高中数学北师大版选修2-1练习：第二章章末综合检测 Word版含解析

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高中数学北师大版选修1-2 第2章单元综合检测 Word版含解析

第二章单元综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1. 要描述一工厂某产品的生产工艺，应用()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图解析：这是设计生产过程，应为工序流程图．答案：B2. 在下面的图中，是结构图的是()解析：采用排除法，A是流程图，C是表格，D是Venn图，故选B.答案：B3. 下列关于结构图的说法不正确的是()A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系B．结构图都是“树”形结构C．简洁的结构图能清晰地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系解析：由结构图的概念及应用可知A，C，D正确，结构图有两种结构：“树”形和“环”形结构．4. 下面是“神舟”七号宇宙飞船从发射到返回的主要环节：()①箭船分离；②出舱行走；③点火发射；④返回地球；⑤轨道舱和返回舱分离．图中正确的是()A. ③→⑤→②→①→④B. ③→⑤→②→④→①C. ③→①→②→⑤→④D. ④→⑤→②→①→③解析：由事情发展的先后顺序知C正确．答案：C5. [2014·唐山统考]执行如图所示的程序框图，则输出的n是()A．4 B．5C．6 D．7解析：第一次循环：a＝0，b＝1，n＝1，x＝1，a＝1，b＝1，第二次循环：n＝2，x＝0，a＝1，b＝0，第三次循环：n＝3，x＝－1，a＝0，b＝－1，第四次循环：n＝4，x＝－1，a＝－1，b＝－1，第五次循环：n＝5，x＝0，a＝－1，b＝0，第六次循环：n＝6，x＝1，a＝0，b＝1，符合条件，结束循环，故输出的n＝6.6. 解决数学问题的过程较为合理的是下列流程图中的()解析：根据解决数学问题的流程对比选择．答案：C7. 根据二分法原理求解方程x2－2＝0得到的程序框图可称为()A．程序流程图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图解析：程序框图是流程图中的一种．答案：A8. [2014·辽宁五校联考]某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的k的值是6，则满足条件的整数S0一共有()个．()A ．31B ．32C ．63D ．64解析：输出k 的值为6说明最后一次参与运算的k ＝5，所以S ＝S 0－20－21－22－23－24－25＝S 0－63，上一个循环S ＝S 0－20－21－22－23－24＝S 0－31，所以31<S 0≤63，总共32个满足条件的S 0.答案：B9. 在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：“上位”要素有“基本导数公式”“四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．答案：C10. [2014·吉林长春调研]定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子：[(2tan 5π4)⊗lne]－[lg100⊗(13)－1]的值是( )A ．－3B ．－4C ．－8D ．0解析：由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数S ＝a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋1)，a ≥ba (b －1)，a <b，所以2tan 5π4⊗lne ＝2⊗1＝4，lg100⊗(13)－1＝2⊗3＝4，所以[(2tan 5π4)⊗lne]－[lg100⊗(13)－1]＝4－4＝0，故选D.答案：D11. [2014·辽宁五校联考]执行如图所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：若输入的x >2，则y ＝log 2x ，当输出结果是3时，log 2x ＝3，解得x ＝8；若输入的x ≤2，则y ＝x 2－1，当输出结果为3时，y ＝x 2－1＝3，解得x ＝±2.故可输入的实数x 值的个数为3.答案：C12. [2014·甘肃诊断]执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )A. 3B. 43C. 12D. －2解析：S ＝3，k ＝1<2011，S ＝2－23＝43；k ＝2<2011，S ＝2－32＝12；k ＝3<2011，S ＝2－4＝－2； k ＝4<2011，S ＝2＋1＝3； k ＝5<2011，S ＝2－23＝43；……由此可以看出，S 是以4为周期的数，而小于2011的最大整数是2010＝502×4＋2，所以输出的S 是12.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 如图所示的是某公司的组织结构图，则后勤部的直接领导是________．解析：由组织结构图可知，后勤部的直接领导是专家办公室．答案：专家办公室14. 下图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在________的下位．解析：向量共线的充要条件是其中一个向量能用另一个非零向量的数乘形式表示．答案：数乘15. 在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：则在①中应填入________，在②中应填入________．解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．答案：菱形'直角梯形16. 某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天．解析：由题意可画出工序流程图如下图所示．∵总工期为9天，∴2＋x≤5，∴x≤3.∴完成工序C的最长时间为3天．答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．解：流程图如图所示．18. (12分)银行办理房屋抵押贷款手续如下：先按顺序进行房屋评估、银行审查、签订合同、办理保险产权过户，然后有三种选择：(1)若直接办理抵押贷款，则只进行抵押登记，然后发放贷款；(2)若采用全程担保方式，则直接发放贷款；(3)若采用阶段性担保方式，则先发放贷款，然后再办理抵押登记．试画出办理房屋抵押贷款手续的流程图．解：19. (12分)某公司做人事调整：设总经理一名，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A管理生产部、安全部和质量部，副经理B 管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图．解：人事结构图如图所示．20. (12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．解：21. (12分)小流域综合治理可以有3个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热，试画出小流域综合治理开发模式的结构图．解：根据题意，3个措施为结构图的第一层，每个措施中具体的实现方式为结构图的第二层，每个措施实施所要达到的治理功能为结构图的第三层，各类功能所体现的具体内容为结构图的第四层．小流域综合治理开发模式的结构图如图所示．22. (12分)A，B，C，D四位同学分别拿着5,3,4,2个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个．怎么安排他们打水的顺序，才能使他们打完水所花的总时间(含排队、打水的时间)最少？假如打满一瓶水需1分钟，那么打水的总时间是多少分钟？解：由题意可知A，B，C，D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟、3分钟、4分钟、2分钟．A用时最长，D用时最短．对于A和D来说，如果先安排A打水用去5分钟，这样A用了5分钟，而D除了等A 灌满水5分钟外再加上自己打水用2分钟，共需要7分钟，那么两个人总共用了5＋5＋2＝12分钟．反过来，如果将D安排在A前面，那么D打水用去2分钟，A等候2分钟，再加上自己打水用去5分钟，两人总共用了2＋2＋5＝9分钟．相比较，第二种方案用时少于第一种，由此可以得出这样的结论：把占时间少的人安排在前面可以使等候的总时间最短．按占用时间由少到多的顺序安排四个人为D，B，C，A.等候时间：D打水时，需耗用A，B，C，D四人时间，即2×4＝8分钟；B打水时，需耗用A，B，C三人时间，即3×3＝9分钟；C打水时，需耗用A，C两人时间，即4×2＝8分钟；A打水时，需耗用5分钟；故总用去8＋9＋8＋5＝30分钟．综上，按D，B，C，A的顺序安排4人打水所花的总时间最少，最少为30分钟．。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1 模块综合测评2 Word版含解析

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n【解析】依据含有一个量词的命题的否定判定即可．因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C. 【答案】 C2．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 的值为( )A ．5B ． 5C ．52D ．54【解析】由焦点在x 轴上的渐近线方程为y ＝±12x ，可得b a ＝12，所以e ＝ca ＝a 2＋b2a＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a ＝52.【答案】 C3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】结合平面与平面平行的判定与性质进行判断．当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．【答案】 B4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为( ) A.55 B ．555 C.355D ．115【解析】 ∵b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95，当t ＝15时，|b －a |min ＝355. 【答案】 C5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74【解析】 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.【答案】 C6．下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )【导学号：32550103】A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】要求a ＞b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a ＞b ，而由a ＞b 不能推出选项．在选项A 中，a ＞b ＋1能使a ＞b 成立，而a ＞b 时，a ＞b ＋1不一定成立，故正确；在选项B 中，a ＞b －1时，a ＞b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2＞b 2时，a ＞b 也不一定成立，因为a ，b 不一定同为正数，故C 错误；在选项D 中，“a 3＞b 3”是“a ＞b ”成立的充要条件，故D 错误．【答案】 A7．与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上D ．一个圆上【解析】将x 2＋y 2－8x ＋12＝0配方，得(x －4)2＋y 2＝4，设所求圆心为P ，设两圆的圆心分别为O 1，O 2，则由题意知||PO 2|－|PO 1||＝|R －r |＝1，根据双曲线的定义可知其轨迹是双曲线的一支．【答案】 B8．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( )A ．(0,0，±2)B ．(0,0，±3)C ．(0,0，±3)D ．(0,0，±1)【解析】设M (0,0，z )，直线的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33，故点M 到直线l 的距离d ＝|OM →|2－|OM →·s 0|2＝z 2－13z 2＝6，解得z ＝±3.【答案】 B9．如图1，已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( )图1A ．1B ． 2C ．2D ．4【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.【答案】 C10．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角正弦值为( )A.15 B ．255 C.55D ．25【解析】以A 为原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1， ∴AP →＝(0,0,2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设P A 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝|P A →·n ||P A →|·|n |＝55，∴P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55，故选C.【答案】 C11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0B ．3x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，∴PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴(PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→|·|PF 2→|＝28a 2.① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2.② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba ＝ 2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0. 【答案】 D12．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( )A.55 B ．33 C.255 D ．63【解析】取BC 中点O ，连结AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0.∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA →〉＝55， ∴sin 〈n ，OA →〉＝255. 【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题是________．【解析】根据逆否命题的定义知“若p 则q ”与“綈q 则綈p ”互为逆否命题．【答案】若A B ，则A ∪B ≠B14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________.【解析】 a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∵(a ＋b )⊥c ，∴(a ＋b )·c ＝0，即－2×1＋1×(－x )＋(x ＋3)×2＝0.解得x ＝－4. 【答案】－415．如图2，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，点M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________．图2【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋OB →＋12OC →－12OB →＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 【答案】 16OA →＋13OB →＋13OC →16．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【导学号：32550104】【解析】根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF .由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图像可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 【答案】 12 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．【解】解不等式x 2－8x －20＞0得p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}．依题意，p ⇒q 但q p ，说明A B .于是，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2.解得0＜a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0＜a ≤3.18．(本小题满分12分)已知p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．【解】若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1，有0＜x 1＋x 2＜2且0＜x 1x 2＜1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1，即－2＜m ＜0,0＜n ＜1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0，方程x 2＋mx ＋n＝0无实根，所以p q .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．19．(本小题满分12分)在如图3所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：图3(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．【解】 (1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a ，0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )，所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0，所以CM ⊥EM .(2)CE →＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、图4M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设所求曲线方程为y ＝ax 2＋647，由题意可知，0＝a ·64＋647，解得a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647. (2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)．所以x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)．所以C (6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.故当观测点A ，B 测得AC ，BC 距离分别为25，4时应向航天器发出变轨指令．21．(本小题满分12分)如图5所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .图5(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D -AF -E 的余弦值．【解析】 (1)由题意可知DA ⊥DC ，DA ⊥DP ，DC ⊥DP ，则以D 为原点，DP 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为a ，则C (0，a,0)，且A (0,0，a )，由平面几何知识可求得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，所以CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，DA →＝(0,0，a )，所以CF →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0＝0， CF →·DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·(0,0，a )＝0，故CF ⊥DF ，CF ⊥DA ；又DF ∩DA ＝D ，所以CF ⊥平面ADF .(2)易得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，0，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ，又AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ，设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AE →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ＝34ax －az ＝0，n ·AF →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ＝34ax ＋34ay －az ＝0，取x ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，34.由(1)知平面ADF 的一个法向量为CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，故cos 〈n ，CF →〉＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，34·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0194×12a ＝25719，由题图可知二面角D -AF -E 为锐二面角，所以其余弦值为25719.22．(本小题满分12分)(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .图6(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图6，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【导学号：32550105】【解】 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，得点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得 x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.。

高中数学选修2-1第二章课后习题解答编辑版

新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章圆锥曲线与方程 2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==.3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y . （1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-=由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==.由2t x =得2t x =，代入42ty -=，得422xy -=，即20x y +-=……①（2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩，得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x ya b+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=. 2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =，则有，2222AE ME CF MF +=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c =. （1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-；直线BM 的斜率 1BM y k x =-(1)x ≠；由题意，得2AMBMk k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F . 点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=；（2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12，12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=，椭圆221610x y +=，因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5；（2）(0,2)；（3）4870(,)3737--.7、7.习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=；（2）221259y x +=；（3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=；（2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±.所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -< 当这组直线在y轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y .则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3mx =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=.（第7题）10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+= 当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……②①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12 ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =（第4题）所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ 由此得12=将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，F 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+.联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n +=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b -=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ 令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a =所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e （3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=；（2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-；（2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =；（2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a -=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=. 习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线练习（P67）1、（1）212y x =；（2）2y x =；（3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-；（2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =；（4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,-提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =；（2）220x y =；（3）216y x =-；（4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±. 因为22AB y ==⨯==，所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-；（2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32p x =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-；（2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan60k =︒. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得3x = 则321y =±= 因为OB k =，OA k 所以15195OB OA k k -⋅===-- 所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-，因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+ 即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.（第8题）因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=解得 7782.5a =，8755c =所以 b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩，解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ；（2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （第1题）（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp -设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2py x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32py x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265m x x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得 222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(0)k -≠. ……①所以，122(12)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k = 当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BCy k x x =≠-由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===当2y =时，d此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y 轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上所以 242(4)p =--解得 24p =-为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -（第12题）（第4题）直线OP 的斜率21b k ac=-. 直线AB 的斜率2b k a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =. 由已知及1F A a c =+，得a c +=所以(1c +=c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=，所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥.因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠- 由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.（第7题）。

