[推荐学习]高中数学 3.1.3 空间向量的数量积1教案北师大版选修2-1

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高中数学选修2-1精品教案7：3.1.3空间向量的数量积运算教学设计

3.1.3空间向量的数量积运算教学目标1.知识与技能掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积及其运算律．2．过程与方法通过利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题、体会类比和归纳的数学思想．3．情感、态度与价值观激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力．教学重点：空间向量的夹角，数量积的概念、计算方法及其应用．教学难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化．空间向量的夹角问题导思图3－1－12如图3－1－12等边三角形ABC 中，AB →、BC →的夹角是60°吗？【答案】不是．根据平面向量夹角的定义，AB →、BC →的夹角应为120 °.图3－1－131．夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .空间向量的数量积及其性质问题导思1．平面向量的数量积a·b 的结果怎样？这一结果是向量还是数量？【答案】 a·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，结果为一数量．2．平面向量的数量积满足怎样的运算律？【答案】交换律与分配律．1．已知空间中两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b .规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a ＝0.2．空间向量数量积满足下列运算律：(1)(λa )·b ＝λ(a·b )；(2)交换律：a·b ＝b·a ；(3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．空间向量数量积的性质：若a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e ·a ＝a ·e ＝|a | cos θ；(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；(4)若θ为a 、b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |； (5)|a ·b |≤|a |·|b |.例题解析例 1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.已知：如图,分别是平面的垂线、斜线，是在平面内的射影，，且.求证：.,PO PA αAO PA αl α⊂l OA ⊥l PA ⊥【解析】用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！【解析】要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.证线l 证为r r u u r r u u r r u u r r u u r r u u r u u r r u u r r u u r r u u r 明：在直上取向量a,只要a×PA =0因a×PO =0,a×OA =0所以a×PA =a×(PO +OA)=a×PO +a×OA=0所以a⊥PA,即l⊥PA.2 ,, ,,:.m n l m l n l αα例已知直是平面的相交直如果求⊥⊥⊥线内两条线证课堂检测1．下列运算错误的是( )A ．(μa )·a ＝μa 2B ．a ·b ＝b ·aC ．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·cD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )【解析】由空间向量数量积的运算性质可知，A 、B 、C 正确，D 错误．【答案】 D2．已知边长为2的正三角形ABC 中，AB →·AC →＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4【解析】 ∵|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 60°＝2×2×12＝2.【答案】 A3．已知向量a ＝－3b ，则〈a ，b 〉＝________.【解析】 ∵a ＝－3b ，∴a 、b 共线且反向，故〈a ，b 〉＝180°.【答案】 180°4．已知|a |＝2，|b |＝3，且a 、b 夹角为π2，c ＝3a ＋2b ，d ＝λa －b ，若c ⊥d ，求λ的值．【解】 ∵|a |＝2，|b |＝3且〈a ，b 〉＝π2. ∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，a ·b ＝0.又∵c ⊥d 即(3a ＋2b )·(λa －b )＝0.r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 证别为条实数对将两边数积为内线内线明:在α作任一直g,分在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.因m与n相交,故向量m,n不平行,由向量共面的充要件知,存在惟一的有序(x,y),使g =xm +yn,上式与向量l作量，得l ×g =xl ×m +yl ×n.因l ×m =0,l ×n =0,所以l ×g =0,即l⊥g.所以l⊥g,即l垂直于平面α任一直.所以l⊥α.∴3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0.∴12λ－18＝0，∴λ＝32. 课堂小结1．因为空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面向量相同．2．求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角，证明两向量垂直可转化为两个向量的数量积为零；求线段的长度可转化为用数量积的求模公式|a |＝a ·a ；求异面直线的夹角的关键是在两直线上构造向量，使用夹角公式解决.。

[推荐学习]高中数学 3.1 空间向量及其运算2教案北师大版选修2-1

空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

读作：a 平行于b ，记作：//a b ． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量。

在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++， alPBAOa aα试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-， ∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-， ∴AP yAB zAC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+，∵EG OG OE =-，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．E五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．七、作业：1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值。

高中数学2.3空间向量的数量积导学案北师大版选修21

陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 2.3 空间向量的数量积导学案北师版选修2-1 学习方针1. 掌握空间向量夹角和模的概念及暗示方式；2. 掌握两个向量的数量积的计算方式，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．学习过程一、课前准备复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC •.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知： 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 .试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= . 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？⑵ 0a •= （选0还是0）⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分派律）反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明. ⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？举例说明. ⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方式证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方式证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =， 3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.※ 动手试试DA B C练1. 已知向量,a b 满足1a =，2b =，3a b +=，则a b -=____.练2. 222,,22a b a b ==⋅=-已知, 则a b 与的夹角大小为_____.三、小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方式. ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列命题中：①若0a b •=，则a ，b 中至少一个为0②若a 0≠且a b a c •=•，则b c =③()()a b c a b c ••=••④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA •=4. 已知4a =，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b 满足4a =，2b =，3a b -=，则a b +=____课后作业：1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.2. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB, 线段AC α⊥,如果AB ＝a,BD ＝b,AC ＝c,求C 、D 间的距离.D B。

