二、标量场及其梯度
工程数学 标量场及其梯度
CQU
（6）梯度运算的几个基本关系式 • 相对坐标标量函数 f (r−r′)
∇f = −∇ ′f
证明 ：在直角坐标系中f (r−r′) = f (x− x′，y− y′，z− z′ ) 上式重写为
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ex + ey + e z = −( ex + ey + ez ) ′ ′ ′ ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x
R = ( x − x ′) e x + ( y − y ′) e y + ( z − z ′) e z
R = [( x − x ′) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z ′) 2 ]1/2
则
∂R 1 = [( x − x′) 2 + ( y − y′) 2 + ( z − z′) 2 ]−1/2 ∂x 2
∇f
P 1
= 4e 2-1-1 (2 e x − e y + e z ) = 4(2 e x − e y + e z )
R12 (−3 − 1) e x + (5 − 1) e y + (6 + 1) e z = = R12 [(−4) 2 + 4 2 + 7 2 ]1/2 = − 4 ex + 4 ey + 7 ez 81 = − 4 ex + 4 ey + 7 ez 9
1.2 标量场及其梯度
CQU
(2)方向导数与梯度的关系 偏导数
∂f ∂f ∂y ∂x 、
∂f 、 ∂z
分别叫做 ƒ 在x、y、z 方向
上的方向导数，用梯度表示为
∂f = (∇f ) x = ∇f e x ∂x ∂f = (∇f ) y = ∇f e y ∂y ∂f = (∇f ) z = ∇f e z ∂z
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解教学内容
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
1.2 标量场及其梯度
1.2 标量场及其梯度1.2.1 标量场的概念定义：在区域V 内的某种物理系统，其特性可以用标量函数ƒ(r ，t )来描述。
对于V 中任意一点r ，若ƒ(r ，t )有确定值与之对应，就称这个标量函数ƒ(r ，t )是定义于V 上的标量场。
由定义可知标量场有两个特点：①具有单值性；②占有一个空间。
标量场有两种：恒稳标量场ƒ(r )，时变标量场ƒ(r , t )表示。
标量场ƒ(r , t ) 在某时刻空间的分布可用等值面予以形象描绘。
它是该时刻ƒ(r )为同一值所有点构成的空间曲面。
在直角坐标中ƒ(r )的等值面方程ƒ(x,y,z ) = C (1.2.1)其中C 为常数。
绘制等值面的原则：应使相邻等值面的值差保持为定值。
等值面与平面相交所得的截迹线——等值线，一系列等值面（线）的疏密程度能定性反映标量场的变化情况，不同值的等值面（线）不能相交。
1.2.2 标量场的梯度（1）对于定义在V 中连续、可微的标量场ƒ(x,y,z )，考察它在(x,y,z )点邻域内沿某一方向的变化情况，如图所示。
由 (x ,y ,z ) 点到(x+dx ，y+dy ，z+dz ) 点的微分位移用线元矢量表示d l = d xe x +d y e y +d z e z （1.2.2）标量场的相应微增量zzf y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=, z +d z )(1.2.3) 改写上式为()z y x z y x z y x zfy f x f f e e e e e e d d d )(d ++⋅∂∂+∂∂+∂∂=l e e e d )(⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x zfy f x f括号内的矢量称为标量场ƒ(x,y,z )在点(x,y,z )的梯度，记作f ∇)(z y x zfy f x f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇（1.2.4）于是，标量场微增量可写为ld d ⋅∇=f f（1.2.5）（2）讨论：① 上式的表达形式与坐标系无关，它是标量场梯度的定义式。
标量场梯度的定义与计算
弟为最大的方向导数。
思考：什么情况下，方向导数为零呢？
sd 为零，即等值面上任意线段上
的方向导数为零。
b・梯度定义
定义：标量场中某点梯度的大小为该
点最大的方向导数，其方向为该点所
在等值面的法线方向。
d。
数学表达式:
grad^
=
八a dn n
C.梯度的计算:
挪 d，dn d， 八
梯度
al
u —=---- cos
解：根据梯度计算公式
疽卵—ax +云 ^^y az ox 8y 8z
=6 xyz & + 3x2 z z(ay + 9 x2
yz 位
, grad I 尹=12% + 3 句 + 18ciz
在不同的坐标系中，梯度的计算公式:
