【数学】2.1.1《椭圆及其标准方程》课件(新人教A版选修1-1)

x
因为 | MF1 | 所以
x c
2
y , | MF2 |
2
x c
2
y2 ,
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2a.
为化简这个方程将左边的一个根式移到 , 右边, 得
x c x c
2
2
y 2a
2
x c
1 2
操作打开的几何画板形象地展现探究过程 , .
把细绳的两端拉开一段 , 移动笔尖的过 距离 程中, 细绳的长度保持不变即笔尖到两个定 , 点的距离和等于常数 . 我们把平面内与两个定 F1 , F2 的距离和等 点
于常数 大于 | F1 F2 |的点的轨迹叫做椭圆 . 焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .
2
点的坐标都满足方程2 ,以方程 2的
从 上 述 过 程 可以 看到 , 椭圆上任意一 解 x, y 为坐标的点到椭圆的两 个焦点 F1 c,0 , F2 c,0 的距离之和为2a,即以
方程2的解为坐标的点在都在 椭圆上.
这样, 我们把方程2 叫做 椭圆的标准
方程 .它的焦点在 x 轴上, 两个焦点分
B
x
x2 y2 化简, 得点M的轨迹方程为 1 x 5 . 25 100/ 9
y
M
A
B
O
x
图2.1 6
分析 设点M的坐标为 x, y , 那么直线AM , BM 的斜率就可以用含 , y的式子表示 x .由于直线AM , 4 BM 的斜率之积是 ,因此可以建立 , y之间的 x 9 关系式, 得出点M的轨迹方程.
操作打开的几何画板观 察轨迹的形成过程 .
解 设点M的坐标为 x, y , y M 因为点 A 的坐标是 5,0 , 所以, 直线 AM 的斜率 A y O x 5 ; k AM x5 同理, 直线 BM 的斜率 图2.1 6 y x 5 . k BM x5 y y 4 x 5 , 由已知中有 x5 x5 9
ellipse.这两个定点叫做椭圆的焦点, 两个
下面我们根据椭圆的几 何特征, 选择适当的 坐标系 建立椭圆的方程并通过方程研究椭 , , 圆的性质.
思考 观察椭圆的形状 你认为怎样选择坐标 , 系才能使椭圆的方程简 ? 单 类比利用圆的对称性建 立圆的方程的过程 我 , 们根据椭圆的几何特征选择适当的坐标系建 , , 立它的方程. y
x 即 y 2 1. 所以点M的轨迹是一个椭圆 . 4
2
在例2 中, 寻找点M 的坐标 x, y 与中间变量 x0 , y0 之间的关系, 然后消去x0 , y0 , 得到点 M 的轨迹方程这是解析几何中求点轨 . 迹 方程常用的一种方法 .
思考 从例2 你能发现椭圆与圆之间 的关系吗?
例 3 如图2.1 6, 设点A, B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 . 直线 AM , BM 相交于点M , 4 且它们的斜率之积是 , 9 求点 M的轨迹方程 .
2
y2 , y x c y 2 ,
2 2
将这个方程两边平方得 ,
y 4a 4a
2 2 2
x c
2
2
整理得 a cx a
x c
y2 ,
上式两边再平方 得 , 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2a cx c x a x 2a cx a c a y ,
自然推广17 世纪初期, 笛卡儿发明了坐标系人们 . , 开始在坐标系的基础上用代数方法研究圆锥曲 , 线.本章我们继续采用必修 《数学2 》 课程 中研究直 线与圆所用的坐标法在探究圆锥曲线几何特 , 征 的基础上, 建立它们的方程 通过方程研究它们的 , 简单性质, 并用坐标法解决一些与 圆锥曲线有关 的简单几何问题和实际 问题, 进一步感受数形结 合的其本思想.
如图2.1 2, 以经过椭圆 两焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴, 线段 F1 F2的垂直平分 线为 y 轴, 建立直角坐标 系xOy.
M
F1
c O
c F2
x
图2.1 2
y 设M x, y 是椭圆上任意 M 一点 , 椭圆的焦距 为 2c c 0 , 那么焦点F1 , F 2的 F1 c O c F2 坐标分别为 c,0 , c,0 . 又设 M与F1 , F2的距离的 图2.1 2 和等于2a . 由椭圆的定义 椭圆就是集合 , P M || MF1 | | MF2 | 2a .
