B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 2. 经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →＝ ( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±133.已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________4.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直 线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________________.5．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0 所截得的弦长|AB |＝__________ 6.已知椭圆x 28＋y 22＝1过点M (2,1)，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)．(1)当m ＝3时，判断直线l 与椭圆的位置关系；(2)当m ＝3时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值．7.直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．8.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？【选做题】点P 在椭圆22221(0)xy a b a b+=>>上，两个焦点为21,F F ，且.314||,34||,21211==⊥PF PF F F PF ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M 交椭圆于B A ,两点，且B A ,关于点M 对称，求直线l 的方程.。
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.2第二课时直线与椭圆的位置关系
所以可设直线 l 的方程为 y＝x＋m.
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因为直线过点 F( 3，0)，所以 0＝ 3＋m， 所以 m＝－ 3， 所以直线方程为 y＝x－ 3.(*) 把(*)式代入x42＋y2＝1 并整理得 5x2－8 3x＋8＝0， 所以 x1＋x2＝853，x1x2＝85.
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∴x1＋2 x2＝442kk22＋－1k＝2， 解之得 k＝－12.故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
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法二：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2,1)为 AB 的中
点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又 A，B 两点在椭圆上， 则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16， 两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴xy11－－xy22＝－4xy11＋＋xy22＝－12，即 kAB＝－12， 故所求直线方程为 x＋2y－4＝0.
y＝2x＋m，
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消去 y 并整理得 14x2＋12mx＋3(m2－2)＝0， 所以 x1＋x2＝－67m，x1x2＝134(m2－2)． 由弦长公式得 |AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 5· 3469m2－76m2－2＝ 730， 解得 m＝± 13， 所以直线 l 的方程为 y＝2x± 13.
解得 k＝±36.
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
2020届高三理数一轮讲义：9.5.2-直线与椭圆的位置关系(含答案)
第2课时 直线与椭圆的位置关系考点一 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点. 规律方法 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.【训练1】 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A考点二 中点弦及弦长问题 多维探究角度1 中点弦问题【例2－1】 已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程.解 (1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y )，则x 2＋x 1＝2x ，y 2＋y 1＝2y ，由于点P ，Q 在椭圆上，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，①x 222＋y 22＝1，② ①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x2y ， 所以－x 2y ＝y －1x －2，化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化简得2x ＋4y －3＝0. 规律方法 弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.角度2 弦长问题【例2－2】 (2019·孝义模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解 (1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ， 由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1， 由题意知圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－m |2<1， 得|m |< 2. |AB |＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－x ＋m ，消去y ，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m )2－4×7(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8m7，x 1x 2＝4m 2－127，|CD |＝2|x 1－x 2|＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8m 72－4×4m 2－127＝2×336－48m 249＝467×7－m 2＝837|AB |＝837×2×2－m 2，解得m 2＝13<7，得m ＝±33.即存在符合条件的直线l ，其方程为y ＝－x ±33.规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 【训练2】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________.(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 28＋y 212＝1解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0， 故得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432＝553. 法二 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)， 直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0， 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.(2)法一 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)， ∴设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1，y ＝3x ＋7消去x ，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知y 1＋y 22＝1，∴y 1＋y 2＝14（b 2＋4）10b 2＋4＝2，解得b 2＝8. ∴所求椭圆方程为x 28＋y 212＝1.法二 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)， ∴设椭圆的方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1.设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21b 2＋4＋x 21b 2＝1， ①y 22b 2＋4＋x22b 2＝1，②①－②得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＋4＋（x 1－x 2）（x 1＋x 2）b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2＋4b 2， 又∵弦AB 的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3，代入上式得3×2×12×（－2）＝－b 2＋4b 2，解得b 2＝8，故所求的椭圆方程为x 28＋y 212＝1.答案 (1)553 (2)D 考点三 最值与范围问题易错警示【例3】 (2019·沈阳质检)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ→＝32QB →. (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0). 设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45， 代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， 所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0， 解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.规律方法 最值与范围问题的解题思路1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.【训练3】 已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63解析 由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 2＝x 20＋y 20－3<0.因为点P 在椭圆上，所以y 20＝1－x 204.所以x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 A[思维升华]1.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与椭圆的位置关系.2.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数. [易错防范]1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.2.直线与椭圆有交点时，注意由直线方程和椭圆方程联立所得二次方程的Δ≥0.3.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.数学运算——高考解析几何问题中的“设而不求”1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.类型1 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求 【例1】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.解析 法一 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B＋p 2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p ， 由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二 (点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212px 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案 y ＝±22x类型2 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【例2】 (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________________. (2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________.