探究线段、角的计数规律
一起学奥数 数线段 数图形 三年级
例5、数一数下图中正方形的个数。
【分析】1）先按照普通的方法，找一定的规律数一数图中的正方形数量。自左 至右，自上至下，按1至多个基本单元组成正方形数数。9+4+1=14
2）大正方形的边上分别有3条线段，在分基本单元数正方形数量时，用心 去发现规律：9=3×3；4=2×2；1=1×1
循环赛也是数线段问题。 例：学校里组织乒乓球比赛，共有12个班级每班派出2名同学参加比 赛，要求每两位同学比赛一场且不得重复，问总共需要组织多少场比 赛？
【分析】首先确定人数，12个班级，每班2名，所以一共24名同学参加比赛。 要求每两位同学参加一次，且不重复，这与握手问题类似。我们可以对24名 同学编号后，进行复制，并站两排。 请同学们按握手问题分析过程 所以，总共需要组织比赛场次为：1+2+3+……+23=23×12=276场
【分析】1）先按照普通的方法，找一定的规律数一数图中的长方形数量。自左 至右，自上至下，按1至多个基本单元组成长方形数数。8+10+4+5+2+1=30
2）大长方形的长边组成的线段数为10条，宽边组成的线段数为3， 3×10=30，与数出来的长方形数一致。思考：为什么？
备注：1）没有特别说明，应该把正方形也包括在内，因为正方 形是特殊的长方形。
A
B
C
D
E
【分析】1）由题目可以知道，线段的基本单元为1，而基本单元为1的线段数 为4条；自左至右数由2、3、4个基本单元组成的线段，分别为3、2、1条。
动动手： p.84’ 随堂1
第二课 数图形
例1、下图中有多少个不同的三角形？
小三奥数--线段和角的计数问题
第一讲 线段与角的计数问题教室 姓名 学号【知识要点】一、定义在直线上任意取出两点之间的部分叫做线段，所取出的两点叫做该线段的端点。
由一点引出两条射线就组成了角。
角有一个顶点，这两条射线都称做角的边，一个角有两条边。
二、线段与角的计数方法仔细观察，寻找规律。
有条理、有次序地计数，才能做到不重复、不遗漏。
1、线段的计数方法：线段总数＝1+2+3+…+n 。
（n 为基本线段数） 基本线段就是指内部不含有其他线段的线段。
2、角的计算公式：角总数＝1+2+3+…+n 。
（n 为基本角数） 基本角就是指内部不含有其他角的角。
【例题精讲】★例1：数一数，下图中有多少条线段？A B C D E F★例2：下图中有多少条线段？★例3：下图中有几个锐角？★★例4：5个同学打乒乓球，如果每2个人打一盘，一共要打多少盘？★★例5：乘火车从北京到上海，共经过9个火车站（包括北京站和上海站），那么有几种不同的票价（不同的车站之间的票价都互不相同）？有几种不同的火车票？★★★例6：上海开往杭州的列车，除了起点和终点外，还要停靠4个站，问：要准备几种不同的车票？A BCD EFG O AB C D【为了掌握】★1、右图中共有（ ）条线段。
★2、右图中有（ ）条线段。
★3、某班有21名同学，每两人握一次手，一共要握多少次手？★4、右图中有几条线段？★5、放暑假了，三年级（2）班的王老师要求小朋友互相用电话联系，如果每两个小朋友要通一次电话，那么全班24个小朋友一共要通（ ）次电话。
老师也加入进来的话，要通（ ）次电话。
（写出过程）【为了优秀】★★1、右图中有几个角？★★2、图中一共有多少条线段？★★3、右图中有多少条线段？B★★4、数一数图中共有多条线段？【为了竞赛】★★★1、右图中有几条线段？【温馨提示】下节课我们将学习图形计数问题，请作好预习。
例1：下图中有几个三角形？例2：图中分别有几个三角形？BEB E B E。
冀教版小学数学四年级上册第二课时 探索数线段的规律教案
小初高题库
为了方便，我们把较长线段被划分的若干小段称作基本线段，并逐段编 号：
再分别按照相邻的 6 条线段、5 条线段、4 条线段……连接成线段的几种不 同情形找出线段的条数。即： 由 6 条基本线段连接的线段是①②③④⑤⑥，只有 1 条； 由 5 条基本线段连接的线段是①②③④⑤、②③④⑤⑥，共有 2 条； 由 4 条基本线段连接的线段是①②③④、②③④⑤、③④⑤⑥，共有 3 条； 由 3 条基本线段连接的线段是①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥，共有 4 条； 由 2 条基本线段连接的线段是①②、②③、③④、④⑤、⑤⑥，共有 5 条； 只有 1 条基本线段的是①、②、③、④、⑤、⑥，共有 6 条。 除了上述六种情形外，再也不能数出别的线段了。因此，从这条较长的被 划分成 6 小段的线段中，共可以数出 1+2+3+4+5+6=21（条）线段来。 以上排列有序的连加算式，似乎可以让我们联想出更一般情形的计数方 法。 如果一条较长的线段被划分成 n 小段（n 为任意自然数），那么，从这条较 长的线段中共可以数出多少条线段呢？ 你能猜想得出来吗？ 一条较长的线段被划分成 n 小段（n 为任意自然数），从这条较长的线段中 共可以数出 1+2+3+……+n=（1+n）×n÷2 或 线段数 = 端点数×（端点数-1） ÷2 条线段来。 资料链接
（学生尝试回答出：2 个点时连 1 条线段，增加到 3 个点时就增加了 2 条线 段，到 4 个点时就会再增加 3 条线段，5 个点就增加 4 条线段。每次增加的线 段数和点数相差 1。） 师：当 3 个点时，增加条数是几？
（生：2 条） 师：那点数是 4 时，增加条数是多少？
人教版小学数学二年级上册《线段及角计数的技巧》练习试题附答案
方法技能分类评价5．线段及角计数的技巧一、仔细推敲，选一选。
(每小题7分，共28分)1.左图一共有()条线段。
①10②8③7 2．时针与分针成钝角的是()。
①7时②9时③12时3．如图，连接两个点画线段，一共能画()条线段。
①8 ②9 ③104．下图所标的4个角中，有()个角是钝角。
①3 ②2③1二、算一算，各有多少个角？(每空1分，共13分)1.()＋()＝()(个)2.()＋()＋()＝()(个)3.()＋()＋()＋()＝()(个)我发现：数角时，先从单个的角数起，再数由2个、3个……单个的角组成的角，最后把这些角的个数()起来。
三、数一数，填一填。
(每空2分，共24分)()个锐角()个锐角()个锐角()个钝角()个钝角()个钝角()个直角()个直角()个直角()条线段()条线段()条线段四、动手操作，我能行。
(共35分)1．先量出下面这条线段的长度，再在下面画一条比它短2厘米的线段。
(11分)()厘米2．一块三角形纸板，切去1个角，还剩几个角？画线表示。
(12分)还剩()个角还剩()个角3．按要求在下面的平行四边形纸中剪一刀。
(画线表示要剪的位置)。
(12分)答案一、1.③【点拨】一共有4＋2＋1＝7(条)线段。
2．①【点拨】7时，分针指向12，时针指向7，时针和分针形成的角比直角大，是钝角；9时，分针指向12，时针指向9，时针和分针形成的角是直角；12时，分针和时针都指向12。
3．③【点拨】一共能画4＋3＋2＋1＝10(条)线段。
4．②【点拨】角1和角2比直角大，是钝角；角3比直角小，是锐角；角4是直角，所以一共有2个钝角。
二、1.2＋1＝32．3＋2＋1＝63．4＋3＋2＋1＝10加【点拨】数角时，先从单个的角数起，再数组合的角，最后把这些角的个数加起来，就是最后角的总个数。
三、11262005056 6【点拨】数角的个数或线段的条数时，要按照一定的顺序来数，做到不重复、不遗漏。
四、1.5【点拨】用刻度尺测量线段时，将尺子的0刻度对齐线段的一端，看看线段另一端对着几，就是几厘米。
