解二元一次方程组的基本思路
二元一次方程组怎么解
二元一次方程组怎么解二元一次方程组是高中数学中的一种基础知识，也是解决实际问题的重要工具。
它由两个包含两个未知数的方程组成，通常可以用代数方法或图形方法求解。
在本文中，我们将讨论二元一次方程组的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 代数解法代数解法是求解二元一次方程组的传统方法。
它的基本思想是通过等式的转化将两个方程中的某一个未知数消去，从而得到只包含另一个未知数的方程，再通过解这个方程得到另一个未知数的值。
最后，再将这个值带入原来的方程中，求出另一个未知数的值。
下面以一个典型的例子来说明。
例1：求解方程组 2x + y = 7 x + y = 4解：观察这两个方程，我们可以发现它们含有相同的未知数y，因此我们可以通过消去y的方法来求解。
为此，我们将第二个方程的等式两边都减去y，得到如下方程：x = 4 - y现在，我们将这个x的值代入第一个方程，得到：2(4 - y) + y = 7化简这个方程，得到：8 - y + y = 7因此，y的值为1。
然后，我们将这个y的值代入第二个方程，得到：x + 1 = 4因此，x的值为3。
因此，这个方程组的解为（x,y）=（3,1）。
2. 图形解法图形解法是另一种求解二元一次方程组的方法，它的基本思想是将两个方程表示成直线的形式，然后通过解直线方程的交点来求解方程组。
具体来说，我们可以将两个方程表示成如下形式：y = -2x + 7 y = -x + 4利用直线的斜率和截距，我们可以画出这两条直线。
这两条直线的交点就是方程组的解。
下图是这两条直线的图像。
从图中可以看出，这两条直线在（3,1）这个点相交。
因此，这个方程组的解为（x,y）=（3,1）。
3. 矩阵解法矩阵解法是一种更为简便和通用的求解二元一次方程组的方法。
它的基本思想是将方程组表示成矩阵的形式，然后通过矩阵的运算求解。
具体来说，我们可以将方程组表示成如下矩阵形式：Ax = b其中，A是一个2×2的矩阵，x和b都是2×1的列向量，分别表示未知数和方程组的常数项。
第二节 二元一次方程组的解法(含答案)...七年级数学 学而思
第二节二元一次方程组的解法1．二元一次方程组的解法基本思路是消元，即通过运用代入法或加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解． (1)代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数例如y，用含另一个未知数如x的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．(2)加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其它方程（组）经常用到的方法．加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，需要把求得的x，y的值用“{”联立起来．2．特殊方程组的解法对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可．(1)系数轮换法：适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变，步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+ y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x- y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值．(2)换元法：适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现；步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值．(3)倒数法：适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式⋅+yx xy步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式,xyyx +然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出x ，y 的值．1．代入消元方法的选择①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个 方程，否则就会 得出“0=0”的形式，求不出未知数的值；②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或一1时，用代入法较简便． 2．加减消元方法的选择①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相 等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用 加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同的方程，再用加减消元求解，例1．如果关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( )54.<<-a A 5.>a B 4.-<a C D ．无解检测1．（浙江绍兴期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=-,52253a y x ay x 若x ，y 的值互为相反数，则a 的值为( )5.-A 5.B 20.-C 20.D例2．（四川南江县期末）已知,0)112(|32|2=+++--y x y x 则（ ）⎩⎨⎧==12.y x A ⎩⎨⎧-==30.y x B ⎩⎨⎧-=-=51.y x C ⎩⎨⎧-=-=72.y x D检测2．（山东滨州期末）已知,0|72|)12(2=-++--y x y x 则=-y x 3（ ）3.A 1.B 6.-C 8.D例3．（湖北黄冈期末）若y x h y xb a ba -+--332243是同类项，则b a -的值是（ ）0.A 1.B 2.C 3.D检测3．若y x nm +243与n m y x -5是同类项，则m ．n 的值分别是( ) 3,2.A 1,2.B 0,2.C 2,1.D例4．（湖南衡阳县一模）解方程组：⎩⎨⎧=+=+,604320122016604120162012y x y x 则yx yx -+值是3.A 3.-B 6.C 6.-D检测4．(1)（江苏海门市期末）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4222y x y x 那么=+y x(2)（安徽泗县校级模拟）关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +,1=则k=例5．