2013年高考数学立体几何：空间的平行关系、垂直关系
2013届高考数学一轮复习讲义：8.6 立体几何中的向量方法(Ⅰ) 证明平行与垂直
1 1 3 3 → → ∴AE· ＝－ × ＋ × ＝0， CD 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD，即 AE⊥CD.
→ 2 3 (2)方法一 ∵P(0,0,1)，∴PD＝0， ，－1. 3 3 2 3 1 → → 又AE· ＝ × PD ＋ ×(－1)＝0， 4 3 2 → → ∴PD⊥AE，即 PD⊥AE. → → → ∵AB＝(1,0,0)，∴PD· ＝0， AB
建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz， 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)． → → ∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)， → FG＝(1,1，－1)，
→ → → 设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， t＝2， ∴t－s＝0， －t＝－2， 解得 s＝t＝2.
(－2,1,0)． → → 因为 n⊥BA1，n⊥BD，
→ －x＋2y＋ 3z＝0， n· 1＝0， BA 故 ⇒ －2x＋y＝0， → n· ＝0 BD 令 x＝1，则 y＝2，z＝－ 3，故 n＝(1,2，－ 3)为平面 A1BD 的 → 一个法向量，而AB1＝(1,2，－ 3)， → → 所以AB1＝n，所以AB1∥n，故 AB1⊥平面 A1BD.
→ → 设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)，BA1＝(－1,2， 3)，BD＝
利用空间向量解决探索 性问题
例 3 如图，四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥平 面 ABCD，PB 与底面所成的角为 45° ， 底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC＝ 1 ∠BAD＝90° ，PA＝BC＝ AD＝1. 2 (1)求证：平面 PAC⊥平面 PCD； (2)在棱 PD 上是否存在一点 E， CE∥平面 PAB？若存在， 使 请确定 E 点的位置；若不存在，请说明理由．
2013年高考＂立体几何＂专题分析
第（ １ ） 问三视 图的画法 ，在 以往的高考解答题 中很少 出现 ，
应予 以关注． （ １ ） 如图 ３ ，过点 Ｃ作 Ｃ ＥｌＡ Ｂ，垂 足为 Ｅ ．
在Ｒ ｔ ＡＢ Ｅ Ｃ中 ， 由 Ｂ Ｃ：５ ，Ｃ Ｅ＝４ ，
应注意训练． 例６ （ 广 东卷・ 理 ｌ ８ ）如图 ９ ，在等腰直角三角形 Ｃ Ａ Ｂ中， Ｚ ． Ａ＝９ ０ 。 ，Ｂ Ｃ＝６ ，Ｄ、Ｅ分别 是 Ａ Ｃ、Ａ Ｂ上 的点 ，Ｃ Ｄ＝Ｂ Ｅ＝ 、 ／ 。 ，０为 Ｂ Ｃ的 中点 ． 将 ＡＡ Ｄ Ｅ沿 Ｄ Ｅ折起 ，得到如 图 １ ０所
所示 ．
（ ２ ） 求二面角 Ａ 一 Ｃ Ｄ － Ｂ的平面角的余 弦值． 解析 ：本题属于折叠问题 ，折叠后生成 的是一个 四棱 锥． 是
立体几何专题的考查 ，理科和文科试卷 ，都强调对基础知识 （
间想 象 能 力．
考点 ２：几何体 的表面积和体 积．
例２ （ 湖 南卷 ・ 理７ ） 已知 棱 长 为 ｌ的正 方 体 的俯 视 图是 一
） ．
（ 三） 文理考查各有侧重 ，强调基础 知识 、基本技 能的掌握 个 面积为 １的正方 形 ，则该 正方体 的正 视图 的面积不 可能等于
何 问题方面 的内容 ，可 以看 出 ，含 有代数运 算问题 的题 目占有 以正 方体 为 模 型 ， 画 出该 几 何 体 的 直 观 图 ，再 用 三 视 图原 理 ， 很 大 比例 ，几 乎每份试 卷几何专题 的试题都 含有运算 问题 ，主 即可选 出正确 的三视 图．本 题没有 给 出图形 ，需要考 生利用条
和基本能力的考查 ． 文科相对强调几何的直观感 知和简单 的推 理 论证 ；而理科 对空 间想象 、推理论证 、运算求解有更高的要求 ．
高考数学立体几何大题综合
立体几何大题综合1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行2.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面3.异面直线所成角cos θ=cos a ,b =|a ⋅b ||a |⋅|b |=|x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2|x 12+y 12+z 12⋅x 22+y 22+z 22(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ,b 所成角，a ,b 分别表示异面直线a ,b 的方向向量)4.直线AB 与平面所成角，sin β=AB ⋅m |AB ||m |(m 为平面α的法向量).5.二面角α-l -β的平面角cos θ=m ⋅n |m ||n |(m ，n 为平面α，β的法向量).6.点B 到平面α的距离d =|AB ⋅n | |n |(n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A ∈α).一、解答题(2023·广东梅州·统考三模)如图所示，在几何体PABCD 中，AD ⊥平面PAB ，点C 在平面PAB 的投影在线段PB 上BC <PC ，BP =6，AB =AP =23，DC =2，CD ∥平面PAB .(1)证明：平面PCD ⊥平面PAD .(2)若二面角B -CD -P 的余弦值为-714，求线段AD 的长.