1第一章 点、直线、平面的投影2003

课堂练习4
正平 正垂
铅垂 侧垂
课堂练习5
二、直线与点的相对位置
判别方法：
◆ 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名投 影分割成与空间相同的比 例。即：
V c a
C A
b
B
b a c H
AC/CB=ac/cb= ac / cb
◆若点的投影有一个不在直 线的同名投影上， 则该点必不 在此直线上。
1· 点的投影 2
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点 A在P面上的投影。
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
解决办法？ A
●
P
●
a
P
B2
●
B1
●
●
b
B3
●
采用多面投影。
1· 点的投影 2 一、点在一个投影面上的投影
二、点的三面投影
投影面
◆正面投影面（简称正 面或V面） ◆水平投影面（简称水 平面或H面） ◆侧面投影面（简称侧 面或W面）
二、新投影面的选择原则
V1
a
V
A B a
H
a1
b1
b
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
三、点的投影变换规律 ⒈ 更换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
上 下 -
Z
Z
a'
b'
a"
b" O
a' A
B O b" b a
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
b' X
左-右
a"
X
YW
后-前
b
Y
a
YH
后 前
-
例题2：已知A点在B点之前5mm，之上9mm，之右8mm，
求A点的投影。 a'
9
Z a"
b' X
细线 8
b"
课堂练习3
b b
a
a
b
a
已知点B在V面上，求其余面的投影
课堂练习4
a
b
a
b
a
b
已知AB平行H面，求其余面的投影
课堂练习5
c
b
a
d
d
X
a b c
已知两直线相交，补全直线的另一投影
课堂练习6
c
a
d
b
X
a
d
c b
过C作一水平线与直线AB相交
小 结
重点掌握：
二、直线与点的相对位置
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a b
c b ②
a
c
●
b c a c b
a
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理 （同学们自己思考）
求出侧面投影
例3：作一直线MN，使MN∥AB，且与直线CD、EF相交
n' m'
n
m
⒉ 两直线相交
V a A a c
c k
C
b d K D d k
交点是两直 线的共有点
b B a c
k
d
b
H
a
c k
d b
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。
直线在换面法中的基本情况：
一、一次换面可将一般位置直线变换成投影面平 行线。新投影轴应平行于直线原有的投影。 二、一次换面可将投影面平行线变换成另一投影 面的垂直线。新投影轴应垂直于直线所保留的反 映真长的投影。 三、两次换面可将一般位置直线变换成投影面垂直 线，先将一般位置直线变换成投影面平行线，再将 投影面平行线变换成投影面垂直线。
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
⑴ 投影面平行线 水平线
a a b a b
课堂练习1
c'
c
a b c
求作直线AB的水平投影，并在直线AB上求一点C，使C点距H、 V面距离相等。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。
⒈ 两直线平行
b a A a b B c C D d V
投影特性：
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
a
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
a
b
d c
b
●
d
a(b)
c
e
f
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
b a a b
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实际大小，且与 三根投影轴都倾斜。
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面 上的投影仍为直角。 证明：
B C A b a
c H b
c
a
.
设 因 所以 又因 故 因此 即
直角边BC//H面 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb BC⊥ABba平面 BC∥bc bc ⊥ABba平面 bc⊥ab ∠abc为直角
实长 a
b
α γ
正平线
a b a b
侧平线
β
a 实长
α
b
β
a
γ
b
b
a
b
实长
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，与其余投影 面的夹角等于平行投影与相应的投影轴的夹角。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a
k
d
a
d
c
k
●
b
先作正面投影
⒊ 两直线交叉
d
a c c
1(2 ) 3 4
●
为什么？ 投影特性： 两直线相交吗？
b
●
●
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
A● M● B● a（m、b）
●
a ●
●
●
a
●
b
b
● ●
b
B ● A●
●
●
B
A● b a●
α
●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
1· 直线的投影 3
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
点的投影规律
V面(主视图)与W面(左视图)高相等 V面(主视图)与H面(俯视图)长相等 W面(左视图)与H面(俯视图)宽相等
简称：长 对 正 高平齐 宽相等
例1：已知点的两个投影，求第三投影
解法一:
a● ax az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置
直线的投影特性。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 ★定比定理。
★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
1.4 换面法
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？ 解决方法：更换投影面。
换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投 影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相 对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后 将物体向新投影面进行投射。
a b
课堂练习1
一、填空： 1．直线在三面投影体系中的位置，可分为
投影面平行线 投影面垂直线
、 、
、
。
一般位置线
。
两直线相交
2．两直线的相对位置可分为
两直线交叉
、
两直线平行
课堂练习2
侧垂线 正垂线
水平线 侧平线
课堂练习3
b
a
a
b
30°
a
b
作一水平线AB，从点A向左、向前， =30°，长20。
O
YW
b
小圆点
5
a
YH
例2
重影点：
A、C为H面的重影点
a
● ●
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )