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专题3(1)—三角函数的基本概念

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高考数学(理)二轮配套训练【专题3】(1)三角函数的图象与性质(含答案)

高考数学(理)二轮配套训练【专题3】(1)三角函数的图象与性质(含答案)

第1讲 三角函数的图象与性质考情解读 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ， tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质ππ3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―————————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin xy ＝sin ωx ―———————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值为________．思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 答案 (1)A (2)－34解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )，则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________. (2)已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 答案 (1)1825(2)D解析 (1)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. (2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.热点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin(2x ＋2π3)D ．y ＝sin(2x －π6)(2)若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．思维启迪 (1)先根据图象确定函数f (x )的解析式，再将得到的f (x )中的“x ”换成“x －π6”即可．(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案 (1)D (2)(－2，－1]解析 (1)由图知，A ＝1，3T 4＝11π12－π6，故T ＝π＝2πω，所以ω＝2，又函数图象过点(π6，1)，代入解析式中，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，故φ＝π6.则f (x )＝sin(2x ＋π6)向右平移π6后，得到y ＝sin[2(x －π6)＋π6)＝sin(2x －π6)，选D.(2)由题意可知y ＝2sin(2x ＋π6)＋a ，该函数在[0，π2]上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin(2x ＋π6)在[0，π2]上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a <2，所以－2<a ≤－1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3 B.163 3 C ．8D ．16(2)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为( ) A.16 B.14 C.13D.12答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝(2－a 2)2＋(a 2)2＝25，解得a ＝8，由此得，T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.(2)y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6，得到y ＝tan(ωx ＋π4－ωπ6)的图象，与y ＝tan(ωx ＋π6)重合，得π4－ωπ6＝k π＋π6，故ω＝－6k ＋12，k ∈Z ， ∴ω的最小正值为12.热点三 三角函数的性质例3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)． 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象；若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值． 解 (1)由题意得：f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx － 3 ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π3)，由周期为π，得ω＝1，得f (x )＝2sin(2x －π3)，函数的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min 2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．真题感悟1．(2014·辽宁)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 B解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．2．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 押题精练1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M (m,0)，N (n,2)，P (π，0)，且mn <0，则f (x )在下列哪个区间中是单调的( )A ．(0，π4)B ．(π4，2π3)C ．(π2，3π4)D ．(2π3，π)答案 B解析 ∵mn <0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M 点在原点时，此时T ＝π，则ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x )，在(π4，3π4)上为减函数，(0，π4)上为增函数；当图象的最高点在y 轴上时，即N 点在y 轴上，34T ＝π，ω＝32，∴f (x )＝2sin(32x )，在(0，2π3)上是减函数，(2π3，π)上为增函数．所以f (x )在(π4，2π3)上是单调的．2．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g (x )＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.∴－12<k ≤12或k ＝－1.(推荐时间：50分钟)一、选择题1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 答案 C解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6. 2．将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－2cos xC ．y ＝－2sin 4xD ．y ＝－2cos 4x答案 D解析 函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝2cos 2(x －π2)＝2cos(2x －π)＝2cos(π－2x )＝－2cos 2x ，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝－2cos[2·(2x )]，即y ＝－2cos 4x .3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( ) A.12 B.22 C.32D.6＋24 答案 A解析 依题意知T 2＝2π3－π6，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，将点(π6，1)代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，φ＝π6，故y ＝sin(2x ＋π6)，与y 轴交点纵坐标为12.4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( ) A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3 答案 C解析 由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2. 则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π12，－A由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)<f (π)，则下列结论正确的是( ) A ．f (1112π)＝－1B ．f (7π10)>f (π5)C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )答案 D解析 由f (x )≤|f (π6)|恒成立知x ＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又f (π2)<f (π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sin φ.所以sin φ>0，得φ＝π6，即f (x )＝sin(2x ＋π6)，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．6．已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6答案 A解析 因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，所以T ＝4×(π12＋π6)＝π，所以ω＝2，因为A (－π6，0)，所以f (－π6)＝sin(－π3＋φ)＝0,0<φ<π2，φ＝π3.二、填空题7．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2， f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f (2×π12)＝f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝32.9．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________． 答案 [－32，3]解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]．10．给出命题：①函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )(x ∈R )的最小值等于－1；②函数y ＝sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数；③函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π2]上单调递增的；④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________． 答案 ①④解析 对于①，函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )＝sin(π3－x )，所以其最小值为－1；对于②，函数y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数，但其最小正周期为1；对于③，函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π4]上单调递增，在区间[π4，π2]上单调递减；对于④，由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α<0cos α－sin α<0⇒cos α<0，sin α>0，所以α一定为第二象限角．三、解答题11．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.解 (1)f (x )的最小正周期T ＝2π3. (2)由函数的最大值为4，可得A ＝4. 所以f (x )＝4sin(3x ＋φ)．当x ＝π12时，4sin(3×π12＋φ)＝4，所以sin(π4＋φ)＝1，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π4.所以f (x )的解析式是f (x )＝4sin(3x ＋π4)．(3)因为f (23α＋π12)＝125，故sin(2α＋π4＋π4)＝35.所以cos 2α＝35，即1－2sin 2α＝35，故sin 2α＝15.所以sin α＝±55.12．已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)函数f (x )在区间[－π6，π3]上的值域．解 (1)由二倍角的正、余弦公式及其变形，得 f (x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝2＋3sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2(32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)＋2.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， ∵－π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z 时f (x )为单调递增函数，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .(2)由题意得－π6≤x ≤π3，∴2x ＋π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，即1≤2sin(2x ＋π6)＋2≤4，∴f (x )区间[－π6，π3]上的值域为[1,4]．。

高中数学 三角函数

高中数学 三角函数

高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。

它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。

通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。

二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。

常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。

这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。

正切函数的周期性稍有不同，为π。

2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。

例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。

3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。

例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。

4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。

例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。

四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。

例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。

2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。

例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。

3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。

例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。

4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。

例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。

高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)

高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)

高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。

其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。

两倍角的正弦、余弦、正切。

、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。

要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。

了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。

由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。

2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。

每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。

总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。

（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。

根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。

如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。

（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。

如 2002 年（ 15 ）题。

（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。

一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。

如 2001 年（ 7 ）题。

（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。

（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。

2020年高考数学(文)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形含答案

2020年高考数学(文)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形含答案

专题03 三角函数与解三角形§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化：οοο3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xy αtan5．三角函数线：正弦线，余弦线OM ，正切线6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2(1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ， 因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan =ο (2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正．(3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法：(1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π(Y B ．)4π5,π()2π,4π(YC ．)2π3,4π5()4π3,2π(YD ．)π,4π3()2π,4π(Y4．化简=+οο170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求(1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______； (3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；(4)求值=+-οο15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1οοοοοοοοo【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++οοο37tan 23tan 337tan 23tan o______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=οοο∴,37tan 23tan 3337tan 23tan οοοο-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++οοοo ．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα，(2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα；∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( ) A ．sin15°－cos15° B ．sin15°＋cos15° C ．－sin15°－cos15° D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( )A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-οο10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x xx x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立，即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立，即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间， 2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合(2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y (4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x Θ设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y 结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法： (1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理． (2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6π,21-==ϕω解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y −−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin = −−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C (2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______．7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+=&. a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高.21=∆ABC S ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120° (2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a ο又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222ο=∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A οΘΘ. 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题．例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形解：(1)法一：BbA a sin sin =Θ，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ． 法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和b c ＝321+，求∠A 和tan B 的值． 解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为BBB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin οοο+⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ． 由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用．练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．35B ．45 C ．55 D ．65二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A . (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米． 求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数与解三角形参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα 当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题 9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα， 所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35，因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0，所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α， 所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题5．2 6．2 7．)3π2sin(+=x y 8．]2,89[- 三、解答题9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-=＝)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π，f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[．10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3π2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g x x f 又⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-Θ∴函数g (x )是偶函数．11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω,1)6π2sin(2+++=a x ω由满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π，可得的最小正周期为π，所以ω ＝1．。

