高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (145)
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)课后作业 文-人
2．11 导数在研究函数中的应用(一)[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·某某模拟)函数f (x )＝axx 2＋1(a >0)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 D解析 f ′(x )＝(2x －2)e x ＋(x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x，令f ′(x )<0，∴－2<x <2， 即函数f (x )的单调递减区间为(－2，2)． ∴b －a 的最大值为2 2.故选D.3．函数f (x )＝(x －1)(x －2)2在[0,3]上的最小值为( ) A ．－8 B ．－4 C ．0 D.427答案 B解析 f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合单调性，只要比较f (0)与f (2)即可．f (0)＝－4，f (2)＝0.故f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)＝－4.故选B.4．(2017·豫南九校联考)已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，满足f ′(x )－2f (x )<0，且f (－1)＝0，则f (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞) 答案 A 解析 设g (x )＝f xe2x，则g ′(x )＝f ′x －2f xe2x<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上递减，又因为g (－1)＝0，f (x )>0⇔g (x )>0，所以x <－1.故选A.5．(2017·某某某某一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为( )A ．a <1B ．a ≤1 C．a <2 D ．a ≤2 答案 D解析 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x， ∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.故选D.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．b <c <a 答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )可得对称轴为x ＝1，故f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)． 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0.即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即c <a <b .故选B. 7．若函数f (x )＝e －x·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x·e －x＝e －x⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12x ＝e －x ·1－2x 2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1e·12＝12e.故选B. 8．已知函数f (x )＝ax－1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >2B ．a <3C ．a ≤1 D．a ≥3 答案 C解析 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式a x－1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，令h (x )＝x －x ln x ，可得h ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，令h ′(x )＝0，可得x ＝1，当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，可得当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.故选C.9．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4] 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2a＋1≥0， 解得a ＝4.综上所述，a ＝4.故选C.10．(2018·某某一模)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0) 答案 B解析 由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x 在[1，e]上有解，即m 2<ln xx在[1，e]上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e .故选B.二、填空题11．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值X 围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立．m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.12．(2017·西工大附中质检)已知f (x )是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值是1，则a ＝________.答案 1解析 由题意，得x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12有最大值－1，f ′(x )＝1x －a ，由f ′(x )＝0，得x ＝1a ∈(0,2)，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝－1，解得a ＝1.13．(2018·东北三校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象为一条连续不断的曲线，f (1＋x )＝f (1－x )，f (1)＝a ，且当0<x <1时，f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为________．答案 a解析 由f (1＋x )＝f (1－x )可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，且f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )是以4为周期的周期函数，则f (x )在[2017,2018]上的图象与[1,2]上的图象形状完全相同．令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex<0，函数g (x )在(0,1)上递减，则g (x )<g (0)＝0，所以f ′(x )<f (x )<0，则函数f (x )在(0,1)上单调递减．又由函数的对称性质可得f (x )在(1,2)上单调递增，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为f (2017)＝f (1)＝a .14．(2018·启东中学调研)已知函数f (x )＝e x＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题：①对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数； ②对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；③存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； ④存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ②④解析 由f (x )＝e x＋a ln x ，可得f ′(x )＝e x ＋a x，若a >0，则f ′(x )>0，得函数f (x )是D 上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f (x )<0即得命题①③不正确；若a <0，设e x＋a x＝0的根为m ，则在(0，m )上f ′(x )<0，在(m ，＋∞)上f ′(x )>0，所以函数f (x )存在最小值f (m )，即命题②正确；若f (m )<0，则函数f (x )有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.B 级三、解答题15．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a.当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.综上得，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无递减区间；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )的最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a . 16．(2017·某某某某联考)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值X 围．解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ， 所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )， 函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立， 当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤e xx.令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －1x 2， 当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ， 所以a ≤e，故实数a 的取值X 围是(0，e]．17．(2017·某某湘中名校联考)设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，则方程x 2－ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4. ①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． (2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)， 所以k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a .则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.亦即x2－1x2－2ln x2＝0(x2>1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－1x2－2ln x2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (113)
