【详解版】2015届九年级中考总复习(华师大版)精练精析：二十二、圆1(23页,考点+分析+点评)

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华东师大初中数学九年级下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(基础)[精选]

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.两圆的五种位置关系可以概括为三类：要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算 1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为R 的弧长.圆心角为，半径为R ，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R ，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质【高清ID 号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0)则 r PA ===【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．【思路点拨】作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ OF =．在Rt △DFO 中，OFOD ＝OA ＝3，∴DF ===(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF＝cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．（2017•曲靖一模）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为.【思路点拨】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【答案】4.【解析】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ，则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补，N MO C BA∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．【总结升华】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号：362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长．【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于点F ，如图(2)．由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB 的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2．设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+．解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°． ∴ AB 的长为120481803ππ⨯=(m)． ∴ 帆布的面积为8601603ππ⨯=(m 2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

华师大版2015届中考总复习精练精析18图形的认识初步(1)含答案解析(14页)

图形的性质——图形认识初步1一．选择题（共9小题）1．下面四个图形每个都是由六个相同的正方形组成，将其折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．2．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱3．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A．B．C．D．4．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（）A．0 B．1 C．D．5．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（）A．我B．中C．国D．梦6．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“成”相对的字是（）A．中B．功C．考D．祝7．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（）A．3 B．2 C．3或5 D．2或69．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边二．填空题（共7小题）10．一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，则这个圆柱的侧面积是_________ cm2（结果保留π）．11．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是_________ ．12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=_________ °．13．计算：50°﹣15°30′=_________ ．14．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形．已知∠CEB′=50°，则∠AEB′=_________ °．15．如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是_________ ．16．已知∠A=43°，则∠A的补角等于_________ 度．三．解答题（共8小题）17．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积．18．如图，已知M是线段AB的中点，P是线段MB的中点，如果MP=3cm，求AP的长．19．如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．20．已知：点A、B、C在同一直线上，BC=AB，D为AC的中点，DC=14cm，求线段AB的长．21．如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，BE：EF：FC=1：1：3，求DE、DF的长．22．已知，如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．求证：OE⊥OF．23．如图所示，OE是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=100°，∠EOD=80°，求∠BOC的度数．24．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）当∠AOB=80°时，∠MON=_________ ；（2）猜想∠MON与∠AOB有怎样的数量关系，写出结论并说明理由．图形的性质——图形认识初步1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．下面四个图形每个都是由六个相同的正方形组成，将其折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．考点：展开图折叠成几何体．分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解答：解：选项A，B，D折叠后都有一行两个面无法折起来，而且缺少一个面，所以不能折成正方体．故选：C．点评：只要有“田”和“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．2．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱考点：认识立体图形．专题：几何图形问题．分析：根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，然后分析四个选项中的棱柱棱的条数可得答案．解答：解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，A、五棱柱共15条棱，故A误；B、六棱柱共18条棱，故B正确；C、七棱柱共21条棱，故C错误；D、八棱柱共24条棱，故D错误；故选：B．点评：此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握棱柱和棱锥的形状．3．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A．B．C．D．考点：几何体的展开图；截一个几何体．分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解答：解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选：B．点评：考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．4．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（）A．0 B．1 C．D．考点：展开图折叠成几何体．分析：根据展开图折叠成几何体，可得正方体，A，B是同一棱的两个顶点，可得答案．解答：解；AB是正方体的边长，AB=1，故选：B．点评：本题考查了展开图折叠成几何体，正确将展开图折叠成几何体是解题关键，难度不大．5．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（）A．我B．中C．国D．梦考点：专题：正方体相对两个面上的文字．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“我”与面“中”相对，面“的”与面“国”相对，“你”与面“梦”相对．故选：D．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“成”相对的字是（）A．中B．功 C 考D．祝考点：专题：正方体相对两个面上的文字．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“成”与面“功”相对，面“预”与面“祝”相对，“中”与面“考”相对．故选：B．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直考点：直线的性质：两点确定一条直线．专题：应用题．分析：根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．解答：解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：A．点评：此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．8．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（）A． 