第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
常微分方程组的解法
常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。
常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。
解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。
常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。
其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。
一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。
变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。
常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。
特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。
数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。
常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。
龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。
变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。
常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。
在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。
微分方程的级数解法
微分方程的级数解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在微分方程的解法中，级数解法是一种常见且有效的方法。
本文将介绍微分方程的级数解法，并通过具体的例子来说明其应用。
一、级数解法的基本思想级数解法是通过将微分方程的解表示为级数形式，然后利用级数的性质来求解微分方程。
其基本思想是将未知函数表示为幂级数的形式，然后将其代入微分方程中，通过比较系数的方法确定级数的各项。
二、级数解法的步骤级数解法的步骤可以概括为以下几个方面：1. 假设未知函数的级数解形式，通常选择幂级数形式，如y(x)=∑(n=0)^(∞)a_n(x-x_0)^n。
2. 将级数解代入微分方程中，得到方程的各项。
3. 比较方程两边各项的系数，得到递推关系式。
4. 解递推关系式，确定级数解中的各项系数。
5. 根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间。
三、例子：求解二阶常系数线性齐次微分方程考虑一个二阶常系数线性齐次微分方程：y''(x)+ay'(x)+by(x)=0，其中a、b为常数。
假设未知函数的级数解形式为y(x)=∑(n=0)^(∞) a_nx^n。
将级数解代入微分方程中，得到：∑(n=0)^(∞) a_n(n(n-1)x^(n-2)+anx^(n-1)+bx^n)=0。
比较方程两边各项的系数，得到递推关系式：a_0=0，a_1=0，(n(n-1)a_n+a(n+1)a_(n+1)+ba_n)=0。
解递推关系式，确定级数解中的各项系数：由a_0=0可知，a_n=0(n≥0)。
根据递推关系式，可得：a_2=-ba_0/(2(2-1))=-b/2，a_3=-ba_1/(3(3-1))=0，a_4=-ba_2/(4(4-1))=b^2/(2*4)，...根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间：根据级数解的收敛性定理，级数解的有效区间至少包含级数展开点x=0。
因此，级数解的有效区间为整个实数集。
常微分方程的级数解
常微分方程的级数解在科学研究中，经常需要解含有未知函数的导数的方程，这就是微分方程。
如果方程中只含有对未知函数的一个自变量的导数，这个方程就被称为常微分方程，如果方程中含有对未知函数的多个自变量的导数，这个方程就是偏微分方程。
求解微分方程的基础是求解常微分方程，含有任意个自变量的偏微分方程可以通过某种途径转化成多个常微分方程。
在常微分方程中，最常见的是二阶常微分方程，即含有对未知函数的自变量求二阶导数的微分方程。
在二阶微分方程中，二阶线性齐次常微分方程又是最基本的微分方程，因此，我们来讨论这种最基本的常微分方程。
二阶线性齐次常微分方程具有如下的标准形式：其中对自变量的最高阶导数是二阶导数，它前面的系数等于1。
对于更高阶的微分方程，也会写成类似这样一种标准形式，它能够直接告诉我们这个方程的最高阶导数项是哪一阶导数。
在二阶常微分方程的这个标准形式中，如果两个系数在某点都是解析的，该点就叫做方程的常点；如果至少有一个系数在某点不解析，该点就叫做方程的奇点。
对于无穷远点，必须作变换 t=1/z，由此得到 dt/dz=-t²，利用这个结果将对 z 求导数转换成对 t 求导数。
对 z 求一阶导数是这样转换的：对 z 求二阶导数是这样转换的：把它们代入以z 为自变量的标准方程中，得到一个以t 为自变量的方程：稍作整理后将其化成标准形式：引入两个新的函数：就能够明显地看出，上述方程具有二阶常微分方程的标准形式，只不过自变量由 z 变成 t 吧了：现在，只要按照前面的方式，考察t=0 点的特性，就可以对无穷远点的奇异性做出判断。
一个简单的例子是勒让德方程，这是在科学研究中经常遇到的一个常微分方程，许多微分方程经过一系列数学变换最终都可以化为勒让德方程：把这个方程改写成标准形式，就得到两个系数：显然，在z=±1 这两个点，两个系数不解析。
对于无穷远点，方程的两个系数具有以下形式：我们看到，t=0 是其中一个系数的奇点。
常微分方程的特解法
常微分方程的特解法在数学中，常微分方程是研究变量是一个实数的函数的方程。
它在自然科学、工程学、经济学和金融学等各个领域都有广泛的应用。
通常我们研究的是方程的一般解。
但在实际问题中，我们有时需要求解一些特殊情况下的特解，以满足具体问题的需要。
常微分方程的特解法就是为了让我们能够快速有效地求解这些特殊情况下的解。
一、常变系数一阶线性微分方程在常变系数一阶线性微分方程中，我们通常使用变量分离法解方程。
通常情况下，常微分方程的一般形式为：$$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$$其中p(x) 和q(x)都是已知函数。
我们可以将这个方程变形为：$$\frac{dy(x)}{dx}+p(x)y(x)=q(x)$$我们将y(x)单独放在等式左边，将x 和y(x)的导数单独放在右边，即：$$\frac{dy(x)}{y(x)}=q(x)-p(x)dx$$对于等式右边的积分：$$\int q(x)-p(x)dx$$我们可以得到：$$y(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx$$其中C是我们特殊情况下的常数。