（河北古冶区一模）已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,283b a b a 则=+b a2.A3.B4.C5.D检测5．(1)（河北模拟）已知e 、f 满足方程组⎩⎨⎧=-=--,6223e f f e 则f e +2的值为（ ）2.A 4.B 6.C 8.D(2)（广东广州中考）已知a ．b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,43125b a b a 则b a +的值为第二节 二元一次方程组的解法（建议用时：35分钟）实战演练1．用加减法解方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 中，消x 用 法，消y 用 法( )A.加，加 B ．加，减 C ．减，加 D ．减，减2．若用代入法解方程组⎩⎨⎧+==,12332y x yx 以下各式代入正确的是( )1)32(23.+=x x A 1)32(23.+=y x B1)23(23.+=x x C 1623.+⋅=x x x D3．若,0|52||12|=--+--y x y x 则x+y 的值为( )4.A5.B6.C7.D4．已知：|32|++y x 与2)2(y x +互为相反数，则=-y x （ ）7.A 5.B 3.C 1.D5．（山东临清市期末）已知方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 24中x ，y 相加为0，则m 的值为（ ）2.A 2.-B 0.C 4.D6．（河北石家庄校级模拟）若方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的解x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ）2.-A 0.B 2.C 4.D7．若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x &的解也是方程103=+ky x 的解，则（ ）6.=k A 10.=k B 9.=k C 101.=k D 8．若3243y x b a +与ba y x -634的和是单项式，则=+b a （ ） 3.-A 0.B 3.C 6.D9．按如图8 -2—1所示的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( )128--2,5.-==y x A ⋅-==3,3.y x B 2,.4.=-=y x C 9,3.-=-=y x D10.（山东临沂中考）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4252y x y x 则y x -的值为（ ）⎩⎨⎧==12.11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+04by ax by ax 的解，那么=+-))((b a b a 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-123225m y x my x 的解x ，y 互为相反数，则m=13.（江苏常州期末）若关于x ，y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+22132y x a y x 的解满足x+ y=l ，则a 的值为14.三个同学对问题“若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,43y x 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”，参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．15.（“信利杯”竞赛题）已知：a ，b ，c 三个数满足,31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+a c ca 则ca bc ab abc++的值为 16.（重庆校级自主招生）解方程组：⎩⎨⎧=+=+200320042005200620052004y x y x17.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x18．已知方程组⎩⎨⎧+=---=+ay x ay x 317的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|2||3|++-a a19.（江苏张家港市期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+12242m y x my x （实数m 是常数）．(1)若x+y=1，求实数m 的值；(2)若,51≤-≤-y x 求m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：.|32||2|-++m m20.（黑龙江讷河市校级期末）已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解x ，y 均是正数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|4||54|--+a a拓展创新21．解方程组：⎩⎨⎧==+44y -3x 23y x 2拓展1．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+443232y x y x 拓展2．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+41432132x y xy x y xy极限挑战22.（全国初中数学竞赛）若,0634=--z y x ),0(072=/=-+xyz z y x 则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于( )21.-A219.-B 15.-C 13.-D课堂答案培优答案。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。
而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。
解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。
它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。
将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。
因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。
