高中数学第7章解析几何初步7.3直线与圆的位置关系教案湘教版必修3
高中数学第7章解析几何初步7.3.3.1直线与圆的位置关系学案湘教版必修3
第1课时直线与圆的位置关系[学习目标]1．理解直线和圆的三种位置关系．2．会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．[知识链接]1．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，直线恒过定点(x0，y0)．2．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．(其中D2＋E2－4F>0)3．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d[预习导引]直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断要点一直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点； (3)没有公共点？解 法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0时，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0时，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， ∴圆心为C (2，1)，半径r ＝2.圆心C (2，1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2. 当d <2时，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2时，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2时，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．规律方法 直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性． 跟踪演练1 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 答案 A解析 将点P (3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3，0)在圆内．∴过点P 的直线l 必与圆C 相交． 要点二 圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程． 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －3－4k ＝0. 因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1. 解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3，1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.规律方法 1.求过一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．2．一般地圆的切线问题，若已知切点，则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若不知切点，则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式． 跟踪演练2 求过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．解 因为12＋(－7)2＝50＞25，所以点(1，－7)在圆外．由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)， 即kx －y －k －7＝0. ∴|－k －7|k 2＋1＝5.解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0. 要点三 圆的弦长问题例3 求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长．解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0， 得交点A (1，3)，B (2，0)，∴弦AB 的长为|AB |＝（2－1）2＋（0－3）2＝10.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，消去y 得x 2－3x ＋2＝0.设两交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝2. ∴|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（x 2－x 1）2＋[－3x 2＋6－（－3x 1＋6）]2＝（1＋32）（x 2－x 1）2＝10[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝10×（32－4×2）＝10， 即弦AB 的长为10.法三 圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5，其圆心坐标(0，1)，半径r ＝5， 点(0，1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102， 所以半弦长为|AB |2＝r 2－d 2＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝102， 所以弦长|AB |＝10.规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中k 为直线l 的斜率．跟踪演练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6答案 C 解析圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C (1，2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连结CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP 中，|AP |＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心答案 D解析 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|3×1＋4×（－1）＋12|32＋42＝115<r ，又3×1＋4×(－1)＋12≠0，故选D.2．直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为( ) A ．0或2 B ．2 C. 2 D ．无解答案 B解析 由圆心到直线的距离d ＝|m |2＝m ，解得m ＝2.3．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则 |AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 D解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0，0)， 则|AB |＝2.4．由点P (1，3)引圆x 2＋y 2＝9的切线的长是________． 答案 1解析 点P 到圆心O 的距离为|PO |＝10，又∵r ＝3， ∴切线长为10－9＝1.5．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 答案 2x －y ＝0解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，故圆的半径为1，圆心为(1，2)．因为弦长为2，所以所求直线过圆心(1，2)，又所求直线过原点，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．2．一般地，在解决直线和圆相交问题时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|. 3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．一、基础达标1．以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9答案 C解析根据题意知点(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离与半径长相等，所以r＝|6＋4＋5|＝3，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.32＋（－4）22．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为( )A．2＋ 2 B．2－ 2C. 2 D．0答案 A解析圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝2，∴所求最大距离为2＋ 2.3．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是( )A．相离B．相切或相交C．相交D．相切答案 C解析l过定点A(1，1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上．∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1答案 C解析 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为3，所以圆心到直线的距离为1，即|a －2＋3|2＝1，解得a ＝±2－1，因为a >0所以a ＝2－1.故选C.5．已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－12B ．1C ．2 D.12答案 C解析 由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2，2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a |1＋a2＝5，解得a ＝2.6．以点P (－4，3)为圆心的圆与直线l ：2x ＋y －5＝0相离，则圆的半径r 的取值范围是________． 答案 (0，25)解析 P 点到直线l 的距离d ＝|2×（－4）＋3－5|22＋1＝ 25，若满足以P 点为圆心的圆与直线l 相离，则0<r <2 5.7．求实数m 的取值范围，使直线x －my ＋3＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离．解 圆的方程化为标准式为(x －3)2＋y 2＝4， 故圆心(3，0)到直线x －my ＋3＝0的距离d ＝6m 2＋1，圆的半径r ＝2. (1)若相交，则d <r ，即6m 2＋1<2，所以m <－22或m >22；(2)若相切，则d ＝r ，即6m 2＋1＝2， 所以m ＝±22； (3)若相离，则d >r ，即6m 2＋1>2，所以－22<m <2 2. 二、能力提升8．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C解析 由圆的方程知圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意．9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 答案 A 解析设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1.