人教版九年级数学上课件：24.1.4圆周角
合集下载
人教版九年级数学上册《圆周角》优秀PPT课件
∠ ABC = ∠ADC=∠ AEC
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一 个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一 个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、
24.1.4圆周角(优秀课件)
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
B
O
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的
内角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 A
∠A＝∠DCE
O
D
圆内接四边形的一个
B
C
E
外角等于它的内对角。
探索结论
先根据图形讨论，然后用语言归纳为 :
性质定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角。 D
A
几何表达式： ∵ 四边形ABCD内接于⊙O， ∴ ∠A+∠C=180°且∠B=∠1 .
A
O B C
问题1 如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 A 四边形ABCD外接圆.
B D
O
C
问题3
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ ∠A的度数等于弧BCD的一半， ∠BCD的度数等于弧BAD的一半，A 又∵弧BCD+弧BAD 度数为360°， ∴∠A＋∠C＝ 180°.
O
D
B
C
同理∠B＋∠D＝180°.
D
∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F
∠E＋∠F＝180° CE∥DF
九年级数学上册圆周角课件
A
E DC
∵ （2）由（1）可知BD=CD
∴ AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ B⌒D D⌒E （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义 圆周角定理
圆周角定理 圆周角与直
的推论
径的关系
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备）
∴∠BAC=∠BDC
问题2 如图，若 C⌒D=E⌒F ,∠A与∠B相等吗？
相等
AB
∵ C⌒D=E⌒F COD EOF.
E
∠A= 1 ∠COD，∠B=1 ∠EOF，
O
2
2
C
A B.
F
D
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么 ⌒CD=E⌒F 成立吗？
在同圆或等圆中，圆周角相等所对的弧相等
知识要点
圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.
A2 A1
AB
A
O
E
3
C
F
D
再探新知
问题2 如图，若BC是 ⊙O的直径，你能求出∠A
的度数吗？
C2 C1
C3
思考：半圆（或直径）所对的圆周
角有什么特殊性？
A
B
O
（1）如图3，若AB为⊙O直径， 则圆心角∠AOB=__1_8_0_°___，圆周角 图3 ∠AC1B=_9_0_°____，∠AC2B=_9_0_°____， ∠AC3B=__9_0_°___，说明你的理由.
九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角
答案 A
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.
《圆周角》九年级数学初三上册PPT课件
时间：20XX
前言
学习目标
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
时间：20XX
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear,
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC=
1 2
3
5
D
4
6
1
∠BOC）:
2
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
∠=∠5+∠6
=> ∠ = ∠。
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景三（证明∠BAC=
B
A
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
O
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O是四边形ABCD的外接圆。
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
24.1.4 .1圆周角定理及其推论课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
则∠D等于( A )
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
（2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识讲解
知识点2 圆周角定理都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：
∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=
∠AOB，∠BAC=
∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.
∠BOC，
随堂练习
8. 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、
B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上
30°
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.
随堂练习
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.
∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，
∵AD 是 △ABC 的 高 ， ∴∠ADC ＝ 90° ，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，
AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
（2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识讲解
知识点2 圆周角定理都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：
∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=
∠AOB，∠BAC=
∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.
∠BOC，
随堂练习
8. 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、
B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上
30°
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.
随堂练习
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.
∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，
∵AD 是 △ABC 的 高 ， ∴∠ADC ＝ 90° ，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，
AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
24.1.4《圆周角 第1课时》数学人教版九年级上册教学课件
A
B
C
（3）
∠BAC圆=周1 ∠角B定OC理
一条弧所对的圆周角等2 于它所对的圆心角的一半.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧
所对的圆周角呢？
A
D
O
E
小组合作 1.猜想可能的结果；
2.验证你的猜想.
