11.1.1三角形三边关系和不等式的综合运用
三角形三边关系定理的应用
三角形三边关系定理的应用三角形是几何学中的基本图形之一，而三角形的性质和关系也是几何学中的重要内容。
三角形三边关系定理是指三角形三边之间的关系定理，通过这些定理可以解决与三角形三边相关的各种问题。
本文将探讨三角形三边关系定理的应用。
一、勾股定理的应用勾股定理是三角形三边关系定理中最为熟知和常用的定理之一。
它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
根据勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形，也可以计算它的边长。
例如，已知一个三角形的两条边长分别为3和4，若要求第三边的长度，可以使用勾股定理：3²+4²=5²，因此，第三边的长度为5。
二、余弦定理的应用余弦定理是三角形三边关系定理中的重要定理，它描述了三角形中一个角的余弦与三条边之间的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c分别表示三角形的三边长度，C表示夹角的度数。
通过余弦定理，我们可以解决一些与三角形的边长和角度相关的问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为3和4，而它们夹角的度数为60°，那么可以使用余弦定理来求解第三边的长度c：c² = 3² + 4² -2×3×4cos60°，计算得出c的值为2。
三、正弦定理的应用正弦定理也是三角形三边关系定理中的一项重要定理，它描述了三角形中一个角的正弦与三条边之间的关系。
正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的三边长度，A、B、C分别表示对应边的夹角。
正弦定理可以用于解决一些与三角形的边长和角度相关的问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为3和4，而它们夹角的度数为60°，那么可以使用正弦定理来求解第三边的长度c：3/sin60° = 4/sinB =c/sinC，通过计算可以得到c的值。
人教版八年级上册数学第11章三角形 11.1.1三角形的边 综合练习
人教版八年级上册数学第11章三角形 11.1.1三角形的边综合练习1.三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x－1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是 .2. 已知三角形三边长分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是( )A. 4＜a＜10B. 5＜a＜11C.－5＜a＜－2D.－2＜a＜－53. 已知a，b，c为△ABC的边长，b，c满足(b－2)2＋c－3＝0，且a为方程|a－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.4. 已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，且三角形的周长是大于14的偶数.(1)求c的值；(2)判断△ABC的形状.5.在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB∶BC＝( )A.3∶4B. 2∶1C.1∶2D. 4∶36.如图，在△ABC中，PA，PB，PC是△ABC三个内角的平分线，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝度.7.如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，则点D到AB的距离是 .8. 一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠ABC＝ .9.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，且∠C＝76°，∠A＝60°，则∠BDE的度数为( )A.20°B.22°C.44°D.82°第9题图10. 一个三角形三个内角的度数比为3∶4∶5，则这个三角形一定是( )A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.等腰三角形11.在△ABC中，∠A＝60°＋∠B＋∠C，则∠A等于( )A. 60°B. 30°C.120°D.140°12. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为( )A.30°B.45°C.50°D.60°13.如图，BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，BE，CF相交于D，则∠CDE的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.50°14.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是AC边上一点，BE，CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为( )A.62°B. 90°C.78°D. 68°15. 已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，F是高BE，CD的交点，求∠BFC的度数.16. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠ACB＝ .17. 如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于 .18.如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点F.(1)若∠OCD＝50°(如图1)，试求∠F的度数；(2)当C，D在射线OA，OB上任意移动时(不与点O重合)(如图2)，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F的度数.19.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状，为什么？(3)如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A 与∠D有什么关系？为什么？【答案】1.3或42. C3.解：解：∵(b－2)2＋c－3＝0，∴b－2＝0，c－3＝0，∴b＝2，c＝3.∵|a－4|＝2，∴a＝6或2.当a＝6，b＝2，c＝3时，不能构成三角形；当a＝2，b＝2，c＝3时，周长为7，是等腰三角形.4, (1)∵6－4＜c＜6＋4，∴2＜c＜10.又∵三角形的周长是大于14的偶数，∴c＞4，且c为偶数，∴c＝6或8.(2)当c＝6时，b＝c＝6，a＝4，此时△ABC为等腰三角形；当c＝8时，b＝6，a＝4，此时△ABC为不等边三角形.5. C6.907. 103 8.75°9. B 10. A 11. C 12. A 13. B 14. A解析：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，∴∠ADC＝90°，∴∠BDF＝180°－∠ADC＝90°.