将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。
因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。
三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。
它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。
解二元一次方程组的常见方法与技巧
解二元一次方程组的常见方法与技巧解二元一次方程组是代数学中的基本概念之一。
在学习代数学的过程中，我们常常会遇到需要解决二元一次方程组的问题。
本文将介绍解二元一次方程组的常见方法与技巧，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
1. 直接代入法直接代入法是解二元一次方程组最简单直接的方法之一。
当方程组中的一元系数非常容易消除时，我们可以使用直接代入法解决方程组。
以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：```2x + y = 5x - y = 1```我们可以将第二个方程中的 x 表达式替换到第一个方程中，即将 x - y 的 x 表达式替换为 1 - y，得到：```2(1 - y) + y = 5```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。
2. 消元法消元法是解二元一次方程组最常用的方法之一。
当方程组中的一元系数相等或相差一个常数时，我们可以使用消元法求解方程组。
以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：```2x + 3y = 74x - y = -3```我们可以通过将两个方程相加或相减，消去一个变量的系数。
若我们将第一个方程乘以 2 后与第二个方程相减，则可以消去 x 的系数，得到：```6y = 17```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。
3. 代入法代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
当方程组中的一元系数不易消去时，我们可以使用代入法求解方程组。
以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：x + 2y = 43x - 2y = 1```我们可以通过将一个方程中的一个变量表达式替换到另一个方程中，得到一个只包含一个变量的方程。
例如，我们将第一个方程中的 x 表达式替换到第二个方程中，即将 x 的表达式替换为 4 - 2y，得到：```3(4 - 2y) - 2y = 1```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是指包含两个未知数和两个方程的方程组。
解二元一次方程组的常用方法有消元法、代入法和矩阵法等。
下面将分别介绍这三种方法的步骤和应用。
一、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法，它的基本思想是通过消去一个未知数，从而将方程组转化为只含一个未知数的一次方程，进而求解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 通过等式的加减消去一个未知数。
选择其中一个方程，将其系数乘以另一个方程中与其同未知数的系数的相反数，然后将两个方程相加或相减，消去该未知数。
2. 获得新的一次方程，其中只含有一个未知数。
3. 解新的一次方程，求得该未知数的值。
4. 将求得的未知数值代入原方程中，求得另一个未知数的值。
5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。
二、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程，从而将方程组转化为只含一个未知数的方程，进而求解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 选择一个方程，将其一个未知数表示为另一个未知数的函数，例如将（1）中的 x 表示为 y 的函数：x = f(y)。
2. 将函数表达式代入另一个方程（2），得到只含有一个未知数 y的一次方程。
3. 解这个一次方程，求得 y 的值。
4. 将求得的 y 值代入第一个方程（1），求得 x 的值。
5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。
三、矩阵法矩阵法是用矩阵运算的方法解二元一次方程组，它的基本思想是将方程组转化为矩阵方程，通过对矩阵的运算得到解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）将方程组表示为矩阵形式：⎛ a₁ b₁⎞⎛ x ⎞⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ a₂ b₂⎠ * ⎝ y ⎠ = ⎝ c₂⎠利用矩阵的逆矩阵，可以得到未知数向量的值：⎛ x ⎞⎛ a₁ b₁⎞⁻¹⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ y ⎠ = ⎝ a₂ b₂⎠⎝ c₂⎠通过计算矩阵的逆矩阵，可以求得未知数的值。
5.2-加减消元法解二元一次方程组
6 7y 9 7y 96 7y 3 3 y 7
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
异加
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
①
② 同减
3x 5 y 21 2 x 5 y -11
6x-5y=17②
1. 用加减法解方程组
应用（B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤， 并给予订正： 7x－4y＝4 ①
加减法
(4)
9x-5y=1 6x-7y=2
加减法
⑴ 如果方程组的两个方程中某一未知数的系数相等或者 互为相反数时，把两个方程的两边分别 相减或相加 ， 消去一个未知数，得到一元一次方程，解这个方程得一 个未知数的值。将求得的未知数代入其中一个方程得另 一个未知数的值，从而解得方程组的解。同减异加 ⑵如果方程组中某一未知数系数绝对值均不相等时，把 一个或两个方程两边 乘以一个适当的数 ， 使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为上述类型方 程组求解。 特别的，当一个方程中某未知数的系数是另一个方程同 一未知数的系数 的倍数时 ，加减消元法比较合适。
(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入 每一个方程看是否成立.