B
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结得出AB是直径
A
O 180°
吗？
B
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直
角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
圆周角定理及其推论
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，
所对的圆周角呢？ AC͡͡ BD͡͡∠AOC∠BOD
等弧
D O
C
∠ADC= 1∠AOC 2
∠ADC∠BAD
∠BAD= 1∠BOD
B
A
2
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
如图，AB是直径，C是圆上任意一点(不与A、B重合)， 求∠ACB 90 °.
A
·O 40° B AB是直径 ∠ADB90°∠BAD50°
∠ABD40°
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A. A ∠CAD=∠CBD=30°
24.1.4_圆周角课件PPT
C
6
A O P
10
D
B
24.1.4 圆周角
复习
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆 心角、弧、弦三个量之间关系的 B C 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量 相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 O
.
问题
什么是圆周角？
定义
顶点在圆上,并且两边 都与圆相交的角,叫做 圆周角.
你能用文字来描述这个定理吗?
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: ∠ABC = ∠AOC.
1 2
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A C
●
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？它们有什么关系？ 同弧所对的圆周角都相等
B
C
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求 ∠A的大小. 解: ∠A 25°.
C
●
O
B
A D O
=
1 ∠COD, 2
●
C
∠AOC.
1 ∴ ∠ABC = 2
B
A
3.当圆心角和圆周角(∠ABC)的外部时,
C
●
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小
关系会怎样?
O
B
A
过点B作直径BD.由1可得:
1 ∠AOD,∠CBD 2 1 = 2∠COD,
C
∠ABD =
∴
B
●
O
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
C A B
6
A O P
10
D
B
24.1.4 圆周角
复习
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆 心角、弧、弦三个量之间关系的 B C 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量 相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 O
.
问题
什么是圆周角？
定义
顶点在圆上,并且两边 都与圆相交的角,叫做 圆周角.
你能用文字来描述这个定理吗?
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: ∠ABC = ∠AOC.
1 2
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A C
●
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？它们有什么关系？ 同弧所对的圆周角都相等
B
C
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求 ∠A的大小. 解: ∠A 25°.
C
●
O
B
A D O
=
1 ∠COD, 2
●
C
∠AOC.
1 ∴ ∠ABC = 2
B
A
3.当圆心角和圆周角(∠ABC)的外部时,
C
●
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小
关系会怎样?
O
B
A
过点B作直径BD.由1可得:
1 ∠AOD,∠CBD 2 1 = 2∠COD,
C
∠ABD =
∴
B
●
O
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
C A B
数学：24.1.4《圆周角》课件(人教新课标九年级上)
典型例题
Байду номын сангаас
2.如图，点A、B在⊙O上，点P为⊙O上 动点，要是△ABP为等腰三角形， (1)请画出所有符合条件的点P.
(2)如果∠AOB=１００°，请求出所 有符合条件∠P的度数.
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2 把圆周4等分，则∠B1的度数是 ， ∠B2的度数是 ；
拓展提高
1、如图，AD是⊙O的直径． (2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2， B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2， ∠B3的度数；
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2， B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含 n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答 案 )．
人教版九年级上册
C E O D
B
A
路桥三中 张春凤
知识回顾
顶点在圆心的角叫圆心角
探究新知
顶点在圆上，两边都与圆相交的 角叫做圆周角。 C
O A B
