最新人教版九年级数学下28.2.2第3课时利用方位角、坡度角解直角三角形ppt公开课优质教学课件
人教版九年级数学下册 28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 知识点梳理
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1.如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．9mB ．6mC ．D ．2.在某次海上搜救工作中，A 船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A 船正东10km 处的B 船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B 船到该漂浮物的距离是（ ）A ．B ．kmC ．10kmD ．20km 3.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）A ．4kmB ．kmC ．kmD ．+1）km第3题图 第4题图 4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ）A.34米B.56米C.512米D.24米5.如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了_________cm.第5题图第6题图7.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离.9.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．10.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)11.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6)。
人教版数学九年级下册28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形.ppt
答案：点B和点C的水平
距离为
40
20 3
3
米.
B
AD 30°
C
当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : 3 ，坝高
BC=3m，则坡面AB的长度是
( B)
A. 9m B. 6m C. 6 3m D. 3 3m
B
C
A
2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方
向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方
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2014
第三节
教学准备
输入你的文本 根据你所需的内容输入你想要的文本 点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，
请根据您的具体内容酌情修改。
MORE THAN TEMPLATE
北
C
43°
A
B
5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.1米， 3 1.732 ，
2 1.414 ).
解：作DE⊥AB， CF⊥AB， 垂足分别为E、F． 由题意可知
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
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部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》
部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是学生在学习了三角函数基础知识之后的一个实践应用部分。
本节内容通过实际问题引入方位角和坡度的概念，让学生了解在实际问题中如何利用三角函数知识解决问题。
教材通过实例分析，引导学生掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对直角三角形有一定的认识。
但是，将理论知识应用于实际问题解决中，特别是涉及到方位角和坡度的问题，对学生来说还是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法。
2.过程与方法：通过实际问题，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：方位角、坡度的概念及应用。
2.难点：如何将方位角、坡度与直角三角形相结合，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入方位角、坡度的概念。
2.准备一些图片或实物，用于展示直角三角形的应用。
3.分组讨论的素材，让学生在课堂上进行实践操作。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如建筑工人测量高度、航海员确定船只位置等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
让学生认识到方位角、坡度在实际生活中的重要性。
2. 呈现（10分钟）教师讲解方位角、坡度的概念，并通过实例解释其在实际问题中的应用。
同时，引导学生回顾直角三角形的知识，为后续解直角三角形打下基础。
人教版初中数学九年级下册教案 28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200m.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100m 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表示出．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8m ＞100m.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD .解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝CD AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD .又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433(m)．答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°.求坝底AD 的长度．解析：首先过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，可得四边形BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF ，又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF ，BE ＝CF .由题意，得EF ＝BC ＝3，BE ＝CE ＝2.∵背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BE tan45°＝2，DF ＝CFtan30°＝23，∴AD ＝AE ＋EF ＋DF ＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD 的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为i ＝1∶2，斜坡AB 的长为65m ，斜坡的高度为AH (AH ⊥BC )，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB ＝14°)．(1)求车库的高度AH ；(2)求点B 与点C 之间的距离(结果精确到1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i ＝1∶2，得出AH ∶BH ＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH 的长；(2)利用tan14°＝6BC ＋12，求出BC 的长即可． 解：(1)由题意可得AH ∶BH ＝1∶2，设AH ＝，则BH ＝2，故2＋(2)2＝(65)2，解得＝6，故车库的高度AH 为6m ；(2)∵AH ＝6m ，∴BH ＝2AH ＝12m ，∴CH ＝BC ＋BH ＝BC ＋12m.在Rt △AHC 中，∠AHC ＝90°，故tan ∠ACB ＝AH CH ，又∵∠ACB ＝14°，∴tan14°＝6BC ＋12，即0.25＝6BC ＋12，解得BC ＝12m.答：点B 与点C 之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.。
新人教部编版初中九年级数学28.2.2 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形
A．(30＋30 3) km B．(30＋10 3) km C．(10＋30 3) km D．30 3 km
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12．如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈 道 AB，栈道 AB 与景区道路 CD 平行．在 C 处测得栈道一端 A 位于 北偏西 42°方向，在 D 处测得栈道另一端 B 位于北偏西 32°方向．已 知 CD＝120 m，BD＝80 m，求木栈道 AB 的长度(结果保留整数，参 考数据：sin32°≈1372，cos32°≈1270，tan32°≈58，sin42°≈2470，cos42 °≈34，tan42°≈190)．
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∴MN＝EN－EM＝BF－EM＝BC－CF－EM ＝20－16－2x－2x＝4(米)．
即平台 MN 的长度为 4 米．
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(1)若新坡面坡角为 α，求坡角 α 的度数；
解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为
1∶
3，∴t a n α＝
1＝ 3
33.