高中数学选修2-1优质学案5：3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)在平面向量中，如何作出两个非零向量a 和b 的夹角？其夹角的取值范围是什么？(2)在空间中两个非零向量a 和b 的夹角及取值范围与平面向量有什么关系？(3)已知两个非零向量a ，b ，如何求a ·b ?(4)空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？2．归纳总结，核心必记 (1)空间向量的夹角①如图，已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作＝b ，则叫做向量a ，b 的夹角，记作．②向量a ，b 的夹角〈a ，b 〉的范围是，若〈a ，b 〉＝π2，那么称向量a ，b 互相，记作______．(2)空间向量的数量积①定义：已知两个非零向量a ，b ，则叫做a ，b 的数量积，记作a ·b . 即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． ②运算律： (ⅰ)(λa )·b ＝； (ⅱ)交换律：a ·b ＝； (ⅲ)分配律：a ·(b ＋c )＝. ③数量积的性质：问题思考(1)〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？(2)数量积运算满足结合律吗？(3)已知向量a，b，对于|a·b|＝|a||b|成立吗？课堂互动区知识点1 空间向量数量积的运算思考要求a·b的值，应知道哪些量的值？讲一讲1．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：类题·通法求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是三角形，每个角都是60°，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值．练一练1．如图所示，已知正四面体OABC的棱长为a，求：知识点2 利用数量积求夹角思考1若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角为β，则α＝β一定成立吗？思考2怎样利用数量积求直线的夹角或余弦值？思考3如何利用数量积证明两个非零向量a和b互相垂直？讲一讲2．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB ＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．类题·通法利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；③利用向量的数量积求角的大小；④证明两向量垂直可转化为数量积为零．练一练2．如图，BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1，▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．知识点3 利用数量积求两点间的距离思考若A，B是空间中两个不同的点，则||的几何意义是什么？讲一讲3．正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．类题·通法利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．练一练3．如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是空间两非零向量的数量积的运算及应用，难点是空间向量夹角或余弦值的求法．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间两非零向量的数量积的求法，见讲1；(2)利用空间向量的数量积求异面直线所成的角及空间两点间的距离，见讲2和讲3.3．求异面直线所成的角(或余弦值)时，易忽视向量的夹角与异面直线所成角的区别，这也是本节课的易错点．——★参考答案★——预习导引区核心必知1．(1)提示：在平面任取一点O，作＝b，则∠AOB即为向量a和b的夹角，且夹角的范围为[0，π]．(2)提示：完全一致．(3)提示：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(4)提示：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.与平面向量的运算律一致．2．(1)①∠AOB〈a，b〉②[0，π] 垂直a⊥b(2)①|a||b|cos〈a，b〉②(ⅰ) λ(a·b)(ⅱ)b·a(ⅲ)a·b＋a·c问题思考(1)提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．(2)提示：数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·c/⇒b＝c.(3)提示：|a·b|＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|.∴当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．课堂互动区知识点1 空间向量数量积的运算思考名师指津：要求a·b，应知道|a|，|b|及〈a，b〉的值．讲一讲1．练一练1．解：(1)＝a×a×cos 60°＝12a 2.(2) ＝a2＋a2cos 60°－2a2cos 60°＋a2cos 60°＋a2－2a2cos 60°＝a2.知识点2 利用数量积求夹角思考1 名师指津：不一定．α＝β或α＋β＝π. 思考2 名师指津：cos_α＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a |·|b |．思考3 名师指津：a ·b ＝0⇔a ⊥b . 讲一讲 2．即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.练一练 2．所以异面直线BA 1与AC 成60°角．知识点3 利用数量积求两点间的距离思考名师指津：||的几何意义是指A ，B 两点间的距离．讲一讲3．解：如图所示，设＝a ，＝b ，＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°.＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF |＝ 5. 练一练 3．。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.3空间向量运算的坐标表示》2

空间向量运算的坐标表示教学设计涡阳一中陈辉教材分析引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础学情分析学生在必修2中学习了立体几何初步以及在必修4中学习了平面向量的基础上学习空间向量及其运算，并利用平面向量解决立体几何中直线、平面位置关系的问题，本节课由平面向量推广到空间向量这一过程中，应注意维数增加对学生带来的影响，让学生感受数学概念推广可能带来很多更好的性质教学方法根据教材的特点和学生的实际情况，本节课采用“启发探究”式的教学方法：从教材内容来看，空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似，因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学，向量坐标运算规律的探索、证明和记忆都与平面向量作类比，让学生经历向量坐标运算由平面向量向空间向量的推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程三维目标1知识与技能：掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；掌握向量的长度公式、两向量夹角公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题2过程与方法：让学生经历向量坐标运算由平面向空间向量推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程3情感态度与价值观：通过空间向量的坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探索能力，提高学生的科学思维素养教学重点1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示；2、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式教学难点从平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算的坐标表示，用空间向量运算的坐标表示解决几何问题教学过程一、复习引入复习前面所学空间向量的运算及其解决的几何问题，类比平面向量的运算及其坐标表示的学习方法，引入本节课设计意图：复习平面向量相关知识，既是回顾，又为下面学习提供类比的方法二、新知探究探究点1 空间向量的运算的坐标表示由平面向量运算的坐标表示，让学生类比猜想出空间向量运算的坐标表示形式：设),,(),,,(222111z y x b z y x a == ，),,(212121z z y y x x b a +++=+→→则，),,(212121z z y y x x b a ---=-→→， ),,(111z y x a λλλλ=→，212121z z y y x x b a ++=⋅→→活动：分组让学生类比平面向量运算的坐标表示的推导过程，自己动手推导以上猜想，并个别展示共同总结得到：空间向量运算的坐标表示 ),,(),,,(z y x b z y x a ==例在平面直角坐标系中，已知),(),,(2211y x B y x A ， ),(1212y y x x AB --=则，试用类比猜想，在空间直角坐标系中，已知),,(),,,(222111z y x B z y x A=AB 则探究点2 空间向量坐标运算的应用让学生自己动手类比平面向量坐标运算的应用得到：让学生自己动手推导，既让学生体会类比的学习方式，又有成就感，记忆清晰三、应用示例;3,2,)1(:).0,2,1(),2,3,1(.1b a a b a b a -+=--=求已知例 ).3())(2(b a b a -⋅+)1,1,0(),3,3,0()3()2,6,4(),1,3,2()2()1,2,1(),3,2,1()1(..2-=-=-=-==-=b a b a b a 或垂直判断下列向量是否平行例例3已知空间三点 ).3,1,2(),2,2,2(),1,1,1(-C B A 1求|||,|AC AB ；2求向量AC AB ,夹角的余弦值设计意图：通过三个例子让学生熟练应用今天所学公式四、课堂小结1向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；2两个向量的垂直、平行判定的坐标表示和长度及夹角公式五、布置作业课本P38 习题2-3 A组1,5（做在课本上）六、板书设计。