探究新知 下列哪些图中的∠α是圆周角? 一个角是圆周角的条件：
1
（1）角的顶点在圆上； （2）角的两边都与圆相交 。 (3)
(6)
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等 ,都等于这条弧所对圆心角的一 思考 :在同圆或等圆中，等弧所对的圆周 角相等吗 ? 半。
活动小结 1、因图形的位置不能确定， 就必须分类讨论；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类； 3、逐类讨论解决； A
A
●
O
O
B C
4、归纳并作出结论。
转化 思想
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册课件
丙D来自A乙C甲O
丁E
B
C
O
B
C O
D A
1、已知∠AOB＝75°，
C
求：∠ACB=
。
O
2、已知∠AOB＝120°，
A
B
求： ∠ACB =
A
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB =
4、已知∠AOB＝110°，
B 求：∠ACB =
O
B
A
C
5、教材P89 3题 6、判断下列命题的真假，若是真命题请证明，
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
要点归纳 圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？
弧所对的圆心角相等， 所对
对 的 弧所对的圆周角相等， 所对
的弦也相等。
圆 周 的弦也相等。
角
3、在同圆或等圆中，相等的
等 于 3、在同圆或等圆中，相等的
弦所对的圆心角相等，所对
它 所 弦所对的圆周角相等或互补！
的弧也相等．
对 的
圆
·O
B
C
顶点不在圆上
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
猜想： 同一条弧（或相等的弧） 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推导与论证
丁E
B
C
O
B
C O
D A
1、已知∠AOB＝75°，
C
求：∠ACB=
。
O
2、已知∠AOB＝120°，
A
B
求： ∠ACB =
A
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB =
4、已知∠AOB＝110°，
B 求：∠ACB =
O
B
A
C
5、教材P89 3题 6、判断下列命题的真假，若是真命题请证明，
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
要点归纳 圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？
弧所对的圆心角相等， 所对
对 的 弧所对的圆周角相等， 所对
的弦也相等。
圆 周 的弦也相等。
角
3、在同圆或等圆中，相等的
等 于 3、在同圆或等圆中，相等的
弦所对的圆心角相等，所对
它 所 弦所对的圆周角相等或互补！
的弧也相等．
对 的
圆
·O
B
C
顶点不在圆上
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
猜想： 同一条弧（或相等的弧） 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推导与论证
人教版数学九上24.1.4 圆周角 说课课件(共21张PPT)
D
BF
三、总结提升---解题方法总结
常见解法
等腰直角三角形
角平分线、四边形
C
F A EO
A B
D C
A
A
O
B
D
常见思路，但没有充 分运用特殊角的条件
C
12
E O
CD
12
O E
A B
C
12
O
D C
12
B
A
O
E
E B A E
B
C
12
O E
D
F B
D D
充分利用特殊角构造 等腰直角三角形
从角平分线入手，构 造角平分线基本图形， 再由特殊角得到特殊
如图，以ABC 的BC 边上一点O为圆心的圆经过
A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半
圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC FC.
A
求证：B 2C 90
等弧、半径
B
OF
E
C
垂径定理
连接AO
D
BC OD
等腰OAD
RtODF
三、总结提升---模型归纳
在 O 中，AB是直径，弦AC与弦BC交圆于C 点C，
24.1.4圆周角
题目：
九年级上册 87页 24.1.4圆周角 例4
如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交于⊙O点D，求 BC，AD，BD的长.
说题流程
一、审题分析 二、解题过程 三、总结提升 四、评价分析
一、审题分析
题目背景
题
知
方思
材
识
法想
背
背
背背
景
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册第1课时课件
∠BAD= 1∠BOD,
2
∴∠BAC=∠2 CAD-∠BAD= (∠1 COD-∠BOD)= ∠B10C.
2
2
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半.
数学思想方法：分类思想、化归思 想、由特殊到一般的数学方法.
共同探究2
思考： 1.同弧所对的圆周角是否相等？ 2.如果改为等弧，那么所对的圆周角还
（2）如图（2）圆心O在∠BAC的内部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠BAD= 1 ∠BOD,
∠CAD= 1 ∠COD,
2
∴∠BAC=2∠BAD+∠CAD= (∠1 BOD+∠COD)
= 1 ∠BOC.
2
2
证明：
（3）如图（3） ，圆心O在∠BAC的外部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠CAD= 1 ∠COD,
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交， 我们把这样的角叫做圆周角.
观察下列图形中的角都是圆周角吗？
O
共同探究1
动手操作：
1.画⊙O，在⊙O上任意画弧AB,分别画出弧AB所
对的圆心角和圆周角.
