上海市奉贤区高三数学摸底测试文

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上海市奉贤区届高三数学一模试卷文(含解析)

2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b= ．2．函数的定义域是．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t= ．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q= ．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a= ．11．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|x﹣y+t=0}，如果A∩B≠∅，则t的取值范围是．12．在（x++2）4展开式中的常数项是（用数值作答）13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．14．若数列{a n}满足a n+a，且a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．若复数z满足关系=1，则z对应的复平面的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5，5）D．前三个都不正确三、解答题（共5小题，满分60分）19．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．21．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，c n=log3，求{c n}的通项公式．2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b= 0 ．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．2．函数的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得函数的定义域．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得x≥0所以函数的定义域是[0，+∞）故答案为：[0，+∞）3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t= ±\frac{1}{2} ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得： =4x0，解得x0=3．∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．故答案为：4．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q= \frac{1}{2} ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，且S n=2，∴=2，解得q=，故答案为：．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=\frac{3}{2} cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34 ．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为\frac{\sqrt{10}}{10} ．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a= 1 ．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．11．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|x﹣y+t=0}，如果A∩B≠∅，则t的取值范围是[﹣4，2]．．【考点】交集及其运算．【分析】把A∩B≠∅转化为线性规划问题，作出可行域，由直线x﹣y+t=0与可行域有交点求得t的范围．【解答】解：由作出可行域如图，要使A∩B≠∅，则直线x﹣y+t=0与可行域有公共点，联立，得B（1，3），又A（4，0），把A，B的坐标分别代入直线x﹣y+t=0，得t=﹣4，t=2．∴﹣4≤t≤2．故答案为：[﹣4，2]．12．在（x++2）4展开式中的常数项是70 （用数值作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x++2）4 =的展开式的通项公式为T r+1=•=•x4﹣r，令4﹣r=0，求得 r=4，可得展开式中的常数项是=70，故答案为：70．13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是\frac{3+\sqrt{3}}{2} ．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．14．若数列{a n}满足a n+a，且a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（1，3）．【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}单调递增⇔a1＜a2＜a3，解出即可得出．【解答】解：数列{a n}单调递增⇔a1＜a2＜a3，∵数列{a n}满足a n+a，且a1=x，解得a2=6﹣x，a3=4+x．∴x＜6﹣x＜4+x，解得1＜x＜3．故答案为：（1，3）．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．16．下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【考点】其他不等式的解法．【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．17．若复数z满足关系=1，则z对应的复平面的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，（x，y∈R），代入复数z满足关系=1，化简即可得出．【解答】解：设z=x+yi，（x，y∈R），∵复数z满足关系=1，∴x2+y2=1．则z对应的复平面的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．故选：A．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5，5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）连接AE，则∠BEA为所要求的角，根据棱锥的体积计算AB，利用勾股定理计算AE，则tan∠BEA=．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，又B是平面PBE和平面ABC的公共点，∴BC是面PBE与面ABC的交线．（2）连接AE，∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA为BE与平面PAD所成的角，∴V B﹣PADE==（1+2）×1×AB=，∴AB=．又∵AE==，∴tan∠BEA==．∴BE与面PADE所成的线面角为arctan．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组，能求出椭圆方程．（2）由已得A（2，1），B（﹣2，1），设P（x0，y0），由此能证明点Q（m，n）在定圆x2+y2=运动．【解答】（1）解：∵椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆方程为．（2）证明：∵A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点，∴A（2，1），B（﹣2，1），设P（x0，y0），则+y02=1．由，得，∴+（m+n）2=1，故点Q（m，n）在定圆x2+y2=运动．21．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．22．（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．∴13447＜（n﹣107）2≤13456．∵115＜＜116， =116，n∈Z，∴n﹣107=116或n﹣107=﹣116．∴集合M有两个元素．∴集合M有4个子集．23．数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，c n=log3，求{c n}的通项公式．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】（1）化简可得b n+1=2，从而可得a n+1b n+1=（a n+b n）•2=a n b n，从而证明；（2）由题意知a n+1=a n+b n＜a n，从而求得；（3）化简可得a n+1=+，从而可得===（）2，从而可得数列{c}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而求得．n【解答】解：（1）证明：∵=+=（），∴b n+1=2，∴a n+1b n+1=（a n+b n）•2=a n b n，∴{a n•b n}是常数列；（2）∵{a n}是递减数列，∴a n+1=a n+b n＜a n，∴a n＞b n，∴a1＞b1．（3）∵a1=4，b1=1，∴a n•b n=4，∴a n+1=a n+b n=a n+=+，∴===（）2，∴log3=log3（）2=2log3，即c n+1=2c n，又∵c1=log3=1，故数列{c n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴c n=1•2n﹣1=2n﹣1．。

上海市奉贤区2022届高三上学期期末质量抽测(一模)数学(含答案)word版

上海市奉贤区2022届高三上学期期末质量抽测（一模）数学（含答案）word版数学试题一、填空题（每题4分，56分）1、不等式某0的解为______________某12、函数yco22某in22某的最小正周期是______________3、过点3,2且一个法向量为n3,2的直线的点法向式方程为___________4、集合A1,2，集合B某某a，满足AB，则实数a的范围是_______________5、设抛物线的顶点在原点，准线方程为某2，则抛物线的标准方程是________________某2y21a0的渐近线方程为3某2y0，则正数a的值为_______________6、设双曲线2a97、(理)已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公比q=_______________(文)已知无穷等比数列中的首项1，各项的和2，则公比q=_______________8、（理）函数ylg某21,某0的反函数是_______________（文）方程log23某52的解是_______________9、（理）若a1，b2，且ab与a垂直，则向量a与b的夹角大小为_______________（文）已知a4,5，b2,4，则2ab=______________10、（理）函数yin某3co某,某0,的单调递增区间__________2的最小值是__________2(文)函数yin某3co某,某0,11、下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果__________12、有这么一个数学问题：“已知奇函数f某的定义域是一切实数R,且fm2,fm22，求m2的值”。

请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由（只需说理由）。

__________________13、（理）对于数列an，如果存在最小的一个常数TTN某，使得对任意的正整数恒有anTan成立，则称数列an是周期为T的周期数列。

上海市奉贤区2024届高三一模数学试题

一、单选题二、多选题1. 设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A．B．C ．24D ．482. 已知是第二象限角,A．B．C．D．3. 已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本，若已知样本中有18名男职工，则样本容量为（）A ．20B ．24C ．30D ．404. 若复数满足，则（）A．B．C．D．5. 若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6.已知函数，若，则实数等于A．B ．4C ．2D ．97. 已知函数，，若存在实数，使得，则的最大值为（）A．B ．1C．D．8. 某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．89. 已知F 1，F 2分别是椭圆+=1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为（）A．B．C．D．10. 已知复数，复数是复数的共轭复数，则（）A ．1B．C ．2D．11. 已知则下列结论正确的是（）A．B．C．D．12.若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，所有项的二项式系数和为，则下列说法中正确的是（）A．B ．存在且使得上海市奉贤区2024届高三一模数学试题三、填空题四、填空题五、解答题C ．的最小值为D．13.设，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．14. 某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x （单位：万元）与年家庭消费y （单位：万元）的数据，制作了对照表：x /万元 2.7 2.8 3.1 3.5 3.9y /万元1.41.51.61.82.2由表中数据得回归直线方程为，得到下列结论，其中正确的是（）A ．若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.3万元B ．若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.1万元C ．若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元D ．若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元15. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在轴上； ②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于； ④抛物线的通径的长为；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为．能使这抛物线方程为的条件是________________．（要求填写合适条件的序号）16.若，则____________．17. 经过原点且斜率为的直线l 与双曲线C ：恒有两个公共点，则C 的离心率e 的取值范围是______.18.已知正实数满足，则的最大值为___________；的最大值为___________.19. 已知，函数若对任意的且，都有，则_________，实数a 的取值范围为_________．20. 对于数列，，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n ，n ＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和；六、解答题七、解答题八、解答题(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．21. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．22.年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示.年份年份代码(1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱）(2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）；(3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求?附：相关数据：，，，.相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，.23.若动点到定点与定直线的距离之和为4.(1)求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图.(2)记(1)得到的轨迹为曲线，若曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围.24. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线；（2）求证：为函数的极大值点.25. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求；九、解答题(2)求．26.如图，在梯形中，已知，，，，，求：(1)的长；(2)的面积．。