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c ( .等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
总结解二元一次方程组的方法与技巧
总结解二元一次方程组的方法与技巧解二元一次方程组是初中数学课程中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
在学习解二元一次方程组的过程中，我们需要熟练掌握一系列的解题方法和技巧。
本文将总结解二元一次方程组的方法与技巧，并带你深入了解解题过程。
一、方法一：代入法代入法是解二元一次方程组中最常用的方法之一。
其基本思路是将一个方程中的一个变量表示出来，然后带入另一个方程中进行求解。
以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x + y = 7{ x - y = 1解法：首先，将第二个方程稍微变形，得到x = y + 1。
然后，将这一表达式代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 7。
化简后得到3y = 5，进而解得y = 5/3。
将y的值代入x = y + 1中，可求得x = 8/3。
因此，方程组的解为{x = 8/3，y = 5/3}。
二、方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的核心思想是通过加减乘除操作，将方程组化成较简单的形式，进而求解未知数。
以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x - 3y = 8{ 3x + 2y = 17解法：首先，将两个方程的系数对应乘上合适的常数，使得两个方程的x的系数相等或者y的系数相等。
这里我们可以将第一个方程乘以2，将第二个方程乘以3，得到如下方程组：{ 4x - 6y = 16{ 9x + 6y = 51然后，将第二个方程减去第一个方程，得到13x = 35。
进而解得x = 35/13。
将x的值代入第一个方程中，可求得y = -4/13。
因此，方程组的解为{x = 35/13，y = -4/13}。
三、技巧一：消元法的选择在应用消元法解题时，我们可以通过合理的选择消元顺序，简化计算过程。
一般来说，我们应选择将系数较小的方程乘以合适的常数，使其与系数较大的方程的系数相等。
这样可以避免出现过大的计算结果，提高解题效率。
四、技巧二：检验解的合理性在解二元一次方程组后，我们需要检验解的合理性，以验证求得的解是否正确。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
1.消元解法“消元”是解二元一次方程组的基本思路。
所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。
这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。
代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.。
这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
2．加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
例谈解二元一次方程组中的数学思想方法
例谈解二元一次方程组中的数学思想方法成晓明解二元一次方程组的基本思想是消元，求解的主要方法是代入消元法和加减消元法.但是对于一些比较特殊的方程组，仅有这些方法是不够的，下面结合一些典型的例题进行分析，向同学们介绍几种解二元一次方程组常用的思想方法.一、转化思想例1解方程组5x+y=6，①3x-2y=1.②【解析】观察方程组中x、y的系数的特点，可以将方程①变形为y=6-5x③，然后将③代入②，消去y，得到关于x的一元一次方程，先求出x，进而再求出y的值.或者将方程①×2+②消去y，然后得到关于x的一元一次方程求解.例2解方程组7x-11y=7，①17x-13y=-7.②【解析】观察方程组中x、y的系数，既不简单，也不存在倍数关系，用代入消元法和加减消元法数据都相对复杂，再次观察系数，发现①+②可得24x-24y=0，化简得x=y③，再利用代入消元法求解就非常简单了.说明：转化思想就是将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识、研究新问题的常用的基本方法.解二元一次方程组实际上就是通过“消元”（代入消元、加减消元）的手段化“二元”为“一元”.二、整体思想例3解方程组3x-2（x+2y）=3，①11x+4（x+2y）=45.②【解析】方程①和②中都含有（x+2y），可以将（x+2y）看作一个整体，①×2+②，从而消去（x+2y），达到消去y的目的.例4解方程组3x+2y-2=0，①■-2x=-3.②【解析】方程①和②中都含有（3x+2y），可以将（3x+2y）看作一个整体，把方程①变形为3x+2y=2③，然后将方程③代入方程②，从而消去（3x+2y），达到消去y的目的.说明：解数学题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个小问题，然后逐一解决.然而这种思考方法常常导致解题过程繁杂，运算量大.这时可将注意力和着眼点放在其问题的整体上，突出对问题整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握并解决问题，这就是整体思想.三、数形结合思想例5如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，求其中每一个小长方形的面积.