3 B．2 C．3或5 D．2或6考点：两点间的距离；数轴．专题：压轴题．分析：要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．解答：解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB=4．第一种情况：在AB外，AC=4+2=6；第二种情况：在AB内，AC=4﹣2=2．故选：D．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．9．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边考点：线段的性质：两点之间线段最短．专题：应用题．分析：此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．故选：C．点评：本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．二．填空题（共7小题）10．一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，则这个圆柱的侧面积是60πcm2（结果保留π）．考点：几何体的表面积．分析：直接利用圆柱体侧面积公式求出即可．解答：解：∵一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，∴这个圆柱的侧面积是：πd×10=60π（cm2）．故答案为：60π．点评：此题主要考查了圆柱体侧面积求法，正确根据圆柱体侧面积公式是解题关键．11．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是 3 ．考点：专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．解答：解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，∵2014÷4=503…2，∴滚动第2014次后与第二次相同，∴朝下的点数为3，故答案为：3．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=45 °．考点：角的计算；翻折变换（折叠问题）．分析：根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠AB D，∠DBF=∠FBC=∠DBC，再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，∴∠EBD+∠DBF=45°，即∠EBF=45°，故答案为：45°．点评：此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计算，是一道基础题．13．计算：50°﹣15°30′=34°30′．考点：度分秒的换算．专题：计算题．分析：根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案．解答：解：原式=49°60′﹣15°30′=34°30′．故答案为：34°30′．点评：此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．14．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形．已知∠CEB′=50°，则∠AEB′=65 °．考点：角的计算；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠前后对应部分相等得∠AEB′=∠AEB，再由已知求解．解答：解：∵∠AEB′是△AEB沿AE折叠而得，∴∠AEB′=∠AEB．又∵∠BEC=180°，即∠AEB′+∠AEB+∠CEB′=180°，又∵∠CEB′=50°，∴∠AEB′==65°，故答案为：65．点评：本题考查了角的计算以及折叠问题．图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．15．如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是∠BOC．考点：余角和补角．分析：因为是一幅三角尺，所以∠AOB=∠COD=90°，再利用∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，同角的余角相等，可知与∠AOD始终相等的角是∠BOC．解答：解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∴∠AOD=∠BOC．故答案为：∠BOC．点评：本题主要考查了余角和补角．用到同角的余角相等．16．已知∠A=43°，则∠A的补角等于137 度．考点：余角和补角．分析：根据补角的和等于180°计算即可．解答：解：∵∠A=43°，∴它的补角=180°﹣43°=137°．故答案为：137．点评：本题考查了补角的知识，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积．考点：几何体的表面积；由三视图判断几何体．专题：几何综合题．分析：由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，则求出菱形的边长，从而求出它的侧面积和体积．解答：解：该几何体的形状是直四棱柱，由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm，3cm．∴菱形的边长为cm，棱柱的侧面积=×4×8=80（cm2）．棱柱的体积=×3×4×8=48（cm3）．点评：此题考查的是几何体的表面积及由三视图判断几何体，关键是先判断几何体的形状，然后求其侧面积和体积．18．如图，已知M是线段AB的中点，P是线段MB的中点，如果MP=3cm，求AP的长．考点：比较线段的长短．分析：点M的线段AB中点，AM=MB，点P是线段MB的中点，所以MP=PB，由此可得：AM=2MP，所以AP=3MP．解答：解：∵P是MB中点∴MB=2MP=6cm又AM=MB=6cm∴AP=AM+MP=6+3=9cm．点评：本题考点：线段中点的性质，线段的中点将线段分成两个相等的线段，根据题意和图形得出各线段之间的关系，AP=AM+MP得出，然后结合已知条件求出AM和MP的长度，从而求出线段AP的长度．19如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．考点：专题：正方体相对两个面上的文字；二元一次方程的解．分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．3与a是相对，5﹣x与y+1相对，y与2x ﹣5相对．解答：解：根据题意，得（4分）解方程组，得x=3，y=1．（6分）点评：注意运用空间想象能力，找出正方体的每个面相对的面20．已知：点A、B、C在同一直线上，BC=AB，D为AC的中点，DC=14cm，求线段AB的长．考点：两点间的距离．分析：先根据D为AC的中点，DC=14cm求出AC的长，再根据BC=AB得出AB=AC，由此可得出结论．解答：解：∵D为AC的中点，DC=14cm，∴AC=2CD=28cm．∵BC=AB，∴AB=AC=×28=cm．点评：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．21．如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，BE：EF：FC=1：1：3，求DE、DF的长．考点：两点间的距离．分析：根据BC=2AB，AC=6c m，得出AB，BC的长，再由AD=DB，BE：EF：FC=1：1：3，得出BD，DE，EF的长，即可得出答案．解答：解：∵BC=2AB，AC=6cm，∴AB=2cm，BC=4cm，∵AD=DB，∴AD=BD=1cm，∵BE：EF：FC=1：1：3，∴BE=EF=BC=×4=cm，∴DE=BD+BE=1+=cm，DF=BD+BE+EF=1++=cm．点评：本题考查了两点之间的距离，注意各线段之间的联系是解题的关键．22．已知，如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．求证：OE⊥OF．考点：角平分线的定义．专题：证明题．分析：利用∠AOB+∠BOC=180°，由OE、OF分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求出∠EOB+∠BOF=90°，即可得出结论．解答：解：∵∠AOB+∠BOC=180°，∵OE、OF分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∴∠AOE=∠EOB，∠BOF=∠FOC，∵∠AOE+∠EOB+∠BOF+∠FOC=180°，∴∠EOB+∠BOF=90°，∴OE⊥OE．点评：本题主要考查了角平分线及垂线，解题的关键是利用角平分线求解．23．如图所示，OE是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=100°，∠EOD=80°，求∠BOC的度数．考点：角平分线的定义．分析：根据角平分线的性质，可得∠BOE的大小，根据角的和差，可得∠BOD的大小，根据角平分线的性质，可得答案．解答：解：∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=100°，∴∠BOE=∠AOB=50°．∵∠BOE+∠BOD=∠EOD=80°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=80°﹣50°=30°．∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOC=2∠BOD=60°．点评：本题考查了角平分线的定义，利用了角平分线的性质，角的和差．24．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）当∠AOB=80°时，∠MON=40°；（2）猜想∠MON与∠AOB有怎样的数量关系，写出结论并说明理由．考点：角平分线的定义．分析：（1）设∠CON=∠BON=x°，∠MOC=y°，则∠MOC=∠MOB+∠BOC=2x°+y°，由∴∠AOB=∠AOM+∠MOB=2x°+y°+y=2（x+y）°=80，可得∠MON=∠MOB+∠NOB，即可求解．（2）由∠AOB=∠AOM+∠MOB=∠MOC+∠MOB=∠MOB+2∠BON+∠MOB=2（∠BON+∠MOB）=2∠MON可得结论．解答：解：（1）∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BON，设∠CON=∠BON=x°，∠MOB=y°，则∠MOC=∠MOB+∠BOC=2x°+y°，又∵OM平分∠AOC∴∠AOM=∠COM=2x°+y°，∴∠AOB=∠AOM+∠MOB=2x°+y°+y=2（x+y）°∵∠AOB=80°∴2（x+y）°=80°，∴x°+y°=40°∴∠MON=∠MOB+∠NOB=x°+y°=40°故答案为：40°．（2）2∠MON=∠AOB．理由如下：∠AOB=∠AOM+∠MOB=∠MOC+∠MOB=∠MOB+2∠BON+∠MOB=2（∠BON+∠MOB）=2∠MON．点评：本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等．。