在△BDF中，∠BFD＝180°－∠BDF－∠DBF＝180°－90°－28°＝62°，∴∠CFE＝∠BFD＝62°.15. 解：∵∠A＝55°，BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ABE＝∠ACD＝180°－∠A－90°＝35°，∴∠BCF＋∠CBF＝180°－∠A－∠ABE－∠ACD＝180°－55°－35°－35°＝55°，∵∠BFC＋∠BCF＋∠CBF＝180°，∴∠BFC＝125°.16. 72°17.解：70°18.. (1)∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，∴∠CDO＝40°，∠ACD＝130°.∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°.∵∠DCE＝180°－∠DCF，∠F＋∠CDF＝180°－∠DCF，∴∠ECD ＝∠F ＋∠CDF ， ∴∠F ＝45°. (2)不变化，∠F ＝45°.∵∠AOB ＝90°， ∴∠CDO ＝90°－∠OCD ，易知∠ACD ＝180°－∠OCD . ∵CE 是∠ACD 的平分线，DF 是∠CDO 的平分线， ∴∠ECD ＝90°－12∠OCD ，∠CDF ＝45°－12∠OCD .∵∠DCE ＝180°－∠DCF ，∠F ＋∠CDF ＝180°－∠DCF ， ∴∠ECD ＝∠F ＋∠CDF ， ∴∠F ＝45°. 19. 解：(1)∠ACD ＝∠B .理由如下： ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B . (2)△ADE 是直角三角形.∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别在AC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B ，∠A 为公共角，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，∴△ADE 是直角三角形.(3)∠A ＋∠D ＝90°.∵在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠C ＝90°，∠E ＝90°，AB ⊥BD ， ∴∠ABC ＋∠A ＝∠ABC ＋∠DBE ＝∠DBE ＋∠D ＝90°，∴∠A ＋∠D ＝90°.。
三角形三边关系定理及其推论的应用
三角形的三边关系三角形三边的关系，是在学生初步了解了三角形的定义的基础上，进一步研究三角形的特征，从中我们不仅能够了解三角形三边之间的大小关系，也提供了判断三条线段能否组成三角形的标准。
三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，两边之差小于第三边。
常见应用类型类型一：判断三条线段能否组成三角形根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析。
判断能否组成三角形的简便方法是：看较小的两个数的和是否大于第三个数。
下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．5，4，2 C．2，2，4 D．4，6，11【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【解答】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故A错误；B、2+4＞5，能够组成三角形；故B正确；C、2+2＝4，不能组成三角形；故C错误；D、6+4＜11，不能组成三角形，故D错误．故选：B。
类型二：求三角形第三边的长或取值范围根据三边关系确定某一边的取值范围，一般题目中会给出其他两边的大小，需要注意的是结合实际问题的运用，比如：人数组成三角形中的隐含条件，数字必须是正整数。
一个三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（）A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cmC．4 cm D．2 cm或6 cm【分析】可先求出第三边的取值范围．再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数（偶数+偶数=偶数），从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长．【解答】解：设第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．又x为偶数，因此x＝4或6，故选：B。
类型三：解答等腰三角形相关问题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，一般没有明确腰和底边的题目，一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键。
11.1.1 三角形的边 教案
【人教八上数学精简课堂教学课件】11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边第十一章三角形备单元【教学提示】到了初中阶段,主要侧重学生对图形概念的理解,以及对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理解,要培养学生初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间想象力;学生还需要感悟数学论证的逻辑,体会数学的严谨性,形成初步的推理能力和重事实、讲道理的科学精神.图形的性质的教学.需要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想,感悟几何体系的基本框架:通过定义确定论证的对象,通过基本事实确定论证的起点,通过证明确定论证的逻辑,通过命题确定论证的结果.要组织学生经历图形分析与比较的过程,引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类,会用准确的语言描述研究对象的概念,提升抽象能力,会用数学的眼光观察现实世界;要通过生活中的或者数学中的现实情境,引导学生感悟基本事实的意义,经历几何命题发现和证明的过程,感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界;要引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程,体会数学命题中条件和结论的表述,感悟数学表达的准确性和严谨性,会借助图形分析问题,形成解决问题的思路,发展模型观念,会用数学的语言表达现实世界.【内容要求】1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念,了解三角形的稳定性.2.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.证明三角形的任意两边之和大于第三边.4.