在直角坐标系中: 在柱坐标系中:
海八 海八 海八
v^=—a +—a y +—a ox Sy
W牛r or
Hale Waihona Puke Sz也"淨z在球坐标系中:
w=迎晶+
SR R
海a+
sin先 a
+普 +寿 在任意正交曲线坐标系中：坐标变量（"i，"2,"3），拉梅系数（如h2,h3） ou2 a 2 h ou3 a 3 h h Ou
小结：
1.标量场的等值面
2.标量场梯度的定义grad^ =翌％ dn
3. 标量场梯度的计算w=普&
+ + h % a 2 h m a 3
学a
， d l d n d / d n
在直d 角坐= 标gr系ad中，：- d挪l =g皿斜+灯
第3讲 矢量分析(2)
P 穿出该六面体的净通量为
Fx Fy Fz S F dS x xyz y xyz z xyz
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
F lim
S
F dS V
V 0
Fx Fy Fz x y z
u • 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 l
方向导数的概念
问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
3. 标量场的梯度
标量场的场函数为 ( x, y, z, t ) a.方向导数：
d 空间变化率，称为方向导数。 dl
P1
dn
P
P2
dl
d 为最大的方向导数。 dn
0
0 d
b.梯度 定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。 d ˆ an 数学表达式： grad dn
计算
d d d n d cos d a a ˆn ˆl dn dl d n dl d n d grad d l
l1 l2 l3 l4
Fy1y Fz 2 z Fy 3 y Fz 4 z
Fy1 Fy M
Fy z
M
z 2
z
3
4 z M
C 2
Fz y Fz 2 Fz M y M 2 Fy z Fy 3 Fy M z M 2 F y Fz 4 Fz M z y M 2
Si
散度定理是闭合曲面积分
与体积分之间的一个变换关系。
散度体积分=闭合面通量
三. 矢量场的环流和旋度
1. 矢量场的环流与旋涡源
散度旋度梯度
∂ ∂x
+
r ay
∂ ∂y
+
r az
∂ ∂z
7
d ⇒∇
dl
柱面坐标系：
r dl = ?
rr r
r
dl = ardr + aϕ (r ⋅ dϕ) + azdz
r ∂ r1∂ r ∂ ∇ = ar ∂r + aϕ r ∂ϕ + az ∂z
8
d ⇒∇ dl
球坐标系：
r dl = ?
rr
r
r
dl = aRdR + aθ (R ⋅ dθ ) + aϕ (R ⋅ sinθ ⋅ dϕ )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r
(∇ • A)dv =
(3r + 2)rdrdϕdz
2π
dϕ
4
dz
5 (3r 2 + 2r)dr
0
0
0
V
V
= 8π ⋅ (r 3 + r 2 ) |50 = 1200π
rr r r r
rr
r
∫ ∫ ∫ ∫ A • ds = A • ds + A • ds + A • ds
侧面
上表面
两个恒等式(可逆)
(1)标量场梯度的r旋度为零
r
∇U r
=
F无旋
r
∫ F无旋 • dl ≡ 0
C
Q ∇ × F无旋 ≡ 0 ——逆定理…？
(2)矢量场旋度的散度为零 r
∇ • (∇r × A) ≡ 0
∇• F无散 ≡ 0 ——逆定理…？ 35
亥姆霍兹定理
定理的本质：
在空间有效区域τ内的任一矢量场F，由它的散度，旋度
电动力学0.2-0.5 标量场的方向导数和梯度
个标量场来表示一个矢量场。 个标量场来表示一个矢量场。
v 在矢量场 F中，如果一条曲线在空间各点都始终与矢 v v 相切， 的方向， 量 F 相切，而曲线切线方向总取为矢量 F 的方向，则 v r 这条曲线称为矢量场 F 的矢量线
矢量线的密度与矢量场的模成正比， 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单 位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
§0.3 矢量场的通量和散度
1 矢量线
v v 一般是空间坐标和时间的函数， 矢量场 F 一般是空间坐标和时间的函数， 可表示为 F v v v v v v v v v F = F ( r , t ) = ex Fx ( r , t ) + ey Fy ( r , t ) + ez Fz ( r , t ) ，即可以用三
v v F (M ) < F ( P)
P
M r F ( P)
F(M)
C
矢量场的通量 2 矢量场的通量
v v 在矢量场 F 中，任取一面元矢量dS，定 v v 义矢量F 通过面元矢量dS 的通量为
r r dΦ = F ⋅ dS
r en r dS
θ
r F
通过曲面 S 的通量为 Φ = ∫S