上海市奉贤区2023-2024学年高三下学期高三三模数学试卷【含答案】

2024年奉贤高三数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果）1．复数32i +的虚部是．2．函数sin 2cos y x x =+的最小正周期为.3．若1a b +=，则ab 有最大值为．4．若1lg 2,lg7a b ==，则lg98=．（结果用,a b 的代数式表示）5．为了研究某班学生的脚步x （单位厘米）和身高y 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆ470yx =+．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为．6．若数列{}n a 满足对任意整数n 有212n i i a n n ==-∑成立，则在该数列中小于100的项一共有项．7．若函数22e 1,01,0x a x x x y x bx c x ⎧⋅-+->=⎨++-<⎩为奇函数，则a b c ++=．8．ABC 中，6BC =，若BA 在BC 上的投影为3BC．则CA CB ⋅=．9．如图，已知三角形OAB 为直角三角形（O 为直角），分别连接点B 与线段OA 的n 等分点1A ，2A ，…，1n A -得到n 个三角形依次为1 ，2 ，…，n △，将OAB 绕看OB 所在直线旋转一周，记1 ，2 ，…，n △旋转得到的几何体的体积依次为1V ，2V ，…，n V ，若11,49n V V ==，则三角形OAB 旋转得到的几何体的体积V =．10．已知2()cos f x x x =-，若非零整数,a c 使得等式()()''()()f ax b f cx d +=+恒成立，则a bc d+得所有可能得取值为．11．若曲线222:1(0)x y x aΓ-=>得右顶点A ，若对线段OA 上任意一点P ，端点除外，在Γ上存在关于x 轴对称得两点Q 、R 使得三角形PQR 为等边三角形，则正数a 得取值范围是．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，1E ，2E ，…，k E 为正方形ABCD 边上的k 个两两不同的点．若对任意的点i E ，存在点(,{1,2,,},)j E i j k i j ∈≠ .使得直线1A A 与平面1i j A E E 以及平面1i j C E E 所成角大小均为π6，则正整数k 的最大值为．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13．在ABC 中，“π6A =”是“1sin 2A =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分永件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．如果A B 分别是,A B 的对立事件，下列选项中不能判断件A 与事件B 相互独立的是（）A ．()()()P AB P A P B ⋂=⋅B ．(()(1())P A B P A P B =⋅-C ．(|)()P B A P A =D ．(|)()P B A P B =15．有一组样本数据1x ，2x ，…，2024x ，其中1x 是最小值，2024x 是最大值，则下列说法正确的是（）A ．232023,,,x x x 的中位数一定等于122024,,,x x x 的中位数；B ．232023,,,x x x 的平均数一定等于122024,,,x x x 的平均数；C ．232023,,,x x x 的标准差一定不小于122024,,,x x x 的标准差；D ．232023,,,x x x 的30百分位数一定不等于122024,,,x x x 的30百分位数．16．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于正整数n 的方程1n n S S a +⋅=记为F ，命题p ：对于任意的R a ∈，存在等差数列{}n a 使得F 有解；命题q ：对于任意的R a ∈，存在等比数列{}n b 使得F 有解；则下列说法中正确的是（）A ．命题p 为真命题，命题q 为假命题；B ．命题p 为假命题，命题q 为真命题；C ．命题p 为假命题，命题q 为假命题；D ．命题p 为真命题，命题q 为真命题；三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，1AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，CD PC ⊥．(1)求证：CD ⊥平面PAC (2)若二面角P CD A --的大小为π3，求PD 与平面PAC 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．已知三角形ABC 的三个角对应的边分别为a 、b 、c (1)求证：存在以sin ,sin ,sin A B C 为三边的三角形；(2)若以sin 2,sin 2,sin 2A B C 为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形ABC 的最小角．19．在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球．(1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为34，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率；(2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设：假设1：各回合比赛相互独立；假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为12；求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？20．如图1，已知椭圆Γ的方程为()222210x y a b a b +=>>和椭圆22:142x y τ+=，其中,A B 分别是椭圆τ的左右顶点．(1)若,A B 恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率，求椭圆Γ的方程；(2)如图2，若椭圆Γ的方程为22184x y +=.P 是椭圆τ上一点，射线,AP BP 分别交椭圆Γ于,M N ，连接,AN BM （,,P M N 均在x 轴上方）.求证：,NB MA 斜率之积NB MA k k ⋅为定值，求出这个定值；(3)在（2）的条件下，若//AN BM ，且两条平行线的斜率为()0k k >，求正数k 的值．21．若定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =分别存在导函数()f x '和()g x '．且对任意x 均有()()f x g x '≥'，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“导控函数”．我们将满足方程()()f xg x '='的0x 称为“导控点”．(1)试问函数y x =是否为函数sin y x =的“导控函数”？(2)若函数32813y x x =++是函数3213y x bx cx =++的“导控函数”，且函数3213y x bx cx =++是函数24y x =的“导控函数”，求出所有的“导控点”；(3)若()e e x x p x k -=+，函数()y q x =为偶函数，函数()y p x =是函数()y q x =的“导控函数”，求证：“1k =”的充要条件是“存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立”．1．2【分析】根据复数虚部的定义即可得解【详解】复数32i +的虚部是2.故答案为：2.2．2π【分析】利用辅助角公式化一，再根据三角函数的周期性即可得解.【详解】()sin 2cos 5y x x x ϕ=+=+，其中tan 2ϕ=，所以函数sin 2cos y x x =+的最小正周期为2π.故答案为：2π.3．14##0.25【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】因为1a b +=，显然当,0a b >时，ab 取得最大值，所以1a b +=≥当且仅当a b =时等号成立，所以104ab <≤，所以ab 有最大值为14.故答案为：14.4．2a b -##2b a-+【分析】根据对数的运算性质化简即可.【详解】11lg98lg 2lg 49lg 2lg lg 22lg 2497a b =+=-=-=-.故答案为：2a b -.5．166【分析】将24x =代入回归直线方程即可得解.【详解】由题意，令24x =，则424ˆ70166y=⨯+=，即该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为166厘米.故答案为：166.6．25【分析】根据n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项，再令100n a <即可得解.【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则22n S n n =-，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，令43100n a n =-<，则1034n <，所以在该数列中小于100的项一共有25项.故答案为：25.7．3【分析】利用函数是奇函数得到()()f x f x -=-，然后利用方程求解,,a b c ，即可得解．【详解】因为函数()22e 1,01,0x a x x x y f x x bx c x ⎧⋅-+->==⎨++-<⎩为奇函数，所以()()f x f x -=-，当0x >时，则0x -<，则()()2221e 1e 1x x f x x x bx x c a x a x ⋅--=-+-+-=+---=⋅+，即()e 120xa b x c ⋅+-+-=，所以01020a b c =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得012a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以3a b c ++=.故答案为：3.8．24【分析】作AD BC ⊥，根据题意，求得13BD BC = ，得到23CD CB = ，结合223CA CB CB ⋅= ，即可求解.【详解】如图所示，过点A 作AD BC ⊥于点D ，因为向量BA 在BC 上的投影为3BC ，可得13BD BC = ，所以23CD CB = ，又因为6BC =，则22223624333CA CB CB CB CB ⋅=⋅==⨯= .故答案为：24.9．625【分析】设OA a =，OB b =，211π13a V b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1圆锥--=-n n B OA V V V ，两式相除求出n ，再由11V =可得2πba ，再计算三角形OAB 旋转得到的几何体的体积即可.【详解】设OA a =，OB b =，则221211ππ133a ba V b n n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，①()222221211111πππ333n n B OA n n n V V V a b a b ba n n -----⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭圆锥22121π493-==n ba n ，②②÷①得25n =，所以2121π1325==ba V ，可得2π1875=ba ，则三角形OAB 旋转得到的几何体的体积211π187562533==⨯=V a b .故答案为：625.10．2±【分析】根据复合函数的求导公式求导，然后根据()()''()()f ax b f cx d +=+化简整理即可得出答案.【详解】由2()cos f x x x =-，得()()()()'2sin f ax b a ax b ax b ⎡⎤+=+++⎣⎦，()()()()'2sin f cx d c cx d cx d ⎡⎤+=+++⎣⎦，因为非零整数,a c 使得等式()()''()()f ax b f cx d +=+恒成立，所以()()2222sin 22sin a x ab a ax b c x cd c cx d +++=+++恒成立，所以有2222a c =，所以=±a c ，若a c =，则()()sin sin 22a ax b a ax d ad ab +-+=-，所以b d =，此时2a bc d+=，若a c =-，则()()sin sin 22a ax b a cx d ad ab ++-+=--，即()()sin sin 22a ax b a cx d ad ab +--+=--，所以=-b d ，此时2a bc d+=-，综上所述，2a bc d+=±.故答案为：2±.11．解.【详解】由任意点P 线段OA 上，端点除外，在Γ上存在关于x 轴对称得两点,Q R 使得PQR 为等边三角形，即存在点Q 使得30QPx ∠= ，所以存在点Q 使得30QOx ∠< ，由双曲线222:1(0)x y x aΓ-=>的其中一条渐近线方程为1y x a =，则满足1y x a =的斜率大于或等于3，即133a ≥，所以a ≤又由0a >，所以实数a 的取值范围为.故答案为：.12．8【分析】先确定当线1A A 与平面1i j A E E 所成角大小均为π6时，i E ，j E 满足的条件，同理当直线1A A 与平面1i j C E E 所成角大小均为π6时，i E ，j E 满足的条件，再考虑如何作出i E ，j E 即可.【详解】如图：设i E ，j E 为正方形ABCD 的两个点，且满足直线1A A 与平面1i j A E E 所成的角为π6，过A 作i j AH E E ⊥于H ，连接1A H ，则1AA H ∠为线1A A 与平面1i j A E E 所成的角，是π6.所以1πtan36AH AA =⋅=所以在平面ABCD 内，以A 3H 为圆上一点，过H 作圆的切线，切线与正方形ABCD 边的交点即为i E ，j E .又11AA CC ∥，所以1CC 与平面1i j C E E 所成的角为π6，所以以C 3该圆的切线，与正方形ABCD 边的交点即为i E ，j E .如图：因为3223AC =>A 与C 相离，两圆有4条公切线，与正方形ABCD 的边有8个交点.在这8个点中，任选一个点i E ，存在点{}(,1,2,,8,)j E i j i j ∈≠ .使得直线1A A 与平面1i j A E E 以及平面1i j C E E 所成角大小均为π6.故答案为：8【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚i E ，j E 点的作法.先根据直线与平面所成角的概念，判断i E ，j E 应满足的条件，以后的问题就好想多了.13．A【分析】由三角函数值及充分条件、必要条件的定义即可得出结论.【详解】在ABC 中，若π6A =，则1sin 2A =；反之，若1sin 2A =，且(0,π)A ∈，所以π6A =或5π6A =，故“π6A =”是“1sin 2A =”的充分不必要条件.故选：A.14．C【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可.【详解】对于A ，因为()()()P A B P A P B ⋂=⋅，所以,A B 相互独立，故A 正确；对于B ，因为()()()(1()),(()(1())P A P B P A P B P A B P A P B ⋅-==⋅- ，所以()()()P A B P A P B = ，所以,A B 相互独立，所以,A B 相互独立，故B 正确；对于C ，()()(|)()P AB P B A P A P A ==，所以()()()P AB P A P A =⋅，所以无法判断,A B 相互独立，故C 错误；对于D ，()()(|)()P AB P B A P B P A ==，因为()()()P A B P A P B ⋂=⋅，所以,A B 相互独立，故D 正确.故选：C.15．A【分析】根据中位数、百分位数、平均数及标准差的定义一一判断即可.【详解】对于A ：因为122024,,,x x x 的中位数为从小到大排列的第1013个数，设为0x ；又232023,,,x x x 的中位数从小到大排列的第1012个数恰为0x ，所以232023,,,x x x 的中位数一定等于122024,,,x x x 的中位数，故A 正确；对于B ：因为120242x x +与2320232022x x x +++ 不一定相等，故232023,,,x x x 的平均数与122024,,,x x x 的平均数不一定相等，故B 错误；对于C ：因为232023,,,x x x 的极差不大于122024,,,x x x 的极差，所以232023,,,x x x 的标准差不大于122024,,,x x x 的标准差，故C 错误；对于D ：因为202230%606.7⨯=，202430%607.2⨯=，则122024,,,x x x 的30百分位数为从小到大排列的第608个数，设为M ；232023,,,x x x 的30百分位数为从小到大排列的第607个数恰为M ，故232023,,,x x x 的30百分位数一定等于122024,,,x x x 的30百分位数，故D 正确.故选：A 16．D【分析】根据题意，利用等差数列与等比数列的性质，结合1n n S S a +⋅=有解，构造出满足条件的等差、等比数列，即可求解.【详解】当0a =时，可得0n a =且0n S =，显然满足1n n S S a +⋅=；当0a >时，设等差数列{}n a 的首项1a =d =可得123a a a ===-，此时1212S S a a ==+=满足12S S a ⋅=，即存在等差数列{}n a 使得F 有解，当a<0时，设等差数列{}n a 的首项1a =d =可得123a a a ===1212S S a a =+=满足12S S a ⋅=，即存在等差数列{}n a 使得F 有解，综上可得，对于任意的R a ∈，存在等差数列{}n a 使得F 有解，所以命题p 为真命题；当0a =时，取等比数列{}n b 的首项为11b =，公比为1q =-，可得1(1)n n b -=-，则1(1)2nn S --=，此时满足10n n S S +⋅=，即1n n S S a +⋅=成立；当0a >时，取等比数列{}n b 的首项为1b =，公比为1q =，可得n b =此时12S S ==12S S a ⋅=，即存在等比数列{}n b 使得F 有解；当0a <时，令(2)n n b -=-{}n b 为首项1b =2q =-的等比数列，此时1212S S b b ==+=12S S a ⋅=，即存在等比数列{}n b 使得F 有解；综上可得，对于任意的R a ∈，存在等比数列{}n b 使得F 有解，所以命题q 为真命题.故选：D.【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解；4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解；5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进行证明；6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解.17．(1)证明见解析；(2)1arctan2.【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得.（2）由已知及（1）确定二面角的平面角及线面角，再结合数量关系求出线面角的正切.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，得CD PA ⊥，而CD PC ⊥，,,PA PC P PA PC =⊂ 平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .（2）在梯形ABCD 中，由AB BC ⊥，1AB BC ==，得2AC =//AD BC ，则π4CAD BCA ∠=∠=，由（1）知，CD ⊥平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，得CD AC ⊥，则2CD AC ==DPC ∠是PD 与平面PAC 所成的角，PCA ∠是二面角P CD A --的平面角，即π3PCA ∠=，在Rt PAC △中，PA AC ⊥，于是222PC AC ==因此1tan 2CD DPC PC ∠==，所以PD 与平面PAC 所成角的大小为1arctan 2.18．(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意两边之和大于第三边即可证明；（2）由题意可得,,A B C 均为锐角，不妨设sin 2sin 2A B =，则可得A B =或π2A B +=，然后分情况讨论即可.【详解】（1）证明：因为,,(0,π)A B C ∈，所以sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>，因为三角形ABC 的三个角对应的边分别为a 、b 、c ，所以a b c +>，,b c a a c b +>+>，设三角形ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理得2sin 2sin 2sin R A R B R C +>，2sin 2sin 2sin R B R C R A +>，2sin 2sin 2sin R A R C R B +>，所以sin sin sin A B C +>，sin sin sin B C A +>，sin sin sin A C B +>，所以存在以sin ,sin ,sin A B C 为三边的三角形；（2）因为以sin 2,sin 2,sin 2A B C 为三边的三角形为等腰直角三角形，所以sin 20,sin 20,sin 20A B C >>>，所以,,A B C 都为锐角，不妨设sin 2sin 2A B =，因为2,2(0,π)A B ∈，所以22A B =，或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，当π2A B +=时，π2C =，则sin 20C =，不合题意，舍去，当A B =时，π2C A =-，则sin 2sin 2(π2)sin 4C A A =-=-，因为sin 22C A =2sin 42sin 2cos 2A A A A =-=-,因为sin 20A >2cos 2A =-，所以2cos 22A =-，因为，所以3π24A =，所以3π8A =，所以3π8B A ==,所以3π3ππππ884C A B =--=--=,所以三角形ABC 的最小角为π4.19．(1)58(2)不合理,理由见详解【分析】（1）由全概率公式，即可求解；（2）由已知条件，求出第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，与12比较，即可得到答案.【详解】（1）设事件1A 表示第一回合该中国队运动员赢球，事件2A 表示第二回合该中国队运动员赢球，事件B 表示第二回合比赛有运动员得分，由已知，()()()()12123311,,,4444P A P A P A P A ====，()()()()1212,P B A P A P B A P A ==，则()()()()()()()()()11111212P B P A P B A P A P B A P A P A P A P A =+=+3311544448=⨯+⨯=，即第二回合比赛有运动员得分的概率为58.（2）设运动员甲先发球，记事件i A 表示第i 回合该运动员甲赢球，记事件A 表示运动员甲先得第一分，则()()112312345A A A A A A A A = ，则()35111222P A ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()12P A >，即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于12，则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理.20．(1)22184x y +=(2)证明见解析，定值为12-6【分析】（1）根据椭圆顶点坐标、焦点坐标、离心率和,,a b c 的关系直接求解即可；（2）设()()000,0P x y y >，利用两点连线斜率公式表示出NB MA k k ⋅，结合P 在椭圆上直接化简整理即可；（3）设直线AN 与椭圆Γ交于另一点Q ，知,Q M 关于坐标原点对称，将直线AN 方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，利用12NB MA k k ⋅=-可构造方程求得结果.【详解】（1）由22:142x y τ+=得：()2,0A -，()2,0B ，且τ的离心率为2；,A B 恰为Γ的两个焦点，即椭圆Γ的半焦距2c =，又椭圆Γ的离心率2c e a a ===，a ∴=2224b a c ∴=-=，∴椭圆Γ的方程为：22184x y +=.（2）设()()000,0P x y y >，则2200142x y +=，即220022x y =-，002NB PB y k k x ∴==-，002MA PA yk k x ==+，()202200222000241244224NB MA x y x k k x x x --∴⋅===----，NB MA k k ∴⋅为定值，定值为12-.（3）设直线AN 与椭圆Γ交于另一点Q ，由椭圆对称性可知：,Q M 关于坐标原点对称，设直线():2AN y k x =+，()11,N x y ，()22,Q x y ，则()22,M x y --，由()222184y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128880k x k x k +++-=，则()()4222Δ6432321232320k k k k =--+=+>，2122812k x x k ∴+=-+，21228812k x x k-=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k ⎡⎤∴=++=+++=-⎣⎦+，由（2）知：12NB MA k k ⋅=-，()()()12121212121212222224NB MA y y y y y y k k x x x x x x x x -∴⋅=⋅==--+---++222222224112881681241212k k k k k k k k --+===---++++，解得：216k =，又0k >，6k ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中的定值、参数值的求解问题；本题第三问求解的关键是能够通过椭圆的对称性将问题转化为一条直线与椭圆的交点问题，进而根据已知等量关系，利用韦达定理来进行求解.21．(1)是(2)2(3)证明见解析【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可；（2）由题意可得228228x x bx c x ≤++≤+，再根据“导控点”的定义可得2828x x =+，求出x ，进而可求出,b c ，进而可得出答案；（3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可.【详解】（1）由y x =，得1y '=，由sin y x =，得cos y x '=，因为1cos x ≥，所以函数y x =是函数sin y x =的“导控函数”；（2）由32813y x x =++，得228y x '=+，由3213y x bx cx =++，得22y x bx c '=++，由24y x =，得8y x '=，由题意可得228228x x bx c x ≤++≤+恒成立，令2828x x =+，解得2x =，故164416b c ≤++≤，从而有4416b c ++=，所以124c b =-，又22282x x bx c +≥++恒成立，即22282440x bx c x bx b -+-=-+-≥恒成立，所以()()22Δ4444420b b b =--=-≤，所以2b =，故2,4b c ==且“导控点”为2；（3）充分性：若存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立，则()()p x q x c =+为偶函数，因为函数()y q x =为偶函数，所以()()q x q x =-，则()()p x p x =-，即e e e e x x x x k k --+=+，所以()()1e e 0x xk ---=恒成立，所以1k =；必要性：若1k =，则()()e e x xp x p x -=+=-，所以函数()p x 为偶函数，函数()y p x =是函数()y q x =的“导控函数”，因此()()p x q x '≥'，又()()()(),q x q x p x p x -=-=，因此函数()y p x =-是函数()y q x =-的“导控函数”，所以()()p x q x --≥'--'，即()()p x q x -≤'-'恒成立，用x -代换x 有()()p x q x '≤'，综上可知()()p x q x '='，记()()()h x p x q x =-，则()()()0h x p x q x ''-'==，因此存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立，综上可得，“1k =”的充要条件是“存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立”．【点睛】关键点点睛：理解“导控函数”和“导控点”的定义是解决本题的关键.。

