第4章生成排列和组合

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组合数学第五版答案

组合数学第五版答案简介《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。

组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。

它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。

本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。

通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。

目录•第一章：基本概念和方法•第二章：排列组合•第三章：图论•第四章：生成函数•第五章：递推关系•第六章：容斥原理第一章：基本概念和方法1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。

2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。

3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。

第二章：排列组合1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。

2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。

第三章：图论1.习题1：证明图论中的握手定理。

2.习题2：解决图的着色问题。

第四章：生成函数1.习题1：利用生成函数求解递推关系。

2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。

第五章：递推关系1.习题1：求解递推关系的通项公式。

2.习题2：应用递推关系解决实际问题。

第六章：容斥原理1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。

2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。

结论通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。

组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。

注：本文档中的习题答案仅供参考，请读者在独立思考和解答问题时加以思考和验证，以深入理解组合数学的核心概念和方法。

组合数学(引论)

第 22 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法）
（与德拉鲁布方法类似）与德拉鲁布方法类似）
ϕ 将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后置正中央上方，继数；继数；到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； κ 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列；其余情况放正上方正上方2格 λ 其余情况放正上方格。
第 4 页
Morgan定理 3.1 De Morgan定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.4 棋盘多项式与有限制条件的排列 3.5 有禁区的排列 3.6 广义的容斥原理 3.7 广义容斥原理的应用第二类Stir1ing Stir1ing数的展开式 3.8 第二类Stir1ing数的展开式 3.9 欧拉函数 3.10 n对夫妻问题 Mobius反演定理 3.11 Mobius反演定理 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 3.14 鸽巢原理的推广 Ramsey数 3.15 Ramsey数
结束
1. 棋盘的覆盖
1. 棋盘的覆盖
第 15 页
结束
1. 棋盘的覆盖
1. 棋盘的覆盖 1.
2.切割立方体
第 16 页
结束
2. 切割立方体
2. 切割立方体
一个边长为3的立方体，要切割成个边长为个边长为1 一个边长为的立方体，要切割成27个边长为的立方体的小立方体，问至少要切割几次？的小立方体，问至少要切割几次？
构造5阶幻方阶幻方。例. 构造阶幻方。
11 23 5 17 24
19 6 18 25 12
7 14 1 13 20
15 2 9 21 8
3 10 22 4 16
结束

人工智能第4章图搜索技术

OPEN表的首部，转步2。
例4.4 对于八数码问题，应用
深度优先搜索策略，可得如图4—
6所示的搜索树。
283
深度优先搜索亦称为纵向搜 1 4 765
索。由于一个有解的问题树可能
含有无穷分枝，深度优先搜索如
果误入无穷分枝(即深度无限,但
解不在该分支内)，则不可能找到
目标节点。所以，深度优先搜索
策略是不完备的。另外，应用此
例4.6 设A城是出发地，E城是目的地，边上的数字代表两城之间的交通费。试求从A到E最小费用的旅行路线。
B 4
6
A
3
4
A
E
C 3
D1
3
4
D2 23
E1 3
C
D
2
(a)
E2
B2 6
深度优先搜索算法：
步1 把初始节点S0放入OPEN表中；步2 若OPEN表为空，则搜索失败，退出。
步3 取OPEN表头节点N放入CLOSED表中，并冠以顺序编号n；
步4 若目标节点Sg=N，则搜索成功，结束。步5 若N不可扩展，则转步2；步6 扩展N，将其所有子节点配上指向N的返回指针依次放入
2831 14 765
第4章图搜索技术
2 283
14 765
6 83
214 765
7 283 714 65
14 83 214 765
15 283 714 65
22 83 214 765
23 813 24 765
3 23 184 765
8 23
1 84 7 65
9 23 184 765
16 1 23
第4章图搜索技术
步1 把S0放入OPEN表中，置S0的深度d(S0)=0；步2 若OPEN表为空，则失败，退出。步3 取OPEN表头节点N，放入CLOSED表中，并冠以顺序编号n；步4 若目标节点Sg=N，则成功，结束。步5 若N的深度d(N)=dm(深度限制值)，或者若N无子节点，则转步2；步6 扩展N，将其所有子节点Ni配上指向N的返回指针后依次放入OPEN表中前部，置d(Ni)=d(N)+1，转步2。

