受力分析方法之相似三角形的应用

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相似三角形的性质在教育教学中的应用

相似三角形的性质在教育教学中的应用相似三角形是数学中的基础概念之一，具有广泛的应用价值。

在教育教学中，相似三角形的性质不仅可以帮助学生理解几何知识，而且能够培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

本文将以几个具体案例，探讨相似三角形的性质在教育教学中的实际应用。

1. 求解高难度几何问题相似三角形的性质使得我们能够解决一些高难度的几何问题。

例如，给定一个复杂的几何图形，我们需要求解其中一些未知的边长或角度，这时我们可以利用相似三角形的性质进行推断和计算。

通过观察和比较各个三角形的边长比例或角度比例，我们可以利用相似三角形的比例关系得出所需的答案。

通过这种方法，我们能够辅助学生解决一些复杂的几何难题，提高他们的问题解决能力和思维灵活性。

2. 计算高度和距离在实际生活中，我们经常需要计算高度和距离，例如估算一座高楼的高度、测量不可达之处的距离等。

相似三角形的性质可以帮助我们快速并准确地计算这些值。

以估算高楼的高度为例，我们可以利用相似三角形的性质，在合适的位置测量楼影的长度和角度，然后通过相似三角形的比例关系，计算出楼的高度。

这种方法不仅简单高效，而且准确度也比较高，为我们提供了一种实用的计算手段。

3. 测量不可达之处的高度相似三角形的性质还可以应用在测量不可达之处的高度上。

例如，我们常常遇到需要测量河流宽度的情况，但由于河流宽度过大或者无法直接测量，我们无法使用传统的测量工具。

此时，我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。

我们可以选择在河岸上找到一个能够直接测量的高度，再找到一个与之成相似三角形的目标物体，通过相似三角形的比例关系计算出目标物体的高度，从而间接得到河流的宽度。

这种方法充分利用了相似三角形的性质，解决了实际测量中的困难。

4. 做图形缩放和设计相似三角形的性质在图形缩放和设计中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们常常需要根据实际建筑比例进行设计，但我们又无法在纸上或电脑屏幕上直接按实际比例绘图。

《相似三角形的应用》课件

到相似三角形的运用。
力学中杠杆原理和滑轮组设计原理
杠杆原理
杠杆是一种简单机械，通过力矩的平衡来实现力的传递和转换。利用相似三角形原理，可以计算出杠杆两端的力和力臂之间的关系。
滑轮组设计
滑轮组是由多个滑轮组成的复杂机械，可以实现力的方向和大小的改变。利用相似三角形原理，可以分析出滑轮组中各个滑轮之间的受力关系。
光学中镜像和折射现象分析
平面镜成像
当光线碰到平面镜时，会遵循“ 入射角等于反射角”的规律，形成虚像。利用相似三角形原理，可以计算出物体与镜像之间的距
离关系。
透镜折射
透镜可以改变光线的传播方向，形成实像或虚像。利用相似三角形原理，可以分析出光线在经过
透镜前后的路径变化。
凹面镜和凸面镜
凹面镜和凸面镜具有会聚和发散光线的作用，其成像原理也涉及
回顾如何利用相似三角形证明线段比例、角度相等等问题。
强调相似三角形在测量、建筑设计等领域的应用，如利用相似三角形计算高度、距离等。
学生自我评价报告分享
知识掌握情况
01
学生分享自己在本节课中对相似三角形相关知识的理解和掌握
情况。
学习方法与技巧
02
学生分享自己在学习相似三角形时采用的方法和技巧，如记忆
老师点评与总结
老师对学生的讨论和提问进行点评和总结，强调相似三角形的重要性和应用价值，鼓励学生继续深入学习和探索。
感谢您的观看
THANKS
02
相似三角形在几何问题中应用
利用相似三角形解决线段比例问题
通过相似三角形的性质，确定线段之间的比例关系
应用实例：利用相似三角形解决建筑物高度测量问题
利用比例关系，求解未知线段的长度

27.2.3相似三角形的应用举例(2)

点拨：人、标杆和旗杆都垂直于地面．
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面， ∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°， ∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF∥CN，∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，
∴
AM AN
EM CN
.
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆
与人的身高的差EM都已测量出，
C
D
A
P
Q
B
五、课堂小结
谈谈你在本节课的收获.
六、布置作业
1.必做题：教材第43-44页习题
3.备选题：
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高.
∴能求出CN.
∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，
∴四边形ABND为矩形． ∴DN＝AB. ∴能求出旗杆CD的长度．
8.为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
方法一：利用阳光下的影子
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处, 测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
点拨：把太阳的光线看成是平行的.
∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB，
∴∠AEB＝∠CBD.
∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CBD.
∴
AB BE CD BD
.即CD=
S
hA
A'
O BC
B'
C'