【解析】图形中隐含着长和宽的两个关系：一是每块小长方形地砖的长是宽的3倍，二是长与宽的和为60厘米，由此可以设未知数并列方程求出地砖的长和宽，进而求出每一个小长方形的面积.例6小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的矩形，如图（1）所示.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形.咳！怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！你能求出小长方形的长和宽吗？【解析】本题中有两个未知量：长方形的长与宽，而小明和小红的两个拼图恰好给出了两个等量关系：图1中得到：长×3=宽×5，图2中得到：宽×2-长=2，由此可以设未知数并列方程求出长方形的长和宽，说明：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化.几何问题代数化.上面所举的两例都是巧妙地运用拼图，建立起小长方形的长与宽的关系，将数与形有机结合起来，突破了用语言描述数量关系的常规，突出了数形结合思想的应用.四、类比思想例7已知方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.请你用较简便的方法解方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9.【解析】如果将方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9中的（a-1）、（b+2）看做是一个整体，那么a-1=x，b+2=y，因为方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.所以a-1=2.3，b+2=1.2.这样就可以求出方程组的解了.说明：在平时的数学学习中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习，类比思想其实就是知识的迁移，就是一类问题的解决方法对另一类问题的影响，在学习的过程中，我们应当注意迁移意识的培养.例8有同学在解方程组22x+27y=4，7x+9y=3时，采用了如下的解法：原方程组化为x+3（7x+9y）=4，①7x+9y=3.②将②代入①得x+3×3=4，所以x=-5，把x=-5代入②求得y=■，所以原方程组的解为x=-5，y=■.请你用这种方法解方程组3x+5y=2，①11x+20y=6.②【解析】方程②可以变形为4（3x+5y）-x=6③，然后把方程①代入方程③，这样就可以达到消去y的目的.说明：数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想.类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使知识的记忆变得自然和顺畅，从而可以激发起学习的创造力.五、换元思想例9解方程组4（x+y）-5（x-y）=2，■+■=6.【解析】设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组4m-5n=2，■+■=6.方程组形式较为简单，可以先求出m、n，再求出x、y.说明：换元法通过用一个字母表示一个整体的方法进行变量的替换，将问题进行转化，从而起到化繁为简、化难为易的目的.。
二元一次方程组求解题技巧
二元一次方程组求解题技巧解二元一次方程组的方法有多种，可以通过代入法、消元法、等价变形法等进行求解。
下面我将简要介绍一些解二元一次方程组的基本技巧。
1. 代入法：代入法是最直观也最简单的一种求解二元一次方程组的方法。
具体做法是将其中一个方程中的一个变量用另一个方程中的一个变量表示出来，然后将代入到另一个方程中进行求解。
例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)选取第一个方程中的x或y作为参数，将其代入到第二个方程中可以得到：4x - (7-2x)/3 = 1解方程得到x的值，然后将x的值代入到第一个方程中即可得到y的值。
2. 消元法：消元法是通过消去一个变量，将二元一次方程组化成只含有一个变量的一元一次方程，从而求解出另一个变量的值。
具体做法是通过适当的加减或乘除运算使得两个方程的系数相等或相差一个常数倍，然后两个方程相减或相加消去一个变量。
例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)将第二个方程乘以2，得到：8x - 2y = 2 ----(3)将(1)与(3)相减，即可消去变量x，然后求解y的值。
将y的值代入到任一方程中，即可求解出x的值。
3. 等价变形法：等价变形法是通过对方程组进行合理的变形，使得方程形式更简化或更容易代入相互消去，从而得到方程组的解。
具体做法是通过合并同类项，移项以及对方程进行等号互换等方式使方程组求解更方便。
例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)将方程(1)乘以2，得到：4x + 6y = 14 ----(4)将(4)和(2)相加，得到：10y = 15解方程可以得到y的值，然后将y的值代入到方程(1)或(2)中求解出x的值。
总结：解二元一次方程组可以灵活运用代入法、消元法和等价变形法等多种方法。
在运用时需要根据具体的方程组形式和求解的需要选择合适的方法。
二元一次方程组的解法全面版
把②变形得：x
5y 11 2
代入①，不就消去 x了！
把②变形得 5y2x11
可以直接代入①呀！
小
明
小丽
5 y和 5y
互为相反数…… 小彬
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
思路
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