2020高考数学核心突破《专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质》 (2)

2020高考数学核心突破《专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质》 (2)

专题三 第1讲1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析 由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )， 即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12 B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点， 于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋ 2B ．32C ．6 2D ．－ 2解析 由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f(3)＝2，f(4)＝0，f(5)＝－2，f(6)＝－2，f(7)＝－2，f(8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝2＋ 2.故选A.。

三角函数详细讲解

三角函数详细讲解

三角函数详细讲解
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（最常用的单位是弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

它也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。

三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的。

这些函数的定义可以通过直角三角形来解释，其中θ是要找的角度，对边是指与θ所对应的直角三角形中的最短边，邻边是指与θ所对应的直角三角形中的最长边，斜边是指三角形的最长边。

正弦函数的定义为sinθ=对边/斜边，余弦函数的定义为cosθ=邻边/斜边，正切函数的定义为tanθ=对边/邻边。

这些函数的值是固定的，不会因为三角形的大小改变而改变。

例如，tan45°的值总是等于1，无论三角形的大小如何变化。

这是因为我们用的是直角三角形，所以每个三角形都有成比例的关系。

三角函数不仅用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

另外，以三角函数为模版，可以定义一
类相似的函数，叫做双曲函数。

常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

以上是关于三角函数的详细讲解，如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。

(完整word版)三角函数专题讲义

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

三角函数的专题复习-最经典最全

三角函数的专题复习-最经典最全

三角函数的专题复习-最经典最全
1. 三角函数的基本概念
- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义及其关系- 弧度和角度的转换及其应用
- 三角函数在直角三角形中的应用
2. 三角函数的性质
- 周期性和奇偶性
- 正负变化规律
- 三角函数的大小关系及其应用
3. 三角函数的图像和性质
- 正弦函数的图像和性质
- 余弦函数的图像和性质
- 正切函数的图像和性质
- 三角函数图像的平移、伸缩等变换
4. 三角函数的求值和计算
- 特殊角的三角函数值
- 三角函数的和差化积公式
- 三角函数的倍角和半角公式
- 三角函数的三角恒等式
5. 三角函数的应用
- 三角函数在几何中的应用
- 三角函数在物理中的应用
- 三角函数在工程中的应用
- 三角函数在生活中的应用
6. 典型例题和题解析
- 理解和掌握三角函数的概念和性质
- 运用不同的定理和公式解决相关问题
- 练解题技巧和应用能力
以上是三角函数的专题复习内容，包括基本概念、性质、图像和性质、求值和计算、应用以及典型例题和习题解析。

希望这份文档对您的复习有所帮助，祝您复习顺利！。

(完整版)高中数学三角函数复习专题

(完整版)高中数学三角函数复习专题

高中数学三角函数复习专题一、知识点整理 :1、角的看法的推行：正负，范围，象限角，坐标轴上的角；2、角的会集的表示：①终边为一射线的角的会集：x x2k, k Z=|k 360o, k Z②终边为向来线的角的会集：x x k, k Z；③两射线介定的地域上的角的会集：x 2k x2k, k Z④两直线介定的地域上的角的会集：x k x k, k Z；3、任意角的三角函数：（1）弧长公式： l a R R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数， l 为弧长。

（2）扇形的面积公式：S 1lR R 为圆弧的半径， l 为弧长。

2（3）三角函数定义：角中边上任意一点 P 为 ( x, y) ，设 | OP |r 则：sin y, cos x ,tan y r= a 2b2 r r x反过来，角的终边上到原点的距离为r 的点P的坐标可写为：P r cos, r sin 比如：公式 cos()cos cossin sin的证明（4）特别角的三角函数值α032 64322sin α012310-10222cosα13210-101222tan α0313不存不存0 3在在（5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。

（6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）y T 如图，角的终边与单位圆交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，P 垂足为 M ，则Ao 过点 A(1,0)作 x 轴的切线，交角终边OP 于点 T，则M x。

（7）同角三角函数关系式：①倒数关系： tana cot a 1sin a ②商数关系： tan acosa③平方关系： sin 2 a cos2 a1（ 8)引诱公试sin cos tan三角函数值等于的同名三角函数值，前方-- sin+ cos- tan加上一个把看作锐角时，原三角函数值的- tan-+ sin- cos符号；即：函数名不变，符号看象限+- sin- cos+ tan2-- sin+ cos- tan2k++ sin+ cos+ tansin con tan2+ cos+ sin+ cot三角函数值等于的异名三角函数值，前方2+ cos- sin- cot加上一个把看作锐角时，原三角函数值的3- cos- sin+ cot2符号 ;3- cos+ sin- cot2即：函数名改变，符号看象限 : sin x cos x cos x比方444cos x sin x444.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cos() cos a cos sin a sin sin( a) sin a coscosa sintan a(atan a tan注：公式的逆用也许变形)1 tan a tan．．．．．．．．．（2）二倍角公式：sin 2a 2sin acosa cos 2a cos2 a sin 2 a12 sin2 a 2 cos2 a 12 tan atan 2a1 tan2 a(3)几个派生公式：①辅助角公式：a sinx bcosx a2b2 sin(x)a22 cos()b x比方： sinα± cosα＝ 2 sin4＝ 2 cos4．sinα±3 cosα＝ 2sin3＝2cos3等．②降次公式： (sin cos) 21sin 2cos21cos2,sin 21cos222③ tan tan tan()(1 tan tan)5、三角函数的图像和性质：（此中 k z ）三角函数y sin x定义域（- ∞， +∞）值域[-1,1]最小正周期T2奇偶性奇[ 2k,2k]22单调性单调递加[ 2k,2k3 ]22单调递减x k对称性2(k ,0)零值点x ky cosx（- ∞， +∞）[-1,1]T 2偶[( 2k 1) ,2k ]单调递加[( 2k , (2k 1) ]单调递减x k(k,0)2x k2y tan xx k2（-∞，+∞）T奇(k,k)22单调递加k(,0)x kx k2x 2 k，最值点y max1ymax 1；无x k2x(2k 1) ，y min1y min1 6、 .函数y Asin( x) 的图像与性质：（本节知识观察一般能化成形如y Asin( x) 图像及性质）（ 1）函数 y Asin( x) 和 y Acos( x2 ) 的周期都是T（ 2）函数y A tan( x) 和 y Acot( x) 的周期都是T（ 3）五点法作y Asin( x) 的简图，设t x，取0、、、3、2来求相应x22的值以及对应的y 值再描点作图。