第4章_创造原理

（二）分类：
根据参与组合的组合因子的性质和主次关系以及组合的方式不同，组合的类型大体可分为以下4 类:
1.同类组合 2. 异类组合 3. 主体附加 4. 重组组合。
1. 同类组合：
●概念：同类组合又叫同类自组，是指由两个或两个以上相同或
近于相同的事物简单叠合。 ●特点：同类组合是在保持事物原有功能或原有意义的前提下，通过数量的增加以弥补功能上的不足或求取新的功能。同类组合往往具有组合的对称性或一致性趋向。
该设计把小音响附加到沙发设计中，其乐融融！
4. 重组组合：
●概念：重组组合，是指在同一个事物的不同层次上分解原来的事
物或组合，然后再以新的方式重新组合起来。 ●特点：如何改变事物内部各组成部分之间的相互位置。从而优化事物的性能，它是在同一事物上施行的，一般不增加新的内容。
例如：
●自螺旋桨飞机发明后，螺旋桨都是设在机首，两翼从机体伸出，尾部安装着稳定翼。美国飞机设计家卡里格· 卡图根据空气净力和气推动原理进行重组设计，将螺旋桨改放在机尾推动飞机前进，稳定翼则放在机头处，制成了头尾倒换的飞机。 ●战国时代田忌赛马的故事亦可生动地说明重组组合的创造思想。齐威王与大将田忌经常赛马，比赛时二人各自拿出上、中、下等马分别对阵。齐王的马每个等级都比田忌的强，所以田忌屡屡败阵。后来军事家孙嫔给田忌出了个主意，让他以下马对齐王的上马，再以上马对齐王的中马，以中马对齐王的下马。结果，田忌以一负二胜战败了齐威王。
●俄罗斯生物学家从母鸭体内取出生长激素基因，与母鸡的基因相结合，
培育出一种既有鸭子特征又保持母鸡原有习性的转基因母鸡。这种转基因母鸡可以像鸭子一样在水中嬉戏觅食，也可以像普通鸡一样在地面正常生活。转基因母鸡所下的蛋中既有鸡蛋的成分又有鸭蛋的成分，因此既有鸡蛋的营养又有鸭蛋的营养，吃起来既有鸡蛋味又有鸭蛋味，口感特别好。

李凡长版组合数学课后习题答案习题4

第四章生成函数1. 求下列数列的生成函数：（1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4}=235(11111)1x x x x x +++-（）（2）343,,,333n +⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭L 解：3n G n +⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭=41(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=（211x-）2. （4）{1,k ,k 2,k 3,…} 解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…=11kx -. 2. 求下列和式：（1）14+24+…+n 4解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为A(x)=235(11111)1x x x x x +++-（）=0kk k a x ∞=∑，此处a k =k 4.令b n =14+24+…+n 4，则b n =0nk k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生成函数为 B(x)= 0nn n b x ∞=∑=()1A x x -=34125(1111)ii i x x x x x i ∞=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 比较等式两边x n 的系数，便得14+24+…+n 4=b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭321(1)(691)30n n n n n =+++-（2）1·2+2·3+…+n (n +1)解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)=32(1)x x -=0kk k a x ∞=∑，此处a k = n (n +1).令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0nk k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成函数为B(x)=nn n b x ∞=∑=()1A x x-=42(1)xx -=032nk kk x x k =+⎛⎫⎪⎝⎭∑. 比较等式两边x n 的系数，便得1·2+2·3+…+n (n +1)= b n =2(1)(2)213n n n n n +++=-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3. 利用生成函数求解下列递推关系：（1）()7(1)12(2)(0)2,(1)7f n f n f n f f =---==⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()n n f n x ∞=∑则有A(x)-f(0)-f(1)x=2()nn f n x ∞=∑=2(7(1)12(2))n nf n f n x∞=---∑=217()12()nnn n x f n x xf n x∞∞==-∑∑=7x(A(x)-f(0))-12x 2A(x).将f(0)=2，f(1)=7代入上式并整理，得22711()(34)17121314n n n x A x x x x x ∞=-==+=+-+--∑. （2）()3(1)53(0)0nf n f n f =-+⋅=⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()nn f n x ∞=∑，则有A(x)-f(0)= 1(3(1)53)n nnf n x ∞=-+⋅∑=03()153nn n n n x f n x x x ∞∞==+∑∑=3xA(x)+15x·113x-.A(x)= 215(13)xx - （3）()2(1)(2)(0)0,(1)1f n f n f n f f =-+-==⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()nn f n x ∞=∑，则有A(x)-f(0)-f(1)x=2(2(1)(2))n nf n f n x ∞=-+-∑=212()()nnn n x f n x xf n x∞∞==+∑∑=2x(A(x)-f(0))+x 2A(x).将f(0)=0，f(1)=1代入上式并整理，得2()12x A x x x =--.4. 设序列{n a }的生成函数为：343(1)(1)xx x x --+-,但00b a =,110b a a =-,……,1n n n b a a -=-,……,求序列{n b }的生成函数.解：由00b a =,110b a a =-,……,1n n n b a a -=-,得0nk n k b a ==∑，所以A(x)=()1B x x-.由此得B(x)=(1-x)A(x)= 3431xx x -+-，亦即序列{n b }的生成函数。

