第四章(2) 一般二次曲面的研究(课件)

证
Aα1 = λ α 1
Aα 2 = λ α 2
A ( k1α1 + k2α 2 ) = A( k1α1 ) + A( k2α 2 ) = k1 ( Aα1 ) + k2 ( Aα 2 )
= k1(λ α1 ) + k2 (λα 2 ) = ( k1λ )α1 + ( k2λ )α 2 = ( λ k1 )α1 + (λ k2 )α 2 = λ ( k1α1) +λ ( k2α 2 ) = λ ( k1α1 + k2α 2 ) = 又 k1α1 + k2α 2 ≠ o ∴ k1α1 + k2α 2 也是矩阵A的 对应于λ的特征向量. 也是矩阵 矩阵A 对应于λ的特征向量.
−2 2 2 x ( x y z ) 2 1 4 y = −1 −2 3−25 1 2 4 1 z 5 3 1 −4 2 Q = 5 3 5 3 Q为正交矩阵. 为正交矩阵. −3 0 0 0 3 2 T 且 Q = 1, Q AQ = 0 −3 0 5 3 0 0 6 x x′ 2 −2 作转轴变换 y = Q y′ , 即 ′− ′ + 1 z′ x y x = z z′ 5 3 5 3 −2 1 1 4 −2 2 ′ x 5 3 5 3 x x′ − y′ + z′ y= 3 5 3 5 y = 1 −4 2 y ′ 5 3 5 3 3 2 z y′ + z′ 2 z′ 3 z = 0 3 5 5 3
a1 b1 a b 定义 给定Rn中向量 α = 2 β = 2 给定R M M 实数 b1 an bn b T α β = ( a1 a2 ... an ) 2 = a1b1 + a2b2 + ... + anbn M n 1× n = ∑ ai bi bn n × 1 i =1
x2 − x3 = 0 −2 x1 − 4 x2 + 5 x3 = 0
1 是对应于6 2 是对应于6的 特征向量. 特征向量. 2
用坐标变换化简方程
− A的特征值： 3, −3,6 的特征值：
(x
γ
−2 λ = −3 : α 1 = 1 , α1 , γ α 2 0
用坐标变换化简方程
−2 2 2 x ( x y z ) 2 1 4 y = −1 2 4 1 z −2 1 −2 5 3 5 3 ↑ 1 −4 2 Q为正交矩阵. A Q = 5 3 5 3 为正交矩阵. −3 0 0 T 0 3 2 且 Q = 1, Q AQ = 0 −3 0 5 3 0 0 6 x x′ 作转轴变换 y = Q y′ , 曲面方程化为 z z′ −3 0 0 x ′ x′ y′ = −1, ( x′ y′ z′ ) 0 −3 0 y′ T 即 ( x′ y′ z ′ ) Q A Q 0 0 6 z′ z′ = −1,
−2 1 β 2 = α 2 − 4 β 11 = − 4 α 5 λ = −3 : β 1 = α1 = 5 1 0 β 1 ⊥ β 2 , γ ⊥ β 1 , γ ⊥ β 2 , 再将 β 1 , β 2 , γ 单位化. 单位化.
−2 ( x y z ) 2 −3, −3,6 的特征值： A的特征值： 2 2 − 5 −2 λ = −3 : β 1 = 1 , β 2 = − 4 λ 5 1 0 −2 令 −2 3 5 5 15 1 1 −4 β 2 = , η1 = β1 = 5 , η2 = 3 5 β2 β5 3 1 5 0 3 对应于 λ = −3 η1,η2 ,η3 为两两正交的单位向量. 两两正交的单位向量. 单位向量
n维向量的内积
称为向量α 称为向量α和β的内积.记为αTβ. 内积.记为α
4 3 0 −5 如 α = β = −1 4 −3 2
α 和 β 的内积为 αTβ= 12 + 0 −4 −6 = 2
n维向量的正交 =0,则称 则称α 正交. α , β ∈ R n 如果 αTβ=0,则称α与β正交. 定义 设
二次曲面的方程可写为
(x
−2 2 2 x y z ) 2 1 4 y = −1 2 4 1 z
−2 2 2 x 用坐标变换化简方程 ( x y z ) 2 1 4 y = −1 2 4 1 z −2 −2 λ +2 λ+2 −2 − 2 λ E − A = −2 λ −1 − 4 λ − 1 −4 = −2 0 −λ − 3 λ + 3 −2 − 4 λ −1 λ + 2 − 4 −2 λ + 2 −4 = −2 λ − 5 −4 = (λ + 3) −2 λ − 5 0 0 λ+3
3
η1,η2 ,η3 为两两正交的单位向量. 令 两两正交的单位向量 单位向量.
