百校联考数学文
天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题(含答案)
绝密★考试结束前2024-2025学年第一学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科 试题命题审题：石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学主办学校；石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量．，若，则实数（ ）A ．B ．C ．11D ．43．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列的前n 项和为，“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A ，B 两点，若12i z =+1z=12i 55-12i 55+12i55--12i 55-+()1,2a = (),3b x =()a ab ⊥+ x =4-11-π()cos 2(0)12f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π()f x 5π24x =5π12x =π6x =π3x =||1()22x f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1y =1()2f x >(,2)(2,)-∞-+∞ ()2,2-(,1)(1,)-∞-+∞ ()1,1-{}n a n S 20250a =()40494049,n n S S n n *-=<∈N 2:8C y x =在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A ，B 两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A ，B 两点在水平方向的距离约为（）A ．B ．C ．D ．8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x ，y ，z 若x ，y的样本相关系数为，y ，z 的样本相关系数为，则x 、z 的样本相关系数的最大值为（ ）附：相关系数A．B ．C ．D ．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（）A ．估计该年级学生成绩的众数为75B ．C ．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5010．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P ，使得6x =()()6,0P t t >OAPB t =45︒30m 40m 60m 120m121345r =4865636564650.05a =:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则11．已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，．则（ ）A ．任意交换的顺序，不影响X 的取值B ．满足及的排列有20个C ．的概率为D ．的概率为非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则______．13．已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为______．14．定义在上的函数满足：①；②；③，则______，______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的面积为S ，且（1）求角A ；（2）若为锐角三角形，且，求a 的取值范围．16．（15分）已知函数，（1）当时，求在上的最大值；（2）求的零点个数．2y x =2y x =±45QA QB ⋅=1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =123,,x x x 123x x x <<456x x x <<4X =15X Y >9101sin()2αβ+=tan 5tan αβ=sin()αβ-=111ABC A B C -ABC △[]0,1()f x ()()11f x f x +-=1()32x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭()()12120)1(f x f x x x ≤≤<≤()1f =12025f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC △ABC △()22a b c +=+ABC △4b c +=ln ()ln 1xf x a x x=-+a ∈R 1a =()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x17．（15分）如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面．（1）求四棱锥的体积；（2）设Q 为上一点，若，求二面角的大小．18．（17分）已知椭圆的右焦点为F ，点在C 上，且轴，过点M 且与椭圆C 有且只有一个公共点的直线与x 轴交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）点R 是椭圆C 上异于M 的一点，且三角形的面积为24，求直线的方程；（3）过点P 的直线交椭圆C 于D ，E 两点（D 在E 的左侧），若N 为线段的中点，直线交直线于点Q ，T 为线段的中点，求线段的最大值．19．（17分）黎曼函数与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．是这样定义的：记为复数s 的实部，当时，有，故对的研究具有重要意义．（1）已知对任意正整数n ，都存在唯一的整数和，使得，其中为奇数，为自然数，求；（2）试判断是否存在正整数k ，使得，并证明你的结论；（3）求证：．绝密★考试结束前2024-2025学年第一学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科参考答案1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．BP ABCD -4AB PA ==2CD CB ==PD =60ABC ∠=︒PAB PCD l =l ∥ABCD PAD ⊥ABCD P ABCD -PC QA QB =Q AB C --22221(0):x y C a b a b +=>>81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MF x ⊥MPR MR FP NE MF DF TQ ζ()s ζ()s ζ()Re s ()11()kk s n s n nψ*==∑∈N ()Re 1s >()lim ()k k s s ζψ→+∞=()k s ψ()s ζn a n b 2n bn n a =⨯n a n b 101()n n n a b =∑+()12024k ψ=332k ψ⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】【解析】设，，，，，设与夹角为，与夹角为，则与夹角余弦值最大值为，此时x 与z 样本相关系数最大．由，，从而故选：B 9．ACD10．CD11．ABD11．【详解】对于A ，注意到当被确定后，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即．注意到任意交换的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及．注意到，整体交换和也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，将满足以上条件的排列列举如下：X Y X Y 12345634135246521243564313624552125346531452365212634553146235521342564215623442总情况数共10种，除第一种外均满足．因此，12．13．214．1，（第一空2分，第二空3分）14．【解析】()12,,,n X x x x =⋅⋅⋅ ()12,,,n Y y y y =⋅⋅⋅ ()12,,,n Z z z z =⋅⋅⋅12(),,,n X x x x x x x '=--⋅⋅⋅-12(),,,n Y y y y y y y '=--⋅⋅⋅-12(,,n Z z z z z z z '=--⋅⋅⋅-X ' Y ' αY ' Z 'βX ' Z 'cos()αβ-12cos 13α=4cos 5β=1245363cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ-=+=⨯+⨯=123,,x x x 456,,x x x 123,,x x x 36C 20=123,,x x x 456,,x x x 123x x x <<456x x x <<123,,x x x 456,,x x x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =123,,x x x 456,,x x x 123,,x x x 456,,x x x X Y >19()11010P X Y >=-=3(4)10P X ==131128在①中，令，得，在②中，令，得，在①中，令，得，所以；在①中，令，得，令，则有，所以是奇函数，C 选项正确；在②中，令，得，由③知，在上非严格单调递增，又因为，所以均有．注意到，因此，于是15．【解析】（1），则，，或（舍）（2）由正弦定理得，即，且，，所以12x =1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x =()00f =0x =()()011f f +=()11f =12x t =+1111111222222f t f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇒+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1122g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()g x g x =--1122f x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1x =111(1)322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x []0,1111322f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦1()2f x =6372911,2025202532⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦63120252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22211313113132025320252202523202522025f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭666131112202522128f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22a b c +=+2221sin 22bc A b c a bc =+-+22212b c a A bc +-=+cos 1A A =+π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ66A ∴-=5π6π3A ∴=sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin a b c A B C+=+π3A =4b c +=因为为锐角三角形，，，所以，所以，即．可得，即a 的取值范围为．16．【解析】（1），，令，则单调递减，且从而，，单调递增；，，单调递减．（2）令，则由，令，则从而在上单调递减，在上单调递减．若，当时，，若，当时，；若，当时，，当时，．从而当时，与有一个交点时，与有两个交点故时，有一个零点；时有两个零点．17．【解析】（1）因为平面，平面，平面平面，所以．同理，．所以．因为，，，所以．所以底面的面积．在中，，，，所以，所以()sin 2πsin sin sin 6b c A a B CB +=====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC △π02B <<2ππ032C B <=-<ππ62B <<ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦a ⎡∈⎢⎣a ⎡∈⎢⎣()ln ln 1x f x x x =-+()21ln x xf x x --'=()1lng x x x =--()g x ()10g =11ex <<()0g x >()f x e 1x >>()0g x <()f x ()()11f x f ≤=()ln ln 10x f x a x x =-+=ln 0x ≠11ln a x x =+()11ln h x x x =+()22110ln h x x x x'=--<()h x ()0,1(1,)+∞0x >0x →()h x →+∞1x <1x →()h x →-∞1x >1x →()h x →+∞x →+∞()0h x →0a ≤()h x y a =0a >()h x y a =(],0a ∈-∞()f x ,()0a ∈+∞()f x l ∥ABCD l ⊂PAB PAB ABCD AB =l AB ∥l CD ∥AB CD ∥4AB =2BC CD ==60ABC ∠=︒2AD =ABCD 1(24)2S =⨯+=PAD △4PA =2AD =PD =222PA AD PD =+PD AD⊥由平面平面，平面平面，，平面，所以平面．因为，所以．所以四棱锥的体积．（2）因为，，，所以，所以，，两两垂直，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，．所以，设，所以，因为所以高解得．所以．因此，，设为平面的法向量，则，取，则，即．因为平面所以平面的法向量为PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PD AD ⊥PD ⊂PAD PD ⊥ABCD 4PA =2AD =PD =P ABCD -11633V S AD ==⋅=⨯=2AD =BD =4AB =BD AD ⊥DB AD DP ()0,0,0D ()2,0,0A ()0,B ()C -(0,0,P (1,CP =(,,)CQ CP λλ==(),)Q λλ--QA QB=222222(3311211)()()(312)λλλλλλ-+-+=-+++12λ=12Q ⎛-⎝12QB ⎛= ⎝ 52AQ ⎛=- ⎝ (),,m x y z = PAQ 050x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩1y =x =2z =)21,m =PD ⊥ABCD ABCD ()0,0,1n =设二面角为，则即二面角的大小为18．【解析】（1）由题意得，，从而，，椭圆C 方程为（2）设，与椭圆联立，得，由椭圆与直线只有一个交点，令，即①又过，则②联立①②可得即点P 为．设原点由，故，从而R 到l 的距离为O 到l 距离的2倍，即R 在l 关于O 对称的直线上，又R 在椭圆上，从而M ，R 关于O 对称故直线方程为（3）设，，，则，即①，又由可得②结合①②可得，，，，，，Q AB C --θcos m n m n θ⋅===Q AB C --45︒283b a =1c =29a =28b =∴22198x y +=:l x my n =+22198x y +=()22289168720m y mny n +++-=0∆=22890m n -+=:l x my n =+81,3⎛⎫⎪⎝⎭83l m n =+39m n =-⎧⎨=⎩()9,0()0,0O 1891223OPM S =⨯⨯=△2RPM OPM S S =△△MR 83y x =()11,D x y ()22,E x y DP PE λ=12129101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩212199x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩()()22112222289728972x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1212121289721111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-254x λλ-+=()9,0P ()1,0F ()5,0N ()22,E x y则直线的方程为，轴，直线与交于Q ，则，故，故轴，从而．19．【解析】（1）由，，，，，'，，，，知（2）证明：设，为奇数，为自然数，设，设，，则．否则，当时，，与r 的定义矛盾，故，则，其中为奇数，时为偶数，从而分子为奇数，分母为偶数，分式不可能为2024，故不存在这样的k ．（3）证明：对任意正整数n ，当时，，又，故，NE ()22055y y x x -=--MF x ⊥NE MF 1Q x =221245Q y y y yx λ==-=-DQ y ⊥()11222TQ DF a c =≤+=0112=⨯0332=⨯0552=⨯0772=⨯0992=⨯1212=⨯1632=⨯11052=⨯2412=⨯3812=⨯101()44n n n a b =∑+=2n bn n a =⨯n a n b {}max n r b =1,2,,n k=⋅⋅⋅{}max ,n j n b r n k ==≤2j bj j a =⨯1j a =3j a ≥122j j b b j a j +<⨯=2j bj =111111111123232j b j k k +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+12122jj nb nc c c c a a a ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅j c i j ≠i c 2n ≥()()321121231022n n n n n n n ⎛⎫-++=--> ⎪⎝⎭()121112n n n <⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()112222111111222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++>=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212112n n n <==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2<331222*********k k k k n n n n ψ===⎛⎫=∑=+∑<+∑=+-< ⎪⎝⎭。
2024年山西省百校联考中考数学模拟试卷(一)(含解析)