高中数学北师大版选修2-1模块综合测试1 Word版含解析

模块综合测试(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x ∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x >0成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1<x <0或x >1B ．x <－1或0<x <1C ．x >－1D ．x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图像，两图像的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x >0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·西安模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤bD ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC ．函数y ＝2sin(x ＋π5)的图像的一条对称轴是x ＝45πD ．若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值范围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值范围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．y 24－x 22＝1D ．y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a>2. 答案：C8．[2013·课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )解析：本题主要考查空间直角坐标以及三视图的有关知识．利用正方体模型，建立空间直角坐标系，根据点的坐标确定几何体形状，注意画三视图中的正视图时，是以zOx 平面为投影面，故选A.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A ． 3B ．2C ． 5D ． 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A ．1010B ．15C ．31010D ．35解析：以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)，E (1,0,1)，∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)． ∴cos 〈BE →·CD 1→〉＝0＋1＋22·5＝31010.答案：C11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)． ∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·浙江高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2 ②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2 ③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于__________．解析：∵a ，b ，c 三向量共面，∴a ＝x b ＋y c (x ，y ∈R )， ∴(2，－1,3)＝x (－1,4，－2)＋y (7,5，λ)，∴λ＝657.答案：65714．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·湖南省长沙一中月考]已知正三棱柱ABC －DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF＝__________________.解析：本题主要考查空间向量基本定理和数量积．设CN CF＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，又CF →＝AD →MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，得12×1×1×(－12)＋4m ＝0，解得m ＝116. 答案：11616．[2014·河北省邢台一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2. 18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x 为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．解：由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·天津高考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．解：法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)证明：向量BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0. 所以BE ⊥DC .(2)向量BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.法二：(1)证明：如图，取PD 的中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，又由已知，可得EM∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面P AD ，因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD .所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 的中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33. 所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H .因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG .所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°，由余弦定理可得AG ＝102，cos∠P AG ＝31010.所以二面角F －AB －P 的余弦值为31010.20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|P A |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|P A |＋|PF 1|＝6＋|P A |－|PF 2|.求|P A |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|P A |－|PF 2|的最大值问题，即求|P A |－|PF 2|的最大值问题，如图在△P AF 2中，两边之差小于第三边，即|P A |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时，此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值，易求|AF 2|＝2，这样|P A |－|PF 2|的最大值为2，故|P A |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)[2014·湖北高考]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≥0，0， x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)，依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①(ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③1°若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．2°若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，则由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．3°若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，则由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 22．(12分)[2014·广东省广州六中期末考试]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝12AD .(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；(3)求二面角A －PD －C 的余弦值．解：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD .又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD .又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)，可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E (0,0，12)，BE →＝(－1,0，12)．设平面PCD 的法向量是n＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝02y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·(－1,0，12)＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .(3)由已知，AB ⊥平面P AD ，所以AB →＝(1,0,0)为平面P AD 的一个法向量．由(2)知，n ＝(1,1,2)为平面PCD 的一个法向量．设二面角A －PD －C 的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝|(1，1，2)·(1，0，0)|6×1＝66. 即二面角A －PD －C 的余弦值为66.。

2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1模块综合测试2 Word版含解析

北师大版2019-2020学年数学精品资料模块综合测试(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题．答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝2 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－y 2＝3D ．x 2－y 23＝1解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，已知命题p ：a >b ，命题q ：tan 2A >tan 2B ，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识．在三角形中，命题p ：a >b ⇔A >B .命题q ：tan 2A >tan 2B ⇔sin(A ＋B )sin(A －B )>0⇔A >B ，显然p 是q 的充要条件，故选C.答案：C5．如右图，在三棱锥A —BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：如右图，建立空间直角坐标系．设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.答案：A6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A ．43B ．423C ．83D ．823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面；③已知空间中三个向量a ，b ，c ，则对空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c 成立．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：本题主要考查空间向量的共线、共面、空间向量的基本定理等基础知识．若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行或在同一条直线上，故①不正确；在三棱锥P －ABC 中，取P A →，PB →，PC →分别为向量a ，b ，c ，则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面，故②不正确；在三棱锥P －ABC 中，取AB →，BC →，CA →分别为向量a ，b ，c ，则对向量P A →，不存在实数x ，y ，z 使得P A →＝x a ＋y b ＋z c 成立，故③不正确；综上，正确命题的个数是0，故选A.答案：A8．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．[2014·河南省开封高中月考]如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A ．1B ．52C ．62 D ．32解析：本题主要考查空间中两点间的距离．以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)，F (2,1，22)，所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C. 答案：C10．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，则直线B 1B 和平面CDB 1所成角的正切值为( )A ．2 2B ．322C ． 2D ．22解析：如右图，建立空间直角坐标系，可设AC ＝BC ＝CC 1＝1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D (12，12，0)，B 1(0,1,1)，CD →＝(12，12，0)，CB 1→＝(0,1,1)，B 1B →＝(0,0，－1)．设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12y ＝0，y ＋z ＝0，不妨取n ＝(1，－1,1)，所以cos 〈n ，B 1B →〉＝n ·B 1B →|n ||B 1B →|＝－13＝－33.设直线B 1B 和平面CDB 1所成角为α，则sin α＝33，故cos α＝63，tan α＝22. 答案：D11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．83B ．163C ．833D ．823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A ．233B ．62C ． 2D ． 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率e 为__________．解析：当m >0，n >0时，可设a ＝3k ，b ＝4k ，则c ＝5k ，所以离心率e ＝53；当m <0，n <0时，可设a ＝4k ，b ＝3k ，则c ＝5k ，所以离心率e ＝54.答案：53或5415．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝__________.解析：如右图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.答案：－1216. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)．因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )．但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0. 又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立，故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．(12分)[2014·福建省质检]某几何体ABC －A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角C 1－AB 1－C 的余弦值．解：(1)由三视图可知，在三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (4,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)，∴CA 1→＝(4,0,4)，C 1A →＝(4,0，－4)，C 1B 1→＝(0,3,0)．∴CA 1→·C 1A →＝4×4＋0×0＋4×(－4)＝0，CA 1→·C 1B 1→＝4×0＋0×3＋4×0＝0. ∴CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1，又C 1A ∩C 1B 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1. (2)由(1)得，CA →＝(4,0,0)，CB 1→＝(0,3,4)，设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则CA →⊥n ，CB 1→⊥n ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n ＝0CA →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝03y ＋4z ＝0，即x ＝0，令y ＝4，则z ＝－3，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0,4，－3)．由(1)知，CA 1→是平面AB 1C 1的一个法向量， cos 〈n ，CA 1→〉＝n ·CA 1→|n ||CA 1→|＝－12202＝－3210.由图可知，二面角C 1－AB 1－C 为锐角，故二面角C 1－AB 1－C 的余弦值为3210.19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2，整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1. 解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )．由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0，则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0，化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1) 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2013·江西高考]如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连结CE 并延长交AD于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)证明：在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (0，3，0)，P (0,0，32)，故BC →＝(12，32，0)，CP →＝(－32，－32，32)，CD →＝(－32，32，0)．设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧12＋32y 1＝0，－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝(1，－33，23)．设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧ －32＋32y 2＝0，－32－32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎨⎧ y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169·8＝24. 22．(12分)[2014·山东高考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0. 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20，当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0，设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4，所以点B 到直线AE 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2 ＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4·⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16，1当且仅当x0＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.。

北师大高中数学选修21练习：章末检测二含解析

章末检测(二)(时间90分钟满分100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间中，与向量a ＝(3,0,4)同方向的单位向量e 为( ) A ．(1,0,0)B ．(1,0,0)或(－1,0,0) C.⎝⎛⎭⎫35，0，45 D.⎝⎛⎭⎫35，0，45或⎝⎛⎭⎫－35，0，－45 解析：与a ＝(3,0,4)同方向的单位向量为e ＝a|a |＝⎝⎛⎭⎫35，0，45，故选C. 答案：C2．已知线段AB 的长度为62，AB →与直线l 的夹角为120°，则AB →在l 上的投影为( ) A ．32 B ．－3 2 C ．3 6D ．－3 6解析：AB →在l 上的投影为：|AB →|·cos 120°＝－3 2. 答案：B3．已知a ＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，sin θ，1tan θ，若a ⊥b ，则θ为( ) A ．－π4B.π4C ．2k π－π2(k ∈Z )D ．k π－π4(k ∈Z )答案：D4．若直线l 的方向向量为a ＝(1，－5,7)，平面α的法向量为n ＝(－2,1,1)，则( ) A ．l ∥α或l αB ．l ⊥αC ．lαD ．l 与α斜交解析：∵a ·n ＝1×(－2)＋(－5)×1＋7＝0， ∴a ⊥n ，∴l ∥α或l α.答案：A5．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，且(a ＋b )⊥a ，则x ＝( )A.43 B ．－43C.34 D ．－34答案：B6．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．1 B.76 C.56D.23解析：在平行六面体中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →－C 1C →. 比较系数知x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝76.答案：B7.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确．答案：B8．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 答案：D9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π6，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，π2 解析：以D 点为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设DA ＝2，易得EF →＝(1,0，－1)，设CM →＝λ CA 1→＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，则BM →＝BC →＋CM →＝(2λ－2，－2λ，2λ)，则cos θ＝|cos 〈BM →，EF →〉|＝22×(2λ－2)2＋8λ2＝12×3λ2－2λ＋1＝12×3⎝⎛⎭⎫λ－132＋23(0≤λ≤1)．当λ＝13时，cos θ取到最大值32，此时θ＝π6，当λ＝1时，cos θ取到最小值12，此时θ＝π3，所以θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，π3.故选A. 答案：A10.如图，在空间直角坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，则下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D.AD →与B 1C →所成的角为60°解析：设正方体的棱长为1，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．∴BD →＝(－1，－1,0)，AC 1→＝(－1,1,1)，CD 1→＝(0，－1,1)，B 1D 1→＝(－1，－1,0)，B 1C →＝(－1,0，－1)，AD →＝(－1,0,0)．对于选项A ，由B 1D 1→＝BD →知结论正确；对于选项B ，由AC 1→·BD →＝(－1,1,1)·(－1，－1,0)＝0知结论正确；对于选项C ，由选项B ，再由AC 1→·B 1C →＝(－1,1,1)·(－1,0，－1)＝0知结论正确；对于选项D ，由cos 〈AD →，B 1C →〉＝AD →·B 1C →|AD →||B 1C →|＝22知结论不正确．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)满足条件( c －a )·2b ＝－2，则x ＝________. 解析：∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)， ∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·2b ＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 答案：212．已知空间向量a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ＋μ＝________. 解析：∵a ∥b ，∴a ＝m b (m ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6m (2μ－1)m ＝02λ＝2m，解得⎩⎨⎧λ＝m ＝15μ＝12.∴λ＋μ＝710.答案：71013．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，易求得点D (32，12，1)，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64. 答案：64 14．已知点P 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 上一点，则P A →·PC 1→的取值范围是__________．解析：以A 为坐标原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C 1(1,1,1)，不妨设P (x ，y,0)，0≤x ≤1,0≤y ≤1，则P A →＝(－x ，－y,0)，PC 1→＝(1－x,1－y,1)，P A →·PC 1→＝－(1－x )x －(1－y )y ＝x 2＋y 2－x －y ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122－12.当x ＝y ＝12时，P A →·PC 1→取得最小值－12；当x ＝0或1，y ＝0或1时，P A →·PC 1→取得最大值0.答案：⎣⎡⎦⎤－12，0 三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33.(1)建立适当的空间直角坐标系，求出点E的坐标；(2)在平面P AD内求一点F，使EF⊥平面PC B.解析：(1)分别以DA→，DC→，DP→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，设P(0,0,2m)(m>0)，则E(1,1，m)，∴AE→＝(－1,1，m)，DP→＝(0,0,2m)，∴cos〈DP→，AE→〉＝2m21＋1＋m2·2m ＝33，解得m＝1或m＝－1(舍去)，∴点E的坐标是(1,1,1)．(2)由(1)知B(2,2,0)，C(0,2,0)，∵点F∈平面P AD，∴可设F(x,0，z)，∴EF→＝(x－1，－1，z－1)．又EF⊥平面PCB，CB→＝(2,0,0)，∴EF→⊥CB→，∴(x－1，－1，z－1)·(2,0,0)＝0，解得x＝1.又EF→⊥PC→，PC→＝(0,2，－2)，∴(x－1，－1，z－1)·(0,2，－2)＝0，解得z＝0，∴点F的坐标是(1,0,0)，即点F是AD的中点．16．(10分)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)求证：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，求证：平面AMC ⊥平面BMC .证明：(1)如图所示，以O 为坐标原点，射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系O －xyz .则A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．于是AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，所以AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知AP ＝5.又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，所以AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5,0)，所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125，则AP →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0，所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM .又AP ⊥BC ，所以AP ⊥平面BMC ，所以AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，所以平面AMC ⊥平面BMC .17．(12分)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．解析：∵B C →＝A C →－A B →， ∴O A →·B C →＝O A →·A C →－O A →·A B →＝|O A →||A C →|cos 〈O A →，A C →〉－|O A →||A B →|cos 〈O A →，A B →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2. ∴cos 〈O A →，B C →〉＝O A →·B C→|O A →||B C →|＝24－1628×5＝3－225.∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225.18．(12分)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)求证：AF ⊥平面A 1ED ； (3)求二面角A 1-ED -F 的正弦值．解析：(1)设AB ＝1，依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1)，A 1(0,0,4)，E (1，32，0)．易得EF →＝(0，12，1)，A 1D →＝(0,2，－4)，于是cos 〈EF →，A 1D →〉＝EF →·A 1D →|EF →||A 1D →|＝－35.所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为35.(2)证明：易知AF →＝(1,2,1)，EA 1→＝(－1，－32，4)，ED →＝(－1，12，0)，于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED →＝0.因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED .又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED . (3)设平面EFD 的法向量为μ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧μ·EF →＝0，μ·ED →＝0，即⎩⎨⎧12y ＋z ＝0，－x ＋12y ＝0.不妨令x ＝1，可得μ＝(1,2，－1)，由(2)可知，AF →为平面A 1ED 的一个法向量，于是cos 〈μ，AF →〉＝μ·AF →|μ||AF →|＝23，从而sin 〈μ，AF →〉＝53.所以二面角A 1-ED -F 的正弦值为53.。