高中数学选修2-1精品课件：3.1.3 空间向量的数量积运算

【训练2】如图所示，正四面体
ABCD的每条棱长都等于a，点M，
N 分别是 AB ， CD 的中点，求证：
MN⊥AB，MN⊥CD. 证明 M→N·A→B＝M→B＋B→C＋C→N·A→B ＝M→B＋B→C＋12C→D·A→B ＝M→B＋B→C＋12A→D－12A→C·A→B ＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0，所以M→N⊥A→B，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
a，b 的夹角
记法
_〈_π_]__.当〈a，b〉＝π2时，a__⊥__b
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量A→B与B→C的夹角为∠B.( ) (2)当非零向量 a 与 b 共线时，〈a，b〉＝0.( ) (3)向量A→B与A→C的夹角和向量B→A与C→A的夹角相同.( ) 提示 (1)向量A→B与B→C的夹角是 π－B. (2)当非零向量 a 与 b 共线时，其方向相同或相反，故〈a，b〉＝0 或 π. (3) 向量 A→B 与 A→C 的夹角和向量 B→A 与 C→A 的夹角互为对顶角，故相等. 答案 (1)× (2)× (3)√
(3)E→F·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|·cos〈B→D，D→C〉＝12×1×1×cos 120°＝－14，所以E→F·D→C＝－14； (4)B→F·C→E＝12(B→D＋B→A)·12(C→B＋C→A) ＝14[B→D·(－B→C)＋B→A·(－B→C)＋B→D·C→A＋B→A·C→A] ＝14[－B→D·B→C－B→A·B→C＋(C→D－C→B)·C→A＋A→B·A→C] ＝14－12－12＋12－12＋12＝－18.

高中数学选修2-1精品学案：3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点一空间向量的夹角思考〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？[答案]〈a，b〉与〈b，a〉分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义知〈a，b〉与〈b，a〉相等．梳理(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a，b〉＝0时，a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b〉＝π2时，a与b互相垂直．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝π2.知识点二数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)|a|2＝a·a，|a|＝a·a.(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|. 3．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)．(2)a·b＝b·a(交换律)．(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．(1)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)(4)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)类型一数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD 的中点，求：(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)AB →·CD →.考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|·cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC → ＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. (4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.反思与感悟 (1)已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1-→；(2)BF →·AB 1-→；(3)EF →·FC 1-→.考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积解如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1-→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1-→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16. (2)BF →·AB 1-→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2 ＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1-→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2. 类型二利用数量积证明垂直问题例2 (1)已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，那么AD 与BC 的位置关系为_______．(填“平行”或“垂直”)考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用[答案] 垂直[解析] ∵AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0，∴AD 与BC 垂直．(2)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用证明设A 1B 1-→＝a ，A 1D 1-→＝b ，A 1A -→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |.∵A 1O -→＝A 1A -→＋AO →＝A 1A -→＋12(AB →＋AD →) ＝c ＋12a ＋12b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1-→ ＝12a ＋12b －12c ∴A 1O -→·BD →＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a ＝12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O -→⊥BD →，即A 1O ⊥BD .同理可证A 1O -→⊥OG →，即A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，OG ⊂平面GBD ，BD ⊂平面CBD ，∴A 1O ⊥平面GBD .反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用证明因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OAB ，所以∠AOC ＝∠AOB .又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝0，所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .类型三利用数量积解决空间角或距离问题命题角度1 解决角度问题例3 在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角解 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162， ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225. 反思与感悟求两个空间向量a ，b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B与AC 所成的角．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求解解不妨设正方体的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1-→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B -→＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B -→·AC →＝(a －c )·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1，而|A 1B -→|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B -→，AC →〉＝12×2＝12，∵〈A 1B -→，AC →〉∈(0°，180°)，∴〈A 1B -→，AC →〉＝60°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°.命题角度2 求空间中的两点间的距离例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，求EF 的长．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1-→＝c .由题意，知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°.因为EF →＝EA →＋AA 1-→＋A 1F -→＝－12AB →＋AA 1-→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF →|＝5，即EF ＝ 5.反思与感悟求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．跟踪训练4 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解因为AC 1-→＝AB →＋AD →＋AA 1-→，所以AC -→21＝(AB →＋AD →＋AA 1-→)2＝AB →2＋AD →2＋AA -→21＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)．因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以AC -→21＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC →21＝|AC 1→|2，所以|AC 1-→|2＝23，则|AC 1-→|＝23，即AC 1＝23.1．对于向量a，b，c和实数λ，下列说法正确的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c考点空间向量数量积的概念及性质题点数量积的性质[答案] B[解析]结合向量的运算，只有B正确．2．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“c·a＝0且c·b＝0”是“l⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用[答案] B[解析]若a∥b，则不一定得到l⊥α，反之成立．3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于()A．97 B．97C．61 D．61考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长[答案] C[解析] |2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，∴|2a －3b |＝61.4．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________. 考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角[答案] 3π4 [解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝3π4. 5．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长[答案] 2[解析] |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．。