了解三角形重心的概念.5.了解多边形(指凸多边形)的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.【学业要求】1.掌握三角形、多边形的概念.知道图形的特征、共性与区别,形成和发展抽象能力.2.在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上,经历得到和验证数学结论的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,形成几何直观和推理能力.创设学习场景实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣复习探究在小学,我们学习了关于三角形的哪些知识?你能把这些知识归纳一下吗?如果学生回答困难,教师可以细化问题,提示学生:1.画图并用语言说明怎样的图形是三角形.2.在画出的图形中标注顶点字母,指出三角形各部分的名称.3.三角形按边分类,有哪几种?4.我们学过哪些特殊的三角形?画图说明它们有什么典型特征.5.三角形的三边之间有什么关系?6.三角形的面积怎么求?画图说明.[教学提示] 初中数学教师了解小学阶段所学的知识内容与学习程度很重要.小学四年级下册已经学习了三角形的一些初步知识,主要包括三角形的概念,图形,三种基本要素,表示方法,按边分类,直角三角形、等腰三角形与等边三角形等特殊三角形的识别,三边关系,面积公式等,这些知识为学习本课奠定了基础.1.不要把本节课的所有内容完全当成新知识来学习,对已经学过的知识在导入阶段就充分发挥学生主体性,鼓励学生大胆发言.2.对于学生散乱、不成系统的答案要进行分析梳理,从三角形的概念、图形、表示方法、分类、性质等方面总结归纳,让学生明白几何知识学习的大致框架.教材母题模型教材母题——第4页练习第2题(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么?(1)3,4,8;(2)5,6,11;(3)5,6,10.【模型建立】根据三角形的三边满足两边的和大于第三边来进行判断.具体运用时用两条较短边的长度和与最长边的长进行比较,判断即可.【变式变形】1.已知三角形的两边长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是(C)A.1B.2C.8D.112.若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是(C)A.6B.7C.11D.123.已知长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有(C)A.1种B.2种C.3种D.4种4.如图11-1-1,用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为2,3,4,6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两螺丝的距离的最大值为(C)图11-1-1A.5B.6C.7D.105.在△ABC中,已知两条边a=6,b=7,则第三条边c的取值范围是1<c<13.6.(1)若等腰三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为3或4;(2)若等腰三角形的两边长分别为3和7,则第三边长为7.质量评价角度【评价角度1】三角形计数问题方法指引:数三角形个数的方法(列举法):(1)按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数);(2)按大小顺序去数;(3)从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数;(4)先固定一个顶点,再变换另两个顶点来数.例如图11-1-2,图中共有8个三角形,其中以BC为边的三角形是△BCG,△ABC,△BEC,△BFC,∠BEC是△BEG和△BEC的内角.图11-1-2【评价角度2】利用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形方法指引:判断三条线段能否构成三角形的方法:若两条较短的线段长之和大于最长的线段,则这三条线段可以构成三角形;反之,则不能构成三角形.例如本课素材二[教材母题模型].【评价角度3】三角形三边关系的综合运用方法指引:1.涉及等腰三角形边的问题时,常需要分情况讨论,然后看它们是否满足三边关系,不满足的要舍去.2.已知三角形的两边长,可求第三边长的取值范围:已知两边长之差(长边-短边)<第三边长<已知两边长之和.在解有关三角形三边关系的题时常常与不等式等知识相联系.例1若等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为(A)A.17B.15C.13D.13或17例2在等腰三角形ABC中,AB=AC,若周长为20 cm,则AB边的取值范围是(B)A.1 cm<AB<4 cmB.5 cm<AB<10 cmC.4 cm<AB<8 cmD.4 cm<AB<10 cm11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边教学过程设计课题11.1.1三角形的边授课人教学目标1.结合具体实例,进一步认识三角形的概念及基本要素.2.能从不同角度对三角形进行分类,理解三角形三边的不等关系.3.能够利用三角形的三边关系解决相关的计算和推理问题.4.在学习过程中,培养学生的学习兴趣和良好的沟通能力.教学重点三角形三边关系的探究和应用.教学难点三角形三边关系的应用.授课新授课课时【课堂引入】教师叙述:三角形是一种最常见的几何图形之一.从古埃及的金字塔,到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑,到微小的分子结构,处处都有三角形的身影(看条件许可,可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影给同学放映).结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活.观察并交流:观察下列图片,你能发现这些图片有什么共同特点吗?图11-1-3学生活动:学生自主探究并与同伴进行交流.(1)交流在日常生活中所看到的三角形.(2)选派代表说明三角形存在于我们的生活之中.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.图11-1-4(1)教师引导学生观察图11-1-4,判断各图形是不是由三条线段首尾顺次相接所组成的.(2)观察以上哪些图形是三角形.三角形{三边都不相等的三角形等腰三角形{底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形【探究3】 思考下列问题:(1)在一个三角形中,任意两边之和与第三边有着怎样的关系?说明你的理由;(2)在一个三角形中,任意两边之差与第三边有着怎样的关系?说明你的理由. 学生活动设计:学生分组合作,小组讨论,通过动手试验,可以发现:三角形任意两边之差小于第三边;任意两边之和大于第三边.关键是寻找上述结论成立的理论依据,经过观察讨论(或经过教师的引导)可以发现:“两点之间线段最短”是上述结论成立的依据.