九年级中考总复习(华师大版)精练精析：二十二、圆1(23页)

1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）
A．B．1﹣C．﹣1D．、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．
解答：解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．
故选：A．
点评：本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．
2．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为_________cm．
14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_________．
3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）

九年级中考总复习(华师大版)精练精析：二十六、图形的平移1(19页)

考点：平移的性质．
专题：几何图形问题．
分析：根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周ห้องสมุดไป่ตู้=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC即可得出答案．
解答：解：根据题意，将周长为16cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF，
∴AD=CF=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=16cm，
13在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是_________．
14如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．沿对角线AC剪开，将△ABC向右平移至△A1BC1位置，成图（2）的形状，若重叠部分的面积为3cm2，则平移的距离AA1=_________cm．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=20cm．
故选：C．
点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
A．12B．16C．20D．24
5如图，已知∠EFD=∠BCA，BC=EF，AF=DC．若将△ABC沿AD向右平移，使点C与点D重合，则所得到的图形形状是（）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．等边三角形
6．如图将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1=（）
（1）求四边形CEFB的面积；

华东师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1．（2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长．【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2．∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ．∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°，∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°．在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2，∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BD OB BC =， ∴ OB BD BC AD =．在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))．∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4．∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG ＝∠ODG ＝90°．∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))．在△ADC 中，∠ADC ＝90°，∴ ∠A+∠ACD ＝90°．又∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点，∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ．又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ．又∵ ∠A+∠ACD ＝90°，∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ．∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】解：（1）图1：∵点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN ，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π；【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD．答案：256π．【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=35，求tan∠PCB的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE ∥PC ，∴∠PCB=∠CBE ，∵sin ∠BAC==， ∴=， ∵AB=AC ，∴tan ∠CBE===，∴tan ∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解（1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（）Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 2sin 45222AB AC '==⨯=°．。

【详解版】2015届九年级中考总复习(华师大版)精练精析：五、因式分解1(8页,考点+分析+点评)

数与式——因式分解一．选择题（共8小题）1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣252．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+13．下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个4．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣1）B．a（a﹣2）C．（a﹣2）（a﹣1）D．（a﹣2）（a+1）5．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）6．下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）27．分解因式x2y﹣y3结果正确的是（）A．y（x+y）2B．y（x﹣y）2C．y（x2﹣y2）D．y（x+y）（x﹣y）8．下列因式分解正确的是（）A．2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2C．x2+1=（x+1）2D．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2二．填空题（共8小题）9．分解因式：a2+ab=_________．10．分解因式：2a2﹣6a=_________．11．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为_________．12．因式分解：x2y﹣2xy2=_________．13．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于_________．14．因式分解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=_________．15．已知实数a，b满足ab=3，a﹣b=2，则a2b﹣ab2的值是_________．16．若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是_________．三．解答题（共8小题）17．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．18．已知a﹣b=1且ab=2，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．19．分解因式：a3﹣2a2+a．20．证明：不论x取何实数，多项式﹣2x4+12x3﹣18x2的值都不会是正数．21．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．22．给出三个整式a2，b2和2ab．（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．23．已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a2b+ab2的值．24．分解因式：mx2﹣8mx+16m．数与式——因式分解参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B． a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D． a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25考点：因式分解的意义．分析：利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．解答：解；A、a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；B、a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；C、（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；D、a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．2．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D． x2+2x+1考点：因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．专题：因式分解．分析：分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．解答：解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意；D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．故选：D．点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．3．下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．解答：解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；②x2+4x+4=（x+2）2；正确；③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；故正确的有1个．故选：C．点评：此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．4．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣1）B．a（a﹣2）C．（a﹣2）（a﹣1）D．（a﹣2）（a+1）考点：因式分解-运用公式法．专题：计算题．分析：原式利用平方差公式分解即可．解答：解：原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）=a（a﹣2）．故选：B．点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．5．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．分析：分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．解答：解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；C、xy﹣x=x（y﹣1），正确；D、2x+y无法因式分解，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．6．下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．分析：直接利用因式分解法的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．解答：解：A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故此选项错误；B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故此选项错误；C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故此选项正确；D、m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2，故此选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式等知识，正确把握因式分解的方法是解题关键．7．分解因式x2y﹣y3结果正确的是（）A．y（x+y）2B．y（x﹣y）2C．y（x2﹣y2）D．y（x+y）（x﹣y）考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．解答：解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．故选：D．点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．8．下列因式分解正确的是（）A．2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2C．x2+1=（x+1）2D．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：A直接提出公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；B和C不能运用完全平方公式进行分解；D是和的形式，不属于因式分解．解答：解：A、2x2﹣2=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1），故此选项正确；B、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故此选项错误；C、x2+1，不能运用完全平方公式进行分解，故此选项错误；D、x2﹣x+2=x（x﹣1）+2，还是和的形式，不属于因式分解，故此选项错误；故选：A．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．二．填空题（共8小题）9．分解因式：a2+ab=a（a+b）．考点：因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：直接提取公因式a即可．解答：解：a2+ab=a（a+b）．点评：考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式．10．分解因式：2a2﹣6a=2a（a﹣3）．考点：因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．解答：解：2a2﹣6a=2a（a﹣3）．故答案为：2a（a﹣3）．点评：此题主要考查了因式分解的基本方法一提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．11．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为12．考点：因式分解-提公因式法．分析：首先提取公因式2a，进而将已知代入求出即可．解答：解：∵a=2，a﹣2b=3，∴2a2﹣4ab=2a（a﹣2b）=2×2×3=12．故答案为：12．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．12．因式分解：x2y﹣2xy2=xy（x﹣2y）．考点：因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：直接提取公因式xy，进而得出答案．解答：解：x2y﹣2xy2=xy（x﹣2y）．故答案为：xy（x﹣2y）．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．13．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2．考点：因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．解答：解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．14．因式分解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=（x﹣y）（m+n）．考点：因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：直接提取公因式（x﹣y），进而得出答案．解答：解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=（x﹣y）（m+n）．故答案为：（x﹣y）（m+n）．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．15．已知实数a，b满足ab=3，a﹣b=2，则a2b﹣ab2的值是6．考点：因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．解答：解：a2b﹣ab2=ab（a﹣b），将ab=3，a﹣b=2，代入得出：原式=ab（a﹣b）=3×2=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．16．若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是15．考点：因式分解-提公因式法．专题：整体思想．分析：直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．解答：解：∵ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=3×5=15．故答案为：15．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．三．解答题（共8小题）17．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．考点：因式分解的应用．专题：计算题；因式分解．分析：先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx代入得到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．解答：解：能；（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．18．已知a﹣b=1且ab=2，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：将原式分解因式，进而将已知代入求出即可．解答：解：解法一：∵a﹣b=1且ab=2，∴a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=2×12=2；解法二：由a﹣b=1且ab=2解得或，当时，a3b﹣2a2b2+ab3=2；当时，a3b﹣2a2b2+ab3=2．点评：此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练利用完全平方公式是解题关键．19．分解因式：a3﹣2a2+a．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：计算题．分析：原式提取a后，利用完全平方公式分解即可．解答：解：原式=a（a2﹣2a+1）=a（a﹣1）2．点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．证明：不论x取何实数，多项式﹣2x4+12x3﹣18x2的值都不会是正数．考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．专题：证明题．分析：将原式因式分解后说明其小于等于0即可．解答：证明：原式=﹣2x 2（x 2﹣6x+9 ）=﹣2x 2（x﹣3 ）2．∵﹣2x2≤0，（x﹣3）2≥0∴﹣2x 2（x﹣3 ）2≤0∴不论x取何实数，原式的值都不会是正数．点评：本题考查了因式分解的应用、配方法的应用及非负数的性质，对原式正确的进行因式分解是解题的关键．21．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．考点：因式分解的应用．分析：根据已知条件“x=y+4”可知“x﹣y=4”；然后将所求的代数式转化为含有x﹣y 的形式，将x﹣y的值代入求值即可．解答：解：∵x=y+4，∴x﹣y=4，∴2x2﹣4xy+2y2﹣25=2（x2﹣2xy+y2）﹣25=2（x﹣y）2﹣25=2×16﹣25=7．点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．给出三个整式a2，b2和2ab．（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．考点：因式分解的应用；代数式求值．分析：（1）将a2+b2+2ab利用完全平方公式分解因式后，把已知条件代入求值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，都能使所得的多项式因式分解，先对所选的整式进行因式分解，然后将已知条件代入求值即可．解答：解：（1）当a=3，b=4时，a2+b2+2ab=（a+b）2=49．（3分）（2）答案不唯一，式子写对给（1分），因式分解正确给（2分）．例如，若选a2，b2，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．（3分）若选a2，2ab，则a2±2ab=a（a±2b）．（3分）点评：（1）主要考查了利用完全平方公式进行因式分解的解题方法；（2）这是一道开放型题目，答案不唯一，只要根据所选整式先进行因式分解，再把已知条件代入求值．23．已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a2b+ab2的值．考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：先提取公因式ab，整理后再把ab和a+b的值代入计算即可．解答：解：当ab=1，a+b=2时，原式=ab（a+b）=1×2=2．故答案为：2．点评：本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．24．分解因式：mx2﹣8mx+16m．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．解答：解：mx2﹣8mx+16m=m（x2﹣8x+16）=m（x﹣4）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．。

