二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法

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中小学 1 对 1 课外辅导专家知识梳理 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线 y=0(即 x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个公共点(x1，0)(x2，0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根△ =b2-4ac>0。

(2)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=h 的公共点情况方程 ax2+bx+c=h 的根的情况。

抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n 的根的情况。

2.二次函数解析式求法新课讲解例 1、二次函数与一元二次方程1、抛物线 y ? 2x ? 8 ? 3x2 与 x 轴有个交点，因为其判别式 b2 ? 4ac ?0，相应二次方程 3x2 ? 2x ? 8 ? 0的根的情况为．2、函数 y ? mx2 ? x ? 2m （ m 是常数）的图像与 x 轴的交点个数为（）A．0 个B．1 个C．2 个D．1 个或 2 个3、关于二次函数 y ? ax2 ? bx ?

c 的图像有下列命题：①当 c ? 0 时，函数的图像经过原点；②当 c ?

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0 ，且函数的图像开口向下时，方程 ax2 ? bx ? c ? 0 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 4ac ? b2 ；④当 b ? 0 时， 4a1

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 函数的图像关于 y 轴对称．其中正确命题的个数是（）Ａ．1 个Ｂ．2 个Ｃ．3 个Ｄ．4 个4、已知函数 y ? x2 ? mx ? m ? 2 ．（1）求证：不论 m 为何实数，此二次函数的图像与 x 轴都有两个不同交点；（2）若函数 y 有最小值 ? 5 ，求函数表达式．4中小学 1 对 1 课外辅导专家例 2 二次函数解析式1.已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A （ 3 ，0），B（ 2 3 ，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2.已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1），求抛物线的解析式。

3.已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线 y= 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。

24.抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

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中小学 1 对 1 课外辅导专家5.抛物线 y ? ?x 2 ? x ? 3 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.6.抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。

1、 2、 3、 4、 5、7.抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。

8.已知直线 y=ax-a2(a≠0) 与抛物线 y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。

1、2、3、4、9.已知关于X 的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。

10.已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式。

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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 中小学 1 对 1 课外辅导专家 11.已知抛物线 y=(m+1)x2+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

课堂练习1.下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）． A.只有①②③ B．只有①③④C．只有①④D．只有②2.在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且．（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．4

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课堂总结中小学 1 对 1 课外辅导专家作业布置1.不论x为何值，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件（）。

A.a＞0，b2-4ac＜0 B .a＞0，b2-4ac＞0 C. a＜0，b2-4ac＜0 D. a＜0，b2-4ac＞02.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=1，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）。

3.已知二次函数y=-x2+（3-k）x+2k-1的图像与y轴的交点位于（0,1）的上方，则k的取值范围（）。

6．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是个．4. y=x2＋（1－a） x＋ 1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤ x≤3时， y在 x＝1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（）。

A．a=5B．a≥5C．a＝3D．a≥35.已知抛物线 y=ax2+bx+c，经过 A(4，－2),B(12,－2)两点，那么它的对称轴是（）A.直线 x=7B.直线 x=8C.直线 x=9D.无法确定6.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．7.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣2，0），点B在x轴的5