高中数学曲线的参数方程(一)学案新人教A版选修44

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高中数学第二讲《参数方程》全部教案新人教A版选修4-4

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动：为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念（见教科书第22页）说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

高考数学总复习第2节参数方程课件新人教A版选修44

数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)，即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1，故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。

高中数学第21课极坐标与参数方程(综合训练4)学案新人教A版选修4-4

第21课极坐标与参数方程（综合训练4）一、学习要求1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。

3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。

二、问题探究■合作探究例1．设，分别为椭圆：（为参数）的左、右焦点.（1）若椭圆上的点到，的距离之和为4，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设是（1）中椭圆的动点，求线段的中点的轨迹参数方程，并写出它的普通方程。

解：（1）∵点到，的距离之和为4，∴，即；∵点在椭圆上，∴，解得，∴，∴；∴椭圆的方程为；焦点坐标为，。

（2）由（1）知椭圆的参数方程为，设，，则，，∴线段的中点的轨迹参数方程为；由，得，两式两边平方相加，得线段的中点的普通方程为。

三、问题过关1. 已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

【解】（Ⅰ）依题意有(2cos ,2sin )P αα，(2cos 2,2sin 2)Q αα，∴(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++，∴M 的轨迹的参数方程为： cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，02απ<<）。

（Ⅱ）M 到坐标原点的距离：d ==∵当απ=时，0d =，∴M 的轨迹过坐标原点。

2.已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。

高中数学：2.1《参数方程的概念》教案(新人教A版选修4-4)

1．参数方程的概念一）目标点击：1．理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标;2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别,掌握他们的互化法则；3．能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等； 4．能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题；二）概念理解： 1、例题回放：问题1:（请你翻开黄岗习题册P122，阅读例题）已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ,过点P 1(1，0) 作圆C 的任意弦，交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程。

书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程?此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？设M(y x ,），由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x,消去k,得41)23(22=+-y x ，因M 与P 1不重合，所以M 点的轨迹方程为41)23(22=+-y x (1≠x ）解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k(直线的斜率）,间接地求出了x 与y 的关系式，从而求得M点的轨迹方程。

实际上方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x （1）和41)23(22=+-y x （1≠x )（2)都表示同一个曲线，都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式。

方程组（1）是曲线的参数方程,变数k 是参数，方程(2)是曲线的普通方程。

由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生,在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k ，先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法。

问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律，得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意义是什么？参数的取值范围？通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：【例1】形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组,描述了运动轨道上的每一个位置（y x ,）和时间t 的对应关系.【例2】我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 的方程组表示质点的运动规律.3）参数t 的取值范围是由t 的物理意义限制的. 2、曲线的参数方程与曲线C 的关系在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈（*)与曲线C 满足以下条件：（1）对于集合D 中的每个t 0，通过方程组（＊）所确定的点（)(),(0t g t f ）都在曲线C 上;（2）对于曲线C 上任意点（00,y x ），都至少存在一个t 0，满足⎩⎨⎧==)()(0000t g y t f x则曲线C ⇔ 参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.参数方程普通方程；普通方程参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式. 问题3：方程222a y x =+(0≠a ）；方程λ=-2222by a x （0≠λ）是参数方程吗？参数方程与含参数的方程一样吗？方程222a y x =+(0≠a )表示圆心在原点的圆系，方程λ=-2222by a x （0≠λ）表示共渐近线的双曲线系.曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x（t 为参数，t D ∈）是表示一条确定的曲线；含参数的方程),,(t y x F ＝0却表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有原则区别的. 三)基础知识点拨：例1：已知参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ∈θ［0，2π）判断点A （1,3）和B （2,1)是否在方程的曲线上。

高中数学第二章参数方程第2节第2课时双曲线、抛物线的参数方程教学案新人教A版选修4-4-

第2课时双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上；如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，那么B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2，变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)，双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同，所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(某某高考)两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2那么5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，那么x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](某某高考)抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________．[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数X 围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．以下双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3〔sin 2θ＋cos 2θ〕cos 2θ＝3tan 2θ＋3，又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．二、填空题5．(某某高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，那么焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)6．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，那么点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，那么x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)．答案：(0，±43)8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)．答案：(1，1) 三、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，那么中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a 〔sec α－sec β〕b 〔tan α－tan β〕[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，那么k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4〔t 1＋t 2〕4〔t 21＋t 22〕－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4〔t 21＋t 22〕，y ＝4〔t 1＋t 2〕，那么y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1，又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。

2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案新人教A版选修4-4

2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)．又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值．【命题意图】本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分．【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)，所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]．【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2，由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125，因此点P 的坐标为(125，125)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3，如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．因此必有12b≤1成立，于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。

高中数学新人教A版选修4-4 双曲线的参数方程抛物线的参数方程

解：法一：设抛物线的参数方程为xy＝＝88tt2， (t 为参数)，可设 M(8t12，8t1)，N(8t22，8t2)，则 kMN＝88tt222－－88tt211＝t1＋1 t2. 又设 MN 的中点为 P(x，y)，则yx＝＝88tt121＋＋22 88tt222.，
由 kPA＝x－y 1，又 k MN＝xy11－－xy22＝y1＋8 y2＝4y， ∴x－y 1＝4y.∴y2＝4(x－1)． ∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测(十一)” (单击进入电子文档)
是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去 t. [解析] (1)将yx＝＝62se3ctαan α，化为3y62 －1x22＝1，可知双曲线焦点在 y 轴上，且 c＝ 36＋12＝4 3，故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t，将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2 即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3) (2)y＝x2
二圆锥曲线的参数方程
2～3.双曲线的参数方程抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－yb22＝1 的参数
方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ，
规定参数 φ 的取值范围为[0,2π)且 φ≠π2，
φ≠32π.
(2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ya22－bx22＝1 的参数方程是yx＝＝absteacnφφ.，