(2023·浙江·校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥PD．(1)求证：平行四边形ABCD为矩形；(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为64，求点B到平面ACE的距离．(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模)如图1，在△ABC 中，AB =AC =2,∠BAC =2π3,E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF ⊥AB .将△BEF 沿EF 翻折到△B EF 的位置，如图2.(1)当AB =2时，证明：平面B AE ⊥平面ABC ；(2)已知二面角B -EF -A 的大小为π4，棱AC 上是否存在点M ，使得直线B E 与平面B MF 所成角的正弦值为1010？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由.(2023·江苏扬州·统考模拟预测)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，截面ACC1 A1的面积为6．(1)求点B到平面ACC1A1的距离；(2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=6，求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值．(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)在三棱锥O-ABC中，AB=BC=OB=2,∠ABC=120°，平面BCO⊥平面ABC，且OB⊥AB.(1)证明：OB⊥AC；(2)若F是直线OC上的一个动点，求直线AF与平面ABC所成的角的正切值最大值.(2023·福建宁德·校考模拟预测)图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=1．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．(1)求证：BD⊥PD；(2)求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值．(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC,AC =2，且BC=CC1=1，点D在线段BC1(含端点)上运动，设λ=BDBC1.(1)当AB⎳平面A1CD时，求实数λ的值；(2)当平面A1CD⊥平面A1C1D时，求平面A1CD与平面ABB1A1的夹角的正弦值.(2023·福建三明·统考三模)如图，平面五边形ABCDE由等边三角形ADE与直角梯形ABCD 组成，其中AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2，CD=3，将△ADE沿AD折起，使点E到达点M 的位置，且BM=a.(1)当a=6时，证明AD⊥BM并求四棱锥M-ABCD的体积；(2)已知点P为棱CM上靠近点C的三等分点，当a=3时，求平面PBD与平面ABCD夹角的余弦值.(2023·河北·统考模拟预测)在圆柱O 1O 2中，等腰梯形ABCD 为底面圆O 1的内接四边形，且AD =DC =BC =1，矩形ABFE 是该圆柱的轴截面，CG 为圆柱的一条母线，CG =1.(1)求证：平面O 1CG ∥平面ADE ；(2)设DP =λDE ，λ∈0,1 ，试确定λ的值，使得直线AP 与平面ABG 所成角的正弦值为10535.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，CD =2AB =2，AP =AC =AD .(1)证明：平面PBC ⊥平面PCD ；(2)已知CP =2BC =2，DQ =λDP ，λ∈0,1 .若平面ABP 与平面ACQ 夹角的余弦值为36，求λ的值.(2023·河北·校联考三模)如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ,BD 交于点O ，且PO ⊥平面ABCD ,OC =1,OD =OP =2,M 是PD 的中点，N 是线段CD 上一动点．(1)当平面OMN ⎳平面PBC 时，试确定点N 的位置，并说明理由；(2)在(1)的前提下，点Q 在直线MN 上，以PQ 为直径的球的表面积为214π．以O 为原点，OC ,OD ,OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ，求点Q 的坐标．(2023·河北沧州·校考模拟预测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，AB1⊥A1C，AB1的中点为O，BC的中点为D.(1)证明：OD∥平面ACC1A1；(2)若∠ACB=90°，AB1=B1C，AC=2BC=4，求平面ACC1A1与平面ABC所成角的大小.(2023·山东济南·校考模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，AD⎳BC，AD⊥CD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，∠DCF =60°，G是线段BE上一动点(不含端点)．(1)当点G为线段BE的中点时，证明：AG⎳平面CDEF；(2)若AD=1,CD=DE=2，且直线DG与平面CDEF成45°角，求二面角E-DG-F的正弦值．(2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)矩形ABCD所在平面与等腰梯形ACEF所在平面互相垂直，EF⎳AC，EF=12AC，直线AF与平面ABCD所成角为60°，EF=AB=2.