三角函数概念及定义5种题型总结-2022-2023学年高一数学(人教A版2019必修第一册)

三角函数概念及定义5种题型总结-2022-2023学年高一数学(人教A版2019必修第一册)

第24讲 三角函数概念及定义5种题型总结【知识点梳理】知识点一：三角函数基本概念 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα 三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 αsinR ＋ ＋ － － αcosR＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα ＋ － ＋ －记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【题型目录】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示 题型二：判断等分角的象限问题 题型三：扇形的弧长、面积公式的计算 题型四：任意角三角函数的定义 题型五：三角函数值的正负判断 【典例例题】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示【例1】（2022·全国·高一课时练习）将－1485°化成()202,k k απαπ+≤<∈Z 的形式是（ ） A ．π8π4-B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π【答案】D【分析】由3602rad π︒=或180rad π︒=转换．【详解】因为14855360315-︒=-⨯︒+︒，3602rad π︒=，7315rad 4π︒=，所以－1485°可化成7104π-π．故选：D ．【例2】（2022·陕西渭南·高一期末）与2022︒终边相同的角是（ ） A ．488-︒ B ．148-︒C ．142︒D ．222︒【答案】D【分析】与α终边相同的角可表示为2,Z k k απ+∈. 【详解】∵20225360222︒=⨯︒+︒， ∵与2022︒终边相同的角是222︒. 故选：D【例3】（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．245k π+，k Z ∈ B ．93604k π⋅+，k Z ∈ C ．360315k ⋅-，k Z ∈ D ．54k ππ+，k Z ∈ 【答案】C【分析】 要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可． 【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误； 又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确． 故选：C ．【例4】（2022·河南南阳·高一期末）已知角2022α=，则角α的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.【详解】因为20222225360α==+⨯，而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象限. 故选：C.【例5】（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线3y x =上的角α的集合为（ ） A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈ B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈ C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈Z D ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈【答案】B【分析】先确定3y x =的倾斜角为60，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可. 【详解】易得3y x =的倾斜角为60，当终边在第一象限时，60360k α=︒+⋅︒，k ∈Z ；当终边在第三象限时，240360k α=︒+⋅︒，k ∈Z ．所以角α的集合为{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈． 故选：B【例6】（2022·全国·高三专题练习（多选题））如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（ ） A ．90︒ B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项. 【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈， 故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确， 令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ； 故BD 错误. 故选：AC.【例7】（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．第二象限角大于第一象限角B ．若()360360180k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ，则α为第一或第二象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．三角形的内角是第一或第二象限角 【答案】C【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可. 【详解】对A 选项，如21030-︒<︒，故A 错误.对B 选项，α为第一或第二象限角或终边落在y 轴正半轴上的角．故B 错误. 对C 选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C 正确. 对D 选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D 错误. 故选: C.【例8】（2022·全国·高一课时练习）已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】令0k =即可判断出正确选项.【详解】令0k =，得4590α︒≤≤︒，则B 选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B ． 【题型专练】1.（2022·河南安阳·高一期末）把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-【答案】B【分析】由37515360-=-︒-︒︒结合弧度制求解即可. 【详解】∵37515360-=-︒-︒︒，∵π3752πrad 12⎛⎫-︒=-- ⎪⎝⎭故选：B2.（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中，与1840︒ 角终边相同的角是（ ） A ．40︒ B ．220︒C ．320︒D ．400-︒【答案】A【分析】将1840︒化为405360︒+⨯︒，即可确定答案.【详解】因为1840405360︒=︒+⨯︒，故40︒角的终边与1840︒的终边相同， 故选：A3.（2022·全国·高一课时练习）与2022︒终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可） 【答案】222︒（答案不唯一）【分析】终边相同的角，相差360︒的整数倍，据此即可求解【详解】∵()2022360k k α︒=︒⨯+∈Z ，当5k =时，222α=︒，∵与2022︒终边相同的角可以为222︒， 故答案为：222°（答案不唯一）4.（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（ ）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZD ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】D 【解析】 【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解. 【详解】 解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D. 【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.5.（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.【答案】π5π2π2πZ 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可. 【详解】因为π5π757518012︒=⨯=，π306-︒=-，结合图像可看作π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角的概念可表示为π5π2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为:π5π2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.6．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）5π3-的角化为角度制的结果为_______．【答案】300-【分析】利用角度与弧度的互化即可求得5π3-对应角度制的结果【详解】55π=18030033⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为：300-7.（2022·全国·高三专题练习（多选题））下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ） A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z【答案】BD 【解析】 【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可. 【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意； 选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称. 故选：BD.8．（2022·全国·高一课时练习）如果角α与角x ＋45°具有相同的终边，角β与角x －45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（ ） A ．0αβ+=︒B ．90αβ-=︒C ．()360k k αβ+=⋅︒∈ZD ．()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z【答案】D【分析】先根据终边相同的角分别表达出,αβ，再分析αβ+，αβ-即可.【详解】利用终边相同的角的关系，得()36045n x n α=⋅︒++︒∈Z ，()36045m x m β=⋅︒+-︒∈Z . 则()()3602,m n x n m αβ+=+⋅︒+∈∈Z Z 与x 有关，故AC 错误；又()()36090,n m n m αβ-=-︒+︒∈∈Z Z ．因为m ，n 是整数，所以n －m 也是整数，用()k k ∈Z 表示，所以()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z .故选：D ．9．（2022·全国·高一课时练习）若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（ ）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】C【分析】根据角θ与角θ-的终边关于x 轴对称即可得解.【详解】解：因为角θ与角θ-的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边一定也关于x 轴对称． 故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）集合|,4k k k Z παπαπ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对k 按奇偶分类讨论可得．【详解】当k ＝2n (n ∵Z )时，2n π≤α≤2n π＋4π(n ∵Z )，此时α的终边和0≤α≤4π的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∵Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋4π (n ∵Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋4π的终边一样．故选：B ．题型二：判断等分角的象限问题【例1】（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈，则α的终边在（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限【答案】A 【解析】 【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限. 【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈，其终边在第三象限； 当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈，其终边在第一象限. 综上，α的终边在第一、三象限. 故选：A.【例2】（2022·江西上饶·高一阶段练习多选）若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角【答案】AB【分析】由α与α-关于x 轴对称，即可判断AD ；由已知可得222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，再根据不等式的性质可判断B ；由32πα+是第一象限角判断C ． 【详解】解：因为α与α-关于x 轴对称，而α是第二象限角，所以α-是第三象限角， 所以πα-是第一象限角，故A 正确，D 错误； 因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，所以422k k παπππ+<<+，Z k ∈，故2α是第一或第三象限角，故 B 正确； 因为α是第二象限角，所以32πα+是第一象限角，故C 错误． 故选：AB ． 【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可. 【详解】∵角α的终边在第一象限， ∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈， 当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限， 当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限， 故选：D.2.（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）A ．sin 2θB ．cos2θ C ．sin 2θ D ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角， 所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0. 而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．3.（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】 【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由cos cos 22αα=-，知cos 02α≤，由此能判断出2α所在象限． 【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈， 所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角； 当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角， 因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．