2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期第27章、圆单元复习课件5

第28章讲练1 ┃ 试卷讲练【针对第24题训练】
如图 28－8，在平面直角坐标系 xOy 中， AB 在 x 轴上， AB＝10，以 AB 为直径的⊙O′与 y 轴正半轴交于点 C，连结 BC、AC，CD 1 是⊙O′的切线，AD⊥CD 于点 D，tan∠CAD＝，抛物线 y＝ax2＋ 2 bx＋c 过 A、B、C 三点． (1)求证：∠CAD＝∠CAB； (2)①求抛物线的关系式； ②判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点 P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．
数学·新课标（HS）
第28章讲练1 ┃ 试卷讲练
∴c＝4. 由题意得 4a＋2b＋4＝0，64a－8b＋4＝0，
1 3 解之得a＝－，b＝－， 4 2

1 2 3 ∴y＝－ x － x＋4. 4 2 ②设直线 CD 交 x 轴于点 F，易证△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8. ∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD， O′F O′C ∴ ＝， AF AD
亮点
7题利用学具来构造问题的背景，体现了数学知识的趣味性． 10题借助于网格图来考虑学生在作图及应用方面的知识掌握情况． 16题解法不唯一，多方面考查学生的应用能力． 23题培养学生全面分析图形的能力，综合解决问题的能力． 24题是圆中基础知识与代数知识的综合性习题，让学生理解知识间的相互作用关系.
数学·新课标（HS）
第28章讲练1 ┃ 试卷讲练
数学·新课标（HS）
第28章讲练1 ┃ 试卷讲练
解：(1)证明：连结 O′C. ∵CD 是⊙O′的切线，∴O′C⊥CD. ∵AD⊥CD，∴O′C∥AD， ∴∠O′CA＝∠CAD. ∵O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB. ∴∠CAD＝∠CAB. (2)①∵AB 是⊙O′的直径， ∴∠ACB＝90° . ∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，

华师版初中九年级数学中考总复习常考易考教材基础知识整理梳理第六单元圆第22讲与圆有关的位置关系

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.