(1)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值；(2)线段AF上任意一点到平面BDE的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．(2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，其中AA1=2AC=4,AB=BC,F为BB1的中点，点E是CC1上靠近C1的四等分点，A1F与底面ABC所成角的余弦值为2 2．(1)求证：平面AFC⊥平面A1EF；(2)在线段A1F上是否存在一点N，使得平面AFC与平面NB1C1所成的锐二面角的余弦值为277，若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由．。
理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理
理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理在空间几何中，平行和垂直关系是非常重要的概念。
理解这些关系及其相关定理对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。
本文将深入探讨空间几何中的平行和垂直关系及其相关定理，帮助读者更好地理解和应用。
一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交。
平行线和平行面之间的关系可通过以下两个定理来判断。
1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线之间也是平行的。
证明：设有两条平行线l和m，且直线n与l相交于点A，与m相交于点B。
若线段AB垂直于l，由垂直定理可知线段AB也垂直于m。
假设线段AB不平行于m，那么它必定与m相交于某一点C，这样线段AB将会与直线n有两个交点A和C，这与两条平行线的性质相悖。
因此，线段AB必定是与直线m平行的。
2. 平行面定理：如果两个平面都与另一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。
证明：设有两个平面α和β，且平面γ与α平行且与β相交。
假设平面γ不平行于β，则它们必定会相交于一条直线。
然而，根据平行面的定义，平面γ与平面α平行，故直线与平面α相交于一点A。
由于直线与平面β相交于一点B，这意味着直线将与两个平面α和β都有交点，与平行面的定义相矛盾。
因此，平面γ与β平行。
二、垂直关系在空间几何中，垂直关系是指两条直线或两个平面之间的相互垂直关系。
垂直关系可以通过以下定理来判断。
1. 垂直定理：如果两条直线相交并且相交的角为直角，则这两条直线是垂直的。
证明：设有两条直线l和m，相交于点O，并且∠AOB为直角。
若直线l和m不是垂直的，即它们不相交于直角，那么它们必然会以某个角度相交，假设∠AOB为θ。
那么根据三角形的性质，我们可以得到∠AOB的余角为180°-θ。
如果直线l和m不垂直，它们的余角将不相等，与∠AOB为直角的前提相矛盾。
因此，直线l和m是垂直的。
2. 垂直平面定理：如果一条直线与一个平面垂直，并且这条直线在这个平面上的一个点，那么这个直线在这个平面上的所有点都垂直于这个平面。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系平行与垂直关系是空间几何中非常重要的概念，它们在解决平面或立体几何问题时经常被用到。
在本文中，我将介绍平行和垂直的定义和性质，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行关系在空间几何中，当两条线或两个平面没有交点且始终保持相同的距离时，我们称它们是平行的。
换句话说，平行线永远不会相交，平行面之间也永远不会相交。
我们可以使用以下方法来判断线或面是否平行：1. 如果两条线被一条平面所截，且截得的两对同位角相等，则这两条线平行。
2. 如果两个平面被一条直线所截，且截得的两对同位角相等，则这两个平面平行。
平行关系常常在解决与直线、多边形和多面体相关的问题时被应用。
比如，在建筑设计中，设计师常常需要确定两面墙是否平行，以便确保建筑结构的稳定。
在制图学中，要绘制平行线的效果，可以应用平行规或平行尺等工具辅助。
二、垂直关系与平行关系相反，垂直关系指的是两条线、两个平面或两个立体之间相互间的直角关系。
当两条线或两个平面的夹角大小为90度时，它们被认为是垂直的。
同样地，如果两个立体之间的相邻平面的交线是垂直的，则我们称这两个立体是垂直的。
判断垂直关系的方法有：1. 如果两条直线相交，并且相交的四个角中有两个角是直角，则这两条直线是垂直的。
2. 如果两个平面相交，并且相交的交线与两个平面各自的法线垂直，则这两个平面是垂直的。
垂直关系在几何学中有广泛的应用。
在建筑学中，垂直关系被用来确保墙壁与地面之间的角度为直角，以提供良好的结构支持。
在三维计算机图形学中，垂直关系可以用来进行透视变换，使得图像更加逼真。
三、平行和垂直的性质在空间几何中，平行和垂直具有一些重要性质，这些性质可以帮助我们解决几何问题。
1. 如果一条直线与两条平行线相交，则与这两条平行线的交线上的对应角是相等的。
2. 如果两条线分别与第三条线平行，则它们之间的对应角是相等的。
3. 判断两个平面是否垂直的方法之一，是计算它们的法向量之间的夹角。
空间几何的平行与垂直关系
空间几何的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直是两个非常重要的概念。
它们描述了不同几何体之间的关系和性质。
平行表示两条或多条线、直线或平面在空间中永远不会相交，而垂直则表示两条线、直线或平面之间存在90度的角度关系。
本文将探讨空间几何中平行与垂直的关系以及它们在实际应用中的重要性。