2 .1 椭圆
2 . 1 . 1 椭圆及其标准方程
探 究 取一 条定 长 的 细绳, 把它的两端都固 M F F 定在图板的同一点处 , 套上铅笔, 拉紧绳子, 移 动笔尖, 这时笔尖动点 图2.1 1 画出的轨迹是一个圆 .如果把细绳的两端拉开 一 段距离, 分别固定在图板的两点 (图 2.1 1 ), 套 处 上铅笔 , 拉紧绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是什么 曲线? 在这一过程中你能说出移动笔尖动点满 , 足的几何条件吗 ?
整理得 a2 c2 x2 a2 y 2 a2 a2 c2 , 2 2 x y 2 2 2 两边同除以a a c , 得 2 2 1. 2 a a c
1
由椭圆的定义可知2a 2c, , 即a c, 所以a c 0.
2 2
y
P
思考 观察图2.1 3 , 你能 从中找出表示a, c, a 2 c 2 的线段吗?
圆锥曲线与科研、生产 以及人类生活有着紧密 的关系早在 16、 世纪之交, 开普勒就发现行星 . 17 绕太阳运 行的轨 道 是一个椭圆; 探 照 灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴 旋转形成的抛物面发电 ; 厂冷却塔的外形线是双 曲线 为什么圆锥曲 线有如此巨大的作用呢 我 们 可以从它们的几 ? 何特征及其性质中找到 答案. 圆锥曲线具有怎样的几 特 征呢 ? 如何研究圆 何 锥曲线的性质? 事实上,圆锥曲线的发现与研究 始于古希蜡当时 . 人们从纯粹几何学的观 点研究了这种与圆密切 相关的曲线 它们的几何性质是圆的 , 几何性质的
别是F1 c,0 , F c,0 , 这里c 2 a 2 b 2 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考 如图2.1 4, 如果焦点 F1 , F2在y轴上, 且F1 , F2的坐标 分别为0, c , 0, c , a, b 的意 义同上 , 那么 椭圆的方程是 什么?
M
y
F2
O
x
F1
容易知道, 此时椭圆的方程是 y x 2 1 a b 0 , 2 a b
2 2
图2.1 4
这个方程也是椭圆的标 准方程.
例1 已知椭圆的两个焦点坐 标分别是 2,0 , 5 3 2,0 , 并且经过点 , , 求椭圆的标准方程 . 2 2 解 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以它的标准方 2 2 x y 程为 2 2 1 a b 0 . 由椭圆定义知 2a a b 2 2 2 2 5 3 5 3 2 2 2 10 , 2 2 2 2
2
2
y
P M
O
D
x
图2.1 5
操作打开的几何画板 观察点M形成轨迹的过程 , .
分析 点P在圆 x 2 y 2 4 上运动,点 P 的运动引起 点M运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点 M 与点 P坐标之间的关系式并由点 P 的坐标满足圆 , 的方程得到点 的坐标所满足的方程 M .
点 P 的坐标为 x0 , y0 , 则
解 设点 M 的坐标为 x, y , y0 x x0 , y . 2 因为点P x0 , y0 在圆 x 2 y 2
y
P M
O
D
x
4 上, 所以 x y 4.
2 0 2 0
1
2
图2.1 5
2
把 x0 x, y0 2 y 代入方程1, 得 x 4 y 4,
则a 10 .又c 2, 故b 2 a 2 c 2 10 4 6. x2 y 2 因此, 所求椭圆的标准方程为 1. 10 6 你还能用其他方法求它 的方程吗?
例 2 如图2.1 5 , 在圆 x y 4 上任取一点P, 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足.当 点 P 在圆上运动时 线段 PD , 的中点 M 的轨迹是什么 为 ? 什么?
F1
O
F2
x
图2.1 3
由图2.1 3可知, | PF | PF2 | a, | OF1 || OF2 | c, 1
| PO | a c .令b | PO | a c ,
2 2 2 2
x2 y 2 那么1式就是 2 2 1 a b 0 . a b
第二章 圆锥曲线与方程
我们知道 , 用一个垂直于圆锥 的轴的平面截 圆锥 , 截口曲线 截面与圆锥侧面的交线 是 一个圆如果变平面与圆锥轴线 . 的夹角, 会得到什么图形呢?
如图, 用一个不垂直于圆锥的 轴 的平面截圆锥当截面与圆锥的 , 轴夹角不同时 可以得到不同的 , 截口曲线, 它们分别是椭圆、抛 物线、双曲线我们通常把圆、 . 椭圆、抛物线、双曲线 统称为 圆锥曲线conic sec tions