课时作业一、选择题1．(2014·山西诊断)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为( )A ．4B ．2 3C ．2 2D. 3B [依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和3的矩形，因此其侧视图的面积为23，选B.]2．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为( )A.51 B ．351 C ．251D ．651A [依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O －ABCD 的高等于42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋222＝512，所以棱锥O －ABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51.] 3．(2014·洛阳统考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．64＋32πB ．64＋64πC ．256＋64πD ．256＋128πC [依题意，该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体，其中正四棱柱的底面边长是8，侧棱长是4，圆柱的底面半径是4、高是4，因此所求几何体的体积等于π×42×4＋82×4＝256＋64π，选C.]4．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值D [因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A ′－EFQ 的体积与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．] 二、填空题5．(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.解析 由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥．VA 1EC 1－ABC ＝VA 1B 1C 1－ABC －VE －A 1B 1C 1＝12×3×4×5－13×12×3×4×3 ＝30－6＝24(cm 3) 答案 246．(2014·郑州模拟)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析 依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π. 答案 43π 三、解答题7．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1.解析 (1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1， 所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.所以B 1C 1⊥A 1C . 因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以A 1C ⊥AC 1. 而B 1C 1∩AC 1＝C 1，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.8．(2014·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．解析(1)由题知CO⊥平面ABD，∴CO⊥BD，又BD⊥CD，CO∩CD＝C，∴BD⊥平面COD.∴BD⊥OD.∴∠ODC＝α.V C－AOD＝13S△AOD·OC＝13×12·OD·BD·OC＝26·OD·OC＝26·CD·cosα·CD·sin α＝23·sin 2α≤23，当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号．∴当α＝45°时，三棱锥C－OAD的体积最大，最大值为2 3.(2)连接OB，∵CO⊥平面ABD，∴CO⊥AD，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BOC.∴AD⊥OB.∴∠OBD＋∠ADB＝90°.故∠OBD＝∠DAB，又∠ABD＝∠BDO＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△BDO.∴ODBD＝BDAB.∴OD＝BD2AB＝（2）22＝1，在Rt△COD中，cos α＝ODCD＝12，得α＝60°.。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节
课时作业一、选择题1．下列四组函数中，表示同一函数的是() A．y＝x－1与y＝（x－1）2B．y＝x－1与y＝x－1 x－1C．y＝4lg x与y＝2lg x2D．y＝lg x－2与y＝lgx 100D2．已知f(x)＝的值等于() A．－2 B．1C．2 D．33．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()C[根据题意，刚开始距离随时间匀速减小，中间有一段时间距离不再变化，最后随时间变化距离变化增大，故选C.]4．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝() A．x－1 B．x＋1C．2x＋1 D．3x＋3B[由题意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1. ①将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1. ②①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，即f(x)＝x＋1.]5．(2014·温州模拟)设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝() A．－3 B．±3C．－1 D．±1D[依题意得，f(a)＝2－f(－1)＝2－－（－1）＝1.当a≥0时，有a＝1，则a＝1;当a＜0时，有－a＝1，a＝－1.综上所述，a＝±1，选D.]6．(2014·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．1①无解，由②得，a ＝7， 所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.]7．(2014·开封一模)已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2，3)时，f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1，2)时，f (x )＝( )A ．－log 2(4－x )B ．log 2(4－x )C ．－log 2(3－x )D ．log 2(3－x )C [依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )， f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1，2)时，x －4∈(－3，－2)，－(x －4)∈(2，3)， 故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1) ＝－log 2(3－x )，选C.]8．(2012·江西红色六校联考)具有性质：＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①二、填空题9．(2013·福建高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝__________． 解析 ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－12x (x ＋1)． 答案 －12x (x ＋1)10．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝三、解答题 11．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解析由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得＝0，解此方程得x＝0或x＝1－b a，又因方程有唯一解，故1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝1 2，所以f(x)＝2x x＋2.12．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．解析当x∈[0，30]时，设y＝k1x＋b1，。
近年届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示课时作业(2021年整理)
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第一节函数及其表示课时作业A组--基础对点练1．函数f(x）＝log2（x2＋2x－3）的定义域是（)A．［－3,1］B．(－3，1)C．(－∞，－3]∪［1，＋∞）D．(－∞，－3)∪(1,＋∞）解析：使函数f（x）有意义需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为（－∞，－3）∪(1，＋∞）．答案:D2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ）A．f(x）＝x,g（x)＝（x)2B．f(x)＝x2，g（x)＝（x＋1)2C．f（x)＝错误!，g（x)＝｜x|D．f(x）＝0，g(x)＝错误!＋错误!解析:在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中,定义域不同．答案：C3．设M＝｛x｜－2≤x≤2},N＝{y|0≤y≤2},函数f(x）的定义域为M，值域为N,则f(x)的图象可以是( )解析：A项,定义域为[－2，0]，D项，值域不是［0,2］，C项，当x＝0时有两个y值与之对应，故选B.答案：B4．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则x1234f(x）3421x1234g(x）4312则f[g（1)］的值为(A．1 B．2C．3 D．4解析：由映射g的对应法则，可知g（1）＝4，由映射f的对应法则，知f （4)＝1，故f[g(1)]＝1。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 第1课时 作业课件 理
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答案
解析 设g(x)＝exf(x)－ex(x∈R)，
则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex
＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，
因为f(x)＋f′(x)>1，
所以f(x)＋f′(x)－1>0，所以g′(x)>0，
所以g(x)＝exf(x)－ex在定义域上单调递增，
因为exf(x)>ex＋3，所以g(x)>3，
第十七页，共三十一页。
答案 解析
9.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝ ________.