∴|3k －2＋3|k 2＋（－1）2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1.∴－34≤k ≤0.10．直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________． 答案 [1，2) 解析如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，半径长度为1的半圆，y ＝x ＋b 是一组斜率为1的直线系，要使直线与半圆有两个交点，连结A (－1，0)和B (0，1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2)．11．(1)直线2x ＋y －5＝0与圆C 切于点(2，1)，且直线2x ＋y ＋15＝0也与圆C 相切，求圆C 的方程；(2)已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 被圆C 截得的弦长为27，求圆C 的方程．解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. ∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， ∴2r ＝|15－（－5）|22＋12＝45， ∴r ＝25，∴|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10，① |2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10，② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴b －1a －2＝12，③ 由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. (2)设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |， ∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2， ∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 三、探究与创新12．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程．(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 所以l 恒过定点A (3，1)．因为圆心为C (1，2)，所以|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点．(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3，1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最小值．解 方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0可化为(x －2)2＋y 2＝(3)2，故方程表示圆心为(2，0)，半径r ＝3的圆．(1)y x 的几何意义是：圆上的点P (x ，y )与(0，0)点连线的斜率．设y x＝k ，则直线y ＝kx ，即kx －y ＝0与圆相切时，k 取最值． 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝± 3. ∴y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)令y －x ＝b .易知，直线x －y ＋b ＝0与圆相切时b 取最值，由|2＋b |2＝3知，b ＝－2± 6.∴y－x的最小值为－2－ 6.。
高中数学第7章解析几何初步7.3.1圆的标准方程学案湘教版必修3
7．3.1 圆的标准方程[学习目标]1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2．会根据已知条件求圆的标准方程． 3．能准确判断点与圆的位置关系． [知识链接]1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．3．平面上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式|AB | [预习导引] 1．圆的定义圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合，这个固定的点就是圆心．这个固定的长度就是半径．2．定理4：圆心为点(a ，b )、半径为r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，称之为圆的标准方程．3．圆心在原点(0，0)，半径为r 的圆的方程为x 2＋y 2＝r 2． 4．点与圆的位置关系设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置有如表所示的对应关系.要点一 点与圆的位置关系例1 已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． 解 由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 规律方法 判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： ①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内， ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上， ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外．跟踪演练1 点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定答案 A解析 把点P (m 2，5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外． 要点二 求圆的标准方程例2 求过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程． 解 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a ，2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2， 解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1，1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二 由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.规律方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．跟踪演练2 以两点A (－3，－1)和B (5，5)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25答案 D解析 ∵线段AB 的中点坐标为(1，2)， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为(1，2)， 半径r ＝12（5＋3）2＋（5＋1）2＝5.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 要点三 圆的方程的综合应用例3 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1，0)，B (5，0)， (1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值． 解 (1)由已知，得C (3，0)，r ＝|AB |2＝2， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4. (2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.规律方法 解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题．跟踪演练3 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|PA |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值． 解 设P (x ，y )，则d ＝|PA |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2. ∵|CO |2＝32＋42＝25，∴|CO |＝5， ∴(5－1)2≤x 2＋y 2≤(5＋1)2，即16≤x 2＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74.1．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2的圆心和半径分别是( ) A ．(－2，3)，1 B ．(2，－3)，3 C ．(－2，3)， 2 D ．(2，－3)， 2答案 D解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2. 2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝8 D ．x 2＋y 2＝ 2答案 B解析 以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x 2＋y 2＝4.3．已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________． 答案 5解析 C 1圆心为(5，3)，C 2圆心为(2，－1)，则d ＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5. 4．圆的直径端点为A (2，0)，B (2，－2)，则此圆的标准方程为____． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 圆心C (2，－1)，半径r ＝12（2－2）2＋（0＋2）2＝1，∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．点(1，1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，则圆的方程是________． 答案 (x ＋2)2＋y 2＝10解析 因为点(1，1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，故(1＋2)2＋12＝m ，∴m ＝10，即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷.一、基础达标1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案 D解析由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.2．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为( )A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25答案 A解析由题意，圆的半径r＝（0－3）2＋（4－0）2＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25. 