图11-1-5板书:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.即如图11-1-5,AB+BC>AC ,AB+AC>BC ,BC+AC>AB ,AC-AB<BC ,BC-AC<AB ,BC-AB<AC.(续表)【拓展提升】1.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为( )A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0图11-1-62.如图11-1-6,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点画三角形,(1)其中以AB为一边可以画出个三角形;(2)其中以C为顶点可以画出个三角形.3.若x,y满足|x-5|+|y-12|=0,求以x,y的值为边长的等腰三角形的周长.【知识网络】去思考和解决问题,在今后教学中需要进一步加强巩固和训练.③[师生互动反思]例题教学时,可以让学生畅所欲言,互相补充,以此培养学生用数学的眼光观察和解释一些现象.④[习题反思]好题题号错题题号温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二导学案设计”案例,word 排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。
不等式与三角函数综合应用
不等式与三角函数综合应用在数学中，不等式和三角函数是两个重要的概念。
不等式是数学中用来描述数之间大小关系的表达式，而三角函数则是用来描述角度和边长之间关系的函数。
本文将探讨不等式与三角函数的综合应用，以及它们在实际问题中的应用。
一、不等式的基本性质和解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它可以描述数之间的大小关系。
常见的不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。
解不等式的方法主要有图像法、代数法和递推法等。
下面我们通过一个例子来说明不等式的解法。
例子：解不等式2x + 3 > 5。
解法：我们首先将不等式转化为等价的形式，得到2x > 2。
然后通过除以2的方式得到x > 1。
因此不等式2x + 3 > 5的解集为{x | x > 1}。
二、三角函数的基本性质和公式三角函数是数学中用来描述角度和边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
三角函数的取值范围一般是[-1, 1]，并且它们之间存在一些重要的性质和公式。
下面我们通过一个例子来说明三角函数的应用。
例子：已知一个角的正弦值为0.6，求这个角的余弦值和正切值。
解法：根据正弦函数的定义，可以得到sinθ = 0.6。
由此可以得到θ ≈ 36.87°。
然后根据余弦函数和正切函数的定义，可以得到cosθ ≈ 0.8，tanθ ≈ 0.75。
因此这个角的余弦值为0.8，正切值为0.75。
三、不等式与三角函数的综合应用不等式与三角函数在实际问题中常常需要综合应用，通过建立不等式和利用三角函数的性质来解决实际问题。
下面我们通过一个例子来说明不等式与三角函数的综合应用。
例子：已知一座山峰的斜率为k，角度为θ，山顶距离地面的垂直高度为h。
如果山顶处禁止爬升的角度不超过α度，那么k和h之间的关系是怎样的？解法：我们可以首先利用三角函数的性质，得到tanθ = h / k。
三角形三边关系
三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。
三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。
本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。
一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。
根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这种性质通常被称为“三角形三边关系”。
二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。
假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。
假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。
因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。
三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。
例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。
它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。
四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。
这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。
掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。
三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。
本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。
一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。
这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。
2、三角形两边之差小于第三边。
这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。
3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。
这个定理实际上是前两个定理的组合。
11.1.1 三角形的边 课件(共24张PPT)
若一个三角形的两边长分别是2和4，第三
边的长可能是( B )
A.2
B.4
C.6
D.8
解析:设第三边的长为x，由三角形的三边关系，得
4-2<ⅹ<4+2，即2<ⅹ<6.观察四个选项，知B项正确.
特别提醒
“两边的和”“两边的差”中的“两边”是指三角形的任
意两边。
总结
根据三角形的三边关系可得三角 形的任意一边总是大于另两边之 差，小于另两边之和，据此通过 列不等式(组)求出三角形的待求 边长的取值范围.
( D)
A.2，2，4
B.5，6，12
C.5，7，2
D.6，8，10
思路分析:根据“三角形两边之和大于第三
边”可以判断长度为各个选项中数值的三
条线段是否能组成三角形。
3.若一个等腰三角形中的两边长分别是 4cm和8cm，则此三角形的周长为( B)
A.16cm B.20cm C.16cm或20cm