高中数学北师大版选修2-1：第2章单元综合检测1 Word版含解析

第二章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2014·福建省福州一中月考]已知向量a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(3，－6,3)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4,2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)解析：本题主要考查空间向量的坐标运算．b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－6,3)－(1，－2,1)＝(2，－4,2)，故选A.答案：A2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵a ∥b ，∴存在实数λ，使⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λx ＝4λy ＝5λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝152.答案：D3．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1) 解析：设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1,3)， AC →＝(1，－3,2)，又|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．答案：C4．已知A (－1,0,1)，B (0,0,1)，C (2,2,2)，D (0,0,3)，则sin 〈AB →，CD →〉等于( ) A ．－23B ．23C ．53D ．－53解析：∵AB →＝(1,0,0)，CD →＝(－2，－2,1)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →| ＝－23， ∴sin 〈AB →，CD →〉＝53.答案：C5．[2014·广东高考]已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)解析：经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°，故选B.答案：B6．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n ·a|n ||a |B ．cos θ＝|n ·a ||n ||a |C ．sin θ＝n ·a|n ||a |D ．sin θ＝|n ·a ||n ||a |解析：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝n ·a |n ||a |，∴sin θ＝|cos β|＝|n ·a ||n ||a |.答案：D7．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87C ．87D ．1914解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则|AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2 ＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：C8．[2014·福建省泉州一中期末考试]结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图，其中点○代表钠原子，黑点·代表氯原子．建立空间直角坐标系O －xyz 后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )A ．(12，12，1)B ．(0,0,1)C ．(1，12，1)D ．(1，12，12)解析：本题主要考查空间直角坐标系中点的坐标的探求．观察图形，可知图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是(12，12，1)，故选A.答案：A9．[2014·北京东城区期末统考]如图，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则a 2等于( )A ．2BA →·AC →B ．2AD →·BD →C ．2FG →·CA →D ．2EF →·CB →解析：本题主要考查空间向量的数量积．因为2BA →·AC →＝2BA →·(BC →－BA →)＝2BA →·BC →－2BA 2→＝2a 2cos60°－2a 2＝－a 2，所以排除A ；2AD →·BD →＝2(－DA →)·(－DB →)＝2a 2cos60°＝a 2，故选B.答案：B10．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：建系如右图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)． ∴BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1) ∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12·2＝12. ∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 答案：C11．[2014·湖南省雅礼中学月考]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内解析：本题主要考查四点共面的判断方法．由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝P A 1→＋6(P A 1→－PB →)－4(PD 1→－P A 1→)＝11P A 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C.答案：C12．如右图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A ．22B ．33C ．77D ．57解析：如图所示，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，P A ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，即二面角B —AP —C 的余弦值为77. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. 解析：如图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →－CC 1→＝b －a －c .答案：－a ＋b －c14．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝________.解析：本题主要考查空间向量的数量积．向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，因为k a ＋b 与2a －b 互相垂直，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝0，所以3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.答案：7515．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为__________．解析：建立如图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)，BC 1→＝(0,2，－2)，∴cos 〈AD →，BC 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，BC 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.答案：π616．如右图所示，已知二面角α－l －β的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为__________．解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ. 答案：3－2cos θ三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如右图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB→＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．解：∵MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC 1→＝12(AB →－AD →)＋34(CC 1→－CB →) ＝12(AB →－AD →)＋34(AA 1→＋AD →) ＝12AB →－12AD →＋34AA 1→＋34AD → ＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→， ∴α＝12，β＝14，γ＝34.18．(12分)如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：A ，E ，C 1，F 四点共面．证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体， ∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→， ∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→，∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝(AB →＋13AA 1→)＋(AD →＋23AA 1→)＝AB →＋BE→＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →.由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．19．(12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1)AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →. ∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0. 又△ABC 为正三角形，∴〈AB →·BC →〉＝π－〈BA →·BC →〉＝π－π3＝2π3.∵AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →) ＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC → ＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2 ＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知AB 1→·BC 1→＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1. 又|AB 1→|＝AB →2＋BB 1→2＝2＋BB 1→2＝|BC 1→|，∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12，得BB 1→2＝4，∴|BB 1→|＝2，即侧棱长为2.20．(12分)[2014·广东省佛山一中期中考试]如图，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝BC .(1)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值； (2)用空间向量的方法证明：BC ⊥平面ABS .解：以点A 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．设SA ＝AB ＝BC ＝a ，则B (22a ，22a,0)，C (0，2a,0)，S (0,0，a )． (1)AB →＝(22a ，22a,0)，SC →＝(0，2a ，－a )．cos 〈AB →，SC →〉＝22a ·2a a ·3a ＝33，故SC 与AB 所成角的余弦值为33. (2)由于AB →＝(22a ，22a,0)，AS →＝(0,0，a )，BC →＝(－22a ，22a,0)，显然，AB →·BC →＝0，AS →·BC →＝0.即AB ⊥BC ，AS ⊥BC ，又AB ∩AS ＝A ，故BC ⊥平面ABS . 21. (12分)[2014·山东高考]如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC ，又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形．因此C 1M ∥D 1A ，又C 1M ⊄平面A1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)法一：连接AC ，MC ，由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形．可得BC ＝AD ＝MC ，由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz . 所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)，因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 法二：由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接D 1N .由CD1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角．在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得CN ＝32. 所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 在Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 22．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定t 的值，使P A ∥平面MQB ；(3)在(2)的条件下，若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ＝AD＝2，求二面角M －BQ －C 的大小．解：(1)证明：连接BD ，∵AD ＝AB ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形． ∵Q 为AD 的中点，∴AD ⊥BQ .∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴AD ⊥PQ . 又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB . ∵AD ⊂平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD .(2)连接AC ，交BQ 于N .由AQ ∥BC ，可得△ANQ ∽△CNB ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12.∵P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，∴P A ∥MN .∴PM PC ＝AN AC ＝13，即PM ＝13PC ，∴t ＝13. (3)由P A ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB ，QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点的坐标分别为A (1,0,0)，B (0，3，0)，Q (0,0,0)，P (0,0，3)．设平面MQB 的法向量为n ＝(x ，y,1)，可得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·QB →＝0，n ·MN →＝0， ∵P A ∥MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·QB →＝0，n ·P A →＝0，解得n ＝(3，0,1)．取平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)，cos 〈m ，n 〉＝12，故二面角M －BQ －C 的大小为60°.。

【教学参考】高二北师大版数学选修2-1同步作业：模块测试(二) Word版含答案[ 高考]

综合学习与测试(二)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1、已知命题p :“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数)的图象是一条抛物线”.则下列四种形式的复合命题中真命题是（）①非p ②非q ③p 或q ④p 且qA.①②B.①③C.②③D.③④ 2、下列命题是假命题的是（） A ，命题“若220,x y +=则,x y 全为0”的逆命题； B ，命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；C ，命题“若0,m >则20x x m +-=有实数根”的逆否命题；D ，命题“ABC ∆中，如果090C ∠=，那么222c a b =+” 的逆否命题； 3、下列命题是真命题的是（）A ，“a b >”是“22a b >”的充分条件；B ，“a b >”是“22a b >”的必要条件；C ，“a b >”是“22ac bc >” 的充分条件；D ，“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件。

4、已知条件p :x +y ≠-2，条件q :x ≠-1且y ≠-1，则p 是q 的（） A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件5、如果不等式|x -a |＜1成立的充分不必要条件是21＜x ＜23，则实数a 的取值范围是( )A. 21＜a ＜23B. 21≤a ≤23 C.a ＞23或a ＜21 D.a ≥23或a ≤216、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A ．52-B ．52C ．53D ．1010 7、已知→-a =（2，-1，3），→-b =（-4，2，x ），若→-a 与→-b 夹角是钝角，则x 取值范围是 ( )A 、（-∞，310） B 、（-∞，2） C 、（310，+∞） D 、（-∞，310-） 8、抛物线y=－2x 2的准线方程 ( ) （A ）y=21（B ）x=81 （C ）y=81 （D ）y=41 9、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)两点，若x 1+x 2=6，则|PQ |的值为 ( )（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）510、 P 是长轴在x 轴上的椭圆22a x +22by ＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则｜PF 1｜·｜PF 2｜的最大值与最小值之差一定是( )（A ） 1 （B ） a 2 （C ）b 2 （D ）c 2第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11、命题：“a,b 是整数”是命题：“20x ax b ++=有且仅有整数解”的条件。

高中数学北师大版选修1-2练习章末检测卷(二) Word版含解析

章末检测卷(二)
(时间：分钟满分：分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)
．以下说法正确的是()
．工艺流程图中不可能出现闭合回路
．算法框图中不可能出现闭合回路
．在一个算法框图中三种程序结构可以都不出现
．在一个算法框图中三种程序结构必须都出现
答案
解析根据流程图的定义可知，算法框图中可以出现闭合回路，而工艺流程图中不可能出现闭合回路，所以正确；在一个算法框图中三种基本程序结构必会出现顺序结构，但不一定出现选择结构和循环结构，所以、均不正确．
．要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用()
．算法框图
．工艺流程图
．知识结构图
．组织结构图
答案
．在下面的图示中，是结构图的为()
.
.
.
.
答案
．如图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在() —
．“集合的概念”的下位
．“集合的表示”的下位
．“基本关系”的下位
．“基本运算”的下位
答案
解析子集属于集合的基本关系中的概念．
．下列框图中不是结构图的是()
→→
→→
→→
→
答案。

(完整word)北师大版高二理科数学选修2-1测试题及答案,推荐文档

选修2－1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若A B =，则cos cos A B =”的否命题是A. 若A B =，则cos cos A B ≠B. 若cos cos A B =，则A B =C. 若cos cos A B ≠，则A B ≠D. 若A B ≠，则cos cos A B ≠ 2. “直线l 与平面α平行”是“直线l 与平面α内无数条直线都平行”的A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件 3. 已知命题p ：23<，q ：23>，对由p 、q 构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“⌝p ”形式的命题，给出以下判断：①“p 或q ”为真命题； ②“p 或q ”为假命题； ③“p 且q ”为真命题； ④“p 且q ”为假命题； ⑤“⌝p ”为真命题； ⑥“⌝p ”为假命题. 其中正确的判断是A ．①④⑥ B. ①③⑥ C. ②④⑥ D ．②③⑤ 4.“56απ=”是“221cos sin 2αα-=”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件5.若方程22113x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是 A.1k < B. 13k << C. 3k > D. 1k <或3k > 6. 抛物线22y x =的焦点坐标是A. 108（，）B. 104（，）C. 1,08（）D. 1,04（）7. 以下给出了三个判断，其中正确判断的个数为.(1) 向量(3,2,1)a =-r与向量(3,2,1)b =--r 平行 (2) 向量(3,6,4)a =-r与向量(0,2,3)b =-r 垂直（3）向量(1,2,0)a =-r与向量1(,1,0)2b =-r 平行A. 0B. 1C. 2D. 3 8. 以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“2b ac =”是“b 为a 、c 的等比中项”的充分不必要条件；（2）“a b >”是“22a b >”的充要条件；（3）“A B =”是“tan tan A B =”的充分不必要条件；（4）“a b +是偶数”是“a 、b 都是偶数”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9.抛物线21,(0)y x a a=->的准线方程是 A. 4a y =B. 4y a =-C. 4ay =- D. 4y a = 10.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于7的点的横坐标是A. 6B.5C.4D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第二章章末综合检测 Wo