四年级数学线与角教案推荐5篇
四年级数学线与角教案推荐5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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小学四年级奥数第17讲 数数图形(含答案分析)
第17讲数数图形一、知识要点我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.线段上有n个端点，那么线段的条数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12.从一个顶点引n条射线，那么锐角的个数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+13. 由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
4. 如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段。
练习1：数出下列图中有多少条线段。
（2）【例题2】数一数下图中有多少个锐角。
练习2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。
【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。
【例题5】数一数下图中有多少个长方形。
练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。
【例题6】数一数下图中有多少个长方形？练习6：数一数，下面各图中分别有几个长方形？【例题7】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）练习7：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）【例题8】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）练习8：数一数下列各图中分别有多少个正方形。
【例题9】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？练习9：1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？【例题10】求下列图中线段长度的总和。
几何图形的计数(基本图形)
几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。
有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。
如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。
例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。
线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。
数学好玩《数图形的学问》教案
1.教学重点
-图形的分类：强调三角形、四边形等平面图形的分类及特点。
-图形计数的规律：线段、角、三角形数量的关系及其在实际问题中的应用。
-解决问题的方法：学会运用所学知识解决生活中的图形计数问题。
举例：讲解三角形分类时，重点强调等腰三角形、等边三角形的特点；在图形计数中，重点引导学生发现线段、角、三角形数量之间的规律；通过实际案例，如教室内的图形计数，强调解决问题的方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《数图形的学问》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要数图形的情况？”（如：数教室里的瓷砖图形）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索数图形的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调图形分类和计数规律这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与图形计数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示图形计数的基本原理。
2.培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力，提高数学思考水平。
3.培养学生发现、总结和运用规律的能力，提升数学抽象和推理素养。
4.培养学生合作交流、积极参与的学习态度，发展团队协作能力。
5.激发学生学习数学的兴趣，培养良好的数学学习习惯和探究精神。
本节课将紧扣核心素养目标，引导学生通过探索和实践，提高图形计数能力，培养数学学科核心素养。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对图形计数这一概念表现出浓厚的兴趣。通过引入日常生活中的例子，他们能够更快地理解抽象的数学概念。在讲授理论部分时，我注意到有些学生在理解图形分类和计数规律上存在一定难度，这时我及时通过举例和图示进行了详细的解释，帮助他们逐步攻克了这些难点。
几何图形的计数解读
学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们
成就测试答案 1．3+2+1=6，∠A1OA4． 2．6+5+4+3+2+1=21． A 3．(4+3+2+1)×（4+3+3+1）=100． 4．4×1+3×2+2×3+1×4=20 5． 3 经过AB到F的有▁▁种爬法 3 经过AE到F的有▁▁种爬法 3 经过AD到F的有▁▁种爬法 所以共9种爬法 6．如图，图中的长方体和正方体共有多少个？ 说出你是怎样数的． 与数长方形和正方形的方法类似 (3+2+1)×(2+1)×(2+1)=54 长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 3×2×2+2×1×1=14 D D E G F F E C
基础训练5 下图中共有
个三角形
A
顶点为O，且 一边在AB上的三角形有3×4÷2=6（个）； 一边在BC上的三角形有4×5÷2=10（个）； 一边在AC上的三角形有 3×4÷2=6（个）， 再加△ABC，所以共有23个三角形．
O B A E G B M P Q N D F H C C
（四）数长方形、平行四边形和正方形
例7
你打算怎样数图中的三角形？ F
A
B 5 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个 10 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个 所以图中的三角形共有35个 这里所采用的方法是分类法中的另一种，是： （4）按照图形的形状分类 也可以说是 （5）按照图形所处的位置分类
方法技巧练——用列表法探索规律
方法技巧练——用列表法探索规律
计数时最重要的就是:有规律地数,不重复,不遗漏。
但是对于比较复杂的情况,我们仍然一个一个地数是很困难的,从简单情况入手,列表法分析是探索计数规律的一种很好的方法!