解析:当腰长是4cm时，则三角形的三边长分别 是4cm，4cm，8cm,4+4=8，不满足三角形的三 边关系，舍去；当腰长是8cm时，三角形的三 边长分别是8cm,8cm,4cm,8+4>8，符合三角形 的三边关系，此时三角形的周长是20cm.
α
A
b
C
如图:△ABC有三条边，三个内角，三个顶点。
顶点:相邻两边的 公共端点是 三角形的顶 点。
3.三角形的表示
顶点A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读 作“三角形ABC”。
注意:在△ABC中，∠A的对边可以用BC表 示，也可以用a表示；∠B对边可以用AC 表示，也可以用b表示；∠C的对边可以用 AB表示，也可以用c表示。
八年级数学课件：11.1.1 三角形的边(最新人教版)
A
概念
(直角、 锐角、钝
c
b
三
按角分 角)三角
角
分类 形B
a
C
形 按边分
性质
三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边．
课后作业
作业 内容
11.1 与三角形有关的线段/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
顶点A
角
边c
边b
顶点B
角 边a
角 顶点C
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
三角形的表示：
三角形用符号“△”表示.
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”.
如图：线段AB、BC、CA是△ABC
(3) 以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的
三条线段为边，可构成__2___个三角形．
(4)已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这三
角形的周长为 ( B )
A. 14cm
B.19cm
C. 14cm或19cm
D. 不确定
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
素养考点 2 利用三角形三边的关系解决实际问题
例2 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
解 ：(1)设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米， 由题意得：x+2x+2x=18 解得x=3.6 ， 所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
三角形三边关系课件
根据三角形的边长和角度，可以 将三角形分为等边三角形、等腰 三角形、直角三角形、锐角三角 形和钝角三角形等。
三角形元素介绍
பைடு நூலகம்顶点
角
三角形的三个角所在的点称为三角形 的顶点。
三角形中相邻两边所夹的角称为三角 形的角。
边
组成三角形的三条线段称为三角形的 边。
三角形性质概述
三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边 。
在几何证明中的应用
利用三角形三边关系及其不等式形式，可以在几 何证明中方便地证明一些与边长相关的结论。
3
在实际问题中的应用
三角形三边关系及其不等式形式在实际问题中也 有广泛的应用，如建筑设计、测量等领域。
05 三角形三边关系实验探究 与发现
通过实验验证三角形三边关系原理
准备实验材料
长度不同的小棒、直尺、笔和纸等。
在实际问题中求解最值问题
在建筑、工程等实际问题中， 利用三角形三边关系求解最短 路径、最小成本等问题。
通过构建数学模型，将实际问 题转化为三角形三边关系问题， 进而求解最优解。
结合不等式性质与三角形三边 关系，解决一类具有约束条件 的最值问题。
在其他数学领域应用
在解析几何中，利用三角形三边 关系判断点的位置、直线的交点
平或拉长。
实例解析
例如，在一个直角三角形中，两 条直角边之差一定小于斜边，这 符合三角形两边之差小于第三边
的性质。
三角形三边关系证明方法
01
02
03
代数法
通过三角形的边长代数表 达式进行推导和证明，常 用于解决与边长相关的计 算问题。
几何法
利用几何图形和性质进行 直观证明，常用于解决与 形状、位置相关的几何问 题。
三角形三边关系
三角形三边关系在我们的数学世界中，三角形是一种非常基础且重要的几何图形。
而三角形三边关系，则是理解和研究三角形的关键所在。
想象一下，你拿着三根小木棍，想要拼成一个三角形。
这时候，可不是随便三根木棍都能成功的。
这里面就藏着三角形三边关系的秘密。
三角形三边关系的核心原则是：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
为什么会有这样的关系呢？咱们来仔细琢磨琢磨。
假设我们有一个三角形，三条边分别是 a、b、c。
如果 a ＋ b 小于或等于 c，那么这三条边根本就无法首尾相接，形成一个封闭的图形。
同样，如果 a b 大于或等于 c，那也没法构成三角形。
咱们通过实际的例子来感受一下。
比如说，有三条边，长度分别是3 厘米、4 厘米和5 厘米。
先看 3 ＋ 4 ＝ 7 厘米，7 厘米大于 5 厘米，满足两边之和大于第三边。
再看 4 3 ＝ 1 厘米，1 厘米小于 5 厘米，也满足两边之差小于第三边。
所以，这三条边可以构成一个三角形。
那如果三条边的长度是 1 厘米、2 厘米和 4 厘米呢？1 ＋ 2 ＝ 3 厘米，3 厘米小于 4 厘米，不满足两边之和大于第三边，所以它们无法构成三角形。
三角形三边关系在解决实际问题中有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，工程师们需要考虑结构的稳定性，而三角形的稳定性就和三边关系密切相关。
如果一个结构中的某些部分可以近似看作三角形，那么通过保证三边长度符合关系，就能确保结构的稳固。
在测量领域，当我们知道了三角形的一些边长和角度信息，就可以利用三边关系来计算出其他未知的边长。
这在地理测量、工程测量等方面都发挥着重要作用。
再说说我们日常生活中的例子。
假如你要在一个三角形的花园周围围上栅栏，你得先知道三边的长度是否合理，才能准备足够的栅栏材料。
而且，三角形三边关系也为我们进一步学习更复杂的几何知识打下了基础。
比如在学习勾股定理的时候，其实也是在特定直角三角形的三边关系上进行深入探讨。
三角形的三边关系与应用举例讨论
三角形的三边关系与应用举例讨论三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，三边之间存在着一些特殊的关系，这些关系不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际应用中也具有广泛的应用。
本文将探讨三角形的三边关系以及一些相关的应用举例。
一、三角形的三边关系在任意一个三角形ABC中，三边之间存在着以下的关系：1. 三角形两边之和大于第三边这是三角形的基本性质之一。
对于任意一个三角形ABC，任意两边之和一定大于第三边的长度。
这个关系可以用数学公式表示为：AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC。
这个关系在解决三角形问题时非常重要，如果不满足这个关系，就无法构成一个三角形。
2. 三角形两边之差小于第三边这是三角形的另一个基本性质。