高中数学选修2-1精品教案1：3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计

3.1.3 空间向量的数量积运算教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程一.复习引入平面向量的数量积及运算律.二.思考分析2008年5月12日，四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2，∴|F|＝6|F0|，∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．三.抽象概括1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ) 交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c两个向量数量积的性质(1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0(2)若a 与b 同向，则a ·b ＝|a |·|b |若反向，则a ·b ＝－|a |·|b |特别地：a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a(3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a |·|b |(4)|a ·b |≤|a |·|b |应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角 (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直角为π.2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a ·b 的几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．四.例题分析及练习[例1] 如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：(1) OA u u r ·OB u u u r； (2) EF u u u r ·BC u u u r ； (3)( OA u u r ＋OB u u u r )·(CA u u r ＋CB u u r )．[思路点拨] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[精解详析] (1)正四面体的棱长为1，则|OA u u r |＝|OB u u u r|＝1.△OAB 为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：OA u u r ·OB u u u r ＝|OA u u r ||OB u u u r |cos 〈OA u u r ，OB u u u r 〉＝|OA u u r ||OB u u u r |cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)因为E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以EF 平行且等于12AC ，于是E EF u u u r ·BC u u u r ＝|EF u u u r ||BC u u u r |cos 〈EF u u u r ，BC u u u r 〉＝12|CA u u r |·|BC u u u r |cos 〈AC u u u r ，BC u u u r 〉＝12×1×1×cos 〈CA u u r ，CB u u r 〉＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA u u r ＋OB u u u r )·(CA u u r ＋CB u u r )＝(OA u u r ＋OB u u u r )·(OA u u r －OC u u u r ＋OB u u u r －OC u u u r )＝(OA u u r ＋OB u u u r )·(OA u u r ＋OB u u u r －2OC u u u r ) ＝OA u u r 2＋OA u u r ·OB u u u r －2OA u u r ·OC u u u r ＋OB u u u r ·OA u u r ＋OB u u u r 2－2OB u u u r ·OC u u u r ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.[感悟体会] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．训练题组11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA u u r ·AC u u u rB ．2AD u u u r ·BD u u u rC ．2FG u u u r ·CA u u rD ．2EF u u u r ·CB u u r解析：2BA u u r ·AC u u u r ＝－2 AB u u u r ·AC u u u r ＝－2a 2cos 60°＝－a 2，2 AD u u u r ·BD u u u r ＝2DA u u u r ·DB u u u r＝2a 2cos 60°＝a 2,2FG u u u r ·CA u u r ＝AC u u u r ·CA u u r ＝－a 2，2EF u u u r ·CB u u r ＝BD u u u r ·CB u u r ＝－BD u u u r ·BC u u u r ＝－12a 2. 答案：B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1) BC u u u r ·1ED u u u r ； (2) BF u u u r ·1AB u u ur .解：如图所示，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1) BC u u u r ·1ED u u u r ＝BC u u u r ·(1EA u u u r ＋11A D u u u u r )＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16. (2) BF u u u r ·1AB u u u r ＝(1BA u u u r ＋1A F u u u r )·(AB u u u r ＋1AA u u u r )＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.[例2] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[思路点拨] 先求1BA u u u r ·AC u u u r ，再由夹角公式求cos 〈1BA u u u r ，AC u u u r 〉，并由此确定异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[精解详析] ∵1BA u u u r ＝BA u u r ＋1AA u u u r ＝BA u u r ＋1BB u u u r ，AC u u u r ＝BC u u u r －BA u u r ，且BA u u r ·BC uuu r ＝1BB u u u r ·BA u u r ＝1BB u u ur ·BC u u u r ＝0， ∴1BA u u u r ·AC u u u r ＝－2BA u u u r ＝－1.又|AC u u u r |＝2，|1BA u u u r |＝1＋2＝3，∴cos 〈1BA u u u r ，AC u u u r 〉＝1BA u u u r ·AC u u ur |1BA u u u r ||AC u u u r |＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. [感悟体会] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：训练题组23．已知a ，b 是异面直线，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( ) A ．30° B ．45°C ．60° D ．90°解析：设〈AB u u u r ，CD u u u r 〉＝θ，∵AB u u u r ·CD u u u r ＝(AC u u u r ＋CD u u u r ＋DB u u u r )·CD u u ur ＝|CD u u u r |2＝1，∴cos θ＝AB u u u r ·CD u u u r |AB u u u r ||CD u u u r |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：C4．已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求OE uuu r与BF uuu r所成角的余弦值．解：如图，设OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.因为OE u u u r ＝12(a ＋b )，BF u u u r ＝12c －b ，|OE u u u r |＝|BF u u u r |＝32，∴OE u u u r ·BF u u u r ＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.∴cos 〈OE u u u r ，BF u u u r 〉＝OE u u u r ·BF u u u r|OE u u u r |·|BF u u u r |＝－23. ∵异面直线所成的角为直角或锐角，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路点拨] 把向量AC 1u u u u r 和BD 1u u u r 用已知向量AB u u u r ，AD u u u r ，AA 1u u ur 表示出来，再用数量积的定义运算．[精解详析] ∵AC 1u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 1u u u r ，∴|AC 1u u u u r |2＝AC 1u u u u r 2＝(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 1u u ur )2＝AB u u u r 2＋AD u u u r 2＋AA 1u u u r 2＋2(AB u u u r ·AD u u u r ＋AB u u u r ·AA 1u u u r ＋AD u u u r ·AA 1u u ur )＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1u u u u r|＝6，即对角线AC 1的长为 6.同理，|BD 1u u u r |2＝BD 1u u u r 2＝(AD u u u r ＋AA 1u u u r －AB u u u r)2＝AD u u u r 2＋AA 1u u u r 2＋AB u u u r 2＋2(AD u u u r ·AA 1u u u r －AB u u u r ·AA 1u u u r －AD u u u r ·AB u u u r )＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos60°－cos 60°)＝2.∴|1BD u u u r|＝2，即对角线BD 1的长为 2.[感悟体会] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离．训练题组35.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：∵PC u u u r ＝PA u u r ＋AB u u u r ＋BC u u u r ， ∴PC u u u r 2＝PA u u r 2＋AB u u u r 2＋BC u u u r 2＋2AB u u u r ·BC u u u r ＋2PA u u r ·AB u u u r ＋2PA u u r ·BC u u ur ＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，∴|PC u u u r|＝12.答案：C6．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC u u u r ·CD u u u r ＝0，同理，AC u u u r ·BA u u r＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝60°或120°.又BD u u u r ＝BA u u r ＋AC u u u r ＋CD u u u r ，∴BD u u u r ·BD u u u r ＝|BA u u r |2＋|AC u u u r |2＋|CD u u u r |2＋2BA u u r ·AC u u u r ＋2BA u u r ·CD u u ur ＋2AC u u u r ·CD u u u r ＝3＋2×1×1×cos 〈BA u u r ，CD u u u r 〉＝⎩⎨⎧4 〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝60°，2 〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝120°，∴|BD u u u r |＝2或2，即B ，D 间距离为2或 2.[例4] 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC .[思路点拨] 先将已知条件转化为AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r ＝0，再证明AD u u u r ·BC u u u r ＝0.[精解详析]∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r＝0. ∴AD u u u r ·BC u u u r ＝(AB u u u r ＋BD u u u r )·(AC u u u r －AB u u u r ) ＝AB u u u r ·AC u u u r ＋BD u u u r ·AC u u u r －AB u u u r 2－AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·AC u u u r －AB u u u r 2－AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·(AC u u u r －AB u u u r －BD u u u r )＝AB u u u r ·DC u u ur ＝0. ∴AD u u u r ⊥BC u u ur ，从而AD ⊥BC .[感悟体会] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明．训练题组47．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0；反之，若a ∥b ，则c ⊥a ，c ⊥b ，并不能保证l ⊥平面α. 答案：B8．已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点．求证：OG ⊥BC .证明：连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG u u u r ＝12(OM u u u r ＋ON u u u r )＝12[12OA u u r ＋12(OB u u u r ＋OC u u u r )]＝14(a ＋b ＋c )，BC u u u r ＝c －b ，∴OG u u u r ·BC u u u r ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14·(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG u u u r ⊥BC u u u r，即OG ⊥BC .五.课堂小结与归纳1．求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角．在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同．2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题．其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．六.当堂训练1．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．12 B ．8＋13C ．4 D ．13解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13.答案：D2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°解析：∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 答案：D3．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(ke 1－4e 2)＝0. ∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6. 答案：B4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB u u u r ·AC u u u r ＝0，AC u u u r ·AD u u u r ＝0，AB u u u r ·AD u u u r ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BC u u u r ·BD u u u r ＝(AC u u u r －AB u u u r )·(AD u u u r －AB u u u r )＝AC u u u r ·AD u u u r －AC u u u r ·AB u u u r －AB uu u r ·AD uuu r ＋AB u u u r 2＝AB u u u r 2>0.同理，可证CB u u r ·CD u u u r >0，DB u u u r ·DC u u ur >0. ∴三角形的三个内角均为锐角．答案：B5．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22. 答案：226．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：1AC u u u r 2＝(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r )2＝AB u u u r 2＋AD u u u r 2＋1AA u u u r 2＋2AB u u u r ·AD u u u r ＋2AB u u u r ·1AA u u u r ＋2AD u u u r ·1AA u u ur＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60° ＝50＋20＋15＝85，∴|1AC u u u r|＝85.答案：857.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1) 1AB u u u r ＝AB u u u r ＋1BB u u ur ，1BC u u u r ＝1BB u u u r ＋BC u u u r .∵BB 1⊥平面ABC ，∴1BB u u u r ·AB u u u r＝0，1BB u u u r ·BC u u u r ＝0.又△ABC 为正三角形， ∴〈AB u u u r ·BC u u u r 〉＝π－〈BA u u r ·BC u u u r 〉＝π－π3＝2π3. ∵1AB u u u r ·1BC u u u r ＝(AB u u u r ＋1BB u u ur )·(1BB u u u r ＋BC u u u r )＝AB u u u r ·1BB u u u r ＋AB u u u r ·BC u u ur ＋1BB u u u r 2＋1BB u u u r ·BC u u u r＝|AB u u u r |·|BC u u u r |·cos 〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＋1BB u u u r 2＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知1AB u u u r ·1BC u u u r ＝|AB u u u r |·|BC u u u r |·cos 〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＋1BB u u u r 2＝1BB u u u r 2－1. 又|1AB u u u r |＝AB u u u r2＋1BB u u u r 2＝2＋1BB u u u r 2＝|1BC u u u r |，∴cos 〈1AB u u u r ，1BC u u u r 〉＝1BB u u u r2－12＋1BB u u u r 2＝12， ∴|1BB u u u r|＝2，即侧棱长为2.8．在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值； (2)求FH 的长．解：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AA 'u u u r＝c ，则a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1.(1)∵EF u u u r ＝ED u u u r ＋DF u u u r －12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'C G u u u r ＝'C C u u u r ＋CG u u u r ＝－c －14a ，∴EF u u u r ·'C G u u u r ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF u u u r |2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'C G u u u r |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF u u u r |＝32，|'C G u u u r |＝174，cos 〈EF u u u r ，'C G u u u r 〉＝EF u u u r ·'C G u u u r |EF u u u r ||'C G u u u r |＝5117，所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH u u u r ＝FB u u r ＋BC u u ur ＋'CC u u u r ＋'C H u u u u r＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'C G u u ur人教版高中数学选修2-1教学设计11 ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a ) ＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH ―→|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164， ∴FH 的长为418.。