参数方程的概念曲线的参数方程》教案(新人教选修

“参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修”一、教学目标1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。

2. 让学生掌握曲线的参数方程的求解方法，能够根据实际问题建立参数方程。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程的概念2. 曲线的参数方程的求解方法3. 参数方程的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：参数方程的概念，曲线的参数方程的求解方法。

2. 教学难点：参数方程的应用，曲线的参数方程的求解过程。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现参数方程的建立过程。

2. 通过实例讲解，让学生掌握曲线的参数方程的求解方法。

3. 利用数形结合的思想，帮助学生理解参数方程与曲线的关系。

五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用参数方程来表示曲线。

2. 讲解：讲解参数方程的概念，解释参数方程与普通方程的区别和联系。

3. 实例分析：分析一组曲线的参数方程，引导学生掌握求解方法。

4. 练习：让学生尝试求解一些曲线的参数方程，巩固所学知识。

5. 应用：通过一些实际问题，让学生运用参数方程解决实际问题。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程的概念和求解方法。

7. 作业布置：布置一些有关参数方程的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标：通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对参数方程的概念和曲线的参数方程求解方法的掌握程度。

2. 评价方法：课堂提问、练习解答、作业完成情况。

3. 评价内容：参数方程的概念理解、曲线的参数方程求解方法、实际问题分析与解决能力。

七、教学反思1. 在教学过程中，观察学生对参数方程概念的理解程度，是否能够正确区分参数方程与普通方程。

2. 分析学生在求解曲线参数方程时的困难点，是否能够熟练运用求解方法。

3. 反思教学方法的有效性，是否能够激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程学案新人教A版选修4-4

一曲线的参数方程1．了解学习参数方程的必要性．2．理解参数方程、普通方程的概念，通过比较参数方程和普通方程，体会两者的联系与区别．3．掌握圆的参数方程及其参数的意义． 4．能用圆的参数方程解决一些简单问题． 5．能进行普通方程和参数方程的互化．1．参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t (*)，并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的________，联系变数x ，y 的变数t 叫做______，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做________．(2)参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有几何意义或物理意义的变数，也可以是无实际意义的变数．(1)参数t 是联系x ，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数．(2)参数的选取一般需注意两点： ①x ，y 的值可由参数惟一确定；②参数与x ，y 的关系比较明显，容易列出方程．(3)参数可根据具体条件选取，如时间、线段长度、方位角、旋转角等．【做一做1】与普通方程xy ＝1表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝t－2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t2．圆的参数方程(1)在时刻t ，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝______，sin ωt ＝______，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是______．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为________．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O ____时针旋转到____的位置时，OM 0转过的角度．给定参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中a ，b 是常数．(1)如果r 是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是圆心为(a ，b )，半径为r 的圆；(2)如果α是常数，r 是参数，那么参数方程表示的曲线是过定点(a ，b )，斜率为tan α(α≠k π＋π2，k ∈Z )的直线．【做一做2】直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的________和________是曲线方程的不同形式．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使________保持一致．【做一做3－1】将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为__________．【做一做3－2】已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程．答案：1．(1)参数方程参变数参数普通方程【做一做1】 D2．(1)x r y r质点作匀速圆周运动的时刻(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 逆 OM【做一做2】 B 直线y ＝ax ＋b 通过一、二、四象限，则a ＜0，b ＞0， ∴圆心(a ，b )在第二象限． 3．(1)参数方程普通方程 (2)x ，y 的取值范围【做一做3－1】 (x －1)2＋y 2＝4由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.【做一做3－2】解：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)．1．曲线参数方程的特点剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x ，y 间的间接联系．在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着参数相应的值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y)都能由参数取某一值惟一地确定出来；二是参数与x ，y 的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑，可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．2．求曲线参数方程的步骤剖析：第一步，画出轨迹草图，设M(x ，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择坐标原点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数惟一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．3．参数方程与普通方程的互化剖析：(1)参数方程化为普通方程一般地，将参数方程中的参数消去就会得到普通方程，常采用消去法或代入法进行消参． (2)普通方程化为参数方程一般找出变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，如：x ＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g(t)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t就是所求的曲线的参数方程．(3)消参的常用方法①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a t＋1t cos θ，y ＝a t－1tsin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n)2－(m －n)2＝4mn 消参．题型一曲线的参数方程【例1】选取适当参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程．分析：普通方程化为参数方程的关键是选择合适的参数．反思：选择合适的参数是将普通方程化为参数方程的关键．题型二圆的参数方程及应用【例2】如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P 在圆上运动时，利用参数方程求线段PA 的中点M 的轨迹．反思：利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，是圆的参数方程的主要作用之一．题型三参数方程与普通方程的互化【例3】 (1)指出下列参数方程表示什么曲线．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t (t 为参数)；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos t ，y ＝3sin t(t 为参数)．(2)曲线的普通方程为 x－1 23＋ y＋2 25＝1，写出它的参数方程．反思：化普通方程为参数方程，就是要把x ，y 分别用参数表示出来，所以我们要分别找出参数与x ，y 的关系，然后表达出来即可，另外要特别注意参数的范围．参数方程化为普通方程的关键是消去参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f(t)，y ＝g(t)，根据t 的取值范围推导出x ，y 的取值范围．题型四易错辨析【例4】已知点P(x ，y)满足方程x 2＋y 2＝1(x≥0，y≥0)，试求x ＋y 的最大值和最小值．错解：令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，则x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin (θ＋π4)∈[－2，2]，∴x＋y 的最大值是2，最小值为－ 2.反思：在曲线的参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．答案：【例1】解：选t ＝x ，则y ＝2t ＋3，由此得直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t ＋3(t 为参数)．也可选t ＝x ＋1，则y ＝2t ＋1，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)．【例2】解：设点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2(θ为参数)，即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．【例3】解：(1)①(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16，它表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆．②(x5)2＋(y3)2＝cos 2t ＋sin 2t ＝1，即x 225＋y 29＝1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．(2)设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．【例4】错因分析：忽视了已知条件x ≥0，y ≥0，应对角θ的范围加以限制．正解：设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，π2]．∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin (θ＋π4)．∵θ∈[0，π2]，∴θ＋π4∈[π4，3π4]．∴sin(θ＋π4)∈[22，1]．∴2sin(θ＋π4)∈[1，2]．∴x＋y 的最大值是2，最小值是1.1当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )．A ．(2,3)B ．(1,5)C ．(0，2π) D ．(2,0) 2将参数方程222sin ,sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)化为普通方程为( )． A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)3将参数方程221,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，化为普通方程为________．4曲线1,sin 1x y t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________．5设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为60πrad /s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．答案：1．D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2．C 转化为普通方程为y ＝x －2，x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故选C.3．x 2－y ＝2(y ≥2) 由x ＝t ＋1t得x 2＝t 2＋21t 2，又y ＝t 2＋21t， ∴x 2＝y ＋2. ∵t 2＋21t ≥2， ∴y ≥2.4．(1∵sin t ∈[－1,1]， ∴y ∈[0,2]．∴方程1,sin 1x y t =⎧⎨=+⎩表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2)．令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3， ∵0≤y ≤2， ∴y5.解：如图，在运动开始时，质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )，对应时刻t ，由图可知，2cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩又θ＝60πt (t 以s 为单位)，∴所求的参数方程为2cos ,602sin 60x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≥0)．。