精品解析：上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题(解析版)

上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题一､填空题：（本大题满分54分，1-6小题每小题4分，7-12小题每小题5分）1.函数y =的定义域是________.【答案】[]1,1-【分析】令被开方数大于等于0，解不等式求出定义域．【详解】y =要使函数有意义，需满足210x - 解得11x - 函数y =[]1,1-故答案为：[]1,1-【点睛】求函数的定义域，也不从开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数函数的真数大于0底数大于0且不等于1等方面限制，属于基础题．2.已知0a >k a 形式，则k =__________.【答案】34【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可.133224a a ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.故答案为：34.3.已知复数()1i R z a a =+∈，其中i 是虚数单位，()Re i 2z =，则=a __________.【答案】2-【分析】先求得i z ，然后根据i z 的实部求得a .【详解】依题意，()i 1i i i z a a =+=-+，而()Re i 2z =，所以2,2a a -==-.故答案为：2-4.某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为__________.【答案】14【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】高一高二有1000300700-=人，所以高一高二的参加活动的总人数70020141000⨯=人.故答案为：145.{}{}2540,5,A xx x B y y x x A =+->==-∈∣∣，则A B ⋃=__________.【答案】()1,6-【分析】解二次不等式化简集合A ，进而化简集合B ，从而利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为{}{}()2540151,5A xx x x x =+->=-<<=-∣，当15x -<<时，056x <-<，则{}{}()0,6065,B yy x A y x y ∈<<==-==∣∣，所以A B ⋃=()1,6-.故答案为：()1,6-.6.6log 2a =，则3log 2=__________（用a 表示）.【答案】1a a-【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】由于6log 20,1a =≠，所以()222221log 6log 23log 2log 31log 3a==⨯=+=+，所以211log 31a a a -=-=，所以31log 2aa =-.故答案为：1aa-7.已知函数()()()()()f x x a x b x c a b c =---<<为奇函数，函数()2g x ax bx c =++的图象与x 轴的交点为,A B ，则AB =__________.【答案】2【分析】根据()f x 的奇偶性和零点求得b 以及c a =-，由此求得()g x 与x 轴交点的横坐标，进而求得AB .【详解】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00,0f abc abc =-==，令()0f x =，解得x a =或x b =或x c =，由于a b c <<，根据奇函数图象的对称性可知0b =，0,0a c <>，且c a =-.所以()()()2211g x ax bx c ax a a x x =++=-=+-，令()0g x =，解得1x =±，所以2AB =.故答案为：28.正三棱锥-P ABC 中，4,3PA AB ==，,,,E F G H 分别是,,,AB BC PC PA 的中点，则四边形EFGH 的面积为__________.【答案】3【分析】根据正三棱锥的性质与中位线得出四边形EFGH 为矩形，且32EF HG ==,2HG GF ==，即可计算得出答案.【详解】三棱锥-P ABC 为正三棱锥，4PA =,3AB =,PB AC ∴⊥，4PB =,3AC =，,,,E F G H 分别是,,,AB BC PC PA 的中点，EF AC ∥∴，HG AC ∥，HE PB ，GF PB ，且1322EF HG AC ===,122HG GF PB ===EF HE ∴⊥，∴四边形EFGH 为矩形，∴四边形EFGH 的面积为3232⨯=，故答案为：3.9.ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c c b =则sin sin cos sin2AB C B=+__________.【答案】1【分析】根据正弦定理和余弦定理求得正确答案.【详解】依题意sin sin sin cos sin2sin cos 2sin cos A AB C B B C B B=++，由正弦定理、余弦定理得:sin sin cos 2sin cos AB C B B +222222222aa b c a c b b b ab ac =+-+-⋅+⋅222222442222aa b b a b b b b ab a b=+-+-⋅+⋅⋅222213322aaa b a b aa a===-++.故答案为：110.已知Rt ABC 的面积为6，斜边AB 长为6，设a 为CA 在AB 上的投影向量，a CB ⋅= ____.【答案】4-【分析】根据向量的投影、向量数量积等知识求得正确答案.【详解】依题意16,6,12,22abc ab ab c====.依题意，2CA AB AB CA AB a AB AB AB AB ⋅⋅=⋅=⋅ ,所以2CA AB a CB AB CB AB⋅⋅=⋅⋅()2cos πcos cos cos bc A c a B ab A B c ⋅-=⋅⋅=-24b a ab ab c c c ⎛⎫=-⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：4-11.设过点(2,1)-的直线l 与椭圆22:14xC y +=交于M ，N 两点，已知点(0,1)A ，若直线AM与直线AN 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=______．【答案】1-【分析】先根据题意假设直线l 的方程，联立椭圆C 的方程，由韦达定理得到12x x +，12x x ，从而利用斜率公式直接运算即可得解.【详解】因为椭圆22:14x C y +=，所以2,1a b ==，其右顶点为()2,0，下顶点为()0,1-，所以过点(2,1)-的直线l 的斜率存在且不为0和1-，设直线l 的方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，设()11,M x y ，()22,N x y ，点M ，N 的坐标均不为(0,1)±，联立2221,1,4y kx k x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222148(21)16160k x k k x k k +-+++=，则()()2222Δ64(21)4141616640k k kkk k =+-++=->，解得0k <,因为Δ0>时，1228(21)14k k x x k ++=+，2122161614k kx x k +=+，所以()()1221121212121111y x y x y y k k x x x x -+---+=+=()()1221122222kx k x kx k x x x --+--=()12121222(1)kx x k x x x x -++=2222216168(21)22(1)14141161614k k k k k k k k k k k ++⋅-+⋅++==-++.故答案为：1-．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.12.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意实数x 有()()2f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时()1f x '<，若()()4,44m f m f m ≠-+≤+，则实数m 的取值范围是__________.【答案】][(),80,-∞-+∞【分析】构造函数()()g x f x x =-，结合已知得出()()0gx g x --=，即()g x 为偶函数，利用导数得出函数()g x 在()0,∞+上单调递减，所求不等式变形等价于()()()4444f m m f +-+≤-，即()()44g m g +≤，再结合单调性解不等式得出答案.【详解】当()0,x ∈+∞时()1f x '<，∴当()0,x ∈+∞时()10f x '-<，令()()g x f x x =-，()()2f x f x x --= ，()()()()()()20g x g x f x x f x x f x f x x ∴--=---+=---=⎡⎤⎣⎦，()g x ∴为偶函数，当()0,x ∈+∞时()()10g x f x ''=-<，∴函数()g x 在()0,∞+上单调递减，()()4,44m f m f m ≠-+≤+ ，等价于，()()()4444f m m f +-+≤-，即()()44g m g +≤，则当40m +>时，即4m >-时，由函数()g x 在()0,∞+上单调递减，得44m +≥，解得0m ≥，当40m +<时，即4m <-时，40m -->由()g x 为偶函数，得()()()444g m g m g +=--≤，由函数()g x 在()0,∞+上单调递减，得44m --≥，解得8m ≤-，综上，m 的取值范围为][(),80,-∞-+∞ ，故答案为：][(),80,-∞-+∞ .【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.二､选择题：（本大题满分18分，13-14小题每小题4分，15-16小题每小题5分）13.“ln 1x =”是“()2ln 2x =”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据ln 1x =与()2ln 2x=的推出关系判断充分性与必要性是否成立.【详解】当ln 1x =时，e x =，则()()22ln ln e 2x ==，故充分性成立；当()2ln 2x=时，22e x=，则e x =±，故必要性不成立，所以“ln 1x =”是“()2ln 2x =”的充分非必要条件.故选：A14.小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为0.3、0.4、0.65，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（）A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6【答案】A【分析】根据独立事件与互斥事件的概率计算公式得出答案.【详解】设小明遇到的三人分别为A ，B ，C ，则小明遇到三人的概率都为13，若小明与A 比赛获胜的概率为0.3，与B 比赛获胜的概率为0.4，与C 比赛获胜的概率为0.65，则小明进入决赛的概率为1110.30.40.650.45333⨯+⨯+⨯=，故选：A.15.P 为椭圆()22228103x y a a a+=>上一点，P 到左焦点F 的距离为2a ，则P 到原点O 的距离为（）A.34a B.104a C.74a D.2a 【答案】B【分析】先用a 表示c ，然后根据椭圆的定义判断出三角形PFF '是直角三角形，从而求得OP .【详解】椭圆2222813x ya a+=即2222138x y a a +=，所以c ==⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.P 到左焦点F 的距离为2a ，则P 到右焦点F '的距离为3222a a a -=，2222354222a a a c ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三角形PFF '是直角三角形，且π2FPF '∠=，所以P 到原点O的距离124OP FF c ===='.故选：B16.已知()522910012910R,a x x aa a x a x a x a x ∈-+=+++⋯++，则下列三个代数式①81ii a =∑②91ii a =∑③101ii a =∑，其值与a 无关的个数为（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】D【分析】利用赋值法，结合二项式展开式等知识求得正确答案.【详解】依题意，()522910012910R,a x x aa a x a x a x a x ∈-+=+++⋯++，令0x =，得50a a =；令1x =，得50110a a a a =+++ ，所以1100a a ++= ，5105C 1a ==，所以1291a a a +++=- ，()495C 15a =⋅-=-，所以1284a a a +++= ，所以三个代数式①81ii a =∑②91ii a =∑③101ii a =∑的值都与a 无关.故选：D 三､解答题：17.数列{}n a 中，111,3,n n a a a n λ+=-=+是正整数，数列{}n a 的前n 项和n S .（1）若1λ=，且140n S -<，求n 的值；（2）若3λ=，求证32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n a .【答案】（1）1n =或2n =或3n =（2）证明见解析，1332n n a --=【分析】（1）根据13n n a a +-=得{}n a 是公差为3的等差数列，求出2352n n nS -=，再解140n S -<即可.（2）根据等比数列的定义可证32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列从而得到n a .【小问1详解】当1λ=时，13n n a a +-=，()*1,Nn n ≥∈,所以{}na 是公差为3的等差数列，所以()()1132n n n S n -=-+⨯，所以2352n n nS -=，因为2351402n n--<，所以743n -<<，因为n 是正整数，所以1n =或2n =或3n =.【小问2详解】当3λ=时，113133,022n n a a a +=++=≠，因为133332233322n n n n a a a a ++++==++，()*1,N n n ≥∈，所以32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，所以131322n n a -+=⨯，所以1332n n a --=.18.如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，3PA =.（1）若四棱锥P ABCD -是正四棱锥，求四棱锥P ABCD -的体积V ；（2）若AP ⊥平面,17PCD BP AD ⋅=，求PC 的长.【答案】（1）163（2）PC =【分析】（1）根据正四棱锥的结构特征，结合锥体的体积公式运算求解；（2）由垂直关系可得AB AP ⊥，由数量积可得cos 17∠⋅⋅=BP BC PBC ，在PBC 中，利用余弦定理运算求解.【小问1详解】因为四棱锥P ABCD -是正四棱锥，取正方形ABCD 的中心O ，则PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，可得PO AC ⊥，则12AO AC ==，1PO ==，所以四棱锥P ABCD -的体积2111641333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=.【小问2详解】因为AP ⊥平面,PCD CD ⊂平面PCD ，所以AP CD ⊥，而AB ∥CD ，所以AB AP ⊥，由222PB PA AB =+，可得5PB =，又因为17,BP AD BC AD ⋅== ，则cos 17∠=⋅⋅⋅=uur uuu rBP BC BP BC PBC ，在PBC 中，由余弦定理可得：222222cos 542177PC BP BC BP BC PBC ∠=+-⨯⨯⨯=+-⨯=，所以PC =19.电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为12、13、14，记该参加者闯三关所得总分为ξ.（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）23（2）ξ的分布列见解析，()196E ξ=【分析】（1）利用事件的独立性即可求解；（2）根据分布列的计算步骤即可求解分布列，利用数学期望的计算公式即可求解期望.【小问1详解】设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为112p =，213p =，314p =，该参加者有资格闯第三关为事件A ．则1212121211112()(1)(1)2323233P A p p p p p p =-+-+=⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10，()()()12121011233P p p ξ==--=⨯=，123123113(3)(1)(1)(1)(1)488P p p p p p p ξ==--+--=+=，1231(6)(1)8P p p p ξ==-=，123123111(7)(1)(1)12248P p p p p p p ξ==-+-=+=，1231(10)24P p p p ξ===，所以ξ的分布列为ξ36710p13381818124所以ξ的数学期望()13111190367103888246E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.如图1，已知抛物线τ的方程为2x y =，直线l 的方程为1y kx =+，直线l 交抛物线τ于()()1122,,A x y B x y ､两点()12,x x O <为坐标原点.（1）若0k =，求AOB 的面积的大小；（2）AOB ∠的大小是否是定值？证明你的结论；（3）如图2，过点A B ､分别作抛物线的切线AP 和BP （两切线交点为P ），,AP BP 分别与x 轴交于,M N ，求MNP △面积的最小值.【答案】（1）1（2）是定值，证明见解析（3）1【分析】（1）求得,A B 的坐标，进而求得AOB 的面积.（2）通过证明0OA OB ⋅=来得到AOB ∠的大小是定值.（3）利用导数求得切线方程，求得,,M N P 的坐标，进而求得MNP △面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值.【小问1详解】当0k =时，直线l 的方程为1y =，由21x y y ⎧=⎨=⎩解得121,1,1y x x ==-=，所以AOB 的面积为12112⨯⨯=.【小问2详解】由（1）中发现AOB 为等腰直角三角形，猜测AOB 90∠= .证明：2212121212OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+ ，21y kx y x=+⎧⎨=⎩得210x kx --=，即121x x =-，240k ∆=+>，所以110OA OB ⋅=-+=，所以AOB 90∠= 为定值.【小问3详解】()()221122,,,A x x B x x ，对函数2y x =求导得到2y x '=，所以AP 方程为()21112y x x x x -=-，整理得2112y x x x =-，同理BP 方程为2222y x x x =-，分别令0y =得到12,0,,022x x M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21122222y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩，解得1212,2x x P x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由第（2）小题，210x kx --=，得到12121x x k x x +=⎧⎨=-⎩，所以12121241444x x x x S x x --===≥，所以MNP △面积的最小值为1.【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认.21.定义：设()y f x =和()y g x =均为定义在R 上的函数，它们的导函数分别为()f x '和()g x '，若不等式()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦对任意实数x 恒成立，则称()y f x =和()y g x =为“相伴函数”.（1）给出两组函数，①()11e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()10g x =②()2e x f x =和()2g x x =，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；（2）若()()y f x y g x ==､是定义在R 上的可导函数，()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，()()()ln e 1x f x g x x -+=++，证明：()y f x =和()y g x =为“相伴函数”；（3）()()()()sin ,cos f x x g x x θθ=+=-，写出“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.【答案】（1）第（1）组是，第（2）组不是（2）证明见解析（3）()ππZ 4k k θ=+∈，证明见解析【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断.（2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立.（3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【小问1详解】第（1）组是，第（2）组不是.①()11e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()10g x =，()()11e ,0x f x g x -''=-=，()()()()2e 0x f x g x f x g x -⎡⎤⎡⎤--=-≤⎣⎦⎣⎦''，所以这两组函数是“相伴函数”.②()2e xf x =和()2g x x =，()()22e ,1x f x g x ''==，()()()()()()e e 1x xf xg x f x g x x ⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦'-'不一定为非正数，所以这两组函数不是“相伴函数”.【小问2详解】()()()()()()()ln e 1,,x f x g x x f x f x g x g x -+-=+--=-=-，所以()()()ln e 1x f x g x x -=+-()()ln e 1ln e x x x +>=，所以()()0f x g x ->()()()()()''e 1[]ln e 110e 1e 1x x x x f x g x f x g x x ⎡⎤-=-=+'-=-=-<⎣+'⎦+因此()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦成立，即()y f x =和()y g x =为“相伴函数”.【小问3详解】“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()ππZ 4k k θ=+∈充分性：已知()ππZ 4k k θ=+∈则()()πsin sin π4f x x x k θ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭，()()ππππcos cos πcos π2πsin π4424g x x x k x k k x k θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=++--=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时()()f x g x =，所以()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-=⎣⎦⎣⎦，即()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦成立，()y f x =和()y g x =为相伴函数必要性：已知()y f x =和()y g x =为相伴函数()()()()cos ,sin f x x g x x θθ'=+=--'所以()()()()sin cos cos sin 0x x x x θθθθ⎡⎤⎡⎤+--++-≤⎣⎦⎣⎦，()()()()()()()()sin cos sin cos cos cos sin sin 0x x x x x x x x θθθθθθθθ⎡⎤++----+--+-≤⎣⎦()()sin 22sin 22cos202x x x θθ+---≤，cos2sin2cos20x x θ-≤，即()cos2sin210x θ-≤，由于cos2x 取遍[]1,1-内的所有实数，因此当且仅当sin210θ-=时成立，所以()ππZ 4k k θ=+∈，所以“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()ππZ 4k k θ=+∈.【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。