1 Q = 5 0
−2 5
−2 3 5 −4 3 5 3 5
3
1 3 2 3 2 3
Q为正交矩阵. 为正交矩阵. −3 0 0 Q = 1, Q −1 AQ = 0 −3 0 且 T Q AQ = 0 0 6
α β =0 α与β正交 α = ( 2, 0, −3, 1, 4 )T , β = ( −1, 2, 2, 0, 2)T 例如 α T β = 0 ∴α β β = (b1,b2 ,b3 ) 3中， 在R 设 α = (a1,a2,a3 )≠ o β = (b1,b2 ,b3 )≠ o θ α = (a1,a2 ,a3 ) o 的内积为 则α和β的内积为
T
α T β = a1b1 + a2b2 + a3b3= α β cosθ
α β
θ=
π
2
αT β = 0
结论1 结论1 若α 证 α lβ
β , 则对任何实数k,l，有 kα l β ，
αTβ = 0
( kα )T ( l β ) = k l (α T β ) = 0
β
β
kα
lβ
α
1
kα
, 为正交向量组， 结论2 结论2 若α1, α2,…,αs 为正交向量组， 则
− A的特征值： 3, −3,6 的特征值：
λ = −3
3 ( −λ E −A) X = o
−1 −2 −2 x1 0 x = 0 −2 −4 −4 2 −2 −4 −4 x 0 3
− x1 − 2 x2 − 2 x3 = 0
α1
α1 ,
1
α2
α 2 ,..,
1
αs
α s 是正交单位向量组. 是正交单位向量组. 单位向量组
结论3 结论3 若 α
( kα + l β )
γ, β γ
T
γ , 则对任何实数k,l， 有 ，
γ , ∴ β γ = 0,
T
证 Qα
T
γ , ∴ α γ = 0, Q β
γ = ( kα )T + ( l β )T γ = ( kα )T γ + ( l β )T γ ( kα + l β ) = k (α T γ ) + l ( β T γ ) = 0 γ
∴ ( kα + l β )
γ
α
kα
β
kα + l β
lβ
为矩阵A的特征值， 非零向量α 非零向量α1 α2 都是 结论4 结论4 设λ为矩阵A的特征值， 矩阵A 对应于λ的特征向量, 矩阵A的 对应于λ的特征向量,则当k1α1 + k2α 2 ≠ o 时,
k1α1 + k2α 2 也是矩阵A的 对应于λ的特征向量. 也是矩阵 矩阵A 对应于λ的特征向量.
−2 2 2 x y z ) 2 1 4 y = −1 2 4 1 z 1 −2 α2 = 0 , λ = 6 : γ = 2 2 1
2 − 5
将 α1,α 2 正交化. 令 正交化.
用坐标变换化简方程
2 2 x y 1 4 = −1 4 1 z 1 γ = 2 = 6: 2
1 3 1 η3 = γ =2 3 γ3 2 3
对应于λ = 6
用坐标变换化简方程
−2 2 2 x ( x y z ) 2 1 4 y = −1 −3, −3,6 −2 的特征值： A的特征值： 2 4 1 z 1 3 5 −2 5 3 −4 1 η2 = 3 5 λ = −3 : η1 = 5 , 2 λ = 6: γ = 3 5 2 0
= ( λ + 3) [ (λ + 2)(λ − 5) − 8 ] = (λ + 3) (λ 2 − 3λ −18)
= (λ + 3)(λ + 3) (λ − 6)
− A的特征值： 3, −3,6 的特征值：
−2 2 2 x 用坐标变换化简方程 ( x y z ) 2 1 4 y = −1 2 4 1 z 2 λ E − A = ( λ + 3) ( λ − 6)