3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4答案 A解析已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.4．若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )A．|a|<55B．|a|<1C．|a|≤55D．|a|≤1答案 D解析由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.∴a2≤1，∴|a|≤1.5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________．答案x2＋(y－2)2＝1解析 设圆心(0，b )，则圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝1， 把(1，2)代入得12＋(2－b )2＝1，∴b ＝2. ∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.6．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则（x －1）2＋（y －1）2的最大值为________． 答案 1＋ 2 解析（x －1）2＋（y －1）2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1，1)的距离，因此其最大值为圆心(0，0)到点(1，1)的距离加半径，即为2＋1. 7．已知直线l 与圆C 相交于点P (1，0)和点Q (0，1)． (1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程． 解 (1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0，PQ 中点M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在直线过点M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，且斜率为1， 所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1.由圆过P ，Q 点得：⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋b 2＝1，a 2＋（1－b ）2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1. 二、能力提升8．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝（2－0）2＋（－3－0）2＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.9．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3 D. 2答案 B解析 由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1. 10．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：A (－1，－3)，B (3，0)，C (－3，0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.11．求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的标准方程． 解 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线l ：x －2y －3＝0上， ∴可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2.∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二 设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 三、探究与创新12．平面直角坐标系中有A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)，D (－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 解 能．设过A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1，2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上．13．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值；(2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求（x －2）2＋（y －3）2的取值范围．解 (1)法一如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x最大，过圆心A (2，0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt△ABO 中，OA ＝2，AB ＝ 3. ∴切线l 的倾斜角为60°， ∴y x的最大值为 3.类似地容易求得y x的最小值为－ 3. 法二 令y x＝n ，则y ＝nx ，与(x －2)2＋y 2＝3 联立消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0， Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3， ∴－3≤n ≤3，即y x的最大值、最小值分别为3，－ 3. (2)（x －2）2＋（y －3）2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2，3)的距离．圆心C (0，1)到A (2，3)的距离为d ＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12. 所以（x －2）2＋（y －3）2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12.。
高中数学第7章解析几何初步7.3圆与圆的位置关系教案湘教版必修3
观性，利用平面直角坐标系的两点 间距离公式寻求解题的途径．
6．如何判断两个圆的位置关
从具体到一
师：对于两个圆的方程，我们
系呢？
般地总结判断两
应当如何判断它们的位置关系呢？
个圆的位置关系
引导学生讨论、交流，说出各
的一般方法．
自的想法，并进行分析、评价，补
充完善判断两个圆的位置关系的方
法．
7．阅读例 3 的两种解法，解
9．两个圆的位置关系是否可
进一步验证
师：引导学生验证结论．
以转化为一条直线与两个圆中的
相交弦的方程．
生：互相讨论、交流，验证结
一个圆的关系的判定呢？
论．
10．课堂小结：
教师提出下列问题让学生思考：
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
和解决两圆的位
的方法．
置
-1-/3
问题
设计意图
师生活动
关系的方法．
学生观察图形并思考，发表自己的
解题方法．
3．例 3
培养学生
教师应该关注并发现有多少学
你能根据题目，在同一个直
“数形结合”的
生利用“图形”求，对这些学生应
角坐标系中画出两个方程所表示
意识．
该给予表扬．同时强调，解析几何
的圆吗？你从中发现了什么？
2．判断两圆的位置关系，你 有什么好的方法吗？
设计意图
师生活动
结合学生已
教师引导学生回忆、举例，并
有知识以验，启
对学生活动进行评价；学生回顾知
发学生思考，激
识点时，可互相交流．
发学生学习兴
高中数学 第7章 解析几何初步 7.3 圆与方程学案 湘教版必修3
圆与方程本章在第三章“直线与方程”的基础上，学习圆的有关知识——圆的标准方程、圆的一般方程；继续运用“坐标法”研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题；学习空间直角坐标系的有关知识，用坐标表示简单的空间的几何对象。
通过本章的学习，要达到如下目标：1．回顾确定圆的几何要素，在直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
4．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
5．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一，判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个角度入手：一个角度是利用义务教育阶段所介绍的平几方法；另一个角度，将两曲线是否有公共点的问题，转化为判断它们的方程组成的方程组有没有实数解的问题。
在判断直线与圆、圆与圆的位置关系时，常常采用这两种方法．在学习本章时，要不断地体会“数形结合”的思想方法，注意“数”与“形”的结合：在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，用代数方法加以证明，不应割断它们之间的联系。
学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。
在学习中，要重视数学概念的理解、典型例题的分析、以及结论的形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法；要抓住各种数学活动的机会，在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法；还要关注“观察”、“思考”、“探究”等栏目的内容，使自己真正参与到数学活动中来，发挥自己学习的主动性，使学习过程成为“再创造”的过程，从中体验数学发现和创造的历程，体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，从而形成和发展自己的数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力。
高中数学 第7章 解析几何初步 7.3.2 圆的一般方程学案 湘教版必修3-湘教版高一必修3数学学案