2024年山西省百校联考中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）以下是四个城市在某一天同一时刻的气温，其中气温最低的是（ ）A．大同：﹣14℃B．朔州：﹣11℃C．忻州：﹣9℃D．太原：﹣12℃2．（3分）中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．x3+x3＝x5B．（﹣x）2÷x＝﹣xC．（﹣2x2）3＝﹣8x6D．（﹣a）4⋅（﹣a）3＝a74．（3分）中国海油2月25日发布公告，我国渤海深层油气勘探取得新的重大发现．渤中26﹣6油田的新钻探井测试产能创新高，新增油气探明储量超过4000万立方米．数据4000万立方米用科学记数法表示为（ ）A．4×103立方米B．0.4×108立方米C．4×107立方米D．4000×104立方米5．（3分）化简的结果是（ ）A．B．C．D．6．（3分）小敏购买了一套“龙行龘龘”艺术书签（外包装完全相同），分别为“招财祥龙”“瑞狮福龙”“龙凤呈祥”“锦鲤旺龙”四种不同的主题．小敏从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），再从中随机抽取一个，则恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为（ ）A．B．C．D．7．（3分）如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径．若∠BAC＝130°，则∠CBD的度数为（ ）A．30°B．40°C．45°D．50°8．（3分）如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若OA＝10，则点A的坐标为（ ）A．B．C．D．9．（3分）某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为（ ）A．B．C．（45+x）（100+10x）＝6000D．（45﹣x）（100+10x）＝600010．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝30°，AD与CE是△ABC的两条高，点F是AC的中点，连接EF．若AD＝2，则EF的长为（ ）A．B．2C．D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝ ．12．（3分）为了弘扬古诗词文化，某校举办了主题为“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”的古诗词知识竞赛，进入决赛的10名学生成绩统计如下表，这10名学生决赛成绩的中位数应是 分．决赛成绩/分9896959190人数/名1224113．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AE于点M，N；分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP与边CD交于点F，连接AC，则∠CAF＝ °．14．（3分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱最高点到桥面的距离OC为 m．15．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，取AC的中点E，连接BE，过点C 作BE的垂线，交BE的延长线于点D，若BD＝8，DC＝2，则DE的长为 ．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：．（2）解不等式组并在数轴上表示其解集．17．（6分）如图，反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象交于A（2，3），两点．（1）求m的值及一次函数的表达式．（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，使BC＝AB．点E为BC 上一点，连接AE交⊙O于点F，连接BF，过点C作CD⊥BC，与BF的延长线交于点D．（1）判断AE与BD的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠DBC＝40°，求的长．19．（8分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆•悦享书世界”的读书活动．“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）：××中学学生借阅图书情况调查报告调查主题××中学学生借阅图书情况调查方式抽样调查调查对象××中学学生第一项各类图书借阅量统计说明：A表示科普类；B 表示文学类；C 表示艺术类；D 表示其他数据的收集、整理与描述第二项学生个人借阅量统计图书借阅量/本0123…人数/名11207230…调查结论……请根据以上调查报告，解答下列问题：（1）求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整．（2）估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名．（3）在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取200名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．但经过小组讨论，方案被否决了．请指出该方案被否决的原因．20．（9分）在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务．2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：类别小麦大豆总产量/万公斤1440270通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩．（1）求小麦的种植面积．（2）为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一．求改种蔬菜的土地的最大面积．21．（8分）阅读与思考请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动．如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图，图中OP⊥OB，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位置，AB＝20cm，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一直线上．据调查该地冬至正午时分的太阳高度角为30°，夏至正午时分的太阳高度角为77°．（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）……任务（1）填空：∠PAO＝ °，∠PBO＝ °．（2）求OP和OA的长．（3）已知该地春分正午时分的太阳高度角是53.5°，工人师傅想在图2中AB之间标出春分线的位置C，请直接写出OC的长度．（结果保留一位小数．参考数据：sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，tan77°≈4.33，sin53.5°≈0.80，cos53.5°≈0.59，tan53.5°≈1.35，）22．（12分）综合与实践问题情境在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片ABCD，其中AB＝4，BC＝3．实践探究（1）如图2，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到纸片△ABC与△A′DC′．将△A′DC′纸片沿AC方向平移，连接BD（BD与AC交于点O），AD，BC′，得到图3所示的图形．若BD⊥AC，解答下列问题：①请你猜想四边形ABC′D的形状，并证明．②请求出平移的距离AA′．拓展延伸（2）如图4，先将△A′DC′纸片沿AC方向进行平移，然后将△A′DC′纸片绕点A′顺时针旋转，使得A′C′∥AB，C′D恰好经过点C，求平移的距离AA′．23．（13分）综合与探究如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣2x﹣2经过A，C两点，连接BC．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得∠ABD＝∠ABC？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，将△AOC沿x轴正方向平移得到△A′O′C′（点A，O，C的对应点分别为A′，O′，C′），A′C′，O′C′分别交线段BC于点E，F，当△C′EF与△O′BF的面积相等时，请直接写出△A′O′C′与△BOC重叠部分的面积．2024年山西省百校联考中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
江苏省百校大联考2024届高三第一次考试(数学)
江苏省百校联考高三年级第一次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x∈N*|2x<4},B={x|-1<x<2},则A∩B=A.{x|-1<x<2}B.{x|x<2}C.{0,1}D.{1}2.“a∥b”是“|a+b|=|a|+|b|”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ(其中e=2.718…,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,下列结论中正确的是A.e iπ的实部为1B.e2i在复平面内对应的点在第一象限C.|e iθ|=1D.e iπ的共轭复数为14.已知直线l:x+my+1=0和圆E:x2+y2-4x+3=0,则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为A.2B.3C.4D.55.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均五十八文,戊己庚均六十文,问乙丁各若干?”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人,所分到的钱数成等差数列,甲、乙两人共分到58文,戊、己、庚三人共分到60文,问乙、丁两人各分到多少文钱?下列说法正确的是A.乙分到30文,丁分到26文B.乙分到28文,丁分到24文C.乙分到24文,丁分到28文D.乙分到26文,丁分到30文6.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x-m与C交于A,B两点,若F1和F2到直线AB的距离之比等于3,则m=A.-B.C.2D.或27.已知函数f(x)=x e x,g(x)=-,若f(x1)=g(x2)=t(t>0),则的最大值为A.eB.1C.D.8.如图①,已知边长为4的等边△ABC,E,F分别为边AB,AC的中点,现以EF为折痕将△ABC折起为四棱锥A'-BCFE,使得A'B=,如图②,则四棱锥A'-BCFE的外接球体积为A.πB.πC.πD.17π二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是A.线性回归方程中,若线性相关系数r越大,则两个变量的线性相关性越强B.数据1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位数为10C.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到χ2=3.937,根据小概率值α=0.05的独立性检验(x0.05=3.841),可判断X与Y有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05D.某校共有男女学生1500人,现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本,若样本中男生有55人,则该校女生人数是67510.设函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“优美函数”.下列所给出的函数中是“优美函数”的是A.f(x)=B.f(x)=2xC.f(x)=ln(x2+3)D.f(x)=2cos x11.函数f(x)=2cos(2ωx-π)-2sin 2ωx(0<ω<1)的图象如图所示,将其向左平移π个单位长度,得到y=g(x)的图象,则下列说法正确的是A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于点(π,0)对称C.函数y=g(x)·sin x的图象关于直线x=π对称D.函数g(2x+π)在[-π,π]上单调递减12.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两点,O为坐标原点,则A.抛物线C的焦点坐标为(0,1)B.若A,F,B三点共线,则x1x2=-1C.若|AB|=8,则AB的中点到x轴距离的最小值为3D.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥32三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.根据气象统计,长江中下游地区梅雨季节吹东北风的概率为0.7,下雨的概率为0.8,既吹东北风又下雨的概率为0.65,则该地区在某天吹东北风的条件下下雨的概率为▲.14.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA'的长为3,且∠A'AB=∠A'AD=60°,则AC'的长为▲.15.已知ξ~N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+3)为偶函数,则μ=▲.16.已知x+y+2xy=5,当x,y∈R+时,x+y的最小值为▲;当x,y∈Z时,x+y的值为▲.(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.17.(10分)高三年级组织班级趣味体育比赛,经多轮比赛后,甲、乙两班进入决赛.决赛共设三个项目,每个项目胜者得2分,负者得-1分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的班级获得冠军.已知甲班在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.5,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲班获得冠军的概率;(2)用X表示乙班的总得分,求X的分布列与期望.18.(12分)已知正项数列{a n}满足a1=3,且a n(-1)=2a n+1(-1),n∈N*.(1)设b n=a n-,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{+}的前n项和T n.19.(12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+c=a(cos C+sin C).(1)求A;(2)若a=2,求△ABC内切圆周长的最大值.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,M是棱PC(不与端点重合)上的点,N,Q分别为PA,AD的中点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)证明:BN∥平面PCD.(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC的夹角的大小为π?21.(12分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=,l2:y=-.(1)求双曲线E的离心率;(2)O为坐标原点,过双曲线上一点P(2,1)作直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限),且=2,求△AOB的面积.22.(12分)已知函数f(x)=(x+a)e x,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)对任意x∈R,不等式f(x)≥x3-x-2恒成立,求a的取值范围.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数，则复数z的虚部为A. B. C. D.3.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4.若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为，则输出A的值为A.B. 2C.D.6.九章算术卷第五商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为注：1丈尺．A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列的前n项和为，且，若，则数列的公比为A. B. C. D.8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.9.设函数，则函数的图象大致为A. B.C. D.10.设抛物线C：的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则A. B. C. D.11.记等差数列的前n项和为，且，若，，成等比数列，则A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数的值为______．14.已知首项为1的数列满足，则数列的通项公式为______．15.已知函数，则函数在上的取值范围为______．16.已知函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，，，，M是线段AC上的一点，且．Ⅰ求AM的长度；Ⅱ求的面积．18.如图，在四棱锥中，，，．在线段AB上作出一点E，使得平面PDE，并说明理由；若，，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性8001000女性600总计1200相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：时间分钟频数150********根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：根据行驶里程数按1元公里计费；行驶时间不超过45分钟，按元分计费；超过45分钟，超出部分按元分计费．是否有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；根据表中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：k20.已知中，，，，点Q在线段上，且Ⅰ求点Q的轨迹E的方程；Ⅱ若点M，N在曲线E上，且M，N，三点共线，求面积的最大值．21.已知函数．求曲线在处的切线方程；已知函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M，N，若，，求的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，点M是曲线C上的任意一点，将点M绕原点O逆时针旋转得到点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点N的轨迹的极坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线C，分别交于点A，B，点，求的面积．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：依题意，，，故．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.答案：C解析：解：，复数z的虚部为．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：C解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，解得，双曲线C的渐近线方程为：．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，观察规律可知A的取值周期为3，且，可得时，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：进行分割如图所示，故立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.答案：C解析：解：设单调递减的等比数列的公比为，，，，解得：，或舍去．则数列的公比为．故选：C．设单调递减的等比数列的公比为，由，，可得：，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.答案：B解析：解：函数的定义域为R，，则函数为偶函数，可排除选项C；当时，，可排除选项D；又，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.答案：C解析：解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得，所以抛物线的方程为：所以可得焦点，准线方程为，设，，由题意可得，可得，所以，将代入抛物线中，，，及，所以，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，所以，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.答案：C解析：解：等差数列的公差设为d，前n项和为，由，可得，即，由，可得，即，解得，，则，，若，，成等比数列，则，即为，可得，则．故选：C．等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：解：由于，根据三角函数的值，则，由于，所以，根据近似值的运算，整理得．故．故选：A．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：解析：解：根据题意，向量，则，若，则，则；故答案为：．根据题意，由向量的坐标公式可得，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.答案：解析：解：，，又，数列是首项为，公比为5的等比数列，，，故答案为：．由可得，所以构造出等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.答案：解析：解：，当时，，，则当时，函数取得最大值，最大值为，当时，函数取得最小值，最小值为，即的取值范围是，故答案为：．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.答案：解析：解：函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，所以N是MP的中点，因为函数，可得，，令，解得，此时，所以函数的对称中心的坐标．所以，故答案为：．利用已知条件说明N是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.答案：解：Ⅰ；，；由正弦定理，，即，解得；由余弦定理，，即，解得；Ⅱ，，在中，由余弦定理，有，．解析：Ⅰ先求出的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM 的长；Ⅱ利用正弦定理求出的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式求出的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.