∴α＝30°.
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(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米 时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆 除？请说明理由．
形，坝内一斜坡的坡度 i＝1∶ 3，则这个斜坡坡角
为( A ) A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
人教版九年级数学下 28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 学案
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。
新人教部编版初中九年级数学28.2.2 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形
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解：如图，过 B 作 BD⊥AC 于点 D， 则∠BDC＝90°， ∠CBD＝90°－45°＝45°. 在 Rt△ABD 中，∠BAD＝60°， AB＝4 千米， ∴BD＝AB·sin∠BAD＝4×23＝2 3(千米)．
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分析：
解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C.由题意可知∠A＝30°， ∠B＝64°. 在 Rt△APC 中，∵∠ACP＝90°， ∠A＝30°，AP＝80 海里，
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∴PC＝AP·sin30°＝80×12＝40(海里)． 在 Rt△PBC 中， ∵∠BCP＝90°，∠B＝64°， ∴PB＝siPn6C4°≈04.09≈44.4(海里)． 答：海轮所在的 B 处与灯塔 P 的距离约为 44.4 海里．
在 Rt△BCD 中，∠CBD＝45°， BD＝2 3千米，
∴BC＝cos∠BDCBD＝2
3 2 ＝2
6(千米)．
2
答：B，C 两地的距离是 2 6千米．
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5．(教材 P77 练习 T2 变式) 如图，某公园内有座桥，桥 的高度是 5 米，CB⊥DB，坡 面 AC 的倾斜角为 45°.为方便老人过桥，市政部门 决定降低坡度，使新坡面 DC 的坡度为 i＝ 3∶3. 若新坡角外需留下 2 米宽的人行道，问离原坡角(A 点 处 )6 米 的 一 棵 树 是 否 需 要 移 栽 ( 参 考 数 据 ：
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九年级数学下册28.2.2解直角三角形的简单应用第3课时利用方位角坡度角解直角三角形新人教版8
28.2.2 解直角三角形的简单应用第 3 课时利用方向角、坡度角解直角三角形知识点 1: 利用方向角解直角三角形1．如图，某人从 O点沿北偏东 30°的方向走了 20 米抵达 A 点， B 在 O点的正东方，且在 A 的正南方，则此时 AB 间的距离是 ________米． ( 结果保存根号 )2． ( 百色中考 ) 有一轮船在 A 处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至 B 处，测得小岛 P 在南偏东45°方向上，按原方向再航行10 海里到 C处，测得小岛P 在正东方向上，则A、 B 之间的距离是()A． 10 3海里 B ． (102－ 10) 海里C． 10 海里D ． (103－ 10) 海里3．( 昭通中考 ) 小亮一家在一湖泊中游乐，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P 处观看小亮与爸爸在湖中划船( 如下图 ) ．小船从P 处出发，沿北偏东60°方向划行200 米到 A 处，接着向正南方向划行一段时间到 B 处．在 B 处小亮观察到妈妈所在的P 处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米( 精准到 1 米)?( 参照数据： sin37 °≈ 0.60 ，cos37 °≈ 0.80 ，tan37 °≈ 0.75 ，2≈ 1.41 ， 3 ≈1.73)知识点 2: 利用坡度 ( 角 ) 解直角三角形4． ( 聊城中考 ) 河堤横断面如下图，堤高BC＝ 6 米，迎水坡AB 的坡比为 1∶3，则AB的长为 ()A．12 米B．4 3米C．5 3米D．6 3米5．如图，在坡度为 1∶2的山坡上种树，要求株距 ( 相邻两树间的水平距离 ) 是 6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 ________米．6． ( 昆明中考 ) 如图，为了缓解交通拥挤，方便行人，在某街道计划修筑一座横断面为梯形 ABCD的过街天桥，若天桥斜坡 AB的坡角∠ BAD 为 35°，斜坡 CD的坡度为 i ＝1∶1.2( 垂直高度CE与水平宽度DE的比) ，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．( 结果精准到 0.1 m ，参照数据： sin35 °≈ 0.57 ， cos35 °≈ 0.82 ， tan35 °≈ 0.70)中档题7． ( 铜仁中考 ) 如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东60°的方向，轮船从 B 处持续向正东方向航行200 海里抵达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东30°的方向．已知在小岛四周170 海里内有暗礁，若轮船不改变航向持续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？ (3≈ 1.732)8． ( 遵义中考 ) 如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上 E 点处有一歇息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离BC＝ 25 米，与亭子距离CE＝ 20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高． ( 注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 )综合题9． ( 南充中考 ) 马航 MH370失联后，我国政府踊跃参加搜救．