7．3.2 圆的一般方程[学习目标]1．正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径． 2．会在不同条件下求圆的一般式方程． [知识链接]1．圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的圆心坐标为(a ，b )，半径为r ．2．点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断． [预习导引]1．圆的一般方程的定义(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫作圆的一般方程，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为D 2＋E 2－4F2．(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2．(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形． 2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点M 在圆外 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点M 在圆上 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点M 在圆内x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <0要点一 圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项， ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆． 规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.也可将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．跟踪演练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0，即k <54.要点二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1，4)，B (－2，3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径．解 法一 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，（4－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形． ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪演练2 已知A (2，2)，B (5，3)，C (3，－1)，求△ABC 的外接圆的方程． 解 设△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 要点三 求动点的轨迹方程例3 等腰三角形的顶点是A (4，2)，底边的一个端点是B (3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么． 解 设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得（x －4）2＋（y －2）2＝（4－3）2＋（2－5）2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4，2)为圆心，以10为半径的圆，如上图所示， 因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3，5)． 又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4，2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点． 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法．①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．跟踪演练3 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1，0)和B (3，0)，求：直角顶点C 的轨迹方程． 解 法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2，3) B ．(－2，3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．2．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( )A ．k ≤12B ．k ＝12C ．k ≥12D ．k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇒k <12.3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b ) 答案 D解析 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 4．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________． 答案114解析 因圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.5．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________． 答案 3解析 圆心为(1，2)，它到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3.1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．一、基础达标1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2，1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9答案 A解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0答案 C解析 由圆的方程得圆心坐标为(1，2)．再由点到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，解得a ＝2或a ＝0.3．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．E ＝F D ．D ＝E ＝F答案 A解析 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.4．已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积的最小值是( ) A ．3－ 2 B ．3＋ 2 C ．3－22D.3－22答案 A解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，由圆的方程得圆心坐标为(1，0)，半径为1，故圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC 的最小值＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2. 5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0，1)，则点B 的坐标为________． 答案 (2，－3)解析 由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0，1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3， 所以点B 的坐标为(2，－3)．6．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 2＋y 2＝4解析 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x2，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 7．设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0. (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3，1)，求直线AB 的方程．解 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2，0)，半径为r ＝3. (2)设直线AB 的斜率为k . 由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ， ∴k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)， 即：x ＋y －4＝0. 二、能力提升8．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14答案 A解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心(－1，2)在直线上，求得a ＋b ＝1，∴ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，即ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A. 9．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8π D ．9π答案 B解析 设点P 的坐标为(x ，y )，由|PA |＝2|PB |得 (x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2， 即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.10．光线从点A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________． 答案 62－2解析 ∵A (1，1)关于y 轴对称点A ′(－1，1)，∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2.11．已知定点A (2，0)，圆x 2＋y 2＝1上有一个动点Q ，若线段AQ 的中点为P ，求动点P 的轨迹．解 设动点P 的坐标为(x ，y )，Q (x 1，y 1)， 利用中点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋x 12，y ＝y 12即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －2，y 1＝2y ，∵x 21＋y 21＝1，∴(2x －2)2＋(2y )2＝1，∴动点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝14.∴动点P 的轨迹为以(1，0)为圆心，12为半径长的圆．三、探究与创新12．设A (－c ，0)，B (c ，0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹． 解 设动点P 的坐标为(x ，y )， 由|PA ||PB |＝a (a >0)得（x ＋c ）2＋y 2（x －c ）2＋y2＝a 2， 化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)y 2＝0. 当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12.所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆．13．自点A (4，0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 法一 设坐标原点为O ，连结OP ，则OP ⊥BC . 设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标为(0，0)，是方程①的解，所以弦BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内部分)．法二 由法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2，0)，|PM |＝12|OA |＝2. 由圆的定义知，P 点轨迹是以M (2，0)为圆心，2为半径长的圆，故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内部分)．。
7.3.直线与圆、圆与圆的位置关系-湘教版必修3教案
7.3 直线与圆、圆与圆的位置关系-湘教版必修3教案
一、教学目标
1.知道直线与圆的位置关系；
2.熟悉圆与圆的位置关系；
3.能够使用相关的定理解决实际问题。
二、教学内容
1.直线与圆的位置关系
–点到直线的距离公式
–判定圆与直线是否相交
2.圆与圆的位置关系
–判定两圆的位置关系