r r F ⋅ dS
r en θ
r l
P2
P0
标量场 ϕ ( P ) 在某一方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投
r 影，即 ∂ϕ = ∇ ϕ ⋅ e l . ∂l
证明： 证明： ∂ϕ = ∂ϕ cos α + ∂ϕ cos β + ∂ϕ cos γ
∂l ∂x ∂y ∂z v ∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ v v v = ex + ey + ez ⋅ e x cos α + e y cos β + ez cos γ ∂x ∂y ∂z r = ∇ ϕ ⋅ el
电动力学第0章场及其梯度、散度和旋度第一
电动力学第0章场及其梯度、散度和旋度第一CONTENTS•场的基本概念与性质•梯度、散度和旋度的定义与性质•梯度、散度和旋度的计算方法•梯度、散度和旋度在电磁学中的应用•梯度、散度和旋度在其他领域的应用场的基本概念与性质01场的定义及分类场的定义场是一种物理量在空间中的分布，它可以描述物理量随空间位置和时间的变化。
场可以是标量场、矢量场或张量场，分别对应于物理量的标量、矢量和张量性质。
场的分类根据物理量的性质和场的数学描述，场可以分为不同类型，如标量场、矢量场、张量场等。
其中，标量场描述物理量的数值大小，矢量场描述物理量的方向和大小，而张量场则描述更复杂的物理量结构和性质。
场的基本性质连续性场在空间中是连续的，即物理量在空间中的变化是连续的，没有突变或跳跃。
可微性场在空间中是可微的，即物理量的变化率（梯度）在空间中是连续的。
对称性场可能具有某些对称性，如空间对称性、时间对称性等，这些对称性反映了物理定律的内在结构。
场与物理量的关系场是物理量的空间分布场描述了物理量在空间中的分布和变化，因此场与物理量密切相关。
例如，电场描述了电荷在空间中的分布和相互作用，磁场描述了电流和磁体在空间中的分布和相互作用。
场与物理量的相互作用场不仅描述了物理量的空间分布，还描述了物理量之间的相互作用。
例如，在电场中，电荷之间的相互作用是通过电场力来实现的，而在磁场中，电流和磁体之间的相互作用是通过磁场力来实现的。
场与物理定律的关系场是物理定律的空间表现形式。
物理定律通常可以表示为场方程的形式，这些方程描述了场的性质和行为。
例如，麦克斯韦方程组描述了电磁场的性质和行为，而牛顿第二定律则描述了质点在力场中的运动行为。
梯度、散度和旋度的定义与性质02梯度的定义梯度是一个向量，其方向指向标量场增长最快的方向，大小等于该方向上的最大增长率。
梯度的物理意义在物理学中，梯度通常用来描述空间中场的变化情况。
例如，在电场中，电势的梯度即为电场强度；在重力场中，重力势的梯度即为重力加速度。
《标量场的梯度》PPT课件
一、方向导数
1.方向导数的定义
方向导数表征标量场空间中，某点处场值
u(r )
l
沿特定方向变化的规律。
u lim u(M ) u(M0 )
l l0 M0
l
方向导数的物理意义
M
M0 l
ul |M0是标量场u(M )在点M0处沿l 方向对距离的变化率
1) ul |M0 >0，标量场u在点M0沿l 方向是增加的；
l x y z
( x
ex
y
ey
z
ez
)
u ex u e y u ez u x y z u gradu
标量场u的梯度，
用 gradu 表示
u gradu el | gradu || el | cos | el |1 u | gradu | cos
l
l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，
r
从源点指向场点的矢量为
o
y
R r r
x
例3 求R,R, 1 , 1 ,f (R),f (R) RR
表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
R | r r | ( x x)2 ( y y)2 (z z)2
R R R
10
R ex x ey y ez z
R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2
设 l 方向的方向余弦是 cos, cos , cos ，即
x cos y cos z cos
l
l
l
则方向导数的计算公式为
u u cos u cos u cos
2
l x
y
z
标量场梯度的定义与计算
在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆy
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
aˆ
z
aˆz
在球坐标系中：
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：坐标变量 (u1, u2, u3) ，拉梅系数 (h1, h2, h3)
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu2
h3u3
aˆu3
小结：
1. 标量场的等值面
2.