相似三角形的应用例析

相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ，将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //，于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）．即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】（1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。

高中物理——相似三角形法在受力分析中的应用(可编辑修改word版)

高中物理——相似三角形法在受力分析中的应用“相似三角形法”指的是在对物体进行受力分析（尤其是准平衡态，即动态平衡过程）时找到两个相似三角形，其中一个三角形的边长表示长度，另一个三角形的边长表示力的大小。

利用相似三角形法可以判断某些力的变化情况。

例题：如图所示，在半径为R 的光滑半球面上高h 处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化。

解：受力分析，不难看出由G 、N 、F 构成的力矢量三角形与由L 、R 、h +R 构成的几何三角形相似，依对应边成比例得：N=G =F 解得N = R G ，F =L GR h +R L h +R h +R又因为R 、h 、G 是恒量，所以N 不变，L 逐渐减小，F 逐渐减小。

例题：如图所示，支架 ABC，其中AB = 2.7m ，AC = 1.8m ，BC = 3.6m ，在 B 点挂一重物，G = 500N ，求 AB、BC 上的受力。

解：受力分析如图所示，杆 AB 受到拉力作用为T AB ，杆 BC 受到支持力为T BC ，这两个力的合力与重力 G 等大反向，显然由矢量G`、TAB、T BC 构造的三角形与图 1 中∆ABC 相似，由对应边成比例AB BC AC得：=T T =G 把代入上式，可解得T AB = 750N ，AB BCTBC= 1000N 。

例题：如图所示，竖直绝缘墙壁上的 Q 处有一固定的质点 A，在 Q 的正上方的 P 点用丝线悬另一质点 B，A、B 两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使 A、B 两质点的带电荷量逐渐减少，在电荷漏电完之前悬线对悬点 P 的拉力大小（）A.变小B. 变大C. 不变D. 无法确定解：受力分析如图所示，设 PA＝L，PB＝l由几何知识知：△APB∽△BDC则：T=mg，即：T =mg l PB PA L因为 T 和T’是作用力和反作用力，故 T＝T’，故选C例题：如图所示，用线把小球A 悬于O 点，静止时恰好与另一固定小球B 接触。

相似三角形的性质和应用

个性化辅导教案例2.相似三角形的性质（1）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）A.32B.33C.34D.36（2）如图所示，□ ABCD 中，AE ：EB =1：2,求△AEF 和△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求：S △CDF .例3（1）已知两个相似三角形对应边上的高的比为1：2，那么这两个三角形对应中线的比为_______,对应角平分线的比为_________。

（2）两个相似三角形的面积之比为9：16，它们的对应高之比为。

（3）如图，已知：△ABC ∽△A ´B ´C ´,且AB ：A ´B ´=3：2，若AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ´B ´C ´的对应中线①你发现还有哪些三角形相似? ②若AD =9cm ,则A ＇D ＇的长是多少？③若AD 分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD 与△A ´B ´D ´成立吗？故两个相似三角形的所有对应线段之比＝______，面积之比=_____。

FD CBAE 例2（1）A BCDE例4如图，已知DE ∥FG ∥MN ∥BC ，且AD ＝DF ＝FM ＝MB ，求S 1:S ２:S ３:S 4课堂练习1.一个三角形改变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的_________倍.2.一个三角形的三边之比为2∶3∶4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的边长是，周长是。

3.若△ABC ∽△A ‘B ‘C ’，且∠A ＝45０，∠B ＝30０，则∠C ′＝。

4.两个相似五边形的面积比为16：25，其中较大的五边形的周长为30cm ，则较小的五边形的周长为______ cm .5.（2011苏州）如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.第5题图D S4S3S2S1A BCEF GMN6.四边形 ABCD 是平行四边形，点E 是BC 的延长线上的一点，而且CE ：BC =1：3，若△DGF 的面积为9，试求：（1）△ABG 的面积.（2）△ADG 与△BGE 的周长比和面积比.7.如图，△ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC =40cm ,AD =30cm ,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M . (1) 求证：;AM HGAD BC(2) 求这个矩形EFGH 的周长.8.两个相似菱形的边长的比为4：1，那么它们的面积之比为。