2023_2024学年上海市奉贤区高三上册10月月考数学模拟测试卷(附答案)

2023_2024学年上海市奉贤区高三上册10月月考数学模拟测试卷二､选择题（本大题共4题，满分13．如果，，那么直线0AC <0BC >A ．第一象限C ．第三象限P(1)求成功点的轨迹方程；(2)为了记录比赛情况，摄影机从P F的轨迹没有公共点，求点纵坐标(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于两点，且，求直线l 的方程；,D E DE AB =(2)在圆C 上是否存在点P ，使得成立若存在，求点P 的个数；若不存在，说2212PA PB +=明理由；(3)对于线段AC 上的任意一点Q ，若在以点B 为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点,M N M 是线段QN 的中点，求圆B 的半径r 的取值范围.【详解】如图，过点作垂直于，垂足为O OC PQ =22R d -2222()R ON CN --即两点重合时，CN =,N C PQ直径为14，.对于B ，因为()2213a b ++=当且仅当时，等号成立，故612a b =+=对于C ，将看作是22a b +(O 所以，故min 31d r OM =-=-.故选：D.16．C【分析】取点，推理证明得(4,0)-N 和的最小值作答.【详解】如图，点M 在圆O ，||2||4ON OM ==当点不共线时，,,O M N ||||2||||OM ON OA OM ==则有，当点共线时，有||||2||||MN OM MA OA ==,,O M N 因此2||||||(MA MB MN MB BN +=+≥=-O 的交点时取等号，2MA MB+26）设圆心C 到直线l ：(1y k x =-O 到直线l ：的距离为()1y k x =-，，241k =+221kd k =+2212OEF S EF d r =⋅⋅=-△（3）设，(,0)Q n。

上海市奉贤区2024届高三一模数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．2. 设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）A ．和B ．和C ．和D．和3.已知数列满足，则的值为（）．A．B．C．D．4. 已知数列，，，，的各项均不等于0和1，此数列前项的和为，且满足，则满足条件的数列共有（）A ．2个B ．6个C ．8个D ．16个5. 如果函数在处的导数为1，那么＝（）A．B ．1C ．2D．6. 直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7. 将一枚骰子向上抛掷一次，设事件{向上的一面出现奇数点}，事件{向上的一面出现的点数不超过2}，事件{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有（）A．B ．{向上的一面出现的点数大于3}C ．{向上的一面出现的点数不小于3}D ．{向上的一面出现的点数为2}8. 满足不等式的n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．69. 已知，分别为椭圆：（）的左、右焦点，上存在两点，，使得梯形的高为（为半焦距），且，则的离心率为______.10. 已知（且）在上单调递减，则实数a 的取值范围为__________．11. 从字母中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为_____.12. 计算：tan 22.5°－＝_____.13. 已知，如果存在使得成立，求的取值范围．上海市奉贤区2024届高三一模数学试题(高频考点版)上海市奉贤区2024届高三一模数学试题(高频考点版)14. 已知圆C过三个点．(1)求圆C的方程：(2)已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点P的轨迹方程．15. 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：.16. 已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.(1)求的值；(2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值.。