二、常变系数二阶线性微分方程对于常变系数二阶线性微分方程的求解，我们通常使用特征方程法、变换法和特殊函数法。
这里我们介绍一下特征方程法。
对于形如下面这个方程的常变系数二阶线性微分方程：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$我们先将这个方程变形，得到：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$$然后我们构建特征方程：$$r^2+p(x)r+q(x)=0$$通过求解这个方程的解r，我们可以得到y(x)的一个通解：$$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$其中$y_1(x)$和$y_2(x)$是方程$r^2+p(x)r+q(x)=0$ 的两个线性无关解。
高等数学 第八章 常微分方程
第八章 常微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．2． 基本公式一阶线性微分方程 ()()y P x y Q x '+=的通解公式:()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰． 3． 基本方法分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法． 4． 定理齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构． 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以 )0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x yy d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln y x C =-+， 1ex C y -+=，1e e C x y -=±，所以 exy C -= （C 为任意常数）．请思考为什么所求通解 e x y C -= 中的任意常数C 可以为零，如何解释． 问题2 如何用微分方程求解一些实际问题？解析 用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程．这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量．再根据有关学科，如物理、化学、生物、几何、经济等学科理论，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来．为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数或微分表示几何量和物理量．如在几何中曲线切线的斜率 xy k d d =（纵坐标对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度 d d s v t=，加速度 22d d d d ts tv a ==，角速度 tw d d θ=，电流 tq i d d =等．例2 镭元素的衰变满足如下规律；其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，试求镭现存量与时间t 的函数关系．解 设t 时刻镭的现存量()M M t =，由题意知：0(0)M M = ，由于镭的衰变速度与现存量成正比，故可列出方程kM tM -=d d ，其中(0)k k >为比例系数．式中出现负号是因为在衰变过程中M 逐渐减小，0d d <tM ．将方程分离变量得ektM C -=，再由初始条件得00e M C C ==， 所以0ektM M -=，至于参数k ，可用另一附加条件 2)1600(0M M =求出，即160000e2k M M -⋅=，解之得k =≈ln .216000000433，所以镭的衰变中，现存量M 与时间t 的关系为0.0004330etM M -=．三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为01,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0，特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin c y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为y x A x B x p =+(c o ss i n )， 代入原方程，可得1,02A B =-= 所以y x x p =-12cos ，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()cos ()sin xn h f x P x x P x x αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =．解二 方程''+=y y x sin 所对应的齐次方程''+=y y 0之通解y C x C x C =+12cos sin ．为求''+=y y x sin 的一个特解，先求辅助方程 i e e (0i )x xy y λλ''+===+ ①的特解，由于i λ= 恰是特征单根，故可设i e xp y Ax =为①的一个特解．将其代入①整理得2i 1A = 即i 2A =-，所以i i i 11e(c o s i s i n )s i n i (c o s)2222xp y x x x x x x x x =-=-+=-， 即y x x *cos =-12为方程''+=y y x sin 的一个特解．因此，所求通解为y C x C x x x =+-1212cos sin cos ．该方法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项()()ecos xm f x P x x αβ=或()()e sin x m f x P x x αβ=时，可先令()()e x m f x P x λ=(i λαβ=+)按λ是否为特征方程的特征根（λ是特征根设1k =，不是特征根设0k =），可设()e kxp m y x Q xλ=为方程()e xm y py qy P x λ'''++=的特解，求出12i p y y y =+的形式，则y 1为''+'+=y py qy ()e cos x m P x x αβ的一个特解， y 2 为''+'+=y py qy ()e sin x m P x x αβ的一个特解． 上述两种解法，实质上是一样的，为什么？四、练习题1． 判断正误（1）若y 1和y 2是二阶齐次线性方程的解，则1122C y C y +（C 1，C 2为任意常数）是其通解 ； （ ⨯ ）解析 只有1y 和2y 是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合1122C y C y +才是通解．