答案：解：取AB的中点E，连接PE，DE，，，又，，则四边形DCBE为平行四边形，可得．平面PDE，平面PDE，则平面PDE；，，且，平面PCD，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，在平面PCD内过P作，可得平面ABCD，在与中，，，又由题意，，，由已知求得．．连接BD，则，又求得，设B到平面PAD的距离为h，则由，得，即．解析：取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得，由直线与平面平行的判定可得平面PDE；由已知证明平面PCD，可得平面平面ABCD，在平面PCD内过P作，得平面ABCD，求解三角形求得，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.答案：解：补充完整的列联表如下所示，愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车合计男性 800 200 1000女性 400 600 1000合计 1200 800 2000，故有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．表2中的数据整理如下，时间分钟频数 150 200 100 50频率所求的平均使用时间为分钟．设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当时，；当时，．故，当时，；当时，，令，解得，综上所述：当时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算；当时，使用滴滴打车上班更加合算；当时，两种方案情况相同．解析：先根据现有数据补充完整列联表，再利用的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可；设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，写出y关于t的分段函数，并求出每段中对应的y的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后，解得，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，，点Q在线段上，且，点Q为焦点在x轴上，长轴长，焦距的椭圆上的点，且，点Q的轨迹E的方程为；Ⅱ设直线MN的方程为，联立可得，设，，则，．，点到直线MN的距离，，令，则在上单调递减，故当也即时，面积的最大值为3．解析：Ⅰ先设点Q的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；Ⅱ先设出直线MN的方程与椭圆方程联立求得，，进而求得与点到直线MN的距离d，找出面积的表达式，最后解决其最值问题．本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.答案：解：依题意，函数的定义域为，，故，而，故所求切线方程为，即；依题意，，故，显然，令，解得或，因为极大值，故，此时，函数，所以，令，得，当a变化时，，，变化情况如下表：a2e增极大值减所以函数的最大值为．解析：根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解；根据导函数讨论单调性求出极大值，讨论的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ依题意，曲线C的普通方程为，即，整理可得：，故曲线C的极坐标方程为，设，则，则有，故点N的轨迹的极坐标方程为．Ⅱ曲线的极坐标方程为，D到曲线的距离为，曲线与曲线C交点，曲线与曲线交点，，故的面积．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：Ⅰ依题意，，当时，原式化为，解得，故，当时，原式化为，解得，故无解，当时，原式化为，解得，故，综上所述，不等式的解集为．Ⅱ依题意，，则，即，即，则只需，解得，实数m的取值范围是．解析：Ⅰ依题意，，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ依题意可得，即，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
江苏省百校大联考2024学年数学高三上期末调研模拟试题含解析
江苏省百校大联考2024学年数学高三上期末调研模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10C ．10D ．22．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．53．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1004．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π5．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．266．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 9．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件12．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省2022-2023学年百校联考高三上学期第一次联考数学试题(解析版)
2023届福建省百校联考高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}|237A x x =+<，(){}|ln 3B x y x ==+，则A B =（ ） A ．{}32x x -≤< B ．{}|32x x -<< C ．{}|32x x -<<- D ．{}32x x x -或【答案】B【分析】解不等式得到集合A ，求对数型函数的定义域得到集合B ，最后根据交集的定义求交集即可.【详解】因为{}2A x x =<，{}3B x x =>-，所以{}|32A B x x ⋂=-<<. 故选：B.2．命题“Q x ∃∈Q ”的否定是（ ）A ．Q x ∀∈QB ．Q x ∀∉QC ．∃∈x Q QD ．Q x ∀∈Q 【答案】A【分析】根据特称命题的否定即可得答案.【详解】解：因为命题“Q x ∃∈Q ”为特称命题，所以命题“Q x ∃∈Q ”的否定是：Q x ∀∈Q . 故选：A.3．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y 与时间x 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据瓷器的形状：中间粗，上下细来分析水的增高速度.【详解】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C 选项符合. 故选：C4．在四边形ABCD 中，//AB CD ，则“90BAD ︒∠=”是“四边形ABCD 为直角梯形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】分别判断命题的充分性和必要性，即可得到答案.【详解】若90BAD ︒∠=，则四边形ABCD 为矩形或直角梯形，若四边形ABCD 为直角梯形，则BAD ∠不一定为90︒，所以“90BAD ︒∠=”是“四边形ABCD 为直角梯形”的既不充分也不必要条件. 故选：D5．已知0a >，0b >，直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（ ） A ．16 B ．12 C ．8D ．4【答案】D【分析】设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，求导，根据导数的几何意义求出切点处的切线方程，再结合已知方程求出,a b 的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】解：设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -， 因为ln y x a =-，所以1y x'=， 切线方程为()0000011ln ln 1y x x x a x x a x x =-+-=+--， 所以21e x -=，0ln 1x a b --=，所以1a b +=，又0a >，0b >， 所以()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立， 故11a b+的最小值是4. 故选：D. 6．()sin π2cos 15ππsin 2cos 22θθθθ-+=⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知，则cos 2θ=（ ） A ．45-B ．35-C ．45 D ．35【答案】C【分析】应用诱导公式化简条件得cos 3sin θθ=，再由平方关系及倍角余弦公式即可求值.【详解】由sin(π)2cos 2cos sin 15ππcos 2sin sin()2cos()22θθθθθθθθ-+-==+++-，则2c o s s i n c o s 2s i n θθθθ-=+，所以cos 3sin θθ=，又222cos sin 10sin 1θθθ+==，即21sin 10θ=， 则24cos 212sin 5θθ=-=. 故选：C7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()40f x f x +-=，且当[]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则()2021f =（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．0【答案】B【分析】依题意可得()f x 的周期为8，再由周期性计算可得. 【详解】解：由()+(4)=0f x f x -①，则(+4)+()=0f x f x -， 因为()f x 为偶函数，所以()=()f x f x -， 所以(4)()0f x f x ++=②，由①②知，(4)=(+4)=(4)f x f x f x --，所以()(8)f x f x =+，故()f x 的周期为8，所以()()()()2021=253?83=3=3f f f f --， 而()()3+43=0f f -，即()()3=1f f -，当[]0,2x ∈时，()2=+4f x x -，所以()()()()22021=3=1=1+4=3f f f ----．故选：B ．8．已知2log 3a =，35b =，则6log 15=（ ） A ．1a aba ++ B ．+1a a C ．1a abab ++ D ．1aab + 【答案】A【分析】利用换底公式用a ，b 表示lg2，lg3，然后将6log 15换底可求得答案. 【详解】解：由题意得： 因为2lg3log 3lg 2a ==，3lg51lg 2log 5lg3lg3b -=== 所以1lg2=+1ab ，lg31a ab =+，则611lg15lg3lg5lg3lg 2111log 151lg 6lg3lg 2lg3lg 2111a a abab ab a a ab ab -++-++++=====++++++.故选：A二、多选题9．已知函数()32f x x kx x a =+++有两个极值点()1212,x x x x <,则( )A ．1x 是()f x 的极大值点, 2x 是()f x 的极小值点B ．1213x x +=C ．1213x x =D．k <【答案】AC【分析】求导，根据导函数有两个变号零点分析即可【详解】()2321f x x kx '=++,因为()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <,所以24120k ->解得k >k <当()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时,()0f x '>,()f x 单调递增 当()12,x x x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减 故1x 是()f x 的极大值点, 2x 是()f x 的极小值点 且1223+=-kx x ,1213x x = 故选：AC10．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭）的部分图像如图所示，则（ ）A ．3A =，3ω=，6π=ϕ B ．π62f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．直线3π4x =是()f x 图像的一条对称轴 D ．函数π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减【答案】BC【分析】由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，代点求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论． 【详解】由题可知，3A =，()f x 的最小正周期2π45π5π2π512123T ω⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，解得3ω=，5π5π3sin 3124f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5π3π2π,Z 42k k ϕ+=+∈，又π02ϕ<<，所以π4ϕ=，A 不正确；()π3sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3π3sin 64f ⎛⎫== ⎪⎝⎭B 正确；当3π4x =时，π5π342x +=，所以直线3π4x =是()f x 图像的一条对称轴，C 正确；πsin 34f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，当π03x <<时，03πx <<，函数π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不单调，D 不正确．故选：BC11．若0c b a <<<，则（ ） A ．a c b c -<-B ．c b b a < C ． c b c a a c +>+D ．1a b ca b b c a c++>+++ 【答案】BCD【分析】利用不等式性质可判断AB ，作差比较可判断C ，利用放缩法可判断D. 【详解】b a <，由不等式的性质可得，b c a c -<-，故A 错误；0c b a <<<，||||b a ∴>，0c b ->->，||||c b b a ∴->-，即c b b a <，故B 正确； ()()()()()()b a c a b c c b a b b c a a c a a c a a c a a c ++-+-=-=++++，由0c b a <<<，得0b a -<，0a c +<，所以()()0c b a a a c ->+，即b b ca a c+>+，C 正确；因为a a ab a bc >+++，b b b c a b c >+++，c ca c ab c>+++，所以1a b c a b c a b b c a c a b c a b c a b c++>++=+++++++++，D 正确． 故选：BCD12．已知58ln 2a =-，44ln3b =-，54e 4c =-，则（ ） A ．b a > B ．c a >C ．b c >D ．a c >【答案】ABC【分析】构造函数()e 41xf x x =-+，利用导数得()f x 单调性，构造()ln 1g x x x =-+确定比较5ln3<<ln44，进而可得,,a b c 的大小关系.【详解】设函数()e 41x f x x =-+，则()e 4xf x '=-．由()0f x '>．得ln 4x >；由()0f x '<，得ln 4x ≤．则()f x 在(),ln 4-∞上单调递减，在()ln 4,+∞上单调递增． 设()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=．()0g x '>，得01x <<；由()0g x '<，得1x >.所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-，则33ln 1e e≤-，故35ln 3e 4≤<.因为ln 1x x ≤-，所以11ln1x x ≤-，所以1ln 1x x ≥-（当且仅当=1x 时，等号成立），所以4e ln 1e 4>-，即e 5ln4244>->.因为()ln 4a f =，()ln 3b f =，54c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且5ln3<<ln44，()f x 在(),ln 4-∞，上单调递减，所以b c a >>. 故选：ABC.三、填空题13．所数y =______.【答案】(]3,3-【分析】根据分母不为零，偶次方根的被开方数大于等于零得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为y =290+30x x -≥≠⎧⎨⎩，解得33x -<≤，即函数的定义域为(]3,3-； 故答案为：(]3,3-14．函数()22x f x a +=+（0a >，且1a ≠）的图象过定点P .则点P 的坐标是_________.【答案】()2,3-【分析】令20x +=，可计算得()0223f a -=+=，从而可得定点坐标.【详解】当20x +=，即2x =-时，()0223f a -=+=，所以函数()f x 的图象过定点()2,3-. 故答案为：()2,3-15．已知正数a ，b 满足①27ab a b ++=，②2a b ab +=两个条件中的一个，则+a b 的最小值为______.【答案】选①：3；选②：【分析】根据所选条件利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为0a >，0b >，若选①，由27ab a b ++=，可得()()219a b ++=，因为()()221212a b a b +++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以()2336a b ++≥，所以3a b +≥，当且仅当213a b +=+=，即=1a 、=2b 时取等号；若选②，2a b ab +=，可得211b a+=，所以()212333a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且2a bb a=，即1a =，2b = 故答案为：选①：3；选②：16．已知函数241,0,()22,0,x x x x f x x ⎧--≥=⎨-<⎩若方程2[()]2()40f x af x -+=有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___________． 【答案】522a -<<- 【分析】令()t f x =，则2240t at -+=在(5,2)--，(2,1)--上各有一个实数解或2240t at -+=的一个解为1-，另一个解在(2,1)--内，或2240t at -+=的一个解为2-，另一个解在(2,1)--内.【详解】函数()f x 的大致图象如图所示，对于方程2[()]2()40f x af x -+=有5个不同的实数解，令()t f x =，则2240t at -+=在(5,2)--，(2,1)--上各有一个实数解或2240t at -+=的一个解为1-，另一个解在(2,1)--内，或2240t at -+=的一个解为2-，另一个解在(2,1)--内， 当2240t at -+=在(5,2)--，(2,1)--上各有一个实数解时，设2()24g t t at -=+，则()()()24160,2840,1520,529100,a g a g a g a ⎧=->⎪-=+<⎪⎨-=+>⎪⎪-=+>⎩解得522a -<<-，当2240t at -+=的一个解为1-时，52a =-，此时方程的另一个解为4-，不在(2,1)--内，不满足题意， 当2240t at -+=的一个解为2-时，2a =-，此时方程的另一个解为2-，不在(2,1)--内，不满足题意， 综上可知，实数a 的取值范围为522a -<<-，故答案为：522a -<<-．四、解答题17．设集合{}2340A x x x =--≤， {}221B x a x a =-<<+.(1)当0a =时，求A B ； (2)若A B A ⋃=，求a 的取值范围. 【答案】(1){}11A B x x ⋂=-≤< (2)(]3,31,2⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先求解集合A ，当0a =时，得集合B ，直接求解交集即可；（2）利用集合之间的关系确定B A ⊆，分类讨论当B =∅时，当B ≠∅时，分别满足B A ⊆，得a 的取值范围.【详解】(1)解：由题意得{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤.当0a =时，集合{}21B x x =-<<， 则{}11A B x x ⋂=-≤<.(2)解：因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.①当B =∅时，则221a a -≥+，解得3a ≤-；②当B ≠∅时，则22121421a a a a -<+⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，解得312a ≤≤.