排列组合问题(教案

排列组合问题教案章节：一、排列组合基础教学目标：1. 理解排列组合的概念和意义。

2. 掌握排列和组合的计算方法。

教学内容：1. 排列组合的定义和分类。

2. 排列的计算方法：排列数公式。

3. 组合的计算方法：组合数公式。

教学步骤：1. 引入排列组合的概念，解释其在实际生活中的应用。

2. 讲解排列的定义和计算方法，示例说明。

3. 讲解组合的定义和计算方法，示例说明。

4. 练习题：求解一些简单的排列组合问题。

教学评估：1. 课堂提问：学生能准确回答排列组合的定义和计算方法。

2. 练习题：学生能正确解答给定的排列组合问题。

教案章节：二、排列组合的应用教学目标：1. 掌握排列组合在实际问题中的应用。

2. 能够解决一些复杂的排列组合问题。

教学内容：1. 排列组合在排列问题中的应用。

2. 排列组合在组合问题中的应用。

教学步骤：1. 引入排列组合在实际问题中的应用，举例说明。

2. 讲解排列在排列问题中的应用，示例说明。

3. 讲解组合在组合问题中的应用，示例说明。

4. 练习题：解决一些实际的排列组合问题。

教学评估：1. 课堂提问：学生能理解排列组合在实际问题中的应用。

2. 练习题：学生能解决给定的实际排列组合问题。

教案章节：三、排列组合的拓展教学目标：1. 掌握排列组合的拓展概念和计算方法。

2. 能够解决一些特殊的排列组合问题。

教学内容：1. 排列组合的拓展概念和计算方法。

2. 特殊的排列组合问题的解决方法。

教学步骤：1. 引入排列组合的拓展概念，解释其在实际生活中的应用。

2. 讲解排列组合的拓展计算方法，示例说明。

3. 讲解特殊的排列组合问题的解决方法，示例说明。

4. 练习题：求解一些特殊的排列组合问题。

1. 课堂提问：学生能准确回答排列组合的拓展概念和计算方法。

2. 练习题：学生能正确解答给定的特殊的排列组合问题。

教案章节：四、排列组合的综合应用教学目标：1. 掌握排列组合的综合应用。

2. 能够解决一些综合性的排列组合问题。

《排列与组合》的说课稿

《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。

通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。

本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。

1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。

1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。

二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。

2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。

2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。

三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。

3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。

3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。

四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。

4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。

4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。

五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。

希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。

高中数学排列与组合教案

高中数学排列与组合教案教学目标：1. 理解排列与组合的概念。

2. 能够应用排列与组合的知识解决实际问题。

3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 排列的概念及其性质。

2. 组合的概念及其性质。

3. 排列与组合的应用。