答案 －12
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c， 由题意得3x2＋2bx＋c<0的解集为(－1,3)， 所以－1,3是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，
12/11/2021
第二十五页，共三十一页。
答案
解析 f′(x)＝x2－ax＋1，∵函数f(x)在区间12，3上单调递减，∴ f′(x)≤0在区间12，3上恒成立，
∴f′12≤0， f′3≤0，
即41－12a＋1≤0， 9－3a＋1≤0，
解得a≥130，
∴实数a的取值范围为130，＋∞.
12/11/2021
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解析
∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)g(x)＝F(x)，即得 函数F(x)＝f(x)g(x)为偶函数，又f(－2)＝0，可得f(2)＝0，即F(±2)＝f(±2)·g(±2) ＝0，结合上述条件可作出函数F(x)＝f(x)g(x)的草图，由图可得f(x)·g(x)<0的 解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C.
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (116)
课时作业一、选择题1．(2014·杭州模拟)若a，b，c，d是空间四条直线．如果“a⊥c，b⊥c，a⊥d，b ⊥d”，则() A．a∥b且c∥dB．a，b，c，d中任意两条可能都不平行C．a∥bD．a与b，c与d中至少有一对直线互相平行D[(1)若a，b，c，d在同一平面内，则a∥b，c∥d.(2)若a，b，c，d不在同一平面内，①若a，b相交，则a，b确定平面α，此时c⊥α，d⊥α，故c∥d.②若a，b异面，则可平移a与b相交确定平面β，此时，c⊥β，d⊥β，c∥d.③若a，b平行，则c，d关系不定．同理，若c，d相交，异面也可推出a∥b，若c，d平行，则a，b关系不确定．综上知，a，b，c，d中至少有一对直线互相平行．]2．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC[A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C.]3．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个D[设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．]4．在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.π6 B.π4C.π3 D.π2D[如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V－ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为π2.]5．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是() A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)A[如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22， 显然A ，B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2.]二、填空题6．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．解析 E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E ，F ，G ，H 四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．答案 充分不必要7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与CF 异面；②直线BE 与AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确的有________个．解析 如图，易得EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，即B ，E ，F ，C 四点共面，则①错误，②正确，③正确，④不一定正确．答案 28．(2014·金华模拟)如图，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析 图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以图②④中GH 与MN 异面．答案 ②④三、解答题9．(2014·大连模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解析 如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134.GE 和EF所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ＝12，HF ＝32，GH ∥AD ，HF ∥BC .又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.10．(2014·许昌调研)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊12AD.又BC綊12AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是F A的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．。
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析
第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。
函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。
（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。
(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (125)
课时作业一、选择题1．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos xA [由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ．]2．(2014·日照模拟)已知a 是实数，则函数f (x )＝a cos ax 的图象可能是( )C [对于A 、D ，注意到当x ＝0时，f (x )＝a cos 0＝a ≠0，因此结合选项知，选项A 、D 不正确；对于B ，注意到其最小正周期T ＝2πa ＝π，a ＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合．因此选项B 不正确．综上所述，选C.]3．(2013·山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后，得到的图象的解析式是y ＝sin(2x ＋π4＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.]4．(理)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3A [由图象可得，3T 4＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1， 令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ， 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则取k ＝0, ∴φ＝－π3.故选A.]4．(文)(1)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3A [由图象知函数周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2ππ＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入解析式，得 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )． 又－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.]5．(2014·福州质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 D [由函数的图象可得14T ＝2π3－5π12，∴T ＝π， 则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.] 二、填空题6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________．解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以，φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以，φ＝π4.再由图象过定点(0，1)，得A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案37．(2014·大庆模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号) ①图象C 关于直线x ＝1112π对称； ②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位可以得到图象C . 解析 由于2×1112π－π3＝3π2，故①正确； 由于2×2π3－π3＝π，故②正确； 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12得2x －π3∈[－π2，π2]，故函数为增函数，故③正确；将函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位可得函数 y ＝3sin 2(x －π3)＝3sin(2x －π3)的图象，故④不正确． 答案 ①②③ 三、解答题8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围． 解析 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2， 所以T ＝2π，则ω＝1.将点(π6，1)代入得sin(π6＋φ)＝1，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin(x ＋π3)≤12， 所以f (x )的取值范围是[－1，12]．9．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin (x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]， ∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.。
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10二讲第1课时导数与函数的单调性
(3)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－ .令f′(x)＝0，得x＝0.