§4.3 二元一次方程组的解 法(二)
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
1. 变
2. 代3. 解 4.写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
问 题 怎样解下面的二元一次方程组呢？
试一试
用加减消元法解下列方程组.(你
可以选择你喜欢的一题解答)
7x-2y=3 9x+2y=-19
6x-5y=3 6x+y=-15
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ① 当方程组中两方程未知数系数不
3x 4y 17 ②
具备相同或互为相反数的特点时 要建立一个未知数系数的绝对值
5x-6y=9 7x-4y=-5
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减
同一个未知数的系
数相同或互为相反数 消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、消元法解二元一次方程组：(1) 基本思路：未知数又多变少。
(2) 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
6.解法：通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。
例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y ③把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7把y=59/7带入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解加减消元法：例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+② 2x=14即 x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解7. 二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6① 2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
解二元一次方程组的方法总结
解二元一次方程组的方法总结在数学中，二元一次方程组是由两个未知数的两个一次方程组成的方程组。
解二元一次方程组可以通过多种方法进行，本文将对常用的三种方法进行总结：代入法、消元法和Cramer法。
一、代入法代入法是解二元一次方程组中最基本的方法之一。
其基本思路是先解出其中一个方程中的一个未知数，然后将该未知数的值代入另一个方程中求解另一个未知数。
具体步骤如下：1. 选择一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数。
2. 将该表示式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的一次方程。
3. 解出该未知数的值。
4. 将得到的未知数的值代入步骤1中找到的表示式中，求解另一个未知数。
二、消元法消元法是解二元一次方程组中常用的一种方法。
其基本思路是通过适当的运算将方程组中的一个未知数的系数相消，从而转化为只含有一个未知数的方程。
具体步骤如下：1. 比较两个方程中未知数的系数，选择一个系数相等的未知数，使其相加或相减后系数为0。
2. 将两个方程中选中的未知数相加或相减，消去该未知数的项，得到只含有一个未知数的一次方程。
3. 解出该未知数的值。
4. 将得到的未知数的值代入其中一个原始方程中，求解另一个未知数。
三、Cramer法Cramer法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它利用了行列式的性质进行求解。
该方法的主要思路是构建一个系数行列式，通过计算行列式的值来求解未知数。
具体步骤如下：1. 根据方程组的系数，构建一个增广矩阵。
2. 计算增广矩阵的系数行列式和各个未知数对应的余子式。
3. 将系数行列式除以未知数对应的余子式，得到各个未知数的值。
总结：解二元一次方程组的方法有代入法、消元法和Cramer法三种常用方法。
对于不同的情况，选择合适的方法可以更高效地求解方程组。
在实际应用中，针对具体问题的特点和要求选择合适的方法进行解题，可以提高解题的效率和准确性。
通过本文对这三种方法的总结，相信读者能够更好地掌握解二元一次方程组的技巧，提高解题能力。
(完整版)二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。
二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5 ③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
二元一次方程组的8大解题方法,应用题的克星
二元一次方程组的8大解题方法，专治各类应用题！二元一次方程大战应用题一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
（第一中考网）3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。
典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
如何求二元一次方程
如何求二元一次方程如何求解二元一次方程一、引言二元一次方程是数学中常见的一类方程，由两个未知数和一次项组成，形如ax+by=c。