教学过程：第一课时：1. 引入排列与组合的概念，通过实际例子引发学生对排列与组合的认识。

2. 讲解排列的定义和性质，例如排列中元素不重复出现的特点。

3. 给学生布置一些排列练习题，让他们熟悉排列的运算方法和规律。

第二课时：1. 复习排列的概念和性质。

2. 讲解组合的定义和性质，例如组合中元素可重复出现的特点。

3. 给学生布置一些组合练习题，让他们熟悉组合的运算方法和规律。

第三课时：1. 复习排列与组合的概念和性质。

2. 讲解排列与组合的应用，例如在排队、选做题目等实际问题中的运用。

3. 给学生布置一些综合排列与组合的练习题，让他们能够灵活运用排列与组合的知识解决问题。

教学反馈：1. 对学生在排列与组合方面的理解进行总结和反馈。

2. 引导学生思考排列与组合在日常生活中的应用，并展开讨论。

教学评价：通过作业、课堂表现和练习题的表现评价学生对排列与组合的掌握程度和应用能力。

教学延伸：鼓励学生深入学习排列与组合知识，并拓展到更高级的数学领域，如概率论等。

教学资源：教科书、课件、练习题。

教学提醒：教师应注意引导学生通过实例来理解排列与组合的概念，激发学生的学习兴趣和思考能力。

同时，要关注学生的学习状态，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。

组合数学第4章答案

组合数学第4章答案4.1证明所有的循环群是ABEL 群证明：nn ,,**×x ,x m nm na b G G a b b a x xa b b a ++∈==∴=mmm 循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意是循环群，有成立，因为循环群中的元素可写成a=x 形式所以等式左边x 等式右边x ＝，，即所有的循环群都是ABEL 群。

4.2x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m =e ，则称m 为x的阶，试证：C=｛e,x,x 2, …,x m-1｝证：x 是G 的元素，G 满足封闭性所以，xk 是G 中的元素 C ∈G再证C 是群：1、x i , x j ∈C , x i ·x j = x i+j 若i+j<=m-1,则x i+j ∈C若i+j>m,那么x i+j =x m+k =x m ·x k =x k ∈C 所以C 满足封闭性。

2、存在单位元e.3、显然满足结合性。

4、存在逆元，设x a ·x b =e=x m x b =x m-ax a ∈C, (x a )-1= x b =x m-a4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n.证明：设G 是阶为n 的有限群，a 是G 中的任意元素，a 的阶素为k ，则此题要证n k ≤首先考察下列n+1个元素a a a a a n 1432,....,,,+由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G ,，而G 中仅有n 个元素，所以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为aaji i+=（n j ≤≤1）aa ajii*=由群的性质3可知，a j是单位元，即a j=e ，又由元素的阶数的定义可知，当a 为k 阶元素时a k=e ，且k 是满足上诉等式的最小正整数，由此可证n j k ≤≤4.4 若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的幂：a,a2……..an解：设n=p 1a1…….p k ak ，共n 个素数的乘积，所以群G 中每个元素都以用这k 个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有 Φ(n)=n(1-1/p 1)………(1-1/p k )所以群G 中母元素的数目为n(1-1/p 1)………(1-1/p k )个. 4.5证明循环群的子群也是循环群证明：设H 是G=<a>的子群，若H=<e>,显然H 是循环群，否则取H 中最小的正方幂元m a ，下面证明m a 是H 的生成元,易见m a ⊆H ，只要证明H 中的任何元素都可以表成m a 的整数次方，由除法可知存在q 和r,使得l=qm+r,其中0≤r ≤m-1,因此有r a =qm l a -，因为m a 是H 中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出la=mq a }{m a ∈证明完毕。