1.数线段条数。
(1)表格中的每个图形分别有多少条线段,数一数,填一填。
图形
…
我发现:如果有n n)。
(2)下图中共有多少条线段?
①②
图中共有( 28)条线段图中共有( 45)条线段
2.数直线条数。
(1)任意连接圆周上的两个点可以画多少条直线?数一数,填一填。
图形
…
我发现:n-2)+( n-1)。
(2)一个圆周上有12个点,任意连接两个点,可以画( 66)条直线。
3.数小棒根数。
(1)下表中每个图形是由几根小棒组成的,数一数,填一填。
图形
…
我发现:由n
(2)由20个三角形组成的图形,共含有小棒( 41)根。
小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析
几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
培优专题7线段和角含答案-
培优专题7 线段和角线段和角是最简单、最根本的几何图形，与它们有关的概念、性质以及它们的画法和计算是研究平面几何的根底．要解决线段和角的计数、计算问题，首先应掌握好线段和角的一些特点及根本性质，其次要注意总结规律，灵活运用．例1如图，数出各条线上线段的总条数．分析要确定一条线段，就需要确定线段的两端点，做到不重不漏．在〔1〕中，先数以A为左端点的线段：AC、AB，2条；再数以C为端点的线段：CB，1条．故〔1〕•中共有3条线段．同样地，在图〔2〕中有线段AC、AD、AB，3条；CD、CB，2条；DB，1条．共计3+2+1=6条．在〔3〕中有线段AC、AD、AE、AB；CD、CE、CB；DE、DB；EB．共计4+3+2+1=10条．从上面的分析可见，当线段上有n个点〔包括两端点〕时，它上面的线段总共有〔n-1〕+〔n-2〕+…+2+1=〔条〕．练习11．在直线L上顺将取点A、B、C、D、E、F、M、N，则在A、•N•两点之间共有线段______条〔包括线段AN〕．2．〔1〕数一数图中的图①中共有______个角；图②中共有_____角；•图③中共有______角．〔2〕从〔1〕中你找到一种数图④中角的个数的规律吗.3．如图，图中共有_______条线段．例2 在图中，假设线段A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求出所有线段长的和．分析• •要求出所有线段长的总和，•可采用分类计数的方法，•分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点，按5类分别计算长度，如：L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6=a1+〔a1+a2〕+〔a1+a2+a3〕+〔a1+a2+a3+a4〕+〔a1+a2+a3+a4+a5〕=5a1+4a2+3a3+2a4+a5．同理：L2=4a2+3a3+2a4+a5，L3=3a3+2a4+a5．L4=2a4+a5．L5=a5．故所有线段的长度总和为：L=L1+L2+L3+L4+L5=5a1+8a2+9a3+8a4+5a5．当本例从6个点推广到n个点时，所有这些线段长的总和为：L=a1〔n-1〕×1+a2〔n-2〕×2+a3〔n-3〕×3+…+a n-2×2×〔n-2〕+a n-1×1×〔n-1〕．练习21．如图1，B、C、D依次是线段AE上的点，AE=8.9cm，•BD=•3cm，•则图中从A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段的长度之和等于_________．(1) (2) (3)2．〔1〕如图2，3个机器人A1、A2、A3排成一条线做流水作业，它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件，则零件箱放在〔〕处最好〔使得各机器人到零件箱的距离之和最小〕．A．A1B．A2C．A3D．A1、A2之间或A2、A3之间的一点处〔2〕如图3，假设有4个机器人B1、B2、B3、B4，零件箱放在何处最好.3．经过直线L外一点P作长度为5cm的线段，使其另一端点在L上，这样的线段可以作〔〕条．A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2例3如图，C在线段AB上，且AC：BC=2：3，D在线段AB的延长线上，BD=•AC，E为AD的中点，假设AB=40cm，求CE的长．分析由AC：BC=2：3及AB=40cm，可先求出AC、BC的长度，再由E为AD•中点，可求出AE的长度，再由CE=AE-AC求出CE．解：设AC=2*，BC=3*，由题意得：2*+3*=40，解得*=8．∴AC=16，BC=24，∴BD=AC=16．∴AD=AB+BD=40+16=56．∵E为AD中点，∴AE=AD=28．∴CE=AE-AC=12〔cm〕．练习31．三点A、B、C在同一直线上，假设BC=2AB，且AB=a，则AC=________．2．如图，C、D、E将线段AB分成四局部，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，假设MN=21，则PQ长为________．3．〔1〕如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠BOC，求∠MON的度数；〔2〕如果〔1〕中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；〔3〕如果〔1〕中，∠BOC=β〔β为锐角〕，其它条件不变，求∠MON的度数．〔4〕从〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果中你可得出什么结论.〔5〕线段的计算与角的计算存在着密切的联系，它们之间可以互相借鉴解法，•请你模仿〔1〕～〔4〕设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律并给出解答．例4 如图，过点O任作7条直线．求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°．