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a 与c 所在直线平行B ．向量a ，b ，c 共面即它们所在直线共面C ．空间任意两个向量共面D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：选C.对于A ：当b ＝0时，a 与c 所在直线可重合、平行、相交或异面；当b ≠0时，a 与c 所在直线可重合，排除A ；对于B ：它们所在直线可异面，排除B ；对于D ：b ＝0时不满足，排除D .2．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．a ∥e 1 B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：选C.对于A ：a ∥e 1，所以a ＝k e 1，得μ＝0，λ＝k ，与已知矛盾．对于B ：a ∥e 2，所以a ＝k e 2，得μ＝k ，λ＝0，与已知矛盾．故选C.3．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1，2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( ) A ．(2，3，1) B ．(1，－1，2) C ．(1，2，1) D ．(1，0，3)解析：选D.设该点为D .当D 的坐标为(1，0，3)时，AD →＝(1，0，3)＝2AB →－AC →，其他三个坐标均不符合要求．4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：选C.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝6－λ3λ2＋5＝89，得λ＝－2或λ＝255.5．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ⊥b B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对解析：选C.a ·b ＝－4＋0＋4＝0，所以a ⊥b ，又c ＝2a ，所以a ∥c ，故选C.6．已知向量m 、n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A.设l 与α所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，θ∈[0°，90°]，所以θ＝30°.选A.7．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x的值为( )A ．1B ．0C ．3D.13解析：选D.因为点M 在平面ABC 内，所以AM →＝λ1AB →＋λ2AC →，即：OM →－OA →＝λ1(OB →－OA →)＋λ2(OC →－OA →)，OM →＝(1－λ1－λ2)OA →＋λ1OB →＋λ2OC →，由OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，得x ＝1－13－13＝13.8．已知向量a ，b ，c 是空间的一基底，向量a ＋b ，a －b ，c 是空间的另一基底，一向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(1，2，3)，则向量p 在基底a ＋b ，a －b ，c 下的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，32，3B.⎝⎛⎭⎫32，－12，3 C.⎝⎛⎭⎫3，－12，32 D.⎝⎛⎭⎫－12，32，3 解析：选B.设p 在基底a ＋b ，a －b ，c 下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2，z ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12，z ＝3.9．已知a ＝(1，2，－y )，b ＝(x ，1，2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1解析：选B.a ＋2b ＝(1＋2x ，4，4－y )，2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)．因为(a ＋2b )∥(2a －b )，所以a ＋2b ＝λ(2a －b )，可得λ＝43，x ＝12，y ＝－4.10.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝22，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值解析：选D.建立如图坐标系，B 1(0，1，1)，D 1(1，0，1)，B (0，1，0)，AC →是平面B 1BDD 1的法向量，BE 平面B 1BDD 1，故AC ⊥BE ，故A 正确；BB 1→是平面ABCD 的法向量，BB 1→＝(0，0，1)，EF →＝22·D 1B 1→|D 1B 1→|＝(－12，12，0)，EF →·BB 1→＝0，故EF →⊥BB 1→，故EF ∥平面ABCD ，故B 正确；V A BEF ＝13S △BEF ·h＝13×12|EF →|·|BB 1→|·12|AC →| ＝112|EF →|·|BB 1→|·|AC →|＝112，故C 正确．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知空间向量a ＝(0，1，1)，b ＝(x ，0，1)，若a ，b 的夹角为π3，则实数x 的值为________．解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝0·x ＋1×0＋1×12·x 2＋1＝cos π3，得x ＝±1.答案：±112．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________．解析：MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12CB 1→＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 答案：12AB →＋12AD →＋12AA 1→13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．解析：因为A 1B 1∥平面D 1EF ，所以G 到平面D 1EF 之距等于A 1点到平面D 1EF 之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，F (1，1，12)，E (1，0，12)，设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·ED 1→＝0，易求得平面D 1EF 的一个法向量n ＝(1，0，2)，A 1E →＝(0，0，－12)，所以d ＝|A 1E →·n ||n |＝55. 答案：5514．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为________．解析：法一：由于∠BCA ＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC ＝CA ＝CC 1，可将三棱柱补成正方体，建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A (0，0，0)，B (2，2，0)，M (1，1，2)，N (0，1，2)，所以BM →＝(1，1，2)－(2，2，0)＝(－1，－1，2)，AN →＝(0，1，2)．所以cos 〈BM →，AN →〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|＝－1＋4（－1）2＋（－1）2＋22×02＋12＋22＝36×5＝3010.法二：如图(2)，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN 綊12B 1C 1綊BD ，因此有ND 綊BM ，则ND 与NA 所成角即为异面直线BM 与AN 所成角．设BC ＝2，则BM ＝ND＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA＝3010.答案：301015．给出命题：①在▱ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →；②在△ABC 中，若AB →·AC →>0，则△ABC是锐角三角形；③在梯形ABCD 中，E ，F 分别是两腰BC ，DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)；④在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)．以上命题中，正确命题的序号是________．解析：对于①：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，故①正确；对于②：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A >0，得∠A 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形，故②不正确；对于③：FE →＝F A →＋AB →＋BE →，FE →＝FD →＋DC →＋CE →，两式相加得：FE →＝12(AB →＋DC →)，故③正确；对于④：取BD 中点为H ，则FH →＝12AB →，HE →＝12DC →，FE →＝FH →＋HE →＝12(AB →＋DC →)，故④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标．解：设OQ →＝λOP →，所以QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP → ＝(1，2，3)－λ(1，1，2) ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λOP → ＝(2，1，2)－λ(1，1，2) ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，所以当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值．又OQ →＝λOP →＝43(1，1，2)＝⎝⎛⎭⎫43，43，83.所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，83.17．(本小题满分10分)在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，且AD ＝AA 1＝1，AB ＝2.(1)求证：平面BCD 1⊥平面DCC 1D 1；(2)求异面直线CD 1与A 1D 所成角的余弦值．解：(1)证明：在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥BC .因为底面ABCD 是矩形，所以DC ⊥BC . 又DD 1∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面DCC 1D 1.又BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面DCC 1D 1.(2)取DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．因为AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，2，0)， D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)．所以CD 1→＝(0，－2，1)，DA 1→＝(1，0，1)，所以cos 〈CD 1→，DA 1→〉＝CD 1→·DA 1→|CD 1→||DA 1→|＝15·2＝1010.所以异面直线CD 1与A 1D 所成角的余弦值是1010.18．(本小题满分10分)如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．(1)求|BN →|的长；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系． (1)依题意得B (0，1，0)、N (1，0，1)，所以|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3.(2)依题意得A 1(1，0，2)、B (0，1，0)、C (0，0，0)、B 1(0，1，2)，所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝11030.(3)证明：依题意，得C 1(0，0，2)、M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1，1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，所以A 1B →⊥C 1M →，所以A 1B ⊥C 1M . 19．(本小题满分12分)在空间直角坐标系中(O 为坐标原点)，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，D (0，0，2)，E (0，2，1)．(1)求证：直角BE ∥平面ADO ；(2)求直线OB 和平面ABD 所成的角；(3)在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由题意，点A ，D ，O 所在的平面就是xOz 平面，取其法向量为n ＝(0，1，0)，而BE →＝(－2，0，1)，所以BE →·n ＝0，即BE →⊥n ，又显然点B ，E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO .(2)设平面ABD 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，因为AB →＝(0，2，0)，AD →＝(－2，0，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧AB →·m ＝2b ＝0，AD →·m ＝－2a ＋2c ＝0，所以可取m ＝(1，0，1)．又OB →＝(2，2，0)，设OB 与平面ABD 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈OB →，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·m |OB →||m |＝22·22＝12. 所以直线OB 和平面ABD 所成的角为π6.(3)假设存在点P (x ，y ，z )，使得直线AP 与直线BD 垂直．设BP →＝λBE →，即(x －2，y －2，z )＝(－2λ，0，λ)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝2，z ＝λ，所以AP →＝(－2λ，2，λ)．又BD →＝(－2，－2，2)，所以AP →·BD →＝4λ－4＋2λ＝0，解得λ＝23，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，2，23. 20.(本小题满分13分)已知长方体AC1中，棱AB ＝BC ＝1，棱BB 1＝2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F .(1)求证：A 1C ⊥平面EBD ；(2)求点A 到平面A 1B 1C 的距离；(3)求直线DE 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．解：(1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么A (0，0，0)、B (1，0，0)、C (1，1，0)、D (0，1，0)、A 1(0，0，2)、B 1(1，0，2)、C 1(1，1，2)、D 1(0，1，2)，A 1C →＝(1，1，－2)，BD →＝(－1，1，0)，设E (1，1，z )，则BE →＝(0，1，z )，CB 1→＝(0，－1，2)，因为BE ⊥B 1C ，所以BE →·CB 1→＝－1＋2z ＝0，z ＝12，所以E (1，1，12)，BE →＝(0，1，12)，因为A 1C →·BD →＝－1＋1＋0＝0，A 1C →·BE→＝0＋1－1＝0，所以A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BE ，又BD ∩BE ＝B ，所以A 1C ⊥平面EBD . (2)连接AC ，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A -A 1B 1C 的高，设为h ，S △A 1B 1C ＝52，VC A 1B 1A ＝13，由VA A 1B 1C ＝VC A 1B 1A得：13×52h ＝13，h ＝255，所以点A 到平面A 1B 1C 的距离是255.(3)连接DF ，因为A 1C ⊥BE ，B 1C ⊥BE ，A 1C ∩B 1C ＝C ，所以BE ⊥平面A 1B 1C ，所以DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，设F (1，y ，z )，那么BF →＝(0，y ，z )，CF →＝(0，y －1，z )，B 1C →＝(0，1，－2)，因为BF →·B 1C →＝0，所以y －2z ＝0①，因为CF →∥B 1C →，所以z ＝2－2y ②，由①、②得y ＝45，z ＝25，DE →＝(1，0，12)，EF →＝(0，－15，－110)．在Rt △FDE 中，DE ＝52，EF ＝510.所以sin ∠EDF ＝EF ED ＝15，因此，DE 与平面A 1B 1C所成的角的正弦值是15.。

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(时间：分钟，满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列命题中正确的是( )．若∥，∥，则与所在直线平行．向量，，共面即它们所在直线共面．空间任意两个向量共面．若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ解析：选.对于：当＝时，与所在直线可重合、平行、相交或异面；当≠时，与所在直线可重合，排除；对于：它们所在直线可异面，排除；对于：＝时不满足，排除.．已知两非零向量，不共线，设＝λ＋μ(λ，μ∈且λ，μ≠)，则( )．∥．∥．与，共面．以上三种情况均有可能解析：选.对于：∥，所以＝，得μ＝，λ＝，与已知矛盾．对于：∥，所以＝，得μ＝，λ＝，与已知矛盾．故选.．已知(，，)，(，，)，(，，－)，下列四个点中在平面内的点是( )．(，－，)．(，，)．(，，)．(，，)解析：选.设该点为.当的坐标为(，，)时，＝(，，)＝－，其他三个坐标均不符合要求．．若向量＝(，λ，)，＝(，－，)且与的夹角的余弦值为，则λ等于( )．－．．或－．－或解析：选〈，〉＝＝＝，得λ＝－或λ＝.．向量＝(－，－，)，＝(，，)，＝(－，－，)，下列结论正确的是( )．∥，⊥．∥，⊥．以上都不对．∥，⊥解析：选·＝－＋＋＝，所以⊥，又＝，所以∥，故选.．已知向量、分别是直线和平面α的方向向量和法向量，若〈，〉＝－，则与α所成的角为( )．°．°．°．°解析：选.设与α所成角为θ，所以θ＝〈，〉＝，θ∈[°，°]，所以θ＝°.选.．已知点在平面内，并且对空间任意一点，有＝＋＋，则的值为( )．．．解析：选.因为点在平面内，所以＝λ＋λ，即：－＝λ(－)＋λ(－)，＝(－λ－λ)＋λ＋λ，由＝＋＋，得＝－－＝.．已知向量，，是空间的一基底，向量＋，－，是空间的另一基底，一向量在基底，，下的坐标为(，，)，则向量在基底＋，－，下的坐标为( )解析：选.设在基底＋，－，下的坐标为(，，)，则＝(＋)＋(－)＋＝(＋)＋(－)＋得即．已知＝(，，－)，＝(，，)，且(＋)∥(－)，则( )．＝，＝－．＝，＝．＝，＝－．＝，＝－解析：选＋＝(＋，，－)，－＝(－，，－－)．因为(＋)∥(－)，所以＋＝λ(－)，可得λ＝，＝，＝－..如图所示，正方体-的棱长为，线段上有两个动点，且＝，则下列结论中错误的是( )．⊥．∥平面．三棱锥-的体积为定值．异面直线，所成的角为定值解析：选.建立如图坐标系，(，，)，(，，)，(，，)，是平面的法向量，平面，故⊥，故正确；是平面的法向量，＝(，，)，＝·＝(－，，)，·＝，故⊥，故∥平面，故正确；＝△·＝×··＝··＝，故正确．二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在题中横线上)．已知空间向量＝(，，)，＝(，，)，若，的夹角为，则实数的值为．解析：〈，〉＝＝＝，得＝±.答案：±．在正方体-中，，分别为，的中点．用，，表示向量，则＝．解析：＝＋＋＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋.答案：＋＋.如图所示，在棱长为的正方体-中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且＝λ(≤λ≤)，则点到平面的距离为．解析：因为∥平面，所以到平面之距等于点到平面之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，设平面的法向量为＝(，，)，由易求得平面的一个法向量＝(，，)，＝(，，－)，所以＝＝.答案：．直三棱柱-中，∠＝°，，分别是，的中点，＝＝，则与所成角的余弦值为．解析：法一：由于∠＝°，三棱柱为直三棱柱，且＝＝，可将三棱柱补成正方体，建立如图()所示空间直角坐标系．设正方体棱长为，则可得(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，所以＝(，，)－(，，)＝(－，－，)，＝(，，)．所以〈，〉＝＝＝＝.法二：如图()，取的中点，连接，，，由于綊綊，因此有綊，则与所成角即为异面直线与所成角．设＝，则＝＝，＝，＝，因此∠＝＝.。