–判定两圆的位置关系与公切线的关系
三、教学重点
1.点到直线的距离公式；
2.判定圆与直线是否相交；
3.判定两圆的位置关系。
四、教学难点
1.判定两圆的位置关系与公切线的关系；
2.能够使用相关的定理解决实际问题。
五、教学过程
第一步直线与圆的位置关系
1.教师向学生介绍点到直线的距离公式，并通过案例进行讲解；
2.教师向学生介绍如何判定圆与直线是否相交，并通过案例进行讲解。
第二步圆与圆的位置关系
1.教师向学生介绍如何判定两圆的位置关系，并通过案例进行讲解；
2.教师向学生介绍如何判定两圆的位置关系与公切线的关系，并通过案例进行讲解。
第三步实例分析
通过几个实例，让学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评估
教师布置小作业，要求学生解决几个实际问题并分析解题过程。
在下堂课前，教师对学生的解答进行评估。
七、教学反思
本节课主要涉及直线与圆、圆与圆的位置关系，并通过实例讲解相关的定理。
教师需要重点介绍判定圆与直线是否相交、判定两圆的位置关系与公切线的关系等难点。
同时，需要通过实例让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
湘教版高中数学必修第三册 7.3.3直线与圆、圆与圆的位置关系_教案设计
直线与圆、圆与圆的位置关系【学情分析】圆是平面图形中又一基本而典型的图形，对于圆的研究和学习，不仅能进一步丰富对于平面图形的认识，而且也能体会对于曲线形的研究过程。
教材在研究了圆的基本性质后，进行了点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系的研究。
在点与圆的位置关系的学习中，学生已经归纳出三种位置关系和数量关系，并能用数量关系判断位置关系，这为本节课研究直线与圆的位置关系，在研究方法和研究内容上打下了基础。
根据学生的已有经验和抽象能力，本节课的学习中，对于从公共点的个数这个角度来理解直线与圆的三种位置关系应该是容易的。
但对于相应地可用哪些数量之间的关系来刻画，以及如何刻画每一种位置关系，则会有一定的困难，特别是对于某位置关系，在直观地找到了与之相对应的数量关系后，要说明该等量关系等价于该位置关系的定义则更难。
尽管如此，考虑到初三的学生已经具备较强的演绎推理能力，所以我认为在师生共同的讨论中帮助学生理解是完全可能的。
【教学目标】1．理解并掌握直线与圆的三种位置关系，并会用有关的数量关系进行判断。
2．在理解圆与直线相切的基础上，进一步理解切线的性质。
3．在发现位置关系，并探寻各位置关系所对应的数量关系的过程中，体会分类讨论，类比，数形结合等数学思想，锻炼分析，概括，归纳的能力，并进一步提高逻缉推理能力，在此过程中，培养严谨的科学的学习态度。
【教学重难点】重点：1．正确理解直线和圆的三种位置关系的概念；2．直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和半径大小关系的对应；3．切线的性质定理。
难点：对d与r数量关系和直线与圆的位置关系之间联系的理论分析。
教法学法分析：在学习了点与圆的位置关系以后，尤其是学习了通过点到圆心距离d与半径r之间的数量关系来判断点与圆位置关系的基础上，本节课通过类比的方法引导学生学习直线与圆的位置关系。
学生通过猜想，验证，归纳并理论分析的方法学习本节课的知识点。
【课时安排】2课时【教学过程】【第一课时】一、情景引入，产生新知：师：早晨的日出非常美丽，照片就是海边日出的一个瞬间，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，通过太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象直线和圆有几种位置关系么？生：三种。
高中数学 第7章 解析几何初步 7.3 圆与方程教案 湘教版必修3-湘教版高二必修3数学教案
圆与方程一、复习目标：圆与方程了解确定圆的几何要素〔圆心和半径、不在同一直线上的三个点等〕.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化.能根据直线与圆的方程判断其位置关系〔相交、相切、相离〕；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系〔外离、外切、相交、内切、内含〕.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形〞与“数〞的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点：圆的标准方程和一般方程四、知识回顾： 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 2、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<. 五、课堂教学：问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？例1、基础训练：求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.探究1：过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为〔2，-1〕，半径为210.依题意有2101122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=. 探究2：直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，那么a 的值为. 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为〔1，0〕，半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .练习巩固：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，那么⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r ba b a r b a 5252)5(222， 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ，∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x .问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？例2、基础训练：求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.探究1：直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .探究2：设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为32，那么=a .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得22222)3()11(=+++a a ，解得0=a .练习巩固：圆6)2()1(:22=-++y x C ，直线01:=-+-m y mx l . 〔1〕求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； 〔2〕求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.解：〔1〕∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ，且65=<=r PC ，∴点P 在圆内，∴直线l 与圆C 恒交于两点.〔2〕由平面几何性质可知，当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，此时21=-=PCl k k ，∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即012=--y x .问题导学三：如何判断直线与圆的位置关系？例3、基础训练：直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与圆的位置关系.探究1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，那么a 的取值X 围是 解：依题意有a a >-21，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .探究2：假设直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，那么k 的取值X 围是.解：依题意有11122<+-k k ，解得340<<k ，∴k 的取值X 围是)34,0(. 练习巩固：假设直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，某某数m 的取值X 围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值X围是22<≤-m 或22=m .问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例4、基础训练：判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，并画出图形.探究1：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为)0,1(1O ，半径11=r ，圆4)2(22=++y x 的圆心为)2,0(2-O ，半径22=r ，∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵212112r r O O r r +<<-，∴两圆相交.探究2：假设圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，那么实数m 的取值集合是.解：∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25-=m ，∴实数m 的取值集合是}2,0,25,512{--. 练习巩固：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.解：设所求圆的圆心为),(1b a O ，那么所求圆的方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切于点P ，∴131OO OP =，∴),(31)2,1(b a =-，∴6,3=-=b a ，∴所求圆的方程为20)6()3(22=-++y x .问题导学五：和圆相关的最值有哪些解决途径，表达那些思想方法？例5、基础训练：点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.探究1：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为〔2，2〕，半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .探究2：)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，那么22PB PA +的最小值是.解：设),(y x P ，那么828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ，那么325min=-=-=r OC OP，∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.练习巩固：点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.〔1〕求21--x y 的最大值与最小值；〔2〕求y x +2的最大值与最小值. 解：〔1〕设k x y =--21，那么k 表示点),(y x P 与点〔2，1〕连线的斜率.