[原创]高中数学选修(2-1)3.1.3空间向量及其数量积运算

C
uuur uuur uuur uuur 所以 OAOC OAOB
所以OC AB
B
uuur uuur uuur uuur
OB OC OB OA
uuur uuur uuur uuur
所以 OuuAur OuuCur OuuuBr OC 0
即 (OA OB) OC 0
两个向量的夹角两个向量的数量积空间向量数量积的运算律
r 如果a,
r b
,
rr
r
则称a与b互相垂直，并记作：a
r b
2
知识要点
（2）两个向量的数量积
uuur r
uuur
r
设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度
r 或模, 记作：a
rr rr rr 已知空间两个非零向量a,b，则 a b cosa,b叫做向
rr
rr
量a,b的数量积，记作：a b,即
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞特级教师源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
新疆王新敞
奎屯
课堂练习
r
r
1.已知 a 2 2 , b
2
rr , ab
2
r ,则a
,
r b所夹的角为
_13_5_°_
.
2
2.判断真假：
rr
r rr r
(1)若a b 0,则a 0,b 0 (× )
rr r r rr
(2) (a b) c a (b c)
(× )
uur uur ur r
(3) p2 q2 ( p q)2
上的或在e方向上的正射影，简称射影。 B
uuur r r r r

高中数学选修2-1教案：3.1.3空间向量的数量积(集智备课)教案

集智备课教案年级高二学科数学时间2019.11.28 地点高二11班集备课题 3.1.3空间向量的数量积教材分析空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，空间向量的数量积运算是继空间向量的加、减、数乘运算后的又一种运算，是从平面到空间推广的实例，学生在学习过程中将充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标下的向量法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础。

教学目标1.会识别空间向量的夹角；2.能够由平面推广到空间；3.掌握空间两向量数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的简单问题；4.强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.教学重点难点重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用；难点：如何将立体几何问题转化为向量的计算问题教学思路设计内容与方法选择教学工具的使用和说明类比归纳法PPT演示辅助教学步骤相关说明一、回顾引入根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.回顾平面向量数量积相关知识点：由平面向量的数量积发现过程引入二、新课讲授任意两个向量都共面，平间向量数量积可推广到空面向量数量积。

1. 两个向量的夹角的定义：如图,已知两个非零向量、a b ,在空间任取一点O ,作OA a =,OB b =,则角AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作:,a b .问1：和是同一个角么？（1）是。

两个向量的夹角是唯一确定的！问2：空间向量夹角的范围是什么？（2）（3）,0a b <>=时a 与b 同向 ,a b π<>=时a 与b 反向 ,2a b π<>=时a b ⊥2. 两个向量的数量积已知空间两个非零向量、a b ,则cos ,a b a b 〈〉叫做、a b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量;将表格中平面向量数量积逐条推广到空间向量数量积②规定:0与任意向量的数量积等于0； ③问题：类比平面向量，你能说出a b ⋅的几何意义么？数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b <>的乘积3. 空间两个向量的数量积性质显然,对于非零向量、a b ,e 是单位向量有下列性质: ①cos ,a e a a e ⋅=； ②0;a b a b ⊥⇔⋅= ③2a a a =⋅也就是说2a a =.4. 空间向量的数量积满足的运算律⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵ a b b a ⋅=⋅(交换律)⑶ ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。