（2）'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=； （ ⨯ ） 解析 '''+''-=y y x 0为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为0=''+'''y y ，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．因此，'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=．（3）方程''-'=y y x sin 的特解形式可设为x B x A sin cos +（Ａ，Ｂ为待定系数） ；（ √ ）解析 对应的齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为 1r =0，2r =1． 又因为1,0==βα,i i αβ±=±不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为x x Q x x P y p s i n )(c o s )(00+== x B x A sin cos +．（4）'=y y 的通解为e xy C =（C 为任意常数）． （√ ）解析 特征方程为01=-r ，特征根为r =1，所以，特征方程的通解为e x y C =．2．选择题（1）2(1)e xy y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；(C) ()e xa xb +； (D) 2)(x b ax +．解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e xp y x ax b =+．（2）2e sin x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ C ）；(A) e sin x A x -； (B) 2e sin x Ax x -； (C) e (sin cos )x A x B x -+； (D) )cos (sin 2x x Ax +．解析 特征方程为 0122=++r r ，特征根为 1r =2r =1-．又因为1,1=-=βα，i 1i αβ±=-±不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为)cos sin (x B x A e y xp +=-．（3）22e cos x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ A ）；(A) (cos sin )e x x A x B x -+； (B) e cos x Ax x -；(C) e sin x Ax x -； (D) (cos sin )e x Ax x x -+．解析 特征方程为0222=++r r ，特征根为 1r =1i -+，2r =1i --．又因为1α=-，1β=，i 1i αβ±=-±是特征方程的特征单根，于是，非齐次方程的特解设为 e(c o s s i n xp y x A x B x -=+．（4）下列方程中，通解为12e e x xy C C x =+的微分方程是（ A ）．(A) 02=+'-''y y y ； (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 ； (D) '=y y ．解析 由通解y =12e e x x C C x +=12()e xC C x +可知，它是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，方程的特征根为重根1r =2r =1，对应的特征方程为0122=+-r r ，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为02=+'-''y y y ．３．填空题（１） 方程 '''+'=y y 0的通解为 123cos sin C C x C x ++；解 特征方程为03=+r r ，特征根为1r =0，2r =i ，3r =i -，方程的通解为 y =123cos sin C C x C x ++． (2)''+'+=y py qy 0的特征方程为 02=++q pr r ；解 特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．（3）''=y x 2sin 的通解为 122sin x C x C -++ ； 解 方程两边积分得 y '=2sin d x x ⎰=12cos x C -+， 微分方程的通解 1(2c o s )d y x C x =-+⎰=122sin x C x C -++．（４）''-'+=y y y 567满足670==x y和'=-=y x 01的特解为 237ee6xx-+ ．解 对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，特征方程为0652=+-r r ，特征根为1r =2，2r =3，对应齐次方程的通解为2312eexxc y C C =+．由于λ=0不是特征方程的根，故设00()ee xxp y Q x A ==，将()Q x A =，0)()(=''='x Q x Q 代入方程，有6A =7， 即 A =67．于是方程的特解为 67=p y ，方程的通解为 23127=e +e6xxy C C +．现在求满足初始条件的特解．对y 求导得23122e 3e x xy C C '=+，将初值代入y 与y '，有121277(0),661(0)23,y C C y C C ⎧⎪==++⎨'-==+⎪⎩即 {12120,231,C C C C +=+=- ⇒{121,1,C C ==- 于是，方程满足初始条件的特解为y =237e e 6x x -+．4． 解答题(1) 用两种方法求解 ''=-'y x y 2；解一 对应的齐次方程为02='+''y y ，特征方程为 022=+r r ，特征根为 1r =0，2r =2-，于是对应的齐次方程的通解为c y =212exC C -+．由于λ=0是特征方程的特征单根，于是设p y =0()e x Q x =x(Ax+B)0e x ， 求导得 B Ax x Q +='2)(， A x Q 2)(=''， 则有 x B Ax A =++)2(22， ⇒ 1,41,4A B ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 所以方程的特解为 p y =)414(-x x ，所求方程的通解为 y =212exC C -++442x x-．解二 设)(x p y ='，则)(x p y '=''，原方程变形为 p x p 2-='，对应的齐次方程为 02=+'p p ，用分离变量法，得d 2d p x p=-，两边积分，得 l n 2l n p x c=-+， 即2e xp c -=， 根据常数变易法，设2()exp c x -=，代入p x p 2-='，有2()exc x x -'=， 2()e,xc x x '=积分得 2()ed xc x x x=⎰=21de2xx ⎰=2211ee d 22xxx x -⎰=22111ee24xxx C -+，变形后所得一阶微分方程的通解为 p =211e 24xx C --+，所以，原方程的通解为 y =()d p x x ⎰=211(e)d 24xx C x --+⎰=212exC C -++442x x-．