《参数方程》教案(新人教选修)

《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，让学生理解参数方程是一种描述曲线运动的数学工具。

通过实际例子，让学生了解参数方程在现实中的应用。

1.2 参数方程的基本形式介绍参数方程的两种基本形式：圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程。

通过图形和实例，让学生理解参数方程与普通方程之间的关系。

第二章：参数方程的图像与性质2.1 参数方程的图像利用图形软件，绘制常见参数方程的图像，让学生直观地了解参数方程的特点。

引导学生观察图像，探讨参数方程与坐标轴之间的关系。

2.2 参数方程的性质引导学生研究参数方程的单调性、周期性和奇偶性等性质。

通过实例，让学生了解参数方程的性质在实际问题中的应用。

第三章：参数方程的变换与化简3.1 参数方程的变换介绍参数方程的基本变换，如平移、旋转和缩放等。

通过实例，让学生学会如何对参数方程进行变换。

3.2 参数方程的化简引导学生利用数学方法对参数方程进行化简，使其形式更加简洁。

通过实例，让学生了解参数方程化简的意义和应用。

第四章：参数方程的应用4.1 参数方程在物理中的应用以机械运动为例，介绍参数方程在描述物体运动中的应用。

引导学生利用参数方程解决实际物理问题。

4.2 参数方程在工程中的应用以电子电路为例，介绍参数方程在描述系统动态行为中的应用。

引导学生利用参数方程解决实际工程问题。

第五章：参数方程的综合练习5.1 参数方程的解题技巧通过实例，让学生学会如何运用不同的技巧解决参数方程问题。

5.2 综合练习题提供一系列与参数方程相关的综合练习题，让学生巩固所学知识。

对练习题进行讲解和解析，帮助学生提高解题能力。

第六章：参数方程在圆锥曲线中的应用6.1 圆锥曲线的参数方程复习圆锥曲线的普通方程，并引入其参数方程。

通过图形和实例，让学生了解圆锥曲线的参数方程表示方法。

6.2 圆锥曲线的参数性质引导学生研究圆锥曲线的参数性质，如渐近线、焦点、顶点等。

新人教A版选修4-4《抛物线的参数方程》习题及答案

高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习新人教A 版选修4-4►预习梳理1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________；抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．►预习思考抛物线y 2＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数)一层练习1．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．1．(1，0)2．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 2.B3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 23.A4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________． 4. 25．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．5．解析：设抛物线x 2＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)．∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2)．设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.消去参数t ，得y 0＝14x 20，即点P 的轨迹方程是x 2＝4y ，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( )6．C7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( )A ．|2p (t 1－t 2)|B ．2p (t 1－t 2)C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)27.A 8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8.ρcos 2θ－sin θ＝09．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．10．16三层练习11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．12．解析：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1、t 2为方程2pxt2＋2pty －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y 22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0.∴另一交点Q 的轨迹是以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆．13．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB (如下图)．(1)设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； (2)求弦AB 中点M 的轨迹过程．13．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得x A ＝2p k 2，y A ＝2pk.以－1k代替上式中的k ，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px ，得x B ＝2pk 2，y B ＝－2pk .∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B (2pk 2，－2pk )．(2)设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2，y ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k ，消去参数k ，得y 2＝px －2p 2，此即为点M 轨迹的普通方程． 14．已知方程y 2－2x －6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0. (1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；(2)求抛物线在直线x ＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值． 14．(1)证明：将原方法配方得(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，曲线为抛物线，顶点为(4cos θ，3sin θ)，设顶点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，消去θ得x 216＋y 29＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．(2)解析：将x ＝14代入已知方程，得y 2－6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ－19＝0，得y＝3sin θ±28－8cos θ.因为－8≤8cos θ≤8，所以20≤28－8cos θ≤36.设抛物线在直线x ＝14上截得的弦长为l ，则l ＝|y 1－y 2|＝228－8cos θ，所以45≤l ≤12.当cosθ＝1时，即θ＝2k π(k ∈Z)，l min ＝45；当cos θ＝－1，即θ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)时，l max ＝12.1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程． 2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应．【习题2.2】1．解析：因为2a ＝15565，2b ＝15443，所以a ＝7782.5，b ＝7721.5.所求的椭圆参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7782.5cos φ，y ＝7721.5sin φ(φ为参数)．2．证明：设M (a cos φ，b sin φ)，P (x P ，0)，Q (x Q ，0)．因为P ，Q 分别为B 1M ，B 2M 与x 轴的交点，所以kB 1P ＝kB 1M ，kB 2Q ＝kB 2M .由斜率公式并计算得x P ＝a cos φ1＋sin φ，x Q ＝a cos φ1－sin φ，所以|OP |·|OQ |＝|x P |·|x Q |＝|x P ·x Q |＝a 2(定值)．3．证明：设等轴双曲线的普通方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a tan φ(φ为参数)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，a tan φ是双曲线上任意一点，则点M 到两渐近线y ＝x 及y ＝－x 的距离之积是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ－a tan φ12＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ＋a tan φ12＋12＝|a2cos 2 φ－a 2tan φ|2＝a 22(常数)．4．证明：设点A ，B 的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，则点C 的坐标为(2pt 22，－2pt 2)．直线AB 的方程为y －2pt 1＝1t 1＋t 2(x －2pt 21)，所以点D 的坐标为(－2pt 1t 2，0)．直线AC 的方程为y －2pt 1＝1t 1－t 2(x －2pt 21)，所以E 的坐标为(2pt 1t 2，0)．因为DE 的中点为原点O (0，0)，所以抛物线的顶点O 平分线段DE .5．解析：直线OA 的方程为y ＝kx ，直线OB 的方程为y ＝－1k x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px得点B 的坐标是(2pk 2，－2pk )．设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝2pk2＋2pk 22＝p k 2＋pk 2，y ＝2pk －2pk2＝pk－pk ，所以线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk2＋pk 2，y ＝p k －pk(k 为参数)．。