综上，a 的取值范围为(]3,31,2⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.18．已知幂函数()()211m m m f x x +=+-在()0,+∞上是减函数.(1)求()f x 的解析式；(2)若()()11521mma a ->-，求a 的取值范围. 【答案】(1)()1f x x= (2)（2，5）.【分析】（1）根据幂函数的性质可求得m 的值.（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数. 【详解】(1)解：由题意得：根据幂函数的性质可知211m m +-=，即220m m +-=，解得2m =-或=1m . 因为()f x 在()0,∞+上是减函数，所以10+<m ，即1m <-，则2m =-.故()11x xf x -==. (2)由（1）可得2m =-，设()12g x x -=，则()g x 的定义域为()0,+∞，且()g x 在定义域上为减函数.因为()()1122521a a --->-，所以50,210,521,a a a a ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得25a <<.故a 的取值范围为（2，5）.19．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->．(1)若()f x 在(0,π)上有且仅有2个极值点，求ω的取值范围； (2)将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()g x 的最小正周期为π，求()g x 的单调递减区间．【答案】(1)58,33⎛⎤⎥⎝⎦；(2)3π7ππ,π()88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【分析】（1）根据辅助角公式，结合函数极值的性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数图象变换性质，结合正弦型函数的周期公式、单调性进行求解即可.【详解】(1)π()2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0>ω，所以当π()0,x ∈时，πππ,π666t x ωω⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，依题意可得，函数2sin y t =在ππ,π66ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有且只有2个极值点，则3ππ5ππ262ω<-≤，解得5833ω<≤，故ω的取值范围是58,33⎛⎤⎥⎝⎦；(2)依题意可得，ππ()2sin 2612g x x ωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为π，所以2ππ2ω=，即1ω=， 所以π()2sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+，k ∈Z ， 则3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ， 故()g x 的单调递减区间为3π7ππ,π()88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 20．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为0T ，那么经过t 分钟后，温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 为室温，h 为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75C 的茶水放在25C o 的房间，10分钟后茶水降温至50C .（参考数据：lg 20.30,lg30.48≈≈）(1)若欲将这杯茶水继续降温至35C ，大约还需要多少分钟？（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x 千台空调，需另投入成本()f x 万元，且()2460,040,36003013700,40.x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.【答案】(1)13分钟(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.【分析】（1）由题意列方程求解（2）由题意得出利润与x 的函数关系，结合基本不等式求解最值【详解】(1)由题意可得()101502575252h⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得10h =.设经过t 分钟，这杯茶水降温至35C ，则()101352550252t ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭， 解得2110log 51010213lg2t ⎛⎫=-=⨯-≈ ⎪⎝⎭（分钟）.故欲将这杯茶水降温至35C ，大约还需要13分钟.(2)设2022年该企业该型号的变频空调的利润为()W x ，当040x <<时，()223002004604(30)3400W x x x x x =---=--+，当30x =时，()W x 取得最大值3400万元；当40x …时，()3600360030020030137003500W x x x x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭，因为3600120x x+…，当且仅当60x =时，等号成立， 则当60x =时，()W x 取得最大值3380万元.因为34003380>，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.21．已知函数()431f x x ax =+-．(1)若()f x 在[]1,2上有零点，求a 的取值范围．(2)试问直线52y x =-+能否为曲线()=y f x 的一条切线？说明你的理由．【答案】(1)15,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)答案见解析【分析】（1）由()=0f x 得31a x x =-，构造函数31()(12)g x x x x =-剟，求出()g x 的值域即可得解；（2）设切点为(,52)m m -+，由题意列出关于m 的方程组，得出41090m m -+=，由=1m 是该方程的一个解，即可得出结论．【详解】(1)由()=0f x ，得31a x x =-， 设函数31()(12)g x x x x =-剟，则()g x 为减函数， 因为15(1)0,(2)8g g ==-， 所以()g x 的值域为15,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[1,2]上有零点，所以a 的取值范围是15,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． (2)直线52y x =-+可能为曲线=()y f x 的一条切线．证明如下：32()43f x x ax '=+，设切点为(,52)m m -+，则32434+3=5,+1=5+2,m am m am m ---⎧⎨⎩消去a ，得41090m m -+=，因为=1m 是方程41090m m -+=的一个解，所以该方程至少有一个解，当=1m 时，3a =-，直线52y x =-+为曲线=()y f x 的一条切线．故直线52y x =-+可能为曲线=()y f x 的一条切线．22．已知函数()()22e 21x f x x a x =-+--(1)若0a =，证明：当0x >时，()0f x >.(2)若()0,x ∀∈+∞，()()ln 1f x a x >+，求a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)[)2,-+∞【分析】（1）求导得到()()222e 222e 1x x f x x x =--=--'，构造()2e 1x g x x =--，求导，得到函数的单调性，从而得到()()00g x g >=，进而得到()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，证明出结论；（2）利用同构构造()2ln h x x a x =+，得到()()e 1x h h x >+，证明出e 11x x >+>，结合()22x a h x x+'=，分2a ≥-与2a <-讨论得到答案. 【详解】(1)证明：因为()22e 21x f x x x =---，所以()()222e 222e 1x x f x x x =--=--'今函数()2e 1x g x x =--，则()22e 1x g x '=-当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增.故当0x >时，()()00f x f >=(2)()()ln 1f x a x >+等价于()()22e 21ln 1x x a x a x -+-->+等价于()()22e ln 1n e l 1x x a a x x +>+++令函数()2ln h x x a x =+，则()()22e lne ln 11x x a a x x +>+++等价于()()e 1x h h x >+ 令函数()e 1x x x ϕ'=--，则()e 1x x ϕ'=-．当(),0x ∈-∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，故()()00x ϕϕ≥=，即e 11x x >+>恒成立．若2a ≥-，则()2220a x a h x x x x+'=+=≥在()1,+∞上恒成立，()h x 单调递增， ()()e 1x h h x >+恒成立．符合题意.若2a <-，则()222a x a h x x x x x =+=='+，当x ⎛∈ ⎝时，()0h x '<，()h x 单调递减；当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．此时e 1h h h ⎛⎛⎫=≤ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，这与()()e 1x h h x >+恒成立矛盾，不符合题意． 综上所述，a 的取值范为[)2,-+∞．【点睛】同构是一种重要方法，常常用在处理复杂的函数，且同时存在e x 与ln x 的函数，要注意总结常用的同构函数.。
江苏省2025届高三数学第二次百校联考试题
2025届高三数学其次次考试试题留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准运用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必需保持答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{－2，－1，0，1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1，2} 2．若复数z ＝(m ＋1)－2m i(m ∈R )为纯虚数，则z 的共轭复数是( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i 3．设函数错误!未指定书签。
则f (f (－3))＝()A ．14B ．2C ．4D ．8 4．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器----商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成．已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3．8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12．6立方寸，若π取3.14，则圆柱的母线长约为()A ．0.38寸B ．1.15寸C ．1.53寸D ．4.59寸5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为2；乙：该函数图象可以由y ＝sin2x ＋cos2x 的图象平移得到； 丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3，0)． 假如只有一个假命题，那么该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 6．“0＜x sin x ＜π2”是“0＜x ＜π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C 的左、右焦点分别是为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若→AF 2＝3→F 2B ，|→AB |＝|→AF 1|，则C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝35，则cos(α＋β)cos(α－β)＝( )A ．725B ．15C ．15D ．－725二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知x ＋y ＞0，且x ＜0，则( )A ．x 2＞－xy B ．|x |＜|y | C ．lg x 2＞lg y2D ．y x ＋x y＜－210．已知两点A (－4，3)，B (2，1)，曲线C 上存在点P 满意|PA |＝|PB |，则曲线C 的方程可以是( )A ．3x －y ＋1＝0B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 22－y 2＝1 D ．y 2＝3x11．设错误!未指定书签。
福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题
福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题一、单选题1．设集合{2,4,7}M =-，{}230N xx x n =--=∣，若{4}M N ⋂=，则N =（ ） A ．{3,4}- B ．{2,4} C ．{1,4}D ．{1,4}-2．命题“[]1,2x ∃∈-，2102x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．0a ≥B ．3a ≥-C ．0a ≤D ．3a ≥3．已知奇函数()()22cos x xf x m x -=+⋅，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．124．若函数()ln 2h x x ax =-在[]1,3上不单调，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,1)-∞D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．已知2sin 3αα=，则πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．6365-B ．1781-C ．2425 D ．456．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()121n n n S S S +=+，则511a S =（ ） A ．12-B ．23-C ．2-D ．34-7．已知函数22()e 2e 4(0)x x f x a a x a =-->，若函数()f x 的值域与(())f f x 的值域相同，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1]C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞8．已知0ω>，函数()sin f x x ω=与()cos g x x ω=的图象在[]π,2π上最多有两个公共点，则ω的取值范围为（ ）A ．15170,,448⎛⎤⎛⎫ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭UB ．59170,,448⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦UC ．179210,,848⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．17950,,842⎛⎤⎛⎫ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U二、多选题9．若a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若a b <，则33a b < C ．若||||a a b b <，则a b <D ．若0a b >>，则11b ba a+<+ 10．已知函数()ϕx 的定义域为R ，对于x ∀，y ∈R ，恒有()()()x y x y t ϕϕϕ+=+-，且当0x >时，()x t ϕ<，则下列命题正确的有（ ）A ．(0)t ϕ=B ．()(2)x t x ϕϕ=-C ．(2024)2(2024)t ϕϕ-=-D ．x y ∀≠∈R ，()[()()]0x y x y ϕϕ--<11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(32)(31)(61)n n n n S n S n S +-++-=+（n ∈N ，且2n ≥），若112a =，215a =，则下列说法正确的是（ ）A ．5114a =B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C ．数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最小项为12D ．数列1(1)n n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前2n 项和2n T 为21812n n +三、填空题12．函数()22024log 1y ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是．13．已知数列{}n a 满足121,2a a ==，且12n n n a a a ++=+，则2029a = 14．已知不等式22ln 21e xa x x x+-≤-恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．已知函数ππ()sin sin (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)当2ω=时，求()f x 的对称轴方程和最大值；(2)若*ω∈N ，且()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，求()f x 在区间4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上的极值点个数．16．已知函数2()log 4(2)21x xf x a a ⎡⎤=++⋅++⎣⎦．(1)若0a =，求满足2()4f x <<的x 的取值范围； (2)若对任意1x ≥，(x)x f ≥恒成立，求a 的取值范围． 17．已知函数()cos 1f x x ax =+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程； (2)当12a =时，求()f x 在区间(0,)+∞上的零点个数． 18．设n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，11122n n n a a ++-=，134a =，数列{}n b 是公比为23-的等比数列，2289S T =．(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)比较n S 和n T 的大小．19．如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数()f x 的一个零点0x ，先取定一个初值1x ，曲线()y f x =在1x x =处的切线为1l ，记1l 与x 轴的交点横坐标为2x ，曲线()y f x =在2x x =处的切线为2l ，记2l 与x 轴的交点横坐标为3x ，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到0x 的近似值()*n x n ∈N ，设函数3()1f x x x =+-，令11x =．(1)证明：()f x 存在唯一零点0x ，且0213x <<； (2)已知23n x >，证明：2100n n x x x x +-<-； (3)经过4次迭代后，判断0x 的近似值5x 与0x 的差值小于710-．。
福建省百校2024届高三上学期期中联考数学试卷(含解析)