当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
(4)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
考向2 含参数的函数的单调性——师生共研
例2 已知函数f(x)＝ (x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
注：文科(sin 2x)′＝(2sin xcos x)′＝2[(sin x)′·cos x＋sin x·(cos x)′]＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.
考点突破·互动探究
考点 函数的单调性
考向1 不含参数的函数的单调性——自主练透
例1 (1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( A )
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0< <1，
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (148)
课时作业一、选择题1．(理)(2013·四川高考)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝() A．{－2}B．{2}C．{－2，2} D．∅A[由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2，2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．]1．(文)(2013·四川高考)设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{－2，2}．则A∩B＝() A．∅B．{2}C．{－2，2} D．{－2，1，2，3}B[{1，2，3}∩{－2，2}＝{2}．]2．(2014·广州模拟)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{1，2}，B＝{－2，1，2}，则A∪(∁U B)等于() A．∅B．{1}C．{1，2} D．{－1，0，1，2}D[由题意可知∁U B＝{－1，0}，所以A∪(∁U B)＝{－1，0，1，2}，选D．]3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝() A．{3，0} B．{3，0，1}C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}B[因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0．所以P∪Q＝{3，0，1}．]4．(2014·北京东城模拟)设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x＞0}，B＝{x|x＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x＞0} B．{x|－3＜x＜－1}C．{x|－3＜x＜0} D．{x|x＜－1}B[依题意，得集合A＝{x|－3＜x＜0}，所求的集合即为A∩B，所以图中阴影部分表示的集合为{x|－3＜x＜－1}．]5．(2014·合肥质检)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足A B的实数a的一个值为() A．0 B．1C．2 D．3D[当a＝0时，B＝{0}；当a＝1时，B＝{－1，0，1}；当a＝2时，B＝{－2，－1，0，1，2}；当a＝3时，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，显然只有a＝3时满足条件．]6．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则∁U(A∩B)＝() A．(－∞，3)∪(5，＋∞) B．(－∞，3]∪[5，＋∞)C．(－∞，3)∪[5，＋∞) D．(－∞，3]∪(5，＋∞)C[x2－7x＋10<0⇔(x－2)·(x－5)<0⇒2<x<5，A∩B＝{x|3≤x<5}，故∁U(A∩B)＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．]7．设S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是() A．(－3，－1)B．[－3，－1]C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)A[在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，、由图可得解得－3<a<－1．]8．(2014·青岛一模)设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x ∉A∩B}，已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝() A．[0，1]∪(2，＋∞) B．[0，1)∪(2，＋∞)C．[0，1] D．[0，2]A[由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0，2]．又B＝{y|y＝2x，x＞0}＝(1，＋∞)，∴A×B＝[0，1]∪(2，＋∞)．故选A．]9．(2014·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)＜1}，若M∩(∁U N)＝{x|x＝1，或x≥3}，那么() A．a＝－1 B．a≤1C．a＝1 D．a≥1A[由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1＜x＜3}，所以∁U N＝{x|x≤1，或x≥3}，又M∩(∁U N)＝{x|x＝1，或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1．]10．设全集U＝R，集合A＝，B＝{y|y＝lg(x2＋1)}，则(∁U A)∩B ＝() A．{x|x≤－1，或x≥0} B．{(x，y)|x≤－1，y≥0}C．{x|x≥0} D．{x|x＞－1}C[由于A＝＝{x|x≤－1}，B＝{y|y＝lg(x2＋1)}＝{y|y≥0}，所以(∁U A)∩B＝{x|x＞－1}∩{y|y≥0}＝{x|x≥0}，故选C．]11．(2014·衢州模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B ≠∅，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是() A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4C．2＜m＜4 D．2＜m≤4D[由于A∪B＝A，所以B⊆A，又因为B≠∅，所以有解得2＜m≤4，故选D．]二、填空题12．已知A，B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2，4}，则B∩(∁U A)＝________．解析依题意及韦恩图得，B∩(∁U A)＝{5，6}．答案{5，6}13．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁U A)＝∅，则m＝________．解析A＝{－1，2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－1 2．答案0，1，－1 214．(2014·合肥模拟)设集合S n＝{1，2，3，…，n}，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．解析∵S4＝{1，2，3，4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1，3}，其容量分别为1，3，3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7．答案715．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理h和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x，Venn图如图所示，∴(20－x)＋6＋5＋4＋(9－x)＋x＝36，解得x＝8．答案816．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a≤0}，B＝{x|a≤x≤4a－9}，若A，B中至少有一个不是空集，则a的取值范围是________．解析若A，B全为空集，则实数a满足4－4a<0且a>4a－9，即1<a<3，则满足题意的a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案(－∞，1]∪[3，＋∞)。