分析过点O的7条直线被点O分成14•条射线，•而相邻的两射线可组成14个角，而要证明以O为顶点的角中必有一个小于26°，只要考虑这14个角即可．证明：设相邻的射线组成的14个角为α1、α2…、α14，则α1+α2+…+α14=360°．假设α1+α2+…+α14都不小于26°，则：α1+α2+…+α14≥364°与α1+α2+…+α14=360°矛盾．故α1、α2…α14中必有一个角小于26°．练习41．9点20分时，时针与分针所成的角是多少度.2．如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是多少.3．如图，∠A1OA11是一个平角，∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10-∠A10OA9=2°，求∠A11OA10的度数．例5从县城P出发的一条直线公路两旁共有10个村需要安装自来水〔•水从县城引出〕，县城与A村的距离为30千米，其余各村之间的距离如图7-14所示，•现有粗细不同的两种水管可以选用，粗管是供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．•安装费用：粗管每千米8000元，细管每千米2000元．把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程总费用．请你设计一种最节省的安装方案，并求出所需的总费用．分析显然粗细管适当搭配较适宜，由于粗管安装费用是细管安装费用的4倍，故需要用4根细管的路段采用粗管或细管所花费用一样，需要用多于4•根细管的路段采用粗管较合算．由县城P─A─B─C─D─E─F宜采用粗管，F─G用粗管或细管均可，G─H、G─M、G─N分别安装一根细管．总费用是：〔30+5+2+4+2+3〕×8000+2×8000+2×2000+〔2+2〕×2000+〔2+2+5〕•×2000=•414000〔元〕．练习51．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有Array网线相联，连线标注的数字表示该网络单位时间可以通过的最大信息量．现从结点A•向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，•由单位时间传递的最大信息量为〔〕．A．19 B．20 C．24 D．262．甲和乙两人同时从A、B两地相向而行〔如图7-16〕，甲骑自行车，乙步行．•出发后30分钟甲与乙在P1处相遇，然后甲、乙继续前进，甲到B地后马上折回向A骑行，•从P1起30分钟后，甲又在P2处追上乙，此后两人继续前进，甲从A地在返回B 地的路上在P3•处与乙相遇．求证：P1、P2、P3是AB的四等分点．3．〔1〕现有一个19°的"模板〞〔如图〕，请你设计一种方法，•只用这个"模板〞和铅笔在纸上画出1°的角来.〔2〕现有一个17°的"模板〞，•能否只用这个"模板〞和铅笔在纸上画出一个1°的角来.〔3〕用一个21°的"模板〞与铅笔，能否在纸上画出一个1°的角来.对于〔2〕、〔3〕两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．答案:练习11．28．=28．2．〔1〕①3；②6；③10；〔2〕．3．30．如线段BE上有6条线段，故共有6×5=30条线段．练习21．41.6cm．其长度总和=4AB+6BC+6CD+4DE=4〔AB+DE〕+6〔BC+CD〕=4〔AE-BC〕+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6cm．2．〔1〕A2处，应选B．〔2〕假设选在B1、B2之间，设此点为M1，则其和为：B1B4+B2B3+2B2M1；假设选在B2、B3之间，设此点为M2，则其和为B1B4+B2B3；假设选在B3、B4之间，设此点为M3，则其和为B1B4+B2B3+2B3M3，应选在B2、B3之间〔包括〔B2、B3处〕，其到机器人的距离和最短．3．选D．假设点P到L的距离d=5cm，则此点只有一个；假设d>5cm，不存在此点；假设d<5cm，则这样的点有两个，应选D．练习31．a或3a，假设点B、C在点A的同侧，则AC=3a；假设点B、C在点A的异侧，则AC=a．2．7．设AC=2k，则CD=3k，DE=4k，EB=5k，且MN=k，PQ=k，由MN=21，可知：k=2，故PQ=7．3．〔1〕∠MON=45°，∠MON=∠AOC+∠BOC=∠AOB=45°．〔2〕∠MON=α〔3〕∠MON=45°〔4〕分析〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果和解题过程可知：∠MON的大小总等于∠AOB•的一半，而与锐角∠BOC的大小无关．〔5〕如图7-1，B为线段AC上一点，AC=a，M、N分别为线段AB、BC的中点，求MN的长．此题的规律是：MN=AC，而与BC的长度变化无关．练习41．160°．时钟从外表12处顺时针转过〔9×30°〕=280°，分针从外表12处顺时针转过〔20×6°〕=120°，故时针与分针形成的角为160°．2．405°．由图知：∠3=∠5=∠7=45°，∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，∠4+∠8=90°，∴∠1+∠2+…+∠9=405°．3．27°．将条件中的9个等式相加，得：∠A11OA10-∠A2OA1=9×2°，即∠A11OA10=∠A2OA1+18°，又∠A1OA11=∠A2OA1+∠A3OA2+…+∠A11OA10=〔∠A2OA1+∠A11OA10〕×10=180°，两个方程联立解得∠A11OA10=27°．练习51．考察每条通道的最大信息量，•四条通道在单位时间可同时通过的最大信息量为3、4、6、6，则〔3+4〕+〔6+6〕=19，选A．2．乙从B到P1用了30分钟，由P1到P2也用了30分钟，故有BP1=P1P2，因为甲从P1到B然后再到P2用了30分钟，共行了3P1P2长的路程，所以甲的速度是乙速度的3倍．再由第三次相遇知P2A+AP3=3P2P3，即P2P3+2AP3=3P2P3，则P2P3=AP3，再由第一次相遇知：AP1=3P1B，由此2P2P3+P1P2=3P1B，故P2P3=P1B，由此AP3=P2P3=P2P1=P1B．故P1、P2、P3=是线段AB的四等分点．3．此题关键是得到一个1°的角，设"模板〞的角度为α，假设可由m•个α角与n•个180°角可以画出1°的角来，则有mα-180n=1．〔1〕当α=19°时，取m=19，n=2，即用"模板〞连续画出19个19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即可得到1°的角．〔2〕当α=17°时，取m=53，n=5，可以得到一个1°的角．〔3〕当α=21°时，21m-180n=1无正整数解，故不能用21°的"模板〞画出1°的角．。