一、平行与垂直的定义及性质1. 平行的定义：在几何学中，当两条直线或平面上的所有点在空间中的投影重合时，它们被认为是平行的。
平行线具有以下基本性质：a. 任意一点与直线上一点之间只有一条直线与该直线平行；b. 平行线之间的距离始终保持相等。
2. 垂直的定义：在几何学中，当两条直线或平面之间的夹角为90度时，它们被称为垂直的。
垂直线具有以下基本性质：a. 两条垂直线的斜率乘积为-1；b. 平面中的垂直直线与平面上的垂直线相交时，它们互为垂直；c. 四面体中的两条相交直线，若平行于共面两直线中的一条，则其余两条也互相平行。
二、平行与垂直关系的应用平行与垂直的关系在空间几何中有广泛的应用。
下面将介绍几个重要的应用领域：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行和垂直关系被广泛应用于墙壁、天花板、地板等构造中。
确保这些构造的平行性和垂直性能够有效地提高建筑物的结构稳定性和美观度。
2. 工程测量：在工程测量中，平行和垂直关系被用于确定建筑物的地基、墙壁和建筑物的相对位置。
通过测量平行和垂直线的长度和夹角，工程师能够准确地定位和设置建筑物的各个部分。
3. 交通规划：在交通规划中，平行和垂直关系用于设计道路、轨道和桥梁。
合理的平行和垂直设计能够确保交通流畅、安全和高效。
4. 电子学与通信：在电子学和通信领域中，平行和垂直关系被用于设计电路板、天线和光纤等。
保持电线、导线的平行性和垂直性能够减少信号干扰和能量损耗，提高电子设备和通信系统的性能。
5. 图形绘制：在图形绘制和设计中，平行和垂直关系用于绘制几何图形和建模。
通过掌握平行和垂直关系的几何性质，能够更加准确地绘制出各种图形和几何体。
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1．若ba、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。
4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ⇒a ∥b ；③α∥c ，β∥c ⇒α∥β； ④α∥r ，β∥r ⇒α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面．∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH面ABC ，GF面ABD ，由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ．例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.求证:MN ∥平面AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法在空间几何中，平行与垂直是两个重要的关系概念。
平行指的是两条直线或两个平面永远不相交，而垂直则表示两条直线或两个平面相互垂直相交。
这两个概念在几何学中有广泛的应用，并且可以通过一些证明方法来确定两条直线或两个平面是否平行或垂直。
首先，我们来讨论平行关系。
在空间几何中，两条直线平行的条件是它们的方向向量平行。
方向向量是指直线上的两个不同点连线所得到的矢量。
如果两条直线的方向向量平行，那么它们就是平行的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。
如果a与b平行，即a与b的夹角为0度或180度，那么L1和L2就是平行的。
除了方向向量平行外，两条直线还可以通过斜率来确定是否平行。
斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们也是平行的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。
如果m1等于m2，那么L1和L2就是平行的。
在空间几何中，垂直关系的确定方法与平行关系类似。
两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。
如果a与b垂直，即a与b的内积为0，那么L1和L2就是垂直的。
除了方向向量垂直外，两条直线还可以通过斜率的乘积来确定是否垂直。
如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们也是垂直的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。
如果m1乘以m2等于-1，那么L1和L2就是垂直的。
对于平面的平行与垂直关系，我们可以将其扩展到三维空间中。
两个平面平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是指垂直于平面的矢量。
如果两个平面的法向量平行，那么它们就是平行的。
同样地，两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直。
如果两个平面的法向量垂直，那么它们就是垂直的。
在证明平行与垂直关系时，我们可以利用向量的性质和运算法则。
2013届高考北师大版数学总复习课件：8.4空间中的垂直关系
考向预测 1．以选择题、填空题的形式，考查线面垂直、面面垂直 的判定定理和性质定理． 2．解答题中一般以考查线面垂直、面面垂直的判定及逻 辑推理能力为主． 3．通过考查线面角，考查空间想象能力及运算能力，常 以解答题的形式出现．
位置关系的判定
[例 1] 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、 β、γ 是三个 两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是( )
[答案] D
[解析] 考查空间线面的位置关系的判定与性质． ①错，②正确，③错，④正确．故选 D.