题型三：扇形的弧长、面积公式的计算【例1】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知扇形OAB 的圆心角为2，弦长2AB =，则扇形的弧长等于（ ） A ．1sin1B ．2sin1C ．1cos1D ．2cos1【答案】B【分析】求得扇形的半径，从而求得扇形的弧长.【详解】扇形的半径112sin1sin1ABr ==， 所以扇形的弧长等于122sin1sin1r α⨯=⨯=. 故选：B【例2】（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，接着再利用扇形面积公式即可求解 【详解】解：设AOD θ∠=，则12,l OA l OB θθ=⋅=⋅，所以122l OA l OB==，即2OA OB =， 所以12221222111222231122OA l OB l OB l OB l S S OB l OB l ⋅-⋅⋅-⋅===⋅⋅， 故选：C【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2. 【答案】 1 2 1 【解析】 【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα，所以答案为1；2；1.【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】 2sin1; 211sin 1tan1-. 【解析】 【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可. 【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ， 故答案为：2sin1；211sin 1tan1-. 【例5】（2022·全国·高一课时练习多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 51-时，扇面为“美观扇面”5 2.236）（ ）A ．122S S θπθ=- B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(20035 【答案】AC【分析】首先确定12,S S 所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A 正确；由12122S S θπθ==-可求得θ，代入扇形面积公式可知B 错误；由125122S S θπθ-==-即可求得θ，知C 正确；由扇形面积公式可直接判断出D 错误.【详解】对于A ，1S 与2S 所在扇形的圆心角分别为θ，2πθ-，()2122121222r S S r θθπθπθ⋅⋅∴==--⋅，A 正确； 对于B ，12122S S θπθ==-，23πθ∴=，2111293223S R πθπ∴=⋅⋅=⨯⨯=，B 错误； 对于C ，125122S S θπθ-==-，()35θπ∴=-，()3 2.236180138θ∴≈-⨯≈，C 正确； 对于D ，()()2111354002003522S R θππ=⋅⋅=⨯-⨯=-，D 错误.故选：AC.【题型专练】1．（2022·上海市松江二中高一期末）已知扇形的圆心角为135︒，扇形的弧长为3π，则该扇形所在圆的半径为___________. 【答案】4【分析】利用弧长公式直接求得. 【详解】扇形的圆心角为135︒，为34π，设半径为r ， 由弧长公式可得：334r ππ=，解得：4r =. 故答案为：42.（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==，解得2r =，8l =或4r =，4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ．3.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-【答案】B 【解析】 【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =23CD = 所以(2223114322CD s AB OA -=+=+=故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．2160cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm【答案】D【分析】根据扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解. 【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到， 设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ， 则1216080r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=， 所以180r =，240r =，该扇形玉雕壁画面积12111608022S r r =⨯⨯-⨯⨯()2111608080404800cm 22=⨯⨯-⨯⨯=． 故选：D ．5.（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB 51-，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 51-.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）A 51- B 51-C 352D 52【答案】D 【解析】 【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果. 【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，2151S S -=，2S r π=， 所以)122515124S Sr αππ-==， 因为剪下扇形OAB 51-， 所以2512r r r παπ--=(35απ=， 所以))(2515135355355244S S απππ--+===.故选：D.6.（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】 【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==， 又1AD =，所以OAD △为正三角形，∵3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π7.（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π 【解析】 【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解. 【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立， 所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=. 故答案为：10π题型四：任意角三角函数的定义【例1】（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．17B 417C 310D ．10【答案】C【分析】先由对数函数图象的特征求出定点()1,3A -，再由三角三函数的定义求解即可 【详解】函数()log 23a y x =++的图象恒过定点()1,3A -， 且点()1,3A -在角α的终边上， 所以()223sin 1331010α==-+，故选：C【例2】（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（ ） A ．3B ．12-C 3D ．12【答案】C【分析】根据三角函数的定义即可求出．【详解】因为角α的终边与单位圆交于点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin 2y α==． 故选：C ．【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12 B ．1 C ．2D ．52【答案】C【分析】由三角函数定义求得m 值． 【详解】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =． 故选：C ．【题型专练】1.（2022·陕西渭南·高一期末）已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是（ ） A ．22 B ．225 C ．434 D 434【答案】D【分析】根据sin 0θ>，可判断点()2,P y -位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.【详解】解：因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限， 所以0y >，2222sin 5(2)yy θ==-+， 整理得：21732y =，因为0y >，所以43417y =. 故选：D.2.（2022·陕西渭南·高一期末）已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α=（ ）A 5B 5C ．12-D ．－2【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可得解.【详解】解：因为角α的终边经过点()2,1P -，所以15sin 541α==+. 故选：A.3.（2022·江苏省如皋中学高一期末多选）已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是（ ） A ．2B ．3C 171+D 171+【答案】AC【分析】先由函数可知点A 的坐标，再由三角函数的定义可求解.【详解】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有22444tan ,sin 3534θθ===+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时， 由三角函数的定义有22444tan 4,sin 11714θθ====+， 所以11117171tan sin 444θθ++=+=. 故选：AC4.（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边上有一点()3,P m -，且2sin α=，则m 的值为______． 【答案】5±或0【分析】根据三角函数的定义列方程即可求解.【详解】由题意可知()222sin 43m m m α==-+，解得5m =±或0． 故答案为：5±或05.（2023·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆的交点为P 1(,)2y -，则sin tan αα＝______． 【答案】32- 【分析】根据单位圆求出y ，然后由三角函数定义求得sin ,tan αα，再相乘可得．【详解】由题意2114y +=，32y =±， 32y =时，3sin 2α=，tan 3α=-，3sin tan 2αα=-， 32y =-时，3sin 2α=-，tan 3α=，3sin tan 2αα=-， 综上，3sin tan 2αα=-． 故答案为：32-． 题型五：三角函数值的正负判断【例1】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【分析】直接由各象限三角函数的符号判断即可.【详解】由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限，又tan 0θ>，则θ的终边在第三象限.故选：C.【例2】（2022·全国·高一课时练习）若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______． 【答案】－1【分析】根据在第四象限三角函数的符号，化简计算y 值.【详解】因为角θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，tan 0θ<，所以sin cos tan 1111sin cos tan y θθθθθθ=++=-+-=-． 故答案为：-1.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且sinsin 22θθ=-，则角2θ在（ ） A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【分析】由题可得角2θ在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得. 【详解】∵角θ是第二象限角，∵θ∵(2,2),Z 2k k k ππππ++∈，∵(,)242k k θππππ∈++，Z k ∈， ∵角2θ在第一或第三象限， ∵sinsin 22θθ=-，∵sin 02θ<， ∵角2θ在第三象限. 故选：C.【例4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）A ．sin100︒B ．()cos 220-︒C ．()tan 10-D ．cos π 【答案】BCD【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.【详解】因为90100180︒<︒<︒，所以sin100︒角是第二象限角，所以sin1000︒>；因为270220180-︒<-︒<-︒，220-︒角是第二象限角，所以()cos 2200-︒<；因为71032ππ-<-<-，所以角10-是第二象限角，所以()tan 100-<；cos 10π=-<；故选：BCD ．【例5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】 sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.【例6】（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -()0m ≠，则下列各式的值一定为负的是（ ）A ．cos αB ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】AD【分析】由已知角终边上的点可得2sin 1m m α=+，21cos 1m α=-+，tan m α=-，结合诱导公式判断各项的正负，即可得答案.【详解】由题意知：2sin 1m m α=+，21cos 01m α=-<+，tan m α=-.∵不确定m 的正负，∵sin cos αα-与sin cos αα的符号不确定. ∵sin cos 02παα⎛⎫-=< ⎪⎝⎭， ∵一定为负值的是A ，D 选项.故选：AD2.（2022河南开封·高一期末）已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】∵点()tan ,sin P αα在第三象限，∵tan 0sin 0αα<⎧⎨<⎩，∵α在第四象限.故选：D. 3.（2022全国高一课时练习）在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B （ ）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限， 故选：B4.（2021·全国高一课时练习）“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】角θ是第一象限角时，sin 0,cos 0θθ，则sin cos 0>θθ；若角θ是第三象限角，sin 0,cos 0θθ<<，则sin cos 0>θθ.故“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的充分条件.若sin cos 0>θθ，即sin 0,cos 0θθ或sin 0,cos 0θθ<<，所以角θ是第一或第三象限角.故“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的必要条件.综上，“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的充要条件.故选:C.5.（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．【详解】解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∵θ是第二象限角， ∵sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．6.（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要 【答案】B【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.。