(2) 求方程 ''+=y y x x cos 2满足10==x y，019x y ='=-的特解；解 对应的齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为1r =i ，2r =i -，对应的齐次方程的通解为c y =12cos sin C x C x +．先求辅助方程2i e x y y x ''+=的特解：由于λ=2i 不是特征方程的特征根，于是设p y =2i ()e x Q x =)(B Ax +2i e x ，A x Q =')(， 0)(=''x Q ，则有 4i 3()A Ax B x -+= ⇒ 1,34i,9A B ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以，辅助方程的特解为p y 14(i)(cos 2i sin 2)39x x x =--+1414(cos 2sin 2)(sin 2cos 2)i 3939x x x x x x =-++--，于是原方程的特解为 p y =x x x 2sin 942cos 31+-， 所求方程的通解为 y =12cos sin C x C x +14cos 2sin 239x x x-+．现在求满足初始条件的特解．对通解求导数，得='y 12128sin cos cos 2sin 2cos 2,339C x C x x x x x -+-++由初始条件10==x y ，019x y ='=-，带入上面两式，得121,2,3C C =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以，满足初始条件的特解为 x x y sin 32cos -=14cos 2sin 2.39x x x -+(3) 求方程 (e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=的通解； 解 整理得 e (e 1)d e (e 1)x y yxx y -=-+，用分离变量法，得eed de 1e 1yxyxy x =--+，两边求不定积分，得 l n (e 1)l n (e 1)l y xC -=-++，于是所求方程的通解为 e 1e 1yxC-=+，即 e 1e 1yxC =++．(4) 求()y x y y 2620-'+=的通解；解 分离变量，得 2d 2d 6y y xx y=-，取倒数，有2d 613d 22x x y x y yyy-==-，是x 关于y 一阶线性微分方程．求此方程的通解．对应的齐次方程为d d x y=3yx ，用分离变量法，得 d x x=3d y y，两边积分，得 l n 3l n l n x y c =+， 即 3x c y =，用常数变易法，设方程的解为x =3()c y y ，代入方程，有31()2c y y y '=-， 即 21()2c y y'=-，积分，得 ()c y =12C y+，所以，方程的通解为 x =2312y C y +．(5) 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37C 。
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。
在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。
本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。
一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。
一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。
常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。
显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。
常微分方程的解集通常具有唯一性。
其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。
在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。
二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。
具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。
1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。
首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。
2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。
特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。
特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。
3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。
特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
常微分方程的分类及其解法
常微分方程的分类及其解法常微分方程是数学中非常重要的一门学科，它涉及到的领域很广，如物理学、工程学、经济学等等都有很多应用。
常微分方程的分类及其解法，是常微分方程学习的重要内容，下面本文将就此做出一定的阐述。
一、常微分方程的分类常微分方程按照阶数，可以分为一阶常微分方程、二阶常微分方程、三阶常微分方程以及高阶常微分方程。
按照变量的个数，可以分为一元常微分方程和多元常微分方程。
按照系数的定性，可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
二、常微分方程的解法1. 一阶常微分方程的解法（1）可分离变量方程法对于形如$y^{'}=f(x)g(y)$的方程，如果能将变量x和y分离到等式两端，即$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$两端对x积分，得到$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。
这里需要注意的是，$g(y)$不能为0，如果出现$g(y)$为0的情况，需要特别处理。
（2）积分因子法对于形如$y^{'}+P(x)y=Q(x)$的方程，如果能找到一个函数$\mu(x)$，使得方程两端同时乘上$\mu(x)$得到的新方程，可以写成$$\mu(x)y^{'}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x)$$其中左边一项可以通过链式法则写成$(\mu(x)y)^{'}$的形式，于是方程可以转化为$$ (\mu(x)y)^{'}=\mu(x)Q(x)$$这是一个可积的方程，可以积分得到原方程的解。