福建省百校2024届高三上学期期中联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．图中的阴影部分表示的集合为( )A. B. C. D.2．若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．函数的部分图象为( )A.B.C.D.4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度（单位：米）约为( )A B C()U A B C ð()U A B C ð()U A B Cð1Z 2Z 12Z Z -1Z 2Z ()21cos 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭A.3B.4C.D.5．已知数列满足，且，若，则正整数k 为( )A.13B.12C.11D.10.点P在线段CD 上，则的取值范围是( )A. B. C. D.7．已知直线是函数图像相邻的两条对称轴，将的图像.若在上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知，，，则( )A. B. C. D.二、多项选择题9．设正实数a ，b 满足，则下列说法正确的是( )的最小值为2D.的最小值为210．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则( ))61)31{}n a 1112n n n n n a a a a ++--=21a =-816k a a =2PA PB ⋅[]1,2-2⎤⎦[]3,4[]1,0-x =4π3x =()()π4sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(f x ()g x ()g x (),m m -7π11π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦7π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦5π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦5π11π,1212⎛⎤⎥⎝⎦0.11a e = 1.11.1b = 1.11c =a b c>>a c b>>b a c>>b c a>>2a b +=22a b +()()π2sin ,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f xA ．函数在上单调递增BC.函数的图象关于点成中心对称D.函数在上单调递减11．如图，在长方体中，E ，F 分别是棱，的中点，点P 在侧面内，且，，则三棱锥外接球表面积的取值可能是( )A. B. C. D.12．已知数列满足，，则下列说法正确的有( )B.C.若D.三、填空题13．已知，则______.()f x 3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2021π2023π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1224AD AB AA ===AD 11B C 11A ADD (BE BP yBF x x =+)y ∈R 1P BB F -10π20π12π44π{}n a 11a =()12ln 11n n n a a a +=++5<2211n n n a a a +-≤+2n ≥1111n i i a =≤<+∑()()1ln 121ln 2nn i i a =+≤-∑πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,44⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭14．已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为______.15．已知数列，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______.四、双空题16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点.”在ABC 中，，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则______；若的最大值为______.五、解答题17．已知函数，将个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称.（1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程在上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.18．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由.19．设数列前n 项和满足.a bb =π,3b =()a b a -⊥ a b{n a ()2222n na a n n *+++=∈N L ()214n n b a n n λ=--+{}n b λ60A =︒1O 2O 3O 13O AO ∠=12O O O ()()()π2cos 22x x f x ϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭(f x ()f x ()f x a =π5,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()ln 1x a a f x x =-+∈R ()f x 2a =-()m m *∈N ()()1f x m x ≤+{}n a n S n n S a +=*∈N（1）证明：数列为等比数列；，求数列的前n 项和.20．如图，在四棱锥中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，，平面平面ABCD .（1）证明：平面平面PAB ；（2）若，，，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为的体积.21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE .（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时的值.22．已知函数.11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭11n S n =-+()()111n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭n T P ABCD -PD AB ⊥PAD ⊥CDM ⊥//AD BC 24AD BC =<2AB =MCD -()()()sin 0,0,0,πy A x A ωϕωϕ=+>>∈[]4,0x ∈-()1,2B -//CD EF POE θ∠=θ()sin cos f x x x x =+（1）求在的单调区间与最值；（2）当，证明：有且仅有两个零点. ()f x[]π,πx∈-a>()()212g x f x ax=-()g x参考答案1．答案：B解析：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是B 的元素，也是A 的元素，不是C 的元素”，故阴影部分所表示的集合是.故选：B.2．答案：D解析：先验证充分性：令，满足是纯虚数，但是不满足，互为共轨复数，所以充分性不成立；再验证必要性：令，满足，互为共轭复数，但是不满足是纯虚数，所以必要性不成立，所以“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．答案：C解析：，定义域为R ，为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A ，D ；令，则，，故有无数个零点，故排除B.故选：C.4．答案：C解析：如图：由题意可得，，()U A B C ð14i Z =22i Z =12Z Z -1Z 2Z 121Z Z ==1Z 2Z 12Z Z -12Z Z -1Z 2Z 21e ()1cos cos 1e 1e x x xf x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭1e ()cos()()1exxf x x f x ---∴-=⋅-=-+()f x ∴()0f x =2x k π=+πk ∈Z 30FCD ∠=︒75ADE ∠=︒24CD =直角三角形中，的长度为米，故选：C.5．答案：B 解析：由已知可得，，以上各式累加可得，又，代入，即，解得故，令，解得.故选：B.6．答案：D解析：如图，O 为圆心，连接，18075105ADC ∴∠=︒-︒=︒1803010545CAD ∠=︒-︒-︒=︒ACD △sin 30AD=︒AD ∴=ADB ()()sin sin 9075sin 4530AB AD ADB ︒︒︒︒=⨯∠=-=-()1sin 45cos30cos 45sin 3062︒︒︒︒⎫=-==⎪⎪⎭AB ∴6)0211112a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭21112n n a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭10122111111111221222212n n n n a a ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=++⋯⋯+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-21a =-021111212a a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭1111a --=1a =22n n a -=-262162k --=-⨯12k =OP则因为点P 在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，则，即的取值范围是.故选：D.7．答案：A解析：由题意可知，则，故，令，解得，由图像可知解得故选A 项.8．答案：A解析：下面先证明，(且).记，则，()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+ 2222()||4PO PO OB PO OA OA OB PO PO OB OA OA PO =+⋅+⋅+⋅=+⋅+-=- CD ||2CD =d ==||2PO ≤≤23||4PO ≤≤ 21||40PO -≤-≤ PA PB ⋅[]1,0-(f x 4536ππ=-==π=2ω=()f x =4sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4sin 24sin 2666g x x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()6x k k π-=π∈Z ()212k x k ππ=+∈Z 0,11,127,12m m m ⎧⎪>⎪π⎪-≥-⎨⎪π⎪>⎪⎩712m π<≤ln 1x x <-0x >x l ≠()ln (1)f x x x =--1()1f x x'=-令，得：；令，得：；函数在上单增，在上单减，所以对任意，都有，即恒成立，所以对任意且，都有，即恒成立，故，故，构造函数，则故当时，单调递增，故，即，综上.故选：A.9．答案：ABD 解析：10．答案：CD解析：根据函数的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心对称，所以，于是，由及，得由于所以，，故半径为当时，，，因为在区间()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞0x >()(1)0f x f ≤=ln 1x x ≤-0x >1x ≠()(1)0f x f <=ln 1x x <-1.1ln1.1 1.1(1.11)0.11<⨯-=a b >1.1()(1)(1.11)g x x x =+-+0.10.1() 1.1(1) 1.1 1.1(1)1g x x x ⎡⎤=+-=+-⎣⎦0x >()f x 1.1 1.1(0.1)(10.1)(1.10.11) 1.1 1.110f =+-⨯+=->b c >a b c >>()2sin()f x x ωϕ=+(,0)C c 3c π=22622T c ωωππππ=+=⇒=⇒=2ω=,06A π⎛⎫- ⎪⎝⎭()()033k k k k ϕϕππ-+=+π∈⇒=+π∈Z Z ||ϕ<=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)f =||CM =≠3,2x π⎛⎫∈--π ⎪⎝⎭852,333x πππ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭sin y x =85,33ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上先减后培，所以原函数在上先减后增，故A 错误；，故C 正确；当时，，即，此时为减函数，故D 正确.故选：CD.11．答案：BCD解析：如图，连接，，，易证四边形是平行四边形，则点在线段上，取的中点G ，连接，，分别取，的中点，，连接，易知三棱锥外接球的球心O 在直线上，连接，，，，设三棱锥外接球的半径为R ，则，因为，所以，所以，所以.则当P 与E 重合时，此时三棱锥当P 与重合时，此时三棱锥，故三棱锥外接球表面积的取值范围是.12．答案：BCD3,2π⎛⎫--π ⎪⎝⎭22sin()03f π⎛⎫-=-π= ⎪⎝⎭20212023,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦202320252,366x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦792336,336366x πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦()f x EF 1D E 1D F 1BED F PD 1D E 11A D AG GF BF AG 1O 2O 12O O 12O O OB OP 2O E 2O P 1P BB F -222221122R OO O B OO O P =+=+124AD AB AA ===122O O =12O B O E ==2222112|2|2R OO OO EP =+=-++21114OO EP =+11OO =1P BB F -1D 13OO =1P BB F -1P BB F -[]12π44π，解析：对于A ：，，，，故A 错误；对于B ：，要证，则证，即证，即证，令，则，，设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，恒成立，，故B 正确；易知足遂增数列，所以，则，，则11a =()12ln 11n n n a a a -=++()2112ln 1121(01)13a a a ∴=++=⨯++=()3222ln 116ln 37a a a =++=+31222(6ln 37)3ln 3 3.513a a a +∴==+++ln 3ln e 1>= 3ln 33∴>31223ln 3 3.5 6.5a a a ∴=+>+()12ln 11n n n a a a -=++ 2211n n n a a a --≤+()22ln 1121n n na a a ++≤+ln 1n n a a +≤ln 10n n a a +-≤n a x =ln 10x x +-≤0x >()ln 1f x x x =+-11()1x f x x x-'∴=-=01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()(1)ln 110f x f ∴≤=+-=ln 10n n a a ∴+-≤2211n n n a a a +∴-≤+{}n a 11n a a ≥=ln 11n a +≥()12ln 1121n n n n a a a a -=++≥+()1121n n a a -+≥+2≥，即，所以而当时，则有故C 正确；令函数则所以在上单调递减，所以当时，，则，所以所以，D 正确.故选：BCD.解析：因为11221121n n n a aa a ---+⋅⋯⋅≥+()111212n n n a a -+≥+=≤2111111111221111222212nn n n i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+++==-<+-∑ 2n ≥112111111ni i a a a =≥+=+++∑()2ln g x x x =-2222121()10x x g x x x x -+-'=--=≤()g x (0,)+∞1x ≥()(1)0g x g ≤=11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭()2211112112112n n n n n n n n a a a a a a a a +-⎡⎤⎛⎫≤-++=++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()()1ln 1ln 1n n a a -+≤+()()()()12121ln 1ln 12ln 1ln 1n n n a a a a ---++⋅≤++ ()()111ln 12ln 12ln 2n n n a a --∴+≤+=()()()11ln 1122ln 221ln 2nn n i i a -=+≤++⋯+=-∑,44αππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5,1212αππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭故，所以14．答案：解析：15．答案：解析：由题意可得时，，当，即，对也成立，则，，，若数列为单调道壇数列，则恒成立，即化为恒成立.设当时，，当时，为递减数列，即可得cos 06απ⎛⎫+> ⎪⎝⎭cos 6απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭sin sin cos 3266αααπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14⎫⎪⎪⎭3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1n =12a =n ≥(1)1n n =--=2nn a =1n =2n n a =*n ∈N ()2214n n b n n λ=--+{}n b 1n n b b +>()()12221(1)4(1)214n n n n n n λλ+--+++>--+λ>*∈N n c =111212352222n n n n n n n nc c +++----=-=1,2n =321c c c >>3n ≥{}n c 345,c c c >>>⋯c则.解析：17．答案：（1）；（2）解析：（1），将函数所得函数为，，，，..（2），，单调递增；单调递减.且，，.方程在上恰有两个实数根，，实数a 的取值范围为.18．答案：（1）单调性见解析；（2）3解析：（1），，λ>3,8⎫+∞⎪⎭()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭)2()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭(f x ππ52sin 22sin 2π366y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴5πππ62k ϕ+=+k ∈Z ∴ππ3k ϕ=-+k ∈Z ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ π5,π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,663x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π26x ≤-≤x ≤≤()f x π26x <-≤x <≤()f x π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x a =π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴2a ≤<∴)2 0x >()1f x a x'=-当，，在单调递增，当时，令，得得在单调递增，在单调递减.综上，时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2），，，令令，，在单调递减.，，使得，当，，，单调递增，当，，，单调递减，，，m 的最小值为3.19．答案：（1）证明见解析；0a ≤()0f x '>∴()f x ()0,+∞0a >()f x '=()0f x '>x <()0f x '<x >∴()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2a =-∴()ln 21f x x x =++∴()ln 211x x m x ++≤+∴m ≥()g x =(g x '()12ln u x x x =+-()2110u x x x '=--<∴()u x ()0,+∞ ()2222112ln 220e e u e e =+-=+-> ()3333112ln 230e eu e e =+-=+-<∴()230e ,e x ∃∈()00u x '=02ln 0x +-=02ln x +=()00,x x ∈()0u x >()0g x '>()g x ()0,x x ∈+∞()0u x <()0g x '<()g x ∴()()()02000000max0000123ln 212312111x x x x x x g x g x x x x x ++++++=====++++ (230e ,e x ∈()0,1∴3m ≥∴（2）解析：（1）证明：，，，，令，可得，所以数列是首项为（2）由（1）可得，，.20．