高三数学二轮复习专题 三角函数(公开课)

高三数学二轮复习专题 三角函数(公开课)

高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)一、基础知识回顾三角函数是高中数学中的重要内容之一。

在这个专题中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及相互之间的关系。

1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三角函数的概念。

对于一个角A，定义了三个比值：正弦函数sinA=对边/斜边，余弦函数cosA=邻边/斜边，正切函数tanA=对边/邻边。

2. 三角函数的周期性我们知道，三角函数具有周期性。

例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

这意味着在一个周期内，三角函数的值是重复的。

这种周期性使得三角函数在实际问题中具有广泛的应用。

3. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质。

例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即f(x)=f(-x)；正切函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。

此外，三角函数还具有增减性和界值性质。

二、三角函数的图像与性质下面我们将进一步讨论三角函数的图像与性质。

通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解三角函数的特点和性质。

1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振动范围在[-1,1]之间。

正弦函数的图像关于y轴对称，且在0点处取得最小值。

我们可以通过调整系数来改变正弦函数的振幅和周期。

2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振动范围也在[-1,1]之间。

与正弦函数不同的是，余弦函数的图像关于x轴对称，且在0点处取得最大值。

同样地，我们可以通过系数调整来改变余弦函数的振幅和周期。

3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的曲线，其值在整个实数轴上变化。

正切函数在某些点上没有定义，这些点是函数的奇点。

我们可以通过系数调整来改变正切函数的振幅和周期。

三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用。

在这一部分，我们将介绍一些常见的三角函数应用，并通过例题来加深理解。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

专题：三角函数(高三用)

专题：三角函数(高三用)

三角函数复习专题（一）一、 核心知识点归纳： 1．弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则弧长公式l ＝ ，扇形的面积公式S ＝ ＝ . 2.（1）三角函数定义（角α终边上任一点(),Px y ）：其中r =sin α= ;cos α= ; tan α= （2）符号规律：sin α cos α tan α（3）同角三角函数的基本关系：①倒数关系： ②商数关系： ，③平方关系：注意三兄弟（三剑客）的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． （4）特殊角的三角函数值表：（5）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k ·π/2+a 所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性：①sin(2)cos(2)tan(2)k k k παπαπα±=⎧⎪±=⎨⎪±=⎩ ；②sin()cos()tan()παπαπα+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ；③sin()cos()tan()ααα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩④sin()cos()tan()παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ； ⑤sin(2)cos(2)tan(2)παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ；⑥sin()2cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ⑦sin()2cos()2παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ；⑧3sin()23cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ：⑨3sin()23cos()2παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩5.两角和与差的三角函数： （1）和（差）角公式：①sin()αβ+= ；sin()αβ-= ②cos()αβ+= ；cos()αβ-= ③tan()αβ+= ；tan()αβ-= 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：=a 2sin =a 2cos=a 2tan从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：=a 2cos ， =a 2sin6．辅助角公式：sin cos a b αα+=三、基础练习 1、（1）弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________ (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2、（1）求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.点评：利用诱导公式化简求值时的原则—3、已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4 (其中a ，b ，α，β为非零实数)， f (2 011)＝5，则f (2 012)＝ ( )A ．3B ．5C ．1D ．不能确定四、典型例题考点一：三角函数的概念例1若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝____.练习1.(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于 ( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4练习2. 若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 .变：若角α的终边与单位圆交于点255,55p ⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭，则sin 2a 的值为 . 考点二、同角三角函数的关系（注意22sin cos 1αα+=，这是一个隐含条件）例2、(2011·全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.变式：若例题中条件变为“若sin θ＝－45，tan θ>0”，则cos θ＝________.练：若cos 2sin 5,αα+=-则tan α=( )（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 例3、已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 ( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2练习1．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 ( )A ．0 B.34 C ．1 D.54练习2．(2011·杭州师大附中月考)如果f (tan x )＝sin 2x －5sin x cos x ，那么f (5)＝________. 巩固练习：1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．82、已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．3、已知函数2()322sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,3)P -在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.三角函数复习专题（二）sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 值域最值周期性 奇偶性单调性对称性函 数 性 质题型一：三角函数的定义域、值域例1．(2012·珠海模拟)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为_ 练习1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是 ( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4，x ∈RB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 例2 (2010·江西高考)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，－1] C ．[－54，1] D ．[－1，54]变式：若例2中函数变为“y ＝2cos 2x ＋5sin x －4”试求值域． 练习2． y ＝2－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________．此时x ＝________.练习3．(2012·湛江)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<x <π6的值域为____ ____．题型二：三角函数的单调性:注意区分下列两种形式的单调增区间不同(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x .例3 (2011·全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则 ( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称练习4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π 练习5．(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期； (2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．题型三：三角函数的周期性和奇偶性例4.(2010湖北高考)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π练习6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2练习7. (2011·北京高考)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．题型四：利用图像解题例5.（1）设2sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << （2）．函数y =－x ·cos x 的部分图象是（ ）练习8.在（0，2π）内，使sin x ＞c os x 成立的x 取值范围为（ ）A ．（4π，2π）∪（π，45π） B ．（4π，π） C ．（4π，45π） D ．（4π，π）∪（45π，23π） 练习9.函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）yx π2- π2Oyx π2-π2Oyx π2-π2Oyxπ2-π2OA ．B ．C ．D ．三角函数复习专题（三）1、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA（1）.最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ； y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的图象有无穷多条对称轴，可由方程 (k ∈Z)解出x 的值就是对称轴；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由 (k ∈Z)，解得x ＝k π－φω(k ∈Z)的值作为对称中心横坐标，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)． （2）．相邻两对称轴间的距离为T2，相邻两对称中心间的距离也为T2.（3）．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