高中数学选修2-1优质学案7：3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算教材新知知识点一空间向量的夹角提出问题如图所示，已知平面向量a ，b .问题1：试作出向量a ，b 的夹角．问题2：若a ，b 为空间非零向量，两向量还有夹角吗？若有，试作出．导入新知如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b ，记作a ⊥b .化解疑难1．由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π.2．对空间任意两个非零向量a ，b ，有：(1)〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉＝〈－a ，－b 〉＝〈－b ，－a 〉； (2)〈a ，－b 〉＝〈－a ，b 〉＝π－〈a ，b 〉. 知识点二空间向量的数量积提出问题问题1：平面向量的数量积a ·b 是怎样定义的？问题2：类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间向量数量积定义吗？问题3：空间向量数量积运算满足交换律和分配律吗？导入新知1．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量数量积的性质化解疑难1．向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.2．向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.3．向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．常考题型题型一空间向量的数量积的运算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：(1)EF ―→·BA ―→； (2)EF ―→·BD ―→； (3)AB ―→·CD ―→. 类题通法求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60°，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值．活学活用如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为a ，求：(1)OA ―→·OB ―→；(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)．题型二利用空间向量的数量积求夹角例2 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求BC 1―→与AC ―→夹角的大小．类题通法(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合转化为求平面中的角的大小．(2)由两个向量的数量积定义得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值．活学活用如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．题型三利用空间向量的数量积证明垂直例3已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.类题通法当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．活学活用如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.题型四利用空间向量数量积求距离(即线段长度)利用空间向量数量积求距离(即线段长度)例4在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝12|ND|，求|MN|.类题通法求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝a2，通过计算求出|a|，即得所求距离．活学活用如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝6，求线段PC的长．随堂即时演练1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有()A ．AB ―→·A 1C 1―→＝2a 2 B ．AB ―→·AC 1―→＝2a 2 C ．AB ―→·AO ―→＝12a 2D ．BC ―→·DA 1―→＝a 22．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为( )A.12B.22C ．－12D ．03．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________. 4．如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB ―→＋BC ―→|＝________，|BC ―→－EF ―→|＝________.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .——★ 参考答案 ★——教材新知知识点一空间向量的夹角提出问题问题1：提示：如图，∠AOB 为a 和b 的夹角．问题2：提示：有；在空间取一点O ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 为两向量的夹角．导入新知互相垂直知识点二空间向量的数量积提出问题问题1：提示：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．问题2：提示：能，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．问题3：提示：满足．常考题型题型一空间向量的数量积的运算例1 解：(1)EF ―→·BA ―→＝12BD ―→·BA ―→＝12|BD ―→||BA ―→|·cos 〈BD ―→，BA ―→〉＝12cos 60°＝14. (2)EF ―→·BD ―→＝12BD ―→·BD ―→＝12|BD ―→|2＝12.(3)AB ―→·CD ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→) ＝AB ―→·AD ―→－AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AD ―→|cos 〈AB ―→，AD ―→〉－|AB ―→||AC ―→|cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 活学活用解：(1)OA ―→·OB ―→＝a ×a ×cos 60°＝12a 2.(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→－OC ―→＋OB ―→－OC ―→)＝a 2＋a 2cos 60°－2a 2cos 60°＋a 2cos 60°＋a 2－2a 2cos 60°＝a 2. 题型二利用空间向量的数量积求夹角例2 解：不妨设正方体的棱长为1， BC 1―→·AC ―→＝(BC ―→＋CC 1―→)·(AB ―→＋BC ―→) ＝(AD ―→＋AA 1―→)·(AB ―→＋AD ―→)＝AD ―→·AB ―→＋AD ―→2＋AA 1―→·AB ―→＋AA 1―→·AD ―→ ＝0＋AD ―→2＋0＋0 ＝AD ―→2＝1，又∵|BC 1―→ |＝2，|AC ―→|＝2，∴cos 〈BC 1―→，AC ―→〉＝BC 1―→·AC ―→|BC 1―→||AC ―→|＝12×2＝12.∵〈BC 1―→，AC ―→〉∈[0，π]， ∴〈BC 1―→，AC ―→〉＝π3.∴BC 1―→与AC ―→夹角的大小为π3.活学活用解：∵BA 1―→＝BA ―→＋AA 1―→＝BA ―→＋BB 1―→，AC ―→＝BC ―→－BA ―→，且BA ―→·BC ―→＝BB 1―→·BA ―→＝BB 1―→·BC ―→＝0， ∴BA 1―→·AC ―→＝－BA 2―→＝－1.又∵|AC ―→|＝2，|BA 1―→|＝1＋2＝3，∴cos 〈BA 1―→，AC ―→〉＝BA 1―→·AC ―→|BA 1―→||AC ―→|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. 题型三利用空间向量的数量积证明垂直例3 证明：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB ―→·CD ―→＝0，AC ―→·BD ―→＝0. ∴AD ―→·BC ―→＝(AB ―→＋BD ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝AB ―→·AC ―→＋BD ―→·AC ―→－AB 2―→－AB ―→·BD ―→＝AB ―→·AC ―→－AB 2―→－AB ―→·BD ―→＝AB ―→·(AC ―→－AB ―→－BD ―→)＝AB ―→·DC ―→＝0. ∴AD ―→⊥BC ―→，从而AD ⊥BC . 活学活用证明：设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |. ∵A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12a ＋12b ，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→＝OC ―→＋CG ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋12CC 1―→＝12a ＋12b －12c . ∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O ―→⊥BD ―→，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→，即A 1O ⊥OG . 又∵OG ∩BD ＝O ， ∴A 1O ⊥平面GBD .题型四利用空间向量数量积求距离(即线段长度)利用空间向量数量积求距离(即线段长度) 例4 解：∵MN ―→＝MB ―→＋BC ―→＋CN ―→＝23AB ―→＋(AC ―→－AB ―→)＋ 13(AD ―→－AC ―→)＝－13AB ―→＋13AD ―→＋23AC ―→. ∴MN ―→·MN ―→＝－13AB ―→＋13AD ―→＋23AC ―→·－13AB ―→＋13AD ―→＋23AC ―→＝19AB ―→2－29AD ―→·AB ―→－49AB ―→·AC ―→＋49AC ―→·AD ―→＋19AD ―→2＋49AC ―→2 ＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2.故|MN ―→|＝MN ―→·MN ―→ ＝53a ，即|MN |＝53a . 活学活用解：∵PC ―→＝P A ―→＋AD ―→＋DC ―→，∴|PC ―→|2＝(P A ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|P A ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2P A ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·P A ―→＝62＋42＋32＋2|AD ―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.随堂即时演练1．[答案]C[解析]∵AB ―→·AO ―→＝AB ―→·12AC 1―→ ＝12AB ―→·(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(AB ―→2＋AB ―→·AD ―→＋AB ―→·AA 1―→) ＝12AB ―→2＝12|AB ―→|2 ＝12a 2. 2．[答案]D[解析]如图所示，∵OA ―→·BC ―→＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→)＝OA ―→·OC ―→－OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OC ―→|·cos ∠AOC －|OA ―→|·|OB ―→|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ―→⊥BC ―→，∴〈OA ―→，BC ―→〉＝π2，cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝0.3．[答案]－32[解析]由m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋(λ＋1)a ·b ＋λ|b |2＝0，得18＋(λ＋1)×32×4×cos 135°＋16λ＝0，可得18－12λ－12＋16λ＝0，解得λ＝－32. 4．[答案]2 3[解析]|AB ―→＋BC ―→|＝|AC ―→|＝2.EF ―→＝12BD ―→， BD ―→·BC ―→＝2×2×cos 60°＝2，故|BC ―→－EF ―→|2＝BC ―→－12BD ―→2＝BC ―→2－BC ―→·BD ―→＋14BD ―→2＝4－2＋14×4＝3，故|BC ―→－EF ―→|＝ 3.5．证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD ―→·AC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·AC ―→＝AD ―→·AC ―→－AB ―→·AC ―→，由于AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AD ―→＋DC ―→)＝AD ―→·AD ―→＝1，AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝2×2×12＝1. ∴BD ―→·AC ―→＝0，即BD ⊥AC .又∵BD ⊥AD ，∴BD ⊥平面ADC .。