高中数学曲线的参数方程导学案新人教版数学选修4-4

高二数学导学案主备人: 备课时间：备课组长：课题：曲线的参数方程一、三维目标：知识与技能：通过平抛曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路。

过程与方法：通过平抛曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力。

情感态度价值观：从平抛曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点。

二、学习重、难点：重点：曲线参数方程的探求及其有关概念。

难点：平抛曲线参数方程的建立及对参数方程的理解。

三、学法指导：认真阅读教材P21—24，结合实例，理解平抛曲线及圆的参数方程的建立、进而理解曲线的参数方程的概念，类比求普通方程的方法，掌握求参数方程的一般思路。

四、知识链接：满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？五、学习过程（一）、引入：在生产实践、军事技术、工程建设中有许多通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子．特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来．如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？问题1：物资投出机舱后，它的运动由哪两种运动合成？（1）在水平方向上做运动，其水平位移S=.（2）在竖直方向上做运动,其竖直下落高度H= 。

问题2：在上述运动中水平位移S和竖直下落高度H中是否有一个相同的变量，是什么？问题3：你能否建立适当的坐标系用含有t 的式子表示出物资的位置？问题4：通过对上述问题的分析,飞行员在离救援点的水平距离多远时投放物资，可以使其准确落在指定地点？（二）、参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x 、y 都是某个变量t的函数()()x f t y t ϕ=⎧⎨=⎩（1），且对t 每一个允许值，由（1）所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，则（1）就叫做这条曲线的参数方程，t 称作参变数，简称参数。

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修一、教学目标：1. 让学生理解参数方程的概念，掌握参数方程的基本形式和特点。

2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学方程美的欣赏能力，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学内容：1. 参数方程的定义和基本形式。

2. 参数方程与直角坐标方程的互化。

3. 参数方程在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：参数方程的概念，参数方程的基本形式和特点。

2. 难点：参数方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中发现参数方程的必要性。

2. 运用数形结合法，帮助学生直观地理解参数方程的特点。

3. 采用合作学习法，鼓励学生相互讨论，共同探讨参数方程的解题方法。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法描述物体的运动轨迹。

2. 新课讲解：讲解参数方程的定义、基本形式和特点，举例说明参数方程在实际问题中的应用。

3. 案例分析：分析几个典型的实际问题，让学生学会运用参数方程解决问题。

5. 巩固练习：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

7. 作业布置：布置一些有关参数方程的应用题，让学生课后思考。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对参数方程概念的理解程度。

2. 练习题：收集学生完成的练习题，评估学生对参数方程的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力。

七、教学拓展：1. 介绍其他形式的参数方程，如极坐标方程、参数曲线等。

2. 探讨参数方程在其他学科中的应用，如物理学、工程学等。

八、课后反思：2. 学生反思：让学生写下对本节课学习的收获和困惑，以便教师了解学生的学习情况。

九、教学资源：1. 教材：新人教A版选修《高中数学》。

2. 网络资源：有关参数方程的图片、视频和案例。

3. 教具：黑板、粉笔、投影仪等。

高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程导学案新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4