专题复习：三角函数教案

专题复习：三角函数教案

专题复习:专题：三角函数一、深入理解三角函数的定义：明确定义：设角α 是任意角，在角α的终边（除原点外）任取一点P （x ，y ），点P到原点O的距离||r OP ==，则sin y r α= ，cos x r α= ，tan yxα= （0x ≠ ）例1 已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x = 上，则cos2θ 的值为（ ）（A ） 45- （B ）35- （C ）35 （D ）45二、三角函数的求值：三角函数的化简与求值是以三角函数的基本公式为基础，通过恒等变形及数值运算等方法使得三角函数式得以化简或求出具体的数值。

思路：观察分析已知角和未知角，沟通它们之间的联系，从而灵活选择公式。

理解：诱导公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式。

1、诱导公式（公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限）：sin cos()2παα=-+、cos sin()2παα=+ sin cos()2παα=-、cos sin()2παα=-2、同角三角函数基本关系式：22sin cos 1αα+= ，sin tan cos ααα=注意公式的变形形式，用于实现同一个角的正弦、余弦、正切的转化。

3、倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-变形：2221cos 2cos 212sin 2sin 1cos 2sin 2αααααα-=-⇒=-⇒=2221cos 2cos 22cos 12cos 1cos 2cos 2αααααα+=-⇒=+⇒=4、技巧：2()()ααβαβ=++-、()44ππαα=+-、22αα=⋅等。

例1、已知7cos 2,252πθθπ=<<，求：（1）tan θ的值；（2）22cos sin 2)4θθπθ-+的值。

分析：利用倍角公式是解本题的关键。

需要注意的是余弦的二倍角公式有不同的变形形式，在实际解题中要合理地进行选择。

专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案

专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案

第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数 性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和． 变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分． 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

高中数学高考三角函数复习专题

高中数学高考三角函数复习专题

高中数学高考三角函数复习专题三角函数复专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质：y=sinx y=cosx y=tanx图象定义域 R R R\{kπ+π/2|k∈Z}值域 [-1,1] [-1,1] R最值y_max=1 (when x=2kπ) y_max=1 (when x=2kπ+π/2) 无最大值y_min=-1 (when x=2kπ-π) y_min=-1 (when x=2kπ) 无最小值周期性2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)上是增函数；在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)上是减函数。

在[kπ,kπ+π](k∈Z)上是减函数。

在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)上是增函数；在[kπ+π/2,kπ+3π/2](k∈Z)上是减函数。

对称中心(kπ,0)(k∈Z) 对称中心(kπ+π/2,0)(k∈Z) 无对称中心对称性奇对称偶对称无对称轴对称轴x=kπ+π/2 (k∈Z) 对称轴x=kπ (k∈Z) 无对称轴2.正、余弦定理：在△ABC中有：①正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为△ABC外接圆半径）注意变形应用：sinA=2R/asinB=2R/bsinC=2R/c②面积公式：S△ABC=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA ③余弦定理：b²=c²+a²-2accosBc²=a²+b²-2abcosCa²=b²+c²-2bccosA三、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP=π/6，∠AOQ=α，α∈[0,π)。

若Q(√3/2,y)，求cos(α-π/6)。

专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式-突破三角函数与解三角形问题中的高考套路之理

专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式-突破三角函数与解三角形问题中的高考套路之理

专题01三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式知识必备一、任意角的三角函数1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4．特殊角的三角函数值0 100100101不存在0不存在0补充：二、同角三角函数的基本关系式1．平方关系．2．商的关系．3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）．三、三角函数的诱导公式公式一二三四五六2kπ+α（k∈π+α−απ−α−α+α角Z）正弦sin α−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cos α−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tan αtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限核心考点考点一三角函数的定义【例1】已知角的终边经过点，且，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为角的终边经过点，所以角是第二象限角，所以，求解可得（正值舍去）.故选A.备考指南1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.考点二象限角的判断【例2】“”是“角是第一象限角”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B备考指南1．已知θ所在的象限，求或nθ（n N*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（n N*）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，k Z）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.考点三同角三角函数基本关系式及其应用【例3】设.若，则A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，且，所以,所以.故选A．备考指南1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.考点四诱导公式及其应用【例4】点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C备考指南1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有与，与，与等；常见的互补关系有与，与等.考点五三角函数公式的综合应用【例5】已知角的顶点均为坐标原点，始边均为轴的正半轴，若的终边分别与单位圆相交于两点，且.（1）求的值，并确定点所在的象限；（2）若点的坐标为，求的值.【解析】（1）.因为，所以的终边在第二或第四象限，所以点在第二或第四象限.（2）由知，则.备考指南熟练掌握正切的差角公式，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式，正确使用公式是解题的关键.能力突破1．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点（−5，12），则= A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，=13，根据三角函数定义知，=，，∴=== =，故选B．【名师点睛】高考中常将三角函数定义与三角函数公式相结合进行考查，是基础题.2．已知，则A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：因为，所以，所以，故选A．方法二：由，得，所以.【名师点睛】同角三角函数基本关系式也常与三角函数诱导公式、恒等变换结合起来进行考查.3．角为的一个内角，若，则这个三角形为A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【名师点睛】判断三角形的形状有两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角、钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰、等边三角形．注意这两种分类方法有重合的部分，如等腰直角三角形．4．已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【解析】（1）因为，所以，由于，所以，所以.（2）原式..【名师点睛】对于三角函数求值问题，必须熟练记忆和掌握三角函数公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换.高考通关1．（2018北京）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A．B．C．D．【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.【名师点睛】此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．已知，则的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】，∴原式，故选A．3．（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.4．（2017新课标Ⅰ）已知，tan α=2，则=__________．【答案】【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5．（2018新课标Ⅱ）已知，，则__________．【答案】【解析】因为，，所以，因此6．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.你都掌握了吗？有哪些问题？整理一下！。