上海市奉贤区高三数学二模考试试题文(含解析)新人教A版

上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（•奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x 的最小正周期是π．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式吧函数的解析式化为1﹣cos2x，由此可得它的最小正周期为．解答：解：函数f（x）=2sin2x=1﹣cos2x，故它的最小正周期为=π，故答案为π．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的最小正周期的求法，属于基础题．2．（4分）（•奉贤区二模）在的二项展开式中，常数项是70 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：在的二项展开式中，通项公式为T r+1=•x8﹣r•（﹣1）r x﹣r=（﹣1）r••x8﹣2r．令8﹣2r=0，解得 r=4，故展开式中的常数项是=70，故答案为 70．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．3．（4分）（•奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是 4 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．解答：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．4．（4分）（•奉贤区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为30 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+…+10的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+ (10)又∵2+4+…+10=30．故答案为：30．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（•奉贤区二模）已知直线y=t与函数f（x）=3x及函数g（x）=4•3x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为log34 ．考点：两点间的距离公式；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．解答：解：令 3x =t，可得x=log3t 43x =t 可得x=，故A、B两点之间的距离为 log3t ﹣=log3t﹣（ log3t﹣log34）=log34，故答案为 log34．点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（4分）（•奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45°，容器的高为10cm ，制作该容器需要100cm2的铁皮．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由题意可得圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式S=πrl，计算可得．解答：解：由题意可得圆锥的底面半径r=10，由勾股定理可得：圆锥的母线长为l=10，故圆锥的侧面积S=πrl==100，故答案为：点评：本题考查圆锥的侧面积的求解，求出底面半径和母线长是解决问题的关键，属基础题．7．（4分）（•奉贤区二模）若函数f（x）=8x的图象经过点，则f﹣1（a+2）= ．考点：反函数；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的图象经过的点，求出a的值，利用反函数的定义域与值域的对应关系，求出f﹣1（a+2）的值即可．解答：解：因为函数f（x）=8x的图象经过点，所以a=2，所以f﹣1（a+2）=f﹣1（4），由函数与反函数的对应关系可得：4=8x，所以x=．故答案为：．点评：本题考查函数与反函数的对应关系的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．（4分）（•奉贤区二模）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），则m+n= ﹣1 ．考点：函数的零点．分析：把x=1+ni代入已知方程x2+mx+2=0，结合n＞0，根据复数相等的条件可得关于m，n的方程，可求m，n进而可求m+n解答：解：∵x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴（1+ni）2+m（1+ni）+2=0整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni=0∵n＞0根据复数相等的条件可得，m+2=0，3+m﹣n2=0∴m=﹣2，n=1则m+n=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了复数相等条件的简单应用及基本运算，属于基础试题9．（4分）（•奉贤区二模）若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为y=2x ﹣1 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：弦MN所在直线与CP垂直，先求出CP的斜率，即可求得MN的斜率，用点斜式求直线MN的方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣6x=0 即（x﹣3）2+y2=9，表示以C（3，0）为圆心，半径等于3的圆．∵点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线与CP垂直．由于CP的斜率为=﹣，故弦MN所在直线的斜率等于2，故弦MN所在直线方程为 y﹣1=2（x﹣1），即 y=2x﹣1，故答案为 y=2x﹣1．点评：本题主要考查圆的标准方程特征，直线和圆的位置关系，用点斜式求直线的方程，属于中档题．10．（4分）（•奉贤区二模）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是[0，2] ．考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，=﹣1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．11．（4分）（•奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f （2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f （x ）=f（x ﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．解答：解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），所以f （2﹣x ）==，又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，故答案为：y=．点评：本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．12．（4分）（•奉贤区二模）设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d= ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题目给出的条件{an}和{}都是等差数列，且公差相等，把与都用a1和d表示，两边平方后求解a1和d，则答案可求．解答：解：由题意知数列{a n}的首项为a1，公差为d．因为数列{a n}的前n项和是S n，所以，，．又{}也是公差为d的等差数列，则，两边平方得：①，两边平方得：②②﹣①得：③，把③代入①得：d（2d﹣1）=0．所以d=0或d=．当d=0时，a1=0，不合题意，当d=时，代入③解得．所以．故答案为．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．13．（4分）（•奉贤区二模）已知函数f（x）=6x﹣4（x=1，2，3，4，5，6）的值域为集合A，函数g（x）=2x ﹣1（x=1，2，3，4，5，6）的值域为集合B，任意a∈A∪B，则a∈A∩B的概率是0 ．考点：古典概型及其概率计算公式；函数的值域．专题：概率与统计．分析：由函数解析式可得到函数值域A，B．进而得到A∪B，A∩B，利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：∵f（1）=6×1﹣4=2，同理f（2）=8，f（3）=14，f（4）=20，f（5）=26，f（6）=32，∴A={2，8，14，20，26，32}．∵g（1）=2×1﹣1=1，同理g（2）=3，g（3）=5，g（4）=7，g（5）=9，g（6）=11．∴B={1，3，5，7，9，11}．∴A∪B={1，3，5，7，9，11，2，8，14，20，26，32}，而A∩B=∅．∴任意a∈A∪B，则a∈A∩B的概率P=0．点评：熟练掌握函数值的计算、值域、并集、交集是解题的关键．14．（4分）（•奉贤区二模）已知椭圆：，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则的最大值为．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：如图所示，利用椭圆的定义得到=12﹣．因此只有当取得最小值时，取得最大值，分AB⊥x 轴和AB 与x 轴不垂直两种情况讨论，当AB 与x 轴不垂直时，利用弦长公式即可得出，通过比较得到的最小值．解答：解：如图所示，由椭圆的定义可知：=，∴=12﹣．好当AB⊥x 轴时，把x=﹣c 代入椭圆的方程得，解得，此时，，则=12﹣=；当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=k （x+c ），A （x 1，y 1）， B （x 2，y 2）．联立，消去y 得到（b 2+9k 2）x 2+18k 2cx+9k 2c 2﹣9b 2=0，∴，，∴==．综上可知：只有当AB⊥x 轴时，取得最小值，此时取得最大值．故答案为．点评：熟练掌握椭圆的定义、分类讨论的思想方法、直线与圆锥曲线相交时的弦长公式的应用是解题的关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．（5分）（•奉贤区二模）下列命题中正确的是（） A ．函数y=sinx 与y=arcsinx 互为反函数 B ．函数y=sinx 与y=arcsinx 都是增函数 C ．函数y=sinx 与y=arcsinx 都是奇函数 D ．函数y=sinx 与y=arcsinx 都是周期函数考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数y=sinx ，当x ∈[，]时存在反函数，逐个选项分析可得结论．解答：解：对于正弦函数y=sinx ，当x ∈[，]时存在反函数y=arcsinx ，具有相同的奇偶性和单调性，故选项A 错误；选项B ，函数y=sinx 不单调，故错误；选项C 正确；选项D ，函数y=arcsinx 的定义为[﹣1，1]，故不是周期函数，故错误．故选C点评：本题考查命题真假的判断，涉及反正弦函数和函数的性质，属基础题．16．（5分）（•奉贤区二模）条件“abc＜0”是曲线“ax 2+by 2=c”为双曲线的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件考点：双曲线的简单性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：当条件“abc＜0”成立时，取a=b=1，c=﹣1可得曲线为x2+y2=﹣1，不能表示双曲线，所以充分性不成立；当“曲线ax2+by2=c为双曲线”时，以x2﹣y2=﹣1为例可得abc＞0，不满足条件“abc＜0”，必要性也不成立．由此可得本题的答案．解答：解：先看充分性当“abc＜0”成立时，取a=b=1，c=﹣1此时曲线ax2+by2=c为x2+y2=﹣1，不能表示任何曲线∴“abc＜0”不是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的充分条件；再看必要性当“曲线ax2+by2=c为双曲线”时，取a=1，b=c=﹣1，此时曲线为x2﹣y2=﹣1，表示焦点在y轴上的双曲线但abc＞0，不满足条件“abc＜0”∴“abc＜0”不是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的必要条件因此，“abc＜0”是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的既不充分也不必要条件．故选：D点评：本题给出方程ax2+by2=c，求它能表示双曲线的条件，着重考查了双曲线的标准方程和充分必要条件的概念等知识，属于基础题．17．（5分）（•奉贤区二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n ，若，则公比q的取值范围是（）A．0＜q＜1 B．0＜q≤1C．q＞1 D．q≥1考点：数列的极限．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据等比数列的前n项和公式S n，S n+1列出关于q 的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．解答：解：当q=1时，S n+1=（n+1）a1，S n=na1，所以==1成立，当q≠1时，Sn=，所以=，可以看出当0＜q＜1时，=1成立，故q的取值范围是（0，1]．故选B．点评：本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．18．（5分）（•奉贤区二模）直线x=2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥2B．C．a2+b2≤2D．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定A，B 的坐标，根据，确定坐标之间的关系，可得，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意，A（2，1），B（2，﹣1），设P（x，y），则∵∴x=2a+2b，y=a﹣b∵P为双曲线C上的任意一点，∴∴4ab=1∴∴故选B．点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（•奉贤区二模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，G分别为棱DD1和CC1的中点．（1）求异面直线AE与DG所成的角；（1）求三棱锥B﹣CC1E的体积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间角．分析：（1）先通过作平行线的方法作出异面直线所成的角，再在三角形中求解即可；（2）先判断三棱锥的高与底面，再根据体积公式计算即可．解答：解：（1）连接BG 、EG 、BD ，∵E、G 分别是中点，∴EG∥AB 且EG=AB ，∴四边形ABGE 为平行四边形，∴AE∥BG，∠DGB 是所求的异面直线所成的角正方体的棱长为1，，∴∴所求的异面直线的角大小．（2）∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∴BC⊥面EGC∴BC 是三棱锥B ﹣C 1CE 的高， ∴=．点评：本题考查异面直线所成的角及棱锥的体积． 20．（14分）（•奉贤区二模）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距20海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C 处，．在离观测站A 的正南方某处E ，cos∠EAC=﹣（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v （海里/小时）．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC 的值，根据，利用两角差的余弦公式求得结果．（2）利用余弦定理求得BC 的值，而且BC 这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．解答：解：（1）∵，∴．（2分） ∴=．（6分）（2）利用余弦定理求得 BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•AC•cosθ=125，∴．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时）．（14分）点评：本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．21．（14分）（•奉贤区二模）三阶行列式，元素b （b ∈R ）的代数余子式为H （x ），P={x|H（x ）≤0}，（1）求集合P ；（2）函数的定义域为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．考点：三阶矩阵；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）三阶行列式，元素b （b ∈R ）的代数余子式为H （x ）小于等于0，可得关于x的二次不等式，解之即可；（2）P ⊆Q ，问题等价于说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在上恒成立，采用变量分离法，可得实数a 的取值范围．解答：解：（1）根据三阶矩阵代数余子式的定义，得=2x 2﹣5x+2（3分）解不等式2x 2﹣5x+2≤0，得，∴（7分）（2）若P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在上恒成立，（8分）即不等式在上恒成立，（9分）令，则只需a ＞u max 即可．（11分）又．当时，，从而，（13分）∴．（14分）点评：本题考查行列式，代数余子式的概念，考查解不等式、对数函数的定义域，属于中档题．22．（16分）（•奉贤区二模）已知数列{a n }对任意的n≥2，n ∈N *满足：a n+1+a n ﹣1＜2a n ，则称{a n }为“Z 数列”．（1）求证：任何的等差数列不可能是“Z 数列”；（2）若正数列{b n }，数列{lgb n }是“Z 数列”，数列{b n }是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列{c n }，使得{c n }是“Z 数列”；（3）若数列{a n }是“Z 数列”，设s ，t ，m ∈N *，且s ＜t ，求证求证a t+m ﹣a s+m ＜a t ﹣a s ．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：新定义．分析：（1）利用等差数列的通项公式和“Z 数列”的意义即可证明；（2）利用对数的运算法则、“Z 数列”的定义、等比数列的性质即可证明；由“Z 数列”的意义：若a n+1﹣a n ＜a n ﹣a n ﹣1，则，根据几何意义只要c n =f （n ）的一阶导函数单调递减就可以．（3）分别计算出a t ﹣a s ，a t+m ﹣a s+m ，设b s =a s+1﹣a s ，利用数列{b n }满足对任意的n ∈N *b n+1＜b n ，即可证明．解答：解：（1）设等差数列{a n }的首项a 1，公差d ， ∵a n =a 1+（n ﹣1）d ，a n+1+a n ﹣1﹣2a n =a 1+nd+a 1+（n ﹣2）d ﹣2a 1﹣2（n ﹣1）d=0，所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”．或者根据等差数列的性质：a n+1+a n ﹣1=2a n 所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”．（2）∵a n 是“Z 数列”，∴lga n+1+lga n ﹣1＜2lga n ∴，所以{a n }不可能是等比数列．等比数列只要首项c 1＜0公比q≠1．[其他的也可以：（a ＜0）或]等比数列{c n }的首项c 1，公比q ，通项公式=恒成立，∴c 1＜0．（3）因为b s =a s+1﹣a s ，b s+1=a s+2﹣a s+1，b s+2=a s+3﹣a s+2，…，b t ﹣1=a t ﹣a t ﹣1∴同理：因为数列{b n }满足对任意的n ∈N *b n+1＜b n ，所以b t ﹣1＞b t+m ﹣1，b t ﹣2＞b t+m ﹣2，…，b s+m ＞b s ， ∴a t ﹣a s ＞a t+m ﹣a s+m ．点评：正确理解“Z 数列”的定义，数列掌握等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算法则是解题的关键．本题需要较强的逻辑推理能力和计算能力． 23．（18分）（•奉贤区二模）动圆C 过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．设圆心C 的轨迹Γ方程为F （x ，y ）=0（1）求F （x ，y ）=0；（2）曲线Γ上一定点P （1，2），方向向量的直线l （不过P 点）与曲线Γ交与A 、B 两点，设直线PA 、PB 斜率分别为k PA ，k PB ，计算k PA +k PB ；（3）曲线Γ上的一个定点P 0（x 0，y 0），过点P 0作倾斜角互补的两条直线P 0M ，P 0N 分别与曲线Γ交于M ，N 两点，求证直线MN 的斜率为定值．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）过点C 作直线x=﹣1的垂线，垂足为N ，由题意知：|CF|=|CN|，由抛物线的定义知，点C 的轨迹为抛物线．（2）设 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由题得直线的斜率﹣1，过不过点P 的直线方程为y=﹣x+b ，代入抛物线方程得y 2+4y ﹣4b=0，利用根与系数的关系及斜率公式，计算的值，从而得出结论．（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），计算的解析式．设MP 的直线方程为y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），代入抛物线方程利用根与系数的关系求得 y 1+y 2的值，从而求得k MN 的值，从而得出结论．解答：解：（1）过点C 作直线x=﹣1的垂线，垂足为N ，由题意知：|CF|=|CN|，即动点C 到定点F 与定直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义知，点C 的轨迹为抛物线．其中（1，0）为焦点，x=﹣1为准线，所以轨迹方程为y 2=4x ．（2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率﹣1．过不过点P的直线方程为y=﹣x+b，由得 y2+4y﹣4b=0，则y1+y2=﹣4．由于P（1，2），====0．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则==（***）．设MP的直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由，可得，则，∴．同理，得．代入（***）计算得：y1+y2=﹣2y0 ，∴（为定值）．点评：本题主要考查抛物线的定义，圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，直线的斜率公式，属于中档题．。