第四章立体构成的造型形式与方法

（二）软线材
软线材构成的立体看似轻巧却有较强的紧张感，如自然界中典型的软线材形态—蜘蛛网。
二、线材的构成形式
（一）连续构成（二）累积构造（三）线层结构
（四）框架结构
（五）拉伸结构
（六）线织面结构
（七）编结结构
（一）连续构成
线材的连续构成分为限定构成和自由构成两种形式。限定构成是由控制点运动的范围来确定其形态；自由构成是不限定范围，以连续的线做自由构成，使其产生连续的空间效果。表现对象可以是具象的，也可以是抽象的。
（三）切割折叠构成
折切造型就是对面材进行折叠、切割、翻转，以使其成为立体形态的构造方法，体现了从二维平面到三维空间的直接变化。切割折叠翻转的面可以形成丰富的变化，现代设计中常用此方法设计出巧妙的包装和家具结构。
（四）薄壳构成
在立体构成中，将面材通过折曲、插接等方法加工成壳体的形态称为薄壳构造。如自然界中的蛋壳、贝壳等。在实际设计中薄壳造型常被用作大型建筑物的屋顶。薄壳结构有球形壳体和筒形壳体两种。
（二）对比形的积聚
对比形的积聚是指组成空间形态的单位形态是不同的。它可以是在形体切割的基础上进行重新组合而构成新的空间形态，也可以是相近或相似的单位形体的组合。对比的因素有形状、大小、动静、方向、疏密、粗细、轻重等。
第五节综合立体构成
点、线、面、体等形态要素的构成并不是单一不变的，我们可以把两种或多种
半立体构成有两个独特的特点：一是由于受观看角度和视点的局限，半立体造型的体量感、空间层次感及美感只能在相对单一的正面角度展示出来；二是尺度的衡量标准不同，半立体构成的尺度必须在正常尺度的基础上进行相应比例的缩小，这种比例缩小主要体现在深度的塑造上。
一、半立体构成的抽象表现

组合数学(第4章4.3)

一个偏序可以扩张为一个全序。
2021/4/9
23
定理4.5.2 令(X, )是一个有限偏序集, 则存在X上的线性序, 使得(X, )是(X, ) 的一个扩展.
证明：偏序的线性扩展算法，对集合
X={x1,x2,…,xn}的排序问题，满足：若xi xj, 则排序xi先于 xj 。
2021/4/9
2021/4/9
26
例4：X={1,2,3,4,5,6,7,8}, “”定义为整除关系, 确定(X, )的一个线性扩展.
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4
6
2
35
7
1
2021/4/9
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等价关系与划分
定义6: 对于X中每一个元素a, a的等价类定义为所有与a等价的元素构成的集合.记为[a]={x x∈X , x~a }.
2021/4/9
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4.4 生成r-组合
集合{1,2,3,4}的2-组合： {1，2}； {1，3}; {2，3}; {1，4}; {2， 4}; { 3，4}
字典序：令S={1,2,…,n}, 设A，B是S的两个r组合，若AB\AB中的最小整数属于A，则称 A先于B。
2021/4/9
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S的r-组合可写成如下形式：
2021/4/9
8
字典序r-组合生成算法
初始： a1a2…ar＝12…r 当a1a2…ar (nr+1) (nr+2)…n时，Do
1）确定最大整数k, 使得ak+1 n，且ak+1ai (i=1,2,…,r)
2) 用a1a2…ak-1 (ak+1)…(ak+rk+1)替换a1a2…ar.
2021/4/9
…
r)在始a，1a第2…r个ar后元面素存大在于an r1。ar 个组合，从a1a2…ar-1开

组合数学(第四章二项式系数)PPT课件

四个推论
) n
推论4.1.1：如 nN, x,yR,有 (xy)n
n nkxkynk
k0
) ) n
n kxnkykn
n nkxnkyk
k0
k0
) ) 推论4.1.2：如 n N , x R ,有 ( 1 x ) n nn k x k nn n k x k
k 0
k 0
k0
证明：在推论4.1.2中令x=1，即可得证。
利用组合分析，等式左端相当于从A={an}中任意选择k(0≤k≤n)个元素的所有可能数目，即对n个元素，每一个都有被选择和不被
选择的可能，总的可能数为2n。
另外，该等式还表明A的所有子集个数为2n。
2021
8
§§44.1.1二二项项式定式理定推论理2
里都取x，而从剩下的n-k个因子(x+y)中选取y作乘积得到，因此
xkyn-k的系数为上述选法的个数C(n,k)。故有
证毕。
) n
(xy)n
n kxkynk
k0
注：可用数学归纳法证明，证明略；
C(n, k)又称二项式系数。
2021
7
§§44..11二二项项式定式理定推论理1
四个推论
) n
推论4.1.1：如 nN, x,yR,有 (xy)n
) n(n1)(n2)...(nk1) n
k
(k 1)(k 2)...1
k
n1 k 1
knnnknk1
knnkk1kn 1
证：某班有n名同学，要选出k位班委会成员，再选1名作书记，这名书记不可以是班委会成员，问有多少种不同的方案？ 2021
证明：从n名同学中选出k位组成班
委，在k位班委中选1人做班长，问有