对于任意一个三角形ABC，任意两边之差一定小于第三边的长度。
这个关系可以用数学公式表示为：AB-BC<AC，AC-BC<AB，AB-AC<BC。
这个关系在解决三角形问题时也非常重要，如果不满足这个关系，就无法构成一个三角形。
3. 三边之间的关系可以用三角函数表示三角函数是研究三角形的重要工具，它可以用来表示三角形的各个边与角之间的关系。
在三角形ABC中，我们可以用正弦定理、余弦定理和正切定理来表示三边之间的关系。
正弦定理表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC正切定理表示为：tanA = (a/b) = (b/a)这些定理在解决三角形问题时非常有用，可以帮助我们求解未知的边长或角度。
二、三边关系的应用举例1. 测量不可达距离在实际生活中，有时候我们无法直接测量某个地点的距离，但是我们可以通过测量两个已知地点之间的距离以及两个地点与目标地点的夹角来计算目标地点的距离。
这就是利用三边关系的应用之一。
通过测量两个已知地点之间的距离以及两个地点与目标地点的夹角，我们可以利用正弦定理或余弦定理计算出目标地点与已知地点之间的距离。
三角形三边大小关系定理的灵活运用
证明几何命题
在证明与三角形相关的几何命题时，经常需要利用三角形 三边大小关系，如两边之和大于第三边、两边之差小于第 三边等。
通过灵活运用三角形三边大小关系，可以简化证明过程， 使得证明更加直观和易于理解。
04 三角形三边大小关系在代 数问题中的应用
解不等式
利用三角形三边大小关系，可以将一些复杂的不等式转化为简单的形式。例如，对于不等式$a + b > c$， 如果已知$a, b, c$是三角形的三边长，那么可以直接得出该不等式成立。
VS
对于一些高次方程或复杂方程，也可 以利用三角形三边大小关系来判断其 根的情况。例如，可以通过构造一个 与方程相关的三角形，然后利用三角 形三边大小关系来判断方程的解是否 存在或者解的范围。
证明代数恒等式
在证明一些代数恒等式时，可以利用三角形 三边大小关系来简化证明过程。例如，对于 恒等式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$， 可以通过构造一个以$a, b$为腰、以$a + b$ 为底的等腰三角形，然后利用三角形三边大 小关系来证明该恒等式成立。
经济问题
在经济学中，利用三角形三边大小关系定理可以确定市场供需关系和价格变动趋势。例如，在分析某种商品的市场供需情况 时，可以根据历史数据和当前市场信息绘制出供需曲线图。通过应用三角形三边大小关系定理，可以比较不同时间点的供需 曲线所对应的三角形的边长，从而确定市场供需关系和价格变动趋势。
在金融投资中，利用三角形三边大小关系定理可以确定投资组合的风险和收益关系。例如，在构建股票投资组合时，需要选 择不同行业和不同表现的股票进行组合以分散风险。通过应用三角形三边大小关系定理，可以计算出不同股票之间的相关系 数和波动率等指标，从而确定投资组合的风险和收益关系。
八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边教学
分 直角三角形
三边都不相等的三角形
按
边 分 等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
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第十六页，共三十一页。
新课讲解( jiǎngjiě)
练一练 下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角
三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边(sān biān)
3 下列长度的三条线段(xiànduàn)能组成三角形的是( A )
A．5，6，10
B．5，6，11
C．3，4，8
D．4a，4a，8a(a＞0)
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课堂(kètáng)小结
三 角 形
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概念
表示方法
分类 三边关系
三条线段 不在同一条(yī tiáo)
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新课讲解( jiǎngjiě)
练一练
2 已知一个三角形是等腰三角形，则这个(zhè ge)三角形( D) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形
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第二十页，共三十一页。
新课讲解( jiǎngjiě)
知识点3 三角形的三边(sān biān)关系
例题一
用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边(dǐ biān)长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
(1) 设底边长为x cm，则腰长为2x cm. x+2x+2x = 18. 解得x=3. 6. 所以，三边长分别为3. 6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
人教版八年级上册 11.1.1三角形的边 教案
初中数学 重难点第八.一讲---三角形的边年级八年级1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.2.掌握三角形的三边关系.（难点）3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点）【知识储备】知识点一三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
B注意：三条线段必须①不在一条直线上 ②首尾顺次相接。
ca3. 三角形的顶点如图，△ABC 的三个顶点A分别是：A，B，Cb(1)C4.三角形的边、内角如图，△ABC 的三条边分别是：AB，BC，CA.它的三个内角（简称三角形的角）分别是： <A， <B， <C.注意：1.三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制.12.三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示. 如：在△ABC 的三边中，顶点 A、B、C 分别所对的边 BC、AC、AB 也可分别表 示为 a，b,c. 3.一般情况下，我们把边 BC 叫做 A 的对边，AC，AB 叫 A 的邻边；边 AC 叫 B 的对边，AB，BC 叫 B 的邻边；你能说出 C 的对边及邻边吗？ 对边是 AB，邻边是 BC，AC.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内 角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形 ABC 用符号表示为△ABC。