一曲线的参数方程庖丁巧解牛知识·巧学一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x （＊）.并且对于t 的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程.在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P （x ，y ）的坐标x,y 之间满足的等量关系F （x ，y ）＝0，这样得到的方程F （x ，y ）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x,y 的方程F （x ，y ）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t ，使之与曲线上动点P 的坐标x,y 间接地联系起来，此时可得到方程组⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x 即点P 的运动通过变量t的变化进行描述.若对t 的每一个值，由方程组确定的点（x ，y ）都在曲线C 上；反之，对于曲线C 上的每一个点（x ，y ），其中x,y 都是t 的函数，则把方程组⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，其中的t 称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.疑点突破参数的选取应根据具体条件来考虑.但有时出于题目需要，也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少.一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程.深化升华参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量.二、圆的参数方程1.圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程：⎩⎨⎧==θθsin ,cos r y r x (θ为参数).2.圆心为O 1(a,b)，半径为r 的圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数).参数θ的几何意义是：以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角（其中O 为坐标原点，P 为圆上一动点）.圆的参数方程还可以表示为x=⎩⎨⎧+=+=θθcos ,sin r b y r a x (θ为参数).方法归纳有时从参数方程看不出它是否表示圆，可通过消去参数转化为普通方程判断其是否表示圆.三、参数方程和普通方程的互化1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法.2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F （x ，y ）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标（或纵坐标）.误区警示在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.四、参数方程与普通方程的区别与联系最明显的区别是其方程形式上的区别；更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x,y 的直接关系，而参数方程则反映了x,y 的间接关系.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任意一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但它们之间又有着密切的联系，这种联系表现在两方面：（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程.需要注意的是，在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线时）的等价性，即注意参数的取值范围对x,y 的取值范围的影响. 联想发散需注意的是，不是所有的参数方程都可以化为普通方程，有些虽然可以化为普通方程，但是普通方程非常复杂，不便于对其性质的研究，如圆的渐开线和摆线的参数方程，一般都是研究其参数方程.问题·探究问题1 曲线的参数方程和普通方程既有各自的优点也有各自的缺点.为了利用各自的优点，有时候需要把参数方程转化为普通方程，有时候需要把普通方程转化为参数方程.那么，如何把一个参数方程化为普通方程，把一个普通方程化为参数方程呢？在普通方程与参数方程互化的过程中，又需要注意哪些问题呢?探究：把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法；把普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数，是消参的逆过程，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F （x ，y ）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标（或纵坐标）.在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，如⎩⎨⎧==ty t x sin ,cos 2(t 为参数),通过消参数得到方程y 2=-(x-1)，而事实上由x=cos 2t 可知0≤x≤1，而由y 2=-(x-1)可知其中x≤1，显然两个范围不同，即两个方程所表示的曲线就不是同一条曲线，可以说y 2=-(x-1)就不是⎩⎨⎧==t y t x sin ,cos 2的普通方程.故在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性，即它们二者要表示同一曲线.问题2 圆是我们最常见的曲线，利用圆的参数方程可以解决许多与圆有关的问题.那么，你能推导出圆的参数方程吗？其形式是否唯一呢？参数的意思是什么？探究：利用换元即可得到相应圆的参数方程.例如:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，可以先将该方程化为(22)()(rb y r a x -+-=1，然后令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)(cos sin ),(sin cos θθθθrb y r a x (其中θ为参数).于是就得到该圆的参数方程为⎩⎨⎧++=++=)cos (sin ),sin (cos θθθθr b r b y r a r a x 或或(其中θ为参数).由此可见，对于圆的参数方程来说，也有多种不同的表现形式，有些参数方程有时也许一下子看不出是否表示圆，这时可考虑通过消去参数转化为普通方程从而达到目的(对于其他曲线必要时也可类似考虑).这里参数θ的几何意义是：以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角（O 为坐标原点，P 为圆上一动点）. 典题·热题例1已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=2,21aty t x (其中t 是参数,a∈R )，点M(5,4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.思路分析：根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上.由点M 的坐标适合曲线C 的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.解：(1)由题意可知有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+,1,2,4,5212a t at t 故 ∴a=1.(2)由已知及(1),可得曲线C 的方程为⎩⎨⎧=+=.,212t y t x . 由第一个方程,得t=21-x .代入第二个方程,得y=(21-x )2, ∴(x -1)2=4y 为所求.深化升华把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法等，在消参过程中一定要注意其等价性.例2已知圆x 2+y 2=1，点A(1，0)，△ABC 内接于该圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，求BC 的中点的轨迹方程.思路分析：本题是比较典型的使用曲线的参数方程来解决相关问题的题目，涉及到多个点的坐标.解：如图2-1-1所示，M 为BC 的中点，由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍). 在△BOC 中，OB=OC=1,所以OM=21.所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=41.图2-1-1 图2-1-2 又因为x≥41时，如图2-1-2. 虽然∠BOC=120°，但∠BAC=21(360°-120°)=120°≠60°, 所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=41(x<41),如图2-1-2. 误区警示本题主要容易忽视隐含的范围x<41，忽视了这个范围则本题的解答就不严谨，并且很多资料上的答案也都没有这个范围，像这样的求轨迹的问题一定要注意这一点.例3已知实数x 、y 满足(x-1)2+(y-2)2=25，求x 2+y 2的最大值与最小值.思路分析：这样的题目可考虑数形结合，把满足(x-1)2+(y-2)2=25的x 、y 视为圆(x-1)2+(y-2)2=25上的动点，待求的x 2+y 2可视为该圆的点与原点之间的距离的平方，结合图形易知结果或考虑利用圆的参数方程来求解.解：实数x 、y 满足(x-1)2+(y-2)2=25视为圆(x-1)2+(y-2)2=25上的点，于是可利用圆的参数方程来求解，设⎩⎨⎧+=+=,sin 52,cos 51θθy x 代入x 2+y 2=(1+5cosθ)2+(2+5sinθ)2=30+(10cosθ+20sinθ)=30+105cos(θ+α), 从而可知所求代数式的最大值与最小值分别为30+105,30-105.深化升华本题中出现了圆的方程，像这样的问题,题目本身是以代数题的形式出现，而实际上在考虑相关问题时常常应该和图形联系起来，这样对于问题的解决常能事半功倍.例4圆M 的方程为x 2+y 2-4Rxcosα-4Rysinα+3R 2=0(R>0).(1)求该圆圆心M 的坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆.思路分析：本题中所给的圆方程中的变数有多个，此时要结合题意分清究竟哪个是真正在变，而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.解：(1)由题意得圆M 的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R 2，故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα)，半径为R.(2)当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==ααsin 2,cos 2R y R x (其中α为参数).两式平方相加,得x 2+y 2=4R 2.所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆.由于22)sin 2()cos 2(ααR R +=2R=3R-R ，22)sin 2()cos 2(ααR R +=2R=R+R, 所以所有的圆M 都和定圆x 2+y 2=R 2外切，和定圆x 2+y 2=9R 2内切.。