解析 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1，又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0.(2)当k ＝0时，显然成立.当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝ y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k ，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0. 综上，k 的取值范围为(－2，2). 答案 (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)类型3 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0 【例3】 人教A 版教材《选修2－1》第62页习题2.3 B 组第4题：已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1，1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.类型4 求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________.解析 法一 由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t ，联立方程得⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1. 所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t 2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二 由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，l 2：y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2. 由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k 2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. 答案 8基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞) C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3. 答案 B2.设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A.±32B.±23C.±12D.±2解析 由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k <0时k ＝－32. 答案 A3.(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.－23B.－32C.－49D.－94解析 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.答案 A4.(2018·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A.60°B.90°C.120°D.150°解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.答案 B5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105解析 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0即t 2<5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t5，x 1x 2＝4（t 2－1）5，|AB |＝（1＋12）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号). 答案 C 二、填空题6.已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________.解析 因为椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.答案 y 24＋x 2＝17.(2019·河南八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________.解析 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255.答案 2558.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________.解析 由题意知，以M (1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0， 所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12(满足Δ>0)，故b ＝32， 所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝0 三、解答题9.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. (1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n2－m (x －2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10.已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7. (1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.解 (1)由题设知，A (b ，0)，B (0，a )，直线AB 的方程为x b ＋ya ＝1，又|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b2＝2217，a >b >0， 计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m消去y得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切， 则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1). 而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4，又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227，即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A.210－5 B.210－4 C.410－11D.410－10解析 易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.所以m ＝4.联立⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.又x ≤2，所以x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. 答案 A12.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝c b x 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( ) A.12 B.32C.1D.2解析联立方程可得⎩⎨⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1. 答案 C13.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2. 设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k2，所以0＜e 2≤45，又由0＜e ＜1，解得0＜e ≤255.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，255 14.(2019·咸阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积的最大值. 解 (1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5.所以S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值为2.。
2.2.2 椭圆的几何性质(2)——直线与椭圆的位置关系
点与椭圆
1.点与椭圆的位置关系：椭圆上、椭圆外、椭圆内
2.判断方法：
已知点M ( x0 ,
y0
)及椭圆
x2 a2
y2 b2
1
（1）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆上
（2）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆外
y
F1 O
M (x0 , y0 )
F2
x
（3）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆内
解：设直线与椭圆相交于点P1 (x1，y1) 、P2(x2，y2) 将y=x+1代入椭圆方程，得4x2+(x+1)2=8 y
整理得 5x2+2x-7=0
y P1 (x1,y1)
4 4 • 5 • (7) 0
F2
直线y = x 1与椭圆4x2 y2 8相交
解得x1
1, x2
7 5
P2(x2,y2)
2、点差法：
设直线与椭圆交点A( x1, y1), B( x2 , y2 )，将两点坐标代入
椭圆方程，并两式作差，构造一个关于中点( x0 , y0 )和
斜率k AB的式子：k AB
y1 x1
y2 x2
b2 a2
y2 x2
y1 x1
b2 a2
y0 x0
【例5】点M ( x, y)与定点F((c4,,00))的距离和它到直线
| P1P2 || y1 y2 |
1 1 k2
(1
1 k2
)[( y1
y2 )2
4 y1y2 ](k
0)
另：要注意在处理相交问题时 “设而不求”的解题思路
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系是数学几何学的一个重要问题。
在这篇
文档中，我们将讨论直线与椭圆的几种可能的位置关系。
直线位于椭圆内部
当一条直线完全位于椭圆内部时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆没有交点：这意味着直线与椭圆没有任何交点，
且直线与椭圆的轴是平行的。
2. 直线与椭圆有两个交点：这说明直线与椭圆相交于两个点，
椭圆的两个焦点位于直线上。
直线与椭圆位于同一平面
当直线与椭圆位于同一平面时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆相切：这种情况下，直线与椭圆只有一个交点，
并且交点是椭圆的一个焦点。
2. 直线与椭圆相交于两点：这意味着直线与椭圆相交于两个不同的点，并且这两个点分别位于椭圆的两个焦点的同侧。
3. 直线与椭圆相离：这种情况下，直线与椭圆没有任何交点，并且直线与椭圆的轴平行。
直线与椭圆相交于无穷多点
当直线与椭圆相交于无穷多点时，这种情况被称为直线与椭圆重叠。
直线与椭圆重叠意味着直线和椭圆重合，任意一点都同时位于直线和椭圆上。
结论
通过研究直线与椭圆的位置关系，我们可以得出结论：直线与椭圆的位置关系取决于直线与椭圆之间的交点数量和位置。
这个问题在计算机图形学、建筑设计等领域都有广泛的应用。
了解这些位置关系有助于我们更好地理解直线和椭圆之间的几何性质。
总之，直线与椭圆的位置关系是一个有趣且复杂的问题，通过分析直线与椭圆的交点情况，我们可以获得更多关于它们的几何特性的信息。
高二数学直线与椭圆的位置关系(新课标高中数学1-1或2-1使用)
直线与椭圆的 位置关系
高二数学直线与椭圆的位置关系 （新课标高中数学1-1或2-1使用）
一、直线与圆的位置关系:
位置关系：
(1) 相离 (2) 相切 (3) 相交
判断方法:
(1) 利用距离公式
(2) 利用判别式
高二数学直线与椭圆的位置关系 （新课标高中数学1-1或2-1使用）
二、直线与椭圆的位置关系: 位置关系：
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过点A(2,1)的直线l与椭圆相交,求直线l被
截得的弦的中点轨迹方程;
（3）过点P ( 1 , 1 ) 且被点P平分的弦所在直线的
方程.