标量场梯度的定义
grad
d
dn
aˆn
3.
标量场梯度的计算
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu2
h3u3
aˆu3
y
aˆy
z
aˆz
梯度也可表示： grad
0 d 0
例如：已知 (x, y, z) 3x2 yz3
求：P(1,2,1)点的梯度。
解：根据梯度计算公式
grad
x
aˆx
y
aˆy
z
aˆz
6xyz3aˆx 3x2z3aˆ y 9x2 yz2aˆz
grad P 12aˆx 3aˆy 18aˆz
d
dn
aˆn
P1
P2
dn dl
P
0 d 0
c.梯度的计算：
梯度
d
dl
d dn
dn dl
d cos
dn
d
dn
aˆn
aˆl
P1
P2
dn dl
d grad dl
二、标量场及其梯度
e12 =
于是， 处沿R 方向上的方向导数为： 于是，f 在P1 处沿 12 方向上的方向导数为：
f R12 == 4(2 e x e y + e z )
4e + 4e + 7e 9
x y
z
=
4 [2 × (4) + (1) × 4 + 1× 7] = 20 9 9
标量场(x,y,z)在(x,y,z)点的梯度 在 点的梯度(gradient) 定义为： 定义为： 标量场 点的梯度
grad f = f = (
因此
f f f ex + e y + ez ) x y z
df = f d l
(2)方向导数与梯度的关系 (2)方向导数与梯度的关系 偏导数
f f f 分别叫做 方向上的方向导数， 、 、 分别叫做 在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为 方向上的方向导数 x y z
V f (r) r o
f=2
标量场--等值线( 标量场--等值线(面)。 --等值线 其方程为
f = -1
f=0
f=3
f ( x , y , z ) = const
图1-9 标量场的一组等值线
作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。 作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。
即有
f f = x x′
f f = y y′ , f f = z z′
同理可得 证毕。 证毕。
相对位置矢量R 的模R 相对位置矢量 = rr′的模 = |rr′| 的模
R = R = eR R
e R 1 = 3 = R R R R2
在直角坐标中
R = ( x x ′) e x + ( y y ′) e y + ( z z ′) e z
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解
1.梯度gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度，记作div A，即div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
标量场的方向导数和梯度
y
方向导数 4
4 标量场的梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向， 即标量场 (P)在一点处的方向导数有无穷 多个，在这无穷多个方向中方向导数在什 么方向上最大？
4.1 梯度(gradient)的定义
c2 c1
r en
P1 r
l
P2
P0
lim ( p) ( p0 )
l l0 P0
l
标量场 (P)在点P0处的梯度是一个矢量，其方向 为函数 (P)在点P0处方向导数取得最大值的方向，其 模等于这个最大的方向导数，记作
rr
向外通过闭合曲面S 的通量为 ÑS F dS
➢
面元矢量
v dS
evn
dS
➢
v F
cos
dS
，以外法线方向为正
s
9
2 通量的物理意义
矢量场通过闭合曲面的通量的三种可能结果
0 正通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
0 负通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线进入
0 无通量源
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
Vi 0
Vi
12
Ñ 可得：
的矢量线
➢ 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单
位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
v F
M
Fv P
M
F P
P
F M
C
8
2 矢量场的通量
在矢量场
v F
中，任取一面元矢量dSv，定
F
义矢量Fv通过面元矢量dSv的通量为
en
d F dS
垂直通过某一面积的量
dS
rr
通过曲面S 的通量为 S F dS
闭合曲面的通量从的通量源的关系。 10
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度
通过闭合面S的通量的物理意义： a) 若 ψ 0，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量， 闭合面内有产生矢量线的正发射源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的发射源；
b) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量， 闭合面内有吸收矢量线的负吸收源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的吸收源；
这个方向的投影，梯度方向是等值面的法线方向。
梯度 (Gradient)定理
积分结果与路径无关。Fra bibliotek通量与散度, 散度(高斯)定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的通量(Flux of a vector field)
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
A dS
S
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。 若S 为闭合曲面
A dS
S
矢量场的通量
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ A dS Ax dydz Ay dzdx Az dxdy
S S
物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。 在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
矢量场的例子
(a) 有发射源 (Source)的场 (b) 有漏(Sink)或有吸收源的场 (c) 旋转 (Circulation)场 Videos are from: MIT online Open Course Resources
麦克斯韦方程组
静电学方程
E
B E t
Q
2.2数量场的方向导数和梯度.