三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表 示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示.知识点二三角形三边的不等关系 探究：[投影 7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从 B 点出发,沿三角形的 边爬到 C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 有两条路线：（1）从 B→C，（2）从 B→A→C；不一样， AB+AC＞BC ①；因为两点之间线段最短。
同样地有 AC+BC＞AB ② AB+BC＞AC ③ 三角形的任意两边之和大于第三边.2由式子①②③我们可以知道什么？ 由不等式②③移项可得 BC ＞AB -AC，BC ＞AC -AB．由此你能得出什么 结论？三角形两边的差小于第三边．三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形注意：1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三角形的任何两边之和 大于第三边，任何两边之差小于第三边.2.在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小于第 三边.【典例精析】例 1: 用一条长为 18 ㎝的细绳围成一个等腰三角形。
人教版数学八年级上册11.1.1《三角形的边》教学设计
人教版数学八年级上册11.1.1《三角形的边》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册11.1.1《三角形的边》是学生在学习了平面几何基本概念的基础上，进一步研究三角形的性质。
本节课主要让学生了解三角形的三边关系，学会用不等式表示三角形的三边关系，并能够运用这一性质解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、操作、推理等过程，发现三角形的边长之间存在的关系，培养学生的几何直观能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何的基本概念，具有一定的观察、操作和推理能力。
但部分学生对抽象的几何概念理解不够深入，对三角形的边长关系理解起来可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，引导学生通过实际操作和几何直观图，更好地理解三角形的边长关系。
三. 教学目标1.理解三角形的三边关系，并能用不等式表示。
2.学会运用三角形的三边关系解决一些实际问题。
3.培养学生的几何直观能力和逻辑思维能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，提高学生合作交流的能力。
四. 教学重难点1.重点：三角形的三边关系，三角形三边关系的应用。
2.难点：三角形三边关系的证明和灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣。
2.观察操作法：引导学生观察三角形模型，操作实践，发现边长关系。
3.推理教学法：引导学生运用逻辑推理，证明三角形的三边关系。
4.合作交流法：鼓励学生分组讨论，分享学习心得，提高合作交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角形的性质课件，用于辅助教学。
2.几何模型：准备一些三角形模型，让学生观察和操作。
3.练习题：准备一些有关三角形边长关系的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如：帆船比赛中的三角形帆船，引出三角形的三边关系。
引导学生关注三角形在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
三角形三边关系的教学方法与技巧
三角形三边关系的教学方法与技巧。
一、三角形的三边关系在初中数学中，三角形的三边关系指的是三条边长之间的关系。
在三角形中有类似以下的性质：1.任意两边之和大于第三边。
2.任意两边之差小于第三边。
3.两边之和等于第三边当且仅当三角形退化成一条直线。
4.两边之差等于第三边当且仅当三角形退化成一个点。
这些性质给我们提供了判断三边关系的依据，也为我们的三角形计算和推理提供了基础。
二、教学方法和技巧1.游戏教学法游戏化的教学方法是现今比较流行的一种方法。
在教学中，可以利用游戏的形式来让学生自己去发现三边关系，激发学生的兴趣和注意力，提高学习效率。
比如，可以让学生分组出题，组内互相比赛，检查三边关系的正确性。
还可以将熟练的学生分组出题，新手来回答，从而提高大家对三角形三边关系的理解。
2.订立策略教师应该在教学中订立策略，让学生对三角形的三边关系留下深刻记忆。
可以提供一篇相关的文章或视频，要求学生阅读并注重理解，还可以布置相关的笔记和作业，强化学生的记忆。
课后，教师还可以安排巩固性练习，让学生熟练掌握三边关系。
3.探索式学习探索式学习是一种非常有效的教学方法，它通过让学生自己去寻找规律和解决问题，来达到帮助学生发现和理解知识的目的。
在三角形三边关系的教学中，可以通过给定一些简单的条件，让学生自己去证明三边关系的几个属性，从而加深学生对这些概念的理解。
这种学习方法有助于培养学生的思考能力和创造力。
4.图表教学法在教学过程中，可以用图表的方式来展示三边关系，让学生能够真正的看到三边关系中的数学规律。
教师可以画出几个不同形状的三角形，要求学生根据三边关系求解某个边的长度。
教师可以引导学生发现多边形的性质，如三角形的交叉点在三角形所在平面内，三角形内角和为180度等等。
5.实践式学习实践式学习是非常好的学习方法，它可以将学习与实践相结合，让学生能够更加深入地体验到所学知识的应用。
在三角形三边关系的教学中，可以通过让学生观察周围的建筑物，找出其中的三角形，并分析它们的三边关系，从而使学生能够更加深入地理解三边关系的概念。
《三角形三边的关系》-(多场合应用)
《三角形三边的关系》三角形是平面几何中的基本图形之一，由三条线段（即三边）组成，每两条线段的端点相连形成一个角。
三角形的三边和三个角之间存在着一定的关系，这些关系在几何学中有着广泛的应用。
本文将探讨三角形三边之间的关系，包括三角形的边长关系、角度关系以及三角形的面积和周长的计算方法。
三角形的三边之间存在着一个基本的关系，即任意两边之和大于第三边。
这个关系也被称为三角形的三角不等式定理。
根据这个定理，如果已知三角形的两边，那么第三边的长度必须满足一定的条件才能构成一个三角形。
具体来说，设三角形的三边分别为a、b、c，那么三角形的三角不等式定理可以表示为：a+b>ca+c>bb+c>a这个定理是判断一个图形是否为三角形的必要条件。
如果三条线段不能满足这个条件，那么它们就不能构成一个三角形。
三角形的三边之间还存在着一定的比例关系。
在直角三角形中，勾股定理描述了三角形的三边之间的比例关系。
勾股定理指出，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么勾股定理可以表示为：a^2+b^2=c^2这个定理是直角三角形特有的性质，也是解决直角三角形相关问题的关键。
三角形的三边之间还存在着一定的角度关系。