上海市奉贤区2021-2022学年高三上学期数学高考一模试卷带解析

上海市奉贤区2021-2022学年高三上学期数学一模试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{2，a}，若A∪B＝{1，2，3}，则a＝．2．（4分）计算＝．3．（4分）已知圆的参数方程为（θ为参数），则此圆的半径是．4．（4分）函数y＝sin x﹣cos x的最小正周期是．5．（4分）函数y＝x3+a cos x是奇函数，则实数a＝．6．（4分）若圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的体积为．7．（5分）函数y＝lg的定义域是．8．（5分）等差数列{a n}满足a3+a2＝8，a4+a3＝12，则数列{a n}前n项的和为．9．（5分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是24厘米，灯深10厘米，则灯泡与反射镜顶点的距离是厘米．10．（5分）已知曲线+＝1的焦距是10，曲线上的点P到一个焦点距离是2，则点P 到另一个焦点的距离为．11．（5分）从集合{0，1，2，3，4，5，6，7，8、9}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，则经过坐标原点的不同直线有条（用数值表示）．12．（5分）设平面上的向量、、、满足关系＝﹣，＝m﹣（m≥2），又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中为奇函数且在R上为增函数的是（）A．y＝2x B．y＝|x|C．y＝sin x D．y＝x314．（5分）已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为（）A．7B．8C．9D．1015．（5分）对于下列命题：①若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则a c＞b d.关于上述命题描述正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题16．（5分）复数（cos2θ+i sin3θ）•（cosθ+i sinθ）的模为1，其中i为虚数单位，θ∈[0，2π]，则这样的θ一共有（）个．A．9B．10C．11D．无数三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）在△ABC中，A、B、C所对边a、b、c满足（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝bc．（1）求A的值；（2）若a＝，cos B＝，求△ABC的周长．18．（14分）第一象限内的点P在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上，双曲线的左、右焦点分别记为F1、F2，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点．（1）求证：b＝2a；（2）若△OF2P的面积为2，求点P的坐标．19．（14分）图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆、通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形AA1A2A3是由四个相等的小正方形（如ABCD）和宽度相等的矩形通道组成．展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等．图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形ABCD中的展览区域，小正方形ABCD中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域．设ABCD的边长为300米，△AEF的周长为180米．（1）设AE＝x，求△AEF的面积y关于x的函数关系式；（2）问AE取多少时，使得整个的休闲区域面积最大．（长度精确到1米，面积精确到1平方米）20．（16分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC的交点为G．（1）求异面直线AE与PF所成角的大小；（2）求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）求点G的位置．21．（18分）已知数列{a n}满足a n＝．（1）当q＞1时，求证：数列{a n}不可能是常数列；（2）若qt＝0，求数列{a n}的前n项的和；（3）当q＝，t＝1时，令b n＝（n≥2，n∈N），判断对任意n≥2，n∈N，b n是否为正整数，请说明理由．上海市奉贤区2021-2022学年高三上学期数学一模试卷答案与解析一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{2，a}，若A∪B＝{1，2，3}，则a＝3．【分析】利用集合并集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A＝{1，2}，B＝{2，a}，A∪B＝{1，2，3}，则a＝3．故答案为：3．2．（4分）计算＝．【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．3．（4分）已知圆的参数方程为（θ为参数），则此圆的半径是2．【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解．【解答】解：∵圆的参数方程为（θ为参数），∴，sinθ＝，∵sin2θ+cos2θ＝1，∴，即x2+y2＝4，∴此圆的半径为2．故答案为：2．4．（4分）函数y＝sin x﹣cos x的最小正周期是2π．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期．【解答】解：函数y＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），所以函数的周期为：＝2π．故答案为：2π．5．（4分）函数y＝x3+a cos x是奇函数，则实数a＝0．【分析】由已知结合奇函数性质f（0）＝0代入可求．【解答】解：由奇函数性质得，f（0）＝a＝0，此时f（x）＝x3为奇函数．故答案为：0．6．（4分）若圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的体积为．【分析】求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的高，再利用公式计算圆锥的体积．【解答】解：圆锥的底面面积为π，所以，底面半径为r＝1，母线长为l＝2，所以圆锥的高为h＝＝；所以圆锥的体积为V＝πr2h＝．故答案为：．7．（5分）函数y＝lg的定义域是（﹣∞，log23）．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：由题意可知3﹣2x＞0，∴2x＜3，∴x＜log23，∴函数的定义域为（﹣∞，log23），故答案为：（﹣∞，log23），8．（5分）等差数列{a n}满足a3+a2＝8，a4+a3＝12，则数列{a n}前n项的和为n2．【分析】由已知结合等差数列的性质先求出公差d，进而可求首项a1，然后结合等差数列的求和公式可求．【解答】解：因为等差数列{a n}中，a3+a2＝8，a4+a3＝a3+d+a2+d＝12，所以d＝2，所以a1+2d+a1+d＝8，所以a1＝1，则数列{a n}前n项的和S n＝＝n+n（n﹣1）＝n2．故答案为：n2．9．（5分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是24厘米，灯深10厘米，则灯泡与反射镜顶点的距离是 3.6厘米．【分析】先设出抛物线的标准方程y2＝2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y 轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2＝2px上，∴144＝2p×10．∴＝3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．故答案为：3.6．10．（5分）已知曲线+＝1的焦距是10，曲线上的点P到一个焦点距离是2，则点P 到另一个焦点的距离为2﹣2或10．【分析】利用曲线是椭圆或双曲线，结合已知条件求解a，通过圆锥曲线的定义，转化求解即可．【解答】解：当曲线是椭圆时，因为焦距为10，所以a﹣16＝25，所以a＝41，由椭圆的定义，可得点P到另一个焦点的距离为：2﹣2；当曲线是双曲线时，a＜0，所以16﹣a＝25，解得a＝﹣9，此时点P到另一个焦点的距离为：2×4+2＝10．故答案为：2﹣2或10．11．（5分）从集合{0，1，2，3，4，5，6，7，8、9}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，则经过坐标原点的不同直线有54条（用数值表示）．【分析】先根据条件知道C＝0，再根据计算原理计算即可．【解答】解：若直线方程Ax+By+C＝0经过坐标原点，则C＝0，那么A，B任意取两个即可，有＝72，其中，1，2；2，4；3，6；4，8；重复；1，3；2，6；3，9；重复；1，4；2，8；重复；2，3；4，6；6，9；重复；3，4；6，8；重复；所以满足条件的直线有72﹣18＝54．故答案为：54．12．（5分）设平面上的向量、、、满足关系＝﹣，＝m﹣（m≥2），又设与的模均为1且互相垂直，则与的夹角取值范围为[arccos，]．【分析】求出，由与的模均为1且互相垂直，m≥2，求出||，||，由向量数量积公式求出，进而求出与的夹角余弦值，由此能求出与的夹角取值范围．【解答】解：∵平面上的向量、、、满足关系＝﹣，＝m﹣（m≥2），∴，∵与的模均为1且互相垂直，m≥2，∴||＝＝，||＝＝，＝＝，∴与的夹角余弦值为：∴cos＜＞＝＝＝，∵m≥2，∴cos＜＞＝≥，∵＜＞∈[0，π]，∴与的夹角取值范围为[arccos，]．故答案为：[arccos，]．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中为奇函数且在R上为增函数的是（）A．y＝2x B．y＝|x|C．y＝sin x D．y＝x3【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．【解答】解：y＝2x不是奇函数，A不符合题意；y＝|x|为偶函数，不符合题意；y＝sin x在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知，y＝x3为奇函数且在R上单调递增，符合题意．故选：D．14．（5分）已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，根据其成等差数列可得n的值．【解答】解：（+）n的展开式的通项公式为：T r+1＝••（）n﹣r•（）r，展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×＝1+，∴n＝8，（n＝1舍）．故选：B．15．（5分）对于下列命题：①若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则a c＞b d.关于上述命题描述正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】对于①，结合不等式的性质，即可求解，对于②，结合特殊值法，即可求解．【解答】解：对于①，∵c＞d＞0，∴，∴＞0，即，∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴a+c＞b+d＞0，∴＞，故①为真命题，对于②，令a＝c＝，b＝d＝，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但a c＝b d，故②为假命题．故选：C．16．（5分）复数（cos2θ+i sin3θ）•（cosθ+i sinθ）的模为1，其中i为虚数单位，θ∈[0，2π]，则这样的θ一共有（）个．A．9B．10C．11D．无数【分析】先根据复数（cos2θ+i sin3θ）•（cosθ+i sinθ）的模为1及复数模的运算公式，求得cos22θ+sin23θ＝1，即cos22θ＝cos23θ，接下来分cos2θ＝cos3θ与cos2θ＝﹣cos3θ两种情况进行求解，结合0∈[0，2π]，求出θ的个数．【解答】解：|（cos2θ+i sin3θ）•（cosθ+i sinθ）|＝|cos2θ+i sin3θ|•|cosθ+i sinθ|，其中|cosθ+i sinθ|＝1，所以|cos2θ+i sin3θ|＝1，即cos22θ+sin23θ＝1，cos22θ＝1﹣sin23θ，当cos2θ＝cos3θ时，①2θ＝3θ+2k1π，k1∈Z，所以θ＝﹣2k1π，k1∈Z，因为θ∈[0，2π]所以θ＝0或2π；②2θ＝﹣3θ+2k2π，k2∈Z，所以，因为θ∈[0，2π]，所以θ＝0，，或2π；当cos2θ＝﹣cos3θ时，①2θ＝3θ+（2k3+1）π，k3∈Z，即θ＝﹣（2k3+1）π，k3∈Z，因为θ∈[0，2π]，所以θ＝π，③2θ＝﹣3θ+（2k4+1）π，k4∈Z，即，因为θ∈[0，2π]，所以，，，，综上：，m＝0，1，•，10一共有11个．故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）在△ABC中，A、B、C所对边a、b、c满足（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝bc．（1）求A的值；（2）若a＝，cos B＝，求△ABC的周长．【分析】（1）根据已知条件和余弦定理求出A；（2）先求出sin B，再利用正弦定理求出b，再利用余弦定理求出c，即可得出结果．【解答】解：（1）∵（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝bc，∴a2﹣（b﹣c）2＝bc，化简可得a2﹣b2﹣c2＝﹣bc，由余弦定理可得，故A＝．（2）∵，B∈（0，π），∴，由正弦定理可得，即，求得b＝，由余弦定理得：，即，解得，其中c＞0，故，故△ABC的周长为．18．（14分）第一象限内的点P在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上，双曲线的左、右焦点分别记为F1、F2，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点．（1）求证：b＝2a；（2）若△OF2P的面积为2，求点P的坐标．【分析】（1）由|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，解得|PF1|，|PF2|，根据PF1⊥PF2，利用勾股定理及其c2＝a2+b2，即可证明结论．（2）由题意可得：×2a×4a＝2×2，c•|y P|＝2，b＝2a，c2＝a2+b2，解出y P，并且代入双曲线方程解得x P．【解答】解：（1）证明：∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵PF1⊥PF2，∴（2c）2＝（4a）2+（2a）2，化为：c2＝5a2，又c2＝a2+b2，∴b2＝4a2，a＞0，b＞0，∴b＝2a．（2）由题意可得：×2a×4a＝2×2，c•|y P|＝2，又b＝2a，c2＝a2+b2，解得a＝1，b＝2，y P＝±，把y P＝±代入双曲线方程：﹣＝1，x P＞0，解得x P＝．∴P（，±）．19．（14分）图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆、通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形AA1A2A3是由四个相等的小正方形（如ABCD）和宽度相等的矩形通道组成．展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等．图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形ABCD中的展览区域，小正方形ABCD中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域．设ABCD的边长为300米，△AEF的周长为180米．（1）设AE＝x，求△AEF的面积y关于x的函数关系式；（2）问AE取多少时，使得整个的休闲区域面积最大．（长度精确到1米，面积精确到1平方米）【分析】（1）根据给定条件结合勾股定理用x表示出AF长即可求出函数关系式．（2）利用（1）的函数关系借助换元法求出y的最大值及对应的x值即可计算作答．【解答】解：（1）依题意，在Rt△AEF中，EF＝，则有x+AF+＝180，解得AF＝（0＜x＜90），则△AEF的面积y＝＝，所以△AEF的面积y于x函数关系式是：y＝（0＜x＜90）；（2）由（1）知，y＝（0＜x＜90），令180﹣x＝t∈（90，180），y＝＝90[270﹣（t+）]≤90（270﹣2）＝8100（3﹣2），当且仅当t＝，即t＝90时取“＝”，整个休闲区域是16个与Rt△AEF全等的三角形组成，因此整个休闲区域面积最大，当且仅当△AEF的面积y最大，当t＝90，即x＝180﹣90≈53米，整个休闲区域面积最大为y＝平方米，所以当AE取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米．20．（16分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB＝2，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC的交点为G．（1）求异面直线AE与PF所成角的大小；（2）求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）求点G的位置．【分析】（1）作出辅助线，找到异面直线AE与PF所成的角是∠OEA（或补角），利用余弦定理求出；（2）作出辅助线，找到平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角为∠OAQ，经过计算得到；（3）证明出A、Q、G三点共线，利用第二问的求出的，和题干中的条件确定点G的位置．【解答】解：（1）连接AC，BD，相交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，连接PO，因为四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，则PO⊥底面ABCD，连接OE，因为E为PB的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以EO∥PD，∠OEA（或补角）即为异面直线AE与PF所成角的大小，因为正四棱锥P﹣ABCD中，，所以△P AB是等边三角形，所以，由勾股定理得：，所以AO＝2，因为PO⊥BD，E为PB的中点，所以，在△AOE中，由余弦定理得：，所以异面直线AE与PF所成角的大小为．（2）连接EF，与OP相交于点Q，则Q为OP，EF的中点，因为EF分别为PBPD的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EF∥BD，因为BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，设平面AEGF与平面ABCD相交于直线l，故EF∥l∥DB，连接QA，则因为AE＝AF，所以AQ⊥EF，又因为OA⊥BD，故∠QAO即为平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角，其中，AO＝2，所以，故，即平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小为．（3）延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G，过点G作GM∥PO交AC于点M，因为PO⊥底面ABCD，所以GM⊥底面ABCD，设GM＝CM＝x，则AM＝4﹣x，由第二问知：，所以，即，解得：，故，所以点G的位置为线段PC靠近P的三等分点．21．（18分）已知数列{a n}满足a n＝．（1）当q＞1时，求证：数列{a n}不可能是常数列；（2）若qt＝0，求数列{a n}的前n项的和；（3）当q＝，t＝1时，令b n＝（n≥2，n∈N），判断对任意n≥2，n∈N，b n是否为正整数，请说明理由．【分析】（1）由题干条件得到a2＝2q+＞2，故可说明数列{a n}不可能是常数列；（2）分q＝0，t≠0与t＝0，q≠0两种情况进行求解；（3）先求出b2＝4，b3＝24，故猜想对任意n≥2，n∈N，b n是正整数，对b n＝（n≥2，n∈N）平方后整理为，代入＝中，消去a n，得到关于b n的式子，再进行整理得到b n+1＝2b n（b2n﹣1+1），故可类推出结果．【解答】解：（1）证明：a2＝qa1+＝2q+，因为q＞1，t≥0，所以a2＝2q+＞2，故当q＞1时，数列{a n}不可能是常数列；（2）因为qt＝0，q2+t2≠0，所以当q＝0时，t≠0，n≥2时，a n＝，即当n为奇数时，a n＝2；当n为偶数时，a n＝，设数列{a n}的前n项的和为S n，当n为奇数时，S n＝（2+）×+2＝n+1+，当n为偶数时，S n＝（2+）×＝n+，综上：S n＝，当t＝0时，q≠0，n≥2时，a n＝qa n﹣1，此时{a n}为等比数列，首项为2，公比为q，当q＝1时，S n＝2n，当q≠1时，S n＝，故S n＝．（3）对任意n≥2，n∈N，b n是正整数，理由如下：当q＝，t＝1时，a2＝a1+＝，所以b2＝4，a3＝a2+＝，b3＝24，猜想：b n＝（n≥2，n∈N）为正整数，证明：b n＝＞0，则，a2n+1＝+2，代入到＝中得：＝（+2）++1，整理得：b2n+1＝b2n（4+2b2n），从而b2n＝b2n﹣1（4+2b2n﹣1），（n≥3），于是b2n+1＝b2n[4+2b2n﹣1（4+2b2n﹣1）]，所以b n+1＝2b n（b2n﹣1+1），因此知，当b2∈N时，b3∈N；当b3∈N时，b4∈N，以此类推，所以对任意n≥2，n∈N，b n∈N．。

上海市奉贤区奉城高级中学2020年高三数学文模拟试题含解析

上海市奉贤区奉城高级中学2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：D集合A＝，集合B＝，所以，。

2. 将函数y=sin（x）的图象向左平移3个单位，得函数y=sin（x+φ）（|φ|＜π）的图象（如图），点M，N分别是函数f（x）图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON=θ，则tan（φ﹣θ）的值为（）A．1﹣B．2﹣C．1+D．﹣2+参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数图象的变换，求得φ的值，由正弦函数的性质，求得M和N的坐标，利用余弦定理求得θ的值，即可求得tan（φ﹣θ）．【解答】解：函数y=sin（x）的图象向左平移3个单位，可得：y=sin[（x+3）]= sin（x+），则φ=，∴M（﹣1，），N（3，﹣），则丨OM丨=2，丨ON丨=2，丨MN丨=2，cosθ==﹣，由0＜θ＜π，则θ=，则tan（φ﹣θ）=tan（﹣）=﹣tan=﹣tan（﹣）=﹣=﹣（2﹣）=﹣2+，tan（φ﹣θ）的值﹣2+，故选D．3. 椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，若P为两曲线的一个交点，则的面积为A．4 B．3C．2 D．1参考答案：D4. 点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A．7πB．14πC．D．参考答案：B【考点】LR：球内接多面体．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．5. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据(，)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是：，且，则实数a的值是A．B．C．D．参考答案：B6. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为( )cm2。

上海市奉贤区高三上学期数学一模试卷附解析

高三上学期数学一模试卷一、单项选择题1. ，，那么“ 〞是“ 〞的〔〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，那么为〔〕A. B. C. D.3.垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,那么点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 双曲线D. 抛物线4.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数为：当〔为正整数，是既约真分数〕时，当或或为上的无理数时. 、、a+b都是区间内的实数，那么以下不等式一定正确的选项是〔〕A. B.C. D.二、填空题5.椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，那么点到另一个焦点的距离为________.6.在展开式中，常数项为________.〔用数值表示〕7.假设实数满足，那么的最大值为________．8.复数的虚部是________.9.设集合，那么________.10.函数的图像关于直线对称，那么________.11.等差数列中，公差为，设是的前项之和，且，计算________.12.假设抛物线的准线与曲线只有一个交点，那么实数满足的条件是________.13.某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，那么其中种型号的产品有件.现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为________.14.对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值.设，，假设、的算术平均值是1，那么、的几何平均值〔是自然对数的底〕的最小值是________.15.在棱长为的正方体中，点分别是线段〔不包括端点〕上的动点，且线段平行于平面，那么四面体的体积的最大值是________.16. 是奇函数，定义域为，当时，〔〕，当函数有3个零点时，那么实数的取值范围是________.三、解答题17.如图，在四棱锥中，平面，且四边形为直角梯形，，，.〔1〕当四棱锥的体积为时，求异面直线与所成角的大小；〔2〕求证：平面.18.在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度〔单位：〕和燃料的质量〔单位：〕，火箭〔除燃料外〕的质量〔单位：〕满足〔为自然对数的底〕.〔1〕当燃料质量为火箭〔除燃料外〕质量的两倍时，求火箭的最大速度〔单位：〕结果精确到0.1〕；〔2〕当燃料质量为火箭〔除燃料外〕质量的多少倍时，火箭的最大速度可以到达〔结果精确到0.1〕.19.在① ；② ；③ 三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；假设问题中的三角形不存在，请说明理由. 问题：是否存在，它的内角、、的对边分别为、、，且，，_______.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.如图，曲线的方程是，其中、为曲线与轴的交点，点在点的左边，曲线与轴的交点为. ，，，的面积为.〔1〕过点作斜率为的直线交曲线于、两点〔异于点〕，点在第一象限，设点的横坐标为、的横坐标为，求证：是定值；〔2〕过点的直线与曲线有且仅有一个公共点，求直线的倾斜角范围；〔3〕过点作斜率为的直线交曲线于、两点〔异于点〕，点在第一象限，当时，求成立时的值.21.数列满足恒成立.〔1〕假设且，当成等差数列时，求的值；〔2〕假设且，当、时，求以及的通项公式；〔3〕假设，，，，设是的前项之和，求的最大值.答案解析局部一、单项选择题1.【答案】A【解析】【解答】假设，那么，那么成立，即充分性成立；反之，假设，那么，当时，，此时，故必要性不成立，所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论。