当该直线与圆相切时，k1122=+k k ，解得33±=k ，∴21--x y 的最大值为33，最小值为33-. 〔2〕设m y x =+2，那么m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m151=-m ，解得51±=m ，∴y x +2的最大值为51+，最小值为51-.问题导学六：如何利用条件挖掘求圆的方程的重要信息？ 例6、基础训练：点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.探究1：两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，那么点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以〔2，0〕为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.探究2：由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，那么动点P 的轨迹方程是.解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x aa c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.问题导学七：圆中动点的变化，带来求其轨迹方程的方法是什么？例7、基础训练：线段AB 的端点B 的坐标是〔4，3〕，端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.探究1：定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，那么点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 探究2：定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，那么点M 的轨迹方程是.解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ，∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 练习巩固：直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(y x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .问题导学八：实际生活中我们又该如何利用所学的圆知识进行“数学化〞，来解决问题？例8、基础训练：某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m .现有一船宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？探究1：某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m .现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m m m m 〕解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点〔10，0〕，〔0，4〕，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100rb rb ，解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b .∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ，得)(28.3m y ≈.m 后，船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--，船才能通过桥洞.探究2：据气象台预报：在A 城正东方300km 的海面B 处有一台风中心，正以每小时40km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250km h ，台风将影响A 城，持续时间约为h h 〕解：以B 为原点，正东方向所在直线为x 轴，建立直角坐标系，那么台风中心的移动轨迹是x y -=，受台风影响的区域边界的曲线方程是222250)()(=++-a y a x .依题意有222250)300(≤+--a a ，解得14251501425150+-≤≤--a .∴6.64014502402,0.240142515024021211≈⨯=-=∆≈+-==a a t a t .∴h ，台风将影响A h .练习巩固：有一种商品，A 、B 两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费A 地是B 地的3倍.A 、B 两地的距离是10km ，顾客购买这种商品选择A 地或B A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.解：以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，那么)0,5(-A ，)0,5(B .设),(y x P 是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为a 元km /，那么PB a PA a =3，∴2222)5()5(3y x a y x a +-=++，化简得222)415()425(=++y x .∴A 、B 两地售货区域的分界线是以)0,425(-为圆心，415A 地购货，在曲线外的居民选择去B 地购货，在曲线上的居民去A 、B 两地购货均可.六、反思总结：1、圆的标准方程和一般方程2、直线与圆、圆与圆的位置关系的要点3、复习、学到哪些解决问题策略，掌握了哪些数学思想方法七、作业安排：配套专题练习 八、教学反馈：问题导学法通过创设特定的问题情景，引导学生在解决面临的问题中，主动获取和运用知识、技能；激发其学习主动性、自主学习能力和创造性解决问题的能力的课堂教学方式.本教学方式的三个基本特征是：①以问题的提出和解决为中心.即教学过程不是简单的知识传递讲解过程，而是根据课本知识要求和学生的知识经验，把教学问题问题化.问题的提出和解决贯穿教学过程.②以发展学生运用知识综合解决问题能力和创新意识及学习能力为重点.③教师引导学生自主合作探索学习为关键.即教师是教学过程中问题情境的创设者，解决问题过程的指导者，学生学习的鼓励者.在新课程的高三复习中我们数学教师要把握好《新课程标准》、《教学要求》和《考试说明》中的重要信息，从学生实际出发，在复习内容上要进一步创新，要以问题为纽带，编制教案和学案，促进学生加深对复习内容的理解和学习负担的减轻，从被动接受向主动探求转变从而促进高三课堂复习效益的提高.使“双案制〞教学成为问题导学的载体、提高学习质量的抓手.。
高中数学第7章解析几何初步7.2.2两条直线的位置关系学案湘教版必修3
7．2.2 两条直线的位置关系[学习目标]1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．理解直线相交、平行、重合、垂直的意义，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直．3．会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直． [预习导引]1．利用法向量确定两直线的位置关系 (1)两条直线平行或重合⇔它们的法向量平行． (2)两条直线相交⇔它们的法向量不平行． (3)两条直线垂直⇔它们的法向量垂直． 2．两直线的夹角两直线的夹角α的大小规定在0≤α≤π2的范围内，当法向量的夹角满足0≤θ≤π2时，α＝θ；当法向量的夹角θ>π2时，α＝π－θ． 3．定理2设直线l 1，l 2的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 l 1与l 2重合⇔存在实数λ≠0，使⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝λA 1，B 2＝λB 1，C 2＝λC 1；l 1与l 2平行⇔存在实数λ≠0，使⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝λA 1，B 2＝λB 1，C 2≠λC 1；l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； l 1与l 2夹角θ的余弦cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21·A 22＋B 22.要点一 判断两直线是否相交例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数组解，表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0，无解，表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.规律方法 方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两直线重合．跟踪演练1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标．(1)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，y ＝13x ＋12.解 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得该方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－103，y ＝143.所以两直线相交，且交点坐标为(－103，143)．(2)解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，y ＝13x ＋12，①②②×6得2x －6y ＋3＝0，因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②有无数组解，所以两直线重合． 要点二 判断两条直线的位置关系例2 判断下列各组直线的位置关系． (1)l 1：2x ＋y ＋1＝0，l 2：x －3y －5＝0； (2)l 1：x －y ＋2＝0，l 2：2x －2y ＋3＝0； (3)l 1：3x －4y －1＝0，l 2：6x －8y －2＝0； (4)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0.解 (1)对l 1，l 2，由21≠1－3，知l 1与l 2相交．(2)对l 1，l 2，由12＝－1－2≠23，知l 1与l 2平行．(3)对l 1，l 2，由36＝－4－8＝－1－2，知l 1与l 2重合．(4)对l 1，l 2，由A 1A 2＋B 1B 2＝1×1＋(－1)×1＝0，知l 1⊥l 2. 规律方法 利用法向量判断．跟踪演练2 根据下列条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：x ＋13y －6＝0；(2)l 1：(lg 2)x －y ＋5＝0，l 2：(log 210)x ＋y －6＝0；(3)l 1经过点A (1，2 009)，B (1，2 010)，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5)． 解 (1)l 1的一般式方程为3x ＋y －1＝0， 由31＝113≠－1－6，知l 1∥l 2. (2)对于l 1，l 2由A 1A 2＋B 1B 2＝lg2·log 210＋(－1)·1＝0知l 1⊥l 2. (3)因为l 1过点A (1，2 009)，B (1，2 010)， 所以方程为x ＝1，与x 轴垂直． 