相似三角形的应用ppt课件

3
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似
。
AAA相似
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相
似。
SAS相似
如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个
三角形相似。
SSS相似
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相
相似三角形的应用ppt课件
2024/1/27
1
contents
目录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何问题中应用 • 相似三角形在三角函数中应用 • 相似三角形在物理问题中应用 • 相似三角形在建筑设计中应用 • 总结与展望
2
01
相似三角形基本概念与性质
2024/1/27
匀变速直线运动
通过相似三角形描述匀变速直线运动中速度、时间和位移之间的
关系，推导运动学公式。
抛体运动
运用相似三角形分析抛体运动的轨迹，求解抛体的初速度、角度和射程等参数。
圆周运动
利用相似三角形研究圆周运动的线速度、角速度和半径之间的关系，探讨向心加速度的表达式。
2024/1/27
18
05
似。
2024/1/27
4
相似比与对应边长成比例关系
相似比
两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
对应边长成比例关系
在相似三角形中，任意两边之间的比值等于其他两边之间的比值，即 a/a'=b/b'=c/c'，其中a、b、c和a'、 b'、c'分别是两个相似三角形的对应边长。

人教版相似三角形应用举例(4)

还可以有其他方法测量吗？
B E
┐ F
△ABO∽△AEF
平面镜
A
OB
OA
=
EF
AF
┐ O
OA ·EF OB =
AF
例2：如图是小玲设计用平面镜来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙 CD的顶端C处.已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米.那么该古城墙CD的高度是__________米.
AC BC A'C ' B'C '
1.8m
B
3m C
1.8 3
A'
A'C ' 90
求得 A'C'=54m 答：这栋高楼的高度是54m.
?
B'
90m
C'
5. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和 AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
4
3. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网球是直线运动）
2.4m C
A 5m
E
┏
0.8m
D
10m
？
┏ B
4.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？
A 解： △ABC ∽ △A'B'C'
【解析】∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，

27.2.2相似三角形应用举例

Ｃ
解:∵太阳光是平行光线 12 1.5 ∴ BC 1.2 ∴BC=9.6 ∵9.6＞9 ∴乙的采光会受影响．
Ａ
12
可以计算出甲投在乙墙壁上的影长吗？ 1.5
∵EC=9.6-9=0.6 ∴
DE 1.5 0.6 1.2
D
C
1.2
Ｂ
9.6
E
0.6
∴DE=0.75
5.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高AB? A 解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC
A
解:∵太阳光是平行光线
D E E F A B B C
∴ AB=8
D
D 1
1.5 C
B 12
1
E
E
1.5 F
4.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得
小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米? 解：作DE⊥AB于E A 得
尝试画出影子
A
甲
D
乙丙
B
E C
F
如何运用“三角形的相似知识”来说明 “平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？
想一想
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?
测高是本课重点学习的内容
利用影长来测高
Ｏ
怎样测量旗杆的高度呢？Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
求旗杆高度的方法:

力的相似三角形法的原理

力的相似三角形法的原理
力的相似三角形法是一种用于分析物体受力情况的方法。

它基于三角形相似性的原理，即在两个相似三角形中，对应角度相等，对应边长度成比例。

在力的相似三角形法中，我们将物体上的力图解为一个相似三角形，并利用相似三角形的性质来计算力的大小和方向。

具体的原理如下：
1. 选择一个合适的力作为参考力，并将其在图上用一条线段表示。

2. 将其他力按照大小和方向在图上用线段表示，使得其起点与参考力的起点相同。

3. 根据力的大小和方向，将各个力的线段按比例标出。

4. 通过观察，我们可以发现参考力与其他力的线段形成了一个相似三角形。

5. 根据相似三角形的性质，我们可以得到力的大小和方向的比例关系。

通过力的相似三角形法，我们可以方便地计算力的大小和方向。

同时，我们还可以利用这种方法推导出物体在平衡状态下的力的合成等相关问题。

相似三角形的性质在农业科学中的应用

相似三角形的性质在农业科学中的应用在农业科学中，相似三角形的性质是一项重要的几何原理，它可以帮助农民和农业科学家解决许多实际问题。

相似三角形是指两个或多个三角形的对应边成比例，而对应角相等的情况。

在农业生产中，相似三角形的性质可以用来计算农田面积、植物生长速度以及设计灌溉系统等，从而提高生产效率和农业可持续发展。

本文将探讨相似三角形的性质在农业科学中的应用，并介绍一些具体的案例。

1. 农田面积的计算相似三角形的性质可以用来计算农田的面积。

假设一个农田的形状为一个不规则的凸多边形，我们可以将其分割为一系列的三角形。

通过测量农田的边长和各个三角形的高，我们可以利用相似三角形的比例关系来计算整个农田的面积。

例如，如果我们知道一个三角形的底边和高分别是10米和5米，而另一个相似三角形的底边是20米，我们可以通过比例关系计算出第二个三角形的高是10米，进而得到该农田的面积。