2023年上海市奉贤区高三上学期高考一模数学试卷含详解

2023届奉贤区高三一模考试数学试卷一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设{}{12},Z A x x B x x =-<<=∈∣∣，则A B = __________.2.已知()1i i 3ia a ∈+=+R ，，（i 为虚数单位），则=a __________.3.方程20x x c ++=的两个实数根为12,x x ，若2212213x x x x +=，则实数c =__________.4.已知等差数列{}n a 中，79415,1a a a +==，则12a 的值等于__________.5.己知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的渐近线方程为2y x =±，则它的离心率等于__________.6.若两个正数a b ､的几何平均值是1，则a 与b 的算术平均值的最小值是__________.7.在二项式11(1)x +的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.8.下表是1317-岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：cm ）.小明今年16岁，他的身高为176cm ，他所在城市男性同龄人约有6.4万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.1317-岁未成年人的身高的主要百分位数P1P5P10P25P50P75P90P95P991315-岁男141147151157164169174177182女1431471501531571611651671711617-岁男155160163167171175179181186女147150152155159163166169172数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：GB /T261582010-）.9.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.10.长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ，使得190∠= E C B ，则侧棱1AA 的长的最小值为__________.11.设0,0p q >>且满足()162025log log log p q p q ==+，则pq =__________.12.已知某商品的成本C 和产量q 满足关系50000200C q =+，该商品的销售单价p 和产量q 满足关系式21242005p q =-，则当产量q 等于__________时，利润最大.二､选择题（13-14每题4分，1516-每题5分，共18分）13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.y x =与11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭B.y x =与2y =C.y x =与ln e xy = D.y x =与y =14.紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：cm ），那么该壸的容积约接近于（）A.3100cm B.3200cm C.3300cm D.3400cm 15.下列结论不正确的是（）A.若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=B.若事件A 与B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋂=C.如果X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么[][][]D X Y D X D Y +=+D.若随机变量Y 的方差[]3D Y =，则[]2112D Y +=16.已知a ，b ，α，β∈R ，满足sin cos a αβ+=，cos sin b αβ+=，2204a b <+≤，有以下2个结论：①存在常数a ，对任意的实数b ∈R ，使得()sin αβ+的值是一个常数；②存在常数b ，对任意的实数a ∈R ，使得()cos αβ-的值是一个常数.下列说法正确的是（）A.结论①、②都成立B.结论①不成立、②成立C.结论①成立、②不成立D.结论①、②都不成立三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）17.已知()y f x =为奇函数，其中()()()cos 2,0,πf x x θθ=+∈.（1）求函数()y f x =的最小正周期和()f x 的表达式；（2）若4π,,π252f αα⎛⎫⎛⎫=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18.如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.（1）求证：AD ⊥平面BEC ；（2）已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.19.某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯（注：2hm 是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：观测年份该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数19982000199940002000600120017999200210001请根据上表所给的信息进行估计.（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积28000hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于52810hm ?⨯20.已知椭圆C 的中心在原点O ，且它的一个焦点F 为).点12,A A 分别是椭圆的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点，OFB △的面积为32.点M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若把直线12,MA MA 的斜率分别记作12,k k ，若1234k k +=-，求点M 的坐标；（3）设直线1MA 与y 轴交于点P ，直线2MA 与y 轴交于点Q .令PB BQ λ=，求实数λ的取值范围.21.已知函数()(),y f x y g x ==,其中()()21,ln f x g x x x==.（1）求函数()y g x =在点()()1,1g 的切线方程;（2）函数()()2,R,0y mf x g x m m =+∈≠是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;（3）若关于x 的不等式()()af x g x a +≥在区间(]0,1上恒成立,求实数a 的取值范围.2023届奉贤区高三一模考试数学试卷一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设{}{12},Z A x x B x x =-<<=∈∣∣，则A B = __________.【答案】{}0,1##{}1,0【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，集合B 的元素是整数，所以{}0,1A B = .故答案为：{}0,12.已知()1i i 3i a a ∈+=+R ，，（i 为虚数单位），则=a __________.【答案】3-【分析】两个复数相等，则实部和虚部分别相等.【详解】因为()1i i i 3i a a +=-=+，又a ∈R ,所以3a -=，即3a =-.故答案为：3-.3.方程20x x c ++=的两个实数根为12,x x ，若2212213x x x x +=，则实数c =__________.【答案】3-【分析】根据韦达定理求解即可.【详解】20x x c ++=，121x x +=-，12x x c =.()11211222223x x x x x x c x x ==-+=+，解得3c =-.故答案为：3-4.已知等差数列{}n a 中，79415,1a a a +==，则12a 的值等于__________.【答案】14【分析】利用等差数列的通项公式求出1a ，d ，便可求得12a .【详解】解：由题意得：{}n a 等差数列，所以设等差数列的首项为：1a ，公差为：d又7915a a += ，41a =1113121415831138a a d a d d ⎧=-⎪+=⎧⎪∴⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩112311*********a a d ∴=+=-+⨯=故答案为：145.己知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的渐近线方程为2y x =±，则它的离心率等于__________.【答案】【分析】利用双曲线的性质和,,a b c 之间的关系即可求得离心率.【详解】由已知双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±所以2b a =，故22224b a c a ==-所以225c a =，故2225c e a==所以离心率e =6.若两个正数a b ､的几何平均值是1，则a 与b 的算术平均值的最小值是__________.【答案】1【分析】根据基本不等式和几何平均数、算数平均数的概念判断即可.【详解】根据基本不等式可得12a b+≥=，所以a 与b 的算数平均数的最小值为1.故答案为：1.7.在二项式11(1)x +的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.【答案】462【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后利用二项式系数的性质可求得结果.【详解】二项式11(1)x +的展开式的通项公式为11111C rrr T x-+=，所以当=5r 或6r =时，其系数最大，则最大系数为561111C C 462==，故答案为：462.8.下表是1317-岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：cm ）.小明今年16岁，他的身高为176cm ，他所在城市男性同龄人约有6.4万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.1317-岁未成年人的身高的主要百分位数P1P5P10P25P50P75P90P95P991315-岁男141147151157164169174177182女1431471501531571611651671711617-岁男155160163167171175179181186女147150152155159163166169172数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：GB /T261582010-）.【答案】4.8【分析】由百分位数估算出身高低于小明的男性同龄人所占比例，再乘男性同龄人总人数即可.【详解】小明今年16岁，从表中可以得出，1617-岁男性身高的主要百分位数中，P75175cm =，P90179cm =，小明的身高为176cm ，介于P75和P90之间，说明至少有75%的男性同龄人身高低于小明，∵小明所在城市男性同龄人约有6.4万人，∴小明的身高至少高于6.475% 4.8⨯=（万人）.故答案为：4.8.9.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.【答案】635【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．10.长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ，使得190∠=E C B ，则侧棱1AA 的长的最小值为__________.【答案】2【分析】根据190∠=E C B ，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解.【详解】设[]11,,,0,,AA h AE x A E h x x h ===-∈222222222111,(),1.BE x C E h x BC h =+=+-=+又因为190∠=E C B ，所以22211,BE C E BC +=即2222221()1,x h x h +++-=+化简得210x hx -+=，即关于x 的方程[]210,0,x hx x h -+=∈有解，当0x =时，不符合题意，当0x >时，所以12h x x =+≥，当且仅当1x x=，即1x =时取得等号，所以侧棱1AA 的长的最小值为2，故答案为:2.11.设0,0p q >>且满足()162025log log log p q p q ==+，则pq=__________.【分析】令()162025log log log p q p q k ==+=，则45kk p q =，根据()()224455k k k k p q +=+⋅=即可求解．【详解】令()162025log log log p q p q k ==+=，则16,20,25k k kp q p q ==+=所以()()224455k k k k p q +=+⋅=，整理得()2224454415555k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得45152k k =，所以16412052k k k k p q -===12.已知某商品的成本C 和产量q 满足关系50000200C q =+，该商品的销售单价p 和产量q 满足关系式21242005p q =-，则当产量q 等于__________时，利润最大.【答案】200【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解.【详解】由题意可知，设利润为()f q ，则()()2311()24200500002002400050000055f q q q q q q q ⎛⎫=--+=-+-≥ ⎪⎝⎭，而23()240005f q q '=-+，当()0f q '>时，0200q <<，()0f q '<时，200q >，即()f q 在()0200，单调递增，()200+∞，单调递减，所以200q =时，利润最大.故答案为：200二､选择题（13-14每题4分，1516-每题5分，共18分）13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.y x =与11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭B.y x =与2y =C.y x =与ln e x y = D.y x =与y =【答案】D【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，函数y x =的定义域为R ；函数11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为{}|0x x ≠，不是相同函数.B 选项，函数y x =的定义域为R；函数2y =的定义域为{}|0x x ≥，不是相同函数.C 选项，函数y x =的定义域为R ；函数ln e x y =的定义域为{}|0x x >，不是相同函数.D 选项，由于y x ==，所以y x =与y =的定义域、值域都为R ，对应关系也相同，所以y x =与y =是相同函数.故选：D14.紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：cm ），那么该壸的容积约接近于（）A.3100cmB.3200cm C.3300cm D.3400cm 【答案】B【分析】根据圆台的体积公式计算即可．【详解】解：设R 为圆台下底面圆半径，r 为上底面圆半径，高为h ，则5R =，3r =，4h =，()221π3V h R Rr r ∴=++圆台()()31196ππ425159200cm 33=⨯⋅++=≈，故选：B ．15.下列结论不正确的是（）A.若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=B.若事件A 与B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋂=C.如果X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么[][][]D X Y D X D Y +=+D.若随机变量Y 的方差[]3D Y =，则[]2112D Y +=【答案】A【分析】由已知，选项A ，根据事件A 与B 互斥，可知()()()P A B P A P B =+ ；选项B ，根据事件A 与B 相互独立，可知()()()P A B P A P B ⋂=；选项C ，根据X Y ､分别是两个独立的随机变量，可得[][][]D X Y D X D Y +=+；选项D ，由[]3D Y =，可得[][]221212D Y D Y +=⨯=，即可作出判断.【详解】由已知，选项A ，若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ ，故该选项错误；选项B ，若事件A 与B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋂=，故该选项正确；选项C ，若X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么[][][]D X Y D X D Y +=+，故该选项正确；选项D ，若随机变量Y 的方差[]3D Y =，则[][]22124312D Y D Y +=⨯=⨯=，故该选项正确；故选：A.16.已知a ，b ，α，β∈R ，满足sin cos a αβ+=，cos sin b αβ+=，2204a b <+≤，有以下2个结论：①存在常数a ，对任意的实数b ∈R ，使得()sin αβ+的值是一个常数；②存在常数b ，对任意的实数a ∈R ，使得()cos αβ-的值是一个常数.下列说法正确的是（）A.结论①、②都成立B.结论①不成立、②成立C.结论①成立、②不成立D.结论①、②都不成立【答案】B【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将()sin αβ+和()cos αβ-用a ，b 表示即可.【详解】对于结论①，∵sin cos a αβ+=，cos sin b αβ+=，∴222sin 2sin cos cos a ααββ=++，222cos 2cos sin sin b ααββ=++，∴()2222sin cos 2cos sin 22sin a b αβαβαβ+=++=++，∴()222sin 2a b αβ+-+=，∴当a 为常数，b ∈R 时，()222sin 2a b αβ+-+=不是一个常数，故结论①不成立；对于结论②，方法一：∵()()sin cos cos sin ab αβαβ=++sin cos sin sin cos cos sin cos αααβαβββ=+++()cos sin cos sin cos αβααββ=-++又∵()()sin cos αβαβ+-()()sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ=++2222sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin ααβαββαββααβ=+++()()2222sin cos sin cos sin cos sin cos ββααααββ=+++sin cos sin cos ααββ=+∴()cos sin cos sin cos ab αβααββ=-++()()()cos sin cos αβαβαβ=-++-()()22cos cos 22a b αβαβ+-=-+-化简得()222cos ab a b αβ-=+，∴存在常数0b =，对任意的实数a ∈R ，使得()cos 0αβ-=，故结论②成立.方法二：（特值法）当π2αβ=+时，cos sin cos sin sin π2sin 0b βαββββ +⎛⎫=+=+=-+=⎪⎝⎭，∴π2αβ-=，∴()cos cos 0π2αβ-==.∴存在常数0b =，对任意的实数a ∈R ，使得()cos 0αβ-=，故结论②成立.故选：B.【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）17.已知()y f x =为奇函数，其中()()()cos 2,0,πf x x θθ=+∈.（1）求函数()y f x =的最小正周期和()f x 的表达式；（2）若4π,,π252f αα⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）π，()sin2f x x=-（2）410-【分析】（1）根据2cos2cos 0x θ=列关于θ的等式，即可求出解析式，得到周期；（2）根据4,,252f απαπ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出4sin 5α=，与cos α然后再求解.【小问1详解】因为()y f x =为奇函数，所以()()0f x f x +-=，化简得到求出2cos2cos 0x θ=()0,πθ∈，所以π2θ=()sin2f x x =-，最小正周期是π；【小问2详解】若44,sin 255f αα⎛⎫=-∴= ⎪⎝⎭π3,π,cos 25αα⎛⎫∈∴=- ⎪⎝⎭所以πππ433sin sin cos cos sin 33310ααα-⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭18.如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.（1）求证：AD ⊥平面BEC ；（2）已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，31717【分析】（1）根据三线合一，线面垂直判定定理解决即可；（2）取BC 的中点F ，由BDE CDE ≅△△，得EFBC ⊥，得DEF ∠是二面角D BC E --的平面角，再由勾股定理，余弦定理，直角三角形特点解决即可.【小问1详解】,AB BD E = 是AD 中点，BE AD∴⊥又,AC CD E = 是AD 中点，CE AD∴⊥,BE CE E BE CE =⊂，Q I 面BEC所以AD ⊥面BEC【小问2详解】由题知，5BA BD CA CD ====，9arccos,625BDC AD ∠==，取BC 的中点F ，连接,EF DF ，,DB DC DF BC =∴⊥ ,根据三角形全等证明方法,可以证明,BDE CDE EB EC ≅∴= ,EF BC ∴⊥,所以DFE ∠是二面角D BC E --的平面角，利用勾股定理计算出4,BE =,由余弦定理得225259cos 25525BC BDC +-∠==⨯⨯，解得BC =所以DF ==EF ==所以222EF DE DF +=，所以Rt DEF △中，sin17DE DFE DF ∠===.19.某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯（注：2hm 是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：观测年份该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数19982000199940002000600120017999200210001请根据上表所给的信息进行估计.（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积28000hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于52810hm ?⨯【答案】（1）529.4610hm ⨯（2）到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于52810hm ⨯【分析】(1)从增加数看,数字稳定在2000附近,所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列.求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式,首项可以选2002年的增加数.列出经过n 年后的沙漠面积,再根据已知列出不等式.（2）设在2002年的基础上,再经过n 年,该地区的沙漠面积将小于52810hm ⨯,列出不等式能求出结果.【小问1详解】从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约22000hm ，假设n a 表示n 年底新增沙漠面积，那么到2020年底新增沙漠面积约()42202020021810000182000 4.610hm a a d =+≈+⨯=⨯，到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成5452910 4.6109.4610hm ⨯+⨯=⨯.【小问2详解】以2003年年底为第一年，设x 年年底后这个地区的沙漠面积小于52810hm ⨯,54591011020008000810x x ⨯+⨯+-<⨯,化简得18.3x >,所以到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于52810hm ⨯.20.已知椭圆C 的中心在原点O ，且它的一个焦点F为).点12,A A 分别是椭圆的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点，OFB △的面积为32.点M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若把直线12,MA MA 的斜率分别记作12,k k ，若1234k k +=-，求点M 的坐标；（3）设直线1MA 与y 轴交于点P ，直线2MA 与y 轴交于点Q .令PB BQ λ= ，求实数λ的取值范围.【答案】（1）22141x y +=（2）64,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）()0,1λ∈【分析】（1）根据焦点坐标、三角形面积、223a b -=就是可得答案；（2）设()()000,,02<<M x y x ，利用点M 在椭圆上和1234k k +=-可求出点M 坐标；（3）求出直线1MA 、直线2MA 的方程可得P Q 、点坐标及, PB BQ ，利用PB BQ λ= 得到121221λ-=--k k ，再由1214k k =-可得12λ=k，即1=k ，利用0x 的范围可得答案.【小问1详解】223213122a b a bc b c ⎧-=⎪=⎧⎪=∴⎨⎨=⎩⎪⎪=⎩，所以椭圆标准方程为2214x y +=；【小问2详解】设()00,M x y ，()()122,0,2,0A A -，2200000000143,2240,0x y y y x x x y ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎨+-⎪⎪>>⎪⎩得到006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以64,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问3详解】因为点M 是椭圆C 上在第一象限内的点，所以002x <<，直线1MA 的方程为()()1120,2y k x P k =+∴，直线2MA 的方程为()()2220,2y k x Q k =-∴-，所以()()120,12,0,21PB k BQ k =-=-- ，λ= PB BQ ，121221k k λ-∴=--，200012200012244y y y k k x x x =⋅==-+-- ，1111221214k k k λ-∴==-⨯--，()010000,22y k x x ===∈+ ，()041,22x ∴∈+，则110,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1λ∴∈.21.已知函数()(),y f x y g x ==,其中()()21,ln f x g x x x ==.（1）求函数()y g x =在点()()1,1g 的切线方程;（2）函数()()2,R,0y mf x g x m m =+∈≠是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;（3）若关于x 的不等式()()af x g x a +≥在区间(]0,1上恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）10x y --=（2）0m <,不存在极值点;0m >,存在一个极小值点x =无极大值点（3）12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】(1)对()y g x =求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;(2)令()()()2H x mf x g x =+,对()H x 进行求导,再讨论0m <及0m >时导函数的正负及极值点即可;(3)将()(),f x g x 代入,先讨论1x =时a 的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a 的取值范围.【小问1详解】解:由题知()ln ,g x x = ()1g x x'∴=,()10,g =()1111k g ∴===',所以在点()()1,1g 的切线方程为()01y x -=-,即10x y --=;【小问2详解】设()()()222ln m H x mf x g x x x =+=+,定义域()0,∞+,()2332222m x m H x x x x -∴=-+=',当0m <时,()0H x '>恒成立,所以()()()2H x mf x g x =+在()0,∞+单调递增,所以不存在极值点,当0m >时,令()0,H x x ='∴=，当x >时,()0H x '>，当0x <<时,()0H x '<，所以()()()2H x mf x g x =+在(单调递减,在)+∞单调递增,所以函数存在一个极小值点x =无极大值点,综上:0m <时,不存在极值点,0m >时,存在一个极小值点x =无极大值点;【小问3详解】由题知原不等式()()af x g x a +≥,可化为211ln 0a x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,当1x =时,R a ∈恒成立,当()0,1x ∈时2ln 11xa x -≥-,即2ln 11x a x≥-,由(2)知()()221ln N x x x =+在1x =有最小值()11N =,所以()2211ln x x -≤,()0,1x ∈ ,2110x ∴-<,()2211<ln 0x x ∴-<,()22ln 111x x ∴<-,即2ln 1121x x<-,2ln 11x a x≥- ,12a ∴≥,综上:12a a ⎧⎫≥⎨⎩⎭.【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:(1)若x D ∀∈，()f x a ≥恒成立，则只需()min f x a ≥;(2)若x D ∃∈，()f x a ≥恒成立，则只需()max f x a ≥;(3)若x D ∀∈，()f x a ≤恒成立，则只需()max f x a ≤;(4)若x D ∃∈，()f x a ≤恒成立，则只需()min f x a ≤;(5)若12,x A x B ∀∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max min f x g x ≤;(6)若12,x A x B ∀∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max max f x g x ≤;(7)若12,x A x B ∃∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min min f x g x ≤;(8)若12,x A x B ∃∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min max f x g x ≤.。