在任意三角形中，三角形的内角和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，那么三角形的内角和定理可以表示为：A+B+C=180°这个定理是解决三角形内角相关问题的关键。
根据内角和定理，我们可以推导出三角形内角的其他性质，如三角形的内角和与外角的关系，以及三角形的内角与边长的关系等。
三角形的三边之间还存在着一定的面积和周长的关系。
三角形的面积可以通过海伦公式计算，该公式利用三角形的三边长度来计算其面积。
设三角形的三边分别为a、b、c，半周长为p，那么海伦公式可以表示为：面积=√[p(pa)(pb)(pc)]其中，半周长p=(a+b+c)/2。
三角形三边关系定理的应用
三角形三边关系定理的应用肖老师特训中心内部资料关于三角形三边关系，有下述定理：三角形任意两边之和大于第三边。
其推论为：三角形任意两边之和小于第三边。
这个定理及其推论在解题中有着较为重要的应用，下面举例说明，希望对大家学好这部分知识能有所帮助。
一、判断三点是否共线例1：已知A 、B 、C 三点，且AB=3，BC=5，AC=7。
是判断这三点是否在一条直线上？ 解：∵AB+BC=3+5=8，AC=7，∴AB+BC >AC故A 、B 、C 三点不在同一条直线上。
二、已知三条线段，判断它们能否构成三角形例2：下列几组线段中，不能构成三角形的是（ ）A ．3.1，4.2，7B ．2.8，14.7，18C ．10，6，8D ．6.8，5.3，12 解析：根据三角形三边关系定理，取较小的两边之和与最大边进行比较，只有2.8+14.7=17.5<18成立。
所以本题应选B 。
三、求三角形的某一条边长（或取值范围）例3：等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上的中线把原三角形的周长分成两部分，其差为3cm ，则腰长为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．2cm 或8cmD ．3cm解析：设腰长为acm ，则根据题意有：(a+2a )－(2a +5)=3或(2a +5)－(a+2a )=3解之得：a=8或a=2。
但当a=2时，2+2<5，应舍去。
故本题应选B 。
例4：已知三角形的两边长分别为1、2，如果第三边的长为整数，那么第三边的长为____。
解：设第三边长为x ，则根据三角形的三边关系有：2－1<x<2+1，即1<x<3。
∵x 为正整数，∴第三边的长为2。
四、讨论三角形的周长（或取值范围）例5：若三角形的两边长分别为7和1，且第三边长为整数，则此三角形的周长为_____。
解：要求三角形的周长，首先要求出第三边的长。
设第三边的长为x ，则据定理有： 7－1<x<7+1，即6<x<8。
三角形三边关系定理在初中数学中的应用
三角形三边关系定理在初中数学中的应用三角形是最简单的多边形，是研究和学习几何的基础，而三角形三边关系定理是研究三角形的基础，可见三角形三边关系定理的重要之处，笔者针对三角形三边关系定理在初中数学中的应用做一一的总结，希望能够给学习这个定理的人有一定的帮助。
一、定理及其推论定理：三角形任意．．两边之差小于第三边。
定理．．两边之和大于第三边；推论：三角形任意分析：无论是定理还是推论都有“任意”二字，所以定理和推论都包含三项内容，用a，b，c表示三角形的三边，则定理可以表示为：a+b>c,a+c>b,b+c>a;推论则表示为：a-b<c,b-c<a,c-a<b.而我们在实际应用时往往不需要考虑那么多，只需将定理和推论简化为：a-b<c<a+b（假设a>b），应用时只需抓住两条边来验证第三边即可。
具体的应用参考下面的例题。
三：定理的应用1、判断三条线段是否可以构成三角形例题1 下列几组线段中，不能构成三角形的是：（）A.3，4，5B.2，4，6C.5，6，8D.7,10,15解法分析：下面我们以A选项为列来详细说明定理的使用，首先我们任意的取出两条线段，不妨我们取3和4.然后根据定理我们做出4-3<c<3+4,结果为1<c<7，最后我们来验证第三条边是否在c的范围内，如果在则能构成三角形，如果不在范围内则不能构成三角形，此题显然1<5<7,因此可以构成三角形。
答案为B。
例题2 以4cm,8cm,10cm,12cm四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是：（）A．1 B. 2 C. 3 D. 4解法分析：四根木条选3根有四种情况：4cm,8cm,10cm;4cm,8cm,12cm;4cm,10cm,12cm;8cm,10cm,12cm.由三角形三边关系定理知以12cm，8cm，4cm不能构成三角形，其它三种情况均符合题意，因此能构成三个三角形，故选择C。
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11.1.1三角形三边关系和不等式的综合运用
一．选择题（共15小题）
＜a＜2
2．（2013秋•大兴区期末）若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10
3．（2014春•张家港市期末）一个三角形的3边长分别是xcm、（x+2）cm、（x+4）cm，它
4．（2015春•泰兴市期末）已知△ABC的三边a，b，c的长度都是整数，且a≤b＜c，如果
5．（2014春•双柏县校级期中）已知三角形的三边的长依次为5，9，x，则x的取值范围是
＜m＜﹣1
8．（2013秋•西湖区校级期中）△ABC的三边长是a、b、c，且a＞b＞c，若b=8，c=3，则
9．（2012春•西城区校级期中）已知正整数a、b、c，a≤b＜c，c最大为6，存在以a、b、c
10．（2013秋•乐清市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=9，AD=a，则（）
11．（2013秋•桐乡市校级月考）已知三角形的周长是c，其中一边是另一边2倍，则三角形
与之间B
与之间与之间与之间
13．（2012•萧山区一模）已知△ABC的边长分别为2x+1，3x，5，则△ABC的周长L的取
14．（2011秋•合肥月考）一个三角形的两边长为8和10，那么它的最短边b的取值范围是
15．（2010秋•滨江区月考）7条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a1=1厘
二．解答题（共4小题）
16．（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA）．
证明：在△OAB中有OA+OB＞AB
在△OAD中有，
在△ODC中有，
在△中有，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即：，
即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）
17．（2014秋•富顺县校级期末）如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞
（AB+BC+AC）．
18．（2011秋•涡阳县校级期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．
19．已知，O为△ABC内的任一点，求证：（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．。