3）在球面坐标系中：
3、 梯度的性质
1） 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的 方向表示该点场变化最大（增大）的 方向，其数值表示变化最大方向上场的空 间变化率。
2） 标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
5.
梯度的重要性质
0
证：
ˆ x x x ˆ y y y
标量场梯度的旋度恒等于零。
ˆ z z z
2 2 2 2 2 ˆ( ˆ( ˆ( x F F) y F F) z F F) yz zy zx xz xy yx
2.2 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数 1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间 的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应 用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的 情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
u u lim | l M l 0 l
l
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u u u u ex ey ez x y z u 1 u u u er e ez r r z u 1 u 1 u u er e e r r r sin
2）在柱面坐标系中：
=0
例题：
若 R r r ' ，R R
在处理相对坐标的函数的 梯度运算时，算子 与算 子 ' 可以互换，但改变 其前的正负号。
证明：
1 1 ( ) '( ) R R
ex ey ez 说明： x y z ' ex ey ez x ' y ' z '
向量场与标量场的梯度散度与旋度
向量场与标量场的梯度散度与旋度向量场与标量场的梯度、散度与旋度一、引言在物理学和数学中，向量场和标量场是两个基本的概念。
向量场是指在每个点上都有一个向量的场，而标量场是指在每个点上都有一个标量的场。
本文将介绍向量场与标量场的概念以及它们的梯度、散度和旋度。
二、向量场的概念向量场是指在空间中的每个点上都有一个向量的场。
向量场可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
向量场可以描述物理量的分布情况，如速度场、电场等。
三、标量场的概念标量场是指在空间中的每个点上都有一个标量的场。
标量场可以用等高线表示，等高线的密集程度表示标量的大小。
标量场可以描述温度场、压力场等物理量的分布情况。
四、向量场的梯度向量场的梯度表示其在空间中的变化率。
在数学中，向量场的梯度可以用偏导数表示。
对于一个二维向量场F(x, y)，其梯度∇F(x, y)可以表示为：∇F(x, y) = (∂F/∂x, ∂F/∂y)其中，∂F/∂x表示F关于x的偏导数，∂F/∂y表示F关于y的偏导数。
梯度的方向表示向量场变化的方向，梯度的大小表示变化的快慢。
五、标量场的梯度标量场的梯度表示其在空间中的变化率。
在数学中，标量场的梯度可以用梯度算子表示。
对于一个标量场φ(x, y)，其梯度∇φ(x, y)可以表示为：∇φ(x, y) = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y)其中，∂φ/∂x表示φ关于x的偏导数，∂φ/∂y表示φ关于y的偏导数。
梯度的方向表示标量场变化的方向，梯度的大小表示变化的快慢。
六、向量场的散度向量场的散度表示其在空间中的发散情况。
在数学中，向量场的散度可以用散度算子表示。
对于一个二维向量场F(x, y)，其散度∇·F(x, y)可以表示为：∇·F(x, y) = (∂F/∂x + ∂F/∂y)其中，∂F/∂x表示F关于x的偏导数，∂F/∂y表示F关于y的偏导数。
散度表示向量场的流入流出情况，散度为正表示有流出的趋势，散度为负表示有流入的趋势。
1.4标量场的梯度
el = ex cos α + e y cos β + ez cos γ
cos α , cos β , cos γ 是 el 的方向余弦： 的方向余弦：
dx dy dz cos α = , cos β = , cos γ = dl dl dl
3、方向导数的性质 方向导数是标量场在点P处沿方向 对距离的变化率。 方向导数是标量场在点 处沿方向 el 对距离的变化率。 标量场中，在给定点 处沿不同方向 的方向导数不相同。 标量场中，在给定点P处沿不同方向 el 的方向导数不相同。 二、梯度 1、梯度的定义 是一个矢量， 标量场 u (r ) 的梯度 gradu ：是一个矢量，其方向为标量场 变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率， u (r ) 变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率，即
§1.4 标量场的梯度