八年级数学上册专题：三角函数

八年级数学上册专题：三角函数

八年级数学上册专题：三角函数1. 引言三角函数是数学中重要且应用广泛的概念。

它们被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域中，以解决与角度相关的问题。

理解三角函数的基本概念和性质对于学生掌握数学的基础知识至关重要。

2. 正弦函数与余弦函数2.1 正弦函数的定义和性质正弦函数是三角函数中的一种，通常用sin表示。

它表示一个角度对应的正弦值。

正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]，周期是360度或2π弧度。

在直角三角形中，正弦值等于斜边与对边的比值。

2.2 余弦函数的定义和性质余弦函数是三角函数中的另一种常用函数，通常用cos表示。

它表示一个角度对应的余弦值。

余弦函数的定义域是所有实数，值域也是[-1, 1]，周期同样是360度或2π弧度。

在直角三角形中，余弦值等于斜边与邻边的比值。

3. 正切函数和割函数3.1 正切函数的定义和性质正切函数是三角函数中另一个重要的函数，通常用tan表示。

它表示一个角度对应的正切值。

正切函数的定义域是除去所有余弦值为0的实数，值域是所有实数。

在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值。

3.2 割函数的定义和性质割函数是三角函数中的另一个相关函数，通常用csc表示。

它表示一个角度对应的割值。

割函数的定义域是除去所有正弦值为0的实数，值域同样是所有实数。

在直角三角形中，割值等于斜边与对边的比值的倒数。

4. 应用举例三角函数在实际应用中有广泛的应用。

例如，它们可以用于测量高楼大厦的高度、导航系统中确定航向、天文学中计算星体的位置等等。

三角函数的应用可以帮助我们解决许多实际问题。

5. 总结通过研究三角函数，学生可以理解角度和三角关系之间的重要性，并且能够应用他们解决实际问题。

掌握三角函数的基本概念和性质对于数学的研究和实践具有重要意义。

以上是关于八年级数学上册专题“三角函数”的简要介绍。

希望本文可以帮助学生们更好地理解和掌握这一重要概念。

专题33 三角函数的概念(解析版)

专题33 三角函数的概念(解析版)

专题33 三角函数的概念考点1 任意角的三角函数1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则cos A的值是（）A．35B．45C．43D．54【答案】A【解析】∵∠C＝90°，a＝4，b＝3，∴c＝√42+32＝5，∴cos A＝bc ＝35.2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．34B．43C．35D．45【答案】D【解析】根据网格特点可知，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得，AB＝√AC2+BC2＝5，则cosα＝ACAB ＝45.3.如图，点A为α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC【答案】C【解析】∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC ＝BCAB＝DCAC，只有选项C错误.4.角θ的终边过点P（－1,2），则sinθ等于（）A．√55B ．2√55C ．－√55D ．－2√55【答案】B【解析】由题意可得，x ＝－1，y ＝2，r ＝|OP |＝√5， ∴sin θ＝√5＝2√55.5.已知角α的终边过点P （－3,4），则sin α＋cos α等于（ ） A ．35 B ．－45 C ．15 D ．－15 【答案】C【解析】sin α＝45，cos α＝－35，故sin α＋cos α＝15.6.已知点P 在角4π3的终边上，且|OP |＝4，则P 点的坐标为（ ） A ．（－2，－2√3） B ．（－12，－√32）C ．（－2√3，－2）D ．（－√32，－12）【答案】A【解析】设P点的坐标为（x，y），由三角函数的定义得，x＝|OP|cos4π3＝4×（－12）＝－2，y＝|OP|sin4π3＝4×(−√32)＝－2√3.则P（－2，－2√3）.7.已知α是第二象限角，P（x，√5）为其终边上一点，且cosα＝√24x，则x等于（）A．√3B．±√3C．－√2D．－√3【答案】D【解析】∵cosα＝xr ＝√x2+5＝√24x，∴x＝0（∵α是第二象限角，舍去）或x＝√3（舍去）或x＝－√3.8.已知角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），则2sinα＋cosα的值是（）A．1B．25C．－25D．－1【答案】C【解析】∵角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），∴r＝|OP|＝√(−4m)2+(3m)2＝√25m2＝－5m，则2sinα＋cosα＝2×3m−5m ＋−4m−5m＝－65＋45＝－25.9.如图，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，AD＝4，AC＝6，则sin∠EBC＝________.【答案】√53【解析】∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠ADC＝90°，AD＝4，AC＝6，∴CD＝√AC2−AD2＝√62−42＝√20＝2√5，∴sin∠DAC＝CDAC ＝2√56＝√53，∴sin∠EBC＝√53.10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______.【答案】34【解析】在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A＋∠B＝90°，∠BCD＋∠B＝90°. ∴∠A＝∠BCD，∴tan∠BCD＝tan∠A＝BCAC ＝68＝34.11.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝√10，则m－n＝________.【答案】2【解析】∵y＝3x，sinα＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，且m＜0，n＜0，n＝3m.∴|OP|＝√m2+n2＝√10|m|＝－√10m＝√10.∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.12.已知角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，点P（a，b）是α终边上的一点，且|OP|＝√5，求a＋b的值.【答案】∵角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，∴点P（a，b）在第三象限，a＜0，b＜0，∴tanα＝2，即ba＝2，又|OP|＝√5，即a2＋b2＝5，解得a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.考点2 三角函数值在各象限的符号13.若角θ同时满足sinθ＜0，且tanθ＜0，则角θ的终边一定落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由sinθ＜0，可知：θ的终边在第三、四象限或终边落在y轴的非正半轴上；由tanθ＜0，可知：θ的终边在第二、四象限.综上可知：角θ的终边一定落在第四象限.14.若A、B为锐角△ABC的两内角，则点P（sin B－cos A，cos B－sin A）是（）A．第一象限的点B．第二象限的点C．第三象限的点D．第四象限的点【答案】D【解析】∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B＞π2，∴A＞π2－B，B＞π2－A，sin A＞sin（π2－B）＝cos B，sin B＞sin（π2－A）＝cos A，∴sin B－cos A＞0，cos B－sin A＜0，∴点P（sin B－cos A，cos B－sin A）是第四象限的点.15.函数y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域是（）A．{3}B．{3，－1} C．{3,1，－1} D．{3,1，－1，－3}【答案】B【解析】当x是第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，tan x＞0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝1＋1＋1＝3；当x是第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，tan x＜0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝1－1－1＝－1；当x是第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，tan x＞0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝－1－1＋1＝－1；当x是第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，tan x＜0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝－1＋1－1＝－1；综上可得，函数y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域是{－1,3}.考点3诱导公式一16.点A（sin2011°，cos2011°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵sin2011°＝sin（5×360°＋211°）＝sin211°＜0，cos2011°＝cos （5×360°＋211°）＝cos211°＜0， ∴横坐标和纵坐标都是负数， ∴对应的点位于第三象限.17.如果角α的终边经过点P （sin780°，cos （－330°）），则sin α等于（ ） A ．√32B ．12 C ．√22D ．1 【答案】C【解析】sin780°＝sin （2×360°＋60°）＝sin60°＝√32，cos （－330°）＝cos （－360°＋30°）＝cos30°＝√32，所以点P （√32，√32），所以r ＝|OP |＝√62.由三角函数的定义，得sin α＝yr ＝√32√62＝√22.18.sin1830°等于（ ） A ．12 B ．－12 C ．√32D ．－√32【答案】A【解析】sin1830°＝sin （30°＋5×360°）＝sin30°＝12. 19.求下列各式的值. （1）cos25π3＋tan （；（2）sin （－1320°）cos1110°＋cos （－1020°）sin750°＋tan495°. 【答案】（1）原式＝cos （＋tan （＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.（2）原式＝sin （－4×360°＋120°）cos （3×360°＋30°）＋cos （－3×360°＋60°）sin （2×360°＋30°）＋tan （360°＋135°）＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝√32×√32＋12×12－1＝0.考点4 单位圆与三角函数线 20.下列说法不正确的是（ ）A ．当角α的终边在x 轴上时，角α的正切线是一个点B ．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在C ．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D ．余弦线和正切线的始点都是原点 【答案】D【解析】余弦线始点是原点，正切线的始点是点（1,0）.21.不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是（ ） A ．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在【答案】D【解析】由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确.22.函数值tan224°，sin136°，cos310°的大小关系是（）A．cos310°＜sin136°＜tan224°B．sin136°＜cos310°＜tan224°C．cos310°＜tan224°＜sin136°D．tan224°＜sin136°＜cos310°【答案】A【解析】tan224°＝tan44°，sin136°＝sin44°，cos310°＝cos50°＝sin40°，如图∠COF＝44°，CF是44°的正切线，EG是正弦线，OE是余弦线，DI是40°的正弦线，由图可知CF＞EG＞DI，所以cos310°＜sin136°＜tan224°.23.设a＝sin（－1），b＝cos（－1），c＝tan（－1），则有（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b【答案】C【解析】作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM＞0，a＝MP＜0，c＝AT ＜0，且MP＞AT.∴b＞a＞c，即c＜a＜b.24.如果MP、OM分别是角3π的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是（）16A．MP＜OM＜0B．MP＜0＜OMC．MP＞OM＞0D．OM＞MP＞0【答案】D【解析】如图可知，OM＞MP＞0.25.如图，MP → 、OM → 、AT→ 分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线，则其数量一定有（ ）A ．MP ＜OM ＜ATB ．OM ＜MP ＜ATC ．AT ＜OM ＜MPD ．OM ＜AT ＜MP【答案】A【解析】∵MP → 、OM → 、AT→ 分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线， ∴MP → ＝sin240°，OM → ＝cos240°，AT→ ＝tan240°，其数量关系为：MP ＜OM ＜AT . 26.若0＜α＜2π，则使sin α＜√32和cos α＞12同时成立的α的取值范围是（ ） A ．（－π3，π3）B ．（0，π3）C ．（5π3，2π）D ．（0，π3）∪（5π3，2π） 【答案】D【解析】∵0＜α＜2π，sin α＜√32， ∴0＜α＜π3或2π3＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cos α＞12，∴0＜α＜π3或5π3＜α＜2π，② ①②取交集得0＜α＜π3或5π3＜α＜2π. 27.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合.（1）sin α≥√22；（2）cos α≤12；（3）|cos α|＞|sin α|. 【答案】（1）由下图知：当sin α≥√22时，角α满足的集合为{α|π4+2kπ≤α≤3π4+2kπ,k ∈Z}.（2）由下图知：当cos α≤时，角α满足的集合为{α|π3+2kπ≤α≤5π3+2kπ,k ∈Z}.（3）如下图，作出单位圆.所以角α满足的集合为{α|kπ−π4<α<kπ+π4，k ∈Z}28.利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围. （1）sin θ≥√32；（2）－12≤cos θ＜√32.【答案】（1）下图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ|2kπ+π3≤θ≤2kπ+2π3，k ∈Z}.（2）下图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ|2kπ−23π≤θ≤2kπ−π6或2kπ+π6<θ≤2kπ+23π，k ∈Z}.。