2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第二章章末综合检测 Word版含解析 (41)

[A.基础达标]1．若“p或q”是假命题，则()A．p是真命题，q是假命题B．p，q均为假命题C．p，q至少有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题解析：选B.“p或q”为假命题⇔p，q均为假命题．2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“q”为真B．“p或q”为真，“q”为真C．“p且q”为假，“p”为真D．“p且q”为真，“p或q”为假解析：选B.易知p为假命题，q为真命题，可得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，故选B.3．若“x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}”是假命题，则x的取值范围是()A．5≤x≤6B．5<x≤6C．5<x<6 D．x<5或x>6解析：选B.因为x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}，即x∈(－∞，5]∪(6，＋∞)，因为该命题是假命题，所以x的取值范围是(5，6]．4．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真解析：选D.命题p：x>0⇒x2>0，但x2>0⇒/ x>0，故p为假命题；命题q：在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故q为真命题，易得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是() A．a>0 B．a≥0C．a>1 D．a≥1解析：选B.若p为真⇔Δ＝4－4a≥0，即a≤1；若q为真⇔a2－a>0，即a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．由题意可得p，q一真一假．若p真q假，a∈[0，1]；若p假q真，a∈(1，＋∞)，综上所述，a∈[0，＋∞)．6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p且q”“p或q”中，真命题是________．解析：因为0是自然数，2是无理数，所以p是假命题，q是真命题，故“p且q”为假命题，“p或q”为真命题．答案：p或q7．已知命题p：不等式|x|≥m的解集是R，命题q：f(x)＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，则实数m的范围是________．解析：p为真，则m≤0；q为真，则2－m＞0，即m＜2.由于“p 或q ”为真，所以p 为真或q 为真，或p 、q 都为真，故m 的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．对于命题p 和命题q ，给出下列说法，其中正确说法的序号是________(填序号)． ①“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分条件；②“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分条件；③若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则q 为假．解析：利用“且”命题中全真为真，一假为假，“或”命题中一真为真，全假为假．可得：“p 且q ”为真⇒p 为真，q 为真⇒“p 或q ”为真，可知①正确．答案：①9．(1)用逻辑联结词“且”将命题p 和q 联结成一个新命题，并判断其真假，其中p ：3是无理数，q ：3大于2.(2)将命题“y ＝sin 2x 既是周期函数，又是奇函数”改写为含有逻辑联结词“且”的命题，并判断其真假．解：(1)p 且q ：3是无理数且大于2，是假命题．(2)y ＝sin 2x 是周期函数且是奇函数，是真命题．10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真命题时实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若“p 且q ”为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2，3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎨⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1，2)． [B.能力提升]1．已知命题p ：不等式|x x －1|>x x －1的解集为{x |0<x <1}．命题q ：“a ＝b ”是“a 2＝b 2”成立的必要不充分条件，则( )A ．p 真q 假B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．p 假q 真解析：选A.对于p ：|x x －1|>x x －1，可得x x －1<0，即x ∈(0，1)，故p 为真命题；对于q ：a ＝b ⇒a 2＝b 2，但a 2＝b 2⇒/ a ＝b ，故q 为假命题，易得“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题．2．命题p ：“任意x ∈[1，2]，2x 2－x －m ＞0”，命题q ：“存在x ∈[1，2]，log 2x ＋m＞0”，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．－1≤m ≤1解析：选C.p 为真时，m ＜2x 2－x ，x ∈[1，2]恒成立，2x 2－x 在x ∈[1，2]上的最小值为1，所以m ＜1；q 为真时，m ＞－log 2x ，x ∈[1，2]能成立，－log 2x 在[1，2]上的最小值为－1，所以m ＞－1；因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 都是真命题，故－1＜m ＜1.3．命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；命题q ：2是集合{x |x 2<a }中的元素．若“p 且q ”是真命题，则a 的取值范围为________．解析：由p 为真命题，可得a >1，由q 为真命题，可得a >4.当“p 且q ”为真命题时，p ，q 都为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >4，解得{a |a >4}．答案：{a |a >4}4．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(9－4a )x 在R 上是减函数，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：先求出命题p ，q 为真命题时实数a 的取值范围，x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝(2a )2－4×1×4＜0，解得－2＜a ＜2，即命题p ：－2＜a ＜2；函数y ＝－(9－4a )x 在R 上是减函数，则9－4a ＞1，得a ＜2，即命题q ：a ＜2.“p 或q ”为真命题，则p 和q 至少有一个为真，“p 且q ”为假命题，则p 和q 至少有一个为假，所以p 和q 一真一假，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]5．设有两个命题：p ：关于x 的不等式sin x cos x >m 2＋m 2－1的解集是R ； q ：幂函数f (x )＝x 7－3m 在(0，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，求m 的取值范围．解：因为“p 且q ”是假命题，所以p ，q 中至少有一个是假命题．因为“p 或q ”是真命题，所以p ，q 中至少有一个是真命题．故p 和q 两个命题一真一假．若p 真，则2m 2＋m －2<－1，即2m 2＋m －1<0，所以－1<m <12. 若q 真，则7－3m <0，所以m >73. p 真q 假时，－1<m <12；p 假q 真时，m >73. 所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12∪⎝⎛⎭⎫73，＋∞. 6．(选做题)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①对任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②存在x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，求m 的取值范围．解：将①转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0解集的子集求解；②转化为f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．若g (x )＝2x －2<0，则x <1.又因为对任意x ∈R ，g (x )<0或f (x )<0，所以[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0.当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0.当2m＝－m－3，即m＝－1时，f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件．当2m>－m－3，即－1<m<0时，f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<－m－3}．依题意2m<1，即m<1，所以－1<m<0.2当2m<－m－3，即m<－1时，f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>－m－3}．依题意－m－3<1，即m>－4，所以－4<m<－1.因此满足①的m的取值范围是－4<m<0.②中，因为当x∈(－∞，－4)时，g(x)＝2x－2<0，所以问题转化为存在x∈(－∞，－4)，f(x)>0，即f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m<0，则(x－2m)(x＋m＋3)<0.由①的解法知，当－1<m<0时，2m>－m－3，即－m－3<－4，所以m>1，此时无解．当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，所以m<－2.综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4<m<－2.。

高中数学北师大版选修2-1练习：第二章6 距离的计算 2 Word版含解析

, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．(1，5) D ．[1，25]解析：选B.|AB →|＝（2cos θ－3cos α）2＋（2sin θ－3sin α）2 ＝9＋4－12cos αcos θ－12sin αsin θ ＝13－12cos （α－θ），因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤|AB →|≤5. 2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则异面直线AC 与A 1D 的距离为( )A.233B.33C. 2 D ．1解析：选A.建立如图坐标系，连接B 1C ，AB 1，因为A 1D ∥平面AB 1C ，所以异面直线AC 与A 1D 的距离为A 1到平面AB 1C 的距离．D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，A 1(2，0，2)，AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，2)，AA 1→＝(0，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1C 的法向量，由n ·AC →＝0，n ·AB 1→＝0得：x ＝y ＝－z ，可取n ＝(1，1，－1)，故A 1到平面ACB 1的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝233. 3．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33 B ．1 C. 2 D. 3解析：选D.以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴正向建立坐标系，C (0，1，0)，C 1(0，1，3)，A (1，0，0)，CC 1→＝(0，0，3)，AC 1→＝(－1，1，3)，易知C 1C →⊥平面ABCD ，可取CC 1→为平面ABCD 的法向量，故A 1C 1到平面ABCD 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CC 1→·AC 1→|CC 1→|＝ 3. 4．把边长为a (a >0)的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是( )A ．a B.62aC.33aD.154a 解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，因为正△ABC ′边长为a ，所以|BD |＝|DC |＝a2，所以B (a 2，0，0)，A (0，0，32a )，C (a 4，34a ，0)，所以BA →＝(－a 2，0，32a )，BC →＝(－a 4，34a ，0)．与BC →同向的单位向量为s 0＝(－12，32，0)．所以d ＝|BA →|2－|BA →·s 0|2＝154a .5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1到平面BDC 1的距离为( ) A.2a B.3aC.23aD.33a 解析：选D.明显A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1，1)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，BA →＝(0，－a ，0)，则两平面间的距离为d ＝|BA →·n|n ||＝a 3＝33a .6．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则空间P ，D 两点间的距离为________．解析：设P (x ，y ，z )，由AP →＝(x －1，y －2，z －1)＝2PB →＝2(－1－x ，3－y ，4－z )＝(－2－2x ，6－2y ，8－2z )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2－2x ，y －2＝6－2y ，z －1＝8－2z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝83，z ＝3，故|PD |＝（－13－1）2＋（83－1）2＋（3－1）2＝773.答案：7737．三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AS ＝AB ＝AC ＝2，D 是SA 的中点，则点D 到BC 的距离为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则D (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，所以BD →＝(－2，0，1)，BC →＝(－2，2，0)，所以BD →在BC →上的投影长为|BC →·BD →||BC →|＝422＝2，故D 到BC 的距离为 |BD →|2－（2）2＝ 3. 答案： 3 8．已知ABC -A 1B 1C 1是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1D 的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (32a ，12a ，0)，B 1(32a ，a 2，a )，D (0，a ，a2)，C 1(0，a ，a )，设平面AB 1D的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0，n ·OB 1→＝0，即⎩⎨⎧ay ＋a 2z ＝0，32ax ＋a 2y ＋az ＝0.所以⎩⎨⎧2y ＋z ＝0，3x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝－2，则y ＝1，x ＝3，所以n ＝(3，1，－2)，C 1D →＝(0，0，－a 2)，则点C 1到平面AB 1D 的距离为|n ·C 1D →||n |＝24a .答案：24a9.在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，且AB＝AD ＝1，BB ′＝2，M ，N 分别是A ′D ′，D ′C ′的中点，求直线AC 与直线MN 的距离．解：依据长方体的性质可知AC ∥MN ，故两直线间的距离为点M 到直线AC 的距离．由题意得AC →＝(－1，1，0)，AM →＝(0，12，－2)．所以点M 到直线AC 的距离d ＝ |AM →|2－|AM →·AC →|AC →||2＝ 174－18＝664.10．如图，在四棱锥S -ABCD 中，AD ∥BC 且AD ⊥CD ，平面CSD ⊥平面ABCD ，CS⊥DS ，CS ＝2AD ＝2，E 为BS 的中点，CE ＝2，AS ＝ 3.求点A 到平面BCS 的距离．解：如图，以S (O )为坐标原点，OD 、OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系．设A (x A ，y A ，z A )，因平面COD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，故AD ⊥平面COD ，即点A 在xOz 平面上，因此y A ＝0，z A ＝|AD →|＝1.又x 2A ＋12＝|AS →|2＝3，x A ＞0，解得x A ＝ 2. 从而A (2，0，1)．因AD ∥BC ，故BC ⊥平面CSD ，即平面BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS 的距离为x A ＝ 2.[B.能力提升]1．空间直角坐标系中(O 为坐标原点)，在坐标平面xOy 上到点A (3，2，5)，B (3，5，1)距离相等的点有( )A ．1个B ．2个C ．不存在D ．无数个解析：选D.过AB 的中点(3，72，3)且以AB →＝(0，3，－4)为法向量的平面上的点到A 、B的距离相等．2．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为线段BD 1，CC 1上的动点，则PQ 的最小值为( )A. 2B.33 C. 3 D.22解析：选D.PQ 的最小值即为异面直线CC 1，BD 1间的距离，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，D 1(0，1，1)，C (1，1，0)，C 1(1，1，1)，所以BD 1→＝(－1，1，1)，CC 1→＝(0，0，1)，设Q (1，1，z )，z ∈[0，1]，令BP →＝λBD 1→(λ∈[0，1])，则BP →＝(－λ，λ，λ)，所以OP →＝OB →＋BP →＝(1－λ，λ，λ)，PQ →＝OQ →－OP →＝(λ，1－λ，z －λ)，因为⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·BD 1→＝0，PQ →·CC 1→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋1－λ＋z －λ＝0，z －λ＝0，所以z ＝λ＝12，即P (12，12，12)，Q (1，1，12)，故|PQ |＝（1－12）2＋（1－12）2＋（12－12）2＝22.3．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1DC C 1的大小为60°，则AD 的长为____________．解析：建立如图坐标系，设|AD →|＝λ，C (0，0，0)，D (1，0，λ)，B (0，2，0)，B 1(0，2，2)，CD →＝(1，0，λ)，CB 1→＝(0，2，2)，CB →＝(0，2，0)为平面C 1DC 的法向量，设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1DC 的法向量，由n ·CD →＝0， n ·CB 1→＝0得：x ＋λz ＝0，y ＋z ＝0，可取n ＝(λ，1，－1)则n ·CB →|n ||CB →|＝2λ2＋2·2＝cos 60°，得λ＝ 2.故|AD →|＝ 2.答案： 24．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 的距离为________．解析：以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴正向建立坐标系，在线段AB上取点E ，使|BE →|＝14|AB →|，易得NE →∥AM →，则AM ∥平面ENC ，则异面直线AM 与CN 的距离等于M 到平面ENC 的距离，E (1，34，0)，N (1，1，12)，C (0，1，0)，M (1，12，1)，EN →＝(0，14，12)，EC →＝(－1，14，0)，EM →＝(0，－14，1)，设n ＝(x ，y ，z )为平面ENC 的法向量，由n ·EN →＝0，n ·EC →＝0得y ＝－2z ＝4x ，可取n ＝(1，4，－2)，故AM 与CN 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EM →|n |＝217. 答案：2175．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．解：(1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0，0，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E (1，12，0)，F (12，1，0)，EF →＝(－12，12，0)，PE →＝(1，12，－1)，设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0，所以⎩⎨⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3. 所以n ＝(2，2，3)，所以点D 到平面PEF 的距离为d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝(0，12，0)，所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.6．(选做题)已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA 1⊥AC 1.(1)求证：AC 1⊥平面A 1BC ； (2)求点C 1到平面A 1AB 的距离．解：(1)证明：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，则DE ∥BC ，因为BC ⊥AC ，所以DE ⊥AC ，且A 1D ⊥平面ABC ，以射线DE ，DC ，DA 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，设A 1(0，0，t )，C 1(0，2，t )，其中t ＞0，则AC 1→＝(0，3，t )，BA 1→＝(－2，－1，t )，CB →＝(2，0，0)，因为AC 1→·CB →＝0，所以AC 1⊥CB ，又因为BA 1⊥AC 1，所以AC 1⊥平面A 1BC .(2)由(1)知AC 1⊥平面A 1BC ，所以AC 1→·BA 1→＝－3＋t 2＝0，得t ＝ 3.设平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(2，2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝y ＋3z ＝0，n ·AB →＝2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)．所以点C 1到平面A 1AB 的距离d ＝|AC 1→·n ||n |＝2217.。