用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为： 标量场: 标量场 u (r ) 用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为： 一、等值面 1、等值面 标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。 标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。 例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中， 例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中， 由电位相同的点构成等位面。 由电位相同的点构成等位面。 2、等值面方程
3、梯度的性质 标量场的梯度是一个矢量场。 标量场的梯度是一个矢量场。
标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。 标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。
标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面， 标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向
u (r ) 增加的方向。 增加的方向。
标量场的梯度课件
03
梯度的方向与最大增长速率方向一致，即与函数值增加最快的方向一致。
01
标量场中某一点的梯度方向指向该点处函数值增加最快的方向，梯度的长度等于该点处函数值增长速率的大小。
02
梯度的长度（也称为梯度的模）为：∣grad(f)∣=(∂f∂x)2+(∂f∂y)2+(∂f∂z)2(2)
标量场中某一点的梯度值等于该点处函数值增长速率的大小，而梯度的方向则指向该点处函数值增加最快的方向。
总结词
在一维标量场中，梯度表示函数在该点的斜率，即函数值随空间坐标变化的速率。具体计算方法为对函数在该点的导数取负值，得到该点的梯度。
详细描述
总结词
二维标量场的梯度计算是标量场中一个重要的概念，它描述了标量场在某一点的变化率。
详细描述
在二维标量场中，梯度表示函数在该点的最大变化率方向和大小。具体计算方法为分别对x和y方向的偏导数进行向量运算，得到该点的梯度向量。
描述温度场中温度的变化情况和热流的方向。
总结词
在温度场中，梯度表示温度函数的变化率，即热流密度的大小和方向。通过计算温度函数的梯度，可以确定温度场中每一点温度的变化情况和热流的方向，进而分析热传导的规律和热能的分布。
详细描述
05
CHAPTER
标量场与流体的关系
标量场定义
标量场是一个数学概念，表示空间中某一物理量（如温度、压力、浓度等）随位置变化的场。
流体中的标量场
在流体中，标量场通常表示流体的物理属性，如温度、压力、密度等。这些属性随流体的流动而发生变化，形成标量场。
梯度场定义
梯度场是矢量场的一种，表示空间中某一物理量的变化率。在标量场中，梯度表示该物理量在空间中的变化方向和速率。
标量的梯度名词解释
标量的梯度名词解释在物理学、数学和工程学等领域中，我们经常会遇到标量和向量这两个概念。
标量是指只具有大小而没有方向的物理量，例如温度、质量和时间。
而向量则是既有大小又有方向的物理量，例如速度、位置和力。
在这两个概念中，标量的梯度是一个重要的概念。
梯度是一个向量，用于描述标量场在空间上的变化率和方向。
它的计算可以帮助我们理解标量场在各个方向上的变化情况，从而有助于解决一些实际问题。
标量的梯度可以通过求偏导数来计算。
偏导数是在多个变量中，只针对其中一个变量进行求导，而将其他变量视为常数。
偏导数表示了标量场相对于某个变量的变化率。
考虑一个二维平面上的标量场，例如高度场。
假设这个平面上每个点的高度可以用一个标量值表示。
我们可以将这个平面上的每个点作为一个坐标点(x, y)，而其对应的高度值记为z。
这样，我们就可以得到一个函数f(x, y)来描述这个标量场。
在这个场景中，梯度描述了标量场在各个方向上的变化情况。
梯度的计算公式为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)，其中∂f/∂x表示在x方向上的变化率，∂f/∂y表示在y方向上的变化率。
这个梯度向量的大小表示了标量场变化最快的方向以及变化的速率。
以一个简单的例子来说明梯度的具体含义。
假设我们有一个标量场表示温度分布，我们需要知道某个位置处的温度上升最快的方向。
我们可以计算这个温度场的梯度向量，然后根据梯度向量的方向来确定温度上升最快的方向。
除了描述标量场的变化情况，梯度还可以用于解决优化问题。
在数学优化中，我们常常需要寻找函数的最大值或最小值。
通过计算函数的梯度，我们可以找到函数上的最陡上升和下降方向，并进一步找到极值点。
梯度的概念不仅适用于二维平面上的标量场，也可以推广到三维空间和更高维空间中。
在三维空间中，我们可以将标量场定义为一个函数f(x, y, z)。
标量的梯度向量可以表示为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
总结起来，标量的梯度是一个向量，用于描述标量场在空间上的变化率和方向。
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推广到ƒ(x,y,z)在某点沿任意矢量l 方向的方向导数，则应表为
f (f )l f el l
式中，el 是l 的单位矢量。
（3）梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数；