机械制图第四章组合体三视图及尺寸注法4

第四节组合体的尺寸标注一、组合体尺寸标注的基本要求
1.尺寸标注要正确正确：是在坚持尺寸标注基本原则的前提下，不仅标注尺寸的格式必须规范、正确，而且标注尺寸的数值不能出现差错，或自相矛盾。
R
Φ
第四节组合体的尺寸标注
一、组合体尺寸标注的基本要求
2.尺寸标注要完整
完整：就是指需要标注的尺寸既不能遗漏、也不能重复，即每个尺寸在视图中只标注一次。
52
90
17
（5）同一视图中平行排列的尺寸，较小的应靠近图形，较大的依次向外排列，以免交叉；同一方向上连续标注的尺寸应排列整齐，或分布在少数几条线上。
第四节组合体的尺寸标注
一、组合体尺寸标注的基本要求
3.尺寸标注要清晰
（6）虚线上一般不标注尺寸。
20
30
20
15
45
22
30 15
10
20
30
在组合体中，当两个或多个基本形体在某一方向等长、等宽或等高时，则在该方向只需标注一个定形尺寸；同一形体上完全相同的结构（如底板上的圆角和圆孔等）也只标注一次。
Ⅱ I
Ⅲ
形体号 I Ⅱ Ⅲ
共计
尺寸数 3
4-1 5-1 12-2=10
第四节组合体的尺寸标注
一、组合体尺寸标注的基本要求
2.尺寸标注要完整
本章小结
一个“目的”：就是根据已给出的组合体三视图和三视图特性，运用读图要领和方法，能够正确、迅速地读懂三视图，想象出组合体的空间形状，并通过不断实践，掌握技巧，逐步提高读图能力。
2xφ10
50 80
第四节组合体的尺寸标注
二、组合体尺寸标注的方法步骤
1.组合体尺寸标注的基本方法

组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件

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§4.2 生成组合
生成组合
4.2.1 基2算法若S是n个元素的集合，元素为{xn-1,...,x1,x0}，则生成组合就是生成S的所有2n个子集。任一子集可以描述成：
(an-1,...,a1,a0)=an-1...a1a0 其中，ai为1或0，表示xi在或不在子集中。
于是S的全部子集可以用0~2n-1的整数来描述，只要生成这些整数，也就得到了所有组合。
其中，0表示空集，2n-1表示S本身。
全排列生成算法
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3. 直接生成全排列的算法
全排列生成算法
[定义]对排列中的每个元素k，赋予其一
个方向：k 或 k 。如果一个整数k的箭头指向一个与其相邻但比它小的整数，则
称k是活动的。
例如，对于：263154
只有6、3、5是活动的。
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显然：
全排列生成算法
a1+a2+...+an 度量了排列的无序程度。
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全排列生
[例]31524的逆序列是1,2,0,1,0。成算法
[结论]对于逆序列，显然有0≤ak≤n-k。且任何一个排列都可确定一个逆序列。
[定理]若b1,b2,...,bn是满足0≤bk≤n-k的整数序列，则存在{1,2,...,n}的唯一的一个排列，其逆序列为b1,b2,...,bn 。
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{1,2,3}的排列
全排列生
1 2 3 成算法 2 31 31 2 32 1 13 2 2 13
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第四章母函数及应用

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一般地，由于
故从n个不同物体中不重复取k个的方法数即为xk的系数。 ⑵从n个不同物体中允许重复选取k个物体的方法数
1+x：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，即至多选取一次； 1+x+x2：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取两次，
即至多选取两次； 1+x+x2+x3+….：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取
例3 现有无穷多个字母A、B、C，求从中取n个字母但必须含有偶数个 A的方式数。
例4 现有2n个A，2n个B和2n个C，求从它们中选取3n个字母的不同方式数。
14:28
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三、指数母函数在排列计数问题中的应用

已知
(1
x)n

n k 0

n k

xk
,
kn
f (x) (x x2 x3)( x x3 x5 ...)(1 x x2 ...)
(2)因为第1、2个盒子装相同个糖果，故装入这两个盒子的糖果总数应为偶数。所以先取2i个糖果，现将它们一分为二分别装入第1、2个盒子。又因为糖果无区别，故每次一分为二的方法仅一种。所以普通母函数为
为序列{a0,a1,a2,…,an,…}的普通母函数. n0
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1
注:
①普通母函数从形式上看是一个无穷级数(幂级数),但没有必要讨论它的收敛性,它实质上是序列的记号,x
为形式变元。对该级数可把它看成形式幂级数,从
而可进行加法、乘法及形式微分等运算,从而构成一个代数体系。
②一个序列和它的普通母函数是一一对应的。
f (x) (1 x2 x4 ...)(1 x x2 ...)