答案：（1）证明见解析；解析：（1）取AD 中点为N ，连接PN ，因为PAD 为等边三角形，所以，且平面平面ABCD ，平面平面，面PAD ，所以平面ABCD ，又平面ABCD ，所以，又因为，，平面PAD ，所以平面PAD ，又因为平面PAD ，所以，11121n +-- n n S a +=()12n n n S S n -=-≥∴()121221n n S S n n n--=-≥+∴()111221n n S S n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪+⎝⎭∴()1111212n n S n n S n--+=≥-1n =10S =∴112S -=11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭111111222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴111n n S b n ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭2nn b =∴()()()()112111212121n n n n n n n b b b ++==-----∴1111111111111337715212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L PN AD ⊥PAD ⊥PAD ABCD AD =PN ⊂PN ⊥AB ⊂PN AB ⊥PD AB ⊥PN PD P = ,PN PD ⊂AB ⊥DM ⊂AB DM ⊥因为M 为AP 中点，所以，且，平面PAD ，所以平面PAB ，且平面CDM ，所以平面平面PAB .（2）由（1）可知，且，，所以平面PAD ，且平面PAD ，所以，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则可得，，，，，，即，，，设平面MCD 的法向量为，则则可得，取，则，所以平面MCD 的一个法向量为，设直线PB 与平面MCD 所成角为，DM PA ⊥PA AB A = ,PA PB ⊂DM ⊥DM ⊂CDM ⊥PN AB ⊥PD AB ⊥PN PD P = AB ⊥AD ⊂AB AD ⊥()22AD a a =<()0,0,0A ()2,0,0B ()0,P a 0,2a M ⎛ ⎝()2,,0C a ()0,2,0D a ()2,,PB a =- ()2,,0DC a =- 30,2DM a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z =20302DC n x ay DM n ay ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2a x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩2y =x a =z =(,2,n a =θ所以解得，或，即（舍去）或1，所以，21．答案：（1），；（3）解析：（1）由已知条件，得，又，，又当时，有，曲线段FBC 的解析式为，.（2）由得，又，，，，（3）如图，，，作轴于点，在中，，在，sin cos ,PB n PB n PB n θ⋅====216a =21a =4a =2AD =11112332P MCD PMD V S AB -=⋅=⨯⨯=π2π2sin 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]4,0x ∈-θ=2A =34T =2π12T ω==∴ω= 1x =-π2sin 26y φ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭∴φ=∴π2π2sin 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]4,0x ∈-π2π2sin 163y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()614k x k k =+--∈Z []4,0x ∈-∴0k =3x =-∴()3,1G -OG =OC =1=∴2OD =COD ∠=1PP x ⊥1P 1Rt OPP △1sin 2sin PP OP θθ==△=∴()()sin 60sin 602cos sin120OP OM θθθθ⋅︒-==︒-=-︒12cos 2sin OMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭平行四边形当22．答案：（1）的增区间为：，，减区间为：，；；（2）证明见解析.解析：（1），解得与的分布列如下：.（2）的定义域为R，，所以为偶函数.，当有且仅有两个零点24sin cos2sin22θθθθθ=-=+π26θ⎛⎫=+⎪⎝⎭π0,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π26θ+==()f xππ,2⎛⎫--⎪⎝⎭π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭(f x1()sin cos sin cos0f x x x x x x x'=+⋅-=⋅=x=∴()f x()f x'(f x1()g x()()()()()21sin cos2g x x x xx a g x=-+---=--()g x()010g=>∴a>()g x⇔当在上有且仅有一个零点.，当时，若，则，所以在上单调递减，，在上有且仅有一个零点；时，存在，使得，当时，，当时，，当时，，所以，在递增，在上递减，在上单调递增，，可得当时，，所以，所以，在上有且仅有一个零点，综上，当有且仅有两个零点.a >()x ()0,+∞ ()()cos x x x a g '=⋅-1a ≥0x >()0g x '<()g x ()0,+∞ ()21π1π02g a =--<∴()g x ()0,+∞1a <<π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos a θ=0x θ<<()0g x '>()2π2π2πk x k k θθ+<<+-∈N ()0g x '<()2π2π2π2πk x k k θθ+-<<++∈N ()0g x '>()g x ()0,θ()()2π,2π2πk k k θθ++-∈N ()()2π2π,2π2πk k k θθ+-++∈N tan θ=1a <<0tan θ<<k ∈N (2π2πtan 2πk θθ++->-()()2112π2π2π2πtan 122g k k a θθθ⎡⎤++=-++--+⎣⎦()2132π2πtan 162k θθ⎡⎤<-++--+⎣⎦()22π2πtan 1006k θθ++--=-<()g x ()0,+∞a >()g x。
安徽省2023-2024学年高三上学期第一届百校大联考数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A．B．C．D．2.用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）A ．在上是单调减函数B ．的值域为C．有最小值D．3.设，随机变量的分布列是012若，则（ ）A．B．C．D．4. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．5.已知的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，且，若将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数的最小正周期为B ．函数的图象关于直线对称C ．当时，函数的最小值为D ．函数在上单调递增6.若，，则中元素个数为．A ．0B ．1C ．2D ．37. 已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.A ．3B ．4C ．5D ．68. 三个共面向量两两所成的角相等，且，，，则等于A．B ．6C．或6D ．3或69. 如图所示的六面体中，，，两两垂直，连线经过三角形的重心，且，则（）A ．若，则平面安徽省2023-2024学年高三上学期第一届百校大联考数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题B．若，则平面C．若五点均在同一球面上，则D ．若点恰为三棱锥外接球的球心，则10. 如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且，，现将沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）A．B ．存在点P，使得C ．存在点P，使得D ．三棱锥的体积最大值为11.如图，在长方体中，，E ，F分别是棱，的中点，则（）A ．△BDF 是等边三角形B ．直线与BF 是异面直线C ．平面BDFD ．三棱锥与三棱锥的体积相等12. 120°的二面角内一点到二面角的棱的距离为20cm ，到两个面的距离相等，则这个距离是___________.13. 设点P 是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最大值为______.14. 三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为_____．15. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，若直线与另一条渐近线交于点，且，则___________；的周长为___________．16. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．17. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.18. 已知函数，，.七、解答题八、解答题九、解答题十、解答题（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.19.已知函数；，．(1)请在图中画出和的图象；(2)若恒成立，求t 的取值范围，20. 已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间；(3)求证：当时，关于x 的不等式在区间上无解.21. 某贫困户为了实现2020国家全面脱贫计划，在当地政府的精准扶贫帮扶下种植蜜桔增加收入，为了给该户制定蜜桔销售计划，对蜜桔产量进行了预估，从蜜桔中采摘了100个进行单个称重，其质量（单位：克）分布在区间，，，，上，并将数据进行汇总整理，得到蜜桔质量的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）视频率为概率，已知该户的蜜桔树上大约有10万个蜜桔等待出售，某水果批发商提出了两种收购方案：方案一：所有蜜桔均以2元/千克收购；方案二：由于质量适中的蜜桔深受消费者青睐，该批发商建议低于20克的蜜桔以1元/千克收购，不低于40克的蜜桔以2元/千克收购，其他蜜桔以3元/千克收购．请你通过计算判断哪种收购方案能使该户收益最大．（2）现采用不放回抽取的方法从该户的蜜桔中随机逐个抽取，直到抽到的蜜桔的质量在区间内或抽取了1000个为止，设抽取的蜜桔个数为X ．求随机变量X 的数学期望（结果精确到个位）．22.如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，，，．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．。
江苏省百校大联考2024届高三上学期第二次考试数学试题含答案
江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞3.已知平面向量()2,1a =-，()2,c t =，则“4t >”是“向量a与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯ B.202421- C.7362-D.811322-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f = B.()f x 的一个周期为2 C.()20231f = D.()()()543f f f =+10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值 D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu rD.PA ·PC 的最小值为-1412.已知函数()()e xf x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.16.设0a >，已知函数()()e ln xf x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A BA B-=+.（1）证明：cos 2a B b=.（2）求ab的取值范围.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.22.已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.（1）若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】法一：利用复数除法运算化简z ，根据共轭复数的概念求解，然后利用模的公式求模即可；法二：两边取模运算得z =，再利用z z =求解.【详解】法一：因为()1i 13i z +=-，所以13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，所以12i z =-+，所以z ==.法二：因为()1i 13i z +=-，所以两边取模()1i 13i z +=-，得1i 13i z +=-，所以z =，所以z z ==.故选：D .2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合M ，N ，再根据集合的并集运算求解.【详解】111x <--，即01xx <-，所以01x <<，即()0,1M =，由ln 1x <，得0e x <<，所以()0,e N =，所以()0,e M N ⋃=.故选：C.3.已知平面向量()2,1a =- ，()2,c t = ，则“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题意知向量a ，c 夹角为锐角，即·0a c > 且a 与c不共线，再结合充分条件和必要条件的定义从而求解.【详解】因为()2,1a =- ，()2,c t =，向量a与b夹角为锐角，即需·0a c > 且a 与c不共线，得22022t t -⨯+>⎧⎨-≠⎩，解得：4t >，所以“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的充要条件.故C 项正确.故选：C.4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由函数图象可得周期T 和ω，进一步将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式结合π2ϕ<运算即可得解.【详解】由图象知7ππ4π123T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,故2π2π2πT ω===，将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式,得7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，解得5π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<,所以π1,3k ϕ==,所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C .5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意可以分析出，抛掷两次总的基本事件有36个，随后进行列举分析.【详解】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件；当x=2时，y=1满足；当x=3时，y=1，2，6满足；当x=4时，y=1，2，3，5，6满足；当x=5时，y=1，2，6满足；当x=6时，y=1满足.总共有13种满足题意，所以P (A )=1336.故选：C .6.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+【答案】B 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得2a b +的表达式，再利用导数求得2a b +的最小值.【详解】设直线y ax b =+与曲线ln y x =相切的切点为00(,ln )x x ，由ln y x =求导得1y x'=，于是0001ln a x ax b x⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则0ln 1b x =-，0022ln 1a b x x +=+-，设2()ln 1,0f x x x x=+->，求导得22212()x f x x x x '-=-+=，当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，函数()f x 递增，因此当2x =时，min ()ln 2f x =，所以2a b +的最小值为ln 2.故选：B7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的性质可判断A ；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B ；设直线AB 和点A 、B 的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C ；设AB 的中点为()00,M x y ，则12022y y y m +==，2021x m =+，取1m =-求出M 可判断D.【详解】对于A ，因为抛物线C 过点()1,2P -，所以抛物线C 的方程为24y x =，线段AB 长度的最小值为通径24p =，所以A 错误；对于B ，由定义知1AA AF =，1//AA x 轴，所以111AFA AA F A FO ∠=∠=∠，同理11BFB B FO ∠=∠，所以1190A FB ∠=，所以B 错误；对于C ，设直线:1AB x my =+，与抛物线方程联立，得2440y my --=，设()111,A x y ，()122,B x y ，则124y y =-，11==OA y k x 214=-y y ，因为()121,B y -，所以12OB OA k y k =-=，1,,A O B 三点共线，所以C 正确；对于D ，设AB 的中点为()00,Mxy ，则12022y y y m +==，200121x my m =+=+，取1m =-，可得()3,2M -，所以D 错误.故选：C .8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯B.202421- C.7362-D.811322-【答案】D 【解析】【分析】首先根据n S 与n a 的关系，得到数列{}n a 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，并对于不同的m 值，计算满足条件的个数，从而求和得解.【详解】因为1n n S a +=，则111n n S a +++=，两式相减，得120n n a a +-=，又当1n =时，112a =，故0n a ≠，所以{}n a 是以112a =，12q =的等比数列，则12n n a =，显然{}n a 递减，要使得n a 最小，即要使得n 最大，令11221n m ≥+，得221n m ≤+.若1m =，则1111,2n b a ≤==;若23m ≤≤，则212,4m n b a ≤==;若47m ≤≤，则313,;8m n b a ≤==若815m ≤≤，则414,;16m n b a ≤== ;若10242047m ≤≤，则1111111,,2m n b a ≤==，则()113123111,1222T b T b b b ===++=+=()()712345671113,2222T b b b b b b b =++++++=++= ，204720231111111,222T T ∴=⨯=∴=-11824113222=-，故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得221n m ≤+，从而分类讨论m 的取值范围，求得对应m b 的值，从而得解.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f =B.()f x 的一个周期为2C.()20231f = D.()()()543f f f =+【答案】ABD 【解析】【分析】对A 选项：由()f x 是R 上的奇函数即有()00f =；对B 选项：由()()11f x f x -=+可得()()2f x f x =+，即可得；对C 选项：由周期性及奇偶性结合即可得；对D 选项：由周期性及奇偶性结合即可得.