因为l 2过点P (0，－2)，Q (0，5)， 所以方程为x ＝0，即y 轴，所以l 1∥l 2. 要点三 应用位置关系求参数值例3 已知直线l 1：ax －y ＋a ＋2＝0，l 2：ax ＋(a 2－2)y ＋1＝0.问当a 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？ 解 若A 1，A 2，B 1，B 2全不为0时，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＋2＝0ax ＋（a 2－2）y ＋1＝0，得A 1A 2＝a a ＝1，B 1B 2＝－1a 2－2，C 1C 2＝a ＋21，由A 1A 2＝B 1B 2得a ＝－1或a ＝1，由A 1A 2＝C 1C 2得a ＝－1， 所以，当a ≠±1时，A 1A 2≠B 1B 2，l 1与l 2相交； 当a ＝1时，A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1与l 2平行； 当a ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，l 1与l 2重合． 若A 1，A 2，B 1，B 2中有为0的值时，当a ＝0时，方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2＝0－2y ＋1＝0，这时l 1与l 2平行；当a 2－2＝0即a ＝±2时，方程组化为⎩⎨⎧2x －y ＋2＋2＝0，2x ＋1＝0，或⎩⎨⎧－2x －y ＋2－2＝0，－2x ＋1＝0，此时两直线相交． 综上所述，(1)当a ≠±1且a ≠0时l 1与l 2相交； (2)当a ＝0或a ＝1时，l 1与l 2平行； (3)当a ＝－1时，l 1与l 2重合． 规律方法 两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；(2)也可利用法向量来直接求解．跟踪演练3 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？解 当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0， ∴l 1与l 2相交，当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0，m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m.当A 1A 2＝B 1B 2时，1m －2＝m3，解得m ＝－1或m ＝3. 当A 1A 2＝C 1C 2时，1m －2＝62m，解得m ＝3. 综上所述，(1)当m ≠－1且m ≠3时，(A 1A 2≠B 1B 2)，l 1与l 2相交；(2)当m ＝－1时，(A 1A 2＝B 1B 2，A 1A 2≠C 1C 2)，l 1与l 2平行；(3)当m ＝3时，(A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2)，l 1与l 2重合．1．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0答案 A解析 ∵直线2x －3y ＋4＝0的法向量为(2，－3)， ∴l 的法向量为(3，2)，∴l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，将(－1，2)代入得C ＝－1， ∴l 的方程为3x ＋2y －1＝0.2．直线x ＋2y ＋1＝0与2x ＋ay －1＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 两条直线的法向量分别为n 1＝(1，2)，n 2＝(2，a )，∵两直线平行，∴1×a －2×2＝0，即a ＝4.3．两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的条件是( ) A ．A 1A 2＋B 1B 2＝0 B ．A 1A 2－B 1B 2＝0 C.A 1A 2B 1B 2＝－1 D.B 1B 2A 1A 2＝1 答案 A解析 两直线的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，两直线垂直的条件是n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝0，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.答案 1解析∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝1.5．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直，交于点A(1，m)，则a＝________，b＝________，m＝________.答案10 －12 －2解析两直线垂直，则2a＋4×(－5)＝0，∴a＝10.∵(1，m)为两直线的交点，∴10×1＋4m－2＝0，∴m＝－2.又点(1，－2)在直线2x－5y＋b＝0上，∴2×1＋2×5＋b＝0，∴b＝－12.1．利用法向量判定两直线的位置关系时，如果两直线的法向量平行，一定要验证，因为可能出现平行或重合两种情况．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)；与直线Ax＋By＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋m＝0.利用此结论解平行、垂直问题可以简化解题过程．3．平行与垂直是两直线间最重要的位置关系，利用平行和垂直的条件判断多边形的形状是常见的基本应用，要考虑各种情况.一、基础达标1．过点(－3，2)且与直线2x－y＋5＝0垂直的直线方程为( )A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．x－2y＋1＝0 D．－2y－1＝0答案 B解析直线与2x－y＋5＝0垂直，所以所求直线的法向量为(1，2)，其方程可设为x＋2y＋C ＝0，将(－3，2)代入得－3＋4＋C ＝0，C ＝－1，即所求方程为x ＋2y －1＝0.2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45D.45答案 B解析 若两直线平行，则a －22＝a3≠－15.解得a ＝6. 3．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．－32答案 C解析 若两直线互相垂直，则 (a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(－a －1)＝0， ∴a ＝±1.4．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( ) A ．－3，－4 B ．3，4 C ．4，3 D ．－4，－3答案 B解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －8＝0x －2y ＋3＝0，得交点B (1，2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b－11＝0 ①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34 ②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.5．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0互相垂直，则k ＝________. 答案 23解析 两直线的法向量分别为n 1＝(2，3)，n 2＝(1，－k )， 若两直线垂直，则n 1·n 2＝2－3k ＝0，∴k ＝23.6．若直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：ax －y ＋1＝0的夹角为60°，则a ＝________. 答案 0或 3解析 两直线的法向量分别为n 1＝(3，1)，n 2＝(a ，－1)， 则由已知得|3·a －1|2·a 2＋1＝cos 60°＝12. 解得a ＝0或a ＝3.7．求经过直线x ＋2y －1＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线2x －y ＋3＝0平行的直线l 的方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3. ∵直线l 与直线2x －y ＋3＝0平行， ∴可设l 为2x －y ＋C ＝0.∵l 过点(－5，3)，∴2×(－5)－3＋C ＝0，解得C ＝13. ∴直线l 的方程为2x －y ＋13＝0. 二、能力提升8．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们夹角的余弦值为( ) A.2917034 B ．－2917034C.92534 D.2915034 答案 A解析 两直线的法向量分别为n 1＝(3，4)，n 2＝(3，5)， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉| ＝|3×3＋4×5|32＋42·32＋52＝2934170. 9．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，则a ＝________. 答案 －6或5解析 直线l 1的方向向量n 1＝(a －5，－3－a )， 直线l 2的方向向量n 2＝(－3，a －5)．若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0， 即－3(a －5)－(3＋a )(a －5)＝0， ∴a ＝5或a ＝－6.10．若三条直线x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________．答案 a ∈R 且a ≠13且a ≠3且a ≠－6解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3，2)，依题意知，实数a 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ·（－3）＋3×2－5≠0，－a 3≠－1，－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠13，a ≠3，a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R ，且a ≠13且a ≠3且a ≠－6.11．已知两直线l 1：x ＋(1＋m )y ＝m －2，l 2：2mx ＋4y ＝16，求当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直？解 直线l 1和l 2的法向量分别为n 1＝(1，1＋m )，n 2＝(2m ，4)． (1)若两直线相交，则n 1与n 2不平行， ∴4－2m (1＋m )≠0，解得，m ≠－2且m ≠1. (2)若两直线平行，则12m ＝1＋m 4≠m －216，解得m ＝1.(3)若两直线重合，则12m ＝1＋m 4＝m －216，解得m ＝－2.(4)若两直线垂直，则n 1⊥n 2， ∴2m ＋4(1＋m )＝0，∴m ＝－23.综上所述，当m ≠－2且m ≠1时，l 1与l 2相交； 当m ＝1时，l 1与l 2平行； 当m ＝－2时，l 1与l 2重合；当m ＝－23时，l 1与l 2垂直．三、探究与提高12．是否存在实数a ，使三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能围成一个三角形？请说明理由．解 (1)当l 1∥l 2时，－a ＝－1a，即a ＝±1；(2)当l 1∥l 3时，－a ＝－1，即a ＝1； (3)当l 2∥l 3时，－1a＝－1，a ＝1.(4)当l 1与l 2，l 3相交于同一点时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0得交点(－1－a ，1)，将其代入ax ＋y＋1＝0中，得a ＝－2或a ＝1.故当a ≠1且a ≠－1且a ≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．13．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？解 如图以点B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由AD ＝5，AB ＝3，可得C (5，0)，D (5，3)，A (0，3)．设点M (x ，0)，则AC →＝(5，－3)，DM →＝(x －5，－3)． 因为AC ⊥DM ，则AC →·DM →＝0，即(5，－3)·(x －5，－3)＝0，5(x －5)＋9＝0， 解得x ＝165，即BM ＝165m.故当BM ＝165m 时，两条小路AC 与DM 相互垂直．。