3． (2012· 九江调研 )设 α， β 是两个不同的平面，l 是一条 直线，以下命题正确的是( )
A．若 l⊥ α， α⊥ β，则 l β B．若 l∥ α， α∥ β，则 l β C．若 l⊥ α， α∥ β，则 l⊥ β D．若 l∥ α， α⊥ β，则 l⊥ β
基 础 自 测
1.(2012· 庆阳模拟)已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平 面 α 内的一条直线，则“ α⊥ β”是“ m⊥ β”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
[答案] B
[解析 ] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要 条件解题的能力． 由已知 m α， 若 α⊥ β 则有 m⊥ β， 或 m∥ β 或 m 与 β 相交； 反之，若 m⊥ β，∵ m α，∴由面面垂直的判定定理知 α⊥ β.∴ α⊥ β 是 l⊥ β 的必要不充分条件．故选 B.
[答案] 90° [解析 ] ∵ B1C1⊥平面 ABB1A1， MN 平面 ABB1A1，
空间中的平行与垂直关系
空间中的平行与垂直关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：判定定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ=，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理4、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。
（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。
（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊂=⊂⊥，则a β⊥。
性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。
5、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
它们在解决几何问题、计算坐标和推导定理等方面起着至关重要的作用。
通过研究平行和垂直关系，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并应用于实际问题的求解。
1. 平行关系平行关系是指两条或多条直线在空间中永远不会相交。
在平行线之间不存在任何交点，它们的方向相同或者互为反向。
为了表示平行关系，我们可以使用"//"符号，如AB // CD。
在三维空间中，平行关系的判断可以通过以下方法确定：- 斜率法：对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率相等，则L1与L2平行。
具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，如果斜率相等，则可以判断它们是平行的。
- 向量法：如果两条直线的方向向量是平行的，则它们是平行的。
我们可以通过求取两条直线的方向向量，然后比较它们是否平行来判断平行关系。
平行关系的性质：- 平行线具有相同的斜率。
- 平行线之间的距离是恒定的，任意两点到另一条直线的距离相等。
- 平行线与平面的交线是平行的。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或直线与平面的交线之间的关系。
在垂直关系中，直线或直线段与垂直交线之间的夹角为90度。
在三维空间中，判断垂直关系的方法有：- 向量法：如果两条直线的方向向量相互垂直，则它们是垂直的。
通过计算两条直线的方向向量，然后判断它们是否相互垂直。
- 斜率法：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。
具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，然后计算斜率的乘积，如果结果为-1，则可以判断它们是垂直的。
垂直关系的性质：- 垂直关系是相互垂直的直线或者直线与平面之间的关系。
在直角坐标系中，垂直关系可以表示为两直线斜率的乘积为-1。
- 垂直交线之间的夹角为90度。
- 垂直关系通常用于解决与直角、垂直性质相关的问题，例如计算两直线之间的距离、垂直偏移等。
总结：在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
空间几何中的线面平行与垂直关系
空间几何中的线面平行与垂直关系在空间几何中，线面平行与垂直关系是十分重要的概念。
本文将从理论与实践相结合的角度，深入探讨线面平行和垂直的定义、性质以及它们在几何问题中的应用。
一、线面平行的定义与性质在空间几何中，我们首先需要明确线面平行的定义。
所谓线面平行，即是指直线与平面之间没有交点，也就是直线在平面上没有交点或与平面平行于同一方向。
1. 定义：若直线与平面之间没有交点，则可称该直线与该平面平行。
2. 性质：a) 平行线切割平行面所得的截线互相平行；b) 平行线分别平行于同一平面的两条直线互相平行；c) 平行线与同一平面上的交线所形成的内、外两个角互为对顶角，即内角和外角互补；d) 平行线与同一平面上的交线所形成的同旁内、外两个角互为对顶角，即同旁内角和同旁外角互补；等等。