华师大版九年级数学总复习系列练习卷⒆圆

１华师大版九年级数学总复习系列练习卷⒆第19单元圆一、选择题：（每小题3分，共12分）班号姓名：1、⊙O 的半径为5，圆心到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是……（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定2、如图，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，若∠BOC=80°，则∠A 的度数等于…………（） A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°3、如图，在半径为5的⊙O 中，若弦AB=8，则△AOB 的面积为…………………（） A ．24 B ．16 C ．12 D ．84、如图，点O 在⊙A 外，点P 在线段OA 上运动。

以OP 为半径的⊙O 与⊙A的位置关系不可能是下列中的…………………………………………………………（） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内含二、填空题：（每小题4分，共28分）5、如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 是直径，∠A=20°，则∠B= 度.6、已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5和2，当两圆内切时，圆心距O 1O 2= 。

7、在半径为2的⊙O 中，弧AB 的长为π，则弦AB 的长为。

8、已知圆锥的底面半径为10，侧面积是300π，则这个圆锥的母线长为。

9、如图，圆锥的高AO 与母线AB 的夹角20=α°，AB=2cm ，则该圆锥侧面展开扇形的弧长等于 cm 。

10、圆锥底面周长为π2米，母线长为4米，则它的侧面展开图的面积为平方米（结果保留π）． 11、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为2和1，则弦长AB= ；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为。

(结果保留根号) 三、解答题（每小题12分，共60分）12、如图，已知△ABC 中，AB=AC ，DE ⊥AC 于点E ，DE 与半⊙O 相切于点D 。

九年级中考总复习(华师大版)精练精析：二十二、圆2(23页)

3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）
A．B．C．D．
5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）
A．26°B．116°C．128°D．154°
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
九年级中考总复习（华师大版）精练精析：二十二、圆2（23页）
一．选择题（共9小题）
1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）
A．3B．4C．D．5
2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）
A．160°B．150°C．140°D．120°
∴4≤AP≤5．
故选：A．
点评：此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）
A．160°B．150°C．140°D．120°
考点：圆周角定理；垂径定理．

九年级中考总复习(华师大版)精练精析：十六、反比例函数2(23页)

A．正数B．负数C．非正数D．不能确定
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：数形结合．
分析：由于点A、B所在象限不定，那么自变量的值大小也不定，则x1﹣x2的值不确定．
解答：解：∵反比例函数的图象的图象在二、四象限，
∴当点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在第二象限时，由y1＞y2，则x1﹣x2＞0；
A．﹣3，1B．﹣3，3C．﹣1，1D．﹣1，3
3．如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）
A．x＜1B．x＜﹣2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
4．已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为（）
13．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m_________n（填“＞”“＜”或“=”号）．
14．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣3时，y=_________．
三．解答题（共9小题）
15如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（m，n），连结OB．若S△AOB=6，S△BOC=2．
（2）求四边形OCBD的面积．
20．如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；
（3）计算线段AB的长．
21．如图，正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A（m，2），B两点．

华师大版九年级下数学《圆》知识归纳

华师大版九年级下数学《圆》知识归纳圆的知识点归纳圆的定义：1.由定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2.在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

圆的各元素：1.半径：圆上一点与圆心的连线段。

2.直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。

3.弦：连接圆上两点的线段，直径也是弦。

4.弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。

1) 劣弧：小于半圆周的弧。

2) 优弧：大于半圆周的弧。

5.圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6.圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度。

圆的基本性质：1.圆的对称性。

1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

3) 圆是旋转对称图形。

2.垂径定理。

1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

2) 推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

1) 同弧所对的圆周角相等。

2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4.在同圆或等圆中，只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

五对量包括：两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距。

5.夹在平行线间的两条弧相等。

6.设⊙O的半径为r，OP=d。

dd）点P在⊙O内d=r点P在⊙O上d>r（r<d）点P在⊙O外7.(1) 过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

2) 不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8.直线与圆的位置关系。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交。

直线与圆只有一个交点，直线与圆相切。

直线与圆没有交点，直线与圆相离。

9.平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。

则AB=(x1-x2)+(y1-y2)10.圆的切线判定。

【详解版】2015届九年级中考总复习(华师大版)精练精析：二十五图形的对称2(21页,考点+分析+点评)