这种方法可以帮助农民和农业科学家准确计算农田的面积，从而更好地规划农作物的种植和灌溉。

2. 植物生长速度的评估相似三角形的性质还可以用来评估植物的生长速度。

假设我们在一段时间内测量了一棵植物的高度，并得到了不同时间点的测量结果。

通过比较不同时间点的测量数据，可以构造出一系列相似三角形，以评估植物的生长速度。

具体而言，我们可以以植物的初始高度为基准，将不同时间点的高度与初始高度构成相似三角形。

通过测量相似三角形的底边和对应的高，我们可以计算出植物的生长速度。

这种方法可以帮助农民和农业科学家了解植物的生长情况，及时采取措施来促进植物的健康生长。

3. 灌溉系统的设计相似三角形的性质在灌溉系统的设计中也发挥着重要作用。

灌溉系统需要根据农田的大小和形状来合理安排灌溉设施的布局，并确保每个区域都能够获得适量的水源。

利用相似三角形的比例关系，我们可以根据农田的大小比例来设计灌溉设施的布局。

例如，如果一个农田的大小是另一个农田的两倍，我们可以根据相似三角形的性质将灌溉设施的长度和宽度按照比例放大一倍。

受力分析方法之相似三角形的应用

受力分解要领之相似三角形的应用之阳早格格创做相似三角形法也是三角形法的一种，它分歧于动背三角形法.动背三角形法的特性是只构修一个矢量三角形，正在那个矢量三角形中通过一个变量去决定其余变量；相似三角形法的特性是构修一个矢量三角形战其余一个几许三角形相似，通过几许三角形的边少变更去计划矢量三角形中矢量的变更.【例1】如图（1）所示，牢固正在火仄里上的光润半球，球心O的正上圆牢固一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球里上的A面，另一端绕过Array定滑轮.今缓缓推绳使小球从A面滑背半球顶面（已到顶面），则此历程中，半球对于小球的收援力大小N及细绳的推力T大小的变更情况是（）A、N变大、T变大B、N变小、T变大C、N没有变、T变小D、N变大、T变小【剖析】对于A举止受力分解如图（1）所示，由三力仄稳条件，正在T反背延少线上与T′＝T，将N仄移，则N、T′战小球的沉力G形成一个如图所示的矢量三角形N T′G.由于G 仄止于BO ，N 仄止于AO ，故矢量三角形N T′G 相似于几许三角形OAB .由相似条件N AO ＝G BO ，T′AB ＝G BO 可得：N＝G BO AO ，T ＝T′＝G BO AB ，正在小球从A 面滑背半球顶面（已到顶面）的历程中，BO 、AO 少度没有变，AB 正在减小，又沉力G 大小没有变，故N 没有变，T ＝T′减小，选C.【例2】如图（2）所示，沉量不妨没有计的沉杆不妨绕光润的火仄轴O 正在横曲仄里里自由的转化，杆的P 端挂有沉物Q ，另有跨过O 轴正上圆定滑轮的细线推住沉杆的P 端，使其处于仄稳状态，那时细杆与横曲目标的夹角为θ.现使夹角为θ缓缓的由小变大①跨过定滑轮的绳中的弛力（）A 、渐渐删大B 、渐渐减小C 、恒定没有变D 、先减小后删大②沉杆受到的压力（）A 、渐渐删大B 、渐渐减小C 、恒定没有变D 、先减小后删大【剖析】对于P 面举止受力分解如图（2）所示，由三力仄稳条件，正在T 1反背延少线上与T 1′＝T 1，将N 仄移，则N 、T 1′战Q 对于P 的推力T 2（T 2等于Q 的沉力）形成一个如图所示的矢量三角形N T 1′T 2.由于T 2仄止于ao ，N 仄止1′于op，故矢量三角形N T1′T2相似于几许三角形pao.由相似条件Nop ＝T2ao，T1′ap＝T2ao可得：N＝T2ao op，T1＝T1′＝T2ao ap，正在θ缓缓的由小变大的历程中，ao、op少度没有变，ap正在删大，又沉力T2＝G大小没有变，故N没有变，T1＝T1′删大，①选A ②选C.【例3】如图（3）为一攀岩疏通员正沿横曲岩壁缓缓攀登，由于身背较沉的止囊，人战止囊的沉心上移至肩部O 面，总品量为60kg.此时脚臂与身体笔曲，脚臂与岩壁夹角为53°.则脚受到的推力战足受到的效率力分别为（设脚、足受到的效率力均通过沉心O，与g＝10N∕kg，sin53°＝0.8，cos53°）（）A、360N，480NB、480N，360NC、450N，800ND、800N，450N【剖析】对于人战止囊举止受力分解如图（3）所示，由三力仄稳条件，正在T反背延少线上与T′＝T，将N仄移，则N、T′战完全的沉力G形成一个如图所示的矢量三角形N T′G.由于G仄止于ab，N仄止于ob，故矢量三角形N T′G相似于几许三角形boa.由相似条件T1′ao ＝图（4）G ab ，N ob ＝G ab 可得：T 1＝T 1′＝G ab ao ，N ＝G ab ob ，果θ＝53°，ao 笔曲ob ，ao ab ＝35，ob ab ＝45，T 1＝T 1′＝G ×35＝360N ， N ＝G ×45＝480N ，故选A. 【例4】如图（4）所示，一个沉为G 的光润小球A 停止正在半径为R 的半球体战横曲的挡板之间，则挡板战半球体对于球的弹力分别为几？（已知A 的半径为r ）【剖析】对于小球A 举止受力分解如图（4）所示，对接O 1O 2并延少接于墙壁于a ，N 1的反背延少线接于墙壁于b ，墙角为c .由于ΔabO 1∽ΔacO 2可得：aO 1aO 1＋O 1O 2＝bO 1cO 2，aO 1aO 1＋r ＋R ＝r R ，aO 1＝r (R ＋r )R －r ，由ab ＝aO 12－bO 12＝2r gr R －r.由三力仄稳条件，正在N 2反背延少线上与N 2′＝N 2，将N 1仄移，则N 1、N 2′战G 形成一个如图所示的矢量三角形N 1N 2′G .由于N 1仄止于bO 1，G 仄止于ab ，故矢量三角形N 1N 2′G 相似于几许三角形bO 1a .由相似条件N 1G ＝bO 1 ab ，N 2′G ＝aO 1ab 可得：N ＝bO 1ab G ＝R －r 2gr G ，N 2＝N 2′＝aO 1ab G ＝R ＋r 2gr G .。