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第二讲参数方程一曲线的参数方程互动课堂学案

一曲线的参数方程互动讲堂重难打破本课的要点是曲线的参数方程的观点、圆的参数方程、参数方程与一般方程的互化; 难点是对参数方程的理解以及参数方程与一般方程互化的等价性一、参数方程的观点1. 曲线的参数方程的实质意义及其必需性.在平时生活和工农业生产中，好多时候都会波及到曲线的参数方程，比方物理学中的水平抛出的物体的运动规律，要知道所抛出的物体在着落的过程中各时辰所处的地点，明显与抛出的时间有着亲密的关系；再比方发射出去的炮弹，我们经常想知道所发出去的炮弹所在的地点，相同与发射出去的时间有着密切的联系，明显像以上两种情况自然会去考虑以时间作为参数成立相应的方程，以便正确地掌握所想掌握的信息. 此时用参数方程来描绘运动规律，经常比用一般方程更加直接简易. 有些重要但较复杂的曲线，成立它们的一般方程比较困难，甚至不行能，列出的方程既复杂又不易理解. 因而可知，曲线的参数方程是从实质生活中抽象出来的，并不是人们的想自然，是现实生活的某个方面的反应，但又不是简单的生活再现，人们经过对曲线参数方程的研究，从而更好地利用它来为人类造福，指导工农业生产 .2. 一般地 , 在平面直角坐标系中 , 假如曲线上随意一点的坐标( x ,y) 都是某个变数t 的函数x f (t),M ( x , y ) 都在这条曲y ( ※), 而且关于 t 的每一个同意值 , 由方程组 ( ※) 所确立的点g(t )线上 , 那么方程 ( ※) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x , y 的变数 t叫做参变数 , 简称参数.有关于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.参数是联系变数 x 、 y 的桥梁 , 能够是一个有物理意义或几何意义的变数, 也能够是没有明显意义的变数 .3.曲线的参数方程的特色曲线的一般方程直接地反应了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是经过参数反应坐标变量x 、y 间的间接联系 . 曲线的参数方程经常是方程组的形式，随意给定一个参数的同意的取值便可获得曲线上的一个对应点，反过来关于曲线上任一个点也必定对应着此中的参数的相应的同意取值. 在详细问题中，假如要求相应曲线的参数方程，第一就要注意参数的选用 . 一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点 : 一是曲线上每一点的坐标( x , y ) 都能由参数取某一值独一地确立出来；二是参数与 x 、y 的互相关系比较明显，简单列出方程 . 参数的选用应依据详细条件来考虑 . 比如能够是时间，也能够是线段的长度、方向角、旋转角、动直线的斜率、倾斜角、截距等 . 有时为了便于列出方程，也能够选两个以上的参数，再想法消去此中的参数获得一般方程二、圆的参数方程1.x r cos ,( θ 为参数 ), 这是圆心在原点, 半径为 r的圆的参数方程 . 此中参数 θ 的几Oy r sin何意义是 OM 0绕点 O 逆时针旋转到 OM 的地点时 , OM 0转过的角度 , 如图 .因为选用的参数不一样 , 圆有不一样的参数方程 . 再比如 , 上图中圆的参数方程还可为x =r cos ω t y =r sin ω t ( t 为参数 ). 此中参数 t 有明确的物理意义 ( 质点作匀速圆周运动的时辰 ).2. 一般地 , 同一条曲线 , 能够选用不一样的变数为参数 , 所以获得的参数方程也能够有不一样的形式. 形式不一样的参数方程 , 它们表示的曲线却能够是相同的. 注意 : 在成立曲线的参数方程时 , 要注明参数及参数的取值范围.3. 其实关于圆的参数方程的形式完整能够和同一个角的三角函数之间的关系 sin 2θ +cos 2θ =1 来类比考虑，进行换元即可得到相应圆的参数方程 . 即圆 ( x - a ) 2+( y -b) 2=r 2( r >0) ，可以先将该方程化为 (x a) 2+(y b) 2=1 ，然后令rrx a(sin ),cosr于是就获得该圆的参数方程为y b(cos ),sinrx a r c o, s x a r s i , ny b r s或( θ 为参数 ). 因而可知，关于圆的参数方程来说，有多i n y b r c o s种不一样的表现形式，有些参数方程有时或许一下子看不出能否表示圆，这时可考虑经过消去参数转变为一般方程 , 从而达到目的 ( 关于其余曲线必需时也可近似考虑三、参数方程与一般方程的互化1. 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不一样形式 . 一般地 , 能够经过消去参数而从参数方程获得一般方程 . 假如知道变数 x 、 y 中的一个与参数 t 的关系 , 比如 x =f ( t ), 把它代入普通方程 , 求出另一个变数与参数的关系x f (x),y =g( t ), 那么就是曲线的参数方程 .y g (t)2. 在数学中有时需要把曲线的参数方程转变为一般方程，而有时又需要将一般方程转变为参数方程 . 这都是鉴于对曲线的更好的研究，有时要直接成立曲线的一般方程很困难；有时要直接成立曲线的参数方程又不简单，故在数学中经常把问题进行互相转变从而把问题更好地解决 . 在将两者互化的过程中，要注意互化前后两者的等价性，注意此中的曲线上的点的横、纵坐标的取值范围能否因为转变而发生改变，也就是对应曲线上的点不该增添也不该减少；不然它们所表示的曲线就不是同一曲线，从而走上歧路，不可以真实解决问题 ( 注意 : 不是全部的参数方程都能够转变为一般方程 ). 曲线的参数方程与相应的一般方程是同一曲线方程的两种不一样表现形式 . 在详细问题中采纳哪一种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质 , 就灵活地采纳相应曲线的对应方程形式.3. 值得注意的是 , 在曲线的参数方程与一般方程的互化中，一定使 x 、y 的取值范围保持一致，比如 (1)xcos 2 t,( t 为参数 ), 经过消参数获得方程y 2=-( x -1) ，而事实上由 x =cos 2t 可知y sin t0≤ x ≤1，而由 y 2=-( x -1) 可知此中 x ≤1，明显两个范围不一样，明显两个方程所表示的曲线不是同一条曲线，能够说 y 2=-( x -1) 不是x cos 2 t,的一般方程 . 故在消去参数的过程中一y sin t定要注意一般方程与参数方程的等价性，即它们两者要表示同一曲线 .4. 