第4章组合体

将一个复杂的物体（组合体）分解为若干个基本形体，对它们各自形状特征、组合方式、相对位置及其表面交线进行投影分析，最后形成整体，这种分析法称为形体分析法。
形体分析法应着重分析组成方式、表面交线。
（1）该组合体由那些基本形体所组成，其组合方式各是什么？
（2）各基本形体之间的相对位置如何？
（3）基本形体之间的各邻接表面的关系如何?是共面、相交还是相切？若相交其交线又处于什么位置？
一、正确地标注尺寸
１００５０
符合GB4458.4-2003要求
４０８０
水平、垂直、大小尺寸的标注
40°
角度、倾斜尺寸的标注
圆、圆弧尺寸的标注
Φ3
5 55
小尺寸的标注
６０６０
二、尺寸标注要完整
1、定形尺寸( 确定几何体的大小尺寸)不遗漏不重复。 2、定位尺寸 (确定各形体或平面之间相对位置的尺寸)不多不少：
组合体的组合形式有叠加和切割两种基本形式，常见的是这两种形式的综合
综合形叠加形
切割形
1）叠加式 — 基本几何形体互相叠合、相切或相贯；
同轴叠加
对称叠加
非对称叠加
2）切割式 — 基本形体被平面截切或开洞、挖槽等；
3）综合式 —— 既有叠加方式，又有切割方式；
4.1.2 组合体的表面连接形式
4.1.3 组合体的形体分析法
为了便于画图，通过分析，将组合体分解成若干个基本形体，并搞清它们之间相对位置和组合形式的方法，称为形体分析法
D
肋板 C
底板
B
A
大圆筒
小圆筒
由若干个基本体(或经切割后的基本体) 组合而形成的物体称为组合体。任何一个复杂的物体，从形体角度来看，总可把它分解成一些基本体来认识。

(第七讲)第4章组合逻辑电路(2)

而四选一数据选择器输出信号的表达式
Y m0 D0 m1 D1 m2 D2 m3 D3
将A、B作为地址输入变量并比较L和Y可得
D0 C、D1 C、D2 0、D3 1
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画出如图所示的逻辑电路图。
39
4.5.3 数据分配器
数据分配器能把一个输入端信号根据需要分配给多路输出中的某一路输出。它的作用实际上相当于一个多个输出的单刀多掷开关。其示意图如图所示。
13
解：对图进行分析，可知：该图将高位片的EO接低位片的EI。当高位片输入端无有效信号输入时， EO=0，使低位片的EI=0，则低位片可以输入信号。当高位片有有效信号输入时，EO=1，使低位片的 EI=1，禁止低位片工作。设13有输入信号，因13输入端为高位片的5脚，此时对应的高位片编码A2A1A0为010、EO=1、 CS=0，低位片的EI=EO=1，所以不工作，此时对应的低位片输出A2A1A0为111、CS=1、EO=1。所以 A3A2A1A0=0010。
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4.4.2二进制译码器
二进制译码器通常有n个输入端，2n个输出端，并且每一个输出端对应一个n个输入端组成的最小项。常见的MSI集成译码器有2线-4线、3线-8线和4线-16 线译码器。
17
由真值表（P88）可得输出逻辑函数表达式：
Y0 A2 A1 A0 Y4 A2 A1 A0
Y1 A2 A1 A0
（2）由于译码器74LS138的各输出端为最小项的非，故将上式转化为以下形式：
F ( A, B, C ) m3 m6 m7 m3 m6 m7 Y3 Y6 Y7
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（3）由上式可画出该函数的逻辑电路图如图所示。