22
高二数学
【练习】已知椭圆x2+4y2=16,求以P(2,-1) 为中点的弦所在直线方程.
变式题:已知过点(1,1)的直线与椭圆 4x2+9y2=36交于A,B两点,求A,B中点的轨 迹方程.
高二数学直线与椭圆的位置关系 （新课标高中数学1-1或2-1使用）
五、求弦中点轨迹问题:
【例4】已知椭圆x2+2y2=2
求过椭圆焦点的弦长常用的有两种方法: (1)利用 |A| B 1 k 2•(x 1 x 2 )2 4 x 1 x 2 (2)利用 |A| B 2 a e (x 1 x 2)
高二数学直线与椭圆的位置关系 （新课标高中数学1-1或2-1使用）
三、直线与椭圆相交弦长问题:
【练习】已知椭圆x2+9y2=9过左焦点F作倾 斜角为30。的直线交椭圆于A,B两点,求AB 的弦长.
高二数学直线与椭圆的位置关系 （新课标高中数学1-1或2-1使用）
四、弦所在直线方程的求法:
【例3】直线l与椭圆4x2+9y2=36交 A,B两点,并且线段AB的中点坐标为 (1,1),求直线l的方程.
直线和椭圆位置关系总结大全
直线和椭圆位置关系总结大全1.直线不交于椭圆：当直线与椭圆不相交时，可以分为以下两种情况：(1)直线在椭圆外部：此时直线与椭圆没有交点；(2)直线在椭圆内部：此时直线与椭圆没有交点。
2.直线与椭圆外切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆外切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆外切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。
3.直线与椭圆内切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆内切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆内切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。
4.直线穿过椭圆：当一条直线穿过椭圆时，可以分为以下三种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆没有交点：此时直线与椭圆相离。
5.直线包围椭圆：当一条直线将椭圆切割成两个部分时，可以分为以下两种情况：(1)直线穿过椭圆：此时直线将椭圆分成内外两个部分；(2)直线在椭圆外部：此时直线将椭圆分成两个不相交的部分。
6.直线与椭圆重合：当直线与椭圆方程相同或者参数相同时，直线与椭圆重合。
7.直线与椭圆相交：当直线与椭圆有交点时，可以分为以下几种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆相交于两条线段：此时直线穿过椭圆。
总之，直线和椭圆之间的位置关系相当复杂，可以分为不交、外切、内切、相离、穿过、重合和相交等情况。
具体的位置关系可以通过解方程或者观察图形进行判断，同时利用相关的几何性质也可以得到更加精确的结论。
高中数学人教A版选修21课件第二章22222第二课时直线与椭圆的位置关系
22，
所以直线 l 被椭圆截得的弦长为
[4＋
2－4－
2]2＋2－
22－2＋
22 2
＝ 10．
法二：因为 x1＋x2＝8，x1x2＝14．
所以直线 l 被椭圆截得的弦长为
1＋－122 82－4×14＝ 10．
解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方 程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系 以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点 坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率 的关系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆ax22＋by22＝ 1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，
∴kAB＝xy11－－yx22＝－48xy11＋ ＋xy22＝－12·xyMM．
又 kO M＝xyMM，∴kAB·kOM＝－12． 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
与椭圆有关的综合问题
[典例] 已知椭圆xa22＋y2＝1(a>1)，过直线 l：x ＝2 上一点 P 作椭圆的切线，切点为 A，当 P 点在 x
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆 方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于 另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．
[活学活用]
若直线 y＝kx＋1 与焦点在 x 轴上的椭圆x52＋ym2＝1 总有公共点，求 m 的取值范围． 解：∵直线 y＝kx＋1 过定点 A(0,1)． 由题意知，点 A 在椭圆x52＋ym2＝1 内或椭圆上， ∴052＋1m2≤1，∴m≥1． 又椭圆焦点在 x 轴上∴m<5，
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。
1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。
3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。
题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。
解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。
另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。
因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。
解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。
因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。
另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。
第47讲 椭圆 第2课时 直线与椭圆的位置关系
[解析] 易知直线l的斜率存在, 设为k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,x1≠x2,所以+×=0,得k==-,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.故选B.