北师大版选修2-1高中数学3.1.3空间向量的数量积word教案1

补充：
1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（ 1）；（2）；（3）．
3．向量的数量积：
已知向量，那么叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，那么叫做向量在轴上或在上的正射影；能够证明的长度．
4．空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）
（3）．
5．空间向量数量积运算律：
（1）．
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
解：∵ ，
∴
∴ ，
因此，与的夹角的余弦值为．
说明：由图形知向量的夹角99页练习第一、二、3题。
六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。
七．作业：讲义第106页第3、4题
教学进程
学生探讨进程：（一）温习：空间向量大体定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示
已知两非零向量，在空间任取一点，作，那么叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；
若，那么称与相互垂直，记作：；
2．向量的模：
设，那么有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；
．空间向量的数量积（1）
教学目标：1．把握空间向量夹角和模的概念及表示方式；
2．把握两个向量的数量积的计算方式，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。[
教学重、难点：空间数量积的计算方式、几何意义、立体几何问题的转化。
教具预备：与教材内容相关的资料。
教学假想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培育严谨的学习态度，培育踊跃进取的精神．

高中数学选修2-1优质学案3-3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3空间向量的数量积运算【学习目标】理解空间向量的夹角和数量积的意义和性质. 能用向量的数量积表示夹角和长度。

【学习重点】两个向量的数量积的计算方法及应用【学习难点】如何将立体几何问题转化为向量的计算问题【新知视界】 1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 、b 的夹角，记为〈a ，b 〉． (2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是0≤θ≤π.特别是，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当θ＝π2时，两向量垂直，记为a ⊥b . 【思考感悟】〈a ，b 〉与〈b ，a 〉的关系是怎样的？〈a ，b 〉与〈－a ，b 〉、〈a ，－b 〉的关系呢？提示：〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉，〈a ，－b 〉＝〈－a ，b 〉＝π－〈a ，b 〉． 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记为a ·b , 即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定，零向量与任何向量的数量积为0，即0·a ＝0. 3．两个向量数量积的性质若a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0.③若a 与b 同向，则a ·b ＝|a |·|b |；若a 与b 反向，则a ·b ＝－|a |·|b |. 特别地：a •a ＝|a|2或|a |＝a •a .④若θ为a 、b 的夹角，则cos θ＝a•b|a||b|. ⑤|a •b |≤|a ||b |.4．两个向量数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律： ①(结合律)(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②(交换律)a ·b ＝b ·a ；③(分配律)a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 【实践演练】典型例题例1 如图3所示，已知正三棱锥A —BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积： (1)AB →·AC →； (2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →； (4)EF →·BC →.迁移体验1 已知正四面体O —ABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →； (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (3)|OA →＋OB →＋OC →|.例2 已知点O 是正△ABC 平面外的一点，若OA ＝OB ＝OC ＝AB ＝1，E 、F 分别是AB 、OC 的中点，试求OE 与BF 所成角的余弦值．迁移体验2 如图6所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．基础练习1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( )．A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )． A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )． A.12 B.22 C ．－12D ．0 4．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________．5．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．拓展提升1．已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( )． A. 3 B ．2 C. 5 D. 62．已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________．4．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是______．5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°. 求证：BD ⊥平面ADC .6．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．——★ 参考答案 ★——例1 [答案] (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°，∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.【点评】本题主要考查空间向量数量积的定义及其运算，要求大家在熟练掌握的基础上能灵活运用．迁移体验1 [答案]如图4所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1；(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋21×1×cos60°×3＝ 6.例2 [解析]利用两向量的夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，注意两异面直线所成的角与两向量的夹角有所区别． [答案] 如图5所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12，|a |＝|b |＝|c |＝1，OE →＝12(a ＋b )，BF →＝12c －b ，OE →·BF →＝12(a ＋b )·(12c －b )＝12(12a ·c ＋12b ·c －a ·b －|b |2) ＝12(14＋14－12－1)＝－12， ∴cos 〈OE →，BF →〉＝OE →·BF →|OE →||BF →|＝－1232×32＝－23，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.【点评】对于空间向量a 、b ，有cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角的问题．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为(0，π2]，故〈OE →，BF →〉∈(0，π2]时，它们相等；而当〈OE →，BF →〉∈(π2，π)时，它们互补．迁移体验2 [答案]不妨设正方体的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1. 而|A 1B →|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12， ∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 基础练习1．[解析] 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ·b ＝0；对于C ，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ；对于D ，a ·b ＝a ·c 可以移项整理推得a ⊥(b －c )． [答案] B2．[解析] 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；EF →·CB →＝－12a 2，故D 错，只有C 正确．[答案] C3．[解析]因为OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉，又因为〈OA →，OC →〉＝〈OA →，OB →〉＝π3，|OB →|＝|OC →|，所以OA →·BC →＝0，所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. [答案] D4．[解析] 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18.[答案] 185．[解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.[答案] －13 拓展提升1．[解析]∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6. [答案]D2．[解析] ∵AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD →＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12，∴a 与b 的夹角为60°. [答案] C3．[解析] 由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，∴a 2＋(1＋λ)a ·b ＋λb 2＝0， ∴18＋(λ＋1)×32×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－32.[答案] －324．[解析] 不妨设棱长为2，则AB 1→＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·（BC →＋12BB 1→）22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°. [答案] 90°5．【证明】不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ADC .6．[答案](1)证明 AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →.∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0.又△ABC 为正三角形，∴〈AB →·BC →〉＝π－〈BA →·BC →〉＝π－π3＝2π3.∵AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →) ＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)解结合(1)知AB 1→·BC 1→＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1.又|AB 1→|＝|BC 1→|.∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12，∴|BB 1→|＝2，即侧棱长为2.。