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上海市奉贤区 2011届高三摸底测试数学试题（文）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设全集U ={a 、b 、c 、d 、e}，集合A={a 、b}，B={b 、c 、d}，则A∩C U B=________． 2．已知f （x ）112+-=x x ，则)3(1-f ＝____________．3．等差数列{a n }中，a 5+a 8+ a 11+ a 14+ a 17=50，则S 21= ．4．向量、满足||=2，||=3，且|+|=7，则．= ．5．现有形状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是．6．方程2cos2x = 1的解是．78．设方程x –2x+m=0的两个根为α、β，且|α–β|=2，则实数m 的值是． 9．圆（x+2）2+（y –1）2 = 5关于原点对称的圆的方程为． 10．给出下列命题：（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；（2）实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；（3）实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；（4）1)4142(lim =-+∞→nn n n ；（5）首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =qq a n --1)1(1．其中正确命题的序号是．11．若点),(y x P 满足不等式组：,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 则目标函数K=6x+8y 的最大值是．12．若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n+1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有k 个k ，则a 2008= ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．下列函数图象中，正确的是（）A B C D14．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上的一点P （m ，－2）到焦点距离为4，则m 的值为（） A ．－2 B ．2或－2 C ．4 D ．4或－4 15．若12)21(lim +∞→+n n rr 存在，则r 的取值范围是（）A ．r ≥–31或r ≤－1B ．r>－31或r<－1C ．r>－31或r ≤－1D ．－1≤ r ≤－3116．异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有n 条直线与a ，b 所成的角相等且等于45°，则n 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分12分）解不等式：)22(log )2(log 222->--x x x ．18．（本小题满分12分）已知απαααααsin ),2,0(,12cos cos 2sin 2sin 2求=-+、αtan 的值．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各5分）已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外一点P ，PD ⊥平面ABCD ，PD=8，（1）连接PB 、AC ，证明：PB ⊥ AC ；（2）求PB 与平面ABCD 所成的角的大小；（3）求点D 到平面PAC 的距离．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。

第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种．根据上述条件，试问：（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设有抛物线C ：y= –x 2+29x –4，通过原点O 作C 的切线y=mx ，使切点P 在第一象限．（1）求m 的值，以及P 的坐标；（2）过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q ；（3）设C 上有一点R ，其横坐标为t ，为使∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，试求t 的取值范围．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）由函数y=f （x ）确定数列{a n }，a n =f （n ），函数y=f （x ）的反函数y=f –1（x ）能确定数列{b n }，b n = f –1（n ），若对于任意n ∈N *，都有b n =a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”．（1）若函数f （x ）=11++x px 确定数列{a n }的自反数列为{b n }，求a n ；（2）在（1）条件下，记nx x x n 11121 ++为正数数列{x n }的调和平均数，若d n =112-+n a ，S n 为数列{d n }的前n 项之和，H n 为数列{S n }的调和平均数，求nH nn ∞→lim；（3）已知正数数列{c n }的前n 项之和).(21nn n c nc T += 求T n 表达式．参考答案一、填空题1．{a} 2．－4 3．210 4．－3 5．0．5 6．x=k π6π±k ∈Z 7．198．2 9．（x －2）2+ （y+1）2= 5 10．（2）、（4） 11．40 12．63二、选择题13．C 14．D 15．A 16．B三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．解：原不等式变形为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--222010222x x x x x x ……………………………………4分⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-03,01,0)1)(2(2x x x x x …………………………………………8分⎩⎨⎧<<>30,2x x ，所以x>3………………………………………12分 18．解：由,12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα…………………………3分0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα.0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα………………………………………6分因为,0cos ,01sin ),2,0(≠≠+∈ααπα且所以所以2sin α－1=0，即sin α=21……………………………………………9分所以33tan ,6==απα即…………………………………………………12分 19．（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，在正方形ABCD 中，AC ⊥ BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以，PD ⊥AC ，……………………………………2分所以AC ⊥平面PBD ，故PB ⊥ A C ．……………………………………4分（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，则∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，………6分在∆PBD 中，PD=8，BD=62所以 tan ∠PBD =322∠APO=arctan 322…………………………8分PB 与平面ABCD 所成的角的大小为arctan322……………………………………9分（3）解：连接PC ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，……………………………10分则有V D –PAC =V P –ACD ，即：31⨯ S ∆PAC ⨯ h =61⨯PD ⨯AD ⨯DC ………………………12分在∆PAC 中，连结PO ，显然PO ⊥AC ，PO=82h =414124 所以点D 到平面PAC 的距离为414124……………………………………14分 20．解：（1）第10年末，依第一方案得 1000+2000+…+10000=55000（元）……………………………………2分依第二方案得300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元）………………4分 ∵63000－55000=8000（元） ∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元．…………6分（2）第n 年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+…+n ）=500n （n+1）（元）……8分依第二方案，得：a （1+2+3+…+2n ）=an （2n+1）……………………………………10分由题意an （2n+1）>500n （n+1）对所有正整数恒成立…………………………12分即a>3100032502501225025012)1(500=+≥++=++n n n ．∴当a>31000时，总是第二方案加薪多．……………………………………14分21．解：设点P 的坐标为（x 1， y 1），则y 1=kx 1……①，y 1= –21x +29x 1 – 4……②， ①代入②，得：21x +（k –29）x 1+4=0……………………………………2分因为点P 为切点，所以（k –29）2–16=0，得：k=217或k=21……………………4分当k=217时x 1= –2，y 1=－17；当k=21时，x 1= 2，y 1= 1；因为点P 在第一象限，故所求的斜率k=21，P 的坐标为（2，1），……………6分（2）过 P 点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：x 2－213x+9=0，设Q 点的坐标为（x 2， y 2），则2x 2=9，所以x 2=29，y 2= －4，所以Q 点的坐标为（29，－4），……………………………………10分（3）设C 上有一点R （t ，－t 2+29t －4），它到直线PQ 的距离为：d=5|5)429(2|2--+-+t t t =5|9213|2+-t t ……………………………………12分点O 到直线PQ 的距离PO =5，S ∆OPQ =21⨯PQ ⨯OP ，S ∆PQR =21⨯PQ ⨯d ，因为∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，S ∆OPQ < S ∆PQR ，即：OP < d ，即：|9213|2+-t t >5，……………………………………14分t t 2132-+4>0或t t 2132-+14<0解之得：t<410513-或t>410513+ 所以t 的取值范围为t<410513-或t>410513+．……………………………16分 22．解：（1）由题意的：f –1（x ）=px x--1= f （x ）=11++x px ，所以p =－1，…………2分所以a n =11++-n n ………………………………………………………………………3分（2）a n =11++-n n ，n a d n n =-+=112，…………………………………………4分 n S 为数列{d n }的前n 项和，2)1(+=n n S n ，……………………………………5分又H n 为数列{S n }的调和平均数，所以2)1()1(232221211121+=+++⨯+⨯=++=n n n nS S S n H nn ………8分2121lim lim=+=∞→→n n n H n n n ………………………………………………………10分（3）因为正数数列{c n }的前n 项之和).(21nn n c nc T +=所以),(21111c nc c +=解之得：c 1=1，T 1=1……………………………………11分当,2,,2111----+-=-=≥n n n n n n n n T T nT T T T T c n 所以时n T T T T nT T n n n n n n =--=+---21211,即……………………………………14分所以，,2,,2,1212223222221=--=--=-----T T n T T n T T n n n n 累加得：,432212n T T n ++++=- ………………………………………………16分2)1(,2)1(43212+=+=+++++=n n T n n n T n n …………………18分。