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课时作业
一、选择题
1．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－8
9，…的第10项是
( )
A ．－1617
B ．－1819
C ．－2021
D ．－2223
C [所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1
，故a 10＝－20
21.]
2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝
( )
A ．2n －1
B ．n 2 C.（n ＋1）2n 2
D.n 2
（n －1）2
D [设数列{a n }的前n 项积为T n ， 则T n ＝n 2，
当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2
（n －1）2
.]
3．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的
( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．必要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [当a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．]
4．(2014·温州测试)已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3
＝
( )
A ．2
B ．4
C ．5
D.52
B [依题意得，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2
a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个
以5为首项，以2为公比的等比数列，因此a 7
a 3
＝4，选B.]
5．(2014·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝
( )
A ．2 018×2 012
B ．2 018×2 011
C ．1 009×2 012
D ．1 009×2 011
D [因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)， 所以a n ＝5＋（n ＋6）（n －1）2，
所以a 2 012－5＝1 009×2 011.]
6．(2014·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x
－1，x ≤0，
f （x －1）＋1，x ＞0，
把函数g (x )＝f (x )－x 的
零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为
( )
A ．a n ＝n （n －1）2(n ∈N *
)
B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)
C ．a n ＝n －1(n ∈N *)
D ．a n ＝2n －2(n ∈N *)
C [作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1，2，3，…有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，
据已知函数关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，
2
x －1
，0＜x ≤1，
2
x －2
＋1，1＜x ≤2，
…
此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依次为0，1，2，…，代入验证只有
C 符合．] 二、填空题
7．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________． 解析 令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4， 令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案 8
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1
a n －2
(n ≥3)，则a 2 012＝________．
解析 将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2
a 1＝2，
同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝1
2，a 7＝1，a 8＝2， 故数列{a n }是周期数列，周期为6， 故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2. 答案 2
9．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________． 解析 由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1. 则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，n ＝1时不适合a n ， 故a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，
2n ，n ≥2.
答案 ⎩⎨⎧3，n ＝1，
2n ，n ≥2.
三、解答题
10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解析 (1)当n ＝4时， a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150， 即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0， 解得n >6或n <1(舍)． 故从第7项起各项都是正数．
11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．
解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．
∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.
∴数列{b n }是公比为1
2，首项为1的等比数列． ∴b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1.
12．已知数列{a n }中，a 1＝1，且满足递推关系a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋m
a n ＋1(n ∈N *)．
(1)当m ＝1时，求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)当n ∈N *时，数列{a n }满足不等式a n ＋1≥a n 恒成立，求m 的取值范围． 解析 (1)∵m ＝1，由a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋1
a n ＋1(n ∈N *)，
得a n ＋1＝（2a n ＋1）（a n ＋1）
a n ＋1
＝2a n ＋1，
∴a n
＋1
＋1＝2(a n＋1)，
∴数列{a n＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列．于是a n＋1＝2·2n－1，∴a n＝2n－1.
(2)∵a n＋1≥a n，而a1＝1，知a n≥1，
∴2a2n＋3a n＋m
a n＋1
≥a n，
即m≥－a2n－2a n，
依题意，有m≥－(a n＋1)2＋1恒成立．
∵a n≥1，∴m≥－22＋1＝－3，
即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．。