第六节 阻尼振动 受迫振动 共振

§8.6 阻尼振动一、阻尼振动

振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动

阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。

阻尼种类：

辐射阻尼

1 阻尼振动的振动方程和表达式

1）阻力

对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力∝速度。阻尼力

式中γ：阻力系数

2）振动方程

讨论在阻力作用下的弹簧振子

受力：弹性恢复力–kx和阻力

则有振动方程

引入阻尼系数β= γ/2m和固有频率

得阻尼振动(damped vibration)的微分方程

当阻尼系数较小,系统作阻尼振动，这时微分方

程的解为

·此方程的解应分三种情形讨论：

β2 < ω2 称作欠阻尼(underdamping)

β2 > ω2 称作过阻尼(overdamping)阻尼振动曲线

r

d

d

Fγγ

=-=

x

v

t

2

2

d d

d d

x x

kx m

t t

γ

--=

ω=

2

2

2

d d

20

d d

x x

x

t t

βω

++=

cos()

t

x Ae t

βωϕ

-

=+

2

ω=

A

A

O

γ-v

β 2 = ω2 称作临界阻尼(critical damping )

二、受迫振动(forced vibration)

系统在周期性外力的作用下所进行的振动，称为受迫振动。 1.系统受力：以弹簧振子为例， 弹性力 -kx 阻尼力 周期性驱动力 f = F 0 cos ω t 2.振动方程：由牛顿定律有

令

得微分方程

3 解：

在驱动力开始作用时，受迫振动的情况是较为复杂的，但经过不太长时间后，受迫振动达到稳定振动状态。受迫振动达到稳定振动状态,其运动方程称为其稳态解

4 特点：稳态时的受迫振动是简谐振动，但它不是无阻尼自由谐振动。 (1)角频率：等于驱动力的角频率 ωp

(2)振幅：·系统作等幅振动(虽有阻力消耗能量，但同时有驱动力作功对系统输入能量，系统仍可维持等幅振动)。

2

2p d d cos d d t x m

t ωF t

x kx =+--γ

0ω=

2m βγ=f F m =

220p 2

d d 2cos d d x x x f ω t

t t

β

ω++=欠阻尼 γ-v

()

0cos()cos t p p x A e t A t βωϕωφ-=+++()

cos p p x A t ωφ=+

其振幅由系统参数(ω0)、阻尼(β)、驱动力(F ,ω p )共同决定。

A 的大小敏感于ω和ω0

(x 0、υ0)无关。 (3)初相：亦决定于ω0、β、和ω，与初始条件无关。

ϕ 值在-π ~ 0之间。可见，位移x 落后于驱动力f 的变化( f 的初相为零)。 练习：请将无阻尼自由谐振动和稳态受迫振动作一对比。 三、共振（resonance ）

位移共振：当驱动力的角频率 ω 等于某个适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大值、振动很剧烈的现象。

速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时，速度幅ωA 达极大值的现象。

1 共振方程 共振振幅

共振角频率

A =

p

22

0p

2tan βωϕωω-=

-22

p 2

d d 2cos d d x x x f t

t

t

β

ωω++=r ω=r A =