【详解】()f x 是R 上的奇函数，因此()00f =，故A 正确；由()()11f x f x -=+得()()2f x f x =+，所以2是它的一个周期，故B 正确；()()()20232101111f f f =⨯+=，而()()()111f f f =-=-，故()10f =，故C 错误；()()400f f ==，()()53f f =，因此()()()543f f f =+，故D 正确.故选：ABD .10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 3【答案】BD【解析】【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线l ：y kx t =+分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出,P Q 和,R S 坐标，从而可对B 、C 项判断；根据2RS SB = ，求出2b a =，从而可对D 项判断.【详解】对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y kx t =+，与双曲线联立22221y kx t x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得：()()22222222220b a k x a ktx a t a b ---+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由根与系数关系得：2122222a kt x x b a k +=-，222212222a b a t x x b a k+=--，所以线段PQ 中点2221212222222,,22x x y y a kt a k t N t b a k b a k ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，将直线l ：y kx t =+，与渐近线b y x a =联立得点S 坐标为,at bt S b ak b ak ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，将直线l ：y kx t =+与渐近线b y x a =-联立得点R 坐标为,at bt R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以线段RS 中点222222222,a kt a k t M t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以2PQ RSPR SQ -==，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得22,a b R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，11222ORB R b S OB y OB b ak =⨯=+ ，因为OB 为定值，当k 越来越接近渐近线b y x a =-的斜率b a -时，2b b ak +趋向于无穷，所以ORB S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线b y xa =，解得2S ，联立直线l 与渐近线b y xa =-，解得2R ⎛⎫由题可知，2RS SB = ，所以()2S R B S y y y y -=-即32S R By y y =+=，解得b =，所以e =D 项正确.故选：BD .11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu r D.PA ·PC 的最小值为-14【答案】BCD【解析】【分析】根据空间几何的相关知识，逐一分析选项即可.【详解】对于A,假设BD ⊥AP ,AB=AA 1=2,∠BAD=60°,由余弦定理易得222=AB ,,BD BD AD BD AD BD AD D =∴+⊥⋂=，,BD AD ⊂平面ACD 1,则BD ⊥平面ACD 1,因为AC ⊂平面ACD 1,所以BD ⊥AC ,则四边形ABCD 是菱形,AB=AD ,A 不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1得CD 1∥平面ABB 1A 1,所以四棱锥P-ABB 1A 1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B 正确;对于C,1AC uuu r =AB +AD +1AA ,AM =AB +12AD ,故2AM -1AC uuu r =AB -1AA =1B A ,故C 正确;对于D,设PC =λ1C D ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λ1C D -AD -AB )·λ1C D =(λ1B A -AD -AB )·λ1BA =(λAB -λ1AA -AD -AB )·(λAB -λ1AA )=λ(λ-1)|AB |2-λ21AA ·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·1AA +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)1AA ·AB -λAD ·AB +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选：BCD .12.已知函数()()e x f x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立【答案】BD【解析】【分析】对于A ，构造函数()e 1x h x x =+-求导即可判断；对于B ，判断当0a ≤时，是否满足()0e 1x f x a -'=<即可；对于C ，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，由此即可判断；对于D ，只需验证21ln 02a a -->是否恒成立即可，即验证min ()0g a >是否成立即可.【详解】对于A ，因为1a =,所以方程()0f x =即e 10x x +-=，设()e 1x h x x =+-，则()e 1x h x '=-，令()e 10xh x '=-=，得0x =，当0x <时，()e 10x h x '=-<，()e 1x h x x =+-单调递减，当0x >时，()e 10xh x '=->，()e 1x h x x =+-单调递增，所以()()e 1020x h x x h =+->=>，所以方程()0f x =不存在实数根，所以A 错误.对于B ，因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时,由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减，所以B 正确.对于C ，由上知，当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-.当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，则()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增.综上，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.所以函数()f x 有最小值，即最小值在ln x a =-处取得，所以C 错误.对于D ，由上知()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证()32ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则2121()2a g a a a a-'=-=.令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >.所以()g a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以2min ()ln 01l n n 22l 122g a g ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，()32ln 2f x a >+恒成立，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题对于A 的关键是构造函数即可；对于B ，验证导数是否恒小于0即可；对于C ，首先验证取极值必要条件不满足即可判断；对于D ，转换为验证21ln 02a a -->是否恒成立即可.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【解析】【分析】分离参变量，利用基本不等式求解函数最值即可求解.【详解】因为[]0,2x ∈，所以由220ax x a -+≤得221x a x ≤+，因为关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，所以2max 21x a x ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，当0x =时，2201x x =+，当0x ≠时，222111x x x x =≤=++，当且仅当1x =时，等号成立，综上221x x +的最大值为1，故1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞.故答案为：(],1-∞.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.【答案】273【解析】【分析】先通过23135332919a a a a a a q q ++=++=求出q ，再根据()3468135a a a a a a q ++=++求解即可.【详解】设公比为2313533291,9a q a a a a a q q ++=++=，解得29q =或19，因为{}n a 是递增的等比数列，所以3q =，则()346813539132739a a a a a a q ⨯+=+=++=.故答案为：273.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.【答案】12π【解析】【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.【详解】设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,所以OM AB ⊥,所以12OM OO OO R ===(R 为球O 的半径),所以1AOO 与AOM 全等,所以1AM r =,同理2BM r =，所以12AB r r =+，()()22212121212412O O r r r r r r =+--==，所以12O O =，所以圆台的内切球半径R ，内切球的表面积为24π12πR =.故答案为：12π.16.设0a >，已知函数()()e ln x f x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.【答案】e 2##1e 2【解析】【分析】利用n (l )g x a x x =+的单调性，将不等式变形为e x ax b ≥+恒成立，利用切线或者构造函数,(e )x h x ax b =--结合导数即可求解最值求解.【详解】)0e l ()()(n x f x ax a ax b ax b ≥⇔+≥+++，设n (l )g x a x x =+，由于0a >，易知()g x 在(0,)+∞上递增，且e ln e e e ()x x x x g a ax =+=+，故()()(0e )e x x f x g g ax b ax b ≥⇔≥+⇔≥+.法一:设e x y =在点00(,e )x P x 处的切线斜率为a ，0e x a =，即0ln ,x a =切线):1ln (l y ax a a =+-，由e x ax b ≥+恒成立，可得)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，设21ln )),((0h a a a a =->，)()(12ln 2h a a a '=-，当12)0,e (a ∈时，()0'>h a ，当12(,)e a ∈+∞时，0(),h a '<∴12max e )()2e (h a h ==，∴ab 的最大值为e 2.法二:设(e ,e ())x x h x ax b h x a '=--=-，当(,ln )x a ∈-∞时，()0h x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴min 0()()1)ln ln (h x h a a a b ==--≥，即有)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，下同法一.故答案为：e 2.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A B A B-=+.（1）证明：cos 2a B b =.（2）求a b的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证法一：利用二倍角公式化简等式右边，然后结合两角差的余弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；证法二：利用二倍角公式化简等式左右两边，然后结合两角差的正弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；（2）根据三角形是锐角三角形分析出B 的范围，结合（1）的结论求解出a b 的范围.【小问1详解】证法一：因为21cos sin 22sin cos sin sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B-===+，所以()1cos cos sin sin A B A B -=，所以cos cos cos sin sin B A B A B =+，即()cos cos A B B -=，因为ππ0,022A B <<<<，所以ππ22A B -<-<，所以A B B -=，即2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，即cos 2a B b=；证法二：因为222sin sin 1cos sin 22sin cos sin 22sin 1cos 22cos cos 2sin cos cos 222A A A B B B B A A A A B B B -=====+，所以sin cos cos sin 22A A B B =，所以sin 02A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ0,022A B <<<<，所以π024A <<，所以ππ224A B -<-<，所以02A B -=，所以2A B =，所以sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可得2cos a b B =，即cos 2a B b=.【小问2详解】由上可知2A B =，则π022π02π0π2A B B A B ⎧<=<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩，解得π6π4B <<，又因为cos 2a B b =，所以2cos a B b =∈，所以a b的取值范围是.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.【答案】（1）0.054（2）827【解析】【分析】（1）记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，求出()P E ,()P F ,()P G ,()|P D E ,()|P D F ,()|P D G ,根据全概率公式可得答案；（2）由条件概率公式可得答案.【小问1详解】记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，Ω= E F G ,且,,E F G 彼此互斥,由题意可得()40.220==P E ,()60.320==P F ,()100.520==P G ,()|0.08=P D E ,()|0.06=P D F ,()|0.04=P D G ,由全概率公式可得()()()()()()()|||=⋅+⋅+⋅P D P E P D E P F P D F P G P D G0.20.080.30.060.50.040.054=⨯+⨯+⨯=，所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054；【小问2详解】由条件概率公式可得()()()()()()|0.20.088|0.05427⨯====P DE P E P D E P E D P D P D ，所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）0【解析】【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；（2）根据等比数列定义求出通项公式和前n 项和与积，进而对133(12)(2)2log nk k k k k S a T =--+∑化简，利用裂项相消法求和，分参求λ的取值范围.【小问1详解】因为2330n n S a -+=，①当2n ≥时，112330n n S a ---+=，②①-②得：()132n n a a n -=≥，即()-132n n a n a =≥，经检验13a =符合上式，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列.【小问2详解】由（1）知3n n a =，所以()131333132n n n S +--==-，()121221233333n n n nn n T a a a ++++==⨯⨯⨯== ，所以()()312111133333(12)(2)(12)(23)(21)3222log 13log k k k n n n k k k k k k k k k S a k k T k k +===+---+--⨯+-⋅==+∑∑∑111333311k kn nk k k n ++=⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭∑，所以13311n n a n n λ+⋅->++恒成立，即133311n nn n λ+⋅->++，化简得：1133n n λ-+<-，令1133n n n b -+=-，所以112121330333n n n n n n n n b b +-+++⎛⎫-=---=> ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 是递增数列，最小值为11111313b -+=-=，所以1λ<，故整数λ的最大值为0.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.【答案】（1）12（2）324k =-【解析】【分析】（1）由条件，转化为关于,a c 的等式，即可求解离心率；（2）方法一：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，利用点到直线的距离，以及条件结合得到22114PQ h A Ph ==，再根据2245A P A Q = ，求得点P 的坐标，代入椭圆方程，即可求解；方法二：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点P 的坐标，并结合面积公式，即可求解.【小问1详解】由题可知，122A A a =,由123A F FA =,所以123A F FA = ,所以1123342A F A A a ==,即32a c a +=,所以椭圆的离心率12c e a ==；【小问2详解】法一:由题意知,1,2c a ==，所以椭圆方程为24x +23y =1,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <，设1A 到直线2A P 的距离为1h ，F 到直线2A P 的距离为2h ，则1h =，2h =，又1112A PQ S h PQ =⋅ ,22212A FP S h A P =⋅ 12A PQ A FP S S = ,所以22114PQ h A Ph ==，由图可得2245A P A Q = ,又因为()22,0A ，()0,2Q k -,所以28,55P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得298k =,因为0k <,所以324k =-,法二:由题意知,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <,联立2220143kx y k x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得到方程()2222341616120k x k x k +-+-=,所以222161234A P k x x k -⋅=+,所以228634P k x k -=+,代入直线方程得2228612,3434k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,()0,2Q k -,22122P A FP P y S A F y =⋅= ,()112121142422A PQ QA A PA A P S S S k y =-=⋅⋅--⋅ 又因为12A PQ A FP S S = ,所以542P y k =-,所以25124234k k k -⋅=-+,解得298k =,因为0k <,所以324k =-.