（3）直接积分法对于形如$y^{'}=f(x)$的方程，可以直接对方程两边积分得到$$y=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。
2. 二阶常微分方程的解法（1）常系数齐次线性方程法形如$y^{''}+py^{'}+qy=0$的方程称为齐次线性方程，如果其系数不随自变量x的变化而变化，即p、q为常数，那么称为常系数齐次线性方程。
求解微分方程的常用方法
求解微分方程的常用方法微分方程是数学的一个重要领域，在各个科学领域中都有着广泛的应用。
求解微分方程是解决实际问题的重要方法之一。
本文将介绍一些求解微分方程的常用方法。
一、解析解法解析解法是指用变量分离、母函数法、变量代换等方法，将微分方程转化为一些已知函数的方程，从而求得方程的解。
变量分离法是一种常见的解析解法。
对于形如y'=f(x)g(y)的微分方程，可以将其变为dy/g(y)=f(x)dx的形式，进而通过积分得到y的解。
母函数法是将微分方程变成一个恒等式的形式，从而求出微分方程的通解。
变量代换法则是通过适当的变量代换，使微分方程变为已知形式的微分方程，进而求出其解。
二、初值问题法初值问题法通常用于求解一阶微分方程的初值问题。
该方法的基本思路是先求得微分方程的通解，然后利用给定的初始条件（即初值），确定通解中的任意常数，从而得到特解。
三、数值解法数值解法是指将微分方程转化为一个差分方程，利用数值方法求得近似解。
数值解法的基本思路是将区间分为若干小段，然后在每一小段上通过近似计算求得微分方程的解。
常用的数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。
这些方法的特点是简单易实现，但对于复杂的微分方程而言，计算量较大，精度也有限。
四、级数解法级数解法是将微分方程的解表示为幂级数的形式，从而求解微分方程。
这种方法的思路是假设微分方程的解为幂级数的形式，然后代入微分方程得到一组关于幂级数系数的递推公式，进而求得幂级数的系数，并由此得出微分方程的解。
五、特殊函数解法特殊函数解法是指利用已知的特殊函数求解微分方程。
一些常见的特殊函数包括贝塞尔函数、连带勒让德函数、超几何函数等。
这些特殊函数有着特殊的性质，可以用于求解某些类型的微分方程。
例如，我们可以用贝塞尔函数求解振动问题中的一些微分方程。
六、变分法变分法是一种通过变分原理，求解微分方程的方法。
变分法需要通过变分原理，利用根据函数微小变化的变分量所对应的增量来导出微分方程的一些重要性质。
第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
把方程的解表示为以 x0 为中心、带有待定系数的幂级 数，将这个幂级数代入方程及定解条件，求出所有待定系 数即可得该方程的解。 说明：
①级数解法是一个普遍的方法，对方程无特殊的要求。 ②对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。
③用级数解法要选定某个点 x0 作展开中心， 得到的解是 以 x0 为中心的幂级数。 ④必须确定幂级数的收敛圆， 级数解只在收敛圆内部才 4 有意义。
c2 n 2
( 2n l )( 2n l 1) c2 n ( 2n 2)( 2n 1)
设有级数 u ，如果（至少当 n 充分大时）
un 1 1 O ， un 1 n n
u n 收敛；而当 1 时， u n 发散。 则当 1时， n 1 n 1 由于解 y x c0 y0 x c1 y1 x 中只要有一项是发散的则解是发散的，所 以下面仅讨论 y0 (1) 的敛散性。 un 即在 x 1 处的递推系数 c2 n .由递推关系 对于 y0 (1) 的勒让德的级数，
q( x) bn ( x x0 )n ,
n 0
y( x) cn ( x x0 )n
n 0
其中an,bn(n=0,1,2,…)是已知的，c0和c1由附加条件给出，而 cn(n=2,3,4…)待定。 ② p(x),q(x)和y(x)的泰勒级数展开代入微分方程（8.1）式 得
n2 n
改写上式第一项,即令k=n-2
k k 0
n n n ( k 2)( k 1) c x n ( n 1) c x 2 nc x l ( l 1) c x k 2 n n n 0
解常微分方程的方法及应用
解常微分方程的方法及应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是含有未知函数的导数的关系式。
在物理、化学、工程等领域中，常微分方程被广泛应用于建模和解决实际问题。
本文将介绍解常微分方程的几种常见方法，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、分离变量法分离变量法是解常微分方程中最基本的方法之一。
对于形如dy/dx= f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy和1/f(y)，然后两边同时积分，从而将原方程分离为两个变量的方程。
最后再对方程进行求解，得到的解即为原方程的解。
这种方法适用于许多一阶和高阶常微分方程的求解。
二、常系数齐次线性微分方程的求解常系数齐次线性微分方程是指形如dy/dx + ay = 0的方程，其中a为常数。
这类方程的解可以通过特征方程的求解得到。
我们可以首先假设解为y = e^(rx)，其中r为常数，代入方程中得到特征方程ar^2 + r = 0。
解特征方程后，可以得到两个不同的解r1和r2。
最后，将通解表示为y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数，即为原方程的解。
三、变量可分离的高阶微分方程的解法对于一些高阶微分方程，可以通过变量代换和变量分离的方法将其转化为一系列一阶变量可分离的方程。
首先，通过变量代换将高阶方程转化为一阶方程组，然后再利用分离变量法逐个求解一阶方程。
最后，将解代入原方程组，得到原方程的通解。
这种方法可以简化高阶微分方程的求解过程。
四、常微分方程在物理和工程中的应用常微分方程在物理和工程学中有着广泛的应用。
举例来说，经典力学中的牛顿第二定律可以用微分方程来描述：F = ma，其中F是物体所受的外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个方程可以通过求解微分方程来得到物体的位移函数。
另外，电路中的RC和RLC电路也可以通过微分方程来描述响应和稳定性。
此外，生物学中也常常使用微分方程模型来描述生物体的生长和变化过程。
高等数学基础教材上册目录