北师大版高中数学选修2-1教案：2.2空间向量的运算

课堂检测内容
课本第30页练习4习题2-2 1
课后作业布置
课本第32页习题2-2 2,3
预习内容布置
课本第33页3.1空间向量的坐标表示
情感态度与价值观：学会用发展的眼光看问题,认识事物是在不断发展变化的,会用联系的观点看待问题.
学情分析
已经学习过平面向量的基础知识，可以为学习空间向量作准备
教学重难点
学习重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律
学习难点：用向量解决立体几何问题
提炼的课题
空间向量的数量积运算
教学手段运用
教学资源选择
探究归纳，讲练结合
教学过程
环节
学生要解决的问题或任务
教师教与学生学
设计意图
（一）复习：
1．向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．
在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指 “将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．
2．空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）．
（3）．
3．空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）．
向量数量积性质应用
① （用于判定垂直问题）
② （用于求模运算问题）

高中数学选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算课件 (共22张PPT)

2.由已知三棱柱为正三棱柱，如果设 BB1 1,那么 0 0 2 90 60 AB=______, A1 AB A1 AC ____, BAC ____.
两条直线所成的角与两向量所成的角有时相等有时互补，此时相等。 5.与 AB1与 C 1B 所成的角为____ 90 0 .
本节课所用知识复习：
b, a b a b cos a , b . 空间两个非零向量 a、 b 的数量积(或内积)．叫做向量 a、
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
1
a b cos a , b a b
整理思路，规范解题过程。解：设BB1 1则AB= 2
AB1 AB BB1 AB AA1 BC1 BC CC1 AC AB CC1
重点：
1.理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用，两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。 2. 辨析两条直线所成的角与两条直线的方向向量所成
的角的区别。认识清楚何时相等何时互补。
难点：
两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转
化为向量计算问题，向量计算问题中的化归方向。
AB1BC1 AB AA1 AC AB AA1
ABAC ABAB ABAA1 AA1 AC AA1 AB AA1 2 2 0 AB AC COS 60 AB 0 0 0 AA1 1 2 2 2 2 1 0 2
1
用新方法解题：（按照指导思路解答）思路指导： 1. 请你结合题意选择一组基底 _______________. AB, AC , AA1. 用这一组基底 AB BB1 AB AA1 来表示AB1 =___________________, BC CC AC AB AA1 BC 1 =_______________.

高中数学选修2-1精品教案2-3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计

3.1.3 空间向量的数量积运算一、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.二、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作＝a ，＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：＜a ，b ＞．当＜a 、b ＞＝０时，a 与b 同向；当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b＞＝时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a ＞．⑶注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞.说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.3. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律： ⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)4. 教学例题：OA u u u r OB u u u r 0≤π≤2π≠例1：已知：在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，求证：OC ⊥AB例 2.如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠=o ，60ABC ∠=o ，求AB 与CD 的夹角的余弦值5.巩固练习： 1．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC 、BD 、PB 、PC 、PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.P A →与CD →2．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m ，n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能3．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 4．已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于________．6．已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.三、小结：、我们今天学习的内容：1、空间向量的夹角、模、数量积、运算律；2、求两点之间的距离或线段长度；3、求两直线所成角；4、证明：垂直问题.答案例1.【答案】AC OB C B OA ⊥⊥，证明：由已知)(0)(0,0所以=-⋅=-⋅=⋅=⋅OA OC OB OB OC OA AC OB BC OA OAOB OC OB OB OA OC OA ⋅=⋅⋅=⋅所以 00)(0所以=⋅=⋅-=⋅-⋅OC BA OC OB OA OC OB OC OA0)(0所以=⋅=⋅-=⋅-⋅OC BA OC OB OA OC OB OC OA例2.【答案】解：∵CD BD BC =-u u u r u u u r u u u r ，∴AB CD AB BD AB BC ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ,AB BD AB BD =⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r ||||cos ,AB BC AB BC -⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r2cos15023cos120633==-⨯-⨯+-⨯=o o ∴31cos ,232||||AB CD AB CD AB CD ⋅-<>===-⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AB 与CD 的夹角的余弦值为12．巩固练习：1．【答案】A.【解析】由图分析可知(图略)，选项B 、C 、D 中两向量的夹角均为90°，∴数量积都为0.2．【答案】B.【解析】因为m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μm ·b ＝0，所以m ⊥n .3．【答案】B.【解析】∵DB →＋DC →－2DA →＝(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)＝AB →＋AC →，∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|.4．【答案】B.【解析】当a 与b 不共线时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B.5．【解析】a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2.【答案】－26．【答案】解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC →2＝12＋12＋12＋21×1×cos 60°×3＝ 6.。