二、线面垂直的定义与性质与线面平行相对的是线面垂直，线面垂直是指直线和平面之间存在直角关系。
1. 定义：若直线与平面之间存在且仅存在一条垂直于该平面的直线，则可称该直线与该平面垂直。
2. 性质：a) 垂直于同一平面的两条直线互相平行或重合；b) 垂直线同时与同一平面的交线所形成的内、外两个角互为对顶角，即内角和外角互补；c) 垂直线与同一平面上的直线交叉点处所形成的垂直角为直角；等等。
三、线面平行与垂直关系的应用线面平行与垂直关系在几何问题中经常被使用，并具有广泛的应用。
1. 平行线、平面的判定：a) 通过点确定平行线；b) 通过已知直线和点确定平行线；c) 通过已知两个平行线和一点确定平面；等等。
2. 垂直线、平面的判定：a) 通过已知直线和一点确定垂直线；b) 通过已知两个垂直线和一点确定平面；c) 通过已知直线和平面的判定确定垂直线；等等。
4. 线面平行、垂直关系的证明：通过应用平行线、垂直线的性质，可以进行线面平行与垂直关系的证明，进一步解决各类几何问题。
5. 空间图形的计算：在线面平行与垂直关系的基础上，我们可以利用相关性质和定理进行空间图形的计算，如平行截线定理、垂直截线定理等。
立体几何平行与垂直的判定与性质
• 平行与垂直的基本概念 • 平行线的判定 • 垂直线的判定 • 平行与垂直的性质 • 立体几何平行与垂直的应用
目录
01
平行与垂直的基本概念
平行的定义
总结词
在立体几何中，如果两条直线在同一平面内，且永远不会相交，则这两条直线 被称为平行的。
详细描述
在平面几何中，两条平行线被定义为在同一平面内，且永远不会相交的两条直 线。这个定义在立体几何中同样适用。在三维空间中，两条平行线可能位于不 同的平面，但它们永远不会在任何平面上相交。
在三维建模软件中，平行和垂直关系 也是构建复杂几何体的基础。通过设 定平行或垂直的约束条件，可以确保 模型的准确性和一致性。
实际生活中的平行与垂直应用
在城市规划和建筑设计中，平行和垂直的应用同样广泛。例如，确定道路、建筑 物的位置和方向时，需要利用平行和垂直关系来确保规划的科学性和合理性。
在机械设计和制造中，平行和垂直关系也是非常重要的。例如，在制造精密仪器 或机械设备时，需要确保各个部件之间的平行和垂直关系，以保证设备的准确性 和稳定性。
总结词
平行和垂直是两种互为对立的几何关系，它 们在三维空间中共同构成了直线之间的基本 关系。
详细描述
平行和垂直是直线之间最重要的两种关系。 在三维空间中，除了平行和垂直之外，直线 之间还可以是斜交的。平行和垂直的对立关 系使得它们在解决几何问题时具有重要的作 用。例如，在建筑设计和工程实践中，垂直 关系常常用于确定物体的位置和方向，而平 行关系则常常用于确定物体的尺寸和比例。
详细描述
在立体几何中，如果两条直线被第三条直线所截，并且内错角相等，则这两条直 线平行。这是因为内错角相等说明两条直线在同一平面内，并且没有交点，因此 它们是平行的。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行关系指的是两条直线或两个平面永远不会相交，在同一个平面内保持固定的距离；而垂直关系是指两条直线或两个平面相交时，彼此之间的夹角为90度。
平行和垂直关系在几何学中有广泛的应用，不仅帮助我们理解空间的结构和形态，也在实际生活中发挥着重要的作用。
1. 平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交的关系。
当两条直线或两个平面的方向向量相等或相互垂直时，它们可以被认为是平行的。
1.1 直线的平行当两条直线的方向向量相等时，它们被称为平行直线。
我们可以使用向量的方法来判断两条直线是否平行。
假设有两条直线 l₁和 l₂，它们的方向向量分别为 a₁和 a₂。
若 a₁和 a₂相等，则 l₁和 l₂平行。
1.2 平面的平行两个平面是平行的，当且仅当它们的法向量相等或者互相垂直。
设两个平面的法向量分别为 n₁和 n₂，若 n₁和 n₂相等，则这两个平面平行。
平行关系在几何学中有许多应用。
例如，在平行四边形中，对角线之间的线段互相平分，每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。
另外，在建筑设计中，平行关系也被广泛应用，如平行的墙壁或平行的连廊等。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面相交时，彼此之间的夹角为90度。
垂直关系在空间几何中非常重要，常常用于求解角度，确定垂直平面等问题。
2.1 直线的垂直两条直线 l₁和 l₂垂直的充分必要条件是它们的方向向量的内积为0。
如果 l₁的方向向量 a₁和 l₂的方向向量 a₂满足 a₁·a₂=0，则 l₁和 l₂垂直。
2.2 平面的垂直两个平面P₁和P₂垂直的充分必要条件是它们的法向量相互垂直。
设平面 P₁的法向量为 n₁，平面 P₂的法向量为 n₂，若 n₁·n₂=0，则 P₁和 P₂垂直。
垂直关系在几何学中有许多应用。
例如，在直角三角形中，两条直角边互相垂直。
此外，垂直关系还可以应用于地理测量、建筑设计等领域。
2013届一轮复习课件立体几何4-空间垂直关系
②二面角的求法： (ⅰ)直接作出二面角的平面角求之； (ⅱ)利用异面直线上两点间距离公式： EF＝d＝ m 2 n 2 2mn cos ； S 射 (ⅲ)利用射影面积公式： cosθ＝ .