2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角？
3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数，它们之 间有什么关系？
思考：
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角(第1课时)
问题思考
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进
行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员
分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自已所
在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请
评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？
为什么？
A
B
C D
人教版九年级数学上册课件：24.1.4圆周角
C2
C1
C
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．
A
·O
六、
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 相等吗？为什么？
学倍 练速
课 时
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．
因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆 心角也相等，因此它所对的弧也相等．
学倍 练速
课 时
一、概念 什么叫做圆周角？
我们把图中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的顶点在圆上，并且两边 都和圆相交的角叫做圆周角．
D A
C
O·
E
B
学倍 练速
课 时
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆 弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站 在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有 什么关系？如果同学丙、丁分别站在靠墙的位置D和E，他们的视角 （ ∠ADB和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
学倍 练速
课 时
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 (DOC DOB) 2
BAC 1 BOC 2
A
O·
D
C B
学倍 练速
课 时
五、定理
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．
推论
课 时
谢谢
学倍 练速
课 时
A1
2
3 4
B
D
8 7
6 5
C
2. 如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弧BC的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°．则∠ABD的度
数是 ．
A O D C
Байду номын сангаас
B
【解析】如图，连接OD，∵D是弧BC的中点，∠COB=120°．
1 1 1 ∴∠CBD=∠COD=×∠COB=30° . 2 2
2
又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°， ∠OBC=∠OCB=30°,∠ABD=41°+30°+30°=101°. 答案：101°
∠F是什么关系？ 反过来呢？
9/18/2018
E
A B
O2
F O1 C D
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
1 ∵AO=BO， CO=AB, 2
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.
1 2
∴△ABC为直角三角形.
9/18/2018
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.圆周角定义及其两个特征； 2.圆周角定理的内容及其推论； 3.思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
9/18/2018
1.如下左图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小. E C E A F D O O D A B B C 2.如上右图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？ 想一想 反过来呢？ 3.如下图，⊙O1和⊙O2是等圆，
如果弧AB＝弧CD，那么∠E和
9/18/2018
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？ O 【解析】连结OA、OB ∵∠C=30°，∴∠AOB=60° A B
C
又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
9/18/2018
5.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆） 1 且CO=AB 已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线， 2 求证：△ABC为直角三角形. C 证明： 以AB为直径作⊙O，
9/18/2018
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
C
C
C
O B
化 归
A
O A B
化 归
O
A B
分类讨论
完全归纳法
圆周角定理
9/18/2018
理解定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角 的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？
B
C
E
A
O
O
D
C
A
B D
F
9/18/2018
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是 90°； 90°的圆周角所对的弦是直径. 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 推论3 ： 那么这个三角形是直角三角形.
C E D A O B
9/18/2018
例题
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线 交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
C
【解析】 ∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
BC AB 2 AC 2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD. ∴AD=BD.
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD
9/18/2018
2 2 AB 10 5 2 (cm) 2 2
分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转
化成一系列的简单问题或已证问题．
9/18/2018
学习感知：
同学们：通过这节课的学习，与同桌分 享与交流，学有所获，共同探讨学有所 困。
9/18/2018
A E D O C
2.（南通·中考）如图，⊙O的直径 AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
A O B
长是() A．1B．C．D．2
C
【解析】选D.直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，
30°的角所对的边是斜边的一半.
9/18/2018
2
3
3.（衢州·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是
3、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（） D.
A
A.50°B.80°C.90°D.100°
B
O C
4、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆 周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC 等于（）B . A.30°B.60°C.90°D、45° A P
9/18/2018
C
B
1.如图，∠A=50°，∠AOC=120° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）B . A.70°B.110°C.90°D.120° B
自信人生和合成长
24.1.4圆周角
民主愉悦有效自信
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单 应用； 2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用； 3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数
学思想方法.
9/18/2018
9/18/2018
C
C
B
A C
A
O
O
O
B
A
B
顶点在圆上 两边都和圆相交 圆周角： __________，并且角______________. 顶点在圆心 的角. 圆心角:___________