高中数学 7.3.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)学案 湘教版必修3(2021年整理)
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3。
3 直线与圆、圆与圆的位置关系（1)1222 (1)已知直线l ：x ＋y ＋2＝0，则l 与圆x 2＋y 2＝3的位置关系是__________;l 与圆x 2＋y2－2x ＋2y ＝0的位置关系是__________；l 与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋4＝0的位置关系是__________．提示：相交 相切 相离（2）直线l 与圆C 相交,则圆的半径r ，弦心距d ，弦长｜AB |间的关系是__________． 提示:因为弦中点与圆心的连线与弦垂直，所以由勾股定理得r 2＝d 2＋错误!2.2．弦长公式求圆的弦长常利用解直角三角形，先求半弦长，再求弦长．公式为|AB ｜＝2错误!,如下图．用“代数法”与“几何法"判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示：“几何法"与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的：“几何法”更多地侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法"则侧重于“数"，它倾向于“坐标”与“方程"．这两种方法是等价的．一、判断(证明)直线与圆的位置关系【例1】已知圆x 2＋y 2＝8,定点P (4，0），问过P 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆:（1）相切;(2）相交．解法一：设过点P 的直线的斜率为k (由已知k 存在)，则其方程为y ＝k (x －4)． 由错误!消去y ，得x 2＋k 2(x －4）2＝8，即(1＋k 2）x 2－8k 2x ＋16k 2－8＝0，Δ＝(－8k 2）2－4(1＋k 2）（16k 2－8)＝32(1－k 2)．（1）令Δ＝0，即32(1－k 2）＝0.∴当k ＝±1时,直线与圆相切．(2)令Δ＞0，即32（1－k 2）＞0，－1＜k ＜1，∴当－1＜k＜1时，直线与圆相交．解法二：设圆心到直线的距离为d，直线方程为y＝k(x－4)，则d＝错误!＝错误!.（1)令d＝r,即错误!＝错误!，k2＝1，∴k＝±1时直线与圆相切．(2）令d＜r，即错误!＜错误!，∴k2＜1，即－1＜k＜1时,直线与圆相交．判断直线与圆的位置关系一般采用几何法，代数法虽然也可用，但一般计算量略大．1－1若直线x＋y＝m与圆x2＋(y－1）2＝m相切，则m为（)．A．2－错误! B．2＋错误!C．2＋3 D．2＋3或2－错误!解析：利用圆心到直线的距离等于半径,即有错误!＝错误!，∴（1－m)2＝2m，解得m＝2±错误!.答案：D1－2直线4x＋3y－40＝0与圆x2＋y2＝100的位置关系是( )．A．外离 B．相切C．相交 D．相切或外离解析：圆心(0，0）到直线4x＋3y－40＝0的距离d＝错误!＝8.又∵圆的半径r＝10，d＜r，∴直线与圆相交．答案：C1－3判断圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0与下列直线的位置关系：（1）x＋y＝5；（2）x－y＋5＝0；(3)4x＋3y＝24.解：将圆方程配方得(x－2)2＋（y＋3）2＝52，可得它的圆心为(2，－3），半径r＝5。
湘教版高中数学必修第三册 7.3.3 直线与圆、圆与圆的位置关系_教案设计
《圆与圆的位置关系》教学设计教材：湘教版数学必修三一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（湖南教育出版社）必修三第七章《解析几何初步》第三节《圆与方程》中“直线与圆、圆与圆的位置关系”的第二课时，教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到判断两圆位置关系的两种方法．代数法：将两圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断（本方法主要突出代数法的思想且具有一般性，可类比地推广到今后解析几何同类问题的研究中）；几何法：利用两圆心之间的距离与半径的和以及差的绝对值比较．解析几何是中学数学的一个重要知识，它建立了数与形、代数与几何等联系．用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化．因此,继续深化用代数方法来分析解决,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义．因此，本节课在教材中起到了承上启下的重要作用．2、教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标如下：知识目标（1）能根据给定圆的方程，用几何和代数的方法判断两圆的位置关系．（2）若两圆相切时，会求公切线方程；若两圆相交时，会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．（3）理解几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质．能力目标（1）类比直线与圆的位置关系，通过对圆与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习能力．（2）强化学生用数形结合的方法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感目标通过对本节课知识的探究活动，加深学生对圆与圆的位置关系的认识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯及创新意识和进取精神．3、教学重点和难点教学重点：圆与圆的位置关系及判断方法；两圆相切时的公切线问题；两圆相交时公共弦问题．教学难点：运用代数方法解决几何问题的数学思想．二、学情分析本节内容面对的是高一年学生，所授课的班级中学生层次不同，存在一定差异．虽在初中已经接触过圆与圆相交、相切、相离的定义等已有的认知基础的条件下，同时也经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的判断圆与圆位置关系的能力，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识表面，知识的来龙去脉并不知晓，这时需要教师的引导和帮助．而且解析几何的学习刚刚开始，对代数法还处于初步了解的层次．因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．三、教法与学法 根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过图形的动态演示，学生的动手实验,变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中教学课程追求的理念．学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受．本节课主要是学习如何判断圆与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流．因此，结合本课的教学内容与学生实际，本设计主要采用的教学方法是诱思探究法．四、教学过程（一）引入课题问题1：观察屏幕所给出的图形，找找圆与圆的不同位置关系图．设计意图：由非常有意思生活常见图形入手，调动学生的学习热情，让学生充分体会数学来源于生活，同时引入本节课题:圆与圆的位置关系．（二）探索实践【探究活动一】在纸上画一个半径为3cm 的☉C ，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上向圆移动这枚硬币（1）观察两圆公共点的个数的变化情况。
高中数学(湘教版)必修3(备课资源)第7章 解析几何初步 7.3.3.1
【课标要求】 1．能根据给定直线、圆的方程，判定直线与圆的位置关 系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判 断
自主探究 探究1：过平面一点P可作几条圆的切线？ 提示 当点P在圆内时，切线不存在，当点P在圆上时，只能
作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线． 究2：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关 系各有什么特点？ 提示 “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，
是从不同的方面，不同的思路来判断的，“几何法”更多地侧重 于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于 “数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
法二
把直线y＝x＋b与圆的方程x2＋y2＝2联立，即 消去y，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，再利用Δ＞0，
y＝x＋b， 2 2 x ＋ y ＝2，
Δ＝0，Δ＜0，分别确定b的取值，结论同“解法一”．
方法点评 判断直线和圆的位置关系，一般来说，比较d和r 大小的方法比利用“Δ”来判断的方法要显得优越．
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典例剖析 题型一 直线与圆的位置关系的判定 【例1】 已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，圆 与直线 (1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点． |b| 解 法一 圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离为d＝ ，圆的半径r 2
＝ 2. (1)d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点； (2)d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，有一个公共 点； (3)d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离，没有公共点．
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直线与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相交；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
三、教学设想。