2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第二章章末综合检测 Word版含解析 (9)

[基础达标]1.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B 的坐标分别为A (1，2，2)，B (2，－2，1)，则|AB |＝( )A ．18B ．12C ．3 2D ．2 3解析：选C.AB →＝(1，－4，－1)，|AB |＝|AB →|＝12＋（－4）2＋（－1）2＝3 2.2.若ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (－3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5)D ．(－1，13，－3)解析：选D.设D (x ，y ，z )，∵AB →＝DC →，∴(－2，－6，－2)＝(－3－x ，7－y ，－5－z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－3－x －6＝7－y －2＝－5－z ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝13z ＝－3. 3.向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ⊥b B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对解析：选C.a ·b ＝－4＋0＋4＝0，∴a ⊥b ，又c ＝2a ，∴a ∥c ，故选C.4.已知A (2，－2，1)，B (1，0，1)，C (3，－1，4)，则向量AB →，AC →夹角的余弦值为( ) A.55 B ．5555 C.1111D ．5511解析：选B.由点A ，B ，C 的坐标可求得AB →＝(－1，2，0)，AC →＝(1，1，3)，则|AB →|＝（－1）2＋22＋02＝5， |AC →|＝12＋12＋32＝11，AB →·AC →＝(－1)×1＋2×1＋0×3＝1，因此，cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝15×11＝5555.5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为( ) A ．17或－1B ．－17或1C ．－1D ．1解析：选B.a ·b ＝4－λ，|a |＝5＋λ2，|b |＝6，由题意得cos 60°＝a ·b |a ||b |即4－λ5＋λ2·6＝12，解之得λ＝1或λ＝－17.6.已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则λ的值为________．解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x ，y )使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，4x ，－2x )＋(7y ，5y ，λy )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝－x ＋7y ，－2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3433，y ＝1433，λ＝657.故填657.答案：6577.已知M 1(2，5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2→＝4MM 2→，则向量OM →的坐标为________．解析：M 1M 2→＝(1，－7，－2)，设M (x ，y ，z )， ∴MM 2→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．由M 1M 2→＝4MM 2→，∴(1，－7，－2)＝4(3－x ，－2－y ，－5－z )， ∴x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：(114，－14，－92)8.设AB →＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，BC →＝(0，cos α，0)，则|AC →|的最大值为________．解析：AC →＝AB →＋BC →＝(cos α＋sin α，cos α，－sin α)， ∴|AC →|＝（cos α＋sin α）2＋cos 2α＋（－sin α）2＝2＋sin 2α≤ 3.答案： 39．已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，a ＝(－1，1，3)，b ＝(1，0，－2)，c ＝a ＋t b .(1)当|c |取最小值时，求t 的值；(2)在(1)的情况下，求b 和c 夹角的余弦值．解：(1)因为关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，所以Δ＝[－(t －2)]2－4(t 2＋3t ＋5)≥0，即－4≤t ≤－43.又c ＝(－1，1，3)＋t (1，0，－2)＝(－1＋t ，1，3－2t )，所以|c |＝（－1＋t ）2＋12＋（3－2t ）2＝5（t －75）2＋65.因为t ∈[－4，－43]时，上述关于t 的函数单调递减，所以当t ＝－43时，|c |取最小值3473.(2)当t ＝－43时，c ＝(－73，1，173)，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c|b ||c |＝－73＋0－34312＋02＋（－2）2× （－73）2＋12＋（173）2＝－411 735＝－41 1 7351 735.10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12、F ⎝⎛⎭⎫12，12，0、C (0，1，0)、C 1(0，1，1)、B 1(1，1，1)、G ⎝⎛⎭⎫0，34，0.(1)证明：EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12， B 1C →＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)， ∴EF →·B 1C →＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0， ∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C .(2)∵C 1G →＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0，1，1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1， ∴|C 1G →|＝174.又EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32， ∴cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →|·|C 1G →|＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝⎛⎭⎫12，12，0、H ⎝⎛⎭⎫0，78，12， ∴FH →＝⎝⎛⎭⎫－12，38，12， ∴|FH →|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫382＋⎝⎛⎭⎫122＝418. [能力提升]1.△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5解析：选A.设AD →＝λAC →，其中λ∈R ，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ. ∴BD →＝(－4，4λ＋5，－3λ)． ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.∴λ＝－45，∴BD →＝(－4，95，125)．∴|BD →|＝（－4）2＋（95）2＋（125）2＝5.2.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP →的坐标为________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4. 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP →⊥AB →，且BP →⊥BC →，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP →＝(337，－157，－3)．答案：(337，－157，－3)3.已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S . 解：∵AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.4．已知A (4，10，9)，B (3，7，5)，C (2，4，1)，D (10，14，17)，M (1，0，1)，N (4，4，6)，Q (2，2，3)．(1)求证：A ，B ，C 三点共线； (2)求证：M ，N ，Q ，D 四点共面．证明：(1)由题意，得AB →＝(－1，－3，－4)， AC →＝(－2，－6，－8)，显然AC →＝2AB →， ∴AC →与AB →共线．又AC →，AB →有共同的起点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)MN →＝(3，4，5)，MQ →＝(1，2，2)，MD →＝(9，14，16)．设MD →＝xMN →＋yMQ →，即(9，14，16)＝(3x ＋y ，4x ＋2y ，5x ＋2y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝9，4x ＋2y ＝14，5x ＋2y ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故MD →＝2MN →＋3MQ →，由共面向量定理知MN →，MQ →，MD →共面，即M ，N ，Q ，D 四点共面．。

2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第二章章末综合检测 Word版含解析 (14)