高等数学基础教材上册目录【高等数学基础教材上册目录】第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的定义与求导法则2.2 函数的微分与近似计算2.3 高阶导数与高阶微分第三章：一元函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的图像与曲线的凸凹性3.3 驻点与拐点的判定方法第四章：多元函数及其微分学4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数第五章：一元函数积分学5.1 不定积分与不定积分法5.2 定积分的概念与性质5.3 定积分的计算方法第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 三重积分的概念与性质6.3 曲线积分与曲面积分第七章：常微分方程7.1 一阶常微分方程与初值问题7.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3 高阶线性齐次微分方程第八章：级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 幂级数的收敛半径与和函数8.3 函数的泰勒展开与幂级数展开第九章：常微分方程的级数解法9.1 二阶微分方程的级数解法9.2 非齐次线性微分方程的级数解法9.3 常微分方程组的级数解法第十章：线性代数基础10.1 向量与矩阵的基本概念与运算10.2 线性方程组的解法与矩阵的初等变换10.3 矩阵的特征值与特征向量第十一章：线性方程组与矩阵的应用11.1 矩阵的相似对角化与对角化的应用11.2 线性方程组稳定性分析11.3 矩阵的二次型与正定性判定第十二章：多元函数的泛函分析12.1 标架空间与线性空间的性质12.2 置换算子与对称变换的特征值问题12.3 点集拓扑与连续映射第十三章：傅里叶级数与傅里叶变换13.1 傅里叶级数的基本概念与性质13.2 傅里叶级数的收敛与满足条件的函数展开13.3 傅里叶变换的基本概念与性质第十四章：常微分方程的变分法14.1 非定常泛函与泛函极值问题14.2 欧拉方程与最小作用量原理14.3 约束条件下的变分问题第十五章：偏微分方程的基本理论15.1 偏微分方程基本概念与分类15.2 二阶线性偏微分方程的特征方程与性质15.3 分离变量法与定解问题的解法这是《高等数学基础教材上册》的目录，让我们逐步深入了解高等数学的各个领域与概念。
08 二阶线性常微分方程的级数解法
理学院 邓胜华
08:19:21
第 8 章 二阶常微分方程级数解法
(2l )! 通常约定：用适当的常数乘多项式，使最高羃次项系数 al l 2 (l !) 2 (k 2)(k 1) 反用系数递推公式 ak ak 2 可得 (k l )(k l 1) (2l 2k )! al 2 k (1) k l 2 k !(l k )!(l 2k )!
11/2/2015
DENG S.H
5/26
理学院 邓胜华
08:19:21
第 8 章 二阶常微分方程级数解法
2k 2 k 1 y a x a x 通解： 2k 2k 1 a0 y0 ( x) a1 y1 ( x)
其中特解：
y0 b2 k x ,
2k k 0
(2k 2 l ) ( l )( l 1) ( l 2k 1) b2 k (2k )! (2k 1 l ) (1 l )( l 2) ( l 2k ) , b2 k 1 (2k 1)!
y1 b2 k 1 x
k 0
2 k 1
性质：
( 1)
k
1 2k 2
k 0
( 1)
k
k !(2k 1)(2k 1)
1 5 31 π 2
k
2
x
1 2k 2
2x ( 1)k y1 J1 2 ( x ) k 0 2k (2k 2) 4 2 (2k 1)(2k 1) π
y k 0 ak x s k
令各幂次项系数为零，并取 a0≠0，则得
k 0 ( s 2 2 )a0 0 判定方程：s 2 2 0， s k 1 [( s 1)2 2 ]a1 0 a1 0
常微分方程的特殊类型及解法
常微分方程的特殊类型及解法在数学中，微分方程是研究自变量与其导数之间关系的方程。
它们在多个学科领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学和生物学等。
常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是指仅涉及一元函数的微分方程，相对于偏微分方程来说，常微分方程的研究较为简单。
在本文中，我们将介绍常微分方程中的一些特殊类型及其解法。
一、一阶线性常微分方程首先，让我们来讨论一阶线性常微分方程。
它可以表示为：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$其中，P(x)和Q(x)是已知函数。
为了求解这类方程，我们可以采用积分因子的方法。
具体步骤如下：1. 将方程变形为标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
2. 寻找积分因子$\mu(x)$，它满足$\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$。
3. 将方程两边同时乘以积分因子$\mu(x)$，得到$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$。
4. 将左侧变为导数形式，即$\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x)$。
5. 对上式两边同时积分，解得$\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx + C$，其中C为常数。
6. 最终求得方程的解为$y = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)Q(x)dx +\frac{C}{\mu(x)}$。
二、一阶可分离变量常微分方程接下来，我们来探讨一阶可分离变量常微分方程。
它可以写成以下形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$其中，f(x)和g(y)是已知函数。
这类方程的求解步骤如下：1. 将方程变形为$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$。
2. 对上式两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$。
常微分方程的基本概念和解法
常微分方程的基本概念和解法常微分方程是一种应用广泛的数学工具，常常出现在物理学、化学、生物学等研究领域中，用于描述物体、化学物质、生物体等随时间变化的状态。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法，为读者开启一扇通往数学世界的大门。
1. 基本概念常微分方程是一个包含未知函数的导数、自变量和已知函数的方程，通常写作 y'=f(x,y)，其中 y 表示未知函数，x 表示自变量，f(x,y) 表示已知函数。
例如，y'=2xy 表示 y 的导数等于 2xy。
在这个方程中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x,y)=2xy 是已知函数。
这个方程的意义是，求出一种关于 x 的函数 y(x)，使得 y(x) 满足 y'(x)=f(x,y(x))。
这就是所谓的常微分方程的解，它描述了函数y(x) 随着 x 的变化所呈现的状态。
2. 解的分类常微分方程的解可分为一次、二次和高次解。
一次解是形如y(x)=ax+b 的解，其中 a 和 b 是常量，二次解是形如y(x)=ax^2+bx+c 的解，其中 a、b、c 是常量，高次解则是形如y(x)=a1y1(x)+a2y2(x)+...+anyn(x) 的解，其中 a1、a2、...、an 是常量，y1(x)、y2(x)、...、yn(x) 是线性独立的解。