经过消去参数能够从参数方程获得一般方程, 消去参数的方法主要有代入消参法、加减(或乘除 ) 消参法、平方消参法等 ; 还有常用到三角公式 , 如 sin 2θ+cos 2θ =1 等x 3cos 4 sin ,比如 , 参数方程4cos3sin ( φ 为参数 ) 表示的图形是什么y剖析 : 由方程知 , x 2=9cos 2φ +24sin φcos φ +16sin 2φ ,y 2=16cos 2φ -24sin φ cos φ +9sin 2φ.∴x 2+y 2=25. 可知图形是圆 .活学巧用【例 1】已知某条曲线 x 1 2t , C 的参数方程为at 2 ( 此中 t 是参数 , a ∈R) ，点 M (5,4) 在该曲y线上(1) 求常数 a ；(2) 求曲线 C 的一般方程分析 :此题主要应依据曲线与方程之间的关系 , 可知点 M (5,4) 在该曲线上，则点 M 的坐标应合适曲线 C 的方程，从而可求得此中的待定系数，从而消去参数获得其一般方程1 2t 5,解: (1) 由题意可知 , 有24,at t 2,故1.a∴a(2) 由已知及 (1) x 1 2t, 可得，曲线 C 的方程为t 2 ,y由第一个方程得 t =x 1, 代入第二个方程 , 得 y =(x 1) 2, 即 ( x -1)2=4y 为所求 .22【例 2】已知圆 x 2+y 2=1，点 A (1 ，0) ，△ ABC 内接于该圆，且∠ BAC =60°，当 B 、 C 在圆上运动时，求 BC 的中点的轨迹方程分析 : 此题是比较典型的使用曲线的参数方程来解决有关问题的题目，波及到多个点的坐标，如何比较奇妙地把有关点的坐标给表示出来，从而找到所要求的问题的解. 明显借助于圆的参数方程就简单将点 B 、C 的坐标给表示出来，从而把此中的点的坐标给表示出来；而后经过消去参数从而达到目的，以后还要注意此中的参数的取值范围解: 如图 (1) 所示， M 为 BC 的中点，由∠ BAC =60°，得∠ BOC =2×60°=120°,( 弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2 倍在△ BOC 中， OB =OC =1 OM = 1 . 所以点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2= 12 4(1)(2)又因为 x ≥ 1时，如图 (2),4固然∠ BOC =120°，但∠ BAC = 1(360 ° - 120°)=120°≠ 60°,211所以点 M 的轨迹方程为2 2( x <), 如图 (2).x +y = 4 4评论 : 此题主要简单忽略隐含的范围x < 1，忽略了这个范围则此题的解答就不谨慎，而且很4.多资料上的答案也都没有这个范围，像这样的求轨迹的问题必定要注意这一点【例 3】 M 在圆 x 2+( - r ) 2 = r 2 上 , O 为原点 , 以∠=φ 为参数 , 则圆的参数方程为yMOx分析 : 如图 ,| OM |=2 r sin φx 2r sin cos ,∴2r sin 2( φ 为参数 y答案 :x 2r sin cos , y 2r sin2( φ 为参数 )【例 4】已知实数、y知足 ( -1) 2+( -2) 2=25，求2+ y 2的最大值与最小值xxyx分析 : 这样的题目可考虑数形联合，把知足 ( x -1) 2+( y -2) 2=25 的 x 、y 视为圆 ( x -1) 2+( y -2) 2=25上的动点，待求的 x 2+y 2 可视为该圆上的点与原点之间的距离的平方，联合图形易知结果或考虑利用圆的参数方程来求解解: 实数 x 、 y 知足 ( x -1) 2+( y -2) 2=25, 可视为 ( x , y ) 是圆 ( x -1) 2+( y -2) 2=25 上的点，于是可利x 1 5 cos , 用圆的参数方程来求解 . 设2 5sin,y 代入 x 2+y 2=(1+5cos θ ) 2+(2+5sin θ ) 2=30+(10cos θ +20sin θ )=30+10 5 cos( θ +α ), 从而可知所求代数式的最大值与最小值分别为30+10 5 ,30-10 5评论 : (1) 像这样的问题 , 题目自己是以代数题的形式出现，而实质上在考虑有关问题时经常应当和图形联系起来，这样关于问题的解决常能事半功倍(2) 求最值问题 , 依据参数方程 , 利用三角变换知识求解是一常用的技巧. 【例 5】圆 M 的方程为 x 2+y 2-4 Rx cos α -4 Ry sin α +3R 2=0( R >0). (1) 求该圆圆心 M 的坐标以及圆 M 的半径；(2) 当 R 固定， α 变化时，求圆心的轨迹，并证明此时无论α 取什么值，全部的圆都MM外切于一个定圆分析 : 此题中所给的圆方程中的变数有多个，此时要联合题意分清终究是哪个真实在变，而像这样的详细题目特别简单犯弄不清真实的参数的错误解: (1) 由题意得圆 M 的方程为 ( x -2 R cos α) 2+( y -2 R sin α )2=R 2，故圆心为 M (2 R cos α,2 R sin α) ，半径为 R(2) 当 α 变化时，圆心x 2R cosa, ( 此中 α 为参数 ) ，两式平方相加得M 的轨迹方程为 2Rsin ayx 2+y 2 =4R 2，所以圆心 M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆因为2222(2Rcosa) + (2Rsina)=2 =3 - (2Rcosa) + (2Rsina)R RR ，所以全部的圆都和定圆2 2 2 外切，和定圆2 22内切x + y = x + =9M R y R评论 : 此题所给的方程中含有多个变数，看起来都可变，像这样的问题有时简单分不清楚哪个是真实的参数 . 在详细题目中终究哪个是真实的参数应视题目给定的条件，从而去分清参数.【例 6】将以下参数方程化为一般方程并说明它们分别表示如何的曲线x cos 2 t,为参数 ) ；(1)( ty sintx 1 t 2 ,(2)1 t2为参数( ty2t1 t 2解 : （ 1 ）由 x =cos 2t =1-sin 2t =1- y 2 , y 2=-( x -1), 由 x =cos 2t 可知 ,0 ≤ x ≤1. 故其一般方程为y 2=-( x -1 )(0 ≤ x ≤1), 它表示的是以点 (1,0) 为极点、张口向左的一条抛物线上的一段221 t 22（ 2 ）将两式平方相加得 x +y =1, 由 x = 1 t 2 =-1+21+ t 得 x ≠ -1, 故其普通方程为x2+y2=1( x≠-1),它表示以原点为圆心、1为半径的圆（除掉与 x 轴订交的左交点）评论 :此题所给的题目中所表现的方法都是常有的一些将曲线的参数方程化为一般方程的方法 , 关于详细的将参数方程转变为一般方程的题目要视详细题目而去选择消去参数的方法 , 如代入法、平方法、加减法等 , 有时还需多种方法并用 .。