• 梯度的大小为该点的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函
df (
f f f ex e y ez )（dx ex+dy ey+dz ez） x y z
f f f ex ey ez ) d l x y z
标量场ƒ(x,y,z)在(x,y,z)点的梯度(gradient) 定义为：
grad f f (
等式若成立，则应有
f f x x , f f y y , f f z z
令 x x = X，yy = Y，zz = Z，应用复合函数求导法则可得
f f X f ( x x ) f x X x X x X
根据算符的微分特性可得
1 1 1 R e 2 R 2 R R R R R R2
（R 0）
例 2
求 f = 4e 2x y+ z 在点P1（1，1，1）处的由该点指向P2（3，5，6）方 向上的方向导数。
解：
f (4e 2 x-y-z ) 4(e 2 x-y-z ) 4e 2 x-y-z(2 x y z ) 4e 2 x-y-z (2 e x e y e z )
f
P 1
4e2-1-1 (2e x e y e z ) 4(2e x e y e z )
R1 2 (3 1) e x (5 1) e y (6 1) e z R1 2 [( 4) 2 4 2 7 2 ]1 /2 4 ex 4 e y 7 ez 81 4 ex 4 e y 7 ez 9
f=1
V f (r) r o
f=2
标量场--等值线(面)。
f=0
其方程为
f = -1 f=3
f (x, y , z) const
图1-9 标量场的一组等值线
作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。
2、梯度
z
(1)梯度的导出
ƒ
dl
ƒ+dƒ (x+dx , y+dy , z+dz)
(x , y , z) y
R R eR R
e 1 R 3 R R R R2
在直角坐标中
R (x x) e x ( y y) e y (z z ) e z
R [(x x) 2 ( y y) 2 ( z z ) 2 ]1/2
则
R 1 [(x x) 2 ( y y) 2 ( z z) 2 ]1/2 x 2
e1 2
于是，f 在P1 处沿R12 方向上的方向导数为：
f R1 2 f
P1 P1
e
1 2 4(2 e x e y e z )
4e 4e 7e 9
x y
z
4 2 (4) (1) 4 1 7 20 9 9
• 单独存在没有任何意义； • 算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量 的一般特性，即 2 ， 0 。
• 在不同坐标系中， 算符有不同的表达形式。
梯度运算的基本公式
c 0 cu cu u v u v uv uv vu f u f ' u u
f f X f ( x x ) f x X x X x X
即有
f f x x
f f y y , f f z z
同理可得 证毕。
相对位置矢量R = rr的模R = rr
第二节
1、标量场定义及图示
标量场及其梯度
对于区域V内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定 的数值或标量ƒ(r)与之对应，我们就称这个标量函数ƒ(r)是定 义于V内的标量场。 标量场有两种： 与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r)表示； 与时间有关的时变标量场，用ƒ(r , t)表示。 形象描绘场分布的工具--场线
x [(x x)
2
( y y) 2 ( z z) 2 ]
1 2( x x) ( x x) 2 R R
,
R ( z z ) z R
同理有 于是
R ( y y) y R
R
R R R ex ey ez x y z 1 R [(x x) e x ( y y ) e y ( z z ) e z ] e R R R
右图中，由(x,y,z)点到邻近的(x+dx,y+dy,z+dz)点的 微分位移dl 将导致场函数有一微分增量df 线元矢量： dl = dx ex+dy ey+dz ez
x
o
点位移导致ƒ的改变
标量场的相应微增量dƒ则为：
df f f f dx dy dz x y z
df (
数
的增加方向.
例1
电位场的梯度
电位场的梯度
• 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位减少的方向。
（4）哈密顿算子 （读作del或nabla） 直角坐标系中的具体形式为
ex ey ez x y z
电位场的梯度
使用 算符时注意几点：
因此
f f f ex e y ez ) x y z
df f d l
(2)方向导数与梯度的关系 偏导数
f f f 、 、 分别叫做ƒ 在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为 x y z
f (f ) x f e x x f (f ) y f e y y f (f ) z f e z z
掌握： 1、如何求梯度； 2、梯度的性质； 3、梯度的数学应用。
（5）梯度运算的几个基本关系式
• 相对坐标标量函数 f(rr)
f f 证明 ：在直角坐标系中f (rr) = f (x x，y y，z z )
上式重写为
f f f f f f ex e y e z ( ex ey ez ) x y z x y z