高中数学必修5精品课件专题-数列求和
A版必修5数列求和PPT课件
2n 1 2n 1
Hale Waihona Puke 1 (1 1 ) 2 2n 1
∵ (an an 1) 0
∴ (an an 1 2) 0
∴ an 2n 1
(2)当n=1时, a1 S1 1 (a1 1)2 4
得 a1=1
bn
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
Tn 1 (1 1 1 1 ... 1 1 )
2 335
Sn=
a1(1 qn) 1 q
尝试应用
1、有限数列A={a1,a2,a3…an},Sn为其前 n项和,定义 S1 S2 ... Sn 为A的
n
“凯森和”,如有500项的数列,a1, a2…a500的“凯森和”为2004,则有501项 的 A数—列2020,2 a1,Ba22…00a4500的“C凯森20和06”为—D—2008
n(n 1)a
3、求和
Sn 1 3x 5 x2 7 x3 ... (2n 1) xn1, (x 0)
(1)x=1时,Sn=n2 (2)x≠1时
S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x·S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
a [n (q q2 ... qn)]
1 q
a [n q(1 qn) ]
1 q
1 q
na aq(1 qn) 1q 1q
反馈练习2答案
(1)当n≥2时, an Sn Sn 1 1 [(an 1)2 (an 1 1)2] 4
高中数学人教A版必修5数列数列求和(二)PPT课件
解得
,
或
,
舍 解得 ,即数列 的通项公式
;
,
数列 的前 n 项和
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 (二)P PT课件
.Hale Waihona Puke 高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 (二)P PT课件
练习:已知数列 的前 n 项和 Ⅰ 求 的通项公式;
.
Ⅱ记
,求数列 的前 n 项和.
解: Ⅰ 数列 的前 n 项和
通项是什么?
=2(1-n+1 1)=n2+n1.
高中数学人教A版必修5数列数列求和 (二)P PT课件
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 (二)P PT课件
练习:在各项均为正数的等比数列
中,
求等比数列 的通项公式;
,且 ,
成等差数列.
若数列 满足
,求数列 的前 n 项和 .
解: 设数列列
的公比为 q,
,可得
;
时,
上式对
也成立,则
,
Ⅱ
则数列 的前 n 项和为
.
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 (二)P PT课件
,
;
高中数学人教A版必修5数列数列求和 (二)P PT课件
裂项相消法求和法(拆项法):
适用于分式的形式把一项拆成两个分式差的形式,然后再求和.
也就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的 抵消项,进而达到求和的目的。
归纳小结
(1)公式法.
(2)分组化归法.将该数列的通项变形后,每一项拆成两项或多项,重新分组,将一般数列
求和化为特殊数列求和.
(3)并项求和法.(4)错位相减法.(5)倒序相加法.
第二章 数列的通项与求和 课件-高中数学人教A版必修5
所以S=1 xn1 -n 1 xn1
1 x2
1 x
课堂小结
1.公式法: 直接利用等差等比数列的求和公式
2.分组求和法:有一类数列,既不是等差数列,
也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分 为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和, 再将其合并即可. 3.裂项相消法 :把数列的通项拆成两项之差,即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一 些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少 数项之和,这一求和方法称为裂项相消法. 4.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数 列与一个等比数列对应项乘积组成,此时求和可采 用错位相减法.
1)
1 2n
的前n项和.
解:Sn
11 2
+3
1 4
+5
1 8
(2n
1)
1 2n
Sn (1+3+5
2n 1) (1 1 1 248
1 2n
)
n(1 2n 1)
1 2
1
1 2
n
n2
1
1
2
1 1
2n
2
变式训练
变式训练5
求S 1 2x 3x2 4x3 (n 1)xn的值
【解析】1当x=0时,S=1;
r p
·a1n
q +p
.
(3)若 an+1=pan+q(n),
则:
an+1 pn+1
=
an pn
+
q(n) pn+1 .
题型三 构造转化法
例 4 已知数列 an 中, a1 1, an1 2an 1(n N *), 求 an
数学必修五课件等比数列求和课件
a1 a qn1 ) q (S an an1nq 1
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和
Sn a1 a2 a3 an1 an
an a2 a3 q a1 a2 an1 a2 a3 an q a1 a2 an1 S n a1 q 即 S n an
1 a1 2 , S3 14.则q
2或-3
a3 8或18 2 a1 1, a4 216 则 q -6 , S4 185
归纳要熟记公式: an a1q n 1
Sn a1 1 q n 1 q
或
a1 an q Sn q 1 1 q
宣威五中
刘彩云
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d an1 an d
an am (n m)d
an1 an q
an am q
nm
an 1 qs
Sn
mn r s
(m, n, r, s N * )
n为奇数,q为- 1时此法不适用
(1 q)Sn a1 an q
过程分析
引
探
释
练
升
延
a1 (1 q n ) a (1 qqn 1 探 1 q ) 1 S n Sn 究 q na 1 q 1 q 问 1
高三数学一轮复习数列求和(必修5)精品PPT课件
分组转化求和就是从通项入手, 若无通项,则先求通项,然后通过对 通项变形,转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之.