某日，我国两艘专业救援船 A、B 同时收到相关可疑飘荡物的讯息，如图，可疑飘荡物P 在救援船 A 的北偏东53.5 °方向上，在救援船 B 的西北方向上，船 B 在船 A 正东方向 140 海里处． ( 参照数据： sin36.5 °≈0.6 ， cos36.5 °≈ 0.8 ， tan36.5 °≈ 0.75)(1) 求可疑飘荡物P 到 A、B 两船所在直线的距离；(2)若救援船 A、救援船 B 分别以 40 海里 / 时，30 海里 / 时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试经过计算判断哪艘船先抵达P 处．参照答案1．1032.D3. 过 P作 PC⊥AB 于 C，在 Rt△ APC中， AP ＝ 200 m ，∠ ACP ＝ 90 °，∠ PAC ＝ 60 °.∴ PC＝ 200× sin60 °＝ 200 ×3＝ 1003(m) ．2PC PC100×1.73∵在 Rt△ PBC中， sin37 °＝PB，∴ PB＝sin37°＝0.6≈288(m) ．答：小亮与妈妈相距约288 米．4.A5.356. 过 B 点作 BF⊥AD于点 F.∵四边形 BFEC是矩形，∴ BF＝ CE＝ 5 m， EF＝ BC＝ 10 m．BF∵在 Rt△ ABF 中，∠ BAF＝ 35°， t an∠BAF＝AF，BF5∴ AF＝tan35°≈0.70≈7.14(m) ．∵斜坡 CD的坡度为 i ＝1∶1.2 ，∴CE1， ED＝ 1.2CE＝1.2 ×5＝ 6(m) ．＝ED 1.2∴AD＝ AF＋ FE＋ED＝ 7.14 ＋ 10＋ 6＝23.14 ≈ 23.1(m) ．答：天桥下底AD的长度为 23.1 m ．7.该轮船不改变航向持续前行，没有触礁危险．原因如下：由题意，得∠ ABD＝30°，∠ ACD＝ 60° .∴∠ CAB＝∠ ABD，∴ BC＝AC＝ 200 海里．在 Rt△ ACD中，设 CD＝ x 海里，则 AC＝ 2x ， AD ＝2222＝ 3x. AC－ CD＝（ 2x）－x22（ 222在 Rt△ ABD中， AB＝ 2AD＝ 2 3x ， BD＝ AB－AD＝3x）－（3x）＝ 3x.又∵ BD＝ BC＋ CD，∴ 3x＝200＋ x，解得 x＝100.∴AD＝ 3x＝ 1003≈ 173.2 ，∵ 173.2 海里＞ 170 海里，∴轮船不改变航向持续向前行驶，轮船无触礁的危险．8.过点 E 作 EF⊥BC的延伸线于 F，EH⊥ AB于点 H ，在 Rt△ CEF中，∵ i ＝EF1＝＝ tan ∠ ECF，∴∠ ECF＝ 30° .∴EF＝1CE＝ 10 米， CF＝ 10 3米． 2∴BH＝ EF＝ 10 米， HE＝ BF＝ BC＋ CF＝ (25 ＋103) 米．在 Rt△ AHE中，∵∠ HAE＝ 45°，∴AH＝HE＝ (25 ＋ 10 3) 米．∴AB＝ AH＋ HB＝(35 ＋ 103) 米．答：楼房 AB 的高为 (35 ＋10 3) 米．9.(1) 过点 P 作 PH⊥AB 于点 H，依据题意，得∠ PAH＝ 90°－ 5 3.5 °＝ 36.5 °，∠ PBH＝ 45°， AB＝ 140 海里．设 PH＝ x 海里，在 Rt △ PHB中， tan45 °＝x，BHx x4∴ BH＝x. 在 Rt△ PHA中， tan36.5 °＝，∴ AH＝＝ x.AH tan36.534又∵ AB＝ 140，∴3x＋ x＝ 140，解得 x＝ 60，即 PH＝ 60.答：可疑飘荡物 P 到 A、B 两船所在直线的距离为60 海里．422(2) 在 Rt △ PHA中， AH＝3× 60＝ 80， PA＝60＋ 80 ＝10 0.救援船 A 抵达 P 处的时间 t A＝100÷40＝ 2.5( 小时 ) ；在 Rt△ PHB中， PB＝ 602＋ 602＝ 60 2，救援船 B 抵达 P 处的时间 t B＝ 60 2÷ 30＝ 22( 小时 ) ．∵2.5 ＜ 2 2，∴救援船 A 先抵达 P 处．。
部审人教版九年级数学下册说课稿28.2.2第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》
部审人教版九年级数学下册说课稿28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是一节实践性较强的课程。
在本节课中，学生将学习如何利用方位角和坡度来解决实际问题，进一步理解和掌握直角三角形的性质。
教材通过引入实际问题，引导学生运用所学的数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的性质，对三角函数有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题与数学知识相结合。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解决直角三角形问题的方法。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：方位角、坡度的概念及应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，运用方位角、坡度解决直角三角形问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用情境教学法、问题驱动法和小组合作学习法。
利用多媒体课件展示实际问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
在解决问题的过程中，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一个房屋建筑平面图，引导学生观察并思考如何利用数学知识解决实际问题。
2.讲解方位角、坡度概念：结合实例，讲解方位角、坡度的定义及计算方法。
3.解决问题：以房屋建筑平面图为例，引导学生运用方位角、坡度解决实际问题。
4.巩固练习：设计一些有关方位角、坡度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展延伸：引导学生思考如何将方位角、坡度应用到其他领域，如航海、航空等。
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A
E
F
分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线；
垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形
BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度, 通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出； 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt△ ABE和Rt△ CDF.
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡
CD的坡角α约为22°.
当堂练习