相似三角形在实际生活中的应用

标准对数视力表 0.14.00.12 4.1 0.15 4.2相似三角形在实际生活中的应用【知识点击】1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。

此时的这个点叫做，相似比又称为．注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小．2、相似多边形的性质_____________________________________________________【重点演练】知识点一、位似图形例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2；（2）连接（1）中的AA ′,求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号）ABC例2、如图3，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A ′B ′C ′D ′E ′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比值是．变式训练：1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（）A ．平移B ．旋转C ．对称D ．位似2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．图3A BC D EB ′′E ′y C DA图2 B′A′-1 x1 O-11y BA C3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+4.如图，已知△OAB 与△''B OA 是相似比为1：2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 一点p （x ，y ）与△''B OA 一点'p 是一对对应点，则点'p 的坐标是．知识点二、测量物体高度方法一、利用光的反射定律求物体的高度例3、（市）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度约为________米（精确到0.1米）.方法二、利用影子计算建筑物的高度例4（市）如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和1.5米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为米.例5（市）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（）图1 B E DA.4.5米B.6米C.7.2米D.8米跟踪练习1、如图６，小明在一次晚自修放学回家的路上，他从一盏路灯Ａ走向相邻的路灯Ｂ．当他走到点Ｐ时，发现自己身后的影子的顶部恰好接触到路灯Ａ的底部，再走１６米到达点Ｑ时，发现身前的影子的顶部恰好接触到路灯Ｂ的底部．已知路灯的高是９米，小明的身高为１.5米．（１）求相邻两盏路灯之间的距离；（２）如果学校大门口恰好有一盏路灯，小明家门口也恰好有一盏路灯，小明回家共经过了２６盏路灯，问：小明家距离学校多少米？（3）求小明走到两盏路灯Ａ、Ｂ的中点时，在Ａ、Ｂ两盏路灯下的影长及走到路灯Ｂ下时在路灯Ａ下的影长．方法三、利用相似三角形的性质测量物体的高度或宽度例6、如图1，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3cm 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得3CE =m ，乙的眼睛到地面的距离1.5FE =m ，丙在1C 处也直立3m 高的竹竿11C D ，乙从E 处后退6m 到1E 处，恰好看到竹竿顶端1D 与旗杆顶端B 也重合，量得114C E m =，求旗杆AB 的高.跟踪练习如图2，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边点P 处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A 和B ，使得B ，A ，P 在一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C ，D ，使CA ⊥BP ，BD ⊥BP.由观测可以确定CP 与BD 的交点为D ，他们测得AB=45m ，BD=90m ，AC=60m ，从而确定河宽PA=90m ，你认为他们的结图６论对吗？图2例7、如图５是学校的旗杆，小明带着一条卷尺和一面镜子，他想借助这两样工具测量旗杆的高，请你为他设计测量的方法．练习：给你一条可以用来测量长度的皮尺和一根高２米的标杆，在没有太的时候你能测量出操场上旗杆的高度吗？说说你的做法．知识点三、相似多边形性质的应用例8、一块直角三角形余料，直角边ＢＣ＝８０ｃｍ，ＡＣ＝６０ｃｍ，现要最大限度地利用这个余料把它加工为一个正方形，求这个正方形的边长．跟踪练习1、已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝６，ＣＡ＝７，ＡＢ＝８，其三个接正方形（四个顶点都在三角形三边上）中，记两个顶点在ＢＣ上的正方形面积为ａ，两个顶点在ＣＡ上的正方形的面积记为ｂ，两个顶点在ＡＢ上的正方形的面积记为ｃ，试探索ａ、ｂ、ｃ的大小关系．Ａ图５ＥＤＣＢＢＥＤ图(1)2、有一块直角三角形木板，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．例9、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC面积，并提出一个与计算结果．有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？课外作业(满分50分)1、（15分）（1）选择：如图1，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′是位似三角形，此时△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比和位似中心分别是（）．A 、2，点P,B 、21,点P C 、2,点O D 、21，点O （2）、如图2，用下面的方法可以画△AOB 的接等腰三角形，阅读后证明相应的问题．画法：①在△AOB 画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上,点D 在OB 上；②连结OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′,作E ′D ′∥ED ，交OB 于点 D ′；③连结C ′D ′,则△C ′D ′E ′是△AOB 的接三角形求证：△C ′D ′E ′是等边三角形．2、（15分）请在如图所示的方格纸中，将ΔABC 向上平移3格，再向右平移6个，得ΔA 1B 1C 1，再将ΔA 1B 1C 1绕点B 1按顺时针方向旋转90°，得ΔA 2B 1C 2，最后将ΔA 2B 1C 2以点C 2为位似中心放大到2倍，得ΔA 3B 3C 2；（1）请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为一个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点的坐标分别为：点C （）、点C 1（）点C 2（）．3.（20分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？。