七年级数学上册难点突破17线段中点或角的计数问题试题含解析新版北师大版
七年级数学上册难点突破：专题17 线段中点或角的计数问题一、线段中点问题类型一、与线段中点有关的计算1．如图，点C 在线段AB 上，AC ＝8 cm ，CB ＝6 cm ，点M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点．(1)求线段MN 的长．(2)若C 为线段AB 上任一点，满足AC ＋CB ＝a cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由．(第1题)解：(1)因为点M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，所以CM ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，CN ＝12BC ＝12×6＝3(cm )． 所以MN ＝CM ＋CN ＝4＋3＝7(cm )．(2)MN ＝12a cm . 理由如下：同(1)可得CM ＝12AC ，CN ＝12BC ， 所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12a cm .二、与线段中点有关的说明题2．画线段MN ＝3 cm ，在线段MN 上取一点Q ，使MQ ＝NQ ；延长线段MN 到点A ，使AN ＝12MN ；延长线段N M 到点B ，使BN ＝3BM.(1)求线段BM 的长；(2)求线段AN 的长；(3)试说明点Q 是哪些线段的中点．解：如图．(第2题)(1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12MN. 因为MN ＝3 cm ，所以BM ＝12×3＝1.5(cm )． (2)因为AN ＝12MN ，MN ＝3 cm ， 所以AN ＝1.5 cm .(3)因为MN ＝3 cm ，MQ ＝NQ ，所以MQ ＝NQ ＝1.5 cm .所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1.5＋1.5＝3(cm )，AQ ＝AN ＋NQ ＝3 cm .所以BQ ＝QA.所以点Q 是线段MN 的中点，也是线段AB 的中点．二、线段分点问题类型一、与线段分点有关的计算(设参法)3．如图，B ，C 两点把线段AD 分成2∶4∶3的三部分，M 是线段AD 的中点，CD ＝6 cm ，求线段MC 的长．(第3题)解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为CD ＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2.所以AD ＝18 cm .又因为M 是线段AD 的中点，所以MD ＝12AD ＝12×18＝9(cm )． 所以MC ＝MD －CD ＝9－6＝3(cm )．类型二、线段分点与方程的结合4．A ，B 两点在数轴上的位置如图所示，O 为原点，A ，B 两点分别以1个单位长度/s ，4个单位长度/s 的速度同时向左运动．(1)几秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间？(2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2?(第4题)解：(1)设运动时间为x s ，依题意得x ＋3＝12－4x ，解得x ＝1.8.所以1.8 s 后，原点恰好在A ，B 两点正中间．(2)设运动时间为t s .①点B 在原点右侧：12－4t ＝2(t ＋3)，即t ＝1；②点B 在原点左侧：4t －12＝2(t ＋3)，即t ＝9.所以1 s 或9 s 后，恰好有OA∶OB＝1∶2.三、线段条数的计数问题1．先阅读文字，再解答问题．(第1题)如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可以得到3条线段，其中以A 1为端点的向右的线段有2条，以A 2为端点的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有______条，以A 3为端点的向右的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)．(2)在一条直线上取五个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有________条，以A 3为端点的向右的线段有________条，以A 4为端点的向右的线段有______条，共有________＋________＋________＋________＝______(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有________条线段．(4)乘火车从A 站出发，沿途经过5个车站方可到达B 站，那么A ，B 两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？