课堂互动讲练
例1 已知数列{an}的前几项是3+2- 1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,写出 数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
课堂互动讲练
1.利用裂项相消法求和时,应 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项,也有可能前面剩两项,后 面也剩两项,再就是将通项公式裂项 后,有时候需要调整前面的系数,使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等.
课堂互动讲练
课堂互动讲练
例2 已知等差数列{an}的首项a1≠0,前n项 和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足 b1=a2,b2=a4.
第4课时 数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 1.公式法 (1)等差数列的前n项和公式
Sn=
=
.
基础知识梳理
(2)等比数列前n项和公式 ①当q=1时,Sn=na1;
基础知识梳理
2.分组转化法 把数列的每一项分成两项,使其 转化为几个等差、等比数列,再求 解. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求 和,正负相消剩下首尾若干项.
课堂互动讲练
课堂互动讲练
课堂互动讲练
【误区警示】 利用错位相减法 求和时,转化为等比数列求和.若公 比是个参数(字母),则应先对参数加 以讨论,一般情况下分等于1和不等于 1两种情况分别求和.
课堂互动讲练
考点四 数列求和的综合应用
对于由递推关系给出的数列,常 借助于Sn+1-Sn=an+1转换为an与an+1 的关系式或Sn与Sn+1的关系式,进而 求出an或Sn使问题得以解决.
高中数学必修5高考一轮复习专题《数列求和》PPT
(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 解答
由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n,
则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,
21-22n 则A= 1-2
思维升华
(1)用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如:
1 n+
n+k=1k(
n+k-
n),nn1+k=1k(1n-n+1 k),裂项后可以产生连续相互抵消的项.
(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面
也剩两项.
审题路线图系列 四审结构定方案 典例 (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-12n2+kn(其中 k∈N*),且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,并求 an; (2)设数列9-22n an的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<4.
题型二 错位相减法求和 例2 (2016·山东)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数 列,且an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; 解答
由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11,满足上式,所以an=6n+5. 设数列{bn}的公差为 d.由aa12==bb12++bb23,,
题型分类 深度剖析
题型一 分组转化法求和 例 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2 n,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式; 解答
当n=1时,a1=S1=1;
n2+n n-12+n-1
高中数学人教A版必修5第2章第5节《数列求和》课件
1 2
(1 2
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 5
1 7
1 1 1 1 ) n n 2 n 1 n 3
••
•
•
Sn
1 2
(1 2
1 3
n
1
2
1) n3
5 12
2(n
2n 5 2)(n
3)
小规律:
裂项相消时,前面剩几项, 对应后面就剩几项;前面剩 第几项,对应后面就剩倒数 第几项;前后至少各写出两 组数。
解:设等差数列an
的首项为a1
,
公差为d, an
1 an1
的前n项和为Tn
3a1a123dd36
ad1
1 1
an n
1 1 anan1 n(n 1)
1 1 n n1
Tn
11
1 2
1 2
1 3
1 1 n 1
n n 1
1 1 1 11 n 1 n n nn1
常见数列的裂项方法
(1)
(3)2 4 6 (4)12 22 32
(5)13 23 33
2n n(n 1)
n2 n(n 1)(2n 1) 6
n3 n2 (n 1)2 4
二.倒序相加法
适用于:如果一个数列 an 中与首
末两项“等距离”的两项之 和等于首末两项的和。
方法:把数列分别正着写和倒着写再 相加。
1 2
an 2n 1
(2)
1
1
anan1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn
1 2
(1
1 3
1 3
高中数学必修5优质课件:数列求和(复习课)