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第二讲参数方程一曲线的参数方程课堂导学案

一曲线的参数方程讲堂导学三点解析一、求曲线的参数方程【例 1】设质点沿以原点为圆心, 半径为 2 的圆作匀速 ( 角速度 ) 运动 , 角速度为rad/s,60试以时间 t 为参数 , 成立质点运动轨迹的参数方程 .解：如图 , 运动开始时质点位于 A 处 , 此时 t=0, 设动点 M(x,y) 对应时辰 t, 由图可知x 2 cos ,又 θ =t,y 2sin . 60x 2 cos60 t ,得参数方程为t(t ≥0).y 2 sin60 t各个击破类题操练 1求 3x+4y+7=0 的参数方程 .解: 令 x=t, 则 y=1 (3t+7). 4x t ,∴参数方程为1(3t7).y4变式提高 1x 6 cos , 已知3sin( φ 为参数 ), 判断曲线种类 .y解: 由平方关系得 x2y 2=1,6232 即上述参数方程表示的是椭圆.二、化参数方程为一般方程x 1 4 cost,【例 2】化为一般方程 .y2 4 sint x1 4 cost , 解：整理，得y 2 4sin t.由 sin 2t+cos 2t=1 得 (x-1) 2+(y+2) 2=16.温馨提示掌握好参数的取值范围, 注意所用的消元法的选择. 正确的选择是解题的重点22类题操练 2. 关于正x5 cost,化为一般方程 .y3sin t2 2t=1 得x 2 y 2解: 由 sin t+cos 25=1.9变式提高 2设直线的参数方程为x 2 t ,到直线的距离 d.y求 P(-1,1)1 2t,t x 2,x-2=y 1解:整理,得t y 122∴y -2x+5=0.∴d=| 21 5 | 8 5 .55三、参数方程与轨迹【例 3】已知圆 x 2+y 2=1, 点 A(1,0), △ABC 内接于该圆 , 且∠ BAC=60°, 当 B 、C 在圆上运动时求 BC 的中点的轨迹方程 .解：如图 (1) 所示 ,M 为 BC 的中点 ,由∠ BAC=60°, 得∠ BOC=2×60°=120°( 弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2 倍),,在△ BOC 中,OB=OC=11 2 21 OM= . 因此点 M 的轨迹方程为x +y= .24又由于 x ≥ 1时 , 如图 (2), 固然∠ BOC=120°, 但∠ BAC=1(360 ° - 120°)=120°≠ 60°, 所42以点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2= 1(x<1), 如图 (1).4 4温馨提示利用消元法 , 实现参数方程与一般方程互化 , 解决距离问题、最值问题、交点问题及种类的判断问题 , 一般把参数方程化为一般方程来解 . 类题操练 3向来线过点 (2,1), 且与向量 (-1,1) 平行 ,(1) 求参数方程 ;(2) 求 P(-1,-2) 到直线的距离 d. 解:(1) 直线斜率 k=-1, 倾斜角 135°,x2 2t ,则2 (t 为参数 ).2 ty12(2) 化为 x+y-3=0,d=| 12 3 | 3 2 .2变式提高 3x 1 2t , 已知某条曲线 C 的参数方程为( 此中 t 是参数 ,a ∈ R), 点 M(5,4) 在该曲线上 .y at 2(1) 求常数 a;(2) 求曲线 C 的一般方程 .解: 此题主要应依据曲线与方程之间的关系 , 可知点 M(5,4) 在该曲线上 , 则点 M 的坐标应合适曲线 C 的方程 , 从而可求得此中的待定系数 , 从而消去参数获得其一般方程 .(1)1 2t 5,t 2,由题意可知 , 有4, 故∴a=1.at 2a1.(2) 由已知及 (1) 可得 , 曲线 C 的方程为x 1 2t ,y t 2 .由第一个方程得 t=x 1, 代入第二个方程 , 得 y=(x 1) 2, 即 (x-1) 2=4y 为所求 .22。

人教A版选修4-参数方程习题

选修4——参数方程习题一、选择题1．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A ．31(,)42-B ．1(,2C． D． A 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12y =2．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈3．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线4．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得 5．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制6．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5；当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2二、填空题1．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

高中数学 曲线的参数方程(一)学案 新人教A版选修44

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