(只考虑硬座情况)解：(1)3；2；1；3；2；1；6(2)4；3；2；1；4；3；2；1；10(3)n （n －1）2(4)从A 站出发，沿途经过5个车站到达B 站，类似于一条直线上有7个点，此时共有线段7×（7－1）2＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．四、平面内直线相交所得交点与平面的计数问题2．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图．(第2题)列表如下：(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________．(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分．(3)当直线条数为n 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？解：(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5 (2)45；56 (3)当直线条数为n 时，最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2个交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2＋1部分．五、关于角的个数的计数问题3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A ，(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？(2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？(3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？(4)在角的内部作n 条射线，那么图中一共有几个角？(第3题)解：(1)如题图①，已知∠BAC，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．(2)题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中的三条射线再组成三个角，即题图②中一共有1＋2＋3＝6(个)角．(3)如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中的四条射线再组成四个角，即题图③中一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角．(4)综上所述，如果在一个角的内部作n条射线，则图中一共有1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝（n＋1）（n＋2）(个)角．2。
巧数图形
第一讲巧数图形数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。
数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。
通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯，同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。
因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。
例1、数一数，图中有多少条线段？分析与解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条；以B点为共同端点的线段有：BC BD BE BF 4条；以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条；以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条；以E点为共同左端点的线段有：EF 1条；总数为：5+4+3+2+1=15条。
用图示法表示更为直观明了，如右图。
想一想：①由例1可知，一条线段AF上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。
由此猜想如下规律（见右图）：……………………还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.②如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。
基本线段数线段总条数……………………是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。
二年级数学上册方法技能提升卷5线段及角计数的技巧新人教版
5．线段及角计数的技巧一、仔细推敲,选一选。
(将正确答案的序号填在括号里)(每小题5分,共30分)1.左图一共有( )条线段。
① 5 ② 8 ③ 102．时针与分针成钝角的是( )。
① 7时② 9时③ 12时3．如图,钥匙约长( )厘米。
① 2② 3③ 54．如图,连接两个点画线段,一共能画( )条线段。
① 4② 5③ 65．右图所标的4个角中,有( )个角是钝角。
① 3② 2③ 16．拿一张正方形纸,对折两次后展开(如下图),两条折痕相交所成的4个角都是( )角。
①锐②钝③直二、算一算,各有多少个角？(每空1分,共14分)1.( )＋( )＝( )(个)2. ( )＋( )＋( )＝( )(个)3. ( )＋( )＋( )＋( )＝( )(个)我发现：数角时,先从单个的角数起,再数由2个、3个……单个的角组成的角,计数时,把这些角( )起来的( )就是要数的角的个数。
三、数一数,填一填。
(每空2分,共24分)( )个锐角 ( )个锐角 ( )个锐角( )个钝角 ( )个钝角 ( )个钝角( )个直角 ( )个直角 ( )个直角( )条线段 ( )条线段 ( )条线段四、动手操作,我能行。
(共32分)1．按要求画角。
(8分)2．先量出下面这条线段的长度,再在下面画一条比它短2厘米的线段。
