15函数的模型及其应用

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 715函数的模型及其应用15 函数的模型及其应用 一、 基础训练 1． 某电脑单价为 a元， 现八折优惠， 则购电脑 x （） 台所需款项 y 元与 x 的函数关系式是 ． 2． 某人去银行存款a 万元， 每期利率为 p ， 并按复利计算， 则存款n （） 期后本利和为 万元． 3． 已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76%， 设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y ， 则 x 与y 之间的函数关系是 ． 4． 根据市场调查， 某商品在最近 10 天内 的价格( )f t 与时间 t 满足关系式（，），销量 ( )g t 与时间 t 满足关系式（，）， 则这种商品的日销售额的最大值为 ． 5． 某商人购货， 进价已按原价a 扣去 25%， 他希望对货物订一新价， 以便按新价让利 20%销售后仍可获得售价25%的纯利． 则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y之间的函数关系式是 ． 6． 有一批材料可以建成 200m 的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方围城一块矩形场地， 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图）， 则围成的矩形的最大面积为 ． （围墙不计厚度） 7． 某建材商场国庆期间搞促销活动， 规定：顾客购物总金额不超过 800 元， 不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过 800 元， 则超过 800 元的部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过 500 元部分 5% 超过500 元部分 10% 某人在此商场购物总金额为 x 元，可以获得的折扣金额为 y 元，则 y 关于 x 的解析式为，若，则此人购物总金额为元． 8．如图，在边长为 4 的正方形ABCD 的边上有一点 P 沿着折线 BCDA ，点 B （起点）向 A 点（终点）移动，设 P 点移动的路程为 x ，的面积为 y ，则的面积与点P 移动的路程x 之间的函数关系式是． A(终点)B(起点)DCPPP 二、例题精讲例1．某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？例 2．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为 50 元，其成本为 25 元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有30.5m 污水排出，为了净化环境，所以工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施．方案 1：工厂污水先净化后处理在排出，每处理31m 污水所耗原料费 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30000 元；方案 2：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每31m 污水需付 14 元排污费．（1）若工厂每月生产 3000 件产品，你作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明；（2）若工厂每月生产 6000 件时，你作为厂---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 长又该如何决策呢？例 3．如图，长方体物体 E 在雨中沿面 P （面积为 S ）的垂直方向做匀速移动，速度为 v （），雨速沿 E 移动方向的分速度为 c（）． E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：○ 1 P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为 1；○ 2 其他面的淋雨量之和，其值为12．记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量，设移动距离100d ，面积．（1）写出 y 的表达式；（2）若，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量 y 最少． EP 例 4．已知海岛 A 与海岸公路 BC 的距离 AB 为 50km， B 与C 之间的距离为 100km，从 A 到C ，先乘船到 D ，船速为 25km/h，再乘汽车由 D 到 C ，车速为50km/h．设从 A 到 C 所用时间为 y（h）．（1）按下列要求写出函数关系式：○ 1 设（rad），将 y 表示成的函数关系式；○ 2 设（km），将 y 表示成 x 的函数关系式．（2）请你用（1）中一个函数关系式，确定登陆点的位置，使从 A 到C 所用时间最少． 50BCAD 三、巩固练习 1．某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23润，对项目乙每投资 1 万元可获利 0.6 万元的利润．该公司正确规划投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为3 / 7万元．，且对每个项目的投资不能低于 5 万元．对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间 t（单位：min）后的温度是T ，则，其中aT 称为环境温度， h 称为半衰期．现有一杯 88 热水冲的速溶咖啡,放在的房间中,如果咖啡降到需要 20min,那么这杯咖啡要从降到还需时间． 3．将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时,能卖出 400 个．已知该商品每涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,为了获得最大利润,售价应定为元． 4．某地每年消耗木材20 万立方米,每立方米价格为 240 元,为了减少木材消耗,决定按t%征收木材税,这样每年的木材消耗量减少52t 万立方米,为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于 90 万元,则t的取值范围是．四、要点回顾 1．解应用题，首先通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．从近几年高考应用题来看，顺利解答一个应用题重点要过三关，也就是要从三个方面来具体培养学生分析问题和解决问题的能力：（1）事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （2）文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；（3）数理关：在建构数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向实际问题的转化构建了数学模型后,要正确解出问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力．函数模型及其应用作业 1 ．假如某商品靠广告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足关系，广告效应为，则广告费时，广告效应 D 最大． 2．已知产品生产件数 x 与成本 y （万元）之间有函数关系，若每件产品成本均不超过 7 万元，则产品产量至少应为件． 3．铁道机车运行 1h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分（元）与运行速度 x （km/h）的平方成正比，比例系数为 k （）．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500km，则机车从甲站运行到乙站的总成本y（元）与机车运行速度x 之间的函数关系为． 4．用总长为 14.8m 的钢条做成一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长 0.5m，则它的最大容积为3m ． 5．某大楼共有 20 层，有 19 人在第 1 层上了电梯，他们分别要去第 2 至第 20 层，每层 1 人，而电梯只允许停一次，5 / 7只可使 1 人满意，其余 18 人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走 1 层的不满意度为 1，每向上走 1 层的不满意度为 2，所有人的不满意度之和为 S ，为使S 最小，电梯应当停在第层． 6．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x （吨）与每吨产品的价格 p （元/吨）之间的1242005关系式为，且生产 x 吨的成本为（元）．则该产品每月生产吨才能使利润达到最大，最大利润是万元．（利润收入成本） 7．渔场中鲜鱼的最大养殖量为 m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系）（空闲率：空闲量与最大养殖量的比值）．（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并求其定义域；数为 k （0（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围． 8．（2019 湖北卷）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度 x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时．研究表明：当时，车流速度v 是车流密度 x 的一次函---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数．（1）当时，求函数 ( )v x 的表达式；（2）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？并求出此最大值．（精确到 1 辆/小时） 9．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 ( )f x ，( )g x 及任意，当甲公司投入 x 万元作宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于( )f x 万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入 x 万元作宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于 ( )g x 万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．（1）请解释 (0)f ，(0)g 的实际意义；（2）设直线与的图像交于点00(,)x y，，请解释00(,)x y的实际意义． 10．在 50km 长的铁路线 AB 旁的C 处有一个工厂，它与铁路的垂直距离为 10km．由铁路上的 B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨每千米的货物运价比为 5:3．为了节约运费，在铁路的 D 处修一货物运转站，沿CD 修一公路（如图），为了使原料从 B 处经货物转运站运到工厂C 的运费最省， D 点应选在何处？ ABCD7 / 7。