图形的变化——图形的对称2一．选择题（共9小题）1．如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．3cm2．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（）A．2 B．3 C．4 D．53．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图，则图中阴影部分的面积之和等于（）A．a2B．0.25a2C．0.5a2 D．24．某位同学参加课外数学兴趣小组，绘制了下列四幅图案，其中是轴对称图形的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列“表情”中属于轴对称图形的是（）A．B． C．D．6．点M（﹣cos60°，sin60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．7．如图有4个冬季运动会的会标，其中不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8下列几何图形中，不是轴对称图形的是（）A．锐角 B．等腰三角形C．直角梯形 D．扇形9．下列说法正确的是（）A．4的平方根是2B．将点（﹣2，﹣3）向右平移5个单位长度到点（﹣2，2）C．2是无理数D．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点是（﹣2，3）二．填空题（共6小题）10．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4+2，点D在AB上，点E在AC上，△ADE 沿DE折叠后点A恰好落在BC上的A′点，且DA′⊥BC．则A′B的长是_________．11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为_________．12如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为_________．13．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是_________cm．14．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则长AD与宽AB的比值是_________．15．如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为_________．三．解答题（共9小题）16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣2，1），C（﹣2，4）．（1）画出△ABC沿着y轴向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并直接写出点C的对应点C1的坐标；（2）画出△ABC关于y轴对称的△AB2C2，并直接写出点C的对应点C2的坐标．17．如图是6×8的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，M、N也在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′，使A、B、C的对称点分别是A′、B′、C′；（2）连接BA′交MN于D，交AC于E，求AE：CE；（3）连接DB′交A′C′于点F，若每个小正方形的边长为1．求△B′C′F的面积．18．如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合．（1）求证：DM=DN；（2）当AB和AD满足什么数量关系时，△DMN是等边三角形？并说明你的理由．19．如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD＞AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．（1）判断四边形ADEF的形状，并说明理由．（2）取线段AF的中点G，连接EG、DG，如果DG∥CB，试说明四边形GBCE是等腰梯形．20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，顶点C落在点E上，若BC=10，AB=5．（1）求证：△ABO≌△EDO；（2）求AO的长．21．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点F上，连接BF并延长交DC的延长线于点G．（1）求证：△EFG≌△EDG．（2）当DG=3，BC=2时，求CG的长．22．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G 在矩形ABCD内部．如果将BG延长交DC于点F．（1）则FG_________FD（用“＞”、“=”、“＜”填空）（2）若BC=12cm，CF比DF长1cm，试求线段AB的长．23．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E 处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．24．如图，点A（3，0），B（0，），一次函数y=kx+b的图象过A、B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）将△AOB沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=（m＞0）的图象上，求反比例函数的表达式．图形的变化——图形的对称2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．3cm考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．解答：解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm，在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选：A．点评：本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．2．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（）A． 2 B．3 C．4 D． 5考点：图形的剪拼．分析：利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．解答：解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为：3，4，5，故n≠2．故选：A．点评：此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键．3．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图，则图中阴影部分的面积之和等于（）A．a2B．0.25a2C．0.5a2D． 2考点：轴对称的性质．分析：只要证明图中的阴影部分与对应的非阴影部分全等，则图中阴影部分的面积就不难计算了．解答：解：如图，∵FH∥CD，∴∠BHF=∠C=90°（同位角相等）；在△BFH和△BDC中，∴△BFH∽△BDC（AA），∴同理，得又∵AD=CD，∴GF=FH，∵∠BGF=∠BHF=90°，BF=BF，∴△BGF≌△BHF，∴S△BGF=S△BHF，同理，求得多边形GFEJ与多边形HFEI的面积相等，多边形JEDA与多边形IEDC的面积相等，∴图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的一半，．故选：C．点评：考查了轴对称的性质，解答本题时主要运用了正方形的性质，相似三角形的判定以及相似三角形的性质．所以，在以后的解题中合理的利用已学的定理与性质会降低题的难度．4．某位同学参加课外数学兴趣小组，绘制了下列四幅图案，其中是轴对称图形的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：轴对称图形．专题：几何变换．分析：根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称．解答：解：根据轴对称图形的概念，从左到右第1，2，4个图形都是轴对称图形，故是轴对称图形的有3个，故选：C．点评：此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形是解题关键．5．下列“表情”中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称的定义，结合选项即可作出判断．解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确；故选D．点评：此题考查了轴对称的定义，属于基础题，注意掌握轴对称的定义是关键．6．点M（﹣cos60°，sin60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A． B．C．D．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标；特殊角的三角函数值．分析：先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．解答：解：∵﹣cos60°=﹣，sin60°=，∴点M．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），∴M关于x轴的对称点的坐标是．故选A．点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．7．如图有4个冬季运动会的会标，其中不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个 D． 4个考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，即可判断出．解答：解：第一个图形：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项正确；第二个图形：此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，故此选项错误；第三个图形：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项正确；第四个图形：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，故此选项正确．故选：C．点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．8．下列几何图形中，不是轴对称图形的是（）A．锐角B等腰三角形C．直角梯形D．扇形考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．解答：解：所有图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么一定是轴对称图形的有锐角、等腰三角形、扇形，故不是轴对称图形的是直角梯形．故选：C．点评：本题考查了轴对称的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．9．下列说法正确的是（）A．4的平方根是2B．将点（﹣2，﹣3）向右平移5个单位长度到点（﹣2，2）C．2是无理数D．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点是（﹣2，3）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标；平方根；无理数；坐标与图形变化-平移．分析：分别利用平方根以及无理数的定义和关于坐标轴对称的特点等知识分析得出即可．解答：解：A、4的平方根是±2，故此选项错误；B、将点（﹣2，﹣3）向右平移5个单位长度到点（3，﹣3），此选项错误；C、2是无理数，错误；D、点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点是（﹣2，3），此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了平方根以及无理数的定义和关于坐标轴对称的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．二．填空题（共6小题）10．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4+2，点D在AB上，点E在AC上，△ADE 沿DE折叠后点A恰好落在BC上的A′点，且DA′⊥BC．则A′B的长是2．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何综合题．分析：设A′B=x，根据等边三角形的性质可得∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠BDA′=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2A′B，然后利用勾股定理列式表示出A′D，再根据翻折的性质可得AD=A′D，最后根据AB=BD+AD 列出方程求解即可．解答：解：设A′B=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DA′⊥BC，∴∠BDA′=90°﹣60°=30°，∴BD=2A′B=2x，由勾股定理得，A′D===x，由翻折的性质得，AD=A′D=x，所以，AB=BD+AD=2x+x=4+2，解得x=2，即A′B=2．故答案为：2．点评：本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并用A′B表示出相关的线段是解题的关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为6．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据矩形的性质得出CD=AB=8，∠D=90°，根据折叠性质得出CF=BC=10，根据勾股定理求出即可．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=8，∠D=90°，∵将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，∴CF=BC=10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF===6，故答案为：6．点评：本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质的应用，解此题的关键是求出CF和DC的长，题目比较典型，难度适中．12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE 折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4﹣x，在Rt△B'EC中，利用勾股定理解出x的值即可．解答：解：BC==4，由折叠的性质得：BE=BE′，AB=AB′，设BE=x，则B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=．故答案为：．点评：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式．