[A.基础达标]1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－22，则l 与α所成的角θ为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150° 解析：选B.因为cos 〈m ，n 〉＝－22，所以〈m ，n 〉＝135°，故l 与α所成的角θ为45°.2．设ABCD ，ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角等于( )A ．45°B ．30°C ．90°D ．60°解析：选D.设AD →＝a ，AB →＝b ，AF →＝c ，|a |＝|b |＝|c |＝1. AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，BF →＝BA →＋AF →＝－b ＋c . AC →·BF →＝(a ＋b )·(c －b )＝－b 2＝|AC →||BF →|cos 〈AC →，BF →〉．所以cos 〈AC →，BF →〉＝－12，故AC 与BF 所成的角为60°.3．正四棱锥S -ABCD 中，SA ＝AB ＝2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.36B.66C.33D.63解析：选C.设平面ABCD 的中心为O ，以OA →，OB →，OS →为x ，y ，z 轴正向建立坐标系，A (2，0，0)，C (－2，0，0)，S (0，0，2)，B (0，2，0)，SB →＝(0，2，－2)，BC →＝(－2，－2，0)，AC →＝(－22，0，0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面SBC 的法向量，由n ⊥SB →，n ⊥BC→得y ＝z ＝－x ，可取n ＝(1，－1，－1)，cos 〈AC →，n 〉＝AC →·n |AC →||n |＝－33.故AC 与平面SBC 所成角的正弦值为|cos 〈AC →，n 〉|＝33.4．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( )A.64B.104C.22D.32解析：选A.取AC 中点为D ，连接BD ，得BD →为平面ACC 1A 1的法向量，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ，BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋12b ，cos 〈AB 1→，BD →〉＝AB 1→·BD →|AB 1→||BD →|＝－64，故AB 1与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为|cos 〈AB 1→，BD →〉|＝64. 5．已知三条射线P A ，PB ，PC 的两两夹角都是60°，则二面角A -PB -C 的余弦值为( ) A.13 B.63 C.32 D.33解析：选A.在P A 、PB 、PC 上取点D 、E 、F 使得PD ＝PE ＝PF ，可知三棱锥D -PEF 为正四面体，取PE 中点H ，连接DH ，FH ，得∠DHF 为二面角A -PB -C 的平面角，设PF →＝a ，PE →＝b ，PD →＝c ，则HD →＝HP →＋PD →＝－12b＋c ，HF →＝HP →＋PF →＝－12b ＋a ，cos 〈HD →，HF →〉＝HD →·HF →|HD →||HF →|＝13.6．在空间中，已知二面角α-l -β的大小为2π3，n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则〈n 1，n 2〉的大小为________．解析：因二面角α-l -β的大小是它们两个半平面的法向量夹角或夹角的补角．当二面角α-l -β的大小为2π3时，则〈n 1，n 2〉的大小为23π或π－2π3.答案：π3或2π37．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值为________．解析：建立如图坐标系，D (0，0，0)，B (2，2，0)，B 1(2，2，2)，M (0，1，2)，N (0，2，1)，DB →＝(2，2，0)，DM →＝(0，1，2)，B 1N →＝(－2，0，－1)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BDM 的法向量，由n ·DB →＝0，n ·DM →＝0，得y ＝－x ＝－2z ，可令n ＝(2，－2，1)，cos 〈n ，B 1N →〉＝n ·B 1N →|n ||B 1N →|＝－53，故B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值为|cos 〈n ，B 1N →〉|＝53. 答案：538.已知三棱柱ABC -A1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3 的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为________．解析：法一：34(3)2·AA 1＝94，得AA 1＝ 3. 易得∠AP A 1是P A 与平面ABC 所成角，A 1P ＝23×32×3＝1，tan ∠AP A 1＝AA 1A 1P ＝31＝3，故∠AP A 1＝π3.法二：令A 1C 1→＝a ，A 1B 1→＝b ，A 1A →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝3，P A 1→＝－A 1P →＝－13(a ＋b )，P A →＝P A 1→＋A 1A →＝－13a －13b ＋c ，|P A 1→|＝P A 1→·P A 1→＝1，|P A →|＝P A →·P A →＝2，cos 〈P A 1→，P A →〉＝P A 1→·P A →|P A 1→||P A →|＝12，故P A 与平面ABC 所成角的大小为π3. 答案：π39.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2，D 为AB 中点．(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求直线AA 1与平面A 1CD 所成角的正弦值．解：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于O 点，则DO 为△ABC 1的中位线，故DO ∥BC 1，又DO 平面A 1CD ，BC 1 平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，2)，D (1，1，0)，设平面A 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·A 1D →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋y －2z ＝0，令x ＝1得n ＝(1，－1，－1)．设直线AA 1与平面A 1CD 所成角为α，则sin α＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223＝33.10．如图，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，AF ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD . (1)证明：BD ⊥EF ；(2)若AF ＝1，且二面角B -EF -C 的大小为30°，求CE 的长．解：(1)证明：连接AC ，因为AF ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD . 所以AF ∥CE ，所以四边形ACEF 在同一平面内，因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥BD ，又因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，因为AF ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACEF ，所以BD ⊥EF .(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AF 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系(如图)．设CE ＝a ，则B (1，0，0)，F (0，0，1)，E (1，1，a )．所以BF →＝(－1，0，1)，BE →＝(0，1，a )．设平面BEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，1)，得到⎩⎪⎨⎪⎧m ·BF →＝（x ，y ，1）·（－1，0，1）＝0，m ·BE →＝（x ，y ，1）·（0，1，a ）＝0，所以m ＝(1，－a ，1)．由(1)知平面CEF 的一个法向量是 DB →＝(1，－1，0)，所以|cos 〈DB →，m 〉|＝|a ＋1|2·a 2＋2＝cos 30°＝32. 所以a ＝2，即CE ＝2.[B.能力提升]1．在正四棱锥P -ABCD 中，P A ＝2，直线P A 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线P A 与BE 所成角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，则∠P AO ＝60°，所以OP ＝3，OA ＝1，AB ＝2，P (0，0，3)，A (22，－22，0)，B (22，22，0)，C (－22，22，0)，E (－24，24，32)，AP →＝(－22，22，3)，BE →＝(－324，－24，32)，cos 〈AP →，BE →〉＝22×2＝22，所以〈AP →，BE →〉＝45°，即异面直线P A 与BE 所成角为45°.2.如图所示，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于D ，E ，又SA ＝AB ，SB ＝BC ，则以BD 为棱，以BDE 与BDC 为面的平面角的度数为( )A ．90°B ．30°C ．60°D ．45°解析：选C.以A 为原点，以AC 所在直线为y 轴，以AS 所在直线为z 轴，以和AS ，AC 都垂直的直线AF 为x 轴，建立空间直角坐标系．设SA ＝1，因为SA ⊥平面ABC ，所以AS →是平面ABC 的一个法向量．因为SA ＝AB ＝1，SB ＝SA 2＋AB 2＝2，又SB ＝BC ，所以BC ＝2，所以AC ＝ 3.因为DE 垂直平分SC ，所以E 为SC 的中点，又△SBC 是等腰三角形，所以BE ⊥SC ，所以SC ⊥平面EDB ，所以ES →是平面EBD 的一个法向量．由题设知S (0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12. 所以AS →＝(0，0，1)－(0，0，0)＝(0，0，1)， ES →＝(0，0，1)－⎝⎛⎭⎫0，32，12＝⎝⎛⎭⎫0，－32，12，所以ES →·AS →＝12，|ES →|＝02＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝1，|AS →|＝02＋02＋12＝1，所以cos 〈ES →，AS →〉＝ES →·AS →|ES →|·|AS →|＝121×1＝12，所以〈ES →，AS →〉＝60°.两法向量所成角或其补角为两平面所成角，所以平面BDE 与平面BDC 所成的角为60°.3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值是________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，|b |＝|c |.cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝a ·（c －b ）|OA →|·|BC →|＝a ·c －a ·b |a ||c －b |＝0.答案：04．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为________．解析：当V D ABC 最大时，平面DAC ⊥平面ABC .设AC 的中点为O ，连接OD ，OB ，建立坐标系，设|AB →|＝a ，B (22a ，0，0)，D (0，0，22a )，OD →＝(0，0，22a )，BD →＝(－22a ，0，22a )，知OD →为平面ABC 的法向量，cos 〈OD →，BD →〉＝OD →·BD →|OD →||BD →|＝22，故〈OD →，BD →〉＝45°.答案：45°5.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面P AC 与平面EAC 夹角的余弦值为63，求直线P A 与平面EAC 夹角的正弦值．解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，所以AC ⊥PC ，因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC ，又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC ，因为AC 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .(2)以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C (0，0，0)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)．设P (0，0，a )(a ＞0)，则E (12，－12，a 2)，CA →＝(1，1，0)，CP →＝(0，0，a )，CE →＝(12，－12，a 2)，取m ＝(1，－1，0)，则m ·CP →＝m ·CA→＝0，所以m 为平面P AC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝aa 2＋2＝63，则a ＝2. 于是n ＝(2，－2，－2)，设直线P A 与平面EAC 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈P A →，n 〉|＝|P A →·n ||P A →||n |＝23，即直线P A 与平面EAC 夹角的正弦值为23.6.(选做题)如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2a ，AD ＝2a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0＜λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0，2]，都有AC ⊥BE ； (2)设二面角C -AE -D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为φ，若tan θ·tan φ＝1，求λ的值．解：(1)证明：以D 为原点，DA →，DC →，DS →的方向分别作为x 轴、y轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2a ，0，0)，B (2a ，2a ，0)，C (0，2a ，0)，E (0，0，λa )．所以AC →＝(－2a ，2a ，0)，BE →＝(－2a ，－2a ，λa )，所以AC →·BE →＝2a 2－2a 2＋0·λa ＝0，所以AC ⊥BE .(2)由(1)得EA →＝(2a ，0，－λa )， EC →＝(0，2a ，－λa )， BE →＝(－2a ，－2a ，λa )．设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥EA →，n ⊥EC →得⎩⎪⎨⎪⎧n ·EA →＝0，n ·EC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －λz ＝0，2y －λz ＝0. 取z ＝2，得n ＝(λ，λ，2)．易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为DS →＝(0，0，2a )与DC →＝(0，2a ，0)，所以sin φ＝|DS →·BE →||DS →|·|BE →|＝|λ|λ2＋4，cos θ＝|DC →·n ||DC →|·|n |＝|λ|2λ2＋2 .因为0＜θ，φ＜π2，λ＞0，又tan θ·tan φ＝1，所以θ＋φ＝π2，所以sin φ＝cos θ，所以λλ2＋4＝λ2λ2＋2，所以λ2＝2，又因为λ∈(0，2]，所以λ＝2，即为所求．。

北师大版高中数学选修2-1模块综合检测(A)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）模块综合检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 4．已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段5．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )A.32B.22C.104D.646．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．47．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.528．若A ，B 两点的坐标分别是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]9．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0 10．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若向量a ＝(1,0，z )与向量b ＝(2,1,2)的夹角的余弦值为23，则z ＝________.12．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是_______________________________________________________________．13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____________________ ____________________________________________________．14．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________. 15．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．18.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．19．(12分)如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . 证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .20.(13分)已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．21．(14分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．模块综合检测(A)1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p 或q 真，綈q 真．]3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.]4．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP|＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO|＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a.∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．] 5．D [如图所示，建立坐标系，易求点D ⎝⎛⎭⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64.]6．B [由抛物线的定义，得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]7．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－ba×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.]8．B [|AB →|＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2 ＝9＋4－12cos αcos θ－12sin αsin θ ＝13－12cos (α－θ).因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤13－12cos(α－θ)≤25，所以|AB →|∈[1,5]．] 9．D[如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，∴PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴(PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2. 即|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋ 2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ， ∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→|＝28a 2.① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2.② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba＝ 2. ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.] 10．D [建立如图所示坐标系．设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，则A 1(b,0,0)，A (b,0，c )，C 1(0，a,0)， C (0，a ，c )，B 1(b ，a,0)，D (0,0，c )，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a ，0，M ⎝⎛⎭⎫b ，a ，c 2. ∵∠CMN ＝90°，∴CM →⊥MN →，∴CM →·MN →＝⎝⎛⎭⎫b ，0，－c 2·⎝⎛⎭⎫－b 2，0，－c 2 ＝－12b 2＋14c 2＝0，∴c ＝2b .∴AD 1→·DM →＝(－b,0，－2b )·⎝⎛⎭⎫b ，a ，－22b ＝－b 2＋b 2＝0，∴AD 1⊥DM ，即异面直线AD 1与DM 所成的角为90°.] 11．0解析设两个向量的夹角为θ，则cos θ＝1×2＋0×1＋2z1＋z 2·22＋12＋22＝2＋2z 1＋z 2·3＝23，解得z ＝0. 12．[3,8)解析因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 13.x 24－y 212＝1 解析由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得ba＝3，∴b ＝3a .∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2， ∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.14．－b 2a2解析设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)，则B (－x 1，－y 1)，则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 20＋b 2－⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21＝－b 2a 2. 15.25 解析建系如图，则M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，N ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A (1,0,0)，C (0,1,0)∴AM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1， CN →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12. ∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25.16．解由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 17．解如图所示，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，即m ＋n ＝20.① 又由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－mn ＝122.②由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝6433.18．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围．故a ＝±1. 19.证明 (1)以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2. ∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )．又DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .20．解设P (x ，y )，则MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )． ∴|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，代入|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0，即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .21．解设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .(1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量．设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z ，取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊆平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1 ＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F∥平面A 1BE .。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1章末综合测评1 含解析

章末综合测评（一) 常用逻辑用语（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①5＞4或4＞5;②9≥3；③命题“若a＞b，则a ＋c＞b＋c”的否命题;④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为( ）A．0 B．1C．2 D．3【解析】①是p或q形式的命题，p真q假，故p或q为真命题；②是p或q形式的命题，同理为真命题;③否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题；④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”，是假命题，比如等腰梯形的对角形也相等．【答案】B2．（2016·襄阳高二检测)下列命题中是全称命题的是( )A．圆有内接四边形B.错误!＞错误!C.错误!＜错误!D．若三角形的三边长分别为3，4，5,则这个三角形为直角三角形【解析】“圆有内接四边形”即为“任意圆都有内接四边形”故为全称命题．【答案】A3．下列特称命题中，是假命题的是（）A．存在x0∈R,x错误!－2x0－3＝0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．存在x0∈{x｜x是无理数}，使x错误!是有理数【解析】对于A，当x＝－1时,x2－2x－3＝0，故A为真命题；对于B，当x＝6时，符合题目要求，为真命题；C为假命题;对于D,x＝错误!时,x2＝3，故D为真命题．【答案】C4．“a＝错误!”是“对任意的正数x，2x＋错误!≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝错误!时，2x＋错误!＝2x＋错误!≥1，当且仅当x＝错误!时取“＝",故充分性成立,当2x＋错误!≥1对x∈R恒成立时,a≥（x－2x2）max得a≥错误!，故必要性不成立．故选A.【答案】A5．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1,则方程x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝A,则A⊆B”的逆否命题．其中真命题个数为（) A．1 B．2C．3 D．4【解析】①②④显然成立．③∵x2－2x＋m＝0有实数解，∴Δ＝4－4m≥0，即m≤1。