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）0,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质结合线面垂直的判定定理即可得；（2）证明DA ，DC ，DP 两两垂直后建立空间直角坐标系，设出N 点位置后表示出两面夹角的余弦值后结合换元法与分式求最值的方式即可得.【小问1详解】四边形ABCD 是正方形，∴AD CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又 PD ⊂平面PCD ,∴AD PD ⊥，同理CD PD ⊥，又 AD CD D = ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由(1)知AD PD ⊥，CD PD ⊥，AD CD ⊥，∴DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点,DA 、DC 、DP 所在直线分别x 、y 、z轴，建立空间直角坐标系，设2PD AD ==，则()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M ，PD ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，设()01CN CP λλ=≤≤，有()2,2,1BM =-- ，()0,2,2CP =-，则()2,2,2BN BC CN BC CP λλλ=+=+=--，设平面BMN 的法向量为(),,n x y z =，则·220·2220BM n x y z BN n x y z λλ⎧=--+=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，取x λ=，则12y λ=-，22z λ=-，故平面BMN 的一个法向量为(),12,22n λλλ=--，设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos cos ,m n θ==，设1t λ=-，则01t ≤≤，①当0=t 时,cos 0θ=，②当0t ≠时，cosθ===，当23t=时，22cos3θ=，故220cos3θ≤≤，综上,220cos3θ≤≤，即平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为0,3⎡⎢⎣⎦.22.已知函数()()21ln02f x x x ax a=->.（1）若函数()f x在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;（2）若函数()f x有两个极值点()1212,x x x x<,证明：121x xa>.【答案】（1）1a≥（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，()0f x'≤恒成立，即ln1xax+≥恒成立，构造函数()ln1xh xx+=，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围；（2）方法一：由（1）得01a<<，转化为()1212,x x x x<是()g x的两个零点，求导得到()g x单调性，得到12101x xa<<<<，换元后即证1ln e10tt-+-<，构造()1ln e1tG t t-=+-()01t<<，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案；方法二：先证明引理，当01t<<时,()21ln1ttt-<+,当1t>时,()21ln1ttt->+，变形得到只需证()212lna x x a+>-，结合引理，得到()2222ln2ln10a x a a x a+-++>，()2211ln2ln10a x a a x a+-++<，两式结合证明出答案.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()1ln f x x ax '=+-，由题意()0f x '≤恒成立，即ln 1x a x+≥恒成立，设()ln 1x h x x +=，则()221ln 1ln h x x xx x'==---，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()ln 1x h x x +=单调递增,当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()ln 1x h x x+=单调递减,∴()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max 11h x h ==，故1a ≥；【小问2详解】证法一：函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<，设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,又因为()110g a =->，所以12101x x a<<<<，要证121x x a >,只需证2111x ax a >>,只需证()211g x g ax ⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中()20g x =，即证()111111ln 0g ax ax x ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，即证()111ln 10ax x +-<，由()111ln 10g x x ax =-+=,设()10,1ax t =∈,则1ln 1x t =-,11e t x -=,则()1111ln 10ln e 10t ax t x -+-<⇔+-<,设()1ln e1tG t t -=+-()01t <<，()1111e e et t t tG t t t ----'=-=，由(1)知ln 11x x+≤，故ln 1≤-x x ,所以1e x x -≥,1e 0t t --≥,即()0G t '≥，()G t 在()0,1上递增，()()10G t G <=,故()111ln 10ax x +-<成立,即121x x a>；证法二：先证明引理:当01t <<时,()21ln 1t t t -<+,当1t >时,()21ln 1t t t ->+，设()()()21ln 01t M t t t t -=->+,()()()()222114011t M t t t t t -'=-=≥++，所以()M t 在()0,∞+上递增,又()10M =,当01t <<时,()()10M t M <=，当1t >时，()()10M t M >=，故引理得证，因为函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<,设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,即1201ax ax <<<，要证121x x a>,只需证12ln ln ln x x a +>-，因为11221ln 01ln 0x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，即证()212ln a x x a +>-，由引理可得()()222221ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=>+,化简可得()2222ln 2ln 10a x a a x a +-++>①，同理()()111121ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=<+，化简可得()2211ln 2ln 10a x a a x a +-++<②，由①-②可得()()()()2212121ln 20ax x x x a a x x +-+-->，因为210x x ->，0a >，所以()21ln 20a x x a ++->，即()212ln a x x a +>-,从而121x x a>.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
【新结构】江苏省百校联考高二五月份阶段检测数学试卷+答案解析
【新结构】江苏省百校联考高二五月份阶段检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则()A.B. C. D.2.已知向量，，若，则() A.B.C.4D.53.样本中共有7个个体，其值分别为a ，1，2，4，5，7，9，若该样本的中位数为4，则实数a 的取值范围为()A.B.C.D.4.每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．若随机抽取100袋食盐，检测发现误差单位：克近似服从正态分布，，则X 介于的食盐袋数大约为()A.8B.40C.92D.965.现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为()A.B.C. D.6.若a ，b 都是实数，则“”是“”的()A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题，用表示整数x 被m 整除，设a ，Z ，N 且，若，则称a 与b 对模m 同余，记为已知，则()A. B.C.D.8.如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB 与线段CD 所在直线异面垂直，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，且，，使用线拐子时使丝线从点A 出发，依次经过D ，B ，C ，又回到点A ，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”，若图中，则丝线缠一圈的长度为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知事件A，B满足，，则下列结论正确的是()A. B.若，则C.若A与B互斥，则D.若A与B相互独立，则10.下列说法正确的是()A.公式中的S和R不具有线性相关关系B.已知随机变量，则C.已知随机变量，若，则函数为偶函数D.已知一系列样本点…的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则11.若，，，则()A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024年福建省百校联考中考三模数学试题
2024年福建省百校联考中考三模数学试题一、单选题1．某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作10+，那么出货4件应记作（ ）A ．14-B ．14C ．4-D ．42．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷、用科学记数法表示3830000是（ ） A ．63.8310⨯B ．60.38310⨯C ．73.8310⨯D ．70.38310⨯3．下列是福建省四个城市Logo ，其中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下面运算正确的是（ ） A ．235325x x x += B ．624x x x ÷= C ．329()x x =D ．22(1)1x x -=-52在数轴上对应的点可能．．是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D6．将二次函数()2212y x =-+的图像向右平移2个单位长度，所得函数图像的顶点坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()3,2C ．()1,3D ．()1,1-7．如图，过O e 外一点P 作圆的切线PA ，PB ，点A B ，为切点，AC 为直径，设50P ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒8．如图，在平面直角坐标系，点A 的坐标为()4,0OC ，是由OA 绕点O 逆时针旋转60︒得到的，AB 是由OC 向右平移得到，点B 的坐标为（ ）A ．(B ．()C ．(D ．()6,49．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图，以O 为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强； ②缺少探索学习的能力是甲自身的不足； ③与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力； ④乙的综合评分比甲要高． 其中合理的是（ ） A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④10．已知0a >，设函数2221232,44,69y ax ax a y ax ax a y ax ax a =-+=-+=-+．直线x m =的图象与函数123,,y y y 的图象分别交于点()()()123,,,,,A m c B m c C m c 下列说法正确的是（ ）A ．若1m <，则231c c c <<B ．若12m <<，则123c c c <<C ．若23m <<，则321c c c <<D ．若3m >，则321c c c <<二、填空题11．请写出一个比π大的无理数． 12．因式分解：222a ab b ++=．13．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是度．14．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有． 15．如图所示，点()3,P a a 是反比例函数图象()0ky k x=>与O e 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k =．16．如图，在矩形ABCD 中，其中2AD AB BC DE <≤，平分ADC ∠，交AB 于点E EF CE ⊥，，交AD 于点F ，以CE EF ，为边，作CEFG Y ．则下列结论：①AEF DCG ∠=∠；②矩形ABCD 的面积等于CEFG Y 的面积；③DE AB =；④四边形CEFG 是正方形；其中一定正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．解不等式组：363104x x <⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①②．18．如图，在Rt ABC △中，90B ︒∠=，CD AB ∥，DE AC ⊥于点E ，且C E A B =．求证：DC AC =．19．先化简，再求值；214133a a a -⎛⎫+÷⎪--⎝⎭，其中a 2． 20．近年来，我国芯片产业发展迅速，在一些芯片制造的关键技术方面取得了一些突破性进展，芯片可靠性试验是提升产品质量的重要手段，主要分为环境试验和寿命试验两个大项，某研发中心对40件芯片进行可靠性试验，试验结果分项评估并分为A 、B 、C 、D 四个等级，统计情况如下表：(1)若按等级A 、B 、C 、D 赋分分别为50分、40分、30分、20分．请以平均分为依据，判断这批芯片在“环境试验”、“寿命试验”这两项哪项表现更好；(2)已知这批芯片可靠性试验中，有两件芯片在两项试验均为A 级．在至少一项试验为A 级的芯片中，随机抽取两件进行深入研究，试求出抽到两项试验均为A 级的概率．21．在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作A ）和工程车模型（记作B ）共100台，若售出3台A 模型和2台B 模型收入130元，售出4台A 模型和3台B 模型收入180元．(1)求两种模型的售价各是多少元；(2)已知A 模型的数量不超过B 模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值．22．如图是一张矩形纸片ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ．(1)如图1中，在BC 边上求作一点E ，使得CDE V 沿着DE 折叠后，点C 落在线段OC 上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)如图2中，在（1）的条件下，点C 的对应点为点F ，若OF AB =，求CFCD的值． 23．【综合实践活动】 【问题背景】小亮想测量他家门口水塘两个端点A ，B 长度（如图1），但是小亮找不足够长度的的绳子，小亮寻求哥哥的帮助． 【理论准备】哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使C D C A =；连接BC 并延长到E ，使C E C B =，连接DE 并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明DE 的长度等于水塘两个端点AB 长度的原因；【实际操作】小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出AB 长度（如图3），方法如下：（1）在房屋M 墙CD 边找一点C ，使得45ACB ∠=︒； （2）在院子里找一点E ，使得：CE CD ⊥此时发现CD CE =；（3）测量出B 到房屋M 墙CD 的距离BD ，即：BD CD ⊥，13.8m BD =； （4）测量出A 到CE 的距离AE ，即：AE ⊥CE ，14.4m AE =，同时发现CE CD =； 经过以上的方法可以计算出AB 的长度．请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出AB 的长度： 解：如图4，延长AE 至F ，使得EF BD =，连接CF ． ……【成果迁移】如图5，海警船甲在指挥中心（A 处）北偏西20︒的B 处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C 处，并且两艘船到指挥中心A 的距离相等（AB AC =），可疑船只沿北偏东20︒的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B 点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D ，E 处，且两船和指挥中心形成的夹角为55︒，（55DAE ∠=︒），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离DE ．24．已知抛物线2y x bx c =++过点()0,1M ．若该抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y 都满足：当110x x <<时，()()12120x x y y -->；当20t x x <<时，())1212(0x x y y --<．过点()0,2P 的直线与该抛物线交于,A B 两点，过点,A B 分别作AC x ⊥轴于点,C BD x ⊥轴于点D ．(1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：,,B C M 三点共线：(3)分别用123,,S S S 表示,,ACP PCD PDB △△△的面积，对于下列三个等式①21S =123t S S ．②22213S t S S =，③21312S t S S =中，实数123,,t t t 有且只有一个为定值．请直接写出这个实数及其定值，不必说明理由．25．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BD 是BC 由绕点B 顺时针旋转()2090αα︒<≤︒得到，连接CD ，将DC 绕点D 逆时针旋转90︒得到DE ，连接AD BE ，．(1)求证：AD BE =；(2)若ACD V 是等腰三角形，直接写出α的度数； (3)当A D E ，，三点共线时，求tan α的值．。
湖北省百校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题(含解析)
19.已知函数 .
（1）讨论 的单调性.
（2）当 时，试问曲线 是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，请说明理由.
20.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 有两个零点 ，且 ，证明： 且 .
高三数学考试
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
16.已知正数 满足 ，则 的最小值是___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.在等比数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18.已知函数 的最小值为1，最小正周期为 ，且 的图象关于直线 对称.
（1）求 的解析式；
6.已知函数 的部分图象如图所示，则函数 在 上的大致图像为（）
A. B. C. D.
7.在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为 ，但当气温上升到 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时 时的气温 （单位： ）与时间 （单位：小时）近似满足函数关系式 ，则在6时 时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据： ）