1.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛 的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于
∴t甲>t乙．
答：乙先到达B处．
二 解与坡度有关的问题
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ，
坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？
B 23
坡 面
1.坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
i 1: 3
B E
6
C F
A
i=1:2.5 23 α D
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、
F,由题意可知 BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
1 在Rt△ABE中 i BE AE 3 AE 3BE 3 23 69m
在Rt△DCF中，同理可得
sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小 即可．
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°. ∴BD＝CD•tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)． BC＝CDcos∠BCD＝40cos55°≈70.2(米)． ∴t甲≈57.22＋10＝38.6(秒)，t乙≈70.22＝35.1(秒)．
1 i CF FD 2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5m
AD AE EF FD =69+6+57.5=132.5m
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
AB AE 2 BE 2 692 232 72.7m
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 22 .
1：1 2.斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _______.
1: 3 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
h α l
典例精析 例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多 少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长 度精确到0.1m）？
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;
（2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.
i 1:3
B
6
C i=1:2.5 23 α D
右边的路BD 陡些．
如何用数量来刻画哪条路 陡呢？
讲授新课
一 解与方位角有关的问题
方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构 成的小于90°的角,叫做方位角.如图所示：
北
A 北
30° 北偏东30° 东
西北
45°
东北
西
南偏西45°
B
O 45° 南
西
O 45° 西南 南 东南
东
典例精析
2.坡度（或坡比）
i= h : l α l 水平面
h
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） h 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—— l 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6. 3.坡度与坡角的关系
ih tan l
坡度等于坡角的正切值
练一练 30 度. 1.斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=______
第二十八章 锐角三角函数
28.2 锐角三角函数
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.正确理解方向角、坡度的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题. (难点)
导入新课
情境引入
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？
i=1:2
解： 用α表示坡角的大小，由题意可得
你还可以用 其他方法求出
1 tanα 0.5 2
BC吗？
因此α≈26.57°. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
BC BC 因此 sinα AC 240
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上 观察海面情况，发现其正北方向的B处有人 发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救 援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙
．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在
乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处 游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方 向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先 到达B处？请说明理由 (参考数据：
34° P C 65° A
PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130.23 （n mile) B sin B sin 34 0.559
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约
130.23n mile．
例2 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A
65° P C 34° A
处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34°方向上 的B处，这时，海轮所在的B处距离灯 塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
B
解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中，∠B＝34°