(4分)( )厘米3．一块三角形纸板,切去1个角,还剩几个角？画线表示。
(8分)4．按要求画一条线段。
(每小题4分,共12分)(1)增加2个直角。
(2)增加3个直角。
(3)增加4个直角。
答案一、1.③【点拨】一共有1＋2＋3＋4＝10(条)线段。
2．① 3.② 4.③ 5.② 6.③二、1.2＋1＝3(个)2．3＋2＋1＝6(个)3．4＋3＋2＋1＝10(个)加和三、1 1 2 6 2 0 0 5 05 6 6四、1.2．53.还剩(4)个角还剩(3)个角)(画法不唯一)4．(1)(画法不唯一)(2)(3)(画法不唯一)。
数线段数角数长方形数正方形课件
目录
CONTENTS
• 数线段 • 数角 • 数长方形 • 数正方形
01
CHAPTER
数线段
定义与特点
定义
线段是指直线上两点之间的部分 ，是几何学中最基本的图形之一 。
特点
线段是直的，有两个端点，可以 测量长度。
数线段的方法
方法一：直接数数法
01
02
逐一数出每一条线段
数角的规律需要理解并掌握 ，以便快速准确地计算角的 数量。
03
CHAPTER
数长方形
定义与特点
长方形定义
长方形是一种四边形，其中对角边相等且相互平分。
长方形特点
长方形有两条较长的边和两条较短的边，其四个内角均为90度。
数长方形的方法
单一长方形计数
对于单一长方形，可以直接测量其长和宽，并计算面积。
对于简单的角，可以 直接观察并计数。
数角的规律
对于一个n条射线或线段组 成的角，其数量可以用公式
n*(n-1)/2 来计算。
这个公式是组合公式的一个 特例，用于计算n个元素中
选取k个元素的组合数。
在数角时，需要注意以下几 点
角的定义和特点需要了解清 楚。
数角的方法需要灵活运用， 根据具体情况选择合适方 法。
适用于线段数量较少的情况
03
04
方法二：间接计算法
利用已知的图形数量或长度关系，通过计 算得出线段数量
05
06
适用于线段数量较多或复杂的情况
数线段的规律
规律一
若将n条直线相交于同一点，则可 形成C(n,2)条线段，即从n条直线
中任取2条的组合数。
规律二
若将m条直线两两相交，则可形成 C(m,2)/2条线段，即从m条直线中 任取2条的组合数除以2。
人教版小学二年级上册数学方法技能提升卷 线段及角计数的技巧
5．线段及角计数的技巧一、仔细推敲，选一选。
(将正确答案的序号填在括号里)(每小题5分，共30分)1.左图一共有()条线段。
①5②8③102．时针与分针成钝角的是()。
①7时②9时③12时3．如图，钥匙约长()厘米。
①2②3③54．如图，连接两个点画线段，一共能画()条线段。
①4②5③65．右图所标的4个角中，有()个角是钝角。
①3②2③16．拿一张正方形纸，对折两次后展开(如下图)，两条折痕相交所成的4个角都是()角。
①锐②钝③直二、算一算，各有多少个角？(每空1分，共14分)1.()＋()＝()(个)2.()＋()＋()＝()(个)3.()＋()＋()＋()＝()(个)我发现：数角时，先从单个的角数起，再数由2个、3个……单个的角组成的角，计数时，把这些角()起来的()就是要数的角的个数。
三、数一数，填一填。
(每空2分，共24分)()个锐角()个锐角()个锐角()个钝角()个钝角()个钝角()个直角()个直角()个直角()条线段()条线段()条线段四、动手操作，我能行。
(共32分)1．按要求画角。
(8分)2．先量出下面这条线段的长度，再在下面画一条比它短2厘米的线段。
(4分)()厘米3．一块三角形纸板，切去1个角，还剩几个角？画线表示。
(8分)4．按要求画一条线段。
(每小题4分，共12分)(1)增加2个直角。
(2)增加3个直角。
(3)增加4个直角。
答案一、1.③【点拨】一共有1＋2＋3＋4＝10(条)线段。
2．① 3.② 4.③ 5.② 6.③二、1.2＋1＝3(个)2．3＋2＋1＝6(个)3．4＋3＋2＋1＝10(个)加和三、112620050566四、1.2．53.还剩(4)个角还剩(3)个角)(画法不唯一)4．(1)(画法不唯一)(2)(3)(画法不唯一)【拓展资料】（一）小学数学知识：百分数。
1．百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数。
百分号是表示百分数的符号。
叫做百分数，也叫做百分率或百分比。
人教版小学二年级上册数学方法技能提升卷 线段及角计数的技巧
5．线段及角计数的技巧一、仔细推敲，选一选。
(将正确答案的序号填在括号里)(每小题5分，共30分)1.左图一共有()条线段。
①5②8③102．时针与分针成钝角的是()。
①7时②9时③12时3．如图，钥匙约长()厘米。
①2②3③54．如图，连接两个点画线段，一共能画()条线段。
①4②5③65．右图所标的4个角中，有()个角是钝角。
①3②2③16．拿一张正方形纸，对折两次后展开(如下图)，两条折痕相交所成的4个角都是()角。
①锐②钝③直二、算一算，各有多少个角？(每空1分，共14分)1.()＋()＝()(个)2.()＋()＋()＝()(个)3.()＋()＋()＋()＝()(个)我发现：数角时，先从单个的角数起，再数由2个、3个……单个的角组成的角，计数时，把这些角()起来的()就是要数的角的个数。
三、数一数，填一填。
(每空2分，共24分)()个锐角()个锐角()个锐角()个钝角()个钝角()个钝角()个直角()个直角()个直角()条线段()条线段()条线段四、动手操作，我能行。
(共32分)1．按要求画角。
(8分)2．先量出下面这条线段的长度，再在下面画一条比它短2厘米的线段。
(4分)()厘米3．一块三角形纸板，切去1个角，还剩几个角？画线表示。
(8分)4．按要求画一条线段。
(每小题4分，共12分)(1)增加2个直角。
(2)增加3个直角。
(3)增加4个直角。
答案一、1.③【点拨】一共有1＋2＋3＋4＝10(条)线段。
2．① 3.② 4.③ 5.② 6.③二、1.2＋1＝3(个)2．3＋2＋1＝6(个)3．4＋3＋2＋1＝10(个)加和三、112620050566四、1.2．53.还剩(4)个角还剩(3)个角)(画法不唯一)4．(1)(画法不唯一)(2)(3)(画法不唯一)【拓展资料】（一）小学数学知识：数的整除。