组合数学与图论

● 02
第2章图论基础
什么是图论
图论是研究图结构的数学分支，用于描述对象之间的关系。图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
基本概念
无向图
边没有方向的图
权重图
边带有权重的图
度
节点相连的边数称为节点的度
91%
有向图
边有方向的图
图的表示方法
01 邻接矩阵
02 邻接表
判断图中的节点是否都是连通的
02 组合数学方法
连通性定理和算法可以用于判断和求解
03
总结
组合数学和图论相互结合，能够解决图的同构、着色、匹配和连通性等各种问题，通过组合数学方法的运用，可以更好地探索图论中的难题。
● 04
第四章组合数学与图论在计算机科学中的应用
图数据库与图搜索
图数据库是一种专门用于存储和查询图结构数据的数据库系统。在计算机科学中，图搜索算法如 Dijkstra算法、A*算法等被广泛应用于图数据库的查询和分析，帮助用户快速准确地获取所需信息。
03
● 05
第五章组合数学与图论在统计学中的应用
基于图的统计分析
利用组合数学和图论的方法进行统计学分析，如图的频繁模式挖掘、图数据的聚类分析等。这些方法能够帮助研究人员从大量数据中提取出有用的信息并进行深入分析。
网络数据采样与推断
节点采样
通过在网络中随机选择节点来获
取样本数据
使得相邻节点颜色不同
图的匹配问题
图的匹配问题是指在图中找到一些相互不相邻的边，使得边的数量最大化。组合数学的匹配定理和匹配算法可以用于解决图的匹配问题。
图的连通性问题

《排列与组合》的说课稿

《罗列与组合》的说课稿引言概述：罗列与组合是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将从基本概念、罗列的计算方法、组合的计算方法以及应用举例四个方面详细阐述罗列与组合的相关内容。

一、基本概念1.1 罗列的定义：罗列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序罗列的方式。

1.2 组合的定义：组合是从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。

1.3 罗列与组合的关系：罗列是组合的一种特殊情况，考虑了元素的顺序。

二、罗列的计算方法2.1 全罗列：全罗列是指从一组元素中选取全部元素按照不同的顺序罗列的方式。

2.2 有重复元素的罗列：当一组元素中存在重复元素时，计算罗列的方法需要考虑重复元素的情况。

2.3 部份元素固定的罗列：当一组元素中有一部份元素需要固定位置时，计算罗列的方法需要注意固定位置的元素。

三、组合的计算方法3.1 组合的计算公式：组合的计算可以使用二项式系数进行求解，即C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3.2 有重复元素的组合：当一组元素中存在重复元素时，计算组合的方法需要考虑重复元素的情况。

3.3 部份元素固定的组合：当一组元素中有一部份元素需要固定选择时，计算组合的方法需要注意固定选择的元素。

四、应用举例4.1 数学问题中的应用：罗列与组合在数学问题中往往用于计算可能性、计算概率等。

4.2 实际生活中的应用：罗列与组合在实际生活中也有广泛的应用，比如组织活动的安排、密码的生成等。

4.3 计算机科学中的应用：罗列与组合在计算机科学中有重要的应用，比如算法设计、数据压缩等。

总结：罗列与组合是高中数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们了解了它们的基本概念、计算方法以及应用。

掌握罗列与组合的知识，可以匡助我们解决数学问题、应用于实际生活中的各种情境，并在计算机科学领域中发挥重要作用。

希翼本文能够匡助读者更好地理解和应用罗列与组合的知识。

第4章 生成排列和组合

组合数学第五版答案

组合数学(引论)

人工智能第4章图搜索技术

第4章_创造原理

李凡长版 组合数学课后习题答案习题4

排列组合问题(教案

《排列与组合》的说课稿

高中数学排列与组合教案

组合数学第4章答案

第四章 立体构成的造型形式与方法

组合数学(第4章4.3)

组合数学(第四章二项式系数)PPT课件

机械制图第四章 组合体三视图及尺寸注法4

组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件

第四章 母函数及应用

第4章 组合体

(第七讲)第4章 组合逻辑电路(2)

组合数学与图论

《排列与组合》的说课稿

第4章生成排列和组合

李凡长版组合数学课后习题答案习题4

第四章立体构成的造型形式与方法

机械制图第四章组合体三视图及尺寸注法4

第四章母函数及应用

第4章组合体

(第七讲)第4章组合逻辑电路(2)