此外，常微分方程的解还可分为通解和特解。
通解是指包含所有的解的通式，而特解是指满足条件的一个确定解。
3. 解法常微分方程的解法分为初值问题和边界值问题。
初值问题是指已知 y(x0)=y0，问 y(x) 的值如何求解的问题。
在这种情况下，我们可以使用欧拉法、龙格-库塔法等数值解法来求解。
边界值问题是指已知 y(a)=y1，y(b)=y2，问 y(x) 的值如何求解的问题。
在这种情况下，我们可以使用变分法、射线法等方法来求解。
除了这两种基本解法外，还有一些特殊的解法，如分离变量法、恰当性法、常数变法等。
线性常微分方程的级数解法
第四章线性常微分方程的级数解法4.1 常点邻域之级数解法 ① 常点邻域的级数解概念---- （二阶线性常微分方程的一般形式）0)()(=+'+''w z q w z p w (4.1)----（常点概念） 对于式(4.1)中,若)(z p 与)(z q 在某点及其邻域内解析,则称此点为常点；反之,若)(z p 与)(z q 至少一个在该点不解析,则称此点为奇点。
----（常点邻域内解的存在定理） 若)(z p 与)(z q 在Rz z <-0内单值解析,则方程(4.1)在R z z <-0内存在单值唯一的解析解。
----（常点0z 邻域内之级数解的一般形式） 若)(z p 与)(z q 在R z z <-0内单值解析,则对于式(4.1),可设级数解∑∞=-=00)(n n n z z a w ,再将)(z p 与)(z q 在R z z <-0内展为泰勒级数,代入式(4.1)以确定级数解之待定系数。
② 勒让德方程之级数解----（勒让德方程形式）0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x (4.2) ----（在常点0=x 邻域内的级数解） 分析： 由12)(2-=x x x p 及21)1()(xl l x q -+=，可知0=x 为常点；故可设：∑∞==0n n n x a y ，相应：∑∞=-='11n n n xna y ，∑∞=--=''22)1(n n n x a n n y ，代入方程(4.2)，得：)1(2)1()1)(2(02=++---++∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+n n n n nn n nn n nn x a l l x na xa n n xa n n ，即：n n a l l n n a n n )()1)(2(222--+=+++，或n n a n n l n l n a )1)(2()1)((2++++-=+；显然有：02!2)1)((a l l a +-=，13!3)2)(1(a l l a +-=， 04!4)12)(2)(1)((a l l l l a ++-+-=，15!5)4)(3)(2)(1(a l l l l a +-+-=，即02)!2()12)(22()1)((a k l k l k l l a k +---+-=，012)!12()2)(12()2)(1(a k l k l k l l a k ++--+-=+ ；相应级数解为两个线性无关解的迭加：∑∑∑∑∞=++∞=∞=++∞=+=+=1212102201212022k k k k kk k k k k kk x A a xA a xa xa y(4.3)其中a 、1a 为任意常数；进一步由1lim2=+∞→n nn a a 及高斯判别法，可求得级数解之收敛域为1<x 。
常微分方程的解法介绍
常微分方程的解法介绍常微分方程是描述自变量和未知函数及其导数之间关系的方程。
在数学和工程领域中，常微分方程是一种非常重要的数学工具，广泛应用于描述自然现象和工程问题。
解常微分方程是求解这些方程的未知函数的过程，下面将介绍几种常见的解法。
一、分离变量法分离变量法是解常微分方程最基本的方法之一。
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以通过将变量分离来求解。
具体步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式；2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy=∫f(x)dx；3. 分别对y和x积分，得到方程的通解。
例如，对于方程dy/dx=x/y，可以将方程改写为ydy=xdx，然后对两边同时积分，得到y^2=2x+C，其中C为积分常数，即为方程的通解。
二、齐次方程法对于形如dy/dx=F(y/x)的一阶齐次微分方程，可以通过引入新的变量u=y/x来将其转化为分离变量的形式。
具体步骤如下：1. 令u=y/x，即y=ux，然后对x求导得到dy/dx=u+x(du/dx)；2. 将dy/dx和u代入原方程，化简得到F(u)=u+x(du/dx)；3. 通过变量分离法解出u的表达式，再将u=y/x代入，即可得到原方程的通解。
三、一阶线性微分方程法一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法是利用积分因子来将其转化为恰当微分方程。
具体步骤如下：1. 将方程写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式；2. 求出积分因子μ(x)=exp(∫p(x)dx)；3. 用积分因子乘以方程两边，化为恰当微分方程的形式；4. 求解恰当微分方程，得到原方程的通解。
四、常数变易法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，如果p(x)和q(x)为常数，可以利用常数变易法来求解。
具体步骤如下：1. 令y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为待定函数；2. 将y=u(x)v(x)代入原方程，化简得到关于u(x)和v(x)的两个方程；3. 解出u(x)和v(x)，再将其代入y=u(x)v(x)，即可得到原方程的通解。
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k (k 1) 2k l (l 1)ck x k 0
k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1)
↓
x k 的系数： (k 2)(k 1)ck 2 (k l )(k l 1)ck 0 (k 0,1,2… )
2018/11/12
第八章
7
4)讨论：解在 x 1上是绝对且一致收敛的，在物理上需要考虑 x 1处的收敛问题，P151具体论证了y0(x)在x=1发散
y0 ( x)及y1 ( x)在x 1都发散 . 所以,要求 y x1 有限值,是数学问题有物理意义的必然要求. ，y0(x)退化为l=2n次多项式, y1(x) l 2n
(k l )(k l 1) ck (k 2)(k 1)
第八章 6
2018/11/12
(2k 2 l )(2k 1 l ) c2k c2( k 1) 2k (2k 1)
(2k 2 l )(2k 4 l ) (2 l )(l )(l 1)(l 3) (l 2k 1) c0 (2k )!