B
[总结反思]处理中点弦问题常用的方法:(1)点差法,设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率,借助中点坐标公式即可求得斜率;(2)根与系数的关系,联立直线的方程与椭圆的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.特别要注意的是,中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.
练习3 [2022·福建三明一中模拟] 过点P(1,1)的直线l与椭圆+=1交于A,B两点,且P为AB的中点,则l的方程是 ( )A.4x+3y-7=0 B.3x+4y-7=0C.x+2y-(2+)=0 D.2x+y-(2+)=0
[总结反思]解决直线与椭圆相切问题,关键是抓住切点,一般有两种方法,一种是判别式法,另一种是利用导数的几何意义求解.判别式法的优点是思路较为简单,但运算量较大,而运用导数法有一定的局限性,并非通用.如果作为选填题,记住一些二级结论有助于快速解题.
课堂考点探究
【备选理由】例1考查中点弦问题;例2考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率),考查逻辑思维能力、运算求解能力,解题的关键是利用点差法,结合已知条件表示出点M的坐标,然后将其代入椭圆方程可求出离心率,属于中档题;例3考查求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中三角形面积的求法,属中档题;例4考查椭圆的标准方程、弦长问题及基本不等式的应用,属中档题;例5考查求椭圆的切线方程,并根据切线方程求直线的方程及直线过定点问题,属中档题;例6是多选题,考查新定义问题,难度适中.
直线与椭圆的位置关系及最值
直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+b y a x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 得02=++p nx mx (1)若l 与C 相离的⇔Δ<0；（2）l 与C 相切⇔Δ=0；（3）l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0.2.弦长公式 设直线与椭圆交于点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率） 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围.二、弦长问题例题3、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4、已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F ,2F ，若过点P （0，-2）及1F 的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积练习、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．三、中点弦问题例题5、已知椭圆C 的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
例题6、如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.例7. 已知椭圆1222=+y x （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A 、B ，O 为原点，且有直线OA 、OB 斜率满足K OA ·K OB =-1/2，求线段AB 中点M 的轨迹方程．四、对称问题例题8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．五、最值问题类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）例1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
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1.点与椭圆的三种位置关系及判断方法
2.直线与椭圆的三种位置关系及判断方法ຫໍສະໝຸດ 3.弦长的计算方法：弦长公式
2 |AB|= 1 k 2 · （x1 x2） 4 x1 x2
1 |AB|= 1 · （y1 y2） 4 y1 y2 2 k
此公式适用于任何二次曲线
测：
x2 y2 1．直线 y＝x＋2 与椭圆 m＋ ＝1 有两个公共点， 3 ) B．m>1 且 m≠3 D．m>0 且 m≠3
作业 课本70页练习A第1题 课本70页习题2-5A第1题（两种方法） 课本70页习题2-5A第3题 课本71页习题2-5B第2题
x y 例 2：已知椭圆 1 36 9
（1）过点 M（3,1）且被 M 点平分的弦所在直 线的方程； （2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程； （3）过点 N（7,3）的直线l 与椭圆相交，求l 被 截得的弦的中点轨迹方程.
2
2
随堂练习：
x2 y2 1 的弦被（4，2）平分，那 1、如果椭圆被 36 9
弦中点问题
例1.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这 点被平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
则 m 的取值范围是( A．m>1 C．m>3
交点情况满足(
x2 y2 2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 1 9 4
)
A.没有公共点
B.一个公共点
C.两个公共点
D.有公共点
直线与椭圆的位置关系（2）
1-----设而不求 2-----点差法
弦中点问题
例 1.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点 被平分，求此弦所在直线的方程.
么这弦所在直线方程为（
D
）
A、x-2y=0
B、x+2y- 4=0
D、x+2y-8=0 x2 y2 2、y=kx+1与椭圆 1 恰有公共点，则m的范围（C ） 5 m A、（0，1） B、（0，5 ） C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
C、2x+3y-12=0
3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线， 则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______
弦中点问题
例 1.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点 被平分，求此弦所在直线的方程.
解：
韦达定理→斜率 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
弦中点问题
例 1.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点 被平分，求此弦所在直线的方程. 点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
小结
1.直线与椭圆的三种位置关系及判断方法: 2.弦长的计算方法：弦长公式：
2 |AB|= 1 k 2 · （x1 x2） 4 x1 x2
1 1 · （ y y ） 4 y y 1 2 1 2 2 = k
（适用于任何二次曲线） 3.弦中点问题的两种处理方法： 1)联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2)设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜 率.