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三角函数的基本概念知识概述：
1、任意角的三角函数的定义：
2、三角函数线
3、同角三角函数的基本关系式
4、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
练习：
1 （1）已知角∂的终边经过点)2,1(--A ，求∂∂∂tan ,cos ,sin 的值；
（2）设角∂的终边上一点),3(y P -，且13
12sin =
∂，求y 的值和∂tan 。

2 （1）判断下列各式的符号：
（1） 225tan )260cos(330sin - 2，4cos )3sin(-
（2）已知0tan 0cos <<θθ且，那么角θ是 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（3）已知∂是第二象限角，求角∂∂
2,2
的终边所处的位置。

3 （1）已知3tan =∂，且∂为第三象限角，求∂∂cos ,sin 的值；
（2）已知3
1
cos -=∂，求∂+∂tan sin 的值； （3）已知2tan -=∂，求值：∂∂+∂∂
-∂∂
+∂cos sin sin ,2;cos sin cos sin 2,
12 4 求值：
（1）= 2010tan ； （2）=-)6
19sin(π
（3）
=∂+-∂-∂-∂+∂-)
2
cos()3sin()23sin()cos()2sin(πππππ
5 已知角∂的终边经过点)5
sin
,5
cos
(π
π
-，则∂的值为 （ ）
A. 5
π
- B.
54π C.)(,5Z k k ∈+-ππ D.
)(,25
4Z k k ∈+ππ
6 化简下列各式：
（1）若θ为第四象限角，化简θθ2sin 1tan -； （2）化简θθ2tan 1cos + （3）化简)4cos(4sin 21--π
7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角)0(πθθ<<取何值时，扇形的面积S 最大？并求出最大值。

教师用：
例1 （1）已知角∂的终边经过点)2,1(--A ，求∂∂∂tan ,cos ,sin 的值；
（2）设角∂的终边上一点),3(y P -，且13
12sin =
∂，求y 的值和∂tan 。

解：（1）552sin -
=∂ 5
5
cos -=∂ 2tan =∂ （2）32tan ,6-=∂=y 例2 （1）判断下列各式的符号：
1， 225tan )260cos(330sin - 2，4cos )3sin(-
（2）已知0tan 0cos <<θθ且，那么角θ是 （ B ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 （3）已知∂是第二象限角，求角
∂∂
2,2
的终边所处的位置。

解：（1）1，0225tan )260cos(330sin >- 2，04cos )3sin(<-
（3）2
∂
是第一象限或第三象限角，∂2是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角。

例3 （1）已知3tan =∂，且∂为第三象限角，求∂∂cos ,sin 的值；
（2）已知3
1
cos -
=∂，求∂+∂tan sin 的值； （3）已知2tan -=∂，求值：∂∂+∂∂
-∂∂
+∂cos sin sin ,2;cos sin cos sin 2,
12 解：（1）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=∂-=∂1010cos 10103sin
（2）当∂为第二象限角时，3
2
4tan sin -
=∂+∂，当∂为第三象限角时
3
2
4tan sin =
∂+∂ （3） 1,原式=1 2，原式=5
2 例4 求值： （1）3
3
2010tan =
； （2）21)619sin(=-π
（3）
∂
-
=∂+-∂-∂-∂+∂-sin 1)2
cos()3sin()23sin(
)cos()2sin(π
ππππ 例5 已知角∂的终边经过点)5
sin ,5cos (π
π-，则∂的值为 （ D ）
A. 5π-
B. 54π
C.)(,5Z k k ∈+-ππ
D.
)(,25
4Z k k ∈+ππ
例6 化简下列各式：
（1）若θ为第四象限角，化简θθ2sin 1tan -； （2）化简θθ2tan 1cos + （3）化简)4cos(4sin 21--π
解：（1）原式=θsin
（2）当θ在第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，原式=1- （3）当θ在第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，原式=1
例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角)0(πθθ<<取何值时，扇形的面积S 最大？并求出最大值。

解：当2=θ时，S 的最大值为16
2
L。

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