• 1常点邻域方程的级数解
• 2勒让德方程
2018/11/12
第八章
2
1常点邻域方程的级数解
方程的一般形式
y( x) p( x) y( x) q( x) y( x) 0
定解条件：
(8.1) （8.2）
y( x0 ) c0 , y( x0 ) c1,
为应用解析函数理论设p(z)、q(z)、y(z)是分别由p(x)、q(x)、 y(x)唯一确定的复变函数.为了书写方便变量仍记作x.
均在 上解析，故 x0 0 是方程的常点 x 1
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第八章
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2)设 y ck x
y
k 0
k
x y k (k 1)ck x k
2
k 0 或 2
k 2 k ( k 1 ) c x k
l
2 xy 2kck x k
c2 k 2 k y0 1 x 1 (2k 2 l )(2k 4 l ) (2 l )(l )(l 1)(l 3) (l 2k 1) x 2k c (2k )! k 1 k 1 0
(2k 1 l ) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2 k 1 c2 k 1 2 k 1 x y1 1 x 1 (2k 1)! k 1 k 1 c1
仍发散舍去； l 2n 1：c2(n 1)1 c2(n 2)1 .... 0, y1(x)退化为l=2n+1次 多项式, y0(x)仍发散舍去. 总之,l=整数：方程的两个特解中有一个退化为l次多项式 (l阶勒让德多项式),另一个发散级数解舍去.
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第八章
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1)方程的常点：p( x), q( x)在 x x0是解析的，则 x0 称为方程的常点。 则(8.1)存在唯一的满足条件(8.2)的解析函数 y ( x) . 3)求解步骤：
k y ( x ) a ( x x ) a) 确定x0为方程常点，设 k 0 k 0
第八章 线性常微分方程的级数 解法和某些特殊函数(P148)
基本内容:常点和正则奇点邻域上的幂级数解法;勒让德 多项式、贝塞尔函数等特殊函数;非齐次方程 的通解. 本章难点:正则奇点邻域上的幂级数解法. 本章既是本课程下篇的基础,也是学习近代物理的基础, 所以学好本章具有重要意义.
§8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程
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2勒让德方程
(1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0, x0=0.
[在第十二章“球坐标系下的分离变数法”中，勒让德多项式和球 函 数要用此处结果，在那里 1)同一般形式比较
2
l (l 1) 取值待定、而 x cos ]
l (l 1) 2x q( x) p( x) 2 2, 1 x 1 x
2)解的存在和唯一性定理：设函数 p ( x)在 x x0 R 内是解析的，
；
q( x) 在 x x0 R上的幂级数展开式代入方程， b)将 y ( x)、p ( x) 、
并比较(x-x0)的同幂项系数，给出系数{ak}的递推公式； c)运用系数递推公式，将系数确定至两个积分常数；
d)讨论.
3)定系数：
(k 1,2,)
c2k 1
y c0 y0 ( x) c1 y1 ( x)
(2k 1 l )(2k l ) c2(k 1) 1 (2k 1)(2k ) (2k 1 l ) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) c1 (k 1,2, ) (2k 1)!
k 0
k 0
(l 2)(l 1)cl 2 x (k 2)(k 1)ck 2 x k l (l 1) y l (l 1)c x k k
l 0 k 0 k 0
将以上诸式代入勒让德方程，得
(k 2)(k 1)c
k 0
k 2
8
5) l 阶勒让德多项式
yl ( x)
k 0
cl 2k x
l [2 ]
l 2k
∵ cn
(n 2)(n 1) cn 2 (n l )(l n 1)
2 c x 2 c0 l l 2 cl x cl 2 x 3 c x 3 c1 x