S原
其中θ为二面角的平面角的大小．S原指二面角一面内的某 一几何图形的面积；则S射指此几何图形在另一面内的正射影 的面积； (ⅳ)向量法：设平面α、β的法向量分别为n1，n2，则〈n1， n2〉的夹角或其补角为二面角的大小.
特殊点在平面上的射影
1．△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O， (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC外心； (2)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC内心或旁心； (3)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心。 2．∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O (1)若∠PCA＝∠PCB，则O在∠BCA的平分线上； (2)若P到∠BCA两边距离相等平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两 个平面互相垂直，记作α⊥β，作画两个平面垂直时，把直立的平 面的竖边画成和水平面的横边垂直就可以了．
3.平面与平面垂直的判定： （1）定义法 （2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直．也可简单地表述为： 线面垂直⇒面面垂直．
又∵AC＝BC，N是AB的中点． ∴CN⊥AB. 又∵BD∩AB＝B， ∴CN⊥平面ABD. 而AD⊂平面ABD， ∴CN⊥AD.
题型二
直线与平面垂直的判定
【例2】Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为 斜边AC的中点，如图所示． (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【思路】 (1)要证线面垂直， 就要利用判定定理． (2)利用判定定理，证明BD与 平面SAC内的两条相交的直线都 垂直来解决问题．
高中数学课件-立体几何复习——平行、垂直证明
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F， 连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点， ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中，F 为 CB 的中点， ∴BF＝12BC＝1. 又∵AD∥BC，且 AD＝1， ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE⊂平面 EFD，∴DE∥平面 PAB.
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
在△PBC 中，E、Ｈ和分别为 PC、PB 的中点， ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，且 AD＝1，BC＝２ ∴AD // 12BC. ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ＥD∥AH.
β
a
αlHale Waihona Puke a all
a
☺ 简称：面面垂直，线面垂直.
归纳小结
1．垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若 这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转 化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
➳性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行．
//
a
a // b
b
☺ 简称：面面平行，线线平行.
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是BA1，BC1的中点。 求证：EF // 平面ABCD
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直是我们常见的几何关系。
平行指两条直线或者两个平面永远不会相交，而垂直指两条直线或者两个平面相互成直角。
这两种关系在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将探讨平行和垂直的定义、性质以及在几何中的重要应用。
一、平行关系平行线是指两条直线不相交，且永远保持相同的距离。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有传递性，即若线段AB与线段BC平行，则线段AB与线段AC也平行。
2. 平行线之间不存在交点，也不能相互交叉。
3. 平行线与一条直线的交点与另一条直线平行。
4. 平行线具有对称性，即若线段AB与线段CD平行，则线段CD与线段AB也平行。
平行关系在空间几何中有很多应用，比如在平行四边形和三角形的性质证明中经常用到。
平行线也是解决几何难题的重要手段，如求解截面积和体积等问题。
二、垂直关系垂直是指两条直线或者两个平面相互成直角。
根据垂直关系的定义，我们可以得出以下性质：1. 垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。
2. 两个平面相互垂直的条件是它们的法向量垂直。
3. 直线与平面垂直，则直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段相互垂直。
垂直关系在几何中也有广泛的应用。
在建筑设计中，垂直关系是测量和布局的基础。
在空间坐标系中，垂直关系可以用来识别空间中的平面，具有重要的实际应用价值。
总结：平行和垂直是空间几何中常见的几何关系。
两条平行线永远不会相交，而两条垂直线相互成直角。
它们在各自的定义中包含了一系列的性质和特点，这些性质和特点为我们解决几何问题提供了重要的线索。
在几何证明中，平行和垂直关系是解决问题的关键步骤之一。
我们可以利用这些关系性质，推导出更多有关几何形状和结构的定理。
在实际生活中，平行和垂直关系也有广泛的应用。
比如在建筑设计、物体测量等方面都需要考虑平行和垂直的关系，以保证结构的稳定性和功能的实现。
通过理解和应用平行和垂直关系，我们可以更好地理解和解决与空间几何相关的问题，提高数学思维能力和几何分析能力。
2013届高考北师大版数学总复习课件：8.3空间中的平行关系
B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
[答案] D
[解析] 对于 A，平行直线的平行投影可能平行，也可能重 合，对于 B、C，结合正方体图形可知都是错误的．
2．能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( A． a α， b α，a∥b
)
[解析 ] 因为 HN∥ BD， HF∥ DD1，所以平面 NHF ∥平 面 B1BDD1， 又平面 NHF∩平面 EFGH＝ FH.故线段 FH 上任意 点 M 与 N 相连，有 MN∥平面 B1BDD1，故填 M∈线段 FH.