13．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是12cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题；压轴题．分析：根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．解答：解：由翻折的性质得，DF=EF，设EF=x，则AF=6﹣x，∵点E是AB的中点，∴AE=BE=×6=3，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+（6﹣x）2=x2，解得x=，∴AF=6﹣=，∵∠FEG=∠D=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠BEG，又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BGE，∴==，即==，解得BG=4，EG=5，∴△EBG的周长=3+4+5=12．故答案为：12．点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．14．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则长AD与宽AB的比值是．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．专题：数形结合；转化思想．分析：由AE=BE，可设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．由折叠的性质可得∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF==k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3k，即AD=3k，进而求解即可．解答：解：∵AE=BE，∴设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，∴∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∴cos∠AFE=cos∠DCF．在Rt△AEF中，∵∠A=90°，AE=2k，EF=3k，∴AF==k，∴=，即=，∴CF=3k，∴AD=BC=CF=3k，∴长AD与宽AB的比值是=．故答案为：．点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．15．如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为18．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD==5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长．解答：解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，∴∠BCD=90°﹣∠DCE，又∵∠B=90°﹣∠A，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD=AD==5，∴DE为△ABC的中位线，∴DE==3，∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，∴，∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18．故答案为：18．点评：本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到ED是△ABC 的中位线关键．三．解答题（共9小题）16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣2，1），C（﹣2，4）．（1）画出△ABC沿着y轴向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并直接写出点C的对应点C1的坐标；（2）画出△ABC关于y轴对称的△AB2C2，并直接写出点C的对应点C2的坐标．考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；（2）根据网格结构找出点B、C关于y轴对称点B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示，C1（﹣2，﹣1）；（2）△AB2C2如图所示，C2（2，4）．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．17如图是6×8的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，M、N也在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′，使A、B、C的对称点分别是A′、B′、C′；（2）连接BA′交MN于D，交AC于E，求AE：CE；（3）连接DB′交A′C′于点F，若每个小正方形的边长为1．求△B′C′F的面积．考点：作图-轴对称变换；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据轴对称的性质画出图形即可；（2）先根据轴对称的性质得出AA′∥BC，故可得出△AA′E∽△CBE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）根据轴对称的性质得出△B′C′F≌△BCE，故S△B′C′F=S△BCF=S△ABC，由此可得出结论．解答：解：（1）如图所示；（2）连接AA′，∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴AA′∥BC，∴∠C=∠EAA′，∠AEA′=∠CEB，∴△AA′E∽△CBE，∴===；（3）∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴△B′C′F≌△BCE，∴S△B′C′F=S△BCF=S△ABC=××3×4=2．点评：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．18．如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合．（1）求证：DM=DN；（2）当AB和AD满足什么数量关系时，△DMN是等边三角形？并说明你的理由．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据矩形对边平行得∠1=∠3，根据折叠的性质得∠1=∠2，所以∠2=∠3，得DM=DN；（2）假设△DMN是等边三角形，则∠ADM=30°．有MD=2AM，AD=AM，AB=3AM，得AB=AD．解答：（1）证明：由题意知∠1=∠2，又AB∥CD，得∠1=∠3，则∠2=∠3．故DM=DN；（2）解：当AB=AD时，△DMN是等边三角形．证明：连接BD．∵∠A=90°，AB=AD，∴tan∠ABD==，∴∠ABD=30°．∵BM=MD，∴∠ABD=∠MDB=30°，∴∠BMD=120°．∴∠1=∠2=60°．又DM=DN，∴△DMN是等边三角形．点评：此题通过折叠考查了三角形的有关知识，难度中等．19．如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD＞AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．（1）判断四边形ADEF的形状，并说明理由．（2）取线段AF的中点G，连接EG、DG，如果DG∥CB，试说明四边形GBCE是等腰梯形．考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的判定；直角梯形；等腰梯形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据折叠的性质得到∠DEF=∠A=90°，DA=DE，由AB∥DC得∠ADE=90°，则可判断四边形ADEF为矩形，加上邻边相等，由此可判断四边形ADEF为正方形；（2）由DG∥CB，DC∥AB可判断四边形BGDC是平行四边形，则BC=DG，DC=BG，所以EC≠BG，于是可判断四边形EGBC是梯形，再利用G点为AF的中点和正方形ADEF为轴对称图形得到GE=DG，则EG=CB，所以可判断四边形GBCE是等腰梯形．解答：解：（1）四边形ADEF为正方形．理由如下：∵纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，∵AB∥DC，∴∠ADE=90°，∴四边形ADEF为矩形，而DA=DE，∴四边形ADEF为正方形；（2）∵DG∥CB，DC∥AB，∴四边形BGDC是平行四边形，∴BC=DG，DC=BG，∴EC≠BG，∴四边形EGBC是梯形，又∵G点为AF的中点，∴AG=GF，而正方形ADEF为轴对称图形，∴GE=DG，∴EG=CB，∴四边形EGBC为等腰梯形．点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了正方形和平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定．20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，顶点C落在点E上，若BC=10，AB=5．（1）求证：△ABO≌△EDO；（2）求AO的长．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质，由AAS易证△ABO≌△EDO．（2）根据全等三角形的性质，设AO长x，则BO长（10﹣x），根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．解答：（1）证明∵四边形ABCD为矩形，∴ED=CD=AB，∠OAB=∠0ED，在△ABO与△EDO中，，∴△ABO≌△EDO（AAS）（2）解：∵△ABO≌△EDO，∴DO=OB，∴AO+BO=10，设AO长x，则BO长（10﹣x），根据勾股定理得x2+52=（10﹣x）2，解得x=3.75．故AO的长为3.75．点评：本题综合考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及用方程思想解决几何问题等知识．21．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点F上，连接BF并延长交DC的延长线于点G．（1）求证：△EFG≌△EDG．（2）当DG=3，BC=2时，求CG的长．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）根据折叠的性质和矩形的性质可得△EFG与△EDG是直角三角形，DE=AE=FE，再根据HL即可证明△EFG≌△EDG．（2）根据全等三角形的性质可得DG=FG=3，在Rt△BCG中，根据勾股定理可求CG的长．解答：（1）证明：E是边AD的中点，∴DE=AE=FE，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠BFE=90°∴∠D=∠EFG=90°．在Rt△EFG与Rt△EDG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）；（2）解：∵△EFG≌△EDG，∴DG=FG=3，设CG=x，DC=3﹣x，AB=BF=DC=3﹣xBG=3﹣x+3=6﹣x在Rt△BCG中，BG2=BC2+CG2，（6﹣x）2=（2）2+x2，解得x=1，即CG=1．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度．22．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G 在矩形ABCD内部．如果将BG延长交DC于点F．（1）则FG=FD（用“＞”、“=”、“＜”填空）（2）若BC=12cm，CF比DF长1cm，试求线段AB的长．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；（2）可设CF=xcm，则BF=x+x﹣1+x﹣1=（3x﹣2）cm，在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x，进一步得到线段AB的长．解答：解：（1）连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，在Rt△EGF与Rt△EDF中，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴FG=FD；（2）设CF=xcm，则BF=x+x﹣1+x﹣1=（3x﹣2）cm，在Rt△BFC中，BF2=BC2+CF2，即（3x﹣2）2=122+x2，解得x1=﹣3.5（舍去），x2=5．AB=x+x﹣1=2x﹣1=9cm．故线段AB的长是9cm．故答案为：=．点评：此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．23．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E 处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，在Rt△CDN中，由勾股定理，求得CD=2x，则x=，然后在Rt△MNH中，由勾股定理即可求得MN的长．解答：（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．∴HC=DN，NH=DC．∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴MC=3ND=3HC．∴MH=2HC．设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN，在Rt△CDN中，CD==2x=4，∴x=．∴MH=2．在Rt△MNH中，MN=．点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．24．如图，点A（3，0），B（0，），一次函数y=kx+b的图象过A、B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）将△AOB沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=（m＞0）的图象上，求反比例函数的表达式．考点：翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）作CD⊥OA交x轴于点D，求得∠CAO的度数，然后在直角△ACD中，利用三角函数求得AD和AD的长，则OD即可求得，求得C的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式．解答：解：（1）根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y=﹣x+；（2）∵点A（3，0），B（0，），∴tan∠ABO==，∴∠ABO=60°，∠OAB=30°．∴∠OAC=60°，AC=AO=3，OB=BC=，作CD⊥OA交x轴于点D．∴CD=AC•sin∠CA0=，AD=，OD=，∴C（，），代入y=得：m=，则函数的解析式是：y=．点评：本题考查了待定系数法求直线和反比例函数的解析式，正确求得C的坐标是关键．。