1．整除的意义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
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点。 共有射线 ２ ＋２ ＋２ ＋…＋２ ｎ条 ＝２
ｎ 个
结论 ：在一条直线上不重合 的 ｎ个点所构
四 、 究 角 的 个 数 探
在线段 Ａ 曰上取 ３ 个点 Ｃ Ｄ、 、 Ｅ时 ，线段总 成 的射线共有 ２ ｎ条． 例 ４ 如 图 ７ 从同一端点 ０出发 的 ／条射 ， ／ ， 线（ 最大夹 角小于平角 ） 一共可 以组成多少个 ，
一
一
、
探究直线的条数
最多能确定
一 ） 条直线．
例 １ 过平 面 内的 ８ 个点 ．最 多可 画几 条
直 线 ？ 过平 面 内的 几个 点 ， 多 可 画几 条 直 线 ？ 最
２ 只要 平面 中的任意三条直线都不共点 。 ．
则 构 成 的交 点 数 量 是 最 多 的 ，故 由两 条 直 线 确
．
．
．
图５
图 １
图２
图３
图４
解析： 数线 段 的条 数 ， 做到 不重不 漏 ， 要 一 般可以从左边第一个 点数起 ，使第 一个点 和其
右边 的 每个 点 各组 合一 次 ．
由此可 见， 面 内的 ／ 点 ， 过平 ７ ， 个 最多可 画出 ＝凡 ＋凡 ２ 一１ － ＋…＋１ 条直线．
结论 ：． １ 当平面 内各 点中任意三 点都不在 ＝１ 。 ８， 解得 ｘ ６ ， 厶４ Ｃ的度数为 ３ 。 ＝３ 。即 Ｏ ６．
如图５在线段Ａ ， Ｂ上取 １ ＂ ｃ时， Ａ ４ 线段 『 皴
— 关 设 知 建 方— 问 以 决的 蔫 系， 未 数， 立 程 题得 解 数 攀 使
Ｃ点为 端点 的射线有 Ｃ Ｃ 或 Ｃ ． Ｄ点 Ａ、Ｂ（ Ｄ） 以
为端 点 的射 线 有 Ｄ （ Ｄ 、Ｂ，共 ２ ＝４ Ｃ 或 Ａ）Ｄ ＋２
点把 直线分成 两条射线 ． 如图 ６ 在直线 Ａ ห้องสมุดไป่ตู้， Ｂ
的计数规律可知 Ｂ Ｇ上共有 鱼
点评 ： 方程思想 ， 是指从分析题 目的数量关 学思想 ． 用方 程思想分析 、 处理 问题 ， 活简便 ， 灵 系入 手 ， 根据题 目中的 已知 量与未 知量 的数 量 十分巧妙．
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：
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鹜 ｌｌ ０ ～ 一Ｉ ｉ ＾ｌ “ 。 一 ． 一
总条数 Ｓ＝２ －３ ； ． ＋１ － 条 在线段 Ａ Ｂ上取 ２ 个点 Ｃ Ｄ时 ，线段总条 、 数 ５＝３ ＋１ － ； ２ ＋２ －６条
安徽
李 庆 社
在学习线段 、 角时 ， 我们经 常会 遇到数所给
同一条直线上 时 ， 所确定的直线是最多 的 ， 又因 条线段 的规 律是 一样的 ，因此平面 内 ｎ 个点
图形 中线段 的条数或角 的个数 问题 ，怎样才能 为 “ 两点 确定一条 直线 ” 所 以这与 每两点确 定 ， 准确地数出来 呢？现举例说 明如下．
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
图 ８
ｒ
解析 ： 因为所有的三角形都共顶点 Ａ， 所以 上取 １ 个点 Ｃ时 ， Ｃ点为端点 的射线 有 、 可将数图 中的三角形 的个数 问题转化为数在线 以 Ｃ ． ２条 ； Ｂ共 在直线 Ａ Ｂ上 取 ２个点 ｃ Ｄ时 ， 、 以 段 Ｂ Ｇ上有多少条不 同的线段 问题． 由线段条数
图 ２； ）
二、 探究 线段 的条数 例 ２ 如图 ５ 所示 ， 在线段 Ａ Ｂ上取 １ 个点 ｃ时 ， 共有几条线段？在线段 Ａ Ｂ上取 ２个点 Ｇ 、 ，时 ， ） 共有几条线段 ？ 在线段 Ａ Ｂ上取 ３个点 Ｃ 、 Ｄ、 Ｅ时 ， 共有几条线段 ？在线段 Ａ Ｂ上取 ｎ 个点 时， 共有 多少条线段 ？
（ ： 注 任意三点都不 共线 ）
解 析 ：要 判 断 过 平 面 内 的 ８ 点 最 多 可 画 个
定一点可知 ，平面 内 １ １ ， 条直线相 交最多能确定
个
几条直线 ．我们 可先探索过平 面内的 ｎ 点最 个 多可画几条 直线 ． 简单 的问题 开始探究 ． 从 （） ｎ 时 ， １ １ 当 ＝２ 有 条直线 （ 如图 １ ； ） （） ｎ ２ 当 ＝３时 ， 最多有 ３ ＋１ ＝２ 条直线 （ 如
角？
，
线段总 条数 Ｓ＝（ ＋１ ＋ｎ ｎ ） ＋…＋ ＋１ ＋２ ，
根 据高斯算 法可 得 Ｓ： （ ， ±
即 ．： Ｓ
二
条
解析 ：因为每两条从 同一点 出发 的射线就 条．
可以组成一个 角 ，故本题同样符合线段条数 的 个角．
一共可 以组成 结论 ：在 同一条线段上不重合 的 ｎ 个点所 计数规律 ， 构成 的线段有
二
兰） ＿ 条
．
结论 ： 同一 端点 从
三、 探究射线的条数 例 ３ 如 图 ６所示 ． 直线 Ａ 在 Ｂ上取一点 Ｃ
０出发的 ｎ 条射线 （ 最
大 夹 角 小 于 平 角 ） 一 ，
２
时， 共有几条射线 ？在直线 Ａ Ｂ上取两个点 ｃ Ｄ 、 共 可 以 组 成
二
时 ，共有几条射线？在直线 Ａ Ｂ上取三个点 ｃ 个 角 ． 、 Ｄ、 时， 共有几条射线？在直线 Ａ Ｂ上取 ｎ 个点 五 、 究 三 角 形 的 探 时， 共有多少条射线？
Ａ Ａ
Ａ Ａ
（） ｎ ３ 当 ＝４时 ， 最多有 ６ ＋２ ＝３ ＋１ 条直线
（ 图 ３； 如 ）
（ ） ｎ 时 ， 多有 １ ＝４ ＋２ ４ 当 ＝５ 最 ０ ＋３ ＋１ 条 直线 （ 图 ４ ： 如 ）
Ｃ Ｃ
Ｃ Ａ Ａ２
Ｂ Ｄ Ｂ
Ｄ Ｅ Ｂ Ａ Ｂ
Ａ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ
Ａ１
个数
图７
例 ５ 请数一数图 ８中共有 多少个三角形
Ａ
Ａ
Ｃ
ＡＩ Ａ２
Ｄ Ｅ Ｂ
． ． ．
Ａ Ｂ
图 ６
解析 ：因为端点不同的射线一定不是 同一 条射线 ， 以数射线时要 以端点来分类 ． 所 直线上
一
Ｂ Ｃ