7． 已知正方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′， 求证： 平面 ACD′
③设 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，则 α 和 β 垂直； ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂 直． 上面命题中，真命题 的序号________(写出所有真命题的序 ．．． 号 )．
[答案] ①②
[解析] 本题主要考查平面间的位置关系． 考查学生对知识 的掌握程度． ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线，则 α∥ β 是正确的；②由线面平行判定定理知②正确；③由 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，不能推出 α 和 β 垂 直； ③不正确； ④直线 l 与 α 垂直能够推出 l 与 α 内的两条直线 垂直， 而 l 与 α 内的两条直线垂直不能推出直线 l 与 α 垂直， ∴ ④不正确．
第 三 节
空间中的平行关系
考纲解读 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的 平行关系的简单命题．
立体几何中的平行与垂直关系
立体几何中的平行与垂直关系在立体几何中，平行和垂直关系是非常基本且重要的概念。
通过理解和应用这些关系，我们可以更好地解决与立体图形相关的问题。
本文将介绍平行和垂直关系的定义和性质，并通过实例进行说明，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、平行关系在立体几何中，当两个线、面或者空间图形之间的相对位置满足特定条件时，我们可以说它们是平行的。
具体而言，以下是平行关系的定义和性质：1. 定义：如果两条直线在同一平面内，且在平面内没有交点，那么这两条直线被称为平行线。
用简单的符号表示为"//"。
2. 性质：平行线具有以下重要性质：a) 平行线之间的距离始终相等。
也就是说，如果有一条直线与一组平行线相交，那么从这条直线到任意一条平行线的距离都相等。
b) 平行线夹角与其对应的第三条平行线夹角相等。
也就是说，如果有两组平行线相交，那么相交的两对对应线之间的夹角相等。
二、垂直关系垂直关系是平行关系的一种特殊情况。
当两条直线、面或者空间图形之间的相对位置形成直角时，我们可以说它们是垂直的。
具体而言，以下是垂直关系的定义和性质：1. 定义：如果两条直线或者平面相交时，相交的两条直线或者平面的交角为90°，那么它们被称为垂直的。
2. 性质：垂直关系具有以下重要性质：a) 垂直线之间的夹角是直角，即为90°。
b) 垂直平面之间的夹角也是直角。
通过理解和应用平行和垂直关系，我们可以在解决立体几何问题时更加便捷和准确。
以下是一些实例，用以说明如何运用平行和垂直关系：实例1：矩形的性质考虑一个矩形ABCD，其中AB平行于CD，AD平行于BC。
根据平行关系的性质，我们可以得出以下结论：a) AB和CD之间的距离相等。
b) AD和BC之间的距离相等。
c) AB和CD之间的夹角以及AD和BC之间的夹角都是直角。
d) 矩形的对角线AC和BD相交于O，而OA和OC以及OB和OD之间的夹角也都是直角。
平行关系、垂直关系
有关垂直关系的证明方法：
2、线面垂直
（1）利用线面垂直的判定定理
（2）利用面面垂直的性质定理
（3）利用向量法
有关垂直关系的证明方法：
3、面面垂直 （1）利用面面垂直的定义
（2）利用面面垂直的判定定理
1、空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( 4 ）
A E D B C
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 平行直线 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个 没 有 没 有
异面直线 不同在任何一平面内
证明三点共线通常采用以下方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面 的公共点，根据基本性质2，这些点都在交线上． (2)由其中任意两点确定一条直线，再证另一点在这条直 线上．
D F G
A
B
C
E
练习
1.已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD S
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
D A O
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE
④
线面垂直
② ③
线线垂直
例 2、已知在正方体ABCD—A ′B ′C ′D ′中，E 为CC′中点，F为AC和BD的交点，
求证：A′F
⊥平面BED
D′ B′ D F A B P C′ E
（方法一）转化为平面几何 （方法二）三垂线定理
一. 平行直线 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的 两条直线叫做平行线. 2. 平行性质：过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行. 3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相 平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.