北师大版高中数学选修2-1章末综合测评2.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作章末综合测评(二)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a、b、c是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系式中不成立的是() A．a＋b＝b＋a B．λ(a＋b)＝λb＋λaC．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) D．b＝λa【解析】只有a，b共线时，b＝λa，故选D.【答案】 D2．已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c ＝k＋i，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,12,10) D．(4,3,2)【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．【答案】 A3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】∵u＝－2a，∴l⊥α.【答案】 B4.如图1，在四面体A -BCD 中，已知AD →＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE →等于( )图1A ．－a ＋23b ＋13c B ．a ＋23b ＋13c C ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c【解析】 DE →＝DC →＋CE →＝AC →－AD →＋23CB →＝AC →－AD →＋23(AB →－AC →)＝－AD →＋23AB →＋13AC →＝－a ＋23b ＋13c .【答案】 A5．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31)【解析】设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．【答案】 B6．(2016·长春高二检测)已知向量e 1，e 2，e 3，是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 等于( ) A ．15 B ．3 C ．－3D ．5【解析】以(e 1，e 2，e 3)为基底，a ＝(3,2，－1)，b ＝(1,0,2)， (6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝3a·b ＝3(3×1＋0×2－2)＝3. 【答案】 B7．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α∥β，∴平面α的法向量与平面β的法向量也互相平行，∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6.【答案】 B8．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线DD 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为( )【导学号：32550059】A.33 B ．63 C.13D ．23【解析】以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设棱长为1，则平面A 1BC 1的法向量为n ＝(1,1,1)，DD 1→＝(0,0,1)，∴cos 〈n ，DD 1→〉＝13＝33，∴sin θ＝33.【答案】 A9．如图2，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()图2A.63 B ．255 C.155D ．105【解析】建立如图所示坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)．设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→||n |＝25·2＝105.【答案】 D10．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线B 1C 与DB 所成的角为( )A ．30°B ．60°B ．120° D ．150°【解析】建立如图所示的坐标系，则B (a,0,0)，B 1(a,0，a )，C (a ，a,0)，D (0，a,0)， ∴B 1C →＝(0，a ，－a )，DB →＝(a ，－a,0)， ∴cos 〈B 1C →，DB →〉＝B 1C →·DB→|B 1C →|·|DB →|＝－a 22a ·2a ＝－12，∴〈B 1C →，DB →〉＝120°.∴异面直线B 1C 和DB 所成的角为60°. 【答案】 B11．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )A.32 B ．22 C.104D ．64【解析】如图所示，建立坐标系，易求点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64. 【答案】 D12.如图3，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC .则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )图3【解析】如图，以D 为原点，DA 、DC 分别为x ，y 轴建立如图所示空间直角坐标系，设M (x ，y,0)，设正方形边长为a ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，32a ，C (0，a,0)，则|MC |＝x 2＋(y －a )2，|MP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2.由|MP |＝|MC |得x ＝2y ，所以M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条直线y ＝12x .【答案】 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．【导学号：32550060】【解析】 ∵b －a ＝(1＋t,2t －1,0) ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 与t ＝15时|b －a |有最小值为355. 【答案】 35514．若平面α，β的法向量分别为u ＝(4,0,3)，v ＝(－1,1,0)，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________．【解析】 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(4,0,3)，v ＝(－1,1,0)． ∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u ||v |＝－45×2＝－225. ∴两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为225. 【答案】22515．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，满足AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________．【解析】将等式AC →＝13AB →改写为OC →－OA →＝13(OB →－OA →)，即OC →＝OA →＋13(OB →－OA →)，OC →＝2OA →＋OB →3. 又2OA →＋OB →＝(10，－3,7)，∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73，即点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，7316．在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，底面ABC 是等腰直角三角形，且AB ＝AC ＝1，AA ′＝2，则A ′到直线BC ′的距离为________．【导学号：32550061】【解析】由题意，可知AB 、AC 、AA ′两两垂直，故以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A ′(0,0,2)，B (1,0,0)，C ′(0,1,2)，所以点A ′到直线BC ′的距离为d ＝|BA ′→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA ′→·BC ′→|BC ′→|2＝5－256＝306.【答案】306三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，求p ，q ，p·q .【解】 p ＝a －b ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)． q ＝a ＋2b －c ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)． p·q ＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.18．(本小题满分12分)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，侧棱垂直于底面，D 是侧棱CC 1的中点，问a 为何值时，点C 到平面AB 1D 的距离为1?【解】建立如图所示的空间直角坐标系，B -xyz .则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，0，C (0，a,0)，B 1(0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2.则AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，a .B 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a2，0.设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·B 1D →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32ax －a2y ＋az ＝0，ay －a 2z ＝0.令x ＝1，则y ＝33，z ＝233，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，233. ∴点C 到平面AB 1D 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →·n |n |＝24a . 令24a ＝1，∴a ＝2 2.19．(本小题满分12分)如图4，在六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.图4求证：(1)A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面；(2)平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.【证明】图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,2)，B 1(1,1,2)，C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)．以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如 (1)∵A 1C 1→＝(－1,1,0)，AC →＝(－2,2,0)，D 1B 1→＝(1,1,0)，DB →＝(2,2,0)， ∴AC →＝2A 1C 1→，DB →＝2D 1B 1→. ∴AC →与A 1C 1→平行，DB →与D 1B 1→平行，于是A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． (2)DD 1→·AC →＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0， DB →·AC →＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0， ∴DD 1→⊥AC →，DB →⊥AC →.又∵DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1. 又平面A 1ACC 1过AC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.20．(本小题满分12分)正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CB 的中点．EF ∩BD ＝G .求三棱锥B 1-EFD 1的体积．【解】以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B 1(22，22，4)，D 1(0,0,4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，∴D 1E →＝(22，2，－4)，D 1F →＝(2，22，－4)，D 1B 1→＝(22，22，0)，∴cos 〈D 1E →，D 1F →〉＝D 1E →·D 1F →|D 1E |·|D 1F | ＝2426·26＝1213，∴sin 〈D 1E →，D 1F →〉＝513，所以S △D 1EF ＝12|D 1E →|·|D 1F →|·sin 〈D 1E →，D 1F →〉＝12×26×26×513＝5，又∵平面D 1EF 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，342，∴点B 1到平面D 1EF 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪D 1B 1→·n |n |＝165，∴VB 1-EFD 1＝13·S △EFD 1·d ＝13×5×165＝163.21.(本小题满分12分)如图5，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.图5(1)证明：P A ⊥平面ABCD ；(2)在棱PC 上是否存在点F ，使BF ∥平面AEC? 【解】(1)证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∵AB ＝AD ＝AC ＝a . 在△ABP 中，P A 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2，∴P A ⊥AB .同理P A ⊥AD .∵AB ∩AD ＝A ，∴P A ⊥平面ABCD .(2)以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意，得A (0,0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，13a .∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，0，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，－a ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，a . 设点F 是PC 上一点，PF →＝λPC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32aλ，a2λ，－aλ，∴BF →＝BP →＋PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a (λ－1)，a2(1＋λ)，a (1－λ).令BF →＝mAC →＋nAE →，则⎩⎪⎨⎪⎧32a (λ－1)＝32am ，12a (1＋λ)＝12am ＋23an ，a (1－λ)＝13an .解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝－12，n ＝32.即当F 为PC 中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF 不在平面AEC 内，故当F 为PC 中点时，BF ∥平面AEC .22.(本小题满分12分)(2014·山东高考)如图6，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图6(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．【导学号：32550062】①【解】(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC.又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.连接AD1，如图①在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形．因此C1M∥D1A，又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.②(2)如图②，连接AC，MC，由(1)知，CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形．可得BC＝AD＝MC，由题意∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图②所示空间直角坐标系C -xyz .所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)．因此M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD 1，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.。

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(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D解析：选A.∵BD →＝BC →＋CD →＝2(a ＋2b )＝2AB →，B 为公共点， ∴A 、B 、D 三点共线．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B ．NP → C ．0D ．MN →解析：选C.PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析：选C.对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →不共面．4．平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1B ．76C.56D ．23解析：选 B.在平行六面体中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →－C 1C →.比较系数知x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝76.5．已知两个平面的一个法向量分别是m ＝(1，2，－1)，n ＝(1，－1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角的余弦值为( )A ．－36B ．36 C ．－36或36D ．－33或33解析：选C.cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－16×2＝－36，由于两平面所成角的二面角与〈m ，n 〉相等或互补．故选C.6．已知a ＝(2，－1，2)，b ＝(2，2，1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B ．652C ．4D ．8解析：选A.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝43×3＝49，sin 〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫492＝659，∴S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝9×659＝65. 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面B 1BCC 1的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面B 1BCC 1的一个法向量， M (a ，12a ，12a )，N (12a ，12a ，a )， MN →＝(－12a ，0，12a )，由于C 1D 1→·MN →＝0，且MN 平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．0B ．94C ．4D ．－94解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得，|AC |2＝42＋42－2×4×4cos 30°＝32－163， ∴|AC |＝2(6－2)，cos ∠CAD ＝cos 〈AD →，AC →〉＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24，又AD ＝12AB ＝2，∴AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 〈AD →，AC →〉＝4(6－2)×6＋24＝4，故选C.9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( ) A.24 B ．23 C.63D ．32解析：选C.以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，C 1(0，1，1)．∴DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，BC 1→＝(－1，0，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1B 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1→·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，∴x ＝－y ＝－z .令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．设直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BC 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23·2＝63. 10．四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，E ，F 分别为PB ，PD 的中点，则P 到直线EF 的距离为( )A ．1B ．22 C.32D ．62解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，设AC 与BD 的交点为O ，∵|PB |＝|PD |， ∴PO ⊥BD ，又O (1，1，0)，∴P 点到BD 的距离为|PO |＝（1－0）2＋（1－0）2＋（0－2）2＝6，又EF 綊12BD ，∴P 到EF 的距离为62. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________．解析：λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3. 答案：312．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x ，2x －3，－3x ＋3)，所以|AB →|＝（1－x ）2＋（2x －3）2＋（－3x ＋3）2 ＝14x 2－32x ＋19＝14（x －87）2＋57，当x ＝87时，|AB →|取得最小值．答案：8713．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．解析：a ·b ＝－3－2(x －1)－3＝－2x －4，由题意知cos 〈a ，b 〉∈(－1，0)，即－1≠－2x －422×x 2－2x ＋3＜0，解之得x ＞－2且x ≠53.答案：(－2，53)∪(53，＋∞)14．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各侧面均为正方形，侧面AA 1C 1C 的对角线相交于点M ，则BM 与平面AA 1C 1C 所成角的大小是________．解析：法一：取AC 的中点D ，连接BD ，MD ，由于BD ⊥平面AA 1C 1C ，故∠BMD 即为所求直线与平面所成角，设三棱柱棱长为a ，其中BD ＝32a ，DM ＝a 2，故tan ∠BMD ＝BDDM＝3，解得∠BMD ＝60°. 法二：由题意知此三棱柱为各棱长均相等的正三棱柱，设棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (3，1，0)，M (0，1，1)，BM →＝(－3，0，1)，取平面ACC 1A 1的一个法向量n ＝(1，0，0)， cos 〈BM →，n 〉＝－32×1＝－32，设BM 与平面ACC 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝32，∴θ＝60°. 答案：60°15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．解析：∵A 1B 1∥平面D 1EF ，∴G 到平面D 1EF 之距等于A 1点到平面D 1EF 之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，F (1，1，12)，E (1，0，12)，设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0n ·ED 1→＝0，易求得平面D 1EF 的一个法向量n ＝(1，0，2)，A 1E →＝(0，0，－12)，∴d ＝|A 1E →·n ||n |＝55. 答案：55三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)(2014·德州高二检测)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，设a ＝(x ，y ，z )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0x 2＋y 2＋z 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1. ∴a ＝(1，1，1)或a ＝(－1，－1，－1)． 17．(本小题满分10分)已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.解：ON →＝12(b ＋c )，OM →＝12a ，MN →＝12b ＋12c －12a ，∵MG →＝2GN →，∴MG →＝23MN →＝13b ＋13c －13a ，∴OG →＝OM →＋MG →＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c .18．(本小题满分10分)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是AA 1上靠近点A 的三等分点，在线段DD 1上是否存在一点G ，使CG ∥EF ？若存在，求出点G 的位置，若不存在，说明理由．解：存在．如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则E (1，12，0)，F (1，0，13)，C (0，1，0)，假设在DD 1上存在一点G ，使CG ∥EF ，则CG →∥EF →，由于点G 在z 轴上，设G (0，0，z )，∴EF →＝(0，－12，13)，CG →＝(0，－1，z )．∵CG →∥EF →，∴CG →＝λEF →，即(0，－1，z )＝λ(0，－12，13)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝λ×0，－1＝－12λ，z ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，z ＝23. 由于z ＝23∈[0，1]，所以点G 在线段DD 1上，其坐标为(0，0，23)，故在线段DD 1上存在一点G ，使CG ∥EF ，点G 是DD 1上靠近点D 1的三等分点． 19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥底面ABC ，且∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝CP ＝2. (1)求二面角B -AP -C 的余弦值； (2)求点C 到平面P AB 的距离．解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系．则C (0，0，0)，A (0，2，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)．易得面P AC 的法向量为n 1＝(1，0，0)， P A →＝(0，2，－2)，PB →＝(2，0，－2)， n 2＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·P A →＝0n 2·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝02x －2z ＝0.可取n 2＝(1，1，1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝13＝33.∴二面角B -AP -C 的余弦值为33. (2)d ＝|CA →·n 2||n 2|＝23＝233，∴点C 到平面P AB 的距离为233.20．(本小题满分13分)已知在几何体A -BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(2)试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．解：(1)由题知，CA ，CB ，CE 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A (4，0，0)，B (0，4，0)，D (0，4，1)，E (0，0，4)， ∴DE →＝(0，－4，3)，AB →＝(－4，4，0)， ∴cos 〈DE →，AB →〉＝－225，∴异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为225.(2)设满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，m ，n )，则AQ →＝(－4，m ，n )， BQ →＝(0，m －4，n )，EQ →＝(0，m ，n －4)，QD →＝(0，4－m ，1－n )． ∵AQ ⊥BQ ，∴m (m －4)＋n 2＝0，①∵点Q 在ED 上，∴存在λ∈R (λ＞0)使得EQ →＝λQD →， ∴(0，m ，n －4)＝λ(0，4－m ，1－n )，∴m ＝4λ1＋λ，②n ＝4＋λ1＋λ.③ 由①②③得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋41＋λ2＝16λ（1＋λ）2，∴λ2－8λ＋16＝0，解得λ＝4. ∴m ＝165，n ＝85.∴满足题设的点Q 存在，其坐标为⎝⎛⎭⎫0，165，85.。