“相似三角形”在物理中的应用

物理相似三角形在物理题中的应用理科综合的考试说明能力要求的其中一项能力就是应用数学知识处理物问题，在中学物理解题中，常常用到三角形的有关知识，如三角函数关系、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等。

引子例一：如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用丝线悬另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A、B两质点的带电荷量逐渐减少，在电荷漏电完之前悬线对悬点P的拉力大小（）A. 变小B. 变大C. 不变D. 无法确定“相似三角形”在物理中的应用“相似三角形”的主要性质是对应边成比例，对应角相等。

在物理中，一般地，当涉及到矢量运算，又构建了三角形时，可考虑用相似三角形。

下面以静力学为例说明其应用。

例1. 如图1所示，支架ABC，其中，在B点挂一重物，，求AB、BC上的受力。

例2. 如图3所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立的地面上相距为4m的两杆的顶端A、B上，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体。

平衡时，绳中的张力T=_________N。

例3. 两根等长的轻绳，下端结于一点挂一质量为m的物体，上端固定在天花板上相距为S的两点上，已知两绳能承受的最大拉力均为T，则每根绳长度不得短于多少？例4. 如图7所示，在半径为R的光滑半球面上高h处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化。

图7例1.解：受力分析如图2所示，杆AB受到拉力作用为，杆BC受到支持力为，这两个力的合力与重力G等大反向，显然由矢量构造的三角形与图1中相似，由对应边成比例得：把代入上式，可解得，。

