1.2函数及其表示1.3函数的基本性质

y ax2 bx c
a>0
b , 2a
b , 2a
b , 2a
a<0
b , 2a
例4．证明函数
f ( x)
1 x在
(0, )上是减函数。
取值 作差
证明：任取x1,x2∈（0，+∞）且x1<x2，则
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
从左至右，图象上升
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大 数量 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
在区间D内
y
在区间D内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大
在区间D内
y
在区间D内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
2
(3)y= x
(4) y x 2
2.求分段函数的函数值
0, ( x 0) 已知y= ,( x 0) ，则f f f 1 x 1,( x 0) 若f(a)=2,则a=


归纳：（1）分段函数是一个函数，而不是几个
函数，分段函数在不同的自变量范围下对应不同 的解析式
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域 中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函 数值y和它对应。
判断正误
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的数与 之对 应 √ 2、函数的定义域和值域一定是无限集合
×
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 √ 4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一 个元素 √ 5、对于不同的x , y的值也不同
f :x y
是 是 否 是
f : x y x2
f : x y是x的平方根
1, x Q f :x y 0, x Q
6.A 矩形，B 矩形面积 7.A 圆 ，B 圆的内接矩形
是 否
否 否 是 是 是 否
8.A 0, 2 , B 0, 4
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 那么就说f(x)这个区间D上是单调增 函数，D称为f(x)的单调 增 区间.
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 )，
那么就说f(x)这个区间D上是单调 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是 下降 的。 局部 性质; （2）函数单调性是针对某个区间 而言的，是一个
（1）映射有三要素：两个集合，一个对应法则
（2）A中每一个元素在B中必有唯一的元素和他对应
（3）映射是函数的推广，函数是特殊的映射
判断下列对应是否是映射,函数
1. A B R
1 f :x y x
映射
否
1 x
函数
否 是 是 否 是
2. A (0, ), B R 3. A B R 4.A 0, , B R 5. A B R
判断两个函数是否相同：
• 总结步骤：先求定义域，再看解析式，
• 前者要原式，后者需化简
1.2.2函数的表示方法
(1)函数关系清楚，明确 1.解析法： （2）易于从自变量求出对应的函数值
2.列表法： 能形象直观的表示函数的变化趋势
（y随x的变化情况）
不必通过计算，就知道自变量对应的函数值， 3.图象法：
R
R
{ y | y 0}
k y ( k 0) {x | x 0} x
y kx b ( k 0)
一次函数
R
R
4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a 4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a
y ax2 bx c 二次函数 (a 0)
1 能不能说y ( x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x 是单调减函数?
k 2试讨论 f ( x) (k 0) 在 x
,0
和 0, 上的单调性？
y ax
2
b bx c(a 0) 的对称轴为 x 2a
单调增区间 单调减区间
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量√
判断下列图象能表示函数图象的是（ D ）
y y x
0
0
x
(A) y
(B)
y
0
x
0 (D)
x
(C)
回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定 义域、值域分别是什么？
函数
对应法则
定义 域
值域
正比例 函数
反比例 函数
y kx( k 0)
定号
∴
结论
证明函数单调性的四步骤：
（1）取值: （在所给区间上任意取两
个实数 x1 , x2且x1 x2 .）
（2）作差: （作差
f ( x1 ) f ( x2 ) ，然后变形，常
通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等手段将差式变形为乘积的形式）
（3）定号:（判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号）
其中y=f(x)在区间
[-5,-2)， [1,3）上是减函 数，
在区间[-2,1)，[3,5]上是 增函数。
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
f(2) f(1) O 1 2x
例2.画出下面函数图像，并写出单调区间：
(1) y
y
1 y x
1 ( x 0); x
x 讨论1：根据函数单调性的定义
1 (, 0) , (0, ) y 的单调减区间是 _____________ x
实际生活中常用。 缺点：个数有限
有时表示函数的式子可以不止一个，对于分 几个式子表示的函数，不是几个函数，而是 一个函数,我们把它称为分段函数.
1.画出下列函数的图像
0, x 0 (1)y= 1, x 0
x ( x 0) (2)y= 2 x( x 0)
y随x的增大而增大
从左至右，图象下降
在区间D内
y
在区间D内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
在区间D内
y
在区间D内
y=f(x)
是 1), f : x y 2 x 是 2), f : x y x2 1 是 3), f : x y x 3
4), f : x y 3x
否
函数基本性质
1.3.1单调性与最大最小值
y f(x2)
在区间D内
y=f(x)
f(x1)
图 象
0
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
例1. 判断下列函数的奇偶性
1 1 x2 x1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x1 x2
变 形
由x1，x2∈（0，+∞），得x1x2>0， 又x1<x2，得x2-x1>0，
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 f ( x ) 所以， x 在 (0, ) 上是减函数。
R
注意
①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是 研究任何函数的前提 ②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时, 定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
探究结论
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集) (5)如果是实际问题，是使实际问题有意义的实数的集合
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。