九年级中考总复习(华师大版)精练精析：十七、二次函数2(20页)

5．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（）
A．b2＞4acB．ac＞0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＜0
6．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）
A．﹣3B．﹣1C．2D．5
15．请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是_________．
三．解答题（共8小题）
16．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之比．
20．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．
22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．

2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期第27章、圆单元复习课件3

nπR l＝ 180
.
(2)若设⊙O半径为R，弧长为l，圆心角为n°的扇形的面积公式是：
nπR2 1 S＝＝ lR 360 2 S＝＝lR
.
数学·新课标（HS）
第28章复习1 ┃ 知识归纳
(3)圆柱的侧面积公式：S＝
2π rl
(其中r为底面圆的半
径，l为圆柱的高)． (4)圆锥的侧面积公式：S＝径，l为母线的长)．
1 ∴∠BOC＝60° ，∴∠BAC＝ ∠BOC＝30° . 2
数学·新课标（HS）
第28章复习1 ┃ 考点攻略
方法技巧· 易错警示圆周角定理包括两方面的结论，一方面是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；另一方面是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半．圆周角定理成立的前提条件是同弧或等弧所对的两种角，而同弧或等弧只有在同圆或等圆中才能得到，因此在运用该定理时，不要把不同的弧所对的圆周角与圆心角错认为是同一条弧所对的圆周角与圆心角．另外，圆中的弦所对的圆周角有两个，在解题中常漏掉一种情况，而只求其中一种情况，造成错误．
；
数学·新课标（HS）
第28章复习1 ┃ 知识归纳 (2)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . 4．关于弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积的计算 (1)已知⊙O半径为R，则圆的面积公式为：S＝ π R2 ；圆的周长公式为：C＝ 2π R ；n°圆心角的弧长公式是： l＝
[解析] C 因为该圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，所以 2πr π ＝ ×8，∴r＝2 cm. 2
方法技巧将立体的圆锥的侧面积转化为平面图形面积： (1)轴截面是等腰三角形，把底面半径与母线有机结合，利用勾股定理进行有关计算； (2)侧面是扇形，将母线与底面周长用扇形弧长公式联系在一起，其中圆锥的侧面积就是扇形的面积，圆锥的母线就是扇形的半径．

详解版2015届九年级中考总复习华师大版精练精析二十五图形对称115页考点分析点评

图形的变化——图形的对称1一．选择题（共9小题）1．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（）A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．72．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）6．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）7．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）8．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．39．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是_________．11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为_________．12．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为_________．13．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为_________．14．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=_________．15．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有_________种．16．如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是_________．三．解答题（共6小题）17．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．18．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．19．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：DE∥AC．20．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．21．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD 相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．22．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．。

九年级中考总复习(华师大版)精练精析：十六、反比例函数1(20页)

（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
18．已知反比例函数y=的图象经过点M（2，1）
（1）求该函数的表达式；
（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．
16．如图，反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为_________．
三．解答题（共9小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；接写出：当x＞0时，不等式的解集．
24已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
二．填空题（共8小题）
9如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是_________．
10双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为_________．
11．若函数y=的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是_________（写出一个即可）．
2．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．