例2. 解：受力分析，如图4所示。

因轻质挂钩光滑，所以AO 、BO 两段绳的拉力相等，设均为T ，且这两个力的合力与重力G 等大反向。

相似三角形在物理学上的应用

相似三角形在物理学上的应用相似三角形在实际中的应用非常广泛，尤其与物理学的联系非常紧密．下面举例说明相似三角形在物理学上的实际应用．【例1】如图所示，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将．A．变大B．变小C．不变D．无法判断解析：由物理知识可知，电线杆竖起的过程，实质上相当于以O为支点，以F 为动力，以电线杆重力G为阻力的杠杆运动．在电线杆竖起的过程中，动力臂OA，阻力臂OB是逐渐变化的．∵AA′∥BB′，∴△OBB′∽△OAA′∴＝而是定值，即也是定值．由杠杆平衡条件F·OA＝G·OB，得F＝G·因此，动力F 大小不变．故选C答案：C【例2】小华做小孔成像实验．如图，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l解：由相似三角形可知△ABO∽△A′B′O，△AEO∽△A′FO∴＝，＝∴＝＝∴＝，＝∴OE＝EF＝l故小孔纸板应放在距蜡烛l处．1．如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分即S1＝S2＝S3，且DE∥FG ∥BC，BC＝，FG－DE等于．A．－1 B．－C．－D．2－解析：由相似三角形的性质，得DE∶FG∶BC＝1∶∶设DE＝，FG＝，BC＝，则＝∴＝∴DE＝，FG＝2∴FG－DE＝2－答案：D2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝CD＝1，又E，D为CB的三等分点．1问图中是否存在相似三角形，若存在，找出并证明相似的三角形；若不存在，试说明理由；2比较∠ADC与∠AEC＋∠B的大小，试说明理由．解：1存在△ADE∽△BDA证明：∵AC＝CD＝DE＝EB＝1，又∠C＝90°，∴AD＝则＝＝，＝∴＝而∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA2由1知△ADE∽△BDA，∴∠DAE＝∠B又∵∠ADC＝∠AEC＋∠DAE，∴∠ADC＝∠AEC＋∠B。

相似三角形应用举例

F
课堂小结:
一、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的解决实际问题时（如测高、测距） )
，一般有以下步骤：①审题 2 测距(不能直接测量的两点间的距离 ) ②构建图形 ③利用相似解决问题
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决三、测距的方法
L
1. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)
C E A 5m
┏ 0.8m
？
┏
D
10m
B
2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：
方法一：如图，把镜子放在离树（AB） 8M点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用 A 皮尺量得DE=2.8M，观察者目高 A CD=1.6M； C
C
D
E
B
B
Байду номын сангаас
2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：
方法二：如图，把长为2.40M的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80M，标杆影长为1.47M。 C
分别根据上述两种不同方
法求出树高（精确到0.1M）请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其
B A D
E
他测量树高的方法吗？
例 1.古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O’B’，比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’＝2m, A’B’＝3m, AB＝201m,求金字塔的高度 O OB.