数列求和(复习课)数列求和的常用方法归纳1.公式法(分组求和法)如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差或等比数列,则该数列的前〃项和可考虑拆项后利用公式求解.2.裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律, 即消去哪些项,保留哪些项,常见的拆项公式有:①兀(〃+Q②若仏}为等差数列,公差为必则盘—);③&石+矿闷"等・3.错位相减法若数列{砒}为等差数列,数列{加}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n]f当求该数列的前n项的和时,常常采用将{a n b n}的各项乘以公比g,然后错位一项与{冷乞}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相减法.4.倒序相加法如果一个数列{«…},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加求和法.【冷考龜鰹】题型一分组转化法求和[例1]已知数列{"}:百,2审…,试求{cj的前n 项和.[解]令{"}的前n项和为S n,1 1 1 ⑴ 则S" = l^+2j+3g --------------------------------- 兀+[寸’=(1+2+3+・・・+〃)+ |+|+|+-+^}]H(H +1)2 +亡1_2T2U n(n + l)2 +1一即数列{c“}的前n项和为S”=^M+1—即.[类题通法]当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前〃项和等于拆分成的每个数列前〃项和的和.[对点训练]题型二错位相减法求和"41.求和:S川=3+33+333+…+ 3331 3・解:数列3,33,333,…,3331 3的通项公式«n=|(10M-l). /. s”=s(io—i)+^(io2—1)+…+§(io"—1) =*10+IO? + …+10")一彳=1 10(1 —10")」=匹J 3 入1-10 3 27llu L) 3-题型二错位相减法求和[例2]已知数列仙}的前n项和为S”且S n=2n2+n9 MEN*,数列血}满足a“=41og2〃”+3, neN\(1)求a川,bn;(2)求数列仙•加的前n项和几・[解]⑴由S n=2n2+n t得当"=1 时,©=Si=3;当“M2 时,a n=S n—S n-x = 4n — 1,所以a n=4n — l9 zz WN:由4n — l=a n=41og2^n+3得亦=2"一蔦H^N\丫+忆(£一励=[(L」Z+ …+忆+乙)t?+£]~uZ(l一呻)=l,l~U1Z帀坷“忆•(【一"初+ 一忆•£一㊇)-- M X厶+7 X £=匕乙【_忆・(【一"初 -- z ZXlI + ZX£ + £ = w2冏坷:Nm" 忆•(【一"初=5切商(D甲(?)[类题通法]如果数列仏}是等差数列,{阳是等比数列,求数列{aM的前〃项和时,可采用错位相减法.在写出“S/与“gS屛的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S“一qS“”的表达式.[对点训练]2・已知砒=知求数列仙}的前n项和S n.两式相减得;S" =£+*+* —壬一聶131 nil铲=_——4X3〃T_ n2 2X耳—铲'n _3 2H+32X3n=4_4X3,/e裂项相消法求和[例3]已知等差数列仙}满足:如=7,血+如=26,{a n } 的前n 项和为S”.⑴求冷及s n ;⑵令加=詁不兀EN ),求数列{九}的前n 项和T n . [解]⑴设等暮数列{“”}的首项为S 公差为〃, 由 丁 “3=:7,。
高中数学课件-第5讲 数列求和
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
常用结论
1.一些常见的数列的前 n 项和 (1)1+2+3+…+n=n(n2+1); (2)2+4+6+…+2n=n(n+1); (3)1+3+5+…+2n-1=n2.
8
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
2.几种常见变形 (1)(2n-1)1(2n+1)=12(2n1-1-2n1+1); (2)等差数列{an}(an≠0)的公差为 d(d≠0),则ana1n+1=1d(a1n-an1+1); (3)n(n+1)1(n+2)=12n(n1+1)-(n+1)1(n+2); (4)(2n-1)2(n 2n+1-1)=2n-1 1-2n+11-1.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(2)已知an=2n+n,则数列{an}的前n项和Sn=____________.
Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2(11--22n)+12n(n+1)=2n+1- 2+12n2+12n.
答案:2n+1-2+12n2+12n
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(2)由(1)知 an-23n=(-13)n-1⇒an=2n+(-3 1)n-1, 所以 an+1=2n+1+(3 -1)n,代入①得 Sn=2n3+1-(-61)n-12, 所以 S1+S2+…+S2n=13(22+23+…+22n+1)-16[(-1)+(-1)2+…+ (-1)2n]-22n=13×22-1-222n+2-0-n=22n+2-33n-4.
(3)数列{(n+3)·2n-1}前20项的和为____________.
S20=4·1+5·21+6·22+…+23·219,2S20=4·2+5·22+6·23+…+23·220, 两式相减,得-S20=4+2+22+…+219-23·220=4+2(11--2219)- 23·220=-22·220+2. 故 S20=22·220-2. 答案:22·220-2
高中数学 特殊数列求和课件 北师大版必修5 精品
由等比与等差的前n项和公式求出即可
堂 1、当a=0时有: 练 2、当a=1时有: 习 3、当a≠1时有:
Sn
n2 2
n
Sn
n2 2
n
Sn
a(1 an ) 1 a
1 n 2
n
注:对等比数列,当公比为含字母的常量时要分两 种情况讨论
例例2、求和 Sn
1 23
1 3 4
1 45
(n
1 1)( n
片头
一、复习引入 1、等差数列的前n项和公式
Sn
(a1
an ) n 2
na1
n(n 1) 2
d
2、等比数列的前n项和公式
na1
(q ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
Sn a1(1 qn ) a1 anq (q 1)
1 q
1 q
例1、求和
(x
1 ) (x2 y
1 y2
)
新 (x 0, x 1, y 1)
n 2n
n2 2 2n
课堂小结:
我们今天讲了几种特殊数列求和的常用方法。
1、分组求和法 2、裂项相消法、
3、错位相减法
特殊数列求和,虽没有等差、等比数列求和有公 式可套,但我们还是有一定的规律可寻,我们可 以根据数列的特点来寻求它的一些常用方法,今 天我们讲的
Sn
na1
n(n 2
1)
d
课后针对性练习:
2)
分析:此 数列为特殊数列,其前后两项关系也
不明确,但 通项的分母是两个因式之积,且两
题 数相差为整常数---1 若把通项作适当变形,则解法柳暗花明。
这就是我们今天要讲的特殊数列
解 求和的另一种方法:
裂项相消法