在实际生活中，二元一次方程可以用来描述两个变量之间的关系，解二元一次方程可以帮助我们求得未知数的具体取值，从而解决实际问题。
本文将介绍如何求解二元一次方程的方法。
二、方法一：代入法代入法是解二元一次方程的常用方法之一。
其基本思路是用一个方程的解代入另一个方程，从而将两个未知数减少为一个未知数，进而求解。
具体步骤如下：1. 确定两个方程，将它们写成标准形式，即ax+by=c。
2. 选取其中一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，例如将x表示成y的函数或将y表示成x的函数。
3. 将该函数代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
4. 解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值。
5. 将该未知数的值代入代入法中选取的方程中，求得另一个未知数的值。
例如，我们有以下方程组：2x+y=73x-2y=4选取第一个方程，将x表示成y的函数：x = 7-2y将x代入第二个方程：3(7-2y)-2y=4化简得到一个只含有y的方程：21-6y-2y=4解这个方程得到y的值：y=3将y的值代入第一个方程中，求得x的值：2x+3=7，解得x=2因此，该二元一次方程组的解为x=2，y=3。
三、方法二：消元法消元法是另一种常用的解二元一次方程的方法。
其基本思路是通过适当的运算，将方程组中的未知数的系数相消，从而得到一个只含有一个未知数的方程，进而求解。
具体步骤如下：1. 确定两个方程，将它们写成标准形式，即ax+by=c。
2. 通过适当的运算，将两个方程相加或相减，使得其中一个未知数的系数相消。
3. 得到一个只含有另一个未知数的方程。
4. 解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值。
5. 将该未知数的值代入消元法中选取的方程中，求得另一个未知数的值。
以前述的方程组为例，我们可以通过消元法求解：2x+y=73x-2y=4将第一个方程乘以2，得到2(2x+y)=2(7)，化简得到4x+2y=14将第二个方程乘以3，得到3(3x-2y)=3(4)，化简得到9x-6y=12将这两个方程相加，得到13x=26，解得x=2将x的值代入原方程中，求得y的值：2(2)+y=7，解得y=3因此，该二元一次方程组的解为x=2，y=3。
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代入 2
2 代入得12-5y+3y=6 代入
看成一整体。 把2x看成一整体。我们还可以利用还元的方 看成一整体 如本题中我们可以设2x=a则原方程组变为 : 则原方程组变为 如本题中我们可以设 a+5y=12 a+3y=6
我们用整体代 入来解下列方 程
4s+3t=5
(1)
1
(2)
2
x-2=2(y-1) 2(x-2)+y-1=5
x = 5, 所以原方程组的解为： 所以原方程组的解为： y = 3.
代入消元法的一般步骤
代入消元 的步骤
将其中一个方程的某个未知数用含另一个未 知数的代数式表示出来， 知数的代数式表示出来，并代入另一个方程 从而消去一个未知数， 中，从而消去一个未知数，化二元一次方程 组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为 组为一元一次方程 这种解方程组的方法称为 代入消元法，简称代入法 代入法. 代入消元法，简称代入法
1 2
2s-5t=-5
2
1 2
× 我们也可以设x-2=a 我们也可以设 将方程组换成关于a 将方程组换成关于 和y的方程组 的方程组
小结
代入消元
将一个方程变形成 用一个未知数表式 另一未知数的形式 代入另一个方程中
整体代入
还元法
二元一次方程组的解法
第二课时
解二元一次方程组的 思路是什么？ 思路是什么？
解二元一次方程组的基本思路 是消元， 二元”变为“ 是消元，把“二元”变为“一 元”
x + y = 8 ,① 5 x + 3 y = 34 .②
解 8－ 由 ① 得 ： y = 8 － x. 将③代入②得： 代入② 5x+3(8－x)=34. － 解得： 解得：x = 5. 代入③ 把x = 5代入③得：y = 3. 代入 ③
代入 1 得 4s+3(5+2s)=5 s=-1 得 t=3
解这个方程得 将s=-1代入
X=5 ห้องสมุดไป่ตู้ y=2 3
t=3 S=-1
方程组的解是
用代入消元法解方程组
3x+4y=16
(1)
解法二由
1 2 1
得
y= 16 − 3 X
5x-6y=33
解法一 由 1 得
4
代入
2
得
16 − 3 X 5X-6×
=33 4 20x-6(16-3x)=33 x=6
16 − 4 y X= 3
代入 2
16 − 4 y 的5× -6y=33 3
5×(16-4y)-18y=99
1 y=- 2
(2)
2x+5y=12 2x+3y=6
1 2
12 − 5 y 由 1 得x=
2 本题在解法二中利用了整体代入的方法， 本题在解法二中利用了整体代入的方法，就是
1 得2x=12-5y 由 由得2x=12-5y
x − 2 y = 1, 2 x + 3 y = 16;
解：由 将
3 1
1 2
4 s + 3t = 5, 2 s − t = −5;
解：由 将
3 2
1 2
得x=1+2y
3
得 t=5+2t
3
代入 得 2(1+2y)+3y=16 2+4y+3y=16 7y=14 y=2 将y=2代入 3 得 x=5 ∴ 方程组的解是
1、熟练的运用代入消元法解二元一次方程组 、
2、体会整体代入 、
将下列方程改成用含x的式子表示 将下列方程改成用含 的式子表示y 的式子表示
3x-y=10 5y-2x=11 y=3x-10
11 + 2 x y= 5
2x+5y=7 4x-3y=5
7 − 2x y= 5
4x − 5 y= 3
解下方程组