相似三角形判定方法应用精析

相似三角形判定方法应用精析方法概括相似三角形的判定方法主要有以下几种: (1)如果一个三角形的三边分别与另一个三角形的三边对应成比例,那这两个三角形相似.简单说成:三边对应成比例的两个三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例,且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简单说成:两边对应成比例,且加夹角相等的两个三角形相似;(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等的两个三角形相似.应用指导对于具体的题目,可以根据已知条件并结合图形,选择不同的判定方法证明两个三角形相似.一、已知两个三角形的三边长,可考虑利用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明相似例1 在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知：AB=4cm ，BC=6cm ，AC=8cm ，A ′B ′=12cm ，B ′C ′=18cm ，A ′C ′=21cm ，试判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由.分析：已知条件中告诉了△ABC 和△A ′B ′C ′的三边的长，所以可根据“三边对应成比例的两个三角形相似”来判定△ABC 和△A ′BC 是否相似.为此需要先计算对应边的比值，说明三组对应边的比值是否相等.解：△ABC 与△A ′B ′C ′不相似..因为31124==''B A AB ，31186==''C B BC ，218=''C A AC 所以C A AC C B BC B A AB ''≠''=''，所以△ABC 与△A ′B ′C ′不相似.评注：利用三边对应成比例，判断两个三角形是否相似.关键是找出对应边,计算对应边的比,观察比值是否相等.三组对应边的比值不相等,则两个三角形不相似.二、已知两个三角形两条边的长，可考虑利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明相似例2 如图1，已知△ABC ，E 、F 分别是AB 、AC 边上的两点，且AE=1cm ，AF=3cm ，EB=2cm ，FC=6cm ，试判断△AEF 与△ABC 相似吗？说明理由.分析观察图形可知，已知条件中告诉了两个三角形的两组对应边长，且这两组对应边成比例，所以只能思考这两组对应边的夹角是否相等，由于其夹角为公共角，所以可以利用“两边对应成比例且夹角相等”来证明两个三角形相似.解： △AEF ∽△ABC. 因为31=AB AE ，3193==AC AF 所以AC AF AB AE =，又∠EAF=∠BAC ，所以△AEF ∽△ABC.图1说明：不能利用两边对应成比例，一组对边的对角相等来判定两个三角形相似.三、已知条件中有一组对角相等或涉及到平行线，可考虑利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明相似例3 如图2，△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ，试判断△ADF 与△EFC 相似吗，说明理由.分析：根据平行线的性质，可以得到同位角相等，即得到两个三角形的两组对应角相等，根据两组对应角相等的两个三角形相似可得到△ADF 与△EFC 相似.解：△ADF ∽△EFC.因为DE//BC ，EF//AB ，所以∠ADE=∠B=∠EFC ，∠AED=∠C ，所以△ADE ∽△EFC.说明：利用两组对角相等判定两个三角形相似是证明三角形相似最常用的方法.图2四、当多种方法都可以判定两个三角形相似时，可选择较简单的判定方法例4 在正方形网格上有△ABC 和△DEF ，这两个三角形相似吗？请说明理由.分析：本题通过网格给出条件信息，观察网格中的两个三角形可知，能根据勾股定理计算出三角形的边长，这样可根据“三边对应成比例的两个三角形相似”来证明；另外，通过观察也可以得到∠A=∠E=135°，所以也可根据“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证明；当然，也可以利用“两组对角相等的两个三角形相似”来证明.解：△ABC ∽△EDF.因为AB=21122=+，AC=2， DE=222222=+，EF=4，所以EFAC DE AB =，图3 又∠BAC=∠DEF=135°，所以△ABC ∽△EDF.说明：网格中的相似三角形问题是中考中的热点.网格中三角形相似判定,一般根据三边对应成比例解决问题.总结：证明两个三角形相似，要灵活掌握三角形相似的判定方法，要根据所给的条件灵活选择方法.对于直角三角形相似以及等腰三角形相似,一般根据“两组对应角相等的两个三角形相似”进行证明.当然也可以根据其他两种方法进行证明，要根据已知条件灵活选择.跟踪练习一、精心选一选1．在两个三角形中，若一个三角形的两边分别是1.2cm 和1.6cm ，另一个三角形的两边分别是2.8cm 和2.1cm ，且它们的夹角相等，则这两个三角形的关系是（）A ．全等三角形B ．相似三角形C ．面积相等的三角形D ．不相似的三角形2．下列能使三角形一定相似的是( )A.两边对应成比例的三角形B.两边分别成比例的直角三角形C.两边对应成比例的等腰三角形D.两直角边对应成比例的直角三角形3．下列各组图形中有可能不相似的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形4．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）第4题图 A B C D 5．如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）A．4对 B. 5对C．6对 D.7对第5题图二、耐心填一填6.如图，线段AC、BD相交于点O，要使△AOB∽△DOC，需要补充的条件是______________或______________或______________.第6题图第7题图7．如图3，△ABC中，若∠A=90°，正方形DEFG内接于△ABC，则图中与△ABC相似的三角形有________________.8.已知：在△ABC和△DEF中，AB=8，BC=6，AC=4，DE=12，EF=18，DF=24，则△ABC和△DEF的关系是________，根据是___________.二、专心解一解9．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并说明理由.第9题题10．如图，梯形ABCD 中．AB∥CD．且AB=2CD ，E,F 分别是AB ，BC 的中点.EF 与BD 相交于点M ．(1说明△EDM∽△FBM 的理由；(2)若DB=9，求BM ．第10题图参考答案：一、1．B （提示：因为8.26.11.22.1=，且夹角相等） 2. D ．（提示：三边对应成比例）；3．A （提示：一个三角形顶角是45°，另一个三角形的底角是45°）4．D （提示：两边对应成比例，且夹角相等）5．C （提示：△BFH ∽△BAG ，△BFH ∽△CDH ；△BAG ∽△CDH ；△BAG ∽△CEG ；△CEG ∽△CDH ；△CEG ∽△BFH ）.二、6．∠B=∠D ，∠A=∠C ，OCOA OD OB = 7．△AGF ，△DBG ，△EFC.8．相似，三边对应成比例的两个三角形相似.三、9．（1）△AOB ∽△DOC ；（2）△AOD ∽△BOC（1）因为∠ABD=∠ACD ，∠AOB=∠DOC （对顶角相等）所以△AOB ∽△DOC.（2）由（1）知△AOB ∽△DOC ，所以OC OB OD OA =，所以OCOD OB OA =，又因为∠AOD=∠BOC ，所以△AOD ∽△BOC.10．(1)因为E 是AB 的中点，所以AB=2EB ，因为AB=2CD ，所以CD= EB ．又AB∥CD，所以四边形CBED 是平行四边形．所以CB∥DE ∠DEM=∠BFM ，∠EDM=∠FBM所以△EDM ∽△FBM．(2) 因为△EDM∽△FB M ，所以BF DE BM DM ；